5.1. Koncept srednje vrijednosti

Prosječna vrijednost - to je uopćeni pokazatelj koji karakterizira tipičnu razinu fenomena. Izražava vrijednost obilježja po jedinici populacije.

Prosjek uvijek generalizira kvantitativnu varijaciju osobine, t.j. u srednjim se vrijednostima ukidaju pojedinačne razlike između jedinica stanovništva, uslijed slučajnih okolnosti. Za razliku od prosjeka, apsolutna vrijednost koja karakterizira razinu osobine pojedine jedinice populacije ne omogućuje usporedbu vrijednosti osobine u jedinicama koje pripadaju različitim populacijama. Dakle, ako je potrebno usporediti razine plaća radnika u dva poduzeća, tada je nemoguće usporediti na temelju toga dva radnika iz različitih poduzeća. Plaće radnika izabranih za usporedbu možda nisu tipične za ova poduzeća. Ako usporedimo veličinu fondova plaća u poduzećima koja se razmatraju, tada se broj zaposlenika ne uzima u obzir i stoga je nemoguće utvrditi gdje je razina plaća veća. U konačnici, mogu se usporediti samo prosjeci, t.j. koliko jedan radnik prosječno primi u svakom poduzeću. Stoga je potrebno izračunati prosjek kao generalizirajuću karakteristiku populacije.

Izračunavanje prosjeka jedna je od uobičajenih tehnika generalizacije; prosjek negira ono zajedničko, što je karakteristično (tipično) za sve jedinice proučavane populacije, istovremeno zanemaruje razlike između pojedinih jedinica. U svakom fenomenu i njegovom razvoju postoji kombinacija šanse i nužnosti. Prilikom izračunavanja prosjeka, zbog djelovanja zakona velikih brojeva, šanse se poništavaju i uravnotežuju, tako da se mogu apstrahirati od beznačajnih značajki fenomena, od kvantitativnih vrijednosti atributa u svakom konkretnom slučaju. Sposobnost apstrahiranja od slučajnosti pojedinačnih vrijednosti, kolebanja i leži u znanstvenoj vrijednosti prosjeka kao generalizirajućih karakteristika agregata.

Da bi prosjek mogao doista biti tipičan, mora se izračunati na temelju određenih principa.

Zadržimo se na nekim općim načelima korištenja prosjeka.
1. Prosjek treba odrediti za populacije koje se sastoje od kvalitativno homogenih jedinica.
2. Prosjek treba izračunati za populaciju koja se sastoji od dovoljno velikog broja jedinica.
3. Prosjek treba izračunati za populaciju, čije su jedinice u normalnom, prirodnom stanju.
4. Prosjek treba izračunati uzimajući u obzir ekonomski sadržaj pokazatelja koji se proučava.

5.2. Vrste prosjeka i kako ih izračunati

Razmotrimo sada vrste prosjeka, značajke njihovog izračunavanja i opseg. Prosjeci su podijeljeni u dvije velike klase: prosjeci snage, strukturni prosjeci.

DO srednja snaga uključuje takve najpoznatije i najčešće korištene vrste kao što su geometrijska sredina, aritmetička sredina i srednja kvadratna vrijednost.

Kao strukturni prosjeci razmatraju se moda i medijan.

Zadržimo se na prosjecima snage. Prosjeci snage, ovisno o prikazu početnih podataka, mogu biti jednostavni i ponderirani. Jednostavan prosjek izračunava se iz negrupiranih podataka i ima sljedeći opći oblik:

gdje je X i - opcije (vrijednost) prosječne značajke;

n je broj opcija.

Prosječne težine izračunava se grupiranim podacima i ima opći oblik

,

gdje je X i varijanta (vrijednost) prosječnog obilježja ili srednja vrijednost intervala u kojem se varijanta mjeri;
m - pokazatelj stupnja prosjeka;
f i - frekvencija koja pokazuje koliko se puta javlja i-e vrijednost prosječne značajke.

Navedimo kao primjer izračun prosječne dobi učenika u skupini od 20 ljudi:

Prosječna dob izračunava se pomoću jednostavne prosječne formule:

Skupimo izvorne podatke. Dobivamo sljedeće distribucijske serije:

Kao rezultat grupiranja dobivamo novi pokazatelj - učestalost koja označava broj učenika u dobi od X godina. Slijedom toga, prosječna dob učenika u grupi izračunavat će se pomoću ponderirane prosječne formule:

Opće formule za izračunavanje prosjeka snage imaju eksponent (m). Ovisno o vrijednosti koju uzimaju, razlikuju se sljedeće vrste prosjeka snage:
prosječni harmonik, ako je m \u003d -1;
geometrijska sredina ako je m -\u003e 0;
aritmetička sredina ako je m \u003d 1;
srednji kvadrat ako je m \u003d 2;
prosječna kubna ako je m \u003d 3.

Stepenske formule date su u tablici. 4.4.

Ako izračunamo sve vrste prosjeka za iste početne podatke, tada će njihove vrijednosti ispasti nejednake. Ovdje vrijedi pravilo mažornosti prosjeka: s porastom eksponenta m raste i odgovarajuća prosječna vrijednost:

U statističkoj se praksi češće od ostalih vrsta ponderiranih prosjeka koriste aritmetički prosjeci i harmonijski ponderirani prosjeci.

