По време на съществуването на Академията на науките в Русия очевидно един от най-известните й членове е математикът Леонхард Ойлер (1707-1783).

Той стана първият, който започна да изгражда последователна сграда от безкрайно малък анализ в своите произведения. Едва след неговите изследвания, изложени в грандиозните томове на неговата трилогия „Въведение в анализа“, „Диференциално смятане“ и „Интегрално смятане“, анализът се превръща в напълно оформена наука – една от най-дълбоките научни постижениячовечеството.

Леонхард Ойлер е роден в швейцарския град Базел на 15 април 1707 г. Баща му, Павел Ойлер, беше пастор в Рихен (близо до Базел) и имаше известни познания по математика. Бащата възнамерявал сина си за духовна кариера, но самият той, като се интересувал от математика, я преподавал на сина си, надявайки се, че по-късно тя ще му бъде полезна като интересна и полезна дейност. След като завършва домашното си образование, тринадесетгодишният Леонард е изпратен от баща си в Базел да слуша философия.

Сред другите предмети в този факултет се изучаваха елементарна математикаи астрономия, преподавани от Йохан Бернули Скоро Бернули забелязва таланта на младия слушател и започва да учи с него отделно.

След като получава магистърска степен през 1723 г., след като изнася реч на латински за философията на Декарт и Нютон, Леонард, по молба на баща си, започва да учи ориенталски езици и теология. Но все повече го привличаше математиката. Ойлер започва да посещава къщата на своя учител, а между него и синовете на Йохан Бернули - Николай
Даниил - възникна приятелство, което изигра много важна роля в живота на Ойлер.

През 1725 г. братя Бернули са поканени да станат членове на Санкт Петербургската академия на науките, основана наскоро от императрица Екатерина I. При напускането си Бернули обещава на Леонард да го уведоми, ако има подходяща професия за него в Русия. На следващата година съобщиха, че има място за Ойлер, но като физиолог в медицинския отдел на академията. След като научава за това, Леонард веднага се записва като студент по медицина в университета в Базел. Учи прилежно и успешно
Научен факултет по медицина, Ойлер също намира време за математически изследвания. През това време той пише дисертация за разпространението на звука и изследване за поставянето на мачтите на кораб, което по-късно е публикувано през 1727 г. в Базел.

В Санкт Петербург бяха най-много благоприятни условияза разцвета на гения на Ойлер: материална сигурност, възможност да прави това, което обича, наличие на годишен журнал за публикуване на произведения. Тук работи най-голямата група от специалисти в областта на математическите науки в света по това време, която включва Даниил Бернули (брат му Николай умира през 1726 г.), многостранния Х. Голдбах, с когото Ойлер споделя общи интереси в теорията на числата и други въпроси, авторът на трудове по тригонометрия F.Kh. Майер, астроном и географ Й.Н. Делил, математикът и физикът Г.В.Крафт и др. Оттогава Петербургската академия се превърна в един от основните центрове на математиката в света.

Откритията на Ойлер, които благодарение на неговата оживена кореспонденция често стават известни много преди публикуването, правят името му все по-известно. Позицията му в Академията на науките се подобри: през 1727 г. той започва работа в ранг на адюнкт, т.е. младши академик, а през 1731 г. става професор по физика, т.е. пълноправен член на Академията. През 1733 г. той получава катедрата по висша математика, която преди това е била заета от Д. Бернули, който се завръща същата година в Базел. Нарастването на авторитета на Ойлер е уникално отразено в писмата до него от неговия учител Йохан Бернули. През 1728 г. Бернули се обръща към „най-учения и надарен млад човек, Леонхард Ойлер“, през 1737 г., „най-известния и остроумен математик“, а през 1745 г., „несравнимия Леонхард Ойлер, водачът на математиците“.

През 1735 г. академията трябваше да завърши много трудна работачрез изчисляване на траекторията на кометата. Според академиците това е изисквало няколко месеца труд. Ойлер се ангажира да направи това за три дни и завърши работата, но в резултат на това се разболя от нервна треска с възпаление на дясното си око, което загуби. Скоро след това, през 1736 г., се появяват два тома от неговата аналитична механика. Нуждата от тази книга беше голяма; Бяха написани много статии по различни въпроси на механиката, но нямаше добър трактат по механика.

