Այս առցանց մաթեմատիկական հաշվիչը կօգնի ձեզ, եթե դրա կարիքը ունեք հաշվարկել ֆունկցիայի սահմանը. Ծրագիր լուծման սահմաններըոչ միայն տալիս է խնդրի պատասխանը, այն տանում է մանրամասն լուծում՝ բացատրություններով, այսինքն. ցուցադրում է սահմանաչափի հաշվարկման գործընթացը:

Այս ծրագիրը կարող է օգտակար լինել ավագ դպրոցի աշակերտների համար միջնակարգ դպրոցներթեստերի և քննությունների նախապատրաստման ժամանակ, միասնական պետական ​​քննությունից առաջ գիտելիքները ստուգելիս, որպեսզի ծնողները վերահսկեն մաթեմատիկայի և հանրահաշվի բազմաթիվ խնդիրների լուծումը: Կամ գուցե ձեզ համար չափազանց թանկ է դաստիարակ վարձելը կամ նոր դասագրքեր գնելը: Թե՞ պարզապես ցանկանում եք դա անել հնարավորինս արագ:տնային աշխատանք

մաթեմատիկայի՞ն, թե՞ հանրահաշիվին։ Այս դեպքում կարող եք նաև օգտվել մեր ծրագրերից՝ մանրամասն լուծումներով։

Հաշվարկել սահմանաչափը
Պարզվեց, որ այս խնդիրը լուծելու համար անհրաժեշտ որոշ սցենարներ չեն բեռնվել, և ծրագիրը կարող է չաշխատել:
Հնարավոր է, որ դուք միացված եք AdBlock-ին:

Ահա հրահանգներ, թե ինչպես միացնել JavaScript-ը ձեր բրաուզերում:
Որովհետև Խնդիրը լուծելու պատրաստ շատ մարդիկ կան, ձեր խնդրանքը հերթագրված է։
Մի քանի վայրկյանից լուծումը կհայտնվի ստորև։ Խնդրում ենք սպասել

վրկ... լուծման մեջ սխալ է նկատել, ապա այս մասին կարող եք գրել Հետադարձ կապի ձևում։
Մի մոռացեք նշեք, թե որ առաջադրանքըդուք որոշեք ինչ մտնել դաշտերում.

Մեր խաղերը, հանելուկները, էմուլյատորները.

Մի փոքր տեսություն.

Ֆունկցիայի սահմանը x->x 0-ում

Թող f(x) ֆունկցիան սահմանվի X բազմության վրա և թող կետը \(x_0 \X-ում\) կամ \(x_0 \ոչ X-ում) կետը:

Եկեք X-ից վերցնենք x 0-ից տարբեր կետերի հաջորդականություն.
x 1, x 2, x 3, ..., x n, ... (1)
համընկնում է x*. Այս հաջորդականության կետերում ֆունկցիայի արժեքները նույնպես թվային հաջորդականություն են կազմում
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
և կարելի է բարձրացնել դրա սահմանի գոյության հարցը։

Սահմանում. A թիվը կոչվում է f(x) ֆունկցիայի սահման x = x 0 (կամ x -> x 0) կետում, եթե x արգումենտի արժեքների որևէ հաջորդականության համար (1) տարբերվում է x 0-ից: զուգակցվելով x 0-ին, արժեքների ֆունկցիայի համապատասխան հաջորդականությունը (2) զուգորդվում է A թվին:

$$ \lim_(x\-ից x_0)( f(x)) = A $$

f(x) ֆունկցիան x 0 կետում կարող է ունենալ միայն մեկ սահման: Սա բխում է այն փաստից, որ հաջորդականությունը
(f(x n)) ունի միայն մեկ սահման:

Կա ֆունկցիայի սահմանի մեկ այլ սահմանում.

Սահմանում A թիվը կոչվում է f(x) ֆունկցիայի սահման x = x 0 կետում, եթե \(\varepsilon > 0\) ցանկացած թվի համար կա \(\delta > 0\) այնպիսի թիվ, որ բոլորի համար (x \in X, \; x \neq x_0 \), բավարարելով անհավասարությունը \(|x-x_0| Օգտագործելով տրամաբանական նշաններ, այս սահմանումը կարելի է գրել այսպես.
\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Նկատի ունեցեք, որ անհավասարությունները \(x \neq x_0 , \; \(\varepsilon - \delta \)»։
Ֆունկցիայի սահմանի այս երկու սահմանումները համարժեք են, և դուք կարող եք օգտագործել դրանցից որևէ մեկը՝ կախված նրանից, թե որն է ավելի հարմար որոշակի խնդիր լուծելու համար:

Նշենք, որ «հաջորդականությունների լեզվով» ֆունկցիայի սահմանի սահմանումը կոչվում է նաև ֆունկցիայի սահմանի սահմանում ըստ Հայնեի, իսկ ֆունկցիայի սահմանի սահմանումը «լեզուում \(\varepsilon - \դելտա \)» կոչվում է նաև ֆունկցիայի սահմանի սահմանում ըստ Քոշիի։

Ֆունկցիայի սահմանը x->x 0 - և x->x 0 +-ում

Հետևյալում մենք կօգտագործենք ֆունկցիայի միակողմանի սահմանների հասկացությունները, որոնք սահմանվում են հետևյալ կերպ.

Սահմանում A թիվը կոչվում է f(x) ֆունկցիայի աջ (ձախ) սահման x 0 կետում, եթե (1) x 0-ին համընկնող որևէ հաջորդականության համար, որի տարրերը x n-ը մեծ են (փոքր) x 0-ից, համապատասխան հաջորդականությունը: (2) համընկնում է Ա.

Խորհրդանշականորեն գրված է այսպես.
$$ \lim_(x \ից x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \մինչև x_0-) f(x) = A \աջ) $$

Մենք կարող ենք տալ ֆունկցիայի միակողմանի սահմանների համարժեք սահմանում «\(\varepsilon - \delta \)» լեզվով.