Tablica 5.1

Vrste prosjeka snage

Tip napajanja prosječno	Indikator stupanj (m)	Formula za izračunavanje
		Jednostavan	Ponderirano
Harmonik	-1
Geometrijski	0
Aritmetika	1
Kvadratno	2
Kubični	3

Harmonska sredina ima složeniju konstrukciju od aritmetičke sredine. Harmonska sredina koristi se za izračune kada se kao ponderi ne koriste agregatne jedinice - nositelji obilježja, već umnožak tih jedinica na vrijednosti značajke (tj. M \u003d Xf). Prosječnom zastoju u harmoniji treba pribjeći u slučajevima određivanja, na primjer, prosječnih troškova rada, vremena, materijala po jedinici proizvodnje, za jedan dio za dva (tri, četiri, itd.) Poduzeća, radnike koji se bave proizvodnjom iste vrste proizvoda, istog dijela, proizvoda.

Glavni zahtjev formule za izračunavanje prosjeka jest da sve faze izračuna imaju stvarno materijalno opravdanje; rezultirajuća prosječna vrijednost trebala bi zamijeniti pojedinačne vrijednosti atributa za svaki objekt bez narušavanja veze između pojedinačnih i sažetih pokazatelja. Drugim riječima, prosječnu vrijednost treba izračunati tako da kada se svaka pojedinačna vrijednost prosječnog pokazatelja zamijeni prosjekom, neki konačni sažeti pokazatelj, povezan na ovaj ili onaj način sa prosječenim, ostaje nepromijenjen. Taj se ukupan broj naziva definiranje, budući da priroda njegovog odnosa s pojedinačnim vrijednostima određuje specifičnu formulu za izračunavanje prosjeka. Pokažimo ovo pravilo na primjeru geometrijske sredine.

Geometrijska srednja formula

koristi se najčešće pri izračunavanju prosječne vrijednosti za pojedinačne relativne vrijednosti dinamike.

Geometrijska sredina koristi se ako je dan niz lančanih relativnih vrijednosti dinamike, što ukazuje, na primjer, na povećanje volumena proizvodnje u odnosu na razinu iz prethodne godine: i 1, i 2, i 3, ..., i n. Očito je da je opseg proizvodnje u posljednjoj godini određen početnom razinom (q 0) i naknadnim povećanjem po godinama:

q n \u003d q 0 × i 1 × i 2 × ... × i n.

Uzimajući q n kao definirajući pokazatelj i zamjenjujući pojedinačne vrijednosti dinamike prosjekom, dolazimo do relacije

Odavde

5.3. Strukturni prosjeci

Posebna vrsta prosječnih vrijednosti - strukturni prosjeci - koristi se za proučavanje unutarnje strukture niza raspodjele vrijednosti značajke, kao i za procjenu prosječne vrijednosti (tipa snage), ako je prema raspoloživim statističkim podacima, ne može se izvršiti njegov izračun (na primjer, ako u razmatranom primjeru nije bilo podataka i o opsegu proizvodnje, te o iznosu troškova po skupinama poduzeća).

Pokazatelji se najčešće koriste kao strukturni prosjeci moda - najčešće ponavljana vrijednost karakteristike - i medijani - vrijednost značajke koja dijeli poredani niz njezinih vrijednosti na dva jednaka dijela. Kao rezultat, u jednoj polovici jedinica populacije vrijednost osobine ne prelazi srednju razinu, dok je u drugoj polovici ne premašuje.

Ako proučena značajka ima diskretne vrijednosti, tada nema posebnih poteškoća u izračunavanju načina i medijana. Ako se podaci o vrijednostima karakteristike X prikažu u obliku uređenih intervala njezine promjene (intervalni niz), izračunavanje načina i medijana postaje nešto složenije. Budući da medijan vrijednosti dijeli cijelu populaciju na dva dijela jednaka broju, ona se pojavljuje u nekim intervalima atributa X. Pomoću interpolacije medijana vrijednosti nalazi se u ovom medijanu intervala:

,

gdje je X Me donja granica medijana intervala;
h Ja - njegova vrijednost;
(Zbroj m) / 2 - polovica ukupnog broja promatranja ili polovica obujma pokazatelja koji se koristi kao ponder u formulama za izračunavanje prosjeka (u apsolutnom ili relativnom smislu);
S Me-1 - zbroj promatranja (ili obujma svojstva vaganja) akumuliranog prije početka medijana intervala;
m Me - broj opažanja ili obujam atributa za ponderiranje u medijanu intervala (također u apsolutnom ili relativnom smislu).

U našem primjeru mogu se dobiti čak tri srednje vrijednosti - na temelju karakteristika broja poduzeća, obujma proizvodnje i ukupnih troškova proizvodnje:

Dakle, polovica poduzeća ima jedinični trošak veći od 125,19 tisuća rubalja, polovica ukupnog volumena proizvodnje proizvedena je s troškom po proizvodu većem od 124,79 tisuća rubalja. a 50% ukupnih troškova generira se kada je trošak jednog proizvoda veći od 125,07 tisuća rubalja. Također imajte na umu da postoji određena tendencija povećanja cijene koštanja, budući da je Me 2 \u003d 124,79 tisuća rubalja, a prosječna razina je 123,15 tisuća rubalja.