През 1738 г. се появяват две части от въведение в аритметиката Немски, през 1739 г. - нова теория на музиката. След това през 1840 г. Ойлер пише есе за приливите и отливите на моретата, което получава една трета от наградата на Френската академия; другите две трети бяха присъдени на Даниел Бернули и Маклорен за есета на същата тема.

В края на 1740 г. властта в Русия попада в ръцете на регент Анна Леополдовна и нейното обкръжение. Тревожна ситуация се създаде в столицата. По това време пруският крал Фридрих II решава да възроди Дружеството на науките в Берлин, основано от Лайбниц, което е почти неактивно в продължение на много години. Чрез своя посланик в Санкт Петербург царят кани Ойлер в Берлин. Ойлер, вярвайки, че „ситуацията започна да изглежда съвсем
не съм сигурен“, прие поканата.

В Берлин Ойлер първо събира малко научно общество около себе си, а след това е поканен да се присъедини към нововъзстановената Кралска академия на науките и е назначен за декан на математическия факултет. През 1743 г. той публикува пет свои мемоара, четири от които по математика. Едно от тези произведения е забележително в две отношения. Той показва начин за интегриране на рационални дроби чрез разлагането им на
частични дроби и в допълнение вече обичайния метод за линейно интегриране обикновени уравненияпо-висок ред с постоянни коефициенти.

Като цяло повечето от произведенията на Ойлер са посветени на анализа. Ойлер толкова опрости и допълни цели големи раздели от анализа на безкрайно малките, интегрирането на функциите, теорията на редовете, диференциалните уравнения, които вече бяха започнали преди него, че те придобиха приблизително формата, която заемат до голяма степен остава и до днес . Освен това Ойлер поставя началото на цяла нова глава от анализа - вариационното смятане. Тази негова инициатива скоро беше подета от Лагранж и така се формира нова наука.

През 1744 г. Ойлер публикува три произведения в Берлин за движението на светилата: първата е теорията за движението на планетите и кометите, която съдържа изложение на метода за определяне на орбитите от няколко наблюдения; втората и третата са за движението на комети.

Ойлер е посветил седемдесет и пет произведения на геометрията. Някои от тях, макар и интересни, не са особено важни. Някои просто си измислиха епоха. Първо, Ойлер трябва да се счита за един от основателите на изследването на геометрията в космоса като цяло. Той беше първият, който даде последователно представяне на аналитичната геометрия в пространството (във „Въведение в анализа“) и по-специално въведе така наречените ъгли на Ойлер, които правят възможно изучаването на въртенията
тела около точка.

В своята работа от 1752 г. „Доказателство за някои забележителни свойства, на които подлежат телата, ограничени от плоски лица“, Ойлер открива връзка между броя на върховете, ръбовете и лицата на полиедър: сумата от броя на върховете и лицата е равно на броя на ръбовете плюс две. Тази връзка е предложена от Декарт, но Ойлер я доказва в своите мемоари. Това в известен смисъл е първата голяма теорема в историята на математиката на топологията - най-дълбоката част от геометрията.

Докато изучава въпроси за пречупването на светлинните лъчи и е написал много мемоари по този въпрос, Ойлер публикува есе през 1762 г., в което предлага дизайна на сложни лещи за намаляване на хроматичната аберация. Английският художник Долдонд, който открива два вида стъкло с различна пречупваемост, следвайки инструкциите на Ойлер, конструира първите ахроматични лещи.

През 1765 г. Ойлер пише есе, в което решава диференциалните уравнения на въртенето твърдо, които се наричат ​​уравнения на Ойлер на въртене на твърдо тяло.

Ученият написа много есета за огъването и вибрациите на еластичните пръти. Тези въпроси са интересни не само математически, но и практически.

