Първата точка е, както обикновено, arcsin(-a)=-arcsina. За да стигнем до втората точка, вървим по горния път, тоест в посока на увеличаване на ъгъла.

Този път преминаваме отвъд n. Колко време ще продължим? На arcsin x. Това означава, че втората точка е n+arcsin x. Защо няма минус? Тъй като минусът в обозначението -arcsin a означава движение по посока на часовниковата стрелка, но ние вървим обратно на часовниковата стрелка. И накрая, добавете 2pn към всеки край на интервала.

5) sinx>a, ако a>1.

Единичната окръжност лежи изцяло под правата линия y=a. Над правата линия няма нито една точка. Така че няма решения.

6) sinx>-a, където a>1.

В този случай цялата единична окръжност лежи изцяло над правата линия y=a. Следователно всяка точка удовлетворява условието sinx>a. Това означава, че x е произволно число.

И тук x е произволно число, тъй като точките -n/2+2nn са включени в решението, за разлика от строгото неравенство sinx>-1. Няма нужда да изключвате нищо.

Единствената точка от окръжността, която отговаря на това условие, е n/2. Като вземем предвид периода на синуса, решението на това неравенство е множеството от точки x=n/2+2n.

Например, решете неравенството sinx>-1/2:

Неравенствата са релации от формата a › b, където a и b са изрази, съдържащи поне една променлива. Неравенствата могат да бъдат строги - ‹, › и нестроги - ≥, ≤.

Тригонометричните неравенства са изрази във формата: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, в които F(x) е представено от една или повече тригонометрични функции .

Пример за най-простото тригонометрично неравенство е: sin x ‹ 1/2. Обичайно е такива проблеми да се решават графично; за това са разработени два метода.

Метод 1 - Решаване на неравенства чрез изобразяване на графика на функция

За да намерите интервал, който отговаря на условията за неравенство sin x ‹ 1/2, трябва да изпълните следните стъпки:

1. На координатна осконструирайте синусоида y = sin x.
2. На същата ос начертайте графика на числения аргумент на неравенството, т.е. права линия, минаваща през точка ½ на ординатата OY.
3. Маркирайте пресечните точки на двете графики.
4. Засенчете сегмента, който е решението на примера.

Когато в израза присъстват строги знаци, пресечните точки не са решения. Тъй като най-малкият положителен период на синусоида е 2π, ние записваме отговора, както следва:

Ако знаците на израза не са строги, тогава интервалът на решение трябва да бъде ограден в квадратни скоби - . Отговорът на задачата може да се запише и като следното неравенство:

Метод 2 - Решаване на тригонометрични неравенства с помощта на единичната окръжност

Подобни проблеми могат лесно да бъдат решени с помощта на тригонометричен кръг. Алгоритъмът за намиране на отговори е много прост:

1. Първо трябва да начертаете единична окръжност.
2. След това трябва да отбележите стойността на дъговата функция на аргумента от дясната страна на неравенството върху дъгата на окръжност.
3. Необходимо е да се начертае права линия, минаваща през стойността на дъговата функция, успоредна на абсцисната ос (OX).
4. След това остава само да изберете дъгата от окръжност, която е множеството от решения на тригонометричното неравенство.
5. Запишете отговора в необходимата форма.

Нека анализираме етапите на решението, използвайки примера на неравенството sin x › 1/2. В кръга са отбелязани точки α и β - стойности

Точките от дъгата, разположени над α и β, са интервалът за решаване на даденото неравенство.

Ако трябва да решите пример за cos, тогава дъгата на отговора ще бъде разположена симетрично спрямо оста OX, а не OY. Можете да разгледате разликата между интервалите на решение за sin и cos в диаграмите по-долу в текста.

Графичните решения за тангенс и котангенс неравенства ще се различават както от синус, така и от косинус. Това се дължи на свойствата на функциите.

Арктангенсът и арккотангенсът са допирателни към тригонометрична окръжност и минималният положителен период за двете функции е π. За да използвате бързо и правилно втория метод, трябва да запомните на коя ос са нанесени стойностите на sin, cos, tg и ctg.

Допирателната е успоредна на оста OY. Ако начертаем стойността на arctan a върху единичната окръжност, тогава втората необходима точка ще бъде разположена в диагоналната четвърт. Ъгли

Те са точки на прекъсване за функцията, тъй като графиката се стреми към тях, но никога не ги достига.

