Da bi se pronašla prosječna vrijednost u Excelu (nije bitna brojčana, tekstualna, postotna ili druga vrijednost) postoji mnogo funkcija. I svaki od njih ima svoje osobine i prednosti. Doista, u ovom zadatku mogu se postaviti određeni uvjeti.

Na primjer, prosječne vrijednosti niza brojeva u Excelu izračunavaju se pomoću statističkih funkcija. Također možete ručno unijeti vlastitu formulu. Razmotrimo razne mogućnosti.

Kako pronaći aritmetičku sredinu brojeva?

Da biste pronašli aritmetičku sredinu, dodajte sve brojeve u skupu i zbroj podijelite s brojem. Na primjer, ocjene učenika iz računarstva: 3, 4, 3, 5, 5. Što prelazi četvrtinu: 4. Pronašli smo aritmetičku sredinu po formuli: \u003d (3 + 4 + 3 + 5 + 5) / 5.

Kako to brzo učiniti s Excel funkcijama? Uzmimo, na primjer, niz slučajnih brojeva u nizu:

Ili: aktivirajte ćeliju i jednostavno ručno unesite formulu: \u003d PROSJEČNO (A1: A8).

Sada da vidimo što još AVERAGE funkcija može učiniti.

Pronađite aritmetičku sredinu prva dva i zadnja tri broja. Formula: \u003d PROSJEČNA (A1: B1; F1: H1). Proizlaziti:

Prosjek prema stanju

Uvjet za pronalaženje aritmetičke sredine može biti numerički kriterij ili tekst. Upotrijebit ćemo funkciju: \u003d AVERAGEIF ().

Naći aritmetičku sredinu brojeva većih ili jednakih 10.

Funkcija: \u003d AVERAGEIF (A1: A8, "\u003e \u003d 10")

Treći argument - "Raspon prosjeka" - izostavljen je. Prvo, nije potrebno. Drugo, raspon koji analizira program sadrži SAMO numeričke vrijednosti. Ćelije navedene u prvom argumentu pretraživat će se prema stanju navedenom u drugom argumentu.

Pažnja! Kriteriji pretraživanja mogu se odrediti u ćeliji. I u formuli navedite vezu do nje.

Pronađimo prosječnu vrijednost brojeva prema kriteriju teksta. Na primjer, prosječna prodaja proizvoda "stolovi".

Funkcija će izgledati ovako: \u003d AVERAGEIF ($ A $ 2: $ A $ 12; A7; $ B $ 2: $ B $ 12). Raspon - stupac s nazivima proizvoda. Kriterij pretraživanja je veza do ćelije s riječju "tablice" (možete umjesto riječi A7 umetnuti samu riječ "tablice"). Raspon prosjeka - one ćelije iz kojih će se uzimati podaci za izračunavanje prosjeka.

Kao rezultat izračuna funkcije dobivamo sljedeću vrijednost:

Pažnja! Za tekstualni kriterij (uvjet) mora se navesti raspon prosjeka.

Kako izračunati ponderiranu prosječnu cijenu u Excelu?

Kako smo znali ponderiranu prosječnu cijenu?

Formula: \u003d SUMPRODUCT (C2: C12; B2: B12) / SUM (C2: C12).

Pomoću formule SUMPRODUCT doznajemo ukupan prihod nakon prodaje cjelokupne količine robe. A funkcija SUM - zbraja količinu robe. Dijeljenjem ukupnog prihoda od prodaje proizvoda s ukupnim brojem jedinica proizvoda pronašli smo ponderiranu prosječnu cijenu. Ovaj pokazatelj uzima u obzir "težinu" svake cijene. Njegov udio u ukupnoj masi vrijednosti.

Standardno odstupanje: formula u Excelu

Razlikovati između standardne devijacije za opću populaciju i za uzorak. U prvom je slučaju korijen opće varijance. U drugom, iz varijance uzorka.

Da bi se izračunala ova statistika, sastavlja se formula varijance. Iz njega se vadi korijen. Ali Excel ima gotovu funkciju za pronalaženje standardne devijacije.

Standardno odstupanje vezano je uz mjerilo izvornih podataka. To nije dovoljno za figurativni prikaz varijacije analiziranog raspona. Koeficijent varijacije izračunava se da bi se dobila relativna razina varijance podataka:

standardna devijacija / aritmetička sredina

Formula u Excelu izgleda ovako:

STDEVP (raspon vrijednosti) / PROSJEK (raspon vrijednosti).

Koeficijent varijacije izračunava se kao postotak. Stoga postavljamo format postotka u ćeliji.

U matematici i statistici prosječno aritmetika (ili lako prosječno) skupa brojeva je zbroj svih brojeva u ovom skupu podijeljen s njihovim brojem. Aritmetička sredina posebno je univerzalni i najčešći prikaz prosjeka.

Trebat će vam

• Poznavanje matematike.

Upute

1. Neka je zadan skup od četiri broja. Treba otkriti prosječno vrijednost ovaj komplet. Da bismo to učinili, prvo pronađemo zbroj svih tih brojeva. Ti su brojevi mogući 1, 3, 8, 7. Njihov zbroj jednak je S \u003d 1 + 3 + 8 + 7 \u003d 19. Skup brojeva mora se sastojati od brojeva istog znaka, inače smisao izračunavanja prosječne vrijednosti izgubljeno.