Фридрих Велики дава на учения указания от чисто инженерно естество. Така през 1749 г. той го инструктира да инспектира канала Фуно между Хавел и Одер и да направи препоръки за коригиране на недостатъците на този воден път. След това той получи задачата да поправи водоснабдяването в Sans Souci.

Това доведе до повече от двадесет мемоара за хидравликата, написани от Ойлер през различно време. Хидродинамичните уравнения от първи ред с частни производни на проекциите на скорост, плътност и налягане се наричат ​​хидродинамични уравнения на Ойлер.

След като напусна Санкт Петербург, Ойлер запази най-тясната връзка с Руската академия на науките, включително официалната: той беше назначен за почетен член и му беше дадена голяма годишна пенсия, а той от своя страна пое задължения по отношение на по-нататъшното сътрудничество. Той закупува книги, физически и астрономически инструменти за нашата Академия, избира служители в други страни, информира подробни спецификациивъзможни кандидати, редактирал математическия отдел на академичните бележки, действал като арбитър в научните
спорове между петербургски учени, изпратени теми за научни състезания, както и информация за нов научни откритияи др. В къщата на Ойлер в Берлин живееха студенти от Русия: М. Софронов, С. Котелников, С. Румовски, последните по-късно станаха академици.

От Берлин Ойлер, по-специално, кореспондира с Ломоносов, в чиято работа той високо цени щастливото съчетание на теория и експеримент. През 1747 г. той дава блестящ преглед на статиите на Ломоносов по физика и химия, изпратени му за заключение, което силно разочарова влиятелния академичен служител Шумахер, който беше изключително враждебен към Ломоносов.

В кореспонденцията на Ойлер с неговия приятел Голдбах, академик на Академията на науките в Санкт Петербург, откриваме две известни „проблеми на Голдбах“: да се докаже, че всяко нечетно естествено число е сумата от три прости числа, а всяко четно число е две. Първото от тези твърдения е доказано с много забележителен метод още в наше време (1937 г.) от академик И. М. Виноградов, но второто не е доказано и до днес.

Ойлер беше привлечен обратно в Русия. През 1766 г. чрез посланика в Берлин княз Долгоруков той получава покана от императрица Екатерина II да се върне в Академията на науките при всякакви условия. Въпреки увещанията да остане, той приема поканата и пристига в Санкт Петербург през юни.

Императрицата предоставя на Ойлер средства за закупуването на къщата. Най-големият от синовете му, Йохан Албрехт, става академик в областта на физиката, Карл заема висока позиция в медицинския отдел, а Фридрих II дълго време не пуска Кристофър, роден в Берлин. военна служба, и е необходима намесата на Екатерина II, за да може да дойде при баща си. Кристофър е назначен за директор на Сестрорецката оръжейна палата
растение

През далечната 1738 г. Ойлер ослепява с едното око, а през 1771 г. след операция почти напълно губи зрението си и може да пише само с тебешир върху черна дъска, но благодарение на своите ученици и асистенти. I.A Ойлер, A I. Loksel, V.L. Крафт, С.К. Котелников, М.Е. Головин и най-важното Н. И. Фус, който пристигна от Базел, продължи да работи не по-малко интензивно от преди.

Ойлер, с неговите блестящи способности и забележителна памет, продължи да работи и диктува новите си мемоари. Само от 1769 до 1783 г. Ойлер диктува около 380 статии и съчинения, а през живота си написва около 900 научни трудове.

Статията на Ойлер от 1769 г. „За ортогоналните траектории“ съдържа брилянтни идеи за получаване, използвайки функция на комплексна променлива, от уравненията на две взаимно ортогонални семейства от криви върху повърхност (т.е. линии като меридиани и паралели върху сфера) на безкраен брой други взаимно ортогонални семейства. Тази работа се оказа много важна в историята на математиката.

В следващата си работа от 1771 г. „За тела, чиято повърхност може да се превърне в равнина“, Ойлер доказва известната теорема, че всяка повърхност, която може да се получи само чрез огъване на равнина, но без да се разтяга или компресира, ако не е конична или цилиндричен, е набор от допирателни към някаква пространствена крива.

