Maklumat dalam artikel ini memberikan pemahaman umum tentang integer. Pertama, definisi integer diberikan dan contoh diberikan. Seterusnya, kami mempertimbangkan integer pada garis nombor, dari mana ia menjadi jelas nombor yang dipanggil integer positif dan yang dipanggil integer negatif. Selepas ini, ditunjukkan bagaimana perubahan dalam kuantiti diterangkan menggunakan integer, dan integer dipertimbangkan nombor negatif dalam erti kata hutang.

Navigasi halaman.

Integer - Definisi dan Contoh

Definisi.

Nombor bulat– ini ialah nombor asli, nombor sifar, serta nombor yang bertentangan dengan nombor asli.

Takrif integer menyatakan bahawa mana-mana nombor 1, 2, 3, …, nombor 0, serta mana-mana nombor −1, −2, −3, … ialah integer. Sekarang kita boleh bawa dengan mudah contoh integer. Sebagai contoh, nombor 38 ialah integer, nombor 70,040 juga merupakan integer, sifar ialah integer (ingat bahawa sifar BUKAN nombor asli, sifar ialah integer), nombor −999, −1, −8,934,832 juga contoh nombor integer.

Adalah mudah untuk mewakili semua integer sebagai jujukan integer, yang mempunyai bentuk berikut: 0, ±1, ±2, ±3, ... Urutan integer boleh ditulis seperti ini: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

Daripada takrif integer, set nombor asli ialah subset set integer. Oleh itu, setiap nombor asli ialah integer, tetapi bukan setiap integer ialah nombor asli.

Integer pada garis koordinat

Definisi.

Integer positif adalah integer lebih besar daripada sifar.

Definisi.

Integer negatif adalah integer itu kurang daripada sifar.

Integer positif dan negatif juga boleh ditentukan oleh kedudukannya pada garis koordinat. Pada garis koordinat mendatar, titik yang koordinatnya adalah integer positif terletak di sebelah kanan asalan. Sebaliknya, titik dengan koordinat integer negatif terletak di sebelah kiri titik O.

Adalah jelas bahawa set semua integer positif ialah set nombor asli. Sebaliknya, set semua integer negatif ialah set semua nombor yang bertentangan dengan nombor asli.

Secara berasingan, marilah kami menarik perhatian anda kepada fakta bahawa kami boleh memanggil mana-mana nombor asli sebagai integer, tetapi kami tidak boleh memanggil mana-mana integer sebagai nombor asli. Kita hanya boleh memanggil mana-mana integer positif sebagai nombor asli, kerana integer negatif dan sifar bukanlah nombor asli.

Integer bukan positif dan bukan negatif

Mari kita berikan definisi integer bukan positif dan integer bukan negatif.

Definisi.

Semua integer positif, bersama dengan nombor sifar, dipanggil integer bukan negatif.

Definisi.

Integer bukan positif– ini semua adalah integer negatif bersama dengan nombor 0.

Dalam erti kata lain, integer bukan negatif ialah integer yang lebih besar daripada sifar atau sama dengan sifar, dan integer bukan positif ialah integer yang kurang daripada sifar atau sama dengan sifar.

Contoh integer bukan positif ialah nombor −511, −10,030, 0, −2, dan sebagai contoh integer bukan negatif kita berikan nombor 45, 506, 0, 900,321.

Selalunya, istilah "integer bukan positif" dan "integer bukan negatif" digunakan untuk ringkasnya. Sebagai contoh, bukannya frasa "nombor a ialah integer dan a lebih besar daripada sifar atau sama dengan sifar", anda boleh menyebut "a ialah integer bukan negatif."

Memerihalkan perubahan dalam kuantiti menggunakan integer

Sudah tiba masanya untuk bercakap tentang sebab integer diperlukan pada mulanya.

Tujuan utama integer ialah dengan bantuan mereka adalah mudah untuk menerangkan perubahan dalam kuantiti sebarang objek. Mari kita fahami ini dengan contoh.