2. Prosječno vrijednost skup brojeva jednak je zbroju brojeva S podijeljenom s brojem tih brojeva. Odnosno, ispada da prosječno vrijednost jednako: 19/4 \u003d 4,75.

3. Za set je također dopušteno otkrivanje ne samo prosječno aritmetika, ali također prosječno geometrijski. Geometrijska sredina nekoliko pravilnih realnih brojeva takav je broj koji smije zamijeniti bilo koji od ovih brojeva tako da se njihov proizvod ne mijenja. Geometrijska sredina G nalazi se po formuli: korijen N-og stupnja iz umnoška skupa brojeva, gdje je N broj brojeva u skupu. Pogledajmo isti skup brojeva: 1, 3, 8, 7. Nađi ih prosječno geometrijski. Da biste to učinili, izračunajte proizvod: 1 * 3 * 8 * 7 \u003d 168. Sada iz broja 168 trebate izvući korijen 4. stupnja: G \u003d (168) ^ 1/4 \u003d 3.61. Tako prosječno geometrijski skup brojeva je 3,61.

Prosječno ukupni geometrijski koristi se rjeđe od aritmetičke sredine, međutim može biti koristan pri izračunavanju prosječne vrijednosti pokazatelja koji se mijenjaju tijekom vremena (plaća pojedinog zaposlenika, dinamika pokazatelja uspješnosti itd.).

Trebat će vam

• Inženjerski kalkulator

Upute

1. Da biste pronašli geometrijsku sredinu niza brojeva, prvo morate pomnožiti sve ove brojeve. Recimo da ste dobili skup od pet pokazatelja: 12, 3, 6, 9 i 4. Pomnožimo sve ove brojeve: 12x3x6x9x4 \u003d 7776.

2. Sada je iz rezultirajućeg broja potrebno izvući korijen stupnja jednak broju elemenata niza. U našem slučaju, iz broja 7776, trebat ćete izvući peti korijen pomoću inženjerskog kalkulatora. Broj dobiven nakon ove operacije - u ovom slučaju broj 6 - bit će geometrijska sredina za početnu skupinu brojeva.

3. Ako nemate pri ruci inženjerski kalkulator, tada možete izračunati geometrijsku sredinu niza brojeva uz podršku funkcije SRGEOM u Excelu ili pomoću jednog od mrežnih kalkulatora, namjerno pripremljenih za izračunavanje geometrijskih srednjih vrijednosti.

Bilješka!
Ako trebate pronaći geometrijsku sredinu svakog od 2 broja, tada vam ne treba inženjerski kalkulator: iz bilo kojeg broja možete izvući korijen 2. stupnja (kvadratni korijen) pomoću najobičnijeg kalkulatora.

Koristan savjet
Za razliku od aritmetičke sredine, na geometrijsku sredinu ne utječu tako velika odstupanja i kolebanja između pojedinih vrijednosti u proučavanom skupu pokazatelja.

Prosječno značenje je jedno od uspoređivanja skupa brojeva. Predstavlja broj koji ne može biti izvan raspona definiranog najvećom i najmanjom vrijednošću u ovom skupu brojeva. Prosječno aritmetičko značenje je posebno često korištena vrsta sredstava.

Upute

1. Zbrojite sve brojeve u skupu i podijelite s brojem pojmova da biste dobili aritmetičku sredinu. Ponekad je lakše podijeliti svaki broj s brojem vrijednosti u skupu i zbrojiti zbroj, ovisno o određenim uvjetima izračuna.

2. Recimo, upotrijebite Windows kalkulator ako izračunavanje aritmetičke sredine u vašoj glavi nije izvedivo. Dopušteno ga je otvoriti uz podršku dijaloškog okvira za pokretanje programa. Da biste to učinili, pritisnite "vruće tipke" WIN + R ili kliknite gumb "Start" i odaberite naredbu "Pokreni" u glavnom izborniku. Zatim unesite calc u polje za unos i pritisnite Enter na tipkovnici ili kliknite gumb "OK". Isto se može učiniti kroz glavni izbornik - otvorite ga, idite na odjeljak "Svi programi" i na segmente "Tipični" i odaberite redak "Kalkulator".

3. Unesite sve brojeve u set postupno pritiskom na tipku "Plus" na tipkovnici kasnije od svih (osim posljednjeg) ili klikom na odgovarajući gumb u sučelju kalkulatora. Unos brojeva također je dopušten s tipkovnice i klikom na odgovarajuće gumbe sučelja.

4. Pritisnite tipku kosa crta naprijed (kosa crta) ili kliknite ovu ikonu u sučelju kalkulatora nakon unosa posljednje vrijednosti skupa i unesite broj brojeva u nizu. Zatim pritisnite znak jednakosti i kalkulator će izračunati i prikazati aritmetičku sredinu.

5. U istu svrhu dopušteno je koristiti uređivač proračunskih tablica Microsoft Excel. U tom slučaju pokrenite uređivač i unesite sve vrijednosti niza brojeva u susjedne ćelije. Ako nakon unosa cijelog broja pritisnete Enter ili tipku sa strelicom prema dolje ili udesno, tada će uređivač sam pomaknuti fokus unosa u susjednu ćeliju.

6. Odaberite sve unesene vrijednosti i u donjem lijevom kutu prozora uređivača (na statusnoj traci) vidjet ćete aritmetičku srednju vrijednost za odabrane ćelije.

