Да работим с квадратни уравнения. Това са много популярни уравнения! В самата общ изгледквадратното уравнение изглежда така:

Например:

тук А =1; b = 3; c = -4

тук А =2; b = -0,5; c = 2,2

тук А =-3; b = 6; c = -18

Е, разбирате...

Как се решават квадратни уравнения?Ако имате квадратно уравнение пред вас в тази форма, тогава всичко е просто. Да си припомним вълшебна дума дискриминант . Рядко гимназист не е чувал тази дума! Фразата „ние решаваме чрез дискриминант“ вдъхва увереност и увереност. Защото няма нужда да очаквате трикове от дискриминанта! Използва се лесно и безпроблемно. И така, формулата за намиране на корените на квадратно уравнение изглежда така:

Изразът под знака на корена е единицата дискриминант. Както можете да видите, за да намерим X, използваме само a, b и c. Тези. коефициенти от квадратно уравнение. Просто внимателно заменете стойностите a, b и cТова е формулата, която изчисляваме. Да заместим със собствените си знаци! Например за първото уравнение А =1; b = 3; c= -4. Тук го записваме:

Примерът е почти решен:

Това е.

Какви случаи са възможни при използване на тази формула? Има само три случая.

1. Дискриминантът е положителен. Това означава, че коренът може да бъде извлечен от него. Друг е въпросът дали коренът се извлича добре или зле. Важно е какво се извлича по принцип. Тогава вашето квадратно уравнение има два корена. Две различни решения.

2. Дискриминантът е нула. Тогава имате едно решение. Строго погледнато, това не е един корен, а две еднакви. Но това играе роля при неравенствата, където ще проучим въпроса по-подробно.

3. Дискриминантът е отрицателен. от отрицателно число корен квадратенне е извлечена. О, добре. Това означава, че няма решения.

Много е просто. И какво, мислите, че е невъзможно да направите грешка? Ами да, как...
Най-честите грешки са объркване със стойностите на знаците a, b и c. Или по-скоро не с техните знаци (къде да се объркате?), А със заместването на отрицателни стойности във формулата за изчисляване на корените. Това, което помага тук, е подробен запис на формулата с конкретни числа. Ако има проблеми с изчисленията, направи това!

Да предположим, че трябва да решим следния пример:

тук а = -6; b = -5; c = -1

Да приемем, че знаете, че рядко получавате отговори от първия път.

Е, не бъдете мързеливи. Ще отнеме около 30 секунди, за да напишете допълнителен ред и броя на грешките рязко ще намалее. Така че ние пишем подробно, с всички скоби и знаци:

Изглежда невероятно трудно да се пише толкова внимателно. Но само изглежда така. Опитайте го. Е, или изберете. Кое е по-добро, бързо или правилно? Освен това ще те направя щастлив. След известно време няма да има нужда да записвате всичко толкова внимателно. Ще се оправи от само себе си. Особено ако използвате практически техники, които са описани по-долу. Този зъл пример с куп минуси се решава лесно и без грешки!

така че как се решават квадратни уравнениячрез дискриминанта, който запомнихме. Или са се научили, което също е добре. Знаете как да определите правилно a, b и c. знаеш ли как внимателнозаменете ги в коренната формула и внимателнопребройте резултата. Разбирате, че ключовата дума тук е внимателно?

Квадратните уравнения обаче често изглеждат малко по-различно. Например така:

това непълни квадратни уравнения . Те могат да бъдат решени и чрез дискриминант. Просто трябва да разберете правилно на какво са равни тук. a, b и c.

Разбрахте ли го? В първия пример а = 1; b = -4;А c? Изобщо го няма! Ами да, точно така. В математиката това означава, че c = 0 ! Това е. Вместо това заменете нула във формулата в,и ще успеем. Същото и с втория пример. Само ние нямаме нула тук с, А b !

Но непълните квадратни уравнения могат да бъдат решени много по-лесно. Без никаква дискриминация. Нека разгледаме първото непълно уравнение. Какво можете да направите от лявата страна? Можете да извадите X от скоби! Да го извадим.

И какво от това? И фактът, че продуктът е равен на нула тогава и само ако някой от факторите е равен на нула! не ми вярваш Добре, тогава измислете две ненулеви числа, които, когато се умножат, ще дадат нула!
не работи? това е...
Следователно можем уверено да напишем: х = 0, или х = 4

Всички. Това ще бъдат корените на нашето уравнение. И двете са подходящи. Когато заместваме някое от тях в оригиналното уравнение, получаваме правилната идентичност 0 = 0. Както можете да видите, решението е много по-просто от използването на дискриминант.

Второто уравнение също може да бъде решено просто. Преместете 9 надясно. Получаваме:

Всичко, което остава, е да извлечем корена от 9 и това е. Ще се окаже:

Също така два корена . x = +3 и x = -3.

Ето как се решават всички непълни квадратни уравнения. Или като поставите X извън скоби, или просто прехвърлянечисла вдясно и след това извличане на корена.
Изключително трудно е да се объркат тези техники. Просто защото в първия случай ще трябва да извлечете корена на X, което е някак неразбираемо, а във втория случай няма какво да извадите от скоби...

Сега вземете под внимание практическите техники, които значително намаляват броя на грешките. Същите, които са от невнимание... За които после става болезнено и обидно...

