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Ce programme peut être utile aux lycéens écoles secondaires en préparation aux tests et examens, lors du test des connaissances avant l'examen d'État unifié, pour que les parents contrôlent la solution de nombreux problèmes de mathématiques et d'algèbre. Ou peut-être que cela vous coûte trop cher d’embaucher un tuteur ou d’acheter de nouveaux manuels ? Ou souhaitez-vous simplement le faire le plus rapidement possible ? devoirs

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Calculer la limite
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Un peu de théorie.

Limite de la fonction à x->x 0

Soit la fonction f(x) définie sur un ensemble X et soit le point \(x_0 \in X\) ou \(x_0 \notin X\)

Prenons de X une suite de points différente de x 0 :
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
convergeant vers x*. Les valeurs de fonction aux points de cette séquence forment également une séquence numérique
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
et on peut se poser la question de l'existence de sa limite.

Définition. Le nombre A est appelé limite de la fonction f(x) au point x = x 0 (ou à x -> x 0), si pour toute séquence (1) de valeurs de l'argument x différente de x 0 convergeant vers x 0, la séquence correspondante (2) de fonction de valeurs converge vers le nombre A.

$$ \lim_(x\to x_0)( f(x)) = A $$

La fonction f(x) ne peut avoir qu'une seule limite au point x 0. Cela découle du fait que la séquence
(f(x n)) n’a qu’une seule limite.

Il existe une autre définition de la limite d'une fonction.

Définition Le nombre A est appelé limite de la fonction f(x) au point x = x 0 si pour tout nombre \(\varepsilon > 0\) il existe un nombre \(\delta > 0\) tel que pour tout \ (x \in X, \; x \neq x_0 \), satisfaisant l'inégalité \(|x-x_0| En utilisant des symboles logiques, cette définition peut s'écrire sous la forme
\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Notez que les inégalités \(x \neq x_0 , \; |x-x_0| La première définition est basée sur le concept de limite d'une suite de nombres, c'est pourquoi elle est souvent appelée la définition « dans le langage des séquences ». \(\varepsilon - \delta \)”.
Ces deux définitions de la limite d'une fonction sont équivalentes et vous pouvez utiliser l'une ou l'autre selon celle qui convient le mieux pour résoudre un problème particulier.

A noter que la définition de la limite d'une fonction « dans le langage des séquences » est aussi appelée définition de la limite d'une fonction selon Heine, et la définition de la limite d'une fonction « dans le langage \(\varepsilon - \delta \) » est aussi appelée la définition de la limite d’une fonction selon Cauchy.

Limite de la fonction à x->x 0 - et à x->x 0 +

Dans ce qui suit, nous utiliserons les notions de limites unilatérales d'une fonction, qui sont définies comme suit.

Définition Le nombre A est appelé la limite droite (gauche) de la fonction f(x) au point x 0 si pour toute séquence (1) convergeant vers x 0, dont les éléments x n sont supérieurs (inférieurs à) x 0, la séquence correspondante (2) converge vers A.

Symboliquement, cela s'écrit ainsi :
$$ \lim_(x \to x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \right) $$

On peut donner une définition équivalente des limites unilatérales d’une fonction « dans le langage \(\varepsilon - \delta \) » :

Définition un nombre A est appelé la limite droite (gauche) de la fonction f(x) au point x 0 si pour tout \(\varepsilon > 0\) il existe \(\delta > 0\) tel que pour tout x satisfaisant les inégalités \(x_0 Entrées symboliques :

Regardons quelques exemples illustratifs.

Soit x un nombre quantité variable, X est l'aire de son changement. Si chaque nombre x appartenant à X est associé à un certain nombre y, alors ils disent qu'une fonction est définie sur l'ensemble X, et écrivent y = f(x).
Définir X dans dans ce cas- un avion composé de deux axes de coordonnées– 0X et 0Y. Par exemple, décrivons la fonction y = x 2. Les axes 0X et 0Y forment X - la zone de son changement. La figure montre clairement le comportement de la fonction. Dans ce cas, on dit que la fonction y = x 2 est définie sur l'ensemble X.

