|
внимание!
Има допълнителни
материали в специален раздел 555.
За тези, които са много "не много..."
И за тези, които „много...“)
Видове квадратни уравнения
Какво е квадратно уравнение? Как изглежда? В срок квадратно уравнениеключовата дума е "квадрат".Това означава, че в уравнението Задължителнотрябва да има x на квадрат. В допълнение към него уравнението може (или не!) да съдържа само X (на първа степен) и само число (безплатен член).И не трябва да има X на степен две.
От гледна точка на математиката, квадратното уравнение е уравнение от формата:
Тук a, b и c- някои числа. b и c- абсолютно всякакви, но А– нещо различно от нула. Например:
Тук А =1; b = 3; ° С = -4
Тук А =2; b = -0,5; ° С = 2,2
Тук А =-3; b = 6; ° С = -18
Е, разбирате...
В тези квадратни уравнения отляво има пълен комплектчленове. Х на квадрат с коефициент а, x на първа степен с коефициент bИ безплатен член s.
Такива квадратни уравнения се наричат пълен.
И ако b= 0, какво получаваме? Ние имаме X ще се загуби на първа степен.Това се случва, когато се умножи по нула.) Оказва се, например:
5x 2 -25 = 0,
2x 2 -6x=0,
-x 2 +4x=0
И така нататък. И ако и двата коефициента bИ ° Сса равни на нула, тогава е още по-просто:
2x 2 =0,
-0,3x 2 =0
Такива уравнения, при които нещо липсва, се наричат непълни квадратни уравнения.Което е съвсем логично.) Моля, обърнете внимание, че x на квадрат присъства във всички уравнения.
Между другото защо Ане може да е равно на нула? И вие замествате вместо това Анула.) Нашият X на квадрат ще изчезне! Уравнението ще стане линейно. И решението е съвсем друго...
Това са всички основни типове квадратни уравнения. Пълна и непълна.
Решаване на квадратни уравнения.
Решаване на пълни квадратни уравнения.
Квадратните уравнения са лесни за решаване. По формули и ясни, прости правила. На първия етап е необходимо даденото уравнение да се приведе в стандартна форма, т.е. към формата:
Ако уравнението вече ви е дадено в тази форма, не е необходимо да правите първия етап.) Основното е да определите правилно всички коефициенти, А, bИ ° С. Формулата за намиране на корените на квадратно уравнение изглежда така:
Изразът под знака за корен се нарича дискриминанта. Но повече за него по-долу. Както можете да видите, за да намерим X, използваме само a, b и c.
Тези. коефициенти от квадратно уравнение. Просто внимателно заменете стойностите a, b и cИзчисляваме по тази формула. Да заместим със собствените си знаци!
Например в уравнението:
А =1; b = 3; ° С= -4. Тук го записваме:
Примерът е почти решен:
Това е отговорът.
Всичко е много просто. И какво, мислите, че е невъзможно да направите грешка? Ами да, как...
Най-честите грешки са объркване със стойностите на знаците a, b и c. Или по-скоро не с техните знаци (къде да се объркате?), А със заместването на отрицателни стойности във формулата за изчисляване на корените. Това, което помага тук, е подробен запис на формулата с конкретни числа. Ако има проблеми с изчисленията, направи го!
Да предположим, че трябва да решим следния пример:
Тук а = -6;
b = -5;
° С = -1
Да приемем, че знаете, че рядко получавате отговори от първия път.
Е, не бъдете мързеливи. Ще отнеме около 30 секунди, за да напишете допълнителен ред и броя на грешките рязко ще намалее. Затова пишем подробно, с всички скоби и знаци:
Изглежда невероятно трудно да се пише толкова внимателно. Но така само изглежда. Пробвам. Е, или изберете. Кое е по-добро, бързо или правилно? Освен това ще те направя щастлив. След известно време няма да има нужда да записвате всичко толкова внимателно. Ще се оправи от само себе си. Особено ако използвате практически техники, които са описани по-долу. Този зъл пример с куп минуси се решава лесно и без грешки!