В случай на котангенс, допирателната е успоредна на оста OX и функцията се прекъсва в точки π и 2π.

Сложни тригонометрични неравенства

Ако аргументът на функцията за неравенство е представен не само от променлива, а от цял ​​израз, съдържащ неизвестно, тогава говорим за сложно неравенство. Процесът и процедурата за решаването му са малко по-различни от методите, описани по-горе. Да предположим, че трябва да намерим решение на следното неравенство:

Графичното решение включва конструиране на обикновена синусоида y = sin x с помощта на произволно избрани стойности на x. Нека изчислим таблица с координати за контролните точки на графиката:

Резултатът трябва да е красива извивка.

За да улесним намирането на решение, нека заменим аргумента на сложната функция

Повечето ученици не харесват тригонометричните неравенства. Но напразно. Както казваше един герой,

„Просто не знаете как да ги приготвите“

И така, как да „готвим“ и с какво да представим неравенство със синус, ще разберем в тази статия. Ние ще решим по прост начин– използване на единична окръжност.

Така че, на първо място, имаме нужда от следния алгоритъм.

Алгоритъм за решаване на неравенства със синус:

1. върху синусовата ос нанасяме числото $a$ и начертаваме права линия, успоредна на косинусовата ос, докато се пресече с окръжността;
2. точките на пресичане на тази права с окръжността ще бъдат защриховани, ако неравенството не е строго, и не са защриховани, ако неравенството е строго;
3. областта на решението на неравенството ще бъде разположена над линията и до кръга, ако неравенството съдържа знака “$>$”, и под линията и до кръга, ако неравенството съдържа знака “$<$”;
4. за да намерим пресечните точки, решаваме тригонометричното уравнение $\sin(x)=a$, получаваме $x=(-1)^(n)\arcsin(a) + \pi n$;
5. задавайки $n=0$, намираме първата пресечна точка (тя се намира или в първата, или в четвъртата четвърт);
6. за да намерим втората точка, гледаме в каква посока преминаваме през областта до втората пресечна точка: ако в положителна посока, тогава трябва да вземем $n=1$, а ако в отрицателна посока, тогава $n=- 1$;
7. в отговор интервалът се записва от по-малката пресечна точка $+ 2\pi n$ до по-голямата $+ 2\pi n$.

Ограничение на алгоритъма

Важно: dдаден алгоритъм не работиза неравенства от вида $\sin(x) > 1; \ \sin(x) \geq 1, \ \sin(x)< -1, \ \sin{x} \leq -1$. В строгом случае эти неравенства не имеют решений, а в нестрогом – решение сводится к решению уравнения $\sin{x} = 1$ или $\sin{x} = -1$.

Специални случаи при решаване на неравенства със синус

Също така е важно да се отбележат следните случаи, които са много по-удобни за логическо решаване без използване на горния алгоритъм.

Специален случай 1. Решете неравенство:

$\sin(x)\leq 1.$

Поради факта, че диапазонът от стойности тригонометрична функцияТогава $y=\sin(x)$ не е по-голямо от модул $1$ лява странанеравенства по всяко$x$ от дефиниционната област (и дефиниционната област на синуса са всички реални числа) не е повече от $1$. И следователно в отговора пишем: $x \in R$.

Последица:

$\sin(x)\geq -1.$

Специален случай 2.Решете неравенство:

$\sin(x)< 1.$

Прилагайки разсъждения, подобни на специален случай 1, откриваме, че лявата страна на неравенството е по-малка от $1$ за всички $x \in R$, с изключение на точките, които са решения на уравнението $\sin(x) = 1$. Решавайки това уравнение, ще имаме:

$x = (-1)^(n)\arcsin(1)+ \pi n = (-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n.$

И следователно в отговора пишем: $x \in R \backslash \left\((-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n\right\)$.

Последица:неравенството се решава по подобен начин

$\sin(x) > -1.$

Примери за решаване на неравенства с помощта на алгоритъм.