Pri izračunavanju modalne vrijednosti značajke prema podacima intervalne serije, potrebno je obratiti pažnju na to da su intervali jednaki, jer o tome ovisi pokazatelj ponovljivosti vrijednosti značajke X Za intervalne nizove s jednakim intervalima vrijednost načina određuje se kao

gdje je X Mo donja vrijednost modalnog intervala;
m Mo - broj promatranja ili obujam značajke vaganja u modalnom intervalu (u apsolutnom ili relativnom smislu);
m Mo -1 - isto za interval koji prethodi modalu;
m Mo + 1 - isto za interval nakon modalnog;
h - vrijednost intervala promjena karakteristike u skupinama.

Za naš se primjer mogu izračunati tri modalne vrijednosti na temelju karakteristika broja poduzeća, obujma proizvodnje i iznosa troškova. U sva tri slučaja modalni interval je isti, jer su za isti interval najveći broj poduzeća, obujam proizvodnje i ukupan iznos proizvodnih troškova:

Dakle, najčešće postoje poduzeća s cijenom koštanja od 126,75 tisuća rubalja, najčešće se proizvodi proizvodi s troškom od 126,69 tisuća rubalja, a najčešće se troškovi proizvodnje objašnjavaju razinom cijene koštanja od 123,73 tisuće rubalja.

5.4. Pokazatelji varijacija

Specifični uvjeti u kojima se nalazi svaki od proučavanih objekata, kao i osobitosti vlastitog razvoja (socijalni, ekonomski itd.) Izraženi su odgovarajućim numeričkim razinama statističkih pokazatelja. Tako, varijacija, oni. nesklad između razina istog pokazatelja za različite objekte je objektivan i pomaže razumjeti bit fenomena koji se proučava.

Za mjerenje varijacija u statistikama koristi se nekoliko metoda.

Najjednostavnije je izračunati pokazatelj raspon varijacija N kao razlika između maksimalne (X max) i minimalne (X min) promatrane vrijednosti atributa:

H \u003d X max - X min.

Međutim, raspon varijacija pokazuje samo krajnje vrijednosti svojstva. Ovdje se ne razmatra ponovljivost međuvrijednosti.

Stroža obilježja pokazatelji su varijabilnosti u odnosu na prosječnu razinu osobine. Najjednostavniji pokazatelj ove vrste je srednje linearno odstupanje L kao aritmetička sredina apsolutnih odstupanja atributa od njegove prosječne razine:

Uz ponovljivost pojedinih vrijednosti X, koristi se formula za aritmetički ponderirani prosjek:

(Sjetimo se da je algebarski zbroj odstupanja od srednje vrijednosti nula.)

Pokazatelj srednjeg linearnog odstupanja našao je široku primjenu u praksi. Uz njegovu pomoć, na primjer, analizira se sastav radnika, ritam proizvodnje, ujednačenost opskrbe materijalom i razvijaju sustavi materijalnih poticaja. Ali, nažalost, ovaj pokazatelj komplicira izračune vjerojatnosnog tipa, otežava primjenu metoda matematičke statistike. Stoga se u statističkim znanstvenim istraživanjima pokazatelj najčešće koristi za mjerenje varijacija varijance.

Varijansa obilježja (s 2) određuje se na temelju kvadratne srednje snage:

.

Poziva se eksponent s, jednak, standardna devijacija.

U općoj teoriji statistike, pokazatelj varijance je procjena pokazatelja istoimene teorije vjerojatnosti i (kao zbroj kvadrata odstupanja) procjena varijance u matematičkoj statistici, što omogućuje upotrebu odredbe ovih teorijskih disciplina za analizu društveno-ekonomskih procesa.

Ako se varijacija procjenjuje na osnovu malog broja opažanja iz neograničene opće populacije, tada se prosječna vrijednost svojstva određuje s određenom pogreškom. Izračunata varijanca je pristrana prema dolje. Da bi se dobila nepristrana procjena, varijansu uzorka dobivenu prethodno navedenim formulama mora se pomnožiti s vrijednošću n / (n - 1). Kao rezultat, s malim brojem promatranja (< 30) дисперсию признака рекомендуется вычислять по формуле

Obično, već pri n\u003e (15–20), nesklad između pristranih i nepristranih procjena postaje beznačajan. Iz istog razloga, pristranost se obično ne uzima u obzir u formuli za dodavanje varijanci.

Ako napravimo nekoliko uzoraka iz opće populacije i svaki puta odredimo prosječnu vrijednost obilježja, tada nastaje problem procjene varijabilnosti prosjeka. Procijenite varijancu srednja vrijednost moguće je i na temelju samo jednog uzorka promatranja po formuli

,

gdje je n veličina uzorka; s 2 - varijanca obilježja, izračunata iz podataka uzorka.

Količina nosi ime srednja pogreška uzorkovanja i karakteristika je odstupanja srednje vrijednosti uzorka atributa X od njegove stvarne srednje vrijednosti. Pokazatelj prosječne pogreške koristi se za procjenu pouzdanosti rezultata promatranja uzorka.