Но често квадратните уравнения изглеждат малко по-различно. Например така:
Разпознахте ли го?) Да! Това непълни квадратни уравнения.
Решаване на непълни квадратни уравнения.
Те могат да бъдат решени и с обща формула. Просто трябва да разберете правилно на какво са равни тук. a, b и c.
Разбрахте ли го? В първия пример а = 1; b = -4;А ° С? Изобщо го няма! Ами да, точно така. В математиката това означава, че c = 0
! Това е всичко. Вместо това заменете нула във формулата ° С,и ще успеем. Същото и с втория пример. Само ние нямаме нула тук с, А b !
Но непълните квадратни уравнения могат да бъдат решени много по-лесно. Без никакви формули. Нека разгледаме първото непълно уравнение. Какво можете да направите от лявата страна? Можете да извадите X от скоби! Да го извадим.
И какво от това? И фактът, че продуктът е равен на нула тогава и само ако някой от факторите е равен на нула! не ми вярваш Добре, тогава измислете две ненулеви числа, които, когато се умножат, ще дадат нула!
Не работи? Това е...
Следователно можем уверено да напишем: x 1 = 0, х 2 = 4.
Всичко. Това ще бъдат корените на нашето уравнение. И двете са подходящи. Когато заместваме някое от тях в оригиналното уравнение, получаваме правилната идентичност 0 = 0. Както можете да видите, решението е много по-просто от използването на общата формула. Между другото да отбележа кое X ще е първото и кое второто - абсолютно безразлично. Удобно е да пишете в ред, х 1- какво е по-малък и х 2- това, което е по-голямо.
Второто уравнение също може да бъде решено просто. Преместете 9 надясно. Получаваме:
Всичко, което остава, е да извлечем корена от 9 и това е. Ще се окаже:
Също така два корена .
х 1 = -3, х 2 = 3.
Ето как се решават всички непълни квадратни уравнения. Или като поставите X извън скоби, или просто прехвърлянечисла вдясно и след това извличане на корена.
Изключително трудно е да се объркат тези техники. Просто защото в първия случай ще трябва да извлечете корена на X, което е някак неразбираемо, а във втория случай няма какво да извадите от скоби...
Дискриминанта. Дискриминантна формула.
Вълшебна дума дискриминанта
! Рядко гимназист не е чувал тази дума! Фразата „ние решаваме чрез дискриминант“ вдъхва увереност и увереност. Защото няма нужда да очаквате трикове от дискриминанта! Използва се лесно и безпроблемно.) Напомням ви най-общата формула за решаване всякаквиквадратни уравнения:
Изразът под знака за корен се нарича дискриминант. Обикновено дискриминантът се обозначава с буквата д. Дискриминантна формула:
D = b 2 - 4ac
И какво е толкова забележително в този израз? Защо заслужаваше специално име? Какво значението на дискриминанта?След всичко -б,или 2ав тази формула не го наричат конкретно... Букви и букви.
Ето това е нещото. При решаване на квадратно уравнение с помощта на тази формула е възможно само три случая.
1. Дискриминантът е положителен.Това означава, че коренът може да бъде извлечен от него. Друг е въпросът дали коренът се извлича добре или зле. Важно е какво се извлича по принцип. Тогава вашето квадратно уравнение има два корена. Две различни решения.
2. Дискриминантът е нула.Тогава ще имате едно решение. Тъй като добавянето или изваждането на нула в числителя не променя нищо. Строго погледнато, това не е един корен, а две еднакви. Но в опростена версия е обичайно да се говори за едно решение.
3. Дискриминантът е отрицателен.от отрицателно числоквадратният корен не се взема. Ми добре. Това означава, че няма решения.
Честно казано, кога просто решениеквадратни уравнения, концепцията за дискриминант не е особено необходима. Заместваме стойностите на коефициентите във формулата и броим. Там всичко става от само себе си, два корена, един и нито един. При решаване на по-сложни задачи обаче, без знания значение и формула на дискриминантане достатъчно. Особено в уравненията с параметри. Такива уравнения са висш пилотаж за държавния изпит и единния държавен изпит!)