Първа среща. Не бъдете мързеливи, преди да решите квадратно уравнение и да го приведете в стандартна форма. какво значи това
Да кажем, че след всички трансформации получавате следното уравнение:

Не бързайте да пишете коренната формула! Почти сигурно ще объркате шансовете a, b и c.Конструирайте примера правилно. Първо X на квадрат, след това без квадрат, след това свободният член. като това:

И отново, не бързайте! Минус пред Х на квадрат може наистина да ви разстрои. Лесно се забравя... Отърви се от минуса. как? Да, както беше казано в предишната тема! Трябва да умножим цялото уравнение по -1. Получаваме:

Но сега можете спокойно да запишете формулата за корените, да изчислите дискриминанта и да завършите решаването на примера. Решете сами. Сега трябва да имате корени 2 и -1.

Рецепция втори.Проверете корените! Според теоремата на Виета. Не се страхувайте, ще ви обясня всичко! Проверка последноуравнение. Тези. тази, която използвахме, за да запишем формулата на корена. Ако (както в този пример) коеф а = 1, проверката на корените е лесна. Достатъчно е да ги умножите. Резултатът трябва да е безплатен член, т.е. в нашия случай -2. Моля, обърнете внимание, не 2, а -2! Безплатен член с твоя знак . Ако не се получи, това означава, че вече сте се прецакали някъде. Потърсете грешката. Ако работи, трябва да добавите корените. Последна и последна проверка. Коефициентът трябва да бъде bс противоположност познат. В нашия случай -1+2 = +1. Коефициент b, което е преди X, е равно на -1. Значи всичко е точно!
Жалко е, че това е толкова просто само за примери, където x на квадрат е чисто, с коефициент а = 1.Но поне проверете такива уравнения! Всички по-малко грешкище.

Прием трети. Ако вашето уравнение има дробни коефициенти, отървете се от дробите! Умножете уравнението по общ знаменател, както е описано в предишния раздел. Когато работите с дроби, грешките продължават да се прокрадват по някаква причина...

Между другото, обещах да опростя злия пример с куп минуси. Моля те! Ето го.

За да не се объркаме от минусите, умножаваме уравнението по -1. Получаваме:

това е! Решаването е удоволствие!

И така, нека обобщим темата.

Практически съвети:

1. Преди да решим, привеждаме квадратното уравнение в стандартна форма и го изграждаме вярно.

2. Ако има отрицателен коефициент пред X на квадрат, ние го елиминираме, като умножим цялото уравнение по -1.

3. Ако коефициентите са дробни, елиминираме дробите, като умножим цялото уравнение по съответния коефициент.

4. Ако х на квадрат е чисто, неговият коефициент е равен на едно, решението може лесно да се провери с помощта на теоремата на Виета. направи го!

Дробни уравнения. ОДЗ.

Продължаваме да овладяваме уравненията. Вече знаем как да работим с линейни и квадратни уравнения. Последният оставен изглед - дробни уравнения. Или те също се наричат ​​много по-уважително - дробен рационални уравнения . Това е едно и също нещо.

Дробни уравнения.

Както подсказва името, тези уравнения непременно съдържат дроби. Но не само дроби, а дроби, които имат неизвестен в знаменател. Поне в едно. Например:

Нека ви напомня, че ако знаменателите са само числа, това са линейни уравнения.

Как да решим дробни уравнения? Първо, отървете се от дробите! След това уравнението най-често се превръща в линейно или квадратно. И тогава знаем какво да правим... В някои случаи може да се превърне в идентичност, като 5=5 или неправилен израз, като 7=2. Но това рядко се случва. Ще спомена това по-долу.

Но как да се отървем от дробите!? Много просто. Прилагане на същите идентични трансформации.

Трябва да умножим цялото уравнение по същия израз. Така че всички знаменатели са намалени! Всичко веднага ще стане по-лесно. Нека обясня с пример. Нека трябва да решим уравнението:

Както се преподава в младши класове? Преместваме всичко на една страна, привеждаме го към общ знаменател и т.н. Забравете как лош сън! Това е, което трябва да направите, когато събирате или изваждате дроби. Или работите с неравенства. И в уравненията ние незабавно умножаваме двете страни по израз, който ще ни даде възможност да намалим всички знаменатели (т.е. по същество с общ знаменател). И какъв е този израз?

От лявата страна намаляването на знаменателя изисква умножение по х+2. А отдясно се изисква умножение по 2. Това означава, че уравнението трябва да се умножи по 2(x+2). Умножете:

Това е обичайно умножение на дроби, но ще го опиша подробно:

Моля, обърнете внимание, че все още не отварям скобата (x + 2)! И така, изцяло го пиша:

От лявата страна се свива изцяло (x+2), а вдясно 2. Което се изискваше! След намаляване получаваме линеенуравнение:

И всеки може да реши това уравнение! х = 2.

Нека решим друг пример, малко по-сложен:

Ако си спомним, че 3 = 3/1 и 2x = 2x/ 1, можем да напишем:

И отново се отърваваме от това, което наистина не харесваме - дроби.

Виждаме, че за да намалим знаменателя с X, трябва да умножим дробта по (x – 2). И малко не са пречка за нас. Е, нека да умножим. Всичкилявата страна и всичкидясна страна:

Отново скоби (x – 2)Не разкривам. Работя със скобата като цяло като един номер! Това трябва да се прави винаги, в противен случай нищо няма да се намали.

С чувство на дълбоко удовлетворение намаляваме (x – 2)и получаваме уравнение без никакви дроби, с линийка!