L'ensemble Y de toutes les valeurs partielles d'une fonction est appelé l'ensemble des valeurs f(x). En d'autres termes, l'ensemble de valeurs est l'intervalle le long de l'axe 0Y où la fonction est définie. La parabole représentée montre clairement que f(x) > 0, car x2 > 0. Par conséquent, la plage de valeurs sera . Nous examinons de nombreuses valeurs par 0Y.

L’ensemble de tous x est appelé le domaine de f(x). Nous examinons de nombreuses définitions par 0X et dans notre cas, la plage de valeurs acceptables est [- ; +].

Un point a (a appartient à ou X) est appelé point limite de l'ensemble X si dans n'importe quel voisinage du point a il y a des points de l'ensemble X différents de a.

Le moment est-il venu de comprendre quelle est la limite d’une fonction ?

Le b pur vers lequel tend la fonction lorsque x tend vers le nombre a est appelé limite de la fonction. Celui-ci s'écrit ainsi :

Par exemple, f(x) = x 2. Nous devons découvrir à quoi tend la fonction (n'est pas égale) en x 2. Tout d'abord, nous écrivons la limite :

Regardons le graphique.

Traçons une ligne parallèle à l'axe 0Y passant par le point 2 sur l'axe 0X. Il croisera notre graphique au point (2;4). Déposons une perpendiculaire de ce point sur l'axe 0Y et arrivons au point 4. C'est ce que notre fonction vise en x 2. Si nous substituons maintenant la valeur 2 dans la fonction f(x), la réponse sera la même.

Maintenant, avant de passer à calcul des limites, introduisons les définitions de base.

Introduit par le mathématicien français Augustin Louis Cauchy au 19ème siècle.

Supposons que la fonction f(x) soit définie sur un certain intervalle qui contient le point x = A, mais il n'est pas du tout nécessaire que la valeur de f(A) soit définie.

Alors, selon la définition de Cauchy, limite de la fonction f(x) sera un certain nombre B avec x tendant vers A si pour tout C > 0 il existe un nombre D > 0 pour lequel

Ceux. si la fonction f(x) en x A est limitée par la limite B, cela s'écrit sous la forme

Limite de séquence un certain nombre A est appelé si pour tout arbitrairement petit nombre positif Dans > 0 il existe un nombre N pour lequel toutes les valeurs dans le cas n > N satisfont l'inégalité

Cette limite ressemble à .

Une suite qui a une limite sera dite convergente ; sinon, nous l’appellerons divergente.

Comme vous l'avez déjà remarqué, les limites sont indiquées par l'icône lim, sous laquelle est écrite une condition pour la variable, puis la fonction elle-même est écrite. Un tel ensemble se lira comme « la limite d’une fonction soumise à… ». Par exemple:

- la limite de la fonction lorsque x tend vers 1.

L'expression « se rapprochant de 1 » signifie que x prend successivement des valeurs se rapprochant de 1 infiniment proches.

Il devient maintenant clair que pour calculer cette limite, il suffit de substituer la valeur 1 à x :

En plus des spécificités valeur numérique x peut tendre vers l’infini. Par exemple:

L'expression x signifie que x augmente constamment et s'approche indéfiniment de l'infini. Par conséquent, en substituant l'infini à x, il devient évident que la fonction 1-x tendra vers , mais avec le signe opposé :

Ainsi, calcul des limites revient à trouver sa valeur spécifique ou une certaine zone dans laquelle se situe la fonction limitée par la limite.

Sur la base de ce qui précède, il s'ensuit que lors du calcul des limites, il est important d'utiliser plusieurs règles :

Compréhension essence de la limite et règles de base calculs de limites, vous obtiendrez des informations clés sur la manière de les résoudre. Si une limite vous pose des difficultés, écrivez dans les commentaires et nous vous aiderons certainement.

Remarque : La jurisprudence est la science des lois, qui aide dans les conflits et autres difficultés de la vie.