7. Kliknite sljedeću ćeliju nakon zadnjeg unesenog broja ako niste zadovoljni samo time što vidite aritmetičku sredinu. Proširite padajući popis grčkim slovom sigma (Σ) u grupi naredbi "Uredi" na kartici "Glavna". Odaberite redak “ Prosječno »A urednik će u odabranu ćeliju umetnuti potrebnu formulu za izračunavanje aritmetičke sredine. Pritisnite Enter i vrijednost će se izračunati.

Aritmetička sredina jedna je od mjera središnje sklonosti koja se široko koristi u matematici i statističkim proračunima. Vrlo je lako pronaći aritmetičku sredinu za nekoliko vrijednosti, ali svaki zadatak ima svoje nijanse, koje morate primitivno znati da biste izvršili ispravne izračune.

Što je aritmetička sredina

Aritmetička sredina određuje prosječnu vrijednost za svaki početni niz brojeva. Drugim riječima, iz određenog skupa brojeva odabire se vrijednost koja je univerzalna za sve elemente, čija je matematička usporedba sa svim elementima približno jednaka. Aritmetička sredina poželjno se koristi u pripremi financijskih i statističkih izvještaja ili za izračunavanje kvantitativnih rezultata provedenih sličnih vještina.

Kako pronaći aritmetičku sredinu

Pronalaženje aritmetičke sredine za niz brojeva trebalo bi započeti određivanjem algebarske sume tih vrijednosti. Na primjer, ako niz sadrži brojeve 23, 43, 10, 74 i 34, tada će njihov algebarski zbroj biti 184. Pri pisanju aritmetička sredina označena je slovom? (mu) ili x (x s trakom). Dalje, algebarski zbroj treba podijeliti s brojem brojeva u polju. U razmatranom primjeru bilo je pet brojeva, tako da će aritmetička sredina biti 184/5 i bit će 36,8.

Značajke rada s negativnim brojevima

Ako niz sadrži negativne brojeve, tada se aritmetička sredina pronalazi pomoću sličnog algoritma. Razlika je samo kod izračunavanja u programskom okruženju ili ako u zadatku postoje dodatni podaci. U tim se slučajevima pronalazak aritmetičke sredine brojeva s različitim predznacima svodi na tri koraka: 1. Pronalaženje opće aritmetičke sredine na standardni način; 2. Pronalaženje aritmetičke sredine negativnih brojeva.3. Izračun aritmetičke sredine pozitivnih brojeva. Rezultati svake radnje zapisuju se zarezima.

Prirodni i decimalni razlomci

Ako je niz brojeva predstavljen decimalnim razlomcima, rješenje se izvodi metodom izračuna aritmetičke sredine cijelih brojeva, ali se zbroj smanjuje prema zahtjevima zadatka za točnost rezultata. Pri radu s prirodnim razlomcima , treba ih svesti na zajednički nazivnik, onaj koji se pomnoži s brojem brojeva u polju. Brojilac rezultata bit će zbroj zadanih brojitelja početnih frakcijskih elemenata.

Geometrijska sredina brojeva ne ovisi samo o apsolutnoj vrijednosti samih brojeva, već i o njihovom broju. Nemoguće je pomiješati geometrijsku i aritmetičku sredinu brojeva, jer se oni nalaze prema različitim metodologijama. Štoviše, geometrijska sredina je uvijek manja ili jednaka aritmetičkoj sredini.

Trebat će vam

• Inženjerski kalkulator.

Upute

1. Uzmite u obzir da se općenito geometrijska sredina brojeva pronalazi množenjem tih brojeva i izvlačenjem iz njih korijena potencije koja odgovara broju brojeva. Na primjer, ako trebate pronaći geometrijsku sredinu pet brojeva, tada će biti potrebno izvući peti korijen iz proizvoda.

2. Da biste pronašli geometrijsku sredinu 2 broja, upotrijebite osnovno pravilo. Pronađite njihov proizvod, a zatim iz njega izvucite kvadratni korijen iz činjenice da je broj dva, što odgovara stupnju korijena. Na primjer, kako bismo pronašli geometrijsku sredinu brojeva 16 i 4, pronađite njihov umnožak 16 4 \u003d 64. Iz dobivenog broja izvucite kvadratni korijen? 64 \u003d 8. To će biti željena vrijednost. Napominjemo da je aritmetička sredina ova dva broja veća i jednaka 10. Ako korijen nije u potpunosti izvađen, zaokružite zbroj na potreban redoslijed.

3. Da biste pronašli geometrijsku sredinu više od 2 broja, također upotrijebite osnovno pravilo. Da biste to učinili, pronađite umnožak svih brojeva za koje trebate pronaći geometrijsku sredinu. Iz dobivenog proizvoda izvucite korijen potencije jednak broju brojeva. Na primjer, da biste pronašli geometrijsku sredinu brojeva 2, 4 i 64, pronađite njihov proizvod. 2 4 64 \u003d 512. Iz činjenice da je potrebno pronaći zbroj geometrijske sredine 3 broja, iz proizvoda izvucite korijen trećeg stupnja. Teško je to učiniti usmenim putem, pa upotrijebite inženjerski kalkulator. Da biste to učinili, ima gumb "x ^ y". Birajte broj 512, pritisnite gumb "x ^ y", a zatim birajte broj 3 i pritisnite gumb "1 / x", da biste pronašli vrijednost 1/3, pritisnite gumb "\u003d". Dobivamo rezultat povišenja 512 na stepen 1/3, što odgovara korijenu trećeg stepena. Dobiti 512 ^ 1/3 \u003d 8. Ovo je geometrijska sredina brojeva 2.4 i 64.