Сега нека отворим скобите:

Носим подобни, преместваме всичко от лявата страна и получаваме:

Класическо квадратно уравнение. Но минусът напред не е добър. Винаги можете да се отървете от него, като умножите или разделите на -1. Но ако се вгледате внимателно в примера, ще забележите, че е най-добре да разделите това уравнение на -2! С един замах минусът ще изчезне и коефициентите ще станат по-привлекателни! Разделете на -2. От лявата страна - термин по член, а отдясно - просто разделяме нула на -2, нула и получаваме:

Решаваме чрез дискриминанта и проверяваме с помощта на теоремата на Виета. получаваме x = 1 и x = 3. Два корена.

Както можете да видите, в първия случай уравнението след трансформацията стана линейно, но тук то стана квадратно. Случва се, след като се отървете от дроби, всички X се намаляват. Нещо остава, като 5=5. Това означава, че x може да бъде всичко. Каквото и да е, все ще бъде намалено. И се оказва чистата истина 5=5. Но след като се отървете от дробите, може да се окаже, че е напълно невярно, като 2=7. И това означава, че няма решения! Всяко X се оказва невярно.

Реализира основното решение дробни уравнения ? Това е просто и логично. Променяме оригиналния израз, така че всичко, което не ни харесва, да изчезне. Или пречи. IN в този случайтова са дроби. Ще направим същото с всякакви сложни примери с логаритми, синуси и други ужасии. Ние ВинагиНека се отървем от всичко това.

Трябва обаче да променим оригиналния израз в посоката, от която се нуждаем според правилата, да... Овладяването на което е подготовка за Единния държавен изпит по математика. Така че ние го овладяваме.

Сега ще научим как да заобиколим един от основни засади на Единния държавен изпит! Но първо, нека видим дали попадате в него или не?

Нека да разгледаме един прост пример:

Материята вече е позната, умножаваме двете страни по (x – 2), получаваме:

Напомням ви, със скоби (x – 2)Ние работим като с едно цялостно изражение!

Тук вече не съм писала в знаменателите, недостойно е... И не съм теглила скоби в знаменателите, освен х – 2няма нищо, не е нужно да рисувате. Нека съкратим:

Отворете скобите, преместете всичко наляво и дайте подобни:

Решаваме, проверяваме, получаваме два корена. х = 2и х = 3. страхотно

Да предположим, че заданието казва да се запише коренът или тяхната сума, ако има повече от един корен. Какво ще пишем?

Ако решите, че отговорът е 5, вие бяха устроени от засада. И задачата няма да ви бъде кредитирана. Напразно са работили... Верният отговор е 3.

какво има?! И вие се опитвате да направите проверка. Заменете стойностите на неизвестното в оригиналенпример. И ако при х = 3всичко ще расте заедно чудесно, получаваме 9 = 9, тогава кога х = 2Ще бъде деление на нула! Това, което абсолютно не можете да направите. Средства х = 2не е решение и не се взема предвид в отговора. Това е така нареченият външен или допълнителен корен. Ние просто го изхвърляме. Последният корен е един. х = 3.

Как така?! – чувам възмутени възгласи. Учеха ни, че едно уравнение може да се умножи по израз! Това е идентична трансформация!

Да, идентични. При малко условие - изразът, с който умножаваме (делим) - различен от нула. А х – 2при х = 2е равно на нула! Така че всичко е справедливо.

И така, какво да правим сега?! Не умножавайте по израз? Трябва ли да проверявам всеки път? Пак неясно!

Спокойно! Не изпадайте в паника!

В тази трудна ситуация три магически букви ще ни спасят. знам какво си мислиш вярно! това ОДЗ . Зона на приемливите стойности.

Известно е, че това е частна версия на равенството ax 2 + bx + c = o, където a, b и c са реални коефициенти за неизвестно x и където a ≠ o, а b и c ще бъдат нули - едновременно или отделно. Например c = o, b ≠ o или обратно. Почти си спомнихме определението за квадратно уравнение.

Тричленът от втора степен е нула. Неговият първи коефициент a ≠ o, b и c могат да приемат всякакви стойности. Стойността на променливата x тогава ще бъде, когато заместването я превърне в правилно числено равенство. Нека се съсредоточим върху реалните корени, въпреки че решенията на уравнението също могат да бъдат. Прието е да се нарича пълно уравнение, в което нито един от коефициентите не е равен на o, a ≠ o, b ≠ o, c ≠ o.
Да решим един пример. 2x 2 -9x-5 = о, намираме
D = 81+40 = 121,
D е положително, което означава, че има корени, x 1 = (9+√121):4 = 5, и второто x 2 = (9-√121):4 = -o.5. Проверката ще ви помогне да се уверите, че са правилни.

Ето стъпка по стъпка решение на квадратното уравнение

Използвайки дискриминанта, можете да решите всяко уравнение, от лявата страна на което има известен квадратен трином за a ≠ o. В нашия пример. 2x 2 -9x-5 = 0 (ax 2 +in+s = o)

Нека разгледаме какви са непълните уравнения от втора степен

1. брадва 2 +in = o. Свободният член, коефициентът c при x 0, е равен на нула тук, в ≠ o.
   Как да решим непълно квадратно уравнение от този тип? Нека извадим x от скобите. Нека си спомним кога произведението на два фактора е равно на нула.
   x(ax+b) = o, това може да бъде, когато x = o или когато ax+b = o.
   След като решихме 2-рата имаме x = -в/а.
   В резултат на това имаме корени x 1 = 0, според изчисленията x 2 = -b/a.
2. Сега коефициентът при x е равен на o, а c не е равен на (≠) o.
   x 2 +c = o. Нека преместим c в дясната страна на равенството, получаваме x 2 = -с. Това уравнение има реални корени само когато -c положително число(с ‹ o),
   тогава x 1 е равно на √(-c), съответно x 2 е -√(-c). В противен случай уравнението изобщо няма корени.
3. Последният вариант: b = c = o, т.е. ax 2 = o. Естествено, такова просто уравнение има един корен, x = o.