Théorie des limites- une des sections de l'analyse mathématique que certains peuvent maîtriser, tandis que d'autres ont du mal à calculer les limites. La question de trouver des limites est assez générale, puisqu'il existe des dizaines de techniques limites de la solution différents types. Les mêmes limites peuvent être trouvées avec ou sans la règle de L'Hôpital. Il arrive que programmer une série de fonctions infinitésimales permet d’obtenir rapidement le résultat souhaité. Il existe un ensemble de techniques et d'astuces qui permettent de trouver la limite d'une fonction de toute complexité. Dans cet article, nous tenterons de comprendre les principaux types de limites les plus souvent rencontrées en pratique. Nous ne donnerons pas ici la théorie et la définition de la limite ; il existe de nombreuses ressources sur Internet où cela est discuté. Passons donc aux calculs pratiques, c’est là que votre « Je ne sais pas ! Je ne peux pas ! On ne nous a pas appris !

Calcul des limites à l'aide de la méthode de substitution

Exemple 1. Trouver la limite d'une fonction
Lim((x^2-3*x)/(2*x+5),x=3).
Solution : Des exemples de ce type peuvent être théoriquement calculés en utilisant la substitution habituelle

La limite est le 18/11.
Il n'y a rien de compliqué ou de sage dans de telles limites - nous avons substitué la valeur, l'avons calculée et noté la limite comme réponse. Cependant, sur la base de ces limites, chacun apprend qu’il faut d’abord substituer la valeur à la fonction. De plus, les limites deviennent plus compliquées, introduisant le concept d’infini, d’incertitude, etc.

Une limite avec une incertitude comme l'infini divisé par l'infini. Techniques de divulgation des incertitudes

Exemple 2. Trouver la limite d'une fonction
Lim((x^2+2x)/(4x^2+3x-4),x=infini).
Solution : Une limite de la forme polynôme divisée par un polynôme est donnée, et la variable tend vers l'infini

Remplacer simplement la valeur à laquelle la variable doit être trouvée pour trouver les limites n'aidera pas, nous obtenons une incertitude de la forme infini divisé par l'infini.
Selon la théorie des limites, l’algorithme de calcul de la limite consiste à trouver la plus grande puissance de « x » au numérateur ou au dénominateur. Ensuite, le numérateur et le dénominateur y sont simplifiés et la limite de la fonction est trouvée

Puisque la valeur tend vers zéro lorsque la variable tend vers l'infini, elles sont négligées, ou écrites dans l'expression finale sous forme de zéros.

Immédiatement de la pratique, vous pouvez tirer deux conclusions qui sont un indice dans les calculs. Si une variable tend vers l’infini et que le degré du numérateur est supérieur au degré du dénominateur, alors la limite est égale à l’infini. Sinon, si le polynôme au dénominateur est d’ordre supérieur à celui du numérateur, la limite est zéro.
La limite peut être écrite dans des formules comme celle-ci :

Si nous avons une fonction de la forme d'un corps ordinaire sans fractions, alors sa limite est égale à l'infini

Le prochain type de limites concerne le comportement des fonctions proches de zéro.

Exemple 3. Trouver la limite d'une fonction
Lim((x^2+3x-5)/(x^2+x+2), x=0).
Solution : Il n’est pas nécessaire de supprimer ici le facteur principal du polynôme. Exactement le contraire, vous devez trouver la plus petite puissance du numérateur et du dénominateur et calculer la limite

valeur x ^ 2 ; x tendent vers zéro lorsque la variable tend vers zéro. Par conséquent, ils sont négligés, nous obtenons donc.

que la limite est de 2,5.

Maintenant tu sais comment trouver la limite d'une fonction de la forme, divisez un polynôme par un polynôme si la variable tend vers l'infini ou vers 0. Mais ce n'est qu'une petite et facile partie des exemples. À partir du matériel suivant, vous apprendrez comment découvrir les incertitudes dans les limites d'une fonction.

Limite avec incertitude de type 0/0 et méthodes pour son calcul

Tout le monde se souvient immédiatement de la règle selon laquelle on ne peut pas diviser par zéro. Cependant, la théorie des limites dans ce contexte implique des fonctions infinitésimales.
Regardons quelques exemples pour plus de clarté.