Սահմանում A թիվը կոչվում է f(x) ֆունկցիայի աջ (ձախ) սահման x 0 կետում, եթե որևէ \(\varepsilon > 0\) գոյություն ունի \(\delta > 0\) այնպես, որ բոլոր x-երի համար բավարարում է: անհավասարությունները \(x_0 Խորհրդանշական մուտքեր.

Դիտարկենք մի քանի պատկերավոր օրինակներ։

Թող x լինի թիվ փոփոխական քանակություն X-ը դրա փոփոխության տարածքն է: Եթե ​​X-ին պատկանող յուրաքանչյուր x թիվը կապված է որոշակի y թվի հետ, ապա ասում են, որ X բազմության վրա ֆունկցիա է սահմանված, և գրում են y = f(x):
Սահմանեք X-ը այս դեպքում- ինքնաթիռ, որը բաղկացած է երկուսից կոորդինատային առանցքներ- 0X և 0Y: Օրինակ, եկեք պատկերենք y = x 2 ֆունկցիան։ 0X և 0Y առանցքները կազմում են X - դրա փոփոխության տարածքը: Նկարը հստակ ցույց է տալիս, թե ինչպես է իրեն պահում ֆունկցիան: Այս դեպքում ասում են, որ X բազմության վրա սահմանված է y = x 2 ֆունկցիան։

Ֆունկցիայի բոլոր մասնակի արժեքների Y բազմությունը կոչվում է f(x) արժեքների բազմություն: Այլ կերպ ասած, արժեքների հավաքածուն այն միջակայքն է 0Y առանցքի երկայնքով, որտեղ սահմանված է ֆունկցիան: Պատկերված պարաբոլան հստակ ցույց է տալիս, որ f(x) > 0, քանի որ x2 > 0: Հետևաբար, արժեքների միջակայքը կլինի: Մենք շատ արժեքներ ենք նայում 0Y-ով:

Բոլոր x-երի բազմությունը կոչվում է f(x) տիրույթ: Մենք շատ սահմանումներ ենք նայում 0X-ով և մեր դեպքում ընդունելի արժեքների միջակայքը [-; +].

A կետը (a-ին պատկանում է կամ X-ին) կոչվում է X բազմության սահմանային կետ, եթե a կետի որևէ հարևանությամբ կան X բազմության a-ից տարբեր կետեր:

Եկել է ժամանակը հասկանալու, թե որն է ֆունկցիայի սահմանը:

Մաքուր b-ը, որին ֆունկցիան հակված է, քանի որ x ձգտում է դեպի a թիվը, կոչվում է գործառույթի սահմանը. Սա գրված է հետևյալ կերպ.

Օրինակ, f(x) = x 2: Մենք պետք է պարզենք, թե ֆունկցիան ինչի է ձգտում (հավասար չէ) x 2-ում: Նախ, մենք գրում ենք սահմանը.

Եկեք նայենք գրաֆիկին:

Եկեք 0X առանցքի 2 կետով գծենք 0Y առանցքին զուգահեռ ուղիղ: Այն հատելու է մեր գրաֆիկը (2;4) կետում: Եկեք այս կետից ուղղահայաց գցենք 0Y առանցքի վրա և հասնենք 4-րդ կետին: Ահա թե ինչի է ձգտում մեր ֆունկցիան x 2-ում: Եթե այժմ 2 արժեքը փոխարինենք f(x) ֆունկցիայի մեջ, պատասխանը կլինի նույնը:

Այժմ, նախքան մենք անցնել սահմանաչափերի հաշվարկ, ներկայացնենք հիմնական սահմանումները։

Ներկայացրել է ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Ավգուստին Լուի Կոշին 19-րդ դարում։

Ենթադրենք, f(x) ֆունկցիան սահմանված է որոշակի միջակայքում, որը պարունակում է x = A կետը, բայց ամենևին էլ պարտադիր չէ, որ f(A) արժեքը սահմանվի։

Այնուհետև, ըստ Քոշիի սահմանման. գործառույթի սահմանը f(x) կլինի որոշակի B թիվ, x-ը հակված է A-ին, եթե յուրաքանչյուր C > 0-ի համար կա D > 0 թիվ, որի համար

Նրանք. եթե f(x) ֆունկցիան x A-ում սահմանափակված է B սահմանով, սա գրվում է ձևով

Հերթականության սահմանափակումորոշակի A թիվը կոչվում է, եթե որևէ կամայական փոքրի համար դրական թիվ> 0-ում կա N թիվ, որի համար n > N դեպքում բոլոր արժեքները բավարարում են անհավասարությունը

Այս սահմանը կարծես թե.

Այն հաջորդականությունը, որն ունի սահման, կկոչվի կոնվերգենտ, եթե ոչ, մենք այն կկոչենք դիվերգենտ:

Ինչպես արդեն նկատել եք, սահմանները նշվում են lim պատկերակով, որի տակ գրվում է փոփոխականի որոշ պայման, այնուհետև գրվում է հենց ֆունկցիան։ Նման բազմությունը կկարդա որպես «գործառույթի սահմանաչափ, որը ենթակա է...»: Օրինակ.

- ֆունկցիայի սահմանը, քանի որ x-ը ձգտում է 1-ի:

«Մոտենալով 1-ին» արտահայտությունը նշանակում է, որ x-ը հաջորդաբար ընդունում է արժեքներ, որոնք մոտենում են 1-ին անսահմանորեն մոտ:

Այժմ պարզ է դառնում, որ այս սահմանը հաշվարկելու համար բավական է փոխարինել 1 արժեքը x-ով.

Բացի կոնկրետ թվային արժեք x-ը կարող է ձգվել դեպի անսահմանություն: Օրինակ.

X արտահայտությունը նշանակում է, որ x-ն անընդհատ աճում է և անվերջորեն մոտենում է անսահմանությանը: Հետևաբար, անվերջությունը x-ով փոխարինելով՝ ակնհայտ է դառնում, որ 1-x ֆունկցիան հակված է լինելու, բայց հակառակ նշանով.