Pokazatelji relativne disperzije.Da bi se okarakterizirala mjera varijabilnosti ispitivane osobine, pokazatelji varijabilnosti izračunavaju se u relativnim vrijednostima. Omogućuju vam usporedbu prirode disperzije u različitim raspodjelama (različite jedinice promatranja iste osobine u dvije populacije, s različitim srednjim vrijednostima, kada se uspoređuju suprotne populacije). Izračun pokazatelja mjere relativne disperzije provodi se kao omjer apsolutnog pokazatelja disperzije i aritmetičke sredine pomnožene sa 100%.

1. Koeficijent oscilacije odražava relativnu varijabilnost ekstremnih vrijednosti obilježja oko prosjeka

.

2. Relativno linearno odvajanje karakterizira udio prosječne vrijednosti znaka apsolutnih odstupanja od prosječne vrijednosti

.

3. Koeficijent varijacije:

je najčešća mjera varijabilnosti koja se koristi za procjenu tipičnosti prosjeka.

U statistikama se populacije s koeficijentom varijacije većim od 30–35% smatraju heterogenim.

Također postoji značajan nedostatak ove metode procjene varijacije. Zapravo, neka je, na primjer, početni skup radnika s prosječnim radnim stažem od 15 godina, sa standardnim odstupanjem od s \u003d 10 godina, „ostarjelih“ za još 15 godina. Sada \u003d 30 godina, a standardna devijacija je i dalje 10. Ranije heterogena populacija (10/15 × 100 = 66,7%), pa se vremenom pokazuje prilično homogenim (10/30 × 100 \u003d 33,3%).

Boyarsky A.Ya. Teorijska istraživanja u statistici: sub. Sci. Trudy - M.: Statistika, 1974. S. 19-57.

Najvažnije svojstvo prosjeka je da odražava opće što je svojstveno svim jedinicama proučavane populacije. Vrijednosti svojstva pojedinih jedinica populacije variraju pod utjecajem mnogih čimbenika, među kojima mogu biti i osnovni i slučajni. Suština prosjeka leži u činjenici da on međusobno kompenzira odstupanja vrijednosti atributa, koja su posljedica djelovanja slučajnih čimbenika, i akumulira (uzima u obzir) promjene uzrokovane djelovanjem glavni čimbenici. To omogućuje da prosjek odražava tipičnu razinu osobine i apstrahira se od pojedinačnih karakteristika svojstvenih pojedinim jedinicama.

Da bi prosjek mogao doista biti tipičan, mora se izračunati na temelju određenih principa.

Osnovni principi korištenja prosjeka.

1. Prosjek treba odrediti za populacije koje se sastoje od kvalitativno homogenih jedinica.

2. Prosjek treba izračunati za populaciju koja se sastoji od dovoljno velikog broja jedinica.

3. Prosjek treba izračunati za stanovništvo u stacionarnim uvjetima (kada se čimbenici utjecaja ne mijenjaju ili se ne mijenjaju značajno).

4. Prosjek treba izračunati uzimajući u obzir ekonomski sadržaj pokazatelja koji se proučava.

Izračun većine specifičnih statistika temelji se na korištenju:

· Prosječni agregat;

· Prosječna snaga (harmonijska, geometrijska, aritmetička, kvadratna, kubična);

· Prosječni kronološki (vidi odjeljak).

Svi prosjeci, osim agregatnog prosjeka, mogu se izračunati u dvije verzije - ponderirane ili neponderirane.

Prosječni agregat. Koristi se formula:

gdje w i= x i* f i;

x i- i-ta varijanta prosječnog obilježja;

f i, - težina ja- prva opcija.

Zakon prosječne snage. Općenito, formula za izračunavanje:

gdje je stupanj k- vrsta prosječne snage.

Srednje vrijednosti izračunate na temelju stupnjevitih srednjih vrijednosti za iste početne podatke nisu iste. S porastom eksponenta k, odgovarajuća prosječna vrijednost također se povećava:

Prosječna kronološka. Za trenutni vremenski niz s jednakim intervalima između datuma izračunava se po formuli:

,

gdje x 1 i x n vrijednost pokazatelja na datumu početka i završetka.

Formule srednje snage

Primjer. Prema tablici. 2.1 potrebno je izračunati prosječnu plaću za tri poduzeća u cjelini.

Tablica 2.1

Plaće poduzeća AD

Konkretna formula izračuna ovisi o podacima u tablici. 7 su originalni. U skladu s tim moguće su sljedeće mogućnosti: podaci u stupcima 1 (broj PPP-a) i 2 (mjesečna platna lista); ili - 1 (broj PPP) i 3 (prosječna plaća); ili 2 (mjesečna platna lista) i 3 (prosječna plaća).

Ako su dostupni samo podaci iz stupca 1 i 2... Rezultati ovih grafova sadrže potrebne vrijednosti za izračunavanje željenog prosjeka. Koristi se prosječna agregatna formula:

Ako su dostupni samo podaci u stupcima 1 i 3, tada je poznat nazivnik izvornog omjera, ali nije poznat njegov brojnik. Međutim, platni spisak može se dobiti množenjem prosječne plaće s brojem PPP-a. Stoga se ukupni prosjek može izračunati pomoću formule ponderirana aritmetička sredina:

Treba imati na umu da težina ( f i) u nekim slučajevima može biti umnožak dviju ili čak tri vrijednosti.

Uz to, u statističkoj praksi prosjek aritmetika neponderirana:

gdje je n obujam stanovništva.

