Svaka, zasebno uzeta vrijednost u potpunosti je određena njezinom funkcijom raspodjele. Također, za rješavanje praktičnih problema dovoljno je znati nekoliko numeričkih karakteristika, zahvaljujući kojima postaje moguće predstaviti glavne značajke slučajne varijable u kratkom obliku.

Te vrijednosti uključuju prvenstveno očekivana vrijednost i disperzija .

Očekivana vrijednost - prosječna vrijednost slučajne varijable u teoriji vjerojatnosti. Označeno je kao.

Na najjednostavniji način, matematičko očekivanje slučajne varijable X (w)naći kao sastavniLebesgue u odnosu na vjerojatnosnu mjeru R izvornik prostor vjerojatnosti

Također možete pronaći matematičko očekivanje vrijednosti kao lebesgueov integral iz x raspodjelom vjerojatnosti P X veličine x:

gdje je skup svih mogućih vrijednosti x.

Matematičko očekivanje funkcija slučajne varijable x je putem distribucije P X. na primjer, ako a x - slučajna varijabla s vrijednostima u i f (x) - jednoznačno borelfunkcija x , zatim:

Ako je a Ž (x) - funkcija distribucije x, tada je matematičko očekivanje predstavljivo sastavniLebesgue - Stieltjes (ili Riemann - Stieltjes):

štoviše, integrabilnost x u smislu ( * ) odgovara konačnosti integrala

U određenim slučajevima, ako x ima diskretnu raspodjelu s vjerojatnim vrijednostima x k, k \u003d 1,2,. i vjerojatnosti

ako a x ima apsolutno kontinuiranu raspodjelu s gustoćom vjerojatnosti p (x)zatim

u ovom je slučaju postojanje matematičkog očekivanja ekvivalent apsolutnoj konvergenciji odgovarajućeg niza ili integrala.

Svojstva matematičkog očekivanja slučajne varijable.

• Matematičko očekivanje konstantne vrijednosti jednako je ovoj vrijednosti:

C- konstantno;

• M \u003d C.M [X]

• Matematičko očekivanje zbroja slučajno uzetih vrijednosti jednako je zbroju njihovih matematičkih očekivanja:

• Matematičko očekivanje umnoška neovisnih slučajno uzetih veličina \u003d umnožak njihovih matematičkih očekivanja:

M \u003d M [X] + M [Y]

ako a x i Y neovisna.

ako se serija konvergira:

Algoritam za izračunavanje matematičkih očekivanja.

Svojstva diskretnih slučajnih varijabli: sve njihove vrijednosti mogu se numerirati prirodnim brojevima; izjednačite svaku vrijednost s nula vjerojatnosti.

1. Pomnožite parove redom: x i na p i.

2. Dodajte proizvod svakog para x i p i.

Na primjer, za n = 4 :

Funkcija raspodjele diskretne slučajne varijable postupno se naglo povećava u onim točkama čije vjerojatnosti imaju pozitivan predznak.

Primjer:Očekivanu vrijednost pronađite po formuli.

Disperzija kontinuirana slučajna varijabla X, čije moguće vrijednosti pripadaju cijeloj osi Ox, određuje se jednakošću:

Svrha usluge... Mrežni kalkulator namijenjen je rješavanju problema u kojima gustoća raspodjele f (x), ili funkcija raspodjele F (x) (vidi primjer). Obično u takvim zadacima trebate pronaći matematičko očekivanje, standardno odstupanje, graf grafova funkcija f (x) i F (x).

Uputa. Odaberite vrstu izvornih podataka: raspodjela gustoće f (x) ili funkcija raspodjele F (x).

Data je gustoća raspodjele f (x):

Funkcija raspodjele F (x) dana je:

Kontinuirana slučajna varijabla dana je gustoćom vjerojatnosti
(Rayleighov zakon o raspodjeli - koristi se u radiotehnici). Nađi M (x), D (x).

Slučajna varijabla X naziva se stalan ako je njegova funkcija raspodjele F (X) \u003d P (X< x) непрерывна и имеет производную.
Funkcija raspodjele kontinuirane slučajne varijable koristi se za izračunavanje vjerojatnosti udaranja slučajne varijable u danom intervalu:
P (α< X < β)=F(β) - F(α)
a za kontinuiranu slučajnu varijablu nije važno jesu li njezine granice uključene u ovaj interval ili ne:
P (α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Gustoća distribucije kontinuirana slučajna varijabla naziva se funkcija
f (x) \u003d F ’(x), izvedenica funkcije distribucije.

Svojstva gustoće raspodjele