Biarkan terdapat beberapa bahagian dalam gudang. Jika, sebagai contoh, 400 lagi bahagian dibawa ke gudang, maka bilangan bahagian dalam gudang akan meningkat, dan nombor 400 menyatakan perubahan kuantiti ini dalam sisi positif(bertambah). Jika, sebagai contoh, 100 bahagian diambil dari gudang, maka bilangan bahagian dalam gudang akan berkurangan, dan nombor 100 akan menyatakan perubahan kuantiti ke arah negatif (ke bawah). Bahagian tidak akan dibawa ke gudang, dan bahagian tidak akan diambil dari gudang, maka kita boleh bercakap tentang kuantiti tetap bahagian (iaitu, kita boleh bercakap tentang perubahan sifar dalam kuantiti).

Dalam contoh yang diberikan, perubahan dalam bilangan bahagian boleh diterangkan menggunakan integer 400, -100 dan 0, masing-masing. Integer positif 400 menunjukkan perubahan kuantiti ke arah positif (peningkatan). Integer negatif −100 menyatakan perubahan kuantiti dalam arah negatif (penurunan). Integer 0 menunjukkan bahawa kuantiti kekal tidak berubah.

Kemudahan menggunakan integer berbanding menggunakan nombor asli ialah anda tidak perlu menunjukkan secara eksplisit sama ada kuantiti meningkat atau berkurangan - integer mengukur perubahan, dan tanda integer menunjukkan arah perubahan.

Integer juga boleh menyatakan bukan sahaja perubahan dalam kuantiti, tetapi juga perubahan dalam beberapa kuantiti. Mari kita fahami ini menggunakan contoh perubahan suhu.

Kenaikan suhu, katakan, 4 darjah dinyatakan sebagai integer positif 4. Penurunan suhu, sebagai contoh, sebanyak 12 darjah boleh digambarkan oleh integer negatif -12. Dan invarian suhu ialah perubahannya, ditentukan oleh integer 0.

Secara berasingan, adalah perlu untuk mengatakan tentang tafsiran integer negatif sebagai jumlah hutang. Sebagai contoh, jika kita mempunyai 3 epal, maka integer positif 3 mewakili bilangan epal yang kita miliki. Sebaliknya, jika kita perlu memberikan 5 epal kepada seseorang, tetapi kita tidak mempunyainya dalam stok, maka keadaan ini boleh digambarkan menggunakan integer negatif −5. Dalam kes ini, kami "memiliki" −5 epal, tanda tolak menunjukkan hutang, dan nombor 5 mengukur hutang.

Memahami integer negatif sebagai hutang membenarkan, sebagai contoh, untuk mewajarkan peraturan untuk menambah integer negatif. Mari kita beri contoh. Jika seseorang berhutang 2 epal kepada seorang dan 1 epal kepada yang lain, maka jumlah hutang ialah 2+1=3 epal, jadi −2+(−1)=−3.

Bibliografi.

• Vilenkin N.Ya. dan lain-lain. Darjah 6: buku teks untuk institusi pendidikan am.

Katakan Achilles berlari sepuluh kali lebih laju daripada kura-kura dan berada seribu langkah di belakangnya. Sepanjang masa yang diperlukan Achilles untuk berlari jarak ini, kura-kura akan merangkak seratus langkah ke arah yang sama. Apabila Achilles berlari seratus langkah, kura-kura merangkak lagi sepuluh langkah, dan seterusnya. Proses ini akan diteruskan secara infinitum, Achilles tidak akan dapat mengejar kura-kura.

Alasan ini menjadi kejutan logik untuk semua generasi berikutnya. Aristotle, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Mereka semua menganggap aporia Zeno dalam satu cara atau yang lain. Kejutan itu sangat kuat sehingga" ... perbincangan berterusan hingga ke hari ini; komuniti saintifik masih belum dapat mencapai pendapat umum mengenai intipati paradoks ... analisis matematik, teori set, pendekatan fizikal dan falsafah baru terlibat dalam kajian isu tersebut ; tiada satu pun daripada mereka menjadi penyelesaian yang diterima umum untuk masalah itu..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Semua orang faham bahawa mereka sedang diperbodohkan, tetapi tiada siapa yang memahami apa yang terkandung dalam penipuan itu.