4. Uz podršku inženjerskog kalkulatora, geometrijsku sredinu moguće je pronaći drugom metodom. Pronađite tipku dnevnika na tipkovnici. Kasnije uzmite logaritam svih brojeva, pronađite njihov zbroj i podijelite s brojem brojeva. Uzmi antilogaritam iz dobivenog broja. To će biti geometrijska sredina brojeva. Na primjer, kako biste pronašli geometrijsku sredinu istih brojeva 2, 4 i 64, napravite skup operacija na kalkulatoru. Ukucajte broj 2, a zatim pritisnite gumb zapisnika, pritisnite gumb "+", unesite broj 4 i ponovno pritisnite zapisnik i "+", ukucajte 64, pritisnite zapisnik i "\u003d". Rezultat će biti broj jednak zbroju decimalnih logaritama brojeva 2, 4 i 64. Dobiveni broj podijelite s 3, iz činjenice da je to broj brojeva kojima se traži geometrijska sredina. Od ukupnog broja, uzmite antilogaritam prebacivanjem gumba slučaja i upotrijebite isti ključ dnevnika. Krajnji rezultat je broj 8, koji je željena geometrijska sredina.

Bilješka!
Prosječna vrijednost ne može biti veća od najvećeg broja u skupu, a ne manja od najmanjeg.

Koristan savjet
U matematičkoj statistici prosječna vrijednost naziva se matematičkim očekivanjem.

Po disciplini: Statistika

Opcija broj 2

Prosječne vrijednosti korištene u statistici

Uvod ………………………………………………………………………… .3

Teorijski zadatak

Prosječna vrijednost u statistici, njezina suština i uvjeti korištenja.

1.1. Bit prosječne veličine i uvjeti korištenja ...................... 4

1.2. Vrste prosječnih vrijednosti …………………………………………… 8

Praktični zadatak

Zadatak 1,2,3 ……………………………………………………………………… 14

Zaključak ……………………………………………………………………… .21

Popis korištene literature …………………………………………… ... 23

Uvod

Ovaj se test sastoji od dva dijela - teoretskog i praktičnog. U teoretskom će se dijelu detaljno razmotriti tako važna statistička kategorija kao što je prosječna vrijednost kako bi se utvrdila suština i uvjeti uporabe, kao i istaknule vrste prosjeka i metode za njihov izračun.

Statistika, kao što znate, proučava masovne društveno-ekonomske pojave. Svaka od ovih pojava može imati različit kvantitativni izraz istog atributa. Na primjer, plaće iste profesije radnika ili cijene na tržištu za isti proizvod itd. Prosječne vrijednosti karakteriziraju kvalitativne pokazatelje komercijalne djelatnosti: troškovi distribucije, dobit, profitabilnost itd.

Za proučavanje bilo kojeg skupa različitih (kvantitativno promjenjivih) karakteristika, statistika koristi prosjeke.

Srednja bit

Prosječna vrijednost je uopćavajuća kvantitativna karakteristika skupa pojava istog tipa prema jednoj varijabilnoj karakteristici. U ekonomskoj praksi koristi se širok raspon pokazatelja, izračunatih kao prosjeci.

Najvažnije svojstvo prosjeka je da on predstavlja vrijednost određenog obilježja u cijelom skupu jednim brojem, unatoč kvantitativnim razlikama u pojedinim jedinicama skupa, i izražava općenitost svojstvenu svim jedinicama proučavanog skupa . Dakle, kroz obilježja jedinice stanovništva, karakterizira cjelokupno stanovništvo u cjelini.

Prosječne vrijednosti povezane su sa zakonom velikih brojeva. Suština ove povezanosti leži u činjenici da se tijekom usrednjavanja slučajna odstupanja pojedinih vrijednosti, uslijed djelovanja zakona velikih brojeva, međusobno poništavaju i u srednjem dijelu otkrivaju se glavni razvojni trend, nužnost i pravilnost . Prosjeci vam omogućuju usporedbu pokazatelja koji se odnose na populacije s različitim brojem jedinica.

U suvremenim uvjetima razvoja tržišnih odnosa u gospodarstvu, prosjeci služe kao alat za proučavanje objektivnih zakona društveno-ekonomskih pojava. Međutim, ekonomska analiza ne može se ograničiti samo na prosjeke, jer općenito povoljni prosjeci mogu sakriti kako velike ozbiljne nedostatke u radu pojedinih gospodarskih subjekata, tako i izdanke novog, progresivnog. Primjerice, raspodjela stanovništva prema dohotku omogućuje prepoznavanje formiranja novih društvenih skupina. Stoga je, uz prosječne statističke podatke, potrebno uzeti u obzir i karakteristike pojedinih jedinica stanovništva.

Prosječna vrijednost je rezultanta svih čimbenika koji utječu na fenomen koji se proučava. Odnosno, pri izračunavanju prosječnih vrijednosti poništava se utjecaj slučajnih (perturbativnih, pojedinačnih) čimbenika i, prema tome, moguće je odrediti obrazac svojstven fenomenu koji se proučava. Adolphe Quetelet naglasio je da značaj metode prosjeka leži u mogućnosti prijelaza iz pojedinačnog u opće, iz slučajnog u regularno, a postojanje prosječnih vrijednosti kategorija je objektivne stvarnosti.