Особени случаи

Разгледахме как да решим непълно квадратно уравнение и сега нека вземем всякакви видове.

• В пълно квадратно уравнение вторият коефициент на x е четно число.
  Нека k = o.5b. Имаме формули за изчисляване на дискриминанта и корени.
  D/4 = k 2 - ac, корените се изчисляват като x 1,2 = (-k±√(D/4))/a за D › o.
  x = -k/a при D = o.
  Няма корени за D ‹ o.
• Има дадени квадратни уравнения, когато коефициентът на x на квадрат е 1, те обикновено се записват x 2 + рх + q = o. Всички горни формули се отнасят за тях, но изчисленията са малко по-прости.
  Пример, x 2 -4x-9 = 0. Изчислете D: 2 2 +9, D = 13.
  x 1 = 2+√13, x 2 = 2-√13.
• Освен това е лесно да се приложи към дадените. Той казва, че сумата от корените на уравнението е равна на -p, вторият коефициент с минус (което означава. противоположен знак), и произведението на същите тези корени ще бъде равно на q, свободният член. Вижте колко лесно би било да определите устно корените на това уравнение. За нередуцирани коефициенти (за всички коефициенти, които не са равни на нула), тази теорема е приложима, както следва: сумата x 1 + x 2 е равна на -b/a, произведението x 1 ·x 2 е равно на c/a.

Сумата от свободния член c и първия коефициент a е равна на коефициента b. В тази ситуация уравнението има поне един корен (лесно доказуем), като първият е задължително равен на -1, а вторият -c/a, ако съществува. Можете сами да проверите как да решите непълно квадратно уравнение. Не може да бъде по-просто. Коефициентите могат да бъдат в определени взаимоотношения един с друг

• x 2 +x = o, 7x 2 -7 = o.
• Сумата от всички коефициенти е равна на o.
  Корените на такова уравнение са 1 и c/a. Пример, 2x 2 -15x+13 = o.
  x 1 = 1, x 2 = 13/2.

Има редица други начини за решаване на различни уравнения от втора степен. Ето, например, метод за извличане на пълен квадрат от даден полином. Има няколко графични метода. Когато често се занимавате с такива примери, ще се научите да ги „щракате“ като семена, защото всички методи идват на ум автоматично.

IN съвременното обществоспособността да се извършват операции с уравнения, съдържащи променлива на квадрат, може да бъде полезна в много области на дейност и се използва широко на практика в научните и технически разработки. Доказателство за това може да се намери в дизайна на морски и речни плавателни съдове, самолети и ракети. Използвайки такива изчисления, траекториите на движение на най-много различни тела, включително космически обекти. Примери с решение на квадратни уравнения се използват не само в икономическото прогнозиране, при проектирането и строителството на сгради, но и в най-обикновените ежедневни обстоятелства. Те може да са необходими при туристически походи, на спортни събития, в магазини, когато правите покупки и в други много често срещани ситуации.

Нека разделим израза на съставните му множители

Определя се степента на уравнението максимална стойностстепен на променливата, която този израз съдържа. Ако е равно на 2, тогава такова уравнение се нарича квадратно.

Ако говорим на езика на формулите, тогава посочените изрази, независимо как изглеждат, винаги могат да бъдат доведени до формата, когато лявата странаизразът се състои от три члена. Сред тях: ax 2 (т.е. променлива на квадрат с нейния коефициент), bx (неизвестно без квадрат с нейния коефициент) и c (свободен компонент, т.е. обикновено число). Всичко това от дясната страна е равно на 0. В случай, че на такъв полином липсва един от съставните му членове, с изключение на ос 2, той се нарича непълно квадратно уравнение. Примери за решаване на такива проблеми, стойностите на променливите, в които са лесни за намиране, трябва да бъдат разгледани първо.

Ако изразът изглежда така, сякаш има два члена от дясната страна, по-точно ax 2 и bx, най-лесният начин да намерите x е като поставите променливата извън скоби. Сега нашето уравнение ще изглежда така: x(ax+b). След това става очевидно, че или x=0, или проблемът се свежда до намиране на променлива от следния израз: ax+b=0. Това е продиктувано от едно от свойствата на умножението. Правилото гласи, че произведението на два фактора води до 0 само ако единият от тях е нула.

Пример

x=0 или 8x - 3 = 0

В резултат на това получаваме два корена на уравнението: 0 и 0,375.

Уравнения от този вид могат да опишат движението на тела под въздействието на гравитацията, които са започнали да се движат от определена точка, взета за начало на координатите. Тук математическата нотация приема следната форма: y = v 0 t + gt 2 /2. Чрез заместване на необходимите стойности, приравняване на дясната страна на 0 и намиране на възможни неизвестни, можете да разберете времето, което минава от момента, в който тялото се издига до момента, в който пада, както и много други количества. Но ще говорим за това по-късно.

Факторизиране на израз

Правилото, описано по-горе, дава възможност за решаване на тези проблеми в повече трудни случаи. Нека да разгледаме примери за решаване на квадратни уравнения от този тип.