Пример 1:Решете неравенство:

$\sin(x) \geq \frac(1)(2).$

1. Нека отбележим координатата $\frac(1)(2)$ върху синусовата ос.
2. Нека начертаем права линия, успоредна на косинусовата ос и минаваща през тази точка.
3. Нека маркираме пресечните точки. Те ще бъдат защриховани, защото неравенството не е строго.
4. Знакът за неравенство е $\geq$, което означава, че рисуваме областта над линията, т.е. по-малък полукръг.
5. Намираме първата пресечна точка. За да направим това, превръщаме неравенството в равенство и го решаваме: $\sin(x)=\frac(1)(2) \ \Rightarrow \ x=(-1)^(n)\arcsin(\frac(1 )(2) )+\pi n =(-1)^(n)\frac(\pi)(6) + \pi n$. Освен това задаваме $n=0$ и намираме първата пресечна точка: $x_(1)=\frac(\pi)(6)$.
6. Намираме втората точка. Нашата област върви в положителна посока от първата точка, което означава, че задаваме $n$ равно на $1$: $x_(2)=(-1)^(1)\frac(\pi)(6) + \pi \cdot 1 = \pi – \frac(\pi)(6) = \frac(5\pi)(6)$.

Така решението ще приеме формата:

$x \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right], \n \in Z.$

Пример 2:Решете неравенство:

$\sin(x)< -\frac{1}{2}$

Нека отбележим координатата $-\frac(1)(2)$ върху синусовата ос и да начертаем права линия, успоредна на косинусовата ос и минаваща през тази точка. Нека маркираме пресечните точки. Те няма да бъдат засенчени, тъй като неравенството е строго. Знакът за неравенство $<$, а, значит, закрашиваем область ниже прямой, т.е. меньший полукруг. Неравенство превращаем в равенство и решаем его:

$\sin(x)=-\frac(1)(2)$

$x=(-1)^(n)\arcsin(\left(-\frac(1)(2)\right))+ \pi n =(-1)^(n+1)\frac(\pi )(6) + \pi n$.

Допълнително приемайки $n=0$, намираме първата пресечна точка: $x_(1)=-\frac(\pi)(6)$. Нашата област върви в отрицателна посока от първата точка, което означава, че задаваме $n$ равно на $-1$: $x_(2)=(-1)^(-1+1)\frac(\pi)( 6) + \pi \cdot (-1) = -\pi + \frac(\pi)(6) = -\frac(5\pi)(6)$.

И така, решението на това неравенство ще бъде интервалът:

$x \in \left(-\frac(5\pi)(6) + 2\pi n; -\frac(\pi)(6) + 2 \pi n\вдясно), \n \in Z.$

Пример 3:Решете неравенство:

$1 – 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \leq 0.$

Този пример не може да бъде решен веднага с помощта на алгоритъм. Първо трябва да го трансформирате. Правим точно това, което бихме направили с уравнение, но не забравяйте за знака. Деление или умножение с отрицателно число го обръща!

И така, нека преместим всичко, което не съдържа тригонометрична функция, в дясната страна. Получаваме:

$- 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \leq -1.$

Нека разделим лявата и дясната страна на $-2$ (не забравяйте за знака!). Ще има:

$\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \geq \frac(1)(2).$

Отново имаме неравенство, което не можем да решим с помощта на алгоритъм. Но тук е достатъчно да промените променливата:

$t=\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6).$

Получаваме тригонометрично неравенство, което може да се реши с помощта на алгоритъма:

$\sin(t) \geq \frac(1)(2).$

Това неравенство беше решено в Пример 1, така че нека вземем отговора оттам:

$t \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right].$

Решението обаче още не е приключило. Трябва да се върнем към оригиналната променлива.

$(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)) \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right].$

Нека си представим интервала като система:

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n, \\ \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n. \end(array) \right.$

От лявата страна на системата има израз ($\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)$), който принадлежи на интервала. Лявата граница на интервала е отговорна за първото неравенство, а дясната граница е отговорна за второто. Освен това скобите играят важна роля: ако скобата е квадратна, тогава неравенството ще бъде отпуснато, а ако е кръгло, тогава ще бъде строго. нашата задача е да получим $x$ отляво и в двете неравенства.

Нека преместим $\frac(\pi)(6)$ от лявата страна на дясната страна, получаваме:

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n -\frac(\pi)(6), \\ \frac(x)(4) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n – \frac(\pi)(6) \end(масив) \right.$.