Statistika proučava masovne pojave i procese. Svaka od ovih pojava ima i zajednička za cijeli skup i posebna, pojedinačna svojstva. Razlika između pojedinih pojava naziva se varijacija. Sljedeće svojstvo masovnih pojava je svojstvena bliskost karakteristika pojedinih pojava. Dakle, interakcija elemenata skupa dovodi do ograničenja varijacije barem dijela njihovih svojstava. Ova tendencija postoji objektivno. Upravo je u njegovoj objektivnosti razlog najšire primjene prosječnih vrijednosti u praksi i u teoriji.

Prosječna vrijednost u statistici naziva se uopćavajućim pokazateljem koji karakterizira tipičnu razinu pojave u određenim vremenskim i vremenskim uvjetima, odražavajući vrijednost različitih atributa po jedinici kvalitativno homogene populacije.

U ekonomskoj praksi koristi se širok raspon pokazatelja, izračunatih kao prosjeci.

Pomoću metode prosjeka statistika rješava mnoge probleme.

Glavno značenje prosjeka sastoji se u njihovoj generalizacijskoj funkciji, odnosno zamjeni mnogih različitih pojedinačnih vrijednosti značajke prosjekom koji karakterizira čitav niz pojava.

Ako prosjek sažme kvalitativno homogene vrijednosti obilježja, tada je to tipična karakteristika obilježja u određenoj populaciji.

Međutim, pogrešno je ulogu prosječnih vrijednosti svoditi samo na karakterizaciju tipičnih vrijednosti obilježja u populacijama homogenim za dano obilježje. U praksi se moderna statistika puno češće koristi prosjecima koji generaliziraju naizgled homogene pojave.

Prosječna vrijednost nacionalnog dohotka po stanovniku, prosječni prinos žitnih usjeva u cijeloj zemlji, prosječna potrošnja raznih prehrambenih proizvoda - to su obilježja države kao jedinstvenog nacionalnog gospodarskog sustava, to su takozvani prosjeci sustava.

Prosjeci sustava mogu karakterizirati i prostorne ili objektne sustave koji istodobno postoje (država, industrija, regija, planet Zemlja, itd.) I dinamičke sustave koji se protežu u vremenu (godina, desetljeće, sezona itd.).

Najvažnije svojstvo prosjeka je da odražava ono zajedničko što je svojstveno svim jedinicama istraživane populacije. Vrijednosti svojstva pojedinih jedinica populacije kolebaju se u jednom ili drugom smjeru pod utjecajem mnogih čimbenika, među kojima mogu biti i osnovni i slučajni. Primjerice, cijena dionica korporacije u cjelini određuje se njezinim financijskim položajem. Istodobno, u određene dane i na određenim burzama, ove se dionice, zbog trenutnih okolnosti, mogu prodati po višoj ili nižoj stopi. Bit prosjeka leži u činjenici da on poništava odstupanja u vrijednostima atributa pojedinih jedinica populacije, nastala djelovanjem slučajnih čimbenika, te uzima u obzir promjene uzrokovane djelovanjem glavne čimbenici. To omogućuje da prosjek odražava tipičnu razinu osobine i apstrahira se od pojedinačnih karakteristika svojstvenih pojedinim jedinicama.

Izračunavanje srednje vrijednosti jedna je od uobičajenih tehnika generalizacije; prosjek odražava ono zajedničko, što je karakteristično (tipično) za sve jedinice proučavane populacije, istodobno zanemaruje razlike pojedinih jedinica. U svakom fenomenu i njegovom razvoju postoji kombinacija šanse i nužnosti.

Prosjek je sažeta karakteristika pravilnosti procesa u uvjetima u kojima se odvija.

Svaki prosjek karakterizira proučavanu populaciju bilo kojim atributom, ali potreban je sustav prosječnih pokazatelja koji će karakterizirati bilo koju populaciju, kako bi opisao njezine tipične značajke i kvalitativne značajke. Stoga se u praksi domaće statistike za proučavanje društveno-ekonomskih pojava u pravilu izračunava sustav prosječnih pokazatelja. Tako se, na primjer, procjenjuje pokazatelj prosječne plaće zajedno s pokazateljima prosječne proizvodnje, omjera kapitala i rada i omjera snage i rada, stupnja mehanizacije i automatizacije rada itd.

Prosjek treba izračunati uzimajući u obzir ekonomski sadržaj pokazatelja koji se proučava. Stoga se za određeni pokazatelj koji se koristi u socio-ekonomskoj analizi može izračunati samo jedna istinska vrijednost prosjeka na temelju znanstvene metode izračuna.

Prosječna vrijednost jedan je od najvažnijih generalizirajućih statističkih pokazatelja koji karakteriziraju ukupnost pojava iste vrste za neke kvantitativno različite atribute. Prosjeci u statistici su uopćeni pokazatelji, brojevi koji izražavaju tipične karakteristične dimenzije društvenih pojava prema jednom kvantitativno različitom atributu.

Vrste prosječnih vrijednosti

Vrste prosječnih vrijednosti razlikuju se prvenstveno u tome koje svojstvo, koji parametar početne promjenjive mase pojedinačnih vrijednosti svojstva treba zadržati nepromijenjenim.