Така, как се решават квадратни уравнениячрез дискриминанта, който запомнихте. Или сте научили, което също не е лошо.) Знаете как да определите правилно a, b и c. Знаете ли как? внимателнозаменете ги в коренната формула и внимателнопребройте резултата. Разбирате, че ключовата дума тук е внимателно?
Сега вземете под внимание практическите техники, които значително намаляват броя на грешките. Същите, които са от невнимание... За които после става болезнено и обидно...
Първа среща
. Не бъдете мързеливи, преди да решите квадратно уравнение и да го приведете в стандартна форма. Какво означава това?
Да кажем, че след всички трансформации получавате следното уравнение:
Не бързайте да пишете коренната формула! Почти сигурно ще объркате шансовете a, b и c.Конструирайте примера правилно. Първо X на квадрат, след това без квадрат, след това свободният член. Като този:
И отново, не бързайте! Минус пред Х на квадрат може наистина да ви разстрои. Лесно се забравя... Отърви се от минуса. как? Да, както беше казано в предишната тема! Трябва да умножим цялото уравнение по -1. Получаваме:
Но сега можете спокойно да запишете формулата за корените, да изчислите дискриминанта и да завършите решаването на примера. Решете сами. Сега трябва да имате корени 2 и -1.
Рецепция втори.
Проверете корените! Според теоремата на Виета. Не се страхувайте, ще ви обясня всичко! Проверка последно нещоуравнението. Тези. тази, която използвахме, за да запишем формулата на корена. Ако (както в този пример) коеф а = 1, проверката на корените е лесна. Достатъчно е да ги умножите. Резултатът трябва да е безплатен член, т.е. в нашия случай -2. Моля, обърнете внимание, не 2, а -2! Безплатен член с твоя знак
. Ако не се получи, значи вече са се прецакали някъде. Потърсете грешката.
Ако работи, трябва да добавите корените. Последна и последна проверка. Коефициентът трябва да бъде bс противоположност
познат. В нашия случай -1+2 = +1. Коефициент b, което е преди X, е равно на -1. Значи всичко е точно!
Жалко е, че това е толкова просто само за примери, където x на квадрат е чисто, с коефициент а = 1.Но поне проверете такива уравнения! всичко по-малко грешкище.
Прием трети
. Ако вашето уравнение има дробни коефициенти, отървете се от дробите! Умножете уравнението по общ знаменател, както е описано в урока "Как се решават уравнения? Тъждествени трансформации." Когато работите с дроби, грешките продължават да се прокрадват по някаква причина...
Между другото, обещах да опростя злия пример с куп минуси. Моля те! Ето го.
За да не се объркаме от минусите, умножаваме уравнението по -1. Получаваме:
Това е всичко! Решаването е удоволствие!
И така, нека обобщим темата.
Практически съвети:
1. Преди да решим, привеждаме квадратното уравнение в стандартна форма и го изграждаме вярно.
2. Ако има отрицателен коефициент пред X на квадрат, ние го елиминираме, като умножим цялото уравнение по -1.
3. Ако коефициентите са дробни, елиминираме дробите, като умножим цялото уравнение по съответния коефициент.
4. Ако х на квадрат е чисто, неговият коефициент е равен на едно, решението може лесно да се провери с помощта на теоремата на Виета. Направи го!
Сега можем да решим.)
Решете уравнения:
8x 2 - 6x + 1 = 0
x 2 + 3x + 8 = 0
x 2 - 4x + 4 = 0
(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)
Отговори (в безпорядък):
x 1 = 0
х 2 = 5
х 1,2 =2
х 1 = 2
х 2 = -0,5
x - произволно число
х 1 = -3
х 2 = 3
няма решения
х 1 = 0,25
х 2 = 0,5
Всичко ли пасва? Страхотен! Квадратните уравнения не са вашето главоболие. Първите три проработиха, но останалите не? Тогава проблемът не е в квадратните уравнения. Проблемът е в тъждествените трансформации на уравнения. Разгледайте линка, полезен е.