Այսպիսով, սահմանաչափերի հաշվարկհանգում է նրան, որ գտնենք դրա հատուկ արժեքը կամ որոշակի տարածք, որտեղ ընկնում է սահմանաչափով սահմանափակված ֆունկցիան:

Ելնելով վերը նշվածից՝ հետևում է, որ սահմանաչափերը հաշվարկելիս կարևոր է օգտագործել մի քանի կանոն.

Հասկանալով սահմանի էությունըև հիմնական կանոնները սահմանային հաշվարկներ, դուք կստանաք հիմնական պատկերացում, թե ինչպես լուծել դրանք: Եթե ​​որևէ սահմանափակում ձեզ դժվարություններ է առաջացնում, ապա գրեք մեկնաբանություններում, և մենք անպայման կօգնենք ձեզ։

Նշում. Իրավագիտությունը օրենքների գիտություն է, որն օգնում է կոնֆլիկտների և կյանքի այլ դժվարությունների ժամանակ:

Սահմանների տեսություն- մաթեմատիկական վերլուծության այն բաժիններից մեկը, որը ոմանք կարող են տիրապետել, իսկ մյուսները դժվարությամբ են հաշվարկում սահմանները: Սահմաններ գտնելու հարցը բավականին ընդհանուր է, քանի որ կան տասնյակ տեխնիկա լուծման սահմանները տարբեր տեսակներ. Նույն սահմանները կարելի է գտնել ինչպես L'Hopital-ի կանոնով, այնպես էլ առանց դրա: Պատահում է, որ մի շարք անվերջ փոքր գործառույթների պլանավորումը թույլ է տալիս արագ ստանալ ցանկալի արդյունքը: Կան մի շարք տեխնիկա և հնարքներ, որոնք թույլ են տալիս գտնել ցանկացած բարդության ֆունկցիայի սահմանը: Այս հոդվածում մենք կփորձենք հասկանալ սահմանների հիմնական տեսակները, որոնք առավել հաճախ հանդիպում են գործնականում: Մենք այստեղ չենք տա սահմանի տեսությունը և սահմանումը, կան բազմաթիվ ռեսուրսներ ինտերնետում, որտեղ դա քննարկվում է: Հետևաբար, եկեք անցնենք գործնական հաշվարկներին, այստեղ է ձեր «չգիտեմ, ես չեմ կարող»:

Սահմանաչափերի հաշվարկ՝ օգտագործելով փոխարինման մեթոդը

Օրինակ 1. Գտեք ֆունկցիայի սահմանը
Lim((x^2-3*x)/(2*x+5),x=3):
Լուծում. Այս տեսակի օրինակները տեսականորեն կարելի է հաշվարկել սովորական փոխարինման միջոցով

Սահմանաչափը 18/11 է։
Նման սահմաններում ոչ մի բարդ և իմաստուն բան չկա. մենք փոխարինեցինք արժեքը, հաշվարկեցինք այն և որպես պատասխան գրեցինք սահմանը: Այնուամենայնիվ, նման սահմաններից ելնելով բոլորին սովորեցնում են, որ առաջին հերթին պետք է արժեքը փոխարինել ֆունկցիայի մեջ։ Այնուհետև, սահմաններն ավելի են բարդանում՝ ներմուծելով անսահմանություն, անորոշություն և այլն:

Անորոշությամբ սահման, ինչպիսին է անսահմանությունը բաժանված անսահմանության վրա: Անորոշության բացահայտման տեխնիկա

Օրինակ 2. Գտեք ֆունկցիայի սահմանը
Lim((x^2+2x)/(4x^2+3x-4),x=անսահմանություն):
Լուծում. Տրված է բազմանդամի ձևի սահմանը, որը բաժանվում է բազմանդամի վրա, և փոփոխականը ձգտում է դեպի անվերջություն

Պարզապես փոխարինելով այն արժեքը, որին պետք է գտնվի փոփոխականը, չի օգնի գտնել սահմանները, մենք ստանում ենք անվերջության ձևի անորոշություն՝ բաժանված անսահմանության վրա:
Ըստ սահմանների տեսության՝ սահմանը հաշվարկելու ալգորիթմը համարիչում կամ հայտարարում «x»-ի ամենամեծ հզորությունը գտնելն է։ Այնուհետև համարիչը և հայտարարը պարզեցվում են դրան և գտնվում է ֆունկցիայի սահմանը

Քանի որ արժեքը ձգտում է զրոյի, երբ փոփոխականը մոտենում է անսահմանությանը, դրանք անտեսվում են կամ գրվում են վերջնական արտահայտության մեջ՝ զրոների տեսքով։

Անմիջապես պրակտիկայից դուք կարող եք ստանալ երկու եզրակացություն, որոնք ակնարկ են հաշվարկներում: Եթե ​​փոփոխականը հակված է դեպի անվերջություն, իսկ համարիչի աստիճանն ավելի մեծ է, քան հայտարարի աստիճանը, ապա սահմանը հավասար է անվերջությանը։ Հակառակ դեպքում, եթե հայտարարի բազմանդամը ավելի բարձր կարգի է, քան համարիչում, սահմանը զրո է:
Սահմանաչափը կարելի է գրել հետևյալ բանաձևերով.

Եթե ​​ունենք սովորական դաշտ առանց կոտորակների ձևի ֆունկցիա, ապա դրա սահմանը հավասար է անսահմանության

Սահմանների հաջորդ տեսակը վերաբերում է զրոյին մոտ ֆունկցիաների վարքագծին։

Օրինակ 3. Գտեք ֆունկցիայի սահմանը
Lim((x^2+3x-5)/(x^2+x+2), x=0):
Լուծում․ այստեղ բազմանդամի առաջատար գործակիցը հեռացնելու կարիք չկա։ Ճիշտ հակառակը, պետք է գտնել համարիչի և հայտարարի ամենափոքր հզորությունը և հաշվարկել սահմանը

Արժեք x^2; x հակված են զրոյի, երբ փոփոխականը ձգտում է զրոյի, հետևաբար, դրանք անտեսվում են, ուստի մենք ստանում ենք

որ սահմանը 2.5 է։

Այժմ դուք գիտեք ինչպես գտնել ֆունկցիայի սահմանըԲազմանդամը բաժանիր բազմանդամի վրա, եթե փոփոխականը ձգտում է դեպի անսահմանություն կամ 0: Բայց սա օրինակների միայն փոքր և հեշտ մասն է: Հետևյալ նյութից դուք կսովորեք ինչպես բացահայտել անորոշությունները ֆունկցիայի սահմաններում.