Exemple 4. Trouver la limite d'une fonction
Lim((3x^2+10x+7)/(x+1), x=-1).
Solution : Lorsque nous substituons la valeur de la variable x = -1 au dénominateur, nous obtenons zéro et nous obtenons la même chose au numérateur. Nous avons donc incertitude de la forme 0/0.
Faire face à une telle incertitude est simple : vous devez factoriser le polynôme, ou plutôt sélectionner le facteur qui transforme la fonction en zéro.

Après développement, la limite de la fonction peut s’écrire

C'est toute la méthode de calcul de la limite d'une fonction. On fait de même s'il existe une limite de la forme polynôme divisée par un polynôme.

Exemple 5. Trouver la limite d'une fonction
Lim((2x^2-7x+6)/(3x^2-x-10), x=2).
Solution : spectacles de substitution directe
2*4-7*2+6=0;
3*4-2-10=0
qu'avons-nous incertitude de type 0/0.
Divisons les polynômes par le facteur qui introduit la singularité


Il y a des enseignants qui enseignent que les polynômes du 2ème ordre, c'est-à-dire du type « équations quadratiques », doivent être résolus par le discriminant. Mais la pratique réelle montre que cela est plus long et plus déroutant, alors débarrassez-vous des fonctionnalités dans les limites selon l'algorithme spécifié. On écrit donc la fonction sous la forme facteurs premiers et calculer à la limite

Comme vous pouvez le constater, il n'y a rien de compliqué à calculer de telles limites. Au moment où vous étudiez les limites, vous savez comment diviser des polynômes, au moins selon le programme, vous devriez déjà l'avoir réussi.
Parmi les tâches sur incertitude de type 0/0 Il y en a dans lesquels vous devez utiliser des formules de multiplication abrégées. Mais si vous ne les connaissez pas, en divisant un polynôme par un monôme, vous pouvez obtenir la formule souhaitée.

Exemple 6. Trouver la limite d'une fonction
Lim((x^2-9)/(x-3), x=3).
Solution : Nous avons une incertitude de type 0/0. Au numérateur, nous utilisons la formule de multiplication abrégée

et calculer la limite requise

Méthode pour révéler l'incertitude en multipliant par son conjugué

La méthode est appliquée aux limites dans lesquelles l'incertitude est générée fonctions irrationnelles. Le numérateur ou le dénominateur devient zéro au point de calcul et on ne sait pas comment trouver la frontière.

Exemple 7. Trouver la limite d'une fonction
Lim((carré(x+2)-carré(7x-10))/(3x-6), x=2).
Solution: Représentons la variable dans la formule limite

Lors de la substitution, on obtient une incertitude de type 0/0.
Selon la théorie des limites, la manière de contourner cette caractéristique est de multiplier l’expression irrationnelle par son conjugué. Pour garantir que l'expression ne change pas, le dénominateur doit être divisé par la même valeur

En utilisant la règle de la différence des carrés, nous simplifions le numérateur et calculons la limite de la fonction

Nous simplifions les termes qui créent la singularité dans la limite et effectuons la substitution

Exemple 8. Trouver la limite d'une fonction
Lim((sqrt(x-2)-sqrt(2x-5))/(3-x), x=3).
Solution : La substitution directe montre que la limite a une singularité de la forme 0/0.

Pour développer, on multiplie et on divise par le conjugué du numérateur

Nous notons la différence des carrés

Nous simplifions les termes qui introduisent la singularité et trouvons la limite de la fonction

Exemple 9. Trouver la limite d'une fonction
Lim((x^2+x-6)/(sqrt(3x-2)-2), x=2).
Solution : Remplacez deux dans la formule

Nous obtenons incertitude 0/0.
Le dénominateur doit être multiplié par l'expression conjuguée, et au numérateur l'équation quadratique doit être résolue ou factorisée, en tenant compte de la singularité. Puisqu’on sait que 2 est une racine, on trouve la deuxième racine en utilisant le théorème de Vieta

Ainsi, on écrit le numérateur sous la forme

et remplacez-le dans la limite

En réduisant la différence des carrés, on s'affranchit des singularités au numérateur et au dénominateur

De cette façon, vous pouvez vous débarrasser des singularités dans de nombreux exemples, et l'application doit être notée partout où une différence de racines donnée devient nulle lors de la substitution. D'autres types de limites concernent fonctions exponentielles, fonctions infinitésimales, logarithmes, limites spéciales et autres techniques. Mais vous pouvez lire à ce sujet dans les articles ci-dessous sur les limites.