Не се получава съвсем? Или изобщо не се получава? Тогава раздел 555 ще ви помогне. Всички тези примери са разбити там. Показано основенгрешки в решението. Разбира се, говорим и за използването на идентични трансформации при решаване на различни уравнения. Помага много!
Ако харесвате този сайт...
Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)
Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Да учим - с интерес!)
Можете да се запознаете с функции и производни.
|
5x (x - 4) = 0
5 x = 0 или x - 4 = 0
x = ± √ 25/4
След като сте се научили да решавате уравнения от първа степен, разбира се, искате да работите с други, по-специално с уравнения от втора степен, които иначе се наричат квадратни.
Квадратните уравнения са уравнения като ax² + bx + c = 0, където променливата е x, числата са a, b, c, където a не е равно на нула.
Ако в квадратно уравнение единият или другият коефициент (c или b) е равен на нула, тогава това уравнение ще бъде класифицирано като непълно квадратно уравнение.
Как да решим непълно квадратно уравнение, ако учениците досега са успели да решават само уравнения от първа степен? Разгледайте непълни квадратни уравнения различни видовеи прости начини за разрешаването им.
а) Ако коефициентът c е равен на 0, а коефициентът b не е равен на нула, тогава ax ² + bx + 0 = 0 се редуцира до уравнение от вида ax ² + bx = 0.
За да решите такова уравнение, трябва да знаете формулата за решаване на непълно квадратно уравнение, която е следната: лява странаразложете го на множители и по-късно използвайте условието, че продуктът е равен на нула.
Например 5x² - 20x = 0. Разлагаме лявата страна на уравнението, докато правим обичайното математическа операция: преместване на общия фактор извън скоби
5x (x - 4) = 0
Използваме условието продуктите да са равни на нула.
5 x = 0 или x - 4 = 0
Отговорът ще бъде: първият корен е 0; вторият корен е 4.
b) Ако b = 0 и свободният член не е равен на нула, тогава уравнението ax ² + 0x + c = 0 се редуцира до уравнение от вида ax ² + c = 0. Уравненията се решават по два начина : а) чрез разлагане на полинома на уравнението от лявата страна; б) използване на свойствата на аритметиката корен квадратен. Такова уравнение може да бъде решено с помощта на един от методите, например:
x = ± √ 25/4
x = ± 5/2. Отговорът ще бъде: първият корен е 5/2; вторият корен е равен на - 5/2.
c) Ако b е равно на 0 и c е равно на 0, тогава ax ² + 0 + 0 = 0 се редуцира до уравнение от вида ax ² = 0. В такова уравнение x ще бъде равно на 0.
Както можете да видите, непълните квадратни уравнения могат да имат не повече от два корена.
Квадратните уравнения често се появяват при решаването на различни задачи по физика и математика. В тази статия ще разгледаме как да решим тези равенства по универсален начин „чрез дискриминант“. В статията са дадени и примери за използване на придобитите знания.
За какви уравнения ще говорим?
Фигурата по-долу показва формула, в която x е неизвестна променлива и латинските символи a, b, c представляват известни числа.
Всеки от тези символи се нарича коефициент. Както можете да видите, числото "a" се появява преди променливата x на квадрат. Това е максималната мощност на представения израз, поради което се нарича квадратно уравнение. Често се използва другото му име: уравнение от втори ред. Самата стойност a е квадратен коефициент (заедно с променливата на квадрат), b е линеен коефициент (той е до променливата, повдигната на първа степен) и накрая, числото c е свободният член.
Имайте предвид, че типът уравнение, показано на фигурата по-горе, е общ класически квадратен израз. В допълнение към него има други уравнения от втори ред, в които коефициентите b и c могат да бъдат нула.