0/0 տիպի անորոշությամբ սահմանը և դրա հաշվարկման մեթոդները

Բոլորն անմիջապես հիշում են այն կանոնը, որ չես կարող բաժանել զրոյի։ Այնուամենայնիվ, սահմանների տեսությունը այս համատեքստում ենթադրում է անսահման փոքր գործառույթներ:
Պարզության համար տեսնենք մի քանի օրինակ:

Օրինակ 4. Գտեք ֆունկցիայի սահմանը
Lim((3x^2+10x+7)/(x+1), x=-1):
Լուծում. Երբ x = -1 փոփոխականի արժեքը փոխարինում ենք հայտարարի մեջ, ստանում ենք զրո, իսկ համարիչում ստանում ենք նույնը: Այսպիսով, մենք ունենք 0/0 ձևի անորոշություն:
Նման անորոշության հետ գործ ունենալը պարզ է՝ պետք է գործոնավորել բազմանդամը, ավելի ճիշտ՝ ընտրել այն գործակիցը, որը ֆունկցիան վերածում է զրոյի:

Ընդլայնվելուց հետո ֆունկցիայի սահմանը կարելի է գրել այսպես

Դա ֆունկցիայի սահմանաչափը հաշվարկելու ամբողջ մեթոդն է: Մենք նույնն ենք անում, եթե կա բազմանդամի ձևի սահման՝ բաժանված բազմանդամի վրա։

Օրինակ 5. Գտեք ֆունկցիայի սահմանը
Lim((2x^2-7x+6)/(3x^2-x-10), x=2):
Լուծում. Ուղիղ փոխարինումը ցույց է տալիս
2*4-7*2+6=0;
3*4-2-10=0
ինչ ունենք տիպ 0/0 անորոշություն.
Բազմանանդամները բաժանենք եզակիություն ներկայացնող գործակցի վրա


Կան ուսուցիչներ, որոնք դասավանդում են, որ 2-րդ կարգի բազմանդամները, այսինքն՝ «քառակուսի հավասարումներ» տիպը, պետք է լուծել դիսկրիմինանտի միջոցով։ Բայց իրական պրակտիկան ցույց է տալիս, որ սա ավելի երկար և ավելի շփոթեցնող է, այնպես որ ձերբազատվեք գործառույթներից ըստ սահմանված ալգորիթմի սահմաններում: Այսպիսով, մենք ֆունկցիան գրում ենք ձևով հիմնական գործոններըև հաշվարկիր մինչև սահմանը

Ինչպես տեսնում եք, նման սահմանները հաշվարկելիս ոչ մի բարդ բան չկա: Մինչև սահմաններն ուսումնասիրես, դու գիտես, թե ինչպես պետք է բաժանել բազմանդամները, համենայնդեպս, ըստ ծրագրի, դու արդեն այն պետք է անցած լինեիր։
վերաբերյալ առաջադրանքների շարքում տիպ 0/0 անորոշությունԿան մի քանիսը, որոնցում անհրաժեշտ է օգտագործել կրճատված բազմապատկման բանաձևեր: Բայց եթե դրանք չգիտեք, ապա բազմանդամը միանդամի վրա բաժանելով կարող եք ստանալ ցանկալի բանաձևը:

Օրինակ 6. Գտեք ֆունկցիայի սահմանը
Lim((x^2-9)/(x-3), x=3):
Լուծում. Մենք ունենք 0/0 տիպի անորոշություն: Համարիչում օգտագործում ենք կրճատված բազմապատկման բանաձևը

և հաշվարկել պահանջվող սահմանը

Անորոշության բացահայտման մեթոդ՝ բազմապատկելով դրա խոնարհումով

Մեթոդը կիրառվում է այն սահմանների նկատմամբ, որոնցում առաջանում է անորոշություն իռացիոնալ գործառույթներ. Հաշվարկի կետում համարիչը կամ հայտարարը դառնում է զրոյի և հայտնի չէ, թե ինչպես կարելի է գտնել սահմանը:

Օրինակ 7. Գտեք ֆունկցիայի սահմանը
Lim((sqrt(x+2)-sqrt(7x-10))/(3x-6), x=2):
Լուծում:Ներկայացնենք փոփոխականը սահմանային բանաձևում

Փոխարինելիս մենք ստանում ենք 0/0 տիպի անորոշություն:
Ըստ սահմանների տեսության՝ այս հատկանիշը շրջանցելու ճանապարհը իռացիոնալ արտահայտությունը իր խոնարհմամբ բազմապատկելն է։ Որպեսզի արտահայտությունը չփոխվի, հայտարարը պետք է բաժանվի նույն արժեքով

Օգտագործելով քառակուսիների տարբերության կանոնը՝ պարզեցնում ենք համարիչը և հաշվում ֆունկցիայի սահմանը

Մենք պարզեցնում ենք սահմանում եզակիություն ստեղծող տերմինները և կատարում փոխարինում

Օրինակ 8. Գտեք ֆունկցիայի սահմանը
Lim((sqrt(x-2)-sqrt(2x-5))/(3-x), x=3):
Լուծում. Ուղղակի փոխարինումը ցույց է տալիս, որ սահմանն ունի 0/0 ձևի եզակիություն:

Ընդլայնվելու համար մենք բազմապատկում և բաժանում ենք համարիչի խոնարհումով

Գրում ենք քառակուսիների տարբերությունը

Մենք պարզեցնում ենք այն տերմինները, որոնք ներկայացնում են եզակիությունը և գտնում ֆունկցիայի սահմանը

Օրինակ 9. Գտեք ֆունկցիայի սահմանը
Lim((x^2+x-6)/(sqrt(3x-2)-2), x=2):
Լուծում. Բանաձևում փոխարինեք երկուսը

Մենք ստանում ենք անորոշություն 0/0.
Հայտարարը պետք է բազմապատկել խոնարհված արտահայտությամբ, իսկ համարիչում քառակուսի հավասարումը պետք է լուծվի կամ գործոնավորվի՝ հաշվի առնելով եզակիությունը։ Քանի որ հայտնի է, որ 2-ը արմատ է, մենք գտնում ենք երկրորդ արմատը՝ օգտագործելով Վիետայի թեորեմը

Այսպիսով, մենք գրում ենք համարիչը ձևով

և այն փոխարինիր սահմանի մեջ

Քառակուսիների տարբերությունը կրճատելով՝ մենք ազատվում ենք համարիչի և հայտարարի եզակիություններից.