Aritmetička sredina

Aritmetička sredina je takva prosječna vrijednost obilježja, pri izračunavanju koje ukupni iznos obilježja u agregatu ostaje nepromijenjen. Inače možemo reći da je aritmetička sredina prosječni pojam. Prilikom izračunavanja, ukupni volumen atributa mentalno je raspodijeljen podjednako između svih jedinica populacije.

Aritmetička sredina koristi se ako su poznate vrijednosti prosječnog atributa (x) i broja jedinica populacije s određenom vrijednošću atributa (f).

Aritmetička sredina je jednostavna i ponderirana.

Jednostavna aritmetička sredina

Jednostavno se koristi ako se svaka vrijednost atributa x dogodi jednom, tj. za svaki x vrijednost atributa f \u003d 1, ili ako početni podaci nisu poredani i nije poznato koliko jedinica ima određene vrijednosti atributa.

Formula za aritmetičku sredinu je jednostavna.

Značajke jedinica statističkih agregata različite su po svom značenju, na primjer, plaće radnika iste struke bilo kojeg poduzeća nisu iste u istom vremenskom razdoblju, cijene na tržištu za iste proizvode su različite , prinos poljoprivrednih usjeva na poljoprivrednim gospodarstvima u regiji itd. Stoga se, kako bi se utvrdila vrijednost karakteristike, karakteristika cijelog proučenog skupa jedinica, izračunavaju prosječne vrijednosti.
Prosječna vrijednost – to je uopćavajuća karakteristika skupa pojedinačnih vrijednosti određene kvantitativne karakteristike.

Skup koji se proučava kvantitativnim kriterijem sastoji se od pojedinačnih vrijednosti; na njih utječu i uobičajeni uzroci i pojedinačni uvjeti. U međuvremenu se odstupanja karakteristična za pojedine vrijednosti gase. Prosjek, koji je funkcija skupa pojedinačnih vrijednosti, predstavlja cijeli skup kao jednu vrijednost i odražava ono zajedničko što je svojstveno svim njegovim jedinicama.

Nazvan je prosjek izračunat za populacije koje se sastoje od kvalitativno homogenih jedinica tipična sekundarna... Na primjer, možete izračunati prosječnu mjesečnu plaću zaposlenika određene profesionalne skupine (rudar, liječnik knjižničar). Naravno, razine mjesečnih plaća rudara, zbog razlike u njihovim kvalifikacijama, radnom stažu, mjesečno odrađenom vremenu i mnogim drugim čimbenicima, razlikuju se međusobno i od razine prosječnih plaća. Međutim, prosječna razina odražava glavne čimbenike koji utječu na razinu plaća i uzajamno nadoknađuju razlike koje nastaju zbog individualnih karakteristika zaposlenika. Prosječne plaće odražavaju tipične plaće za datu vrstu radnika. Dobivanju tipičnog prosjeka trebala bi prethoditi analiza kako je data populacija kvalitativno homogena. Ako se agregat sastoji od zasebnih dijelova, treba ga podijeliti u tipične skupine (prosječna temperatura u bolnici).

Nazvane su prosječne vrijednosti korištene kao karakteristike za heterogene populacije prosjeci sustava... Primjerice, prosječni bruto domaći proizvod (BDP) po stanovniku, prosječna potrošnja različitih grupa dobara po osobi i druge slične vrijednosti koje predstavljaju generalizirajuća obilježja države kao jedinstvenog ekonomskog sustava.

Prosjek treba izračunati za populacije s dovoljno velikim brojem jedinica. Ispunjavanje ovog uvjeta neophodno je kako bi zakon velikih brojeva stupio na snagu, uslijed čega se slučajna odstupanja pojedinih vrijednosti od općeg trenda međusobno poništavaju.

Vrste prosjeka i kako ih izračunati

Izbor vrste prosjeka određen je ekonomskim sadržajem određenog pokazatelja i početnim podacima. Međutim, bilo koju prosječnu vrijednost treba izračunati tako da kada zamijeni svaku varijantu prosječnog obilježja, konačnu, generalizirajuću ili, kako se to obično naziva, definirajući pokazatelj, što je povezano s prosječnim pokazateljem. Primjerice, prilikom zamjene stvarnih brzina na odvojenim dijelovima staze njihovom prosječnom brzinom, ukupna udaljenost koju je vozilo prešlo za isto vrijeme ne bi se trebala mijenjati; kada se stvarne plaće pojedinih zaposlenika u poduzeću zamijene prosječnim plaćama, fond plaća ne bi se trebao mijenjati. Slijedom toga, u svakom konkretnom slučaju, ovisno o prirodi dostupnih podataka, postoji samo jedna istinska prosječna vrijednost pokazatelja, primjerena svojstvima i suštini proučavanog socio-ekonomskog fenomena.
Najčešće se koriste aritmetička sredina, harmonička sredina, geometrijska sredina, korijen srednje vrijednosti i kubna sredina.
Navedeni prosjeci pripadaju klasi vlastprosjeci i kombiniraju se općom formulom:
,
gdje je prosječna vrijednost ispitivane značajke;
m - pokazatelj stupnja prosjeka;
- trenutna vrijednost (varijanta) prosječnog atributa;
n je broj značajki.
Ovisno o vrijednosti eksponenta m, razlikuju se sljedeće vrste energetskih sredstava:
pri m \u003d -1 - prosječni harmonik;
pri m \u003d 0 - geometrijska sredina;
za m \u003d 1 - aritmetička sredina;
za m \u003d 2 - srednji kvadrat;
s m \u003d 3 - prosječna kubična.
Koristeći iste početne podatke, što je veći eksponent m u gornjoj formuli, to je veća srednja vrijednost:
.
Ovo svojstvo prosjeka snage da se povećava s povećanjem eksponenta funkcije određivanja naziva se pravilo mažorenskih prosjeka.
Svaki od označenih prosjeka može imati dva oblika: jednostavani ponderiran.
Jednostavan srednji oblikkoristi se kada se prosjek izračunava iz primarnih (negrupiranih) podataka. Ponderirani oblik- pri izračunavanju prosjeka za sekundarne (grupirane) podatke.