X 2 - 33x + 200 = 0

това квадратен тричлене завършен. Първо, нека трансформираме израза и го разложим на множители. Има две от тях: (x-8) и (x-25) = 0. В резултат на това имаме два корена 8 и 25.

Примерите за решаване на квадратни уравнения в 9 клас позволяват този метод да намери променлива в изрази не само от втория, но дори от третия и четвъртия ред.

Например: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Когато разлагаме дясната страна на множители с променлива, има три от тях, а именно (x+1), (x-3) и (x+ 3).

В резултат на това става очевидно, че това уравнение има три корена: -3; -1; 3.

корен квадратен

Друг случай непълно уравнениевторият ред е израз, представен на езика на буквите по такъв начин, че дясната страна е изградена от компонентите ax 2 и c. Тук, за да се получи стойността на променливата, свободният член се прехвърля в дясната страна и след това квадратният корен се извлича от двете страни на равенството. Трябва да се отбележи, че в този случай обикновено има два корена на уравнението. Единствените изключения могат да бъдат равенства, които изобщо не съдържат член с, където променливата е равна на нула, както и варианти на изрази, когато дясната страна е отрицателна. В последния случай изобщо няма решения, тъй като горните действия не могат да бъдат извършени с корени. Трябва да се разгледат примери за решения на квадратни уравнения от този тип.

В този случай корените на уравнението ще бъдат числата -4 и 4.

Изчисляване на площта на земята

Необходимостта от този вид изчисления се е появила в древни времена, тъй като развитието на математиката в онези далечни времена до голяма степен се определя от необходимостта да се определят с най-голяма точност площите и периметрите на парцелите.

Трябва също така да разгледаме примери за решаване на квадратни уравнения въз основа на проблеми от този вид.

И така, да кажем, че има правоъгълен парцел земя, чиято дължина е с 16 метра по-голяма от ширината. Трябва да намерите дължината, ширината и периметъра на обекта, ако знаете, че площта му е 612 m2.

За да започнем, нека първо създадем необходимото уравнение. Нека означим с x ширината на областта, тогава нейната дължина ще бъде (x+16). От написаното следва, че площта се определя от израза x(x+16), който според условията на нашата задача е 612. Това означава, че x(x+16) = 612.

Решаването на пълни квадратни уравнения, а този израз е точно това, не може да се направи по същия начин. защо Въпреки че лявата страна все още съдържа два фактора, техният продукт изобщо не е равен на 0, така че тук се използват различни методи.

Дискриминант

Първо, нека направим необходимите трансформации външен видна този израз ще изглежда така: x 2 + 16x - 612 = 0. Това означава, че сме получили израз във форма, съответстваща на предварително зададения стандарт, където a=1, b=16, c=-612.

Това може да е пример за решаване на квадратни уравнения с помощта на дискриминант. тук необходими изчислениясе произвеждат по схемата: D = b 2 - 4ac. Това спомагателно количество не само прави възможно намирането на необходимите количества в уравнение от втори ред, то определя количеството възможни варианти. Ако D>0, има две от тях; за D=0 има един корен. В случай Д<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

За корените и тяхната формула

В нашия случай дискриминантът е равен на: 256 - 4(-612) = 2704. Това предполага, че нашият проблем има отговор. Ако знаете k, решението на квадратни уравнения трябва да продължи с формулата по-долу. Позволява ви да изчислите корените.

Това означава, че в представения случай: x 1 =18, x 2 =-34. Вторият вариант в тази дилема не може да бъде решение, тъй като размерите на парцела не могат да бъдат измерени в отрицателни величини, което означава, че x (т.е. ширината на парцела) е 18 m. Оттук изчисляваме дължината: 18 +16=34, а периметър 2(34+ 18)=104(m2).

Примери и задачи

Продължаваме с изучаването на квадратни уравнения. Примери и подробни решения на някои от тях ще бъдат дадени по-долу.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Нека преместим всичко в лявата страна на равенството, да направим трансформация, тоест ще получим типа уравнение, което обикновено се нарича стандартно, и ще го приравним към нула.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Добавяйки подобни, ние определяме дискриминанта: D = 49 - 48 = 1. Това означава, че нашето уравнение ще има два корена. Нека ги изчислим по горната формула, което означава, че първото от тях ще бъде равно на 4/3, а второто на 1.

2) Сега нека разрешим мистерии от различен вид.

Нека разберем дали тук има корени x 2 - 4x + 5 = 1? За да получим изчерпателен отговор, нека редуцираме полинома до съответната обичайна форма и изчислим дискриминанта. В горния пример не е необходимо да се решава квадратното уравнение, защото това изобщо не е същността на проблема. В този случай D = 16 - 20 = -4, което означава, че наистина няма корени.

Теорема на Виета

Квадратни уравненияУдобно е да се решава чрез горните формули и дискриминанта, когато квадратният корен се взема от стойността на последния. Но това не винаги се случва. Има обаче много начини за получаване на стойностите на променливите в този случай. Пример: решаване на квадратни уравнения с помощта на теоремата на Виета. Тя е кръстена на някой, който е живял във Франция през 16-ти век и е направил блестяща кариера благодарение на математическия си талант и връзки в двора. Неговият портрет можете да видите в статията.

Моделът, който известният французин забеляза, беше следният. Той доказа, че корените на уравнението се събират числено до -p=b/a, а произведението им съответства на q=c/a.