Այսպիսով, դուք կարող եք ազատվել եզակիություններից բազմաթիվ օրինակներում, և կիրառումը պետք է նշել այնտեղ, որտեղ արմատների տվյալ տարբերությունը փոխարինման ժամանակ վերածվում է զրոյի։ Այլ տեսակի սահմանափակումները վերաբերում են էքսպոնենցիալ ֆունկցիաներ, անվերջ փոքր ֆունկցիաներ, լոգարիթմներ, հատուկ սահմաններ և այլ տեխնիկա։ Բայց դուք կարող եք կարդալ այս մասին սահմանների մասին ստորև թվարկված հոդվածներում:

Սահմանների տեսությունը մաթեմատիկական վերլուծության ճյուղերից է։ Սահմանների լուծման հարցը բավականին ընդարձակ է, քանի որ կան տարբեր տեսակի սահմաններ լուծելու տասնյակ մեթոդներ: Կան տասնյակ նրբերանգներ ու հնարքներ, որոնք թույլ են տալիս լուծել այս կամ այն ​​սահմանը։ Այնուամենայնիվ, մենք դեռ կփորձենք հասկանալ սահմանների հիմնական տեսակները, որոնք առավել հաճախ հանդիպում են գործնականում:

Սկսենք հենց սահմանի հասկացությունից: Բայց նախ կարճ պատմական նախապատմություն. 19-րդ դարում ապրում էր մի ֆրանսիացի՝ Օգուստին Լուի Կոշին, ով խիստ սահմանումներ տվեց մատանի հասկացություններից շատերին և դրեց դրա հիմքերը։ Պետք է ասել, որ այս հարգված մաթեմատիկոսը եղել է, կա և կլինի ֆիզիկայի և մաթեմատիկայի բաժինների բոլոր ուսանողների մղձավանջներում, քանի որ նա ապացուցեց մաթեմատիկական անալիզի հսկայական թվով թեորեմներ, և մի թեորեմն ավելի մահացու է, քան մյուսը։ Այս առումով մենք դեռ չենք դիտարկի Քոշիի սահմանի որոշում, բայց եկեք փորձենք անել երկու բան.

1. Հասկացեք, թե ինչ է սահմանը:
2. Սովորեք լուծել սահմանների հիմնական տեսակները:

Ներողություն եմ խնդրում որոշ հակագիտական ​​բացատրությունների համար, կարևոր է, որ նյութը հասկանալի լինի նույնիսկ թեյնիկին, ինչը, ըստ էության, նախագծի խնդիրն է։

Այսպիսով, ո՞րն է սահմանը:

Եվ ընդամենը մի օրինակ, թե ինչու պետք է խեղճ տատիկին…

Ցանկացած սահմանափակում բաղկացած է երեք մասից:

1) Սահմանի հայտնի պատկերակը:
2) Սահմանի պատկերակի տակ գտնվող գրառումները, այս դեպքում: Մուտքում գրված է «X-ը հակված է մեկին»: Ամենից հաճախ `ճիշտ, չնայած «X»-ի փոխարեն գործնականում կան այլ փոփոխականներ: Գործնական առաջադրանքներում մեկի տեղը կարող է լինել բացարձակապես ցանկացած թիվ, ինչպես նաև անսահմանություն ():
3) Գործառույթները սահմանային նշանի ներքո, այս դեպքում.

Ձայնագրությունն ինքնին կարդում է այսպես. «գործառույթի սահմանը, քանի որ x-ը ձգտում է միասնության»։

Դիտարկենք հաջորդ կարևոր հարցը՝ ի՞նչ է նշանակում «x» արտահայտությունը: ձգտում էմեկին»? Իսկ ի՞նչ է նույնիսկ նշանակում «ձգտել»։
Սահմանի հասկացությունը հասկացություն է, այսպես ասած, դինամիկ. Կառուցենք հաջորդականություն՝ սկզբում, հետո, ,…, , ….
Այսինքն՝ «x ձգտում էմեկին» պետք է հասկանալ հետևյալ կերպ. «x»-ը հետևողականորեն ընդունում է արժեքները որոնք մոտենում են միասնությանը անսահմանորեն մոտ և գործնականում համընկնում են դրան.

Ինչպե՞ս լուծել վերը նշված օրինակը: Ելնելով վերը նշվածից, դուք պարզապես պետք է մեկը փոխարինեք սահմանային նշանի տակ գտնվող ֆունկցիայի մեջ.

Այսպիսով, առաջին կանոնը. Երբ տրվում է որևէ սահմանափակում, նախ մենք պարզապես փորձում ենք համարը միացնել ֆունկցիային.

Մենք դիտարկել ենք ամենապարզ սահմանը, բայց դրանք նույնպես տեղի են ունենում գործնականում, և ոչ այնքան հազվադեպ:

Օրինակ անսահմանության հետ.

Եկեք պարզենք, թե ինչ է դա: Սա այն դեպքն է, երբ այն մեծանում է առանց սահմանի, այսինքն՝ նախ, հետո, հետո, հետո և այլն անվերջ։

Ի՞նչ է տեղի ունենում ֆունկցիայի հետ այս պահին:
, , , …

Այսպիսով, եթե , ապա ֆունկցիան հակված է մինուս անսահմանությանը:

Կոպիտ ասած, մեր առաջին կանոնի համաձայն, «X»-ի փոխարեն մենք անսահմանությունը փոխարինում ենք ֆունկցիայի մեջ և ստանում պատասխանը։

Մեկ այլ օրինակ անսահմանության հետ.