La théorie des limites est l'une des branches de l'analyse mathématique. La question de la résolution des limites est assez vaste, puisqu'il existe des dizaines de méthodes pour résoudre des limites de différents types. Il existe des dizaines de nuances et d'astuces qui permettent de résoudre telle ou telle limite. Néanmoins, nous tenterons tout de même de comprendre les principaux types de limites les plus souvent rencontrées en pratique.

Commençons par la notion même de limite. Mais d'abord un court contexte historique. Au XIXe siècle vivait un Français, Augustin Louis Cauchy, qui a donné des définitions strictes à de nombreux concepts de matan et en a posé les bases. Il faut dire que ce mathématicien respecté était, est et sera dans les cauchemars de tous les étudiants des départements de physique et de mathématiques, puisqu'il a prouvé un grand nombre de théorèmes d'analyse mathématique, et un théorème est plus mortel que l'autre. À cet égard, nous n'envisagerons pas encore détermination de la limite de Cauchy, mais essayons de faire deux choses :

1. Comprenez ce qu’est une limite.
2. Apprenez à résoudre les principaux types de limites.

Je m'excuse pour certaines explications non scientifiques, il est important que le matériel soit compréhensible même pour une théière, ce qui est en fait la tâche du projet.

Alors quelle est la limite ?

Et juste un exemple de pourquoi faire une grand-mère hirsute....

Toute limite se compose de trois parties:

1) L’icône de limite bien connue.
2) Entrées sous l'icône de limite, dans ce cas . L’entrée indique « X tend vers un ». Le plus souvent - exactement, bien qu'au lieu de « X » dans la pratique, il existe d'autres variables. Dans les tâches pratiques, la place d'un peut être absolument n'importe quel nombre, ainsi que l'infini ().
3) Fonctionne sous le signe limite, dans ce cas .

L'enregistrement lui-même se lit comme ceci : « la limite d’une fonction lorsque x tend vers l’unité ».

Regardons la prochaine question importante : que signifie l'expression « x » ? s'efforceà un" ? Et que signifie « s’efforcer » ?
Le concept de limite est, pour ainsi dire, un concept dynamique. Construisons une séquence : d'abord , puis , , …, , ….
C'est-à-dire l'expression « x s'efforceà un » doit être compris comme suit : « x » prend systématiquement les valeurs qui se rapprochent infiniment de l'unité et coïncident pratiquement avec elle.

Comment résoudre l’exemple ci-dessus ? Sur la base de ce qui précède, il vous suffit d'en substituer un dans la fonction sous le signe limite :

Alors, la première règle : Lorsqu'on nous donne une limite, nous essayons d'abord simplement de brancher le numéro dans la fonction.

Nous avons considéré les limites les plus simples, mais celles-ci se retrouvent aussi dans la pratique, et pas si rarement !

Exemple avec l'infini :

Voyons ce que c'est ? C’est le cas lorsqu’il augmente sans limite, c’est-à-dire : d’abord, puis, ensuite, puis et ainsi de suite à l’infini.

Qu'arrive-t-il à la fonction à ce moment-là ?
, , , …

Donc : si , alors la fonction tend vers moins l'infini:

En gros, selon notre première règle, au lieu de « X », nous substituons l'infini dans la fonction et obtenons la réponse.

Autre exemple avec l'infini :

Encore une fois, nous commençons à augmenter jusqu'à l'infini et regardons le comportement de la fonction :

Conclusion : quand la fonction augmente sans limite:

Et une autre série d'exemples :

Veuillez essayer d'analyser mentalement les éléments suivants par vous-même et rappelez-vous les types de limites les plus simples :

, , , , , , , , ,
Si vous avez des doutes quelque part, vous pouvez vous procurer une calculatrice et vous entraîner un peu.
Dans le cas où , essayez de construire la séquence , , . Si , alors , , .