Опростявайки, имаме:

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq 2\pi n, \\ \frac(x)(4) \leq \frac(2\pi)(3) + 2 \pi n. \end(array) \right.$

Умножавайки лявата и дясната страна по $4$, получаваме:

$\left\(\begin(array)(c) x \geq 8\pi n, \\ x \leq \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n. \end(array) \right. $

Сглобявайки системата в интервала, получаваме отговора:

$x \in \left[ 8\pi n; \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n\right], \n \in Z.$

1. Ако аргументът е сложен (различен от х), след което го заменете с T.

2. Изграждаме в една координатна равнина играчкафункционални графики y=ценаИ y=a.

3. Намираме такива две съседни точки на пресичане на графики, между които се намира над правата линия y=a. Намираме абсцисите на тези точки.

4. Напишете двойно неравенство за аргумента T, като се вземе предвид косинус периодът ( Tще бъде между намерените абциси).

5. Направете обратно заместване (връщане към първоначалния аргумент) и изразете стойността хот двойното неравенство записваме отговора под формата на числов интервал.

Пример 1.

След това, според алгоритъма, ние определяме тези стойности на аргумента T, на която се намира синусоидата по-висок прав. Нека напишем тези стойности като двойно неравенство, като вземем предвид периодичността на функцията косинус и след това да се върнем към първоначалния аргумент х.

Пример 2.

Избор на диапазон от стойности T, при което синусоидата е над правата линия.

Записваме стойностите под формата на двойно неравенство T,удовлетворяващ условието. Не забравяйте, че най-малкият период на функцията y=ценаравно на 2π. Връщане към променливата х, постепенно опростявайки всички части на двойното неравенство.

Записваме отговора под формата на затворен числов интервал, тъй като неравенството не е строго.

Пример 3.

Ще се интересуваме от диапазона на стойностите T, при което точките на синусоидата ще лежат над правата линия.

Стойности Tнапишете го под формата на двойно неравенство, пренапишете същите стойности за 2xи експрес х. Нека напишем отговора под формата на числов интервал.

И отново формула цена>а.

Ако цена>а, (-1≤А≤1), тогава - arccos a + 2πn< t < arccos a + 2πn, nєZ.

Прилагайте формули за решаване на тригонометрични неравенства и ще спестите време за тестване на изпита.

И сега формула , които трябва да използвате на UNT или Единния държавен изпит при решаване на тригонометрично неравенство от вида цена

Ако цена , (-1≤А≤1), тогава arccos a + 2πn< t < 2π — arccos a + 2πn, nєZ.

Приложете тази формула, за да разрешите неравенствата, обсъдени в тази статия, и ще получите отговора много по-бързо и без никакви графики!

Като вземем предвид периодичността на синусовата функция, записваме двойно неравенство за стойностите на аргумента T, удовлетворяващо последното неравенство. Да се ​​върнем към първоначалната променлива. Нека трансформираме полученото двойно неравенство и изразим променливата Х.Нека напишем отговора под формата на интервал.

Нека решим второто неравенство:

Когато решавахме второто неравенство, трябваше да преобразуваме лявата страна на това неравенство, използвайки формулата на двойния аргумент синус, за да получим неравенство от вида: sint≥a.След това следвахме алгоритъма.

Решаваме третото неравенство:

Уважаеми абсолвенти и кандидати! Имайте предвид, че методите за решаване на тригонометрични неравенства, като графичния метод, даден по-горе и, вероятно познат на вас, методът за решаване с помощта на единичен тригонометричен кръг (тригонометричен кръг) са приложими само в първите етапи на изучаване на раздела на тригонометрията „Решаване на тригонометрични уравнения и неравенства.“ Мисля, че ще си спомните, че първо решихте най-простите тригонометрични уравнения с помощта на графики или кръг. Сега обаче не бихте си помислили да решавате тригонометрични уравнения по този начин. Как ги решавате? Точно така, според формулите. Така че тригонометричните неравенства трябва да се решават с помощта на формули, особено по време на тестване, когато всяка минута е ценна. И така, решете трите неравенства от този урок, като използвате подходящата формула.

Ако sint>a, където -1≤ а≤1, тогава arcsin a + 2πn< t < π — arcsin a + 2πn, nєZ.

Научете формули!

И накрая: знаете ли, че математиката е дефиниции, правила и ФОРМУЛИ?!

Разбира се! И най-любопитните, след като проучиха тази статия и изгледаха видеото, възкликнаха: „Колко дълго и трудно! Има ли формула, която ви позволява да решавате такива неравенства без никакви графики или кръгове?“ Да, разбира се, че има!