Aritmetička sredina

Aritmetička sredina koristi se kada je obujam populacije zbroj svih pojedinačnih vrijednosti atributa varijable. Treba imati na umu da se, ako vrsta prosjeka nije navedena, misli na aritmetičku sredinu. Njegova logična formula je:

Jednostavna aritmetička sredina izračunati negrupiranim podacima prema formuli:
ili ,
gdje su pojedinačne vrijednosti atributa;
j je redni broj jedinice promatranja, koju karakterizira vrijednost;
N je broj jedinica promatranja (veličina populacije).
Primjer. U predavanju "Sažetak i grupiranje statističkih podataka" razmatrani su rezultati promatranja radnog iskustva tima od 10 ljudi. Izračunajmo prosječni radni staž radnika tima. 5, 3, 5, 4, 3, 4, 5, 4, 2, 4.

Formulom aritmetičke sredine jednostavno, kronološki prosjeciako su vremenski intervali za koje su prikazane karakteristične vrijednosti jednaki.
Primjer. Količina prodanih proizvoda za prvo tromjesečje iznosila je 47 den. jedinice, za drugu 54, za treću 65 i za četvrtu 58 dana. jedinice Prosječni tromjesečni promet je (47 + 54 + 65 + 58) / 4 \u003d 56 den. jedinice
Ako su indikatori trenutka dani u kronološkim nizovima, tada će se pri izračunavanju prosjeka zamijeniti poluskupima vrijednosti na početku i na kraju razdoblja.
Ako postoje više od dva momenta i razmaci između njih su jednaki, tada se prosjek izračunava pomoću formule za prosječni kronološki

,
gdje je n broj puta
U slučaju kada su podaci grupirani prema karakterističnim vrijednostima (tj. konstruira se diskretna varijacijska distribucijska serija) sa aritmetički ponderiranaizračunava se pomoću frekvencija ili frekvencija promatranja određenih vrijednosti značajke, čiji je broj (k) znatno manji od broja promatranja (N).
,
,
gdje je k broj grupa varijacijskog niza,
i - broj grupe varijacijske serije.
Budući da, a, dobivamo formule koje se koriste za praktične izračune:
i
Primjer. Izračunajmo prosječni staž radnih timova za grupirani red.
a) pomoću frekvencija:

b) pomoću frekvencija:

U slučaju kada su podaci grupirani po intervalima , tj. prikazani su u obliku intervalnih serija raspodjele, pri izračunavanju aritmetičke sredine sredina intervala uzima se kao vrijednost atributa, na temelju pretpostavke o jednolikoj raspodjeli populacijskih jedinica u ovom intervalu. Izračun se provodi prema formulama:
i
gdje je sredina intervala :,
gdje su i donja i gornja granica intervala (pod uvjetom da se gornja granica ovog intervala podudara s donjom granicom sljedećeg intervala).

Primjer. Izračunajmo aritmetičku sredinu intervala varijacijskih serija izgrađenih na temelju rezultata istraživanja godišnjih plaća 30 radnika (vidi predavanje "Sažetak i grupiranje statističkih podataka").
Tablica 1 - Intervalne varijacijske serije raspodjele.

uAH ili uAH
Aritmetičke sredine izračunate na temelju početnih podataka i niza varijacija intervala možda se neće podudarati zbog neravnomjerne raspodjele vrijednosti značajke unutar intervala. U ovom slučaju, za točniji izračun aritmetičkog ponderiranog prosjeka ne bi se trebale koristiti središnje točke intervala, već jednostavna aritmetička sredina izračunata za svaku skupinu ( prosjeci grupe). Poziva se prosjek izračunat iz prosjeka grupe pomoću ponderirane formule izračuna opći prosjek.
Aritmetička sredina ima niz svojstava.
1. Zbroj odstupanja varijante od srednje vrijednosti jednak je nuli:
.
2. Ako se sve vrijednosti varijante povećaju ili smanje za vrijednost A, tada se prosječna vrijednost također povećava ili smanjuje za istu vrijednost A:

3. Ako se svaka opcija poveća ili smanji za B puta, tada će se i prosječna vrijednost povećati ili smanjiti za isti broj puta:
ili
4. Zbroj umnožaka varijante po frekvencijama jednak je umnošku prosječne vrijednosti zbroju frekvencija:

5. Ako se sve frekvencije podijele ili pomnože s bilo kojim brojem, tada se aritmetička sredina neće promijeniti:

6) ako su u svim intervalima frekvencije jednake jedna drugoj, tada je ponderirana aritmetička sredina jednaka jednostavnoj aritmetičkoj sredini:
,
gdje je k broj grupa varijacijskog niza.