! Note: À proprement parler, cette approche de construction de séquences de plusieurs nombres est incorrecte, mais pour comprendre les exemples les plus simples, elle est tout à fait adaptée.

Faites également attention à la chose suivante. Même si une limite est donnée avec un grand nombre en haut, voire un million : , alors c'est pareil , puisque tôt ou tard « X » commencera à prendre des valeurs si gigantesques qu'un million en comparaison sera un véritable microbe.

Que devez-vous retenir et comprendre de ce qui précède ?

1) Lorsqu’une limite nous est donnée, nous essayons d’abord simplement de substituer le nombre dans la fonction.

2) Vous devez comprendre et résoudre immédiatement les limites les plus simples, telles que , , etc.

De plus, la limite a une très bonne signification géométrique. Pour une meilleure compréhension du sujet, je vous recommande de lire matériel méthodologique Graphiques et propriétés des fonctions élémentaires. Après avoir lu cet article, vous comprendrez non seulement enfin ce qu'est une limite, mais vous vous familiariserez également avec des cas intéressants où la limite d'une fonction en général n'existe pas!

Dans la pratique, malheureusement, les cadeaux sont rares. Nous passons donc à des limites plus complexes. D'ailleurs, sur ce sujet il y a cours intensif au format pdf, ce qui est particulièrement utile si vous disposez de TRÈS peu de temps pour vous préparer. Mais les matériaux du site, bien sûr, ne sont pas pires :

Nous allons maintenant considérer le groupe de limites quand , et la fonction est une fraction dont le numérateur et le dénominateur contiennent des polynômes

Exemple:

Calculer la limite

Selon notre règle, nous essaierons de substituer l'infini dans la fonction. Qu'obtient-on au sommet ? Infini. Et que se passe-t-il ci-dessous ? L'infini aussi. Nous avons donc ce qu’on appelle l’incertitude des espèces. On pourrait le penser, et la réponse est toute prête, mais cas général Ce n'est pas du tout le cas et vous devez appliquer une solution que nous allons maintenant considérer.

Comment résoudre des limites de ce type ?

Nous regardons d’abord le numérateur et trouvons la puissance la plus élevée :

La puissance principale au numérateur est deux.

Maintenant, regardons le dénominateur et trouvons-le également à la puissance la plus élevée :

Le degré le plus élevé du dénominateur est deux.

On choisit alors la plus grande puissance du numérateur et du dénominateur : en dans cet exemple ils coïncident et sont égaux à deux.

Ainsi, la méthode de résolution est la suivante : pour révéler l'incertitude, il faut diviser le numérateur et le dénominateur par la puissance la plus élevée.

La voici, la réponse, et pas du tout l'infini.

Qu’est-ce qui est fondamentalement important dans la conception d’une décision ?

Premièrement, nous indiquons l’incertitude, le cas échéant.

Deuxièmement, il est conseillé d'interrompre la solution pour des explications intermédiaires. J'utilise habituellement le signe, il n'a aucune signification mathématique, mais signifie que la solution est interrompue pour une explication intermédiaire.

Troisièmement, dans la limite, il est conseillé de marquer ce qui va où. Lorsque l'ouvrage est rédigé à la main, il est plus pratique de procéder ainsi :

Il est préférable d'utiliser un simple crayon pour les notes.

Bien sûr, vous n’êtes pas obligé de faire quoi que ce soit de tout cela, mais peut-être que l’enseignant signalera les lacunes de la solution ou commencera à poser des questions. questions supplémentaires en mission. En avez-vous besoin ?

Exemple 2

Trouver la limite
Toujours au numérateur et au dénominateur on retrouve au plus haut degré :

Degré maximum au numérateur : 3
Degré maximum au dénominateur : 4
Choisir le plus grand valeur, dans ce cas quatre.
Selon notre algorithme, pour révéler l'incertitude, nous divisons le numérateur et le dénominateur par .
Inscription complète les tâches pourraient ressembler à ceci :

Divisez le numérateur et le dénominateur par

Exemple 3

Trouver la limite
Degré maximum de « X » au numérateur : 2
Degré maximum de « X » au dénominateur : 1 (peut s’écrire)
Pour révéler l'incertitude, il faut diviser le numérateur et le dénominateur par . La solution finale pourrait ressembler à ceci :

Divisez le numérateur et le dénominateur par

La notation ne signifie pas division par zéro (on ne peut pas diviser par zéro), mais division par un nombre infinitésimal.