ЗА РЕШАВАНЕ НА НЕРАВЕНСТВА ОТ ФОРМАТА: грях (-1≤А≤1) формулата е валидна:

— π — arcsin a + 2πn< t < arcsin a + 2πn, nєZ.

Приложете го към обсъжданите примери и ще получите отговора много по-бързо!

Заключение: НАУЧЕТЕ ФОРМУЛИ, ПРИЯТЕЛИ!

Страница 1 от 1 1

По време на практическия урок ще повторим основните типове задачи от темата „Тригонометрия“, допълнително ще анализираме задачи с повишена сложност и ще разгледаме примери за решаване на различни тригонометрични неравенства и техните системи.

Този урок ще ви помогне да се подготвите за един от типовете задачи B5, B7, C1 и C3.

Нека започнем с преглед на основните типове задачи, които разгледахме в темата "Тригонометрия" и решим няколко нестандартни задачи.

Задача No1. Преобразувайте ъглите в радиани и градуси: а) ; б) .

а) Нека използваме формулата за преобразуване на градуси в радиани

Нека заместим посочената стойност в него.

б) Приложете формулата за преобразуване на радиани в градуси

Нека извършим замяната .

Отговор. А) ; б) .

Задача No2. Пресметнете: а) ; б) .

а) Тъй като ъгълът е далеч извън таблицата, ще го намалим, като извадим периода на синуса. защото Ъгълът е посочен в радиани, тогава ще считаме периода като .

б) В този случай ситуацията е подобна. Тъй като ъгълът е посочен в градуси, ще считаме периода на допирателната като .

Полученият ъгъл, макар и по-малък от периода, е по-голям, което означава, че вече не се отнася за основната, а за разширената част на таблицата. За да не тренирате отново паметта си, като запомняте разширената таблица със стойности на тригофункцията, нека отново извадим периода на тангенса:

Възползвахме се от странността на функцията тангенс.

Отговор. а) 1; б) .

Задача No3. Изчисли , Ако .

Нека намалим целия израз до тангенси, като разделим числителя и знаменателя на дробта на . В същото време не можем да се страхуваме от това, защото в този случай стойността на тангенса не би съществувала.

Задача No4. Опростете израза.

Посочените изрази се преобразуват с помощта на редукционни формули. Те просто са необичайно написани с помощта на степени. Първият израз обикновено представлява число. Нека опростим всички тригофункции една по една:

защото , тогава функцията се променя на кофункция, т.е. към котангенса и ъгълът попада във втората четвърт, в която първоначалният тангенс има отрицателен знак.

Поради същите причини, както в предишния израз, функцията се променя на кофункция, т.е. към котангенса и ъгълът попада в първата четвърт, в която първоначалният тангенс има положителен знак.

Нека заместим всичко в опростен израз:

Проблем №5. Опростете израза.

Нека напишем тангенса на двойния ъгъл, като използваме подходящата формула и опростим израза:

Последното тъждество е една от универсалните формули за заместване на косинуса.

Проблем №6. Изчисли.

Основното нещо е да не правите стандартната грешка и да не давате отговор, че изразът е равен на . Не можете да използвате основното свойство на аркутангенса, докато има коефициент под формата на две до него. За да се отървем от него, ще напишем израза според формулата за тангенс на двоен ъгъл, като третираме , като обикновен аргумент.

Сега можем да приложим основното свойство на арктангенса; не забравяйте, че няма ограничения за числения резултат.

Проблем No7. Решете уравнението.

При решаване на дробно уравнение, което е равно на нула, винаги се посочва, че числителят е равен на нула, но знаменателят не е, т.к. Не можете да делите на нула.

Първото уравнение е специален случай на най-простото уравнение, което може да се реши с помощта на тригонометрична окръжност. Запомнете това решение сами. Второто неравенство се решава като просто уравнение с помощта на общата формула за корените на допирателната, но само със знак неравно.

Както виждаме, едно семейство от корени изключва друго семейство от точно същия тип корени, които не отговарят на уравнението. Тези. без корени.

Отговор. Няма корени.

Проблем No8. Решете уравнението.

Нека веднага да отбележим, че можем да извадим общия множител и да го направим:

Уравнението е сведено до една от стандартните форми, където произведението на няколко фактора е равно на нула. Вече знаем, че в този случай или единият от тях е равен на нула, или другият, или третият. Нека запишем това под формата на набор от уравнения:

Първите две уравнения са частни случаи на най-простите; вече сме срещали подобни уравнения много пъти, така че веднага ще посочим техните решения. Редуцираме третото уравнение до една функция, като използваме формулата за синус на двоен ъгъл.