Dari sudut pandangan matematik, Zeno dalam aporianya jelas menunjukkan peralihan daripada kuantiti kepada . Peralihan ini membayangkan aplikasi dan bukannya yang kekal. Setakat yang saya faham, radas matematik untuk menggunakan unit ukuran boleh ubah sama ada belum dibangunkan, atau ia belum digunakan pada aporia Zeno. Menggunakan logik biasa kita membawa kita ke dalam perangkap. Kami, disebabkan oleh inersia pemikiran, menggunakan unit masa yang tetap kepada nilai timbal balik. Dari sudut fizikal, ini kelihatan seperti masa semakin perlahan sehingga ia berhenti sepenuhnya pada saat Achilles mengejar penyu. Jika masa berhenti, Achilles tidak lagi boleh berlari lebih cepat daripada kura-kura.

Jika kita membalikkan logik biasa kita, semuanya akan menjadi tempatnya. Achilles berlari pada kelajuan tetap. Setiap segmen seterusnya dari laluannya adalah sepuluh kali lebih pendek daripada yang sebelumnya. Sehubungan itu, masa yang dihabiskan untuk mengatasinya adalah sepuluh kali ganda kurang daripada yang sebelumnya. Jika kita menggunakan konsep "infiniti" dalam situasi ini, maka adalah betul untuk mengatakan "Achilles akan mengejar penyu dengan cepat tanpa had."

Bagaimana untuk mengelakkan perangkap logik ini? Kekal dalam unit masa yang tetap dan jangan bertukar kepada unit timbal balik. Dalam bahasa Zeno ia kelihatan seperti ini:

Dalam masa yang diperlukan Achilles untuk berlari seribu langkah, kura-kura akan merangkak seratus langkah ke arah yang sama. Semasa selang masa berikutnya sama dengan yang pertama, Achilles akan berlari seribu langkah lagi, dan kura-kura akan merangkak seratus langkah. Kini Achilles berada lapan ratus langkah di hadapan kura-kura.

Pendekatan ini menggambarkan realiti dengan secukupnya tanpa sebarang paradoks logik. Tetapi ini bukan penyelesaian lengkap untuk masalah itu. Kenyataan Einstein tentang ketaktahan kelajuan cahaya sangat mirip dengan aporia Zeno "Achilles dan Kura-kura". Kita masih perlu mengkaji, memikirkan semula dan menyelesaikan masalah ini. Dan penyelesaian mesti dicari bukan dalam jumlah yang tidak terhingga, tetapi dalam unit ukuran.

Satu lagi aporia menarik Zeno menceritakan tentang anak panah terbang:

Anak panah terbang tidak bergerak, kerana pada setiap saat ia dalam keadaan rehat, dan kerana ia dalam keadaan rehat pada setiap saat, ia sentiasa dalam keadaan rehat.

Dalam aporia ini, paradoks logik diatasi dengan sangat mudah - sudah cukup untuk menjelaskan bahawa pada setiap saat anak panah terbang berada di tempat yang berbeza di angkasa, yang, sebenarnya, adalah gerakan. Satu lagi perkara perlu diperhatikan di sini. Dari satu gambar kereta di jalan raya adalah mustahil untuk menentukan sama ada fakta pergerakannya atau jaraknya. Untuk menentukan sama ada kereta sedang bergerak, anda memerlukan dua gambar yang diambil dari titik yang sama pada titik masa yang berbeza, tetapi anda tidak boleh menentukan jarak darinya. Untuk menentukan jarak ke kereta, anda memerlukan dua gambar yang diambil dari titik yang berbeza di angkasa pada satu masa, tetapi daripada mereka anda tidak dapat menentukan fakta pergerakan (sudah tentu, anda masih memerlukan data tambahan untuk pengiraan, trigonometri akan membantu anda ). Apa yang saya nak tunjuk Perhatian istimewa, adalah bahawa dua titik dalam masa dan dua titik dalam ruang adalah perkara yang berbeza yang tidak boleh dikelirukan, kerana ia menyediakan peluang yang berbeza untuk penyelidikan.

Rabu, 4 Julai 2018

Perbezaan antara set dan multiset diterangkan dengan baik di Wikipedia. Jom tengok.