Ovaj se prosjek koristi kada težine ( f i) odsutna (svaka varijanta značajke javlja se samo jednom) ili jednaka jedna drugoj.

Ako su dostupni samo podaci u stupcima 2 i 3., odnosno brojnik izvornog omjera je poznat, ali njegov nazivnik nije poznat. Broj PPP-a za svako poduzeće može se dobiti dijeljenjem platnog spiska s prosječnom plaćom. Tada se izračun prosječne plaće za tri poduzeća u cjelini provodi prema formuli prosječno harmonijski ponderirano:

Ako su ponderi jednaki ( f i) prosječni pokazatelj može se izračunati pomoću neponderirani prosječni harmonik:

U našem smo primjeru koristili različite oblike sredstava, ali dobili smo isti odgovor. To je zbog činjenice da je za određene podatke svaki put ostvaren isti početni prosječni omjer.

Prosjeci se mogu izračunati iz diskretnih serija i varijacijskih serija. U ovom se slučaju izračun vrši prema aritmetički ponderiranom prosjeku. Za diskretni niz, ova se formula koristi na isti način kao u gornjem primjeru. U nizu intervala, za izračun, određuju se središnje točke intervala.

Primjer. Prema tablici. 2.2 utvrdit ćemo vrijednost prosječnog novčanog dohotka po glavi stanovnika mjesečno u uvjetnoj regiji.

Tablica 2.2

Početni podaci (serije varijacija)

Da bi se pronašla prosječna vrijednost u Excelu (nije bitna brojčana, tekstualna, postotna ili druga vrijednost) postoji mnogo funkcija. I svaki od njih ima svoje osobine i prednosti. Doista, u ovom zadatku mogu se postaviti određeni uvjeti.

Na primjer, prosječne vrijednosti niza brojeva u Excelu izračunavaju se pomoću statističkih funkcija. Također možete ručno unijeti vlastitu formulu. Razmotrimo razne mogućnosti.

Kako pronaći aritmetičku sredinu brojeva?

Da biste pronašli aritmetičku sredinu, dodajte sve brojeve u skupu i zbroj podijelite s brojem. Na primjer, ocjene učenika iz računarstva: 3, 4, 3, 5, 5. Što prelazi četvrtinu: 4. Pronašli smo aritmetičku sredinu po formuli: \u003d (3 + 4 + 3 + 5 + 5) / 5.

Kako to brzo učiniti s Excel funkcijama? Uzmimo, na primjer, niz slučajnih brojeva u nizu:

Ili: aktivirajte ćeliju i jednostavno ručno unesite formulu: \u003d PROSJEČNO (A1: A8).

Sada da vidimo što još AVERAGE funkcija može učiniti.

Pronađite aritmetičku sredinu prva dva i zadnja tri broja. Formula: \u003d PROSJEČNA (A1: B1; F1: H1). Proizlaziti:

Prosjek prema stanju

Uvjet za pronalaženje aritmetičke sredine može biti numerički kriterij ili tekst. Upotrijebit ćemo funkciju: \u003d AVERAGEIF ().

Naći aritmetičku sredinu brojeva većih ili jednakih 10.

Funkcija: \u003d AVERAGEIF (A1: A8, "\u003e \u003d 10")

Treći argument - "Raspon prosjeka" - izostavljen je. Prvo, nije potrebno. Drugo, raspon koji analizira program sadrži SAMO numeričke vrijednosti. Ćelije navedene u prvom argumentu pretraživat će se prema stanju navedenom u drugom argumentu.

Pažnja! Kriteriji pretraživanja mogu se odrediti u ćeliji. I u formuli navedite vezu do nje.

Pronađimo prosječnu vrijednost brojeva prema kriteriju teksta. Na primjer, prosječna prodaja proizvoda "stolovi".

Funkcija će izgledati ovako: \u003d AVERAGEIF ($ A $ 2: $ A $ 12; A7; $ B $ 2: $ B $ 12). Raspon - stupac s nazivima proizvoda. Kriterij pretraživanja je veza do ćelije s riječju "tablice" (možete umjesto riječi A7 umetnuti samu riječ "tablice"). Raspon prosjeka - one ćelije iz kojih će se uzimati podaci za izračunavanje prosjeka.

Kao rezultat izračuna funkcije dobivamo sljedeću vrijednost:

Pažnja! Za tekstualni kriterij (uvjet) mora se navesti raspon prosjeka.

Kako izračunati ponderiranu prosječnu cijenu u Excelu?

Kako smo znali ponderiranu prosječnu cijenu?

Formula: \u003d SUMPRODUCT (C2: C12; B2: B12) / SUM (C2: C12).

Pomoću formule SUMPRODUCT doznajemo ukupan prihod nakon prodaje cjelokupne količine robe. A funkcija SUM - zbraja količinu robe. Dijeljenjem ukupnog prihoda od prodaje proizvoda s ukupnim brojem jedinica proizvoda pronašli smo ponderiranu prosječnu cijenu. Ovaj pokazatelj uzima u obzir "težinu" svake cijene. Njegov udio u ukupnoj masi vrijednosti.

Standardno odstupanje: formula u Excelu

Razlikovati između standardne devijacije za opću populaciju i za uzorak. U prvom je slučaju korijen opće varijance. U drugom, iz varijance uzorka.