Ainsi, en découvrant l'incertitude relative aux espèces, nous pourrons peut-être numéro final, zéro ou l'infini.

Limites avec incertitude de type et méthode pour les résoudre

Le groupe de limites suivant est quelque peu similaire aux limites que nous venons de considérer : le numérateur et le dénominateur contiennent des polynômes, mais « x » ne tend plus vers l'infini, mais vers nombre fini.

Exemple 4

Résoudre la limite
Tout d'abord, essayons de remplacer -1 dans la fraction :

Dans ce cas, ce qu'on appelle l'incertitude est obtenu.

Règle générale : si le numérateur et le dénominateur contiennent des polynômes et qu'il y a une incertitude sur la forme, alors divulguer il faut prendre en compte le numérateur et le dénominateur.

Pour ce faire, vous devez le plus souvent résoudre une équation quadratique et/ou utiliser des formules de multiplication abrégées. Si ces choses ont été oubliées, alors visitez la page Formules et tableaux mathématiques et lire le matériel pédagogique Des formules chaudes cours scolaire mathématiciens. À propos, il est préférable de l'imprimer ; cela est nécessaire très souvent et les informations sont mieux absorbées sur papier.

Alors, résolvons notre limite

Factoriser le numérateur et le dénominateur

Afin de factoriser le numérateur, vous devez résoudre l'équation quadratique :

On trouve d’abord le discriminant :

Et sa racine carrée : .

Si le discriminant est grand, par exemple 361, on utilise une calculatrice, la fonction d'extraction racine carrée disponible sur la calculatrice la plus simple.

! Si la racine n'est pas complètement extraite (il s'avère nombre fractionnaire avec une virgule), il est très probable que le discriminant ait été mal calculé ou qu'il y ait eu une faute de frappe dans la tâche.

Ensuite, nous trouvons les racines :

Ainsi:

Tous. Le numérateur est factorisé.

Dénominateur. Le dénominateur est déjà le facteur le plus simple et il n’existe aucun moyen de le simplifier.

On peut évidemment le raccourcir en :

Remplaçons maintenant -1 dans l'expression qui reste sous le signe limite :

Naturellement, dans travail d'essai, lors d'un test ou d'un examen, la solution n'est jamais écrite avec autant de détails. Dans la version finale, le design devrait ressembler à ceci :

Factorisons le numérateur.

Exemple 5

Calculer la limite

Tout d’abord, la version « finie » de la solution

Factorisons le numérateur et le dénominateur.

Numérateur:
Dénominateur:



,

Qu'est-ce qui est important dans cet exemple ?
Tout d'abord, vous devez bien comprendre comment le numérateur est révélé, nous avons d'abord pris 2 entre parenthèses, puis utilisé la formule de la différence des carrés. C'est la formule que vous devez connaître et voir.

Recommandation: Si dans une limite (de presque n'importe quel type) il est possible de retirer un nombre entre parenthèses, alors nous le faisons toujours.
De plus, il est conseillé de déplacer ces nombres au-delà de l'icône de limite. Pour quoi? Oui, juste pour qu’ils ne gênent pas. L'essentiel est de ne pas perdre ces numéros plus tard lors de la résolution.

Veuillez noter qu'à l'étape finale de la solution, j'ai supprimé les deux icônes hors limite, puis le moins.

! Important
Lors de la solution, le fragment type apparaît très souvent. Réduisez cette fractionc'est interdit . Vous devez d'abord changer le signe du numérateur ou du dénominateur (mettre -1 entre parenthèses).
, c'est-à-dire qu'un signe moins apparaît, qui est pris en compte lors du calcul de la limite et il n'est pas du tout nécessaire de le perdre.

En général, j'ai remarqué que le plus souvent, pour trouver des limites de ce type, il faut résoudre deux équations quadratiques, c'est-à-dire que le numérateur et le dénominateur contiennent tous deux des trinômes carrés.