Կրկին սկսում ենք աճել մինչև անսահմանություն և դիտել ֆունկցիայի վարքագիծը.

Եզրակացություն․ երբ ֆունկցիան մեծանում է առանց սահմանի:

Եվ ևս մեկ օրինակների շարք.

Խնդրում ենք, փորձեք մտավոր վերլուծել հետևյալը ինքներդ ձեզ համար և հիշեք սահմանների ամենապարզ տեսակները.

, , , , , , , , ,
Եթե ​​կասկածներ ունեք, կարող եք վերցնել հաշվիչը և մի փոքր պարապել։
Այն դեպքում, երբ փորձեք կառուցել հաջորդականությունը , , . Եթե ​​, ապա , , .

! ՆշումԽիստ ասած՝ մի քանի թվերի հաջորդականություն կառուցելու այս մոտեցումը ճիշտ չէ, բայց ամենապարզ օրինակները հասկանալու համար այն բավականին հարմար է։

Ուշադրություն դարձրեք նաև հետևյալին. Նույնիսկ եթե սահմանը տրված է մեծ թվով վերևում, կամ նույնիսկ միլիոնով, ապա միեւնույն է. , քանի որ վաղ թե ուշ «X»-ը կսկսի այնպիսի հսկա արժեքներ ընդունել, որ մեկ միլիոնը իրական միկրոբ կլինի:

Ի՞նչ է պետք հիշել և հասկանալ վերը նշվածից:

1) Երբ տրվում է որևէ սահմանափակում, նախ մենք պարզապես փորձում ենք թիվը փոխարինել ֆունկցիայի մեջ:

2) Դուք պետք է հասկանաք և անմիջապես լուծեք ամենապարզ սահմանները, ինչպիսիք են .

Ավելին, սահմանը շատ լավ երկրաչափական նշանակություն ունի։ Թեման ավելի լավ հասկանալու համար խորհուրդ եմ տալիս կարդալ մեթոդական նյութ Տարրական ֆունկցիաների գրաֆիկները և հատկությունները. Այս հոդվածը կարդալուց հետո ոչ միայն վերջապես կհասկանաք, թե ինչ է սահմանը, այլև կծանոթանաք հետաքրքիր դեպքերին, երբ ընդհանրապես ֆունկցիայի սահմանաչափը. գոյություն չունի!

Գործնականում, ցավոք, նվերները քիչ են։ Եվ, հետևաբար, մենք անցնում ենք ավելի բարդ սահմաններ դիտարկելուն: Ի դեպ, այս թեմայում կա ինտենսիվ դասընթաց pdf ձևաչափով, որը հատկապես օգտակար է, եթե պատրաստվելու համար ՇԱՏ քիչ ժամանակ ունեք։ Բայց կայքի նյութերը, իհարկե, ավելի վատ չեն.

Այժմ մենք կդիտարկենք սահմանների խումբը, երբ , և ֆունկցիան կոտորակ է, որի համարիչը և հայտարարը պարունակում են բազմանդամներ

Օրինակ՝

Հաշվարկել սահմանաչափը

Մեր կանոնի համաձայն՝ մենք կփորձենք անսահմանությունը փոխարինել ֆունկցիայի մեջ։ Ի՞նչ ենք մենք ստանում վերևում: Անսահմանություն. Իսկ ի՞նչ է կատարվում ստորև։ Նաև անսահմանություն։ Այսպիսով, մենք ունենք այն, ինչ կոչվում է տեսակների անորոշություն: Կարելի է մտածել, որ, և պատասխանը պատրաստ է, բայց ընդհանուր դեպքՍա ամենևին էլ այդպես չէ, և դուք պետք է կիրառեք ինչ-որ լուծում, որը մենք հիմա կքննարկենք:

Ինչպե՞ս լուծել այս տեսակի սահմանները:

Սկզբում մենք նայում ենք համարիչին և գտնում ենք ամենաբարձր հզորությունը.

Համարիչում առաջատար ուժը երկուսն է։

Այժմ մենք նայում ենք հայտարարին և նաև գտնում ենք այն ամենաբարձր հզորությամբ.

Հայտարարի ամենաբարձր աստիճանը երկուսն է:

Այնուհետև ընտրում ենք համարիչի և հայտարարի ամենաբարձր հզորությունը՝ in այս օրինակումդրանք համընկնում են և հավասար են երկուսի։

Այսպիսով, լուծման մեթոդը հետևյալն է՝ անորոշությունը բացահայտելու համար անհրաժեշտ է համարիչը և հայտարարը բաժանել ամենաբարձր հզորության վրա։

Ահա, պատասխանը, և ամենևին էլ ոչ անսահմանություն։

Ի՞նչն է սկզբունքորեն կարևոր որոշման ձևավորման մեջ:

Նախ, մենք նշում ենք անորոշությունը, եթե այդպիսիք կան:

Երկրորդ, նպատակահարմար է ընդհատել լուծումը միջանկյալ բացատրությունների համար: Ես սովորաբար օգտագործում եմ նշանը, այն ոչ մի մաթեմատիկական իմաստ չունի, այլ նշանակում է, որ լուծումն ընդհատվում է միջանկյալ բացատրության համար։

Երրորդ, սահմանի մեջ նպատակահարմար է նշել, թե ուր է գնում: Երբ աշխատանքը կազմվում է ձեռքով, ավելի հարմար է դա անել այսպես.

Նշումների համար ավելի լավ է օգտագործել պարզ մատիտ։

Իհարկե, դուք չպետք է անեք սրանից որևէ մեկը, բայց հետո, հավանաբար, ուսուցիչը մատնանշի լուծման թերությունները կամ կսկսի հարցնել. լրացուցիչ հարցերհանձնարարությամբ։ Ձեզ դա պե՞տք է։

Օրինակ 2

Գտեք սահմանը
Կրկին համարիչում և հայտարարում մենք գտնում ենք ամենաբարձր աստիճանում.