Сега нека разгледаме конкретните задачи.

3x 2 + 21x - 54 = 0

За простота, нека трансформираме израза:

x 2 + 7x - 18 = 0

Нека използваме теоремата на Виета, това ще ни даде следното: сумата от корените е -7, а произведението им е -18. От тук получаваме, че корените на уравнението са числата -9 и 2. След проверка ще се уверим, че стойностите на тези променливи наистина се вписват в израза.

Парабола и уравнение

Понятията квадратна функция и квадратни уравнения са тясно свързани. Примери за това вече бяха дадени по-рано. Сега нека разгледаме малко по-подробно някои математически гатанки. Всяко уравнение от описания тип може да бъде представено визуално. Такава връзка, начертана като графика, се нарича парабола. Различните му видове са представени на фигурата по-долу.

Всяка парабола има връх, тоест точка, от която излизат нейните клонове. Ако a>0, те отиват високо до безкрайност, а когато a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Визуалните представяния на функции помагат за решаването на всякакви уравнения, включително квадратни. Този метод се нарича графичен. И стойността на променливата x е абсцисната координата в точките, където линията на графиката се пресича с 0x. Координатите на върха могат да бъдат намерени с помощта на току-що дадената формула x 0 = -b/2a. И като замените получената стойност в първоначалното уравнение на функцията, можете да разберете y 0, тоест втората координата на върха на параболата, която принадлежи на ординатната ос.

Пресечната точка на клоновете на парабола с абсцисната ос

Има много примери за решаване на квадратни уравнения, но има и общи модели. Нека да ги разгледаме. Ясно е, че пресичането на графиката с оста 0x за a>0 е възможно само ако 0 приема отрицателни стойности. И за а<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. В противен случай D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

От графиката на параболата можете да определите и корените. Обратното също е вярно. Тоест, ако получите визуален образ квадратична функцияНе е лесно, можете да приравните дясната страна на израза на 0 и да решите полученото уравнение. И знаейки точките на пресичане с оста 0x, е по-лесно да се изгради графика.

От историята

Използвайки уравнения, съдържащи квадратна променлива, в старите времена те не само правеха математически изчисления и определяха площите на геометричните фигури. Древните са имали нужда от такива изчисления за големи открития в областта на физиката и астрономията, както и за правене на астрологични прогнози.

Както предполагат съвременните учени, жителите на Вавилон са били сред първите, които решават квадратни уравнения. Това се случи четири века преди нашата ера. Разбира се, техните изчисления бяха коренно различни от приетите в момента и се оказаха много по-примитивни. Например месопотамските математици нямаха представа за съществуването на отрицателни числа. Не бяха запознати и с други тънкости, които всеки съвременен ученик знае.

Може би дори по-рано от учените от Вавилон, мъдрецът от Индия Баудхаяма започва да решава квадратни уравнения. Това се случи около осем века преди ерата на Христос. Вярно е, че уравненията от втори ред, методите за решаване на които той даде, бяха най-простите. Освен него китайските математици също са се интересували от подобни въпроси навремето. В Европа квадратните уравнения започват да се решават едва в началото на 13 век, но по-късно те са използвани в своите трудове от такива велики учени като Нютон, Декарт и много други.

Квадратно уравнение - лесно за решаване! *Наричано по-долу „KU“.Приятели, изглежда, че не може да има нищо по-просто в математиката от решаването на такова уравнение. Но нещо ми подсказа, че много хора имат проблеми с него. Реших да видя колко импресии при поискване дава Yandex на месец. Ето какво се случи, вижте:

Какво означава? Това означава, че около 70 000 души месечно търсят тази информация и това е лято, а какво ще стане през учебната година - ще има два пъти повече заявки. Това не е изненадващо, защото онези момчета и момичета, които отдавна са завършили училище и се подготвят за Единния държавен изпит, търсят тази информация, а учениците също се стремят да освежат паметта си.

Въпреки факта, че има много сайтове, които ви казват как да решите това уравнение, реших също да допринеса и да публикувам материала. Първо, искам посетителите да идват на моя сайт въз основа на тази заявка; второ, в други статии, когато се появи темата за „KU“, ще дам връзка към тази статия; трето, ще ви разкажа малко повече за неговото решение, отколкото обикновено се посочва в други сайтове. Да започваме!Съдържание на статията:

Квадратно уравнение е уравнение от формата:

където коефициентите a,bи c са произволни числа, с a≠0.

IN училищен курсматериалът е даден в следната форма - уравненията са условно разделени на три класа:

1. Те ​​имат два корена.

2. *Имат само един корен.

3. Нямат корени. Тук си струва специално да се отбележи, че те нямат истински корени

Как се изчисляват корените? Просто!

Изчисляваме дискриминанта. Под тази „ужасна“ дума се крие много проста формула:

Формулите на корените са както следва:

*Трябва да знаете тези формули наизуст.

Можете веднага да запишете и решите:

Пример:

1. Ако D > 0, тогава уравнението има два корена.

2. Ако D = 0, тогава уравнението има един корен.

3. Ако Д< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Нека да разгледаме уравнението:

от по този повод, когато дискриминантът е равен на нула, в училищния курс се казва, че резултатът е един корен, тук е равен на девет. Всичко е точно, така е, но...

Тази идея е донякъде неправилна. Всъщност има два корена. Да, да, не се изненадвайте, получавате два равни корена и за да бъдем математически точни, тогава отговорът трябва да напише два корена:

x 1 = 3 x 2 = 3

Но това е така - малко отклонение. В училище можете да го запишете и да кажете, че има един корен.