Когато задачата е поставена за решаване на въпросното равенство, това означава, че трябва да се намерят такива стойности на променливата x, които да го удовлетворяват. Тук първото нещо, което трябва да запомните, е следното: тъй като максималната степен на X е 2, тогава този тип израз не може да има повече от 2 решения. Това означава, че ако при решаването на уравнение са намерени 2 стойности на x, които го удовлетворяват, тогава можете да сте сигурни, че няма 3-то число, замествайки го с x, равенството също би било вярно. Решенията на дадено уравнение в математиката се наричат негови корени.
Методи за решаване на уравнения от втори ред
Решаването на уравнения от този тип изисква познаване на някаква теория за тях. IN училищен курсалгебрите разглеждат 4 различни методирешения. Нека ги изброим:
- използване на факторизация;
- използване на формулата за перфектен квадрат;
- чрез прилагане на графиката на съответната квадратична функция;
- използвайки дискриминантното уравнение.
Предимството на първия метод е неговата простота, но не може да се използва за всички уравнения. Вторият метод е универсален, но донякъде тромав. Третият метод се отличава със своята яснота, но не винаги е удобен и приложим. И накрая, използването на дискриминантното уравнение е универсален и доста прост начин за намиране на корените на абсолютно всяко уравнение от втори ред. Затова в тази статия ще разгледаме само него.
Формула за получаване на корените на уравнението
Да се обърнем към общ видквадратно уравнение. Нека го запишем: a*x²+ b*x + c =0. Преди да използвате метода за решаването му „чрез дискриминант“, винаги трябва да приведете равенството в неговата писмена форма. Тоест, трябва да се състои от три члена (или по-малко, ако b или c е 0).
Например, ако има израз: x²-9*x+8 = -5*x+7*x², тогава трябва първо да преместите всичките му членове от едната страна на равенството и да добавите членовете, съдържащи променливата x в същите правомощия.
IN в такъв случайтази операция ще доведе до следния израз: -6*x²-4*x+8=0, което е еквивалентно на уравнението 6*x²+4*x-8=0 (тук умножихме лявата и дясната страна на равенство по -1).
В горния пример a = 6, b=4, c=-8. Имайте предвид, че всички членове на разглежданото равенство винаги се сумират заедно, така че ако се появи знакът „-“, това означава, че съответният коефициент е отрицателен, като числото c в този случай.
След като разгледахме тази точка, нека сега преминем към самата формула, която прави възможно получаването на корените на квадратно уравнение. Изглежда като показаното на снимката по-долу.
Както може да се види от този израз, той ви позволява да получите два корена (обърнете внимание на знака "±"). За да направите това, достатъчно е да замените коефициентите b, c и a в него.
Концепцията за дискриминант
В предишния параграф беше дадена формула, която ви позволява бързо да решите всяко уравнение от втори ред. В него радикалният израз се нарича дискриминант, тоест D = b²-4*a*c.
Защо тази част от формулата е подчертана и дори е подходящо име? Факт е, че дискриминантът свързва всичките три коефициента на уравнението в един израз. Последният факт означава, че той изцяло носи информация за корените, която може да бъде изразена в следния списък:
- D>0: Равенството има 2 различни решения, като и двете са реални числа.
- D=0: Уравнението има само един корен и то е реално число.
Задача за определяне на дискриминант
Нека дадем прост пример как да намерим дискриминант. Нека е дадено следното равенство: 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.
Нека го приведем в стандартна форма, получаваме: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, от което стигаме до равенството : -2*x² +2*x-11 = 0. Тук a=-2, b=2, c=-11.
Сега можете да използвате горната формула за дискриминанта: D = 2² - 4*(-2)*(-11) = -84. Полученото число е отговорът на задачата. Тъй като в примера дискриминантът по-малко от нула, тогава можем да кажем, че това квадратно уравнение няма реални корени. Неговото решение ще бъде само числа от сложен тип.
Пример за неравенство чрез дискриминант
Нека решим задачи от малко по-различен тип: като се има предвид равенството -3*x²-6*x+c = 0. Необходимо е да се намерят стойности на c, за които D>0.