Seperti yang anda lihat, "tidak boleh ada dua elemen yang sama dalam set," tetapi jika terdapat elemen yang sama dalam set, set sedemikian dipanggil "multiset." Makhluk yang munasabah tidak akan memahami logik yang tidak masuk akal itu. Ini adalah tahap burung kakak tua bercakap dan monyet terlatih, yang tidak mempunyai kecerdasan daripada perkataan "sepenuhnya". Ahli matematik bertindak sebagai jurulatih biasa, memberitakan kepada kita idea-idea tidak masuk akal mereka.

Suatu ketika dahulu, jurutera yang membina jambatan itu berada di dalam bot di bawah jambatan semasa menguji jambatan. Jika jambatan itu runtuh, jurutera biasa-biasa itu mati di bawah runtuhan ciptaannya. Jika jambatan itu boleh menahan beban, jurutera berbakat membina jambatan lain.

Tidak kira bagaimana ahli matematik bersembunyi di sebalik frasa "fikirkan saya, saya di rumah," atau lebih tepat, "matematik mengkaji konsep abstrak," terdapat satu tali pusat yang menghubungkannya dengan realiti. Tali pusat ini adalah wang. Marilah kita mengaplikasikan teori set matematik kepada ahli matematik itu sendiri.

Kami belajar matematik dengan baik dan sekarang kami duduk di meja tunai, memberikan gaji. Jadi seorang ahli matematik datang kepada kami untuk mendapatkan wangnya. Kami mengira jumlah keseluruhan kepadanya dan meletakkannya di atas meja kami dalam longgokan yang berbeza, di mana kami meletakkan bil daripada denominasi yang sama. Kemudian kami mengambil satu bil dari setiap longgokan dan memberi ahli matematik itu "set gaji matematiknya." Mari kita jelaskan kepada ahli matematik bahawa dia akan menerima baki bil hanya apabila dia membuktikan bahawa set tanpa unsur yang sama tidak sama dengan set dengan unsur yang sama. Di sinilah keseronokan bermula.

Pertama sekali, logik timbalan akan berfungsi: "Ini boleh digunakan untuk orang lain, tetapi tidak kepada saya!" Kemudian mereka akan mula meyakinkan kita bahawa bil daripada denominasi yang sama mempunyai nombor bil yang berbeza, yang bermaksud ia tidak boleh dianggap sebagai elemen yang sama. Baiklah, mari kita mengira gaji dalam syiling - tiada nombor pada syiling. Di sini ahli matematik akan mula panik mengingat fizik: pada syiling yang berbeza ada kuantiti yang berbeza kotoran, struktur kristal dan susunan atom setiap syiling adalah unik...

Dan sekarang saya mempunyai yang paling banyak minat Tanya: di manakah garisan di mana unsur-unsur himpunan berbilang bertukar menjadi unsur-unsur set dan sebaliknya? Garis seperti itu tidak wujud - semuanya ditentukan oleh bomoh, sains tidak hampir dengan berbohong di sini.

Tengok sini. Kami memilih stadium bola sepak dengan keluasan padang yang sama. Kawasan medan adalah sama - yang bermaksud kita mempunyai multiset. Tetapi jika kita lihat nama stadium yang sama ini, kita dapat banyak, kerana nama berbeza. Seperti yang anda lihat, set elemen yang sama ialah set dan multiset. Mana yang betul? Dan di sini ahli matematik-bomoh-tajam mengeluarkan ace of trumps dari lengan bajunya dan mula memberitahu kita sama ada tentang set atau multiset. Walau apa pun, dia akan meyakinkan kita bahawa dia betul.

Untuk memahami bagaimana bomoh moden beroperasi dengan teori set, mengikatnya dengan realiti, sudah cukup untuk menjawab satu soalan: bagaimana unsur-unsur satu set berbeza daripada unsur set lain? Saya akan tunjukkan kepada anda, tanpa sebarang "boleh dibayangkan sebagai bukan satu keseluruhan" atau "tidak boleh difikirkan sebagai satu keseluruhan."