Korištenje svojstava srednje vrijednosti olakšava izračunavanje.
Pretpostavimo da su sve varijante (x) prvo smanjene za isti broj A, a zatim smanjene za B puta. Najveće pojednostavljenje postiže se kada je vrijednost sredine intervala s najvećom frekvencijom odabrana kao A, a vrijednost intervala (za retke s jednakim intervalima) kao B. Količina A naziva se ishodištem, stoga se naziva ovaj način izračunavanja prosjeka putb ohm računajući od uvjetne nule ili način trenutaka.
Nakon takve transformacije dobivamo novu varijacijsku distribucijsku seriju, čije su varijante jednake. Njihova aritmetička sredina, tzv trenutak prve narudžbe,izražava se formulom i prema drugom i trećem svojstvu aritmetičke sredine jednak je prosjeku izvornih opcija, umanjen prvo za A, a zatim za B puta, tj.
Primiti stvarni prosjek(prosjek početne serije), trebate pomnožiti trenutak prvog reda s B i dodati A:

Izračun aritmetičke sredine metodom momenata prikazan je podacima u tablici. 2.
Tablica 2 - Raspodjela radnika poduzeća prema radnom stažu

Pronađite trenutak prve narudžbe ... Zatim, znajući da je A \u003d 17,5 i B \u003d 5, izračunavamo prosječni radni staž radnika u trgovini:
godine

Prosječni harmonik
Kao što je gore prikazano, aritmetička sredina koristi se za izračunavanje prosječne vrijednosti značajke u slučajevima kada su poznate njezine varijante x i njihova učestalost f.
Ako statistički podaci ne sadrže učestalosti f za pojedine varijante x populacije, ali su predstavljeni kao njihov proizvod, primjenjuje se formula prosječno harmonijski ponderirano... Da bismo izračunali prosjek, označimo gdje. Zamjenom ovih izraza u formuli za aritmetički ponderirani prosjek dobivamo formulu za harmonijski ponderirani prosjek:
,
gdje je volumen (težina) vrijednosti atributa indikatora u intervalu s brojem i (i \u003d 1,2, ..., k).

Dakle, prosječni se harmonik koristi u slučajevima kada zbrajanju ne podliježu same opcije, već njihove uzajamne vrijednosti: .
U slučajevima kada je težina svake opcije jednaka jedinici, t.j. pojedinačne vrijednosti inverznog atributa javljaju se jednom, on se primjenjuje prosječni harmonik jednostavan:
,
gdje su pojedinačne varijante suprotnog znaka, koje se javljaju jednom;
N - broj opcija.
Ako postoje harmonijski prosjeci za dva dijela populacije, ukupni prosjek za cijelu populaciju izračunava se po formuli:

i nazvao ponderirana harmonijska sredina iz skupnih sredina.

Primjer. Tijekom trgovanja na mjenjačnici, u prvom satu rada zaključene su tri transakcije. Podaci o iznosu prodaje grivne i tečaju grivne u odnosu na američki dolar dati su u tablici. 3 (stupci 2 i 3). Odredite prosječni tečaj grivne prema američkom dolaru za prvi sat trgovanja.
Tablica 3 - Podaci o tijeku trgovanja na mjenjačnici

Prosječna stopa dolara određuje se omjerom količine prodane grivne tijekom svih transakcija i iznosa dolara stečenih kao rezultat istih transakcija. Ukupni iznos prodaje grivne poznat je iz stupca 2 tablice, a broj dolara kupljenih u svakoj transakciji određuje se dijeljenjem iznosa prodaje grivne s njenom stopom (stupac 4). Ukupno su tijekom tri transakcije kupljena 22 milijuna dolara. To znači da je prosječni tečaj grivne za jedan dolar bio
.
Dobivena vrijednost je stvarna, jer zamjenjujući ga stvarnim tečajevima grivne u transakcijama, neće se promijeniti ukupan iznos prodaje grivne koji služi kao definirajući pokazatelj: Milijun UAH
Ako je za izračunavanje korištena aritmetička sredina, tj. grivna, tada po tečaju za kupnju 22 milijuna dolara. bilo bi potrebno potrošiti 110,66 milijuna grivna, što nije istina.

Geometrijska sredina
Geometrijska sredina koristi se za analizu dinamike pojava i omogućuje vam određivanje prosječne stope rasta. Pri izračunavanju geometrijske sredine, pojedinačne vrijednosti obilježja su relativni pokazatelji dinamike, građeni u obliku lančanih veličina, kao omjer svake razine i prethodne.
Jednostavna geometrijska sredina izračunava se formulom:
,
gdje je znak djela,
N je broj prosječnih vrijednosti.
Primjer.Broj registriranih kaznenih djela tijekom 4 godine povećao se 1,57 puta, uključujući prvo - 1,08 puta, drugo - 1,1 puta, treće - 1,18 puta i četvrto - 1,12 puta. Tada je prosječna godišnja stopa rasta broja kaznenih djela :, tj. broj registriranih kaznenih djela rastao je u prosjeku za 12% godišnje.

1,8
-0,8
0,2
1,0
1,4

1
3
4
1
1

3,24
0,64
0,04
1
1,96

3,24
1,92
0,16
1
1,96