Работата на Ойлер върху картографските проекции е също толкова забележителна.

Човек може да си представи какво откровение е работата на Ойлер върху кривината на повърхностите и развиващите се повърхности за математиците от онази епоха. Работите, в които Ойлер изучава повърхностни преобразувания, които запазват подобието в малките (конформни преобразувания), базирани на теорията на функциите на комплексна променлива,
би трябвало да изглежда направо трансцендентално и работата върху полиедрите постави началото на напълно нова част от геометрията и по своите принципи и дълбочина стоеше редом с откритията на Евклид.

Неуморността и постоянството на Ойлер в научните изследвания са били такива, че през 1773 г., когато къщата му изгоряла и почти цялото имущество на семейството му било унищожено, дори след това нещастие той продължил да диктува своите изследвания. Скоро след пожара опитен офталмолог, барон Вентцел, извършва операция на катаракта, но Ойлер не издържа подходящото време без да чете и ослепява напълно.

Също през 1773 г. съпругата на Ойлер, с която той живее четиридесет години, умира. Три години по-късно той се ожени за сестра й Саломе Гсел. Завидното здраве и щастливият характер помогнаха на Ойлер „да устои на ударите на съдбата, които го сполетяха. Винаги равномерното настроение, меката и естествена веселост, някаква добродушна подигравка, способността да се разказват наивни и забавни истории направиха разговора с него толкова
колкото приятно, толкова и желано...“ Понякога можеше да пламне, но „не беше
способен дълго време да таи гняв срещу някого...”, спомня си Н. И. Фус.

Ойлер постоянно беше заобиколен от многобройни внуци, често с дете, седнало на ръце и котка, лежаща на врата му. Самият той преподаваше математика на децата. И всичко това не му попречи да работи.

На 18 септември 1783 г. Ойлер умира от апоплексия в присъствието на своите асистенти, професорите Крафт и Лексел. Погребан е на Смоленското лутеранско гробище по поръчка на известния скулптор Ж.Д. Рашет, който познаваше добре Ойлер, получи мраморен бюст на починалия, а княгиня Дашкова му подари мраморен постамент.

До края на 18 век И.А. остава секретар на конференцията. Ойлер, който беше заменен от Н.И. Фус, който се жени за дъщерята на последния, а през 1826 г. - за сина на Фус Павел Николаевич, така че организационната страна на живота на Академията се ръководи от потомците на Леонард Ойлер в продължение на около сто години. Традициите на Ойлер оказват силно влияние върху учениците
Чебишева: А.М. Ляпунова, А.Н. Коркина, Е.И. Золотарева, А.А. Марков и др., определящи основните черти на Петербургската математическа школа.

Няма учен, чието име да се споменава в образователната математическа литература толкова често, колкото името на Ойлер. Дори в гимназияЛогаритмите и тригонометрията все още се изучават до голяма степен „според Ойлер“.

Ойлер откри доказателства за всички теореми на Ферма, показа неверността на една от тях и доказа известната последна теорема на Ферма за „три“ и „четири“. Той също така доказа, че всяко просто число от формата 4n+1 винаги се разлага на сумата от квадратите на другите две числа.

Ойлер започва последователно да изгражда елементарна теория на числата. Започвайки с теорията за степенните остатъци, той се зае с квадратичните остатъци. Това е така нареченият закон за квадратична реципрочност. Ойлер също прекарва много години в решаване на неопределени уравнения от втора степен с две неизвестни.

Във всички тези три фундаментални въпроса, които повече от два века след Ойлер съставляват основната част от теорията на елементарните числа, ученият е стигнал много далеч, но и в трите се е провалил. Пълното доказателство е получено от Гаус и Лагранж.

Ойлер пое инициативата да създаде втората част от теорията на числата - аналитичната теория на числата, в която най-дълбоките тайни на целите числа, например разпределението на простите числа в редицата на всички естествени числа, се получават от разглеждането на свойства на някои аналитични функции.