Da bi se izračunala ova statistika, sastavlja se formula varijance. Iz njega se vadi korijen. Ali Excel ima gotovu funkciju za pronalaženje standardne devijacije.

Standardno odstupanje vezano je uz mjerilo izvornih podataka. To nije dovoljno za figurativni prikaz varijacije analiziranog raspona. Koeficijent varijacije izračunava se da bi se dobila relativna razina varijance podataka:

standardna devijacija / aritmetička sredina

Formula u Excelu izgleda ovako:

STDEVP (raspon vrijednosti) / PROSJEK (raspon vrijednosti).

Koeficijent varijacije izračunava se kao postotak. Stoga postavljamo format postotka u ćeliji.

Znakovi jedinica statističkih agregata različiti su po svom značenju, na primjer, plaće radnika iste struke bilo kojeg poduzeća nisu iste u istom vremenskom razdoblju, cijene na tržištu za iste proizvode, prinos poljoprivrednih usjeva u poljoprivrednim gospodarstvima itd. različit je. Stoga se, kako bi se utvrdila vrijednost karakteristike, karakteristika cijelog proučenog skupa jedinica, izračunavaju prosječne vrijednosti.
Prosječna vrijednost – to je uopćavajuća karakteristika skupa pojedinačnih vrijednosti određene kvantitativne karakteristike.

Skup koji se proučava kvantitativnim kriterijem sastoji se od pojedinačnih vrijednosti; na njih utječu i uobičajeni uzroci i pojedinačni uvjeti. U međuvremenu se odstupanja karakteristična za pojedine vrijednosti gase. Prosjek, koji je funkcija skupa pojedinačnih vrijednosti, predstavlja cjelokupni skup kao jednu vrijednost i odražava ono zajedničko što je svojstveno svim njegovim jedinicama.

Nazvan je prosjek izračunat za populacije koje se sastoje od kvalitativno homogenih jedinica tipični prosjek... Na primjer, možete izračunati prosječnu mjesečnu plaću zaposlenika određene profesionalne skupine (rudar, liječnik knjižničar). Naravno, razine mjesečnih plaća rudara, zbog razlike u njihovim kvalifikacijama, radnom stažu, mjesečno odrađenom vremenu i mnogim drugim čimbenicima, međusobno se razlikuju i od razine prosječnih plaća. Međutim, prosječna razina odražava glavne čimbenike koji utječu na razinu plaća, a razlike koje nastaju zbog individualnih karakteristika zaposlenika međusobno se nadoknađuju. Prosječna plaća odražava tipičnu razinu plaće za datu vrstu radnika. Dobivanju tipičnog prosjeka trebala bi prethoditi analiza kako je data populacija kvalitativno homogena. Ako se agregat sastoji od zasebnih dijelova, treba ga podijeliti u tipične skupine (prosječna temperatura u bolnici).

Nazvana su sredstva koja se koriste kao karakteristike za heterogene populacije prosjeci sustava... Primjerice, prosječna vrijednost bruto domaćeg proizvoda (BDP) po stanovniku, prosječna potrošnja različitih grupa dobara po osobi i druge slične vrijednosti koje predstavljaju generalizirajuća obilježja države kao jedinstvenog ekonomskog sustava.

Prosjek treba izračunati za populacije s dovoljno velikim brojem jedinica. Ispunjavanje ovog uvjeta neophodno je kako bi zakon velikih brojeva stupio na snagu, uslijed čega se slučajna odstupanja pojedinih vrijednosti od općeg trenda međusobno poništavaju.

Vrste prosjeka i kako ih izračunati

Izbor vrste prosjeka određen je ekonomskim sadržajem određenog pokazatelja i početnim podacima. Međutim, bilo koju prosječnu vrijednost treba izračunati tako da kada zamjenjuje svaku varijantu prosječnog obilježja, konačnu, generalizirajuću ili, kako se to obično naziva, definirajući pokazatelj, što je povezano s prosječnim pokazateljem. Primjerice, prilikom zamjene stvarnih brzina na odvojenim dijelovima staze njihovom prosječnom brzinom, ukupna udaljenost koju je vozilo prešlo za isto vrijeme ne bi se trebala mijenjati; kada se stvarne plaće pojedinih zaposlenika u poduzeću zamijene prosječnim plaćama, fond plaća ne bi se trebao mijenjati. Slijedom toga, u svakom konkretnom slučaju, ovisno o prirodi dostupnih podataka, postoji samo jedna istinska prosječna vrijednost pokazatelja koja je primjerena svojstvima i suštini proučavanog socio-ekonomskog fenomena.
Najčešće se koriste aritmetička sredina, harmonijska sredina, geometrijska sredina, srednja vrijednost kvadrata i kubna sredina.
Navedeni prosjeci pripadaju klasi vlast-zakonprosjeci i kombiniraju se općom formulom:
,
gdje je prosječna vrijednost ispitivane značajke;
m - pokazatelj stupnja prosjeka;
- trenutna vrijednost (varijanta) prosječnog atributa;
n je broj svojstava.
Ovisno o vrijednosti eksponenta m, razlikuju se sljedeće vrste energetskih sredstava:
pri m \u003d -1 - prosječni harmonik;
pri m \u003d 0 - geometrijska sredina;
za m \u003d 1 - aritmetička sredina;
za m \u003d 2 - srednji kvadrat;
s m \u003d 3 - prosječna kubična.
Koristeći iste početne podatke, što je veći eksponent m u gornjoj formuli, to je veća srednja vrijednost:
.
Ovo svojstvo prosjeka snage da se povećava s povećanjem eksponenta funkcije određivanja naziva se pravilo mažuranosti sredstava.
Svaki od označenih prosjeka može imati dva oblika: jednostavani ponderiran.
Jednostavan srednji oblikkoristi se kada se prosjek izračunava iz primarnih (negrupiranih) podataka. Ponderirani oblik- pri izračunavanju prosjeka za sekundarne (grupirane) podatke.