Ahad, 18 Mac 2018

Jumlah digit nombor ialah tarian bomoh dengan rebana, yang tiada kaitan dengan matematik. Ya, dalam pelajaran matematik kita diajar untuk mencari jumlah digit nombor dan menggunakannya, tetapi itulah sebabnya mereka adalah bomoh, untuk mengajar keturunan mereka kemahiran dan kebijaksanaan mereka, jika tidak bomoh akan mati begitu saja.

Adakah anda memerlukan bukti? Buka Wikipedia dan cuba cari halaman "Jumlah digit nombor." Dia tidak wujud. Tiada formula dalam matematik yang boleh digunakan untuk mencari jumlah digit bagi sebarang nombor. Lagipun, nombor adalah simbol grafik, dengan bantuan kami menulis nombor dan dalam bahasa matematik tugasan berbunyi seperti ini: "Cari jumlah simbol grafik yang mewakili sebarang nombor." Ahli matematik tidak dapat menyelesaikan masalah ini, tetapi bomoh boleh melakukannya dengan mudah.

Mari kita fikirkan apa dan bagaimana kita lakukan untuk mencari jumlah digit bagi nombor tertentu. Jadi, marilah kita mempunyai nombor 12345. Apakah yang perlu dilakukan untuk mencari jumlah digit nombor ini? Mari kita pertimbangkan semua langkah mengikut urutan.

1. Tulis nombor pada sekeping kertas. Apa yang telah kita lakukan? Kami telah menukar nombor tersebut kepada simbol nombor grafik. Ini bukan operasi matematik.

2. Kami memotong satu gambar yang terhasil kepada beberapa gambar yang mengandungi nombor individu. Memotong gambar bukan operasi matematik.

3. Tukar simbol grafik individu kepada nombor. Ini bukan operasi matematik.

4. Tambah nombor yang terhasil. Sekarang ini adalah matematik.

Jumlah digit nombor 12345 ialah 15. Ini adalah "kursus memotong dan menjahit" yang diajar oleh bomoh yang digunakan oleh ahli matematik. Tetapi bukan itu sahaja.

Dari sudut matematik, tidak kira dalam sistem nombor mana kita menulis nombor. Jadi, dalam sistem yang berbeza Dalam kalkulus, jumlah digit bagi nombor yang sama akan berbeza. Dalam matematik, sistem nombor ditunjukkan sebagai subskrip di sebelah kanan nombor. Dengan nombor yang besar 12345, saya tidak mahu menipu kepala saya, mari kita pertimbangkan nombor 26 dari artikel tentang. Mari kita tulis nombor ini dalam sistem nombor perduaan, perlapanan, perpuluhan dan heksadesimal. Kami tidak akan melihat setiap langkah di bawah mikroskop; Jom tengok hasilnya.

Seperti yang anda lihat, dalam sistem nombor yang berbeza jumlah digit nombor yang sama adalah berbeza. Keputusan ini tiada kaitan dengan matematik. Ia sama seperti jika anda menentukan luas segi empat tepat dalam meter dan sentimeter, anda akan mendapat hasil yang sama sekali berbeza.

Sifar kelihatan sama dalam semua sistem nombor dan tidak mempunyai jumlah digit. Ini adalah satu lagi hujah yang memihak kepada fakta itu. Soalan untuk ahli matematik: bagaimanakah sesuatu yang bukan nombor ditetapkan dalam matematik? Apa, bagi ahli matematik tiada apa yang wujud kecuali nombor? Saya boleh membenarkan ini untuk bomoh, tetapi tidak untuk saintis. Realiti bukan hanya tentang angka.

Keputusan yang diperoleh harus dianggap sebagai bukti bahawa sistem nombor adalah unit ukuran untuk nombor. Lagipun, kita tidak boleh membandingkan nombor dengan unit ukuran yang berbeza. Jika tindakan yang sama dengan unit pengukuran yang berbeza kuantiti yang sama membawa kepada hasil yang berbeza selepas membandingkan mereka, bermakna ia tidak ada kaitan dengan matematik.

Apakah itu matematik sebenar? Ini adalah apabila hasilnya operasi matematik tidak bergantung pada saiz nombor, unit ukuran yang digunakan dan siapa yang melakukan tindakan.