В този случай са известни само 2 от 3 коефициента, така че не е възможно да се изчисли точната стойност на дискриминанта, но се знае, че той е положителен. Използваме последния факт, когато съставяме неравенството: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. Решаването на полученото неравенство води до резултата: c>-3.
Нека проверим полученото число. За да направим това, изчисляваме D за 2 случая: c=-2 и c=-4. Числото -2 удовлетворява получения резултат (-2>-3), съответният дискриминант ще има стойност: D = 12>0. На свой ред, числото -4 не удовлетворява неравенството (-4. Следователно, всички числа c, които са по-големи от -3, ще удовлетворят условието.
Пример за решаване на уравнение
Нека представим задача, която включва не само намиране на дискриминанта, но и решаване на уравнението. Необходимо е да се намерят корените на равенството -2*x²+7-9*x = 0.
В този пример дискриминантът е следваща стойност: D = 81-4*(-2)*7= 137. Тогава корените на уравнението ще бъдат определени, както следва: x = (9±√137)/(-4). Това са точните стойности на корените; ако изчислите корена приблизително, тогава получавате числата: x = -5,176 и x = 0,676.
Геометрична задача
Нека решим задача, която ще изисква не само умение за изчисляване на дискриминанта, но и използване на умения за абстрактно мислене и знания за това как да пишат квадратни уравнения.
Боб имаше завивка с размери 5 х 4 метра. Момчето искаше да шие непрекъсната лента от красив плат. Колко дебела ще бъде тази лента, ако знаем, че Боб има 10 m² плат.
Нека лентата има дебелина x m, тогава площта на тъканта е дълга странаодеялото ще бъде (5+2*x)*x и тъй като има 2 дълги страни, имаме: 2*x*(5+2*x). Откъм късата страна площта на зашития плат ще бъде 4*x, тъй като има 2 от тези страни, получаваме стойността 8*x. Обърнете внимание, че стойността 2*x беше добавена към дългата страна, тъй като дължината на одеялото се увеличи с това число. Общата площ на тъканта, пришита към одеялото, е 10 m². Следователно получаваме равенството: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.
За този пример дискриминантът е равен на: D = 18²-4*4*(-10) = 484. Коренът му е 22. Използвайки формулата, намираме необходимите корени: x = (-18±22)/( 2*4) = (- 5; 0,5). Очевидно от двата корена само числото 0,5 е подходящо според условията на задачата.
Така лентата от плат, която Боб пришива към одеялото си, ще бъде широка 50 см.
Непълното квадратно уравнение се различава от класическите (пълни) уравнения по това, че неговите фактори или свободен член са равни на нула. Графиките на такива функции са параболи. В зависимост от общия им вид се делят на 3 групи. Принципите на решаване на всички видове уравнения са еднакви.
Няма нищо сложно в определянето на вида на непълен полином. Най-добре е да разгледате основните разлики, като използвате визуални примери:
- Ако b = 0, тогава уравнението е ax 2 + c = 0.
- Ако c = 0, тогава трябва да се реши изразът ax 2 + bx = 0.
- Ако b = 0 и c = 0, тогава полиномът се превръща в равенство като ax 2 = 0.
Последният случай е по-скоро теоретична възможност и никога не се среща в задачите за проверка на знанията, тъй като единствената правилна стойност на променливата x в израза е нула. В бъдеще ще бъдат разгледани методи и примери за решаване на непълни квадратни уравнения от тип 1) и 2).
Общ алгоритъм за търсене на променливи и примери с решения
Независимо от вида на уравнението, алгоритъмът за решение се свежда до следните стъпки:
- Намалете израза до форма, удобна за намиране на корени.
- Извършете изчисления.
- Запишете отговора.
Най-лесният начин за решаване на непълни уравнения е да разложите лявата страна и да оставите нула отдясно. По този начин формулата за непълно квадратно уравнение за намиране на корени се свежда до изчисляване на стойността на x за всеки от факторите.