Aritmetička sredina

Aritmetička sredina koristi se kada je obujam populacije zbroj svih pojedinačnih vrijednosti atributa varijable. Treba imati na umu da se, ako vrsta prosjeka nije navedena, misli na aritmetičku sredinu. Njegova logična formula je:

Jednostavna aritmetička sredina izračunati negrupiranim podacima prema formuli:
ili ,
gdje su pojedinačne vrijednosti atributa;
j je redni broj jedinice promatranja, koju karakterizira vrijednost;
N je broj jedinica promatranja (veličina populacije).
Primjer. U predavanju "Sažetak i grupiranje statističkih podataka" razmatrani su rezultati promatranja radnog iskustva tima od 10 ljudi. Izračunajmo prosječni radni staž radnika tima. 5, 3, 5, 4, 3, 4, 5, 4, 2, 4.

Formulom aritmetičke srednje proste vrijednosti izračunavaju se i sljedeće kronološki prosjeciako su vremenski intervali za koje su prikazane karakteristične vrijednosti jednaki.
Primjer. Količina prodanih proizvoda za prvo tromjesečje iznosila je 47 den. jedinice, za drugu 54, za treću 65 i za četvrtu 58 dana. jedinice Prosječni tromjesečni promet je (47 + 54 + 65 + 58) / 4 \u003d 56 den. jedinice
Ako su pokazatelji trenutka dani u kronološkim nizovima, tada će se pri izračunavanju prosjeka zamijeniti poluskupima vrijednosti na početku i kraju razdoblja.
Ako postoje više od dva momenta i razmaci između njih su jednaki, tada se prosjek izračunava pomoću formule za prosječni kronološki

,
gdje je n broj puta
U slučaju kada su podaci grupirani prema karakterističnim vrijednostima (tj. konstruira se diskretna varijacijska distribucijska serija) sa aritmetički ponderiranaizračunava se pomoću frekvencija ili frekvencija promatranja određenih vrijednosti značajke, čiji je broj (k) znatno manji od broja promatranja (N).
,
,
gdje je k broj grupa varijacijskog niza,
i - broj grupe varijacijske serije.
Budući da, a, dobivamo formule koje se koriste za praktične izračune:
i
Primjer. Izračunajmo prosječni staž radnih timova za grupirani red.
a) pomoću frekvencija:

b) pomoću frekvencija:

U slučaju kada su podaci grupirani po intervalima , tj. prikazani su u obliku intervalnih serija raspodjele, pri izračunavanju aritmetičke sredine sredina intervala uzima se kao vrijednost atributa, na temelju pretpostavke o jednolikoj raspodjeli jedinica stanovništva u ovom intervalu. Izračun se provodi prema formulama:
i
gdje je sredina intervala :,
gdje su i donja i gornja granica intervala (pod uvjetom da se gornja granica ovog intervala podudara s donjom granicom sljedećeg intervala).

Primjer. Izračunajmo aritmetičku sredinu niza varijacija intervala izgrađenih na temelju rezultata istraživanja godišnjih plaća 30 radnika (vidi predavanje "Sažetak i grupiranje statističkih podataka").
Tablica 1 - Intervalne varijacijske serije raspodjele.

uAH ili uAH
Aritmetičke sredine izračunate na temelju početnih podataka i niza varijacija intervala možda se neće podudarati zbog neravnomjerne raspodjele vrijednosti atributa unutar intervala. U ovom slučaju, za točniji izračun aritmetičkog ponderiranog prosjeka ne bi se trebale koristiti središnje točke intervala, već jednostavna aritmetička sredina izračunata za svaku skupinu ( prosjeci grupe). Poziva se prosjek izračunat iz prosjeka grupe pomoću ponderirane formule izračuna opći prosjek.
Aritmetička sredina ima niz svojstava.
1. Zbroj odstupanja varijante od srednje vrijednosti jednak je nuli:
.
2. Ako se sve vrijednosti varijante povećaju ili smanje za vrijednost A, tada se i prosječna vrijednost povećava ili smanjuje za istu vrijednost A:

3. Ako se svaka opcija poveća ili smanji za B puta, tada će se i prosječna vrijednost povećati ili smanjiti za isti broj puta:
ili
4. Zbroj umnožaka varijante po frekvencijama jednak je umnošku prosječne vrijednosti zbroju frekvencija:

5. Ako se sve frekvencije podijele ili pomnože s bilo kojim brojem, tada se aritmetička sredina neće promijeniti:

6) ako su u svim intervalima frekvencije jednake jedna drugoj, tada je ponderirana aritmetička sredina jednaka jednostavnoj aritmetičkoj sredini:
,
gdje je k broj grupa varijacijskog niza.