Méthode de multiplication du numérateur et du dénominateur par l'expression conjuguée

Nous continuons à considérer l'incertitude de la forme

Le type de limites suivant est similaire au type précédent. La seule chose, en plus des polynômes, nous ajouterons des racines.

Exemple 6

Trouver la limite

Commençons par décider.

Nous essayons d'abord de substituer 3 dans l'expression sous le signe limite
Je le répète encore une fois : c'est la première chose que vous devez faire pour TOUTE limite. Cette action est généralement réalisée mentalement ou sous forme de brouillon.

Une incertitude de forme a été obtenue et doit être éliminée.

Comme vous l’avez probablement remarqué, notre numérateur contient la différence des racines. Et en mathématiques, il est d'usage de se débarrasser des racines si possible. Pour quoi? Et la vie est plus facile sans eux.

Notions de limites de séquences et de fonctions. Lorsqu'il faut trouver la limite d'une suite, elle s'écrit : lim xn=a. Dans une telle séquence de séquences, xn tend vers a et n tend vers l’infini. La séquence est généralement représentée sous forme de série, par exemple :
x1, x2, x3...,xm,...,xn... .
Les séquences sont divisées en séquences croissantes et décroissantes. Par exemple:
xn=n^2 - séquence croissante
yn=1/n - séquence
Ainsi, par exemple, la limite de la séquence xn=1/n^ :
limite 1/n^2=0

x→∞
Cette limite est égale à zéro, puisque n→∞, et la séquence 1/n^2 tend vers zéro.

Généralement, une quantité variable x tend vers une limite finie a, et x se rapproche constamment de a, et la quantité a est constante. Cela s'écrit comme suit : limx =a, tandis que n peut aussi tendre vers zéro ou vers l'infini. Il existe une infinité de fonctions dont la limite tend vers l’infini. Dans d'autres cas, lorsque, par exemple, la fonction ralentit un train, il est possible que la limite tende vers zéro.
Les limites ont un certain nombre de propriétés. En règle générale, toute fonction n'a qu'une seule limite. C'est la propriété principale de la limite. D’autres sont répertoriés ci-dessous :
* Le montant plafond est égal à la somme des plafonds :
lim(x+y)=lim x+lim y
* La limite du produit est égale au produit des limites :
lim(xy)=lim x*lim y
* La limite du quotient est égale au quotient des limites :
lim(x/y)=lim x/lim y
* Le facteur constant est pris en dehors du signe limite :
lim(Cx)=C lim x
Étant donné une fonction 1 /x dans laquelle x →∞, sa limite est nulle. Si x→0, la limite d'une telle fonction est ∞.
Pour fonctions trigonométriques sont issus de ces règles. Parce que fonction péché x tend toujours vers l'unité lorsqu'il tend vers zéro, l'identité lui vaut :
lim péché x/x=1

Dans un certain nombre de fonctions, il existe des fonctions pour lesquelles une incertitude apparaît lors du calcul des limites - une situation dans laquelle la limite ne peut pas être calculée. La seule issue à cette situation est L'Hôpital. Il existe deux types d'incertitudes :
* incertitude de la forme 0/0
* incertitude de la forme ∞/∞
Par exemple, une limite de la forme suivante est donnée : lim f(x)/l(x), et f(x0)=l(x0)=0. Dans ce cas, une incertitude de la forme 0/0 apparaît. Pour résoudre un tel problème, les deux fonctions sont différenciées, après quoi la limite du résultat est trouvée. Pour les incertitudes de type 0/0, la limite est :
lim f(x)/l(x)=lim f"(x)/l"(x) (à x→0)
La même règle est également vraie pour les incertitudes de type ∞/∞. Mais dans ce cas l’égalité suivante est vraie : f(x)=l(x)=∞
Grâce à la règle de L'Hôpital, vous pouvez trouver les valeurs de toutes limites dans lesquelles apparaissent des incertitudes. Un préalable à

volume - aucune erreur lors de la recherche de dérivés. Ainsi, par exemple, la dérivée de la fonction (x^2)" est égale à 2x. De là, nous pouvons conclure que :
f"(x)=nx^(n-1)