Можете само да научите как да го решите на практика, така че нека помислим конкретен примернамиране на корените на непълно уравнение:
Както можете да видите, в този случай b = 0. Нека факторизираме лявата страна и да получим израза:
4(x – 0,5) ⋅ (x + 0,5) = 0.
Очевидно произведението е равно на нула, когато поне един от факторите е равен на нула. Стойностите на променливата x1 = 0,5 и (или) x2 = -0,5 отговарят на подобни изисквания.
За да се справите лесно и бързо със задачата за разлагане квадратен тричленна фактори, запомнете следната формула:
Ако в израза няма свободен член, проблемът е значително опростен. Ще бъде достатъчно само да се намери и постави в скоби общия знаменател. За по-голяма яснота разгледайте пример за това как се решават непълни квадратни уравнения от формата ax2 + bx = 0.
Нека извадим променливата x извън скобите и ще получим следния израз:
x ⋅ (x + 3) = 0.
Водени от логиката стигаме до извода, че x1 = 0, а x2 = -3.
Традиционен метод на решение и непълни квадратни уравнения
Какво се случва, ако приложите дискриминантната формула и се опитате да намерите корените на полином с коефициенти, равни на нула? Да вземем пример от колекцията типични задачиза Единния държавен изпит по математика 2017 г. ще го решим по стандартни формули и метода на факторизиране.
7x 2 – 3x = 0.
Нека изчислим дискриминантната стойност: D = (-3)2 – 4 ⋅ (-7) ⋅ 0 = 9. Оказва се, че полиномът има два корена:
Сега нека решим уравнението чрез разлагане на множители и сравним резултатите.
X ⋅ (7x + 3) = 0,
2) 7x + 3 = 0,
7x = -3,
х = -.
Както можете да видите, и двата метода дават един и същ резултат, но решаването на уравнението чрез втория метод беше много по-лесно и по-бързо.
Теорема на Виета
Но какво да правим с любимата теорема на Виета? Може ли този метод да се използва, когато триномът е непълен? Нека се опитаме да разберем аспектите на кастинга пълни уравненияДа се класически вид ax2 + bx + c = 0.
Всъщност в този случай е възможно да се приложи теоремата на Виета. Необходимо е само изразът да се приведе в общия му вид, като се заменят липсващите членове с нула.
Например при b = 0 и a = 1, за да се елиминира възможността от объркване, задачата трябва да се напише във вида: ax2 + 0 + c = 0. Тогава отношението на сбора и произведението на корените и факторите на полинома могат да бъдат изразени по следния начин:
Теоретичните изчисления помагат да се запознаете със същността на проблема и винаги изискват практически умения при решаването специфични задачи. Нека се обърнем отново към справочника със стандартни задачи за Единния държавен изпит и да намерим подходящ пример:
Нека запишем израза във вид, удобен за прилагане на теоремата на Виета:
x 2 + 0 – 16 = 0.
Следващата стъпка е да създадете система от условия:
Очевидно корените на квадратния полином ще бъдат x 1 = 4 и x 2 = -4.
Сега нека се упражним да приведем уравнението в общия му вид. Да вземем следния пример: 1/4× x 2 – 1 = 0
За да се приложи теоремата на Виета към израз, е необходимо да се отървем от дробта. Нека умножим лявата и дясната страна по 4 и погледнем резултата: x2– 4 = 0. Полученото равенство е готово за решаване чрез теоремата на Виета, но е много по-лесно и по-бързо да получите отговора, като просто преместите c = 4 в дясната страна на уравнението: x2 = 4.
За да обобщим, трябва да се каже, че по най-добрия начинрешения непълни уравненияе факторизиране, е най-простият и бърз метод. Ако възникнат трудности в процеса на търсене на корени, можете да се свържете традиционен методнамиране на корени чрез дискриминант.
Формули за корените на квадратно уравнение. Разглеждат се случаите на реални, кратни и комплексни корени. Факторизиране на квадратен трином. Геометрична интерпретация. Примери за определяне на корени и факторизиране.