Korištenje svojstava srednje vrijednosti olakšava izračunavanje.
Pretpostavimo da se sve mogućnosti (x) prvo smanje za isti broj A, a zatim smanje za B puta. Najveće pojednostavljenje postiže se kada je vrijednost sredine intervala s najvećom frekvencijom odabrana kao A, a vrijednost intervala (za redove s jednakim intervalima) kao B. Količina A naziva se ishodištem, stoga se naziva ovaj način izračunavanja prosjeka putb ohm računajući od uvjetne nule ili način trenutaka.
Nakon takve transformacije dobivamo novu varijacijsku seriju distribucije, čije su varijante jednake. Njihova aritmetička sredina tzv trenutak prve narudžbe,izražava se formulom i prema drugom i trećem svojstvu aritmetičke sredine jednak je prosjeku izvornih opcija, umanjen prvo za A, a zatim za B puta, tj.
Primiti stvarni prosjek(prosjek početne serije), trebate pomnožiti trenutak prvog reda s B i dodati A:

Izračun aritmetičke sredine metodom momenata prikazan je podacima u tablici. 2.
Tablica 2 - Raspodjela radnika poduzeća prema radnom stažu

Pronađite trenutak prve narudžbe ... Zatim, znajući da je A \u003d 17,5 i B \u003d 5, izračunavamo prosječni radni staž radnika u trgovini:
godine

Prosječni harmonik
Kao što je gore prikazano, aritmetička sredina koristi se za izračunavanje prosječne vrijednosti značajke u slučajevima kada su poznate njezine varijante x i njihova učestalost f.
Ako statistički podaci ne sadrže učestalosti f za pojedine varijante x populacije, ali su predstavljeni kao njihov proizvod, primjenjuje se formula prosječno harmonijski ponderirano... Da bismo izračunali prosjek, označimo gdje. Zamjenom ovih izraza u formuli za aritmetički ponderirani prosjek dobivamo formulu za harmonijski ponderirani prosjek:
,
gdje je volumen (težina) vrijednosti atributa indikatora u intervalu s brojem i (i \u003d 1,2, ..., k).

Dakle, prosječni se harmonik koristi u slučajevima kada zbrajanju ne podliježu same opcije, već njihove uzajamne vrijednosti: .
U slučajevima kada je težina svake opcije jednaka jedinici, t.j. pojedinačne vrijednosti inverznog atributa javljaju se jednom, primijeni se prosječni harmonik jednostavan:
,
gdje su pojedinačne varijante suprotnog znaka, koje se javljaju jednom;
N - broj opcija.
Ako postoje harmonijski prosjeci za dva dijela populacije, tada se ukupni prosjek za cijelu populaciju izračunava po formuli:

i nazvao ponderirana harmonijska sredina iz skupnih sredina.

Primjer. Tijekom trgovanja na mjenjačnici, u prvom satu rada zaključene su tri transakcije. Podaci o iznosu prodaje grivne i tečaju grivne u odnosu na američki dolar dati su u tablici. 3 (stupci 2 i 3). Odredite prosječni tečaj grivne prema američkom dolaru za prvi sat trgovanja.
Tablica 3 - Podaci o tijeku trgovanja na mjenjačnici

Prosječna stopa dolara određuje se omjerom količine prodane grivne tijekom svih transakcija i iznosa dolara stečenih kao rezultat istih transakcija. Ukupan iznos prodaje grivne poznat je iz stupca 2 tablice, a broj dolara kupljenih u svakoj transakciji određuje se dijeljenjem iznosa prodaje grivne s njenom stopom (stupac 4). Ukupno su tijekom tri transakcije kupljena 22 milijuna dolara. To znači da je prosječni tečaj grivne za jedan dolar bio
.
Dobivena vrijednost je stvarna, jer zamjena sa stvarnim tečajevima grivne u transakcijama neće promijeniti ukupan iznos prodaje grivne koji služi kao definirajući pokazatelj: Milijun UAH
Ako je za izračunavanje korištena aritmetička sredina, t.j. grivna, tada po tečaju za kupnju 22 milijuna dolara. bilo bi potrebno potrošiti 110,66 milijuna grivna, što ne odgovara stvarnosti.

Geometrijska sredina
Geometrijska sredina koristi se za analizu dinamike pojava i omogućuje vam određivanje prosječne stope rasta. Pri izračunavanju geometrijske sredine, pojedinačne vrijednosti obilježja predstavljaju relativne pokazatelje dinamike, izgrađene u obliku lančanih veličina, kao omjer svake razine i prethodne.
Jednostavna geometrijska sredina izračunava se formulom:
,
gdje je znak djela,
N je broj prosječnih vrijednosti.
Primjer.Broj registriranih kaznenih djela tijekom 4 godine povećao se 1,57 puta, uključujući prvo - 1,08 puta, drugo - 1,1 puta, treće - 1,18 puta i četvrto - 1,12 puta. Tada je prosječna godišnja stopa rasta broja kaznenih djela :, tj. broj registriranih kaznenih djela povećavao se godišnje u prosjeku za 12%.

1,8
-0,8
0,2
1,0
1,4

1
3
4
1
1

3,24
0,64
0,04
1
1,96

3,24
1,92
0,16
1
1,96