Нека решим последното уравнение отделно:

Това уравнение няма корени, защото синусовата стойност не може да надхвърли .

По този начин, решението е само първите две семейства от корени, те могат да бъдат комбинирани в едно, което е лесно да се покаже на тригонометричния кръг:

Това е семейство от всички половини, т.е.

Нека да преминем към решаване на тригонометрични неравенства. Първо ще анализираме подхода за решаване на примера, без да използваме формули за общи решения, а използвайки тригонометричната окръжност.

Проблем No9. Решете неравенство.

Нека начертаем спомагателна линия върху тригонометричната окръжност, съответстваща на синусова стойност, равна на , и да покажем диапазона от ъгли, които удовлетворяват неравенството.

Много е важно да разберете как точно да посочите получения интервал от ъгли, т.е. какво е началото и какъв е краят му. Началото на интервала ще бъде ъгълът, съответстващ на точката, която ще влезем в самото начало на интервала, ако се движим обратно на часовниковата стрелка. В нашия случай това е точката, която е отляво, т.к движейки се обратно на часовниковата стрелка и преминавайки през дясната точка, ние, напротив, оставяме необходимия диапазон от ъгли. Следователно правилната точка ще съответства на края на празнината.

Сега трябва да разберем ъглите на началото и края на нашия интервал от решения на неравенството. Типична грешка е веднага да посочите, че дясната точка съответства на ъгъла, лявата и да дадете отговора. Това не е вярно! Моля, обърнете внимание, че току-що посочихме интервала, съответстващ на горната част на кръга, въпреки че се интересуваме от долната част, с други думи, сме объркали началото и края на интервала на решение, от който се нуждаем.

За да започне интервалът от ъгъла на дясната точка и да завърши с ъгъла на лявата точка, е необходимо първият зададен ъгъл да е по-малък от втория. За да направим това, ще трябва да измерим ъгъла на дясната точка в отрицателната референтна посока, т.е. по часовниковата стрелка и ще бъде равно на . След това, започвайки да се движим от нея в положителна посока на часовниковата стрелка, ще стигнем до дясната точка след лявата точка и ще получим стойността на ъгъла за нея. Сега началото на интервала от ъгли е по-малко от края и можем да напишем интервала от решения, без да вземаме предвид периода:

Като се има предвид, че такива интервали ще се повтарят безкраен брой пъти след всяко цяло число завъртания, получаваме общо решение, като се вземе предвид периодът на синуса:

Поставяме скоби, защото неравенството е строго, и избираме точките от окръжността, които отговарят на краищата на интервала.

Сравнете получения отговор с формулата за общото решение, която дадохме в лекцията.

Отговор. .

Този метод е добър за разбиране откъде идват формулите за общи решения на най-простите тригонални неравенства. Освен това е полезно за тези, които са твърде мързеливи, за да научат всички тези тромави формули. Самият метод обаче също не е лесен; изберете кой подход към решението е най-удобен за вас.

За решаване на тригонометрични неравенства можете също да използвате графики на функции, върху които е изградена спомагателна линия, подобно на метода, показан с използване на единична окръжност. Ако се интересувате, опитайте сами да разберете този подход към решението. По-нататък ще използваме общи формули за решаване на прости тригонометрични неравенства.

Задача No10. Решете неравенство.

Нека използваме формулата за общото решение, като вземем предвид, че неравенството не е строго:

В нашия случай получаваме:

Отговор.

Задача No11. Решете неравенство.

Нека използваме общата формула за решение за съответното строго неравенство:

Отговор. .

Задача No12. Решете неравенства: а) ; б) .

В тези неравенства няма нужда да бързате да използвате формули за общи решения или тригонометричен кръг; достатъчно е просто да запомните диапазона от стойности на синус и косинус.

а) Тъй като , тогава неравенството няма смисъл. Следователно решения няма.

б) Защото по същия начин, синусът на всеки аргумент винаги удовлетворява неравенството, посочено в условието. Следователно неравенството е изпълнено от всички реални стойности на аргумента.

Отговор. а) няма решения; б) .

Проблем 13. Решете неравенство .