Համարիչի առավելագույն աստիճանը՝ 3
Առավելագույն աստիճանը հայտարարում` 4
Ընտրեք մեծագույնարժեքը, այս դեպքում չորս.
Մեր ալգորիթմի համաձայն՝ անորոշությունը բացահայտելու համար համարիչն ու հայտարարը բաժանում ենք .
Ամբողջական գրանցումառաջադրանքները կարող են այսպիսի տեսք ունենալ.

Բաժանի՛ր համարիչն ու հայտարարը

Օրինակ 3

Գտեք սահմանը
«X»-ի առավելագույն աստիճանը համարիչում՝ 2
«X»-ի առավելագույն աստիճանը հայտարարում՝ 1 (կարելի է գրել որպես)
Անորոշությունը բացահայտելու համար անհրաժեշտ է համարիչը և հայտարարը բաժանել . Վերջնական լուծումը կարող է այսպիսի տեսք ունենալ.

Բաժանի՛ր համարիչն ու հայտարարը

Նշումը նշանակում է ոչ թե բաժանում զրոյի (չես կարող բաժանել զրոյի), այլ բաժանում անվերջ փոքր թվով։

Այսպիսով, բացահայտելով տեսակների անորոշությունը, մենք կարող ենք դա անել վերջնական համարը, զրո կամ անսահմանություն։

Սահմանափակումներ՝ դրանց լուծման տեսակի և մեթոդի անորոշությամբ

Սահմանների հաջորդ խումբը որոշ չափով նման է նոր դիտարկված սահմաններին. համարիչն ու հայտարարը պարունակում են բազմանդամներ, բայց «x»-ն այլևս հակված չէ դեպի անվերջություն, այլ վերջավոր թիվ.

Օրինակ 4

Լուծել սահմանը
Նախ փորձենք -1-ը փոխարինել կոտորակի մեջ.

Այս դեպքում ստացվում է այսպես կոչված անորոշություն։

Ընդհանուր կանոն Եթե ​​համարիչը և հայտարարը պարունակում են բազմանդամներ, և առկա է ձևի անորոշություն, ապա բացահայտել այն պետք է հաշվի առնել համարիչը և հայտարարը.

Դա անելու համար ամենից հաճախ անհրաժեշտ է լուծել քառակուսի հավասարում և/կամ օգտագործել կրճատված բազմապատկման բանաձևեր: Եթե ​​այս բաները մոռացվել են, ապա այցելեք էջը Մաթեմատիկական բանաձևեր և աղյուսակներև կարդալ ուսումնական նյութը Թեժ բանաձեւեր դպրոցական դասընթացմաթեմատիկոսներ. Ի դեպ, ավելի լավ է տպել այն շատ հաճախ, և տեղեկատվությունը ավելի լավ է ներծծվում թղթից:

Այսպիսով, եկեք լուծենք մեր սահմանը

Գործոնավորեք համարիչը և հայտարարը

Համարիչը գործոնավորելու համար հարկավոր է լուծել քառակուսի հավասարումը.

Նախ մենք գտնում ենք տարբերակիչ.

Եվ դրա քառակուսի արմատը.

Եթե ​​դիսկրիմինանտը մեծ է, օրինակ 361, մենք օգտագործում ենք հաշվիչը՝ արդյունահանման ֆունկցիան քառակուսի արմատհասանելի է ամենապարզ հաշվիչով:

! Եթե ​​արմատը ամբողջությամբ չի հանվում (պարզվում է կոտորակային թիվստորակետով), շատ հավանական է, որ խտրականը սխալ է հաշվարկվել կամ առաջադրանքի մեջ տառասխալ է եղել։

Հաջորդը մենք գտնում ենք արմատները.

Այսպիսով.

Բոլորը. Համարիչը գործոնացված է:

Հայտարար. Հայտարարն արդեն ամենապարզ գործոնն է, և այն պարզեցնելու տարբերակ չկա։

Ակնհայտ է, որ այն կարող է կրճատվել հետևյալով.

Այժմ մենք փոխարինում ենք -1 արտահայտության մեջ, որը մնում է սահմանային նշանի տակ.

Բնականաբար, ներս թեստային աշխատանք, թեստի կամ քննության ժամանակ լուծումը երբեք այդքան մանրամասն դուրս չի գրվում։ Վերջնական տարբերակում դիզայնը պետք է նման լինի.

Եկեք ֆակտորիզացնենք համարիչը։

Օրինակ 5

Հաշվարկել սահմանաչափը

Նախ, լուծման «վերջնական» տարբերակը

Գործոնավորենք համարիչն ու հայտարարը։

Համարիչ:
Հայտարար:



,

Ի՞նչն է կարևոր այս օրինակում:
Նախ, դուք պետք է լավ հասկանաք, թե ինչպես է բացահայտվում համարիչը, նախ փակագծերից հանեցինք 2-ը, այնուհետև օգտագործեցինք քառակուսիների տարբերության բանաձևը։ Սա այն բանաձևն է, որը դուք պետք է իմանաք և տեսնեք:

Առաջարկություն: Եթե ​​լիմիտի մեջ (գրեթե ցանկացած տեսակի) հնարավոր է փակագծերից հանել թիվը, ապա մենք միշտ դա անում ենք։
Ավելին, նման թվերը նպատակահարմար է տեղափոխել սահմանաչափի պատկերակը. Ինչի՞ համար։ Այո, հենց այնպես, որ նրանք չխանգարեն: Գլխավորն այն է, որ այս թվերը հետագայում չկորցնեն լուծման ժամանակ։

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ լուծման վերջնական փուլում ես երկուսը հանեցի սահմանաչափի պատկերակը, իսկ հետո մինուսը:

! Կարևոր
Լուծման ժամանակ տիպի բեկորը շատ հաճախ է առաջանում։ Կրճատել այս մասնաբաժինըդա արգելված է . Նախ պետք է փոխել համարիչի կամ հայտարարի նշանը (փակագծերից դուրս դնել -1):
, այսինքն՝ հայտնվում է մինուս նշան, որը հաշվի է առնվում սահմանաչափը հաշվարկելիս եւ ընդհանրապես կորցնելու կարիք չկա։

Ընդհանուր առմամբ, ես նկատեցի, որ ամենից հաճախ այս տեսակի սահմաններ գտնելիս պետք է լուծել երկուսը քառակուսի հավասարումներ, այսինքն՝ և՛ համարիչը, և՛ հայտարարը պարունակում են քառակուսի եռանկյուններ։

Համարը և հայտարարը խոնարհված արտահայտությամբ բազմապատկելու մեթոդ

Մենք շարունակում ենք դիտարկել ձևի անորոշությունը

Սահմանների հաջորդ տեսակը նման է նախորդ տեսակին: Միակ բանը, բացի բազմանդամներից, արմատներ կավելացնենք։

Օրինակ 6

Գտեք սահմանը

Եկեք սկսենք որոշել.