Аналитичната теория на числата, създадена от Ойлер, продължава да се развива и днес.

Велика съветска енциклопедия:Ойлер Леонхард, математик, механик и физик. Род. в семейството на беден пастор Пол Ойлер. Получава образованието си първо от баща си (който в младостта си учи математика под ръководството на Й. Бернули), а през 1720-24 г. в Базелския университет, където посещава лекции по математика от Й. Бернули.
В края 1726 г. Е. е поканен в Петербургската академия на науките и през май 1727 г. пристига в Петербург. В новоорганизираната академия Е. намери благоприятни условия за научна дейност, което му позволи веднага да започне да изучава математика и механика. През 14-те години на първия петербургски период от живота си Е. подготви около 80 произведения за публикуване и публикува над 50. В Санкт Петербург той изучава руски език.
Е. участва в много области на дейност на Петербургската академия на науките. Той изнася лекции на студенти в академичния университет, участва в различни технически прегледи, работи върху съставянето на карти на Русия и написва публично достъпно „Ръководство по аритметика“ (немско издание 1738-40 г., руски превод, части 1-2, 1740 г.). По специални инструкции от Академията Е. подготви за публикуване „Морска наука“ (част 1-2, 1749 г.), фундаментална работа по теория на корабостроенето и навигацията.
През 1741 г. Е. приема предложението на пруския крал Фридрих II да се премести в Берлин, където трябва да се проведе реорганизацията на Академията на науките. В Берлинската академия на науките Е. заема поста директор на математическия клас и член на борда, а след смъртта на първия си президент P.L. Мопертюи всъщност ръководи академията няколко години (от 1759 г.). За 25 години от живота си в Берлин той е подготвил около 300 труда, включително редица големи монографии.
Докато живее в Берлин, Е. не спира да работи интензивно за Петербургската академия на науките, запазвайки титлата си почетен член. Той води обширна научна и научно-организационна кореспонденция, по-специално кореспондира с M.V. Ломоносов, когото той високо цени. Е. редактира математическия отдел на руския академичен научен орган, където през това време публикува почти толкова статии, колкото в „Мемоарите“ на Берлинската академия на науките. Той активно участва в обучението на руски математици; Бъдещите академици С.К. бяха изпратени в Берлин да учат под негово ръководство. Котелников, С.Я. Румовски и М. Софронов. Е. оказа голяма помощ на Академията на науките в Санкт Петербург, придобивайки за нея научна литератураи оборудване, договаряне с кандидати за позиции в академията и др.
17 (28) юли 1766 г. Е. се завръща в Санкт Петербург със семейството си. Въпреки напредналата си възраст и почти пълната слепота, която го сполетява, до края на живота си той работи ползотворно. През 17-те години на втория си престой в Санкт Петербург той подготви около 400 произведения, включително няколко големи книги. Д. продължи да участва в организационната работа на академията. През 1776 г. той е един от експертите по проекта за едноарков мост през Нева, предложен от I.P. Кулибин и един от цялата комисия предостави широка подкрепа за проекта.
Заслугите на Е. като крупен учен и организатор научно изследванеполучи висока оценка приживе. В допълнение към академиите в Санкт Петербург и Берлин, той е член на най-големите научни институции: Парижката академия на науките, Лондонската кралско обществои други.
Една от отличителните черти на творчеството на Е. е неговата изключителна производителност. Само през живота на Е. са публикувани около 550 негови книги и статии (списъкът на произведенията на Е. съдържа приблизително 850 заглавия). През 1909 г. Швейцарското природонаучно дружество започва да публикува пълните трудове на Е., което е завършено през 1975 г.; състои се от 72 тома. Голям интерес представлява колосалната научна кореспонденция на Е. (около 3000 писма), която досега е публикувана само частично.