Основни формули
Разгледайте квадратното уравнение:
(1)
.
Корени на квадратно уравнение(1) се определят по формулите:
;
.
Тези формули могат да се комбинират по следния начин:
.
Когато корените на квадратно уравнение са известни, тогава полином от втора степен може да бъде представен като произведение на фактори (факторизирани):
.
След това приемаме, че това са реални числа.
Нека помислим дискриминант на квадратно уравнение:
.
Ако дискриминантът е положителен, тогава квадратното уравнение (1) има два различни реални корена:
;
.
Тогава факторизацията на квадратния трином има формата:
.
Ако дискриминантът е равен на нула, тогава квадратното уравнение (1) има два кратни (равни) реални корена:
.
Факторизация:
.
Ако дискриминантът е отрицателен, тогава квадратното уравнение (1) има два комплексно спрегнати корена:
;
.
Ето въображаемата единица, ;
и са реалните и въображаемите части на корените:
;
.
Тогава
.
Графична интерпретация
Ако изградите графика на функция
,
което е парабола, тогава точките на пресичане на графиката с оста ще бъдат корените на уравнението
.
При , графиката пресича оста x (ос) в две точки.
Когато , графиката докосва оста x в една точка.
Когато , графиката не пресича оста x.
По-долу са дадени примери за такива графики.
Полезни формули, свързани с квадратно уравнение
(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .
Извеждане на формулата за корените на квадратно уравнение
Извършваме трансформации и прилагаме формули (f.1) и (f.3):
,
Където
;
.
И така, получихме формулата за полином от втора степен във формата:
.
Това показва, че уравнението
извършва при
И .
Това е и са корените на квадратното уравнение
.
Примери за определяне на корените на квадратно уравнение
Пример 1
(1.1)
.
Решение
.
Сравнявайки с нашето уравнение (1.1), намираме стойностите на коефициентите:
.
Намираме дискриминанта:
.
Тъй като дискриминантът е положителен, уравнението има два реални корена:
;
;
.
От тук получаваме факторизацията на квадратния трином:
.
Графика на функцията y = 2 x 2 + 7 x + 3пресича оста x в две точки.
Нека начертаем функцията
.
Графиката на тази функция е парабола. Той пресича абсцисната ос (ос) в две точки:
И .
Тези точки са корените на първоначалното уравнение (1.1).
Отговор
;
;
.
Пример 2
Намерете корените на квадратно уравнение:
(2.1)
.
Решение
Нека напишем квадратното уравнение в общ вид:
.
Сравнявайки с оригиналното уравнение (2.1), намираме стойностите на коефициентите:
.
Намираме дискриминанта:
.
Тъй като дискриминантът е нула, уравнението има два кратни (равни) корена:
;
.
Тогава факторизацията на тринома има формата:
.
Графика на функцията y = x 2 - 4 х + 4докосва оста x в една точка.
Нека начертаем функцията
.
Графиката на тази функция е парабола. Той докосва оста x (ос) в една точка:
.
Тази точка е коренът на първоначалното уравнение (2.1). Тъй като този корен се разлага два пъти:
,
тогава такъв корен обикновено се нарича кратно. Тоест, те вярват, че има два равни корена:
.
Отговор
;
.
Пример 3
Намерете корените на квадратно уравнение:
(3.1)
.
Решение
Нека напишем квадратното уравнение в общ вид:
(1)
.
Нека пренапишем оригиналното уравнение (3.1):
.
Сравнявайки с (1), намираме стойностите на коефициентите:
.
Намираме дискриминанта:
.
Дискриминантът е отрицателен, . Следователно няма истински корени.
Можете да намерите сложни корени:
;
;
.
Тогава
.
Графиката на функцията не пресича оста x. Няма истински корени.
Нека начертаем функцията
.
Графиката на тази функция е парабола. Тя не пресича оста x (ос). Следователно няма истински корени.
Отговор
Няма истински корени. Сложни корени:
;
;
.