Сега следващият пример:

Както знаем, не може да се вземе корен от отрицателно число, така че в този случай няма решение.

Това е целият процес на вземане на решение.

Квадратична функция.

Това показва как изглежда решението геометрично. Това е изключително важно да се разбере (в бъдеще в една от статиите ще анализираме подробно решението на квадратното неравенство).

Това е функция на формата:

където x и y са променливи

a, b, c – дадени числа, като a ≠ 0

Графиката е парабола:

Тоест, оказва се, че чрез решаване на квадратно уравнение с "y" равно на нула, намираме точките на пресичане на параболата с оста x. Може да има две от тези точки (дискриминантът е положителен), една (дискриминантът е нула) и нито една (дискриминантът е отрицателен). Подробности за квадратичната функция можете да погледнетестатия от Инна Фелдман.

Нека да разгледаме примери:

Пример 1: Решете 2x 2 +8 х–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Отговор: x 1 = 8 x 2 = –12

*Беше възможно незабавно да се разделят лявата и дясната страна на уравнението на 2, тоест да се опрости. Изчисленията ще бъдат по-лесни.

Пример 2: Решете х 2–22 х+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Открихме, че x 1 = 11 и x 2 = 11

В отговора е допустимо да се запише x = 11.

Отговор: x = 11

Пример 3: Решете x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Дискриминантът е отрицателен, няма решение в реални числа.

Отговор: няма решение

Дискриминантът е отрицателен. Има решение!

Тук ще говорим за решаването на уравнението в случай, когато се получи отрицателен дискриминант. Знаете ли нещо за комплексните числа? Тук няма да навлизам в подробности защо и къде са възникнали и каква е тяхната конкретна роля и необходимост в математиката, това е тема за голяма отделна статия.

Понятието комплексно число.

Малко теория.

Комплексно число z е число от формата

z = a + bi

където a и b са реални числа, i е така наречената имагинерна единица.

а+би – това е ЕДИНСТВЕНО ЧИСЛО, а не събиране.

Въображаемата единица е равна на корен от минус едно:

Сега разгледайте уравнението:

Получаваме два спрегнати корена.

Непълно квадратно уравнение.

Нека разгледаме специални случаи, това е, когато коефициентът "b" или "c" е равен на нула (или и двата са равни на нула). Те могат да бъдат решени лесно без никакви дискриминационни проблеми.

Случай 1. Коефициент b = 0.

Уравнението става:

Нека трансформираме:

Пример:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Случай 2. Коефициент c = 0.

Уравнението става:

Нека трансформираме и факторизираме:

*Произведението е равно на нула, когато поне един от факторите е равен на нула.

Пример:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 или x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Случай 3. Коефициенти b = 0 и c = 0.

Тук е ясно, че решението на уравнението винаги ще бъде x = 0.

Полезни свойства и модели на коефициентите.

Има свойства, които ви позволяват да решавате уравнения с големи коефициенти.

Ах 2 + bx+ c=0 има равенство

а + b+ c = 0,това

- ако за коефициентите на уравнението Ах 2 + bx+ c=0 има равенство

а+ c =b, това

Тези свойства помагат да се вземе решение определен типуравнения

Пример 1: 5001 х 2 –4995 х – 6=0

Сумата на коефициентите е 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, което означава

Пример 2: 2501 х 2 +2507 х+6=0

Равенството е в сила а+ c =b, Средства

Закономерности на коефициентите.

1. Ако в уравнението ax 2 + bx + c = 0 коефициентът "b" е равен на (a 2 +1), а коефициентът "c" е числено равен на коефициента "a", тогава неговите корени са равни

ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

Пример. Разгледайте уравнението 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. Ако в уравнението ax 2 – bx + c = 0 коефициентът “b” е равен на (a 2 +1), а коефициентът “c” е числено равен на коефициента “a”, то неговите корени са равни

ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

Пример. Разгледайте уравнението 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Ако в ур. ax 2 + bx – c = 0 коефициент „b“ е равно на (a 2 – 1), и коефициент „c“ числено равен на коефициента "а", тогава неговите корени са равни

ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

Пример. Разгледайте уравнението 17x 2 +288x – 17 = 0.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. Ако в уравнението ax 2 – bx – c = 0 коефициентът “b” е равен на (a 2 – 1), а коефициентът c е числено равен на коефициента “a”, то неговите корени са равни

ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

Пример. Разгледайте уравнението 10x 2 – 99x –10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

Теорема на Виета.

Теоремата на Виета е кръстена на известния френски математик Франсоа Виета. Използвайки теоремата на Виета, можем да изразим сумата и произведението на корените на произволно KU по отношение на неговите коефициенти.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Общо числото 14 дава само 5 и 9. Това са корени. С известно умение, използвайки представената теорема, можете веднага да решите много квадратни уравнения устно.

Освен това теоремата на Виета. Удобен е с това, че след решаване на квадратно уравнение по обичайния начин (чрез дискриминант) могат да се проверят получените корени. Препоръчвам да правите това винаги.

НАЧИН НА ТРАНСПОРТИРАНЕ

С този метод коефициентът "а" се умножава по свободния термин, сякаш "хвърлен" към него, поради което се нарича "трансферен" метод.Този метод се използва, когато можете лесно да намерите корените на уравнението с помощта на теоремата на Виета и най-важното, когато дискриминантът е точен квадрат.