Обхватът на изследванията на Е. беше необичайно широк, обхващайки всички отдели на съвременната математика и механика, теорията на еластичността, математическата физика, оптиката, теорията на музиката, теорията на машините, балистиката, морските науки, застраховането и др. Около 3/5 от трудовете на Е. се отнасят до математиката, останалите 2/5 основно до нейните приложения. Е. систематизира своите резултати и резултатите, получени от други в редица класически монографии, написани с удивителна яснота и снабдени с ценни примери. Това са например „Механиката или науката за движението, обяснена аналитично“ (том 1-2, 1736), „Въведение в анализа“ (том 1-2, 1748), „Диференциално смятане“ (1755) , „Теория на движението на твърдо тяло“ (1765), „Универсална аритметика“ (том 1-2, 1768-69), която премина през около 30 издания на 6 езика, „Интегрално смятане“ (том 1-3, 1768-70, том 4, 1794) и други през 18 век и отчасти през 19 век. Огромна популярност придобиват публично достъпните „Писма по различни физически и философски въпроси, написани до една германска принцеса...” (част 1-3, 1768-74), които претърпяват над 40 издания на 10 езика. По-голямата част от съдържанието на монографиите на Е. след това е включено в образователни ръководства за висши и частично средни училища. Невъзможно е да се изброят всички теореми, методи и формули на Е., които все още се използват, от които само няколко се появяват в литературата под негово име [вижте например метода на Ойлер за прекъснати линии, заместването на Ойлер, константата на Ойлер, Ойлеровата константа уравнение, уравнение на Ойлер (в хидромеханиката), формули на Ойлер, функция на Ойлер, числа на Ойлер в математиката, число на Ойлер, формула на Ойлер-Маклорен, формули на Ойлер-Фурие, характеристика на Ойлер, интеграли на Ойлер, ъгли на Ойлер].
В „Механиката“ Е. за първи път очерта динамиката на точка с помощта на математически анализ. Том 1 на този труд обсъжда свободно движениеточки под въздействието на различни сили както в празнота, така и в среда със съпротивление; във 2-ри - движението на точка по дадена линия или по дадена повърхност; голямо значениеза развитието на небесната механика имаше глава за движението на точка под действието на центъра. сила През 1744 г. той за първи път правилно формулира механичен принципнай-малко действие и показа първите си приложения. В „Теорията на движението на твърдото тяло“ Е. развива кинематиката и динамиката на твърдо тяло и дава уравнения за неговото въртене около фиксирана точка, поставяйки основата на теорията на жироскопите. В своята теория за кораба Е. направи ценен принос към теорията за стабилността. Значимите открития на Е. са в небесната механика (например в теорията за движението на Луната), механиката на непрекъснатите среди (основните уравнения на движението на идеална течност под формата на Е. и в т.нар. Лагранж променливи, колебания на газ в тръби и др.). В оптиката Е. дава (1747) формула за двойно изпъкнала леща и предлага метод за изчисляване на индекса на пречупване на среда. Д. се придържа към вълновата теория на светлината. Той вярваше в това различни цветовесъответстват на различни дължини на вълната на светлината. Д. предложи начини за премахване на хроматичните аберации на лещите и в 3-та част на "Диоптриката" даде методи за изчисляване на оптичните компоненти на микроскопа. Е. посвети обширна поредица от произведения, започнати през 1748 г., на математическата физика: проблеми с вибрациите на струна, плоча, мембрана и др. Всички тези изследвания стимулират развитието на теорията на диференциалните уравнения, приблизителните методи за анализ и специални техники. функции, диференциална геометрия и др. Много от математическите открития на Е. се съдържат в тези произведения.
Основната работа на Е. като математик е развитието на математическия анализ. Той положи основите на няколко математически дисциплини, които бяха само в елементарна форма или напълно отсъстваха в безкрайно малкото смятане на I. Newton, G.V. Лайбниц, Й. и И. Бернули. Така Е. е първият, който въвежда функции на комплексен аргумент („Въведение в анализа“, том 1) и изследва свойствата на основните елементарни функции на комплексна променлива (експоненциални, логаритмични и тригонометрични функции); по-специално, той извежда формули, свързващи тригонометрични функции с експоненциални функции. Работата на Е. в тази насока постави началото на теорията на функциите на комплексна променлива.
Е. е създател на вариационното смятане, изложено в работата „Метод за намиране на криви линии, имащи свойствата на максимум или минимум...“ (1744 г.). След работата на Дж. Лагранж Е. доразвива вариационното смятане в „Интегралното смятане“ и редица статии. Методът, по който Е. през 1744 г. извежда необходимо условиеекстремум на функционала - уравнението на Ойлер, беше прототипът на директните методи на вариационното смятане на 20 век. Е. създава теорията на обикновените диференциални уравнения като самостоятелна дисциплина и полага основите на теорията на частичните диференциални уравнения. Тук той прави огромен брой открития: класическият метод за решаване линейни уравненияс постоянни коефициенти, методът на вариация на произволни константи, изясняване на основните свойства на уравнението на Рикати, интегриране на линейни уравнения с променливи коефициенти с помощта на безкрайни серии, критерии за специални решения, доктрината за интегриращия фактор, различни приближени методи и a редица техники за решаване на частични диференциални уравнения. Средства. Е. събра някои от тези резултати в своето „Интегрално смятане“.