Սկզբում մենք փորձում ենք 3-ը փոխարինել սահմանային նշանի տակ գտնվող արտահայտության մեջ
Կրկնում եմ ևս մեկ անգամ՝ սա առաջին բանն է, որ դուք պետք է անեք ՑԱՆԿԱՑԱԾ սահմանի համար. Այս գործողությունը սովորաբար իրականացվում է մտավոր կամ նախագծային ձևով:

Ձևի անորոշություն է ձեռք բերվել, որը պետք է վերացվի:

Ինչպես հավանաբար նկատել եք, մեր համարիչը պարունակում է արմատների տարբերությունը։ Իսկ մաթեմատիկայի մեջ ընդունված է հնարավորության դեպքում ազատվել արմատներից։ Ինչի՞ համար։ Եվ կյանքն ավելի հեշտ է առանց նրանց:

Հերթականությունների և ֆունկցիաների սահմանների հասկացությունները: Երբ անհրաժեշտ է գտնել հաջորդականության սահմանը, այն գրվում է հետևյալ կերպ. lim xn=a: Հերթականությունների նման հաջորդականության մեջ xn-ը հակված է a-ին, իսկ n-ը՝ դեպի անսահմանություն: Հերթականությունը սովորաբար ներկայացված է որպես շարք, օրինակ.
x1, x2, x3...,xm,...,xn... .
Հերթականությունները բաժանվում են աճող և նվազող: Օրինակ.
xn=n^2 - աճող հաջորդականություն
yn=1/n - հաջորդականություն
Այսպիսով, օրինակ, xn=1/n^ հաջորդականության սահմանը:
lim 1/n^2=0

x→∞
Այս սահմանը հավասար է զրոյի, քանի որ n→∞, իսկ 1/n^2 հաջորդականությունը ձգտում է զրոյի։

Սովորաբար, փոփոխական x մեծությունը ձգտում է a վերջավոր սահմանին, և x-ն անընդհատ մոտենում է a-ին, իսկ a մեծությունը հաստատուն է: Սա գրված է հետևյալ կերպ. limx =a, մինչդեռ n-ը կարող է նաև ձգվել դեպի զրոյի կամ անսահմանության: Կան անսահման ֆունկցիաներ, որոնց համար սահմանը ձգտում է դեպի անսահմանություն։ Այլ դեպքերում, երբ, օրինակ, ֆունկցիան դանդաղեցնում է գնացքը, սահմանը ձգտում է զրոյի:
Սահմանափակումները ունեն մի շարք հատկություններ. Որպես կանոն, ցանկացած գործառույթ ունի միայն մեկ սահմանափակում. Սա սահմանաչափի հիմնական հատկությունն է։ Մյուսները թվարկված են ստորև.
* Գումարի սահմանաչափը հավասար է սահմանաչափերի գումարին.
lim(x+y)=lim x+lim y
* Արտադրանքի սահմանաչափը հավասար է սահմանների արտադրյալին.
lim(xy)=lim x*lim y
* Քվեաթերթիկի սահմանը հավասար է սահմանների քանորդին.
lim(x/y)=lim x/lim y
* Հաստատուն գործոնը վերցված է սահմանային նշանից դուրս.
lim(Cx)=C lim x
Տրվում է 1 /x ֆունկցիա, որում x →∞, դրա սահմանը զրո է: Եթե ​​x→0, ապա նման ֆունկցիայի սահմանը ∞ է։
Համար եռանկյունաչափական ֆունկցիաներայս կանոններից են: Որովհետև մեղքի գործառույթը x միշտ հակված է միասնության, երբ մոտենում է զրոյին, նույնականությունը պահպանվում է դրա համար.
lim sin x/x=1

Մի շարք գործառույթներում կան գործառույթներ, որոնց սահմանները հաշվարկելիս առաջանում է անորոշություն՝ իրավիճակ, որի դեպքում սահմանը հնարավոր չէ հաշվարկել։ Այս իրավիճակից միակ ելքը L'Hopital-ն է: Անորոշության երկու տեսակ կա.
* 0/0 ձևի անորոշություն
* ∞/∞ ձևի անորոշություն
Օրինակ՝ տրված է հետևյալ ձևի սահմանը՝ lim f(x)/l(x), և f(x0)=l(x0)=0: Այս դեպքում առաջանում է 0/0 ձևի անորոշություն։ Նման խնդիր լուծելու համար երկու ֆունկցիաներն էլ տարբերվում են, որից հետո հայտնաբերվում է արդյունքի սահմանը։ 0/0 տիպի անորոշությունների համար սահմանը հետևյալն է.
lim f(x)/l(x)=lim f"(x)/l"(x) (at x→0)
Նույն կանոնը ճիշտ է նաև ∞/∞ տիպի անորոշությունների դեպքում: Բայց այս դեպքում ճիշտ է հետևյալ հավասարությունը՝ f(x)=l(x)=∞
Օգտագործելով L'Hopital-ի կանոնը, դուք կարող եք գտնել ցանկացած սահմանների արժեքները, որոնցում հայտնվում են անորոշություններ: Նախապայման է

ծավալը - ածանցյալներ գտնելիս սխալներ չկան: Այսպիսով, օրինակ, (x^2)" ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է 2x-ի: Այստեղից կարող ենք եզրակացնել, որ.
f"(x)=nx^(n-1)