Ако А± b+c≠ 0, тогава се използва техниката на прехвърляне, например:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Използвайки теоремата на Vieta в уравнение (2), е лесно да се определи, че x 1 = 10 x 2 = 1

Получените корени на уравнението трябва да бъдат разделени на 2 (тъй като двете бяха „хвърлени“ от x 2), получаваме

x 1 = 5 x 2 = 0,5.

Каква е обосновката? Вижте какво става.

Дискриминантите на уравнения (1) и (2) са равни:

Ако погледнете корените на уравненията, получавате само различни знаменатели и резултатът зависи точно от коефициента на x 2:

Вторият (модифициран) има корени, които са 2 пъти по-големи.

Следователно, разделяме резултата на 2.

*Ако прехвърлим тройката, ще разделим резултата на 3 и т.н.

Отговор: x 1 = 5 x 2 = 0,5

пл. ur-ie и Единен държавен изпит.

Ще ви разкажа накратко за важността му - ТРЯБВА ДА МОЖЕТЕ ДА РЕШИТЕ ​​бързо и без да мислите, трябва да знаете формулите на корените и дискриминантите наизуст. Много от задачите, включени в задачите на Единния държавен изпит, се свеждат до решаване на квадратно уравнение (включително геометрични).

Нещо, което си струва да се отбележи!

1. Формата на записване на уравнение може да бъде „неявна“. Например е възможно следното въвеждане:

15+ 9x 2 - 45x = 0 или 15x+42+9x 2 - 45x=0 или 15 -5x+10x 2 = 0.

Трябва да го доведете до стандартна форма (за да не се объркате при решаването).

2. Запомнете, че x е неизвестна величина и може да се обозначи с всяка друга буква - t, q, p, h и др.

В тази статия ще разгледаме решаването на непълни квадратни уравнения.

Но първо, нека повторим кои уравнения се наричат ​​квадратни. Уравнение от вида ax 2 + bx + c = 0, където x е променлива, а коефициентите a, b и c са някои числа и a ≠ 0, се нарича квадрат. Както виждаме, коефициентът за x 2 не е равен на нула и следователно коефициентите за x или свободният член могат да бъдат равни на нула, в който случай получаваме непълно квадратно уравнение.

Има три вида непълни квадратни уравнения:

1) Ако b = 0, c ≠ 0, тогава ax 2 + c = 0;

2) Ако b ≠ 0, c = 0, тогава ax 2 + bx = 0;

3) Ако b = 0, c = 0, тогава ax 2 = 0.

• Нека да разберем как да решим уравнения от вида ax 2 + c = 0.

За да решим уравнението, преместваме свободния член c в дясната страна на уравнението, получаваме

брадва 2 = ‒s. Тъй като a ≠ 0, разделяме двете страни на уравнението на a, тогава x 2 = ‒c/a.

Ако ‒с/а > 0, то уравнението има два корена

x = ±√(–c/a) .

Ако ‒c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Нека се опитаме да разберем с примери как да решаваме такива уравнения.

Пример 1. Решете уравнението 2x 2 ‒ 32 = 0.

Отговор: x 1 = - 4, x 2 = 4.

Пример 2. Решете уравнението 2x 2 + 8 = 0.

Отговор: уравнението няма решения.

• Нека да разберем как да го решим уравнения от вида ax 2 + bx = 0.

За да решим уравнението ax 2 + bx = 0, нека го разложим на множители, тоест изваждаме x извън скоби, получаваме x(ax + b) = 0. Продуктът е равен на нула, ако поне един от факторите е равен до нула. Тогава или x = 0, или ax + b = 0. Решавайки уравнението ax + b = 0, получаваме ax = - b, откъдето x = - b/a. Уравнение от вида ax 2 + bx = 0 винаги има два корена x 1 = 0 и x 2 = ‒ b/a. Вижте как изглежда решението на уравнения от този тип на диаграмата.

Нека консолидираме знанията си с конкретен пример.

Пример 3. Решете уравнението 3x 2 ‒ 12x = 0.

x(3x ‒ 12) = 0

x= 0 или 3x – 12 = 0

Отговор: x 1 = 0, x 2 = 4.

• Уравнения от трети тип ax 2 = 0се решават много просто.

Ако ax 2 = 0, тогава x 2 = 0. Уравнението има два равни корена x 1 = 0, x 2 = 0.

За по-голяма яснота, нека да разгледаме диаграмата.

Нека се уверим, че при решаването на пример 4 уравнения от този тип могат да бъдат решени много просто.

Пример 4.Решете уравнението 7x 2 = 0.

Отговор: x 1, 2 = 0.

Не винаги е веднага ясно какъв тип непълно квадратно уравнение трябва да решим. Помислете за следния пример.

Пример 5.Решете уравнението

Нека умножим двете страни на уравнението по общ знаменател, тоест по 30

Нека го намалим

5(5x 2 + 9) – 6(4x 2 – 9) = 90.

Нека отворим скобите

25x 2 + 45 – 24x 2 + 54 = 90.

Да дадем подобни

Нека преместим 99 от лявата страна на уравнението вдясно, променяйки знака на противоположния

Отговор: няма корени.

Разгледахме как се решават непълни квадратни уравнения. Надявам се, че сега няма да имате затруднения с подобни задачи. Бъдете внимателни, когато определяте вида на непълното квадратно уравнение, тогава ще успеете.

Ако имате въпроси по тази тема, запишете се за моите уроци, ще решим проблемите, които възникват заедно.

уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.