Д. също обогатява диференциалното и интегралното смятане в тесния смисъл на думата (например учението за промените на променливите, теоремата за хомогенните функции, концепцията за двоен интеграл и изчисляването на много специални интеграли). В "Диференциално смятане" Е. изрази и подкрепи с примери вярата си в целесъобразността на използването на разминаващи се редове и предлага методи за обобщено сумиране на редове, предвиждайки идеите на съвременната строга теория на разминаващите се редове, създадена в началото на 19-ти век. и 20 век. В допълнение, Е. получи много конкретни резултати в теорията на редовете. Той открива т.нар формулата за сумиране на Ойлер-Маклорен, предложи преобразуването на сериите, които носят неговото име, определи сумите на огромен брой серии и въведе нови важни видове серии в математиката (например тригонометрични серии). Това включва и изследванията на Е. върху теорията на непрекъснатите дроби и други безкрайни процеси.
Е. е основоположник на теорията специални функции. Той е първият, който разглежда синус и косинус като функции, а не като сегменти в окръжност. Той получи почти всички класически разширения на елементарни функции в безкрайни серии и продукти. Неговите трудове създават теорията на гама функцията. Той изследва свойствата на елиптични интеграли, хиперболични и цилиндрични функции, дзета функция, някои тета функции, интегрален логаритъм и важни класове специални полиноми.
Според забележката на П.Л. Чебишев, Е. постави основите на всички изследвания, които съставляват общата част от теорията на числата, която включва над 100 мемоара на Е. Така Е. доказа редица твърдения, направени от П. Ферма (вж. напр. , малката теорема на Ферма), разработи основите на теорията на степенните остатъци и теорията на квадратичните форми, откри (но не доказа) квадратичния закон за реципрочност (виж Квадратичен остатък) и проучи редица проблеми в диофантовия анализ. В своите трудове за разделянето на числата на термини и по теорията на простите числа Е. е първият, който използва методи за анализ, като по този начин става създател на аналитичната теория на числата. По-специално той въвежда дзета функцията и доказва т.нар. Идентичност на Д., свързваща простите числа с всички естествени числа.
Е. има големи заслуги и в други области на математиката. В алгебрата той пише работи за решаване на уравнения в радикали по-високи степении за уравнения с две неизвестни, както и за т.нар. Самоличността на Д. около четири квадрата. Д. значително напредна аналитичната геометрия, особено доктрината за повърхности от втори ред. В диференциалната геометрия той изучава в детайли свойствата на геодезичните линии, пръв прилага естествените уравнения на кривите и най-важното, поставя основите на теорията на повърхностите. Той въвежда концепцията за главните посоки в точка на повърхността, доказва тяхната ортогоналност, извежда формула за кривината на всеки нормален участък, започва изследването на развиващите се повърхности и т.н.; в една посмъртно публикувана работа (1862 г.) той частично очаква изследванията на K.F. Гаус върху вътрешната геометрия на повърхностите. Д. също участвал в отдела. въпроси на топологията и доказа, например, важна теорема за изпъкнали полиедри. Електронният математик често се характеризира като брилянтен „калкулатор“. Наистина, той беше ненадминат майстор на формалните изчисления и трансформации; в неговите произведения имаше много математически формули и символика модерен вид(например, той притежава нотацията за e и p). Въпреки това, Е. не беше само „калкулатор“ с изключителна сила. Той въведе в науката редица дълбоки идеи, които сега са строго обосновани и служат като пример за дълбочината на проникване в предмета на изследване.
Според P.S. Лаплас, Е. е учител по математика през втората половина на 18 век. Неговите творби са пряко проследени в различни изследвания от P.S. Лаплас, J.L. Лагранж, Г. Монж, А. M. Legendre, K.F. Гаус, по-късно О. Коши, М.В. Остроградски, П. Л. Чебишев и други руски математици високо оцениха работата на Е., а фигурите на школата на Чебишев видяха в Е. своя идеологически предшественик. постоянно чувствоконкретност, в интерес към конкретни трудни проблеми, които изискват разработването на нови методи, в желанието да се получат решения на проблеми под формата на пълни алгоритми, които позволяват да се намери отговорът с всяка необходима степен на точност.

Ойлер Леонхард (1707-1783), математик, физик, механик, астроном.

Роден на 15 април 1707 г. в Базел (Швейцария). Завършва местната гимназия и посещава лекции на И. Бернули в Базелския университет. През 1723 г. получава магистърска степен. През 1726 г. по покана на Петербургската академия на науките той идва в Русия и е назначен за адюнкт по математика.

През 1730 г. заема катедрата по физика, а през 1733 г. става академик. През своите 15 години в Русия Ойлер успява да напише първия в света учебник по теоретична механика, както и курс по математическа навигация и много други трудове.

През 1741 г. той приема предложението на пруския крал Фридрих II и се премества в Берлин. Но дори и по това време ученият не прекъсва връзките си със Санкт Петербург. През 1746 г. са публикувани три тома статии на Ойлер по балистика.

През 1749 г. той публикува двутомен труд, който за първи път представя въпросите на навигацията в математическа форма. Многобройните открития на Ойлер в областта на математическия анализ по-късно са събрани в книгата „Въведение в анализа на безкрайно малките“ (1748).

След „Въведението“ е публикуван трактат в четири тома. Първият том, посветен на диференциалното смятане, е публикуван в Берлин (1755), а останалата част, посветена на интегралното смятане, е публикувана в Санкт Петербург (1768-1770).

Последният, 4-ти том разглежда вариационното смятане, създадено от Ойлер и Дж. Лагранж. В същото време Ойлер изследва въпроса за преминаването на светлината през различни среди и свързания с това ефект на хроматизма.

През 1747 г. той предлага сложна леща.

През 1766 г. Ойлер се завръща в Русия. Ученият беше принуден да диктува своята работа „Елементи на алгебрата“, която беше публикувана през 1768 г., тъй като по това време той беше ослепял. В същото време бяха публикувани три тома интегрално смятане, два тома елементи на алгебрата и мемоари („Изчисляване на кометата от 1769 г.“, „Изчисляване на слънчевото затъмнение“, „Нова теория на Луната“, „Навигация“ и др.).

През 1775 г. Парижката академия на науките, заобикаляйки устава и със съгласието на френското правителство, определя Ойлер за свой девети (трябваше да има само осем) „прикрепен член“.

Ойлер е автор на повече от 865 изследвания по най-разнообразни и трудни въпроси. Той има голямо и ползотворно влияние върху развитието на математическото образование в Русия през 18 век. Петербургската математическа школа, която включваше академиците С. К. Котелников, С. Я. Румовски, Н. И. Фус, М. Е. Головин и други учени, под ръководството на Ойлер, извърши огромна образователна работа, създаде обширна и забележителна за времето си учебна литература, извършена редица интересни изследвания.

Ойлер е този, който директно доказва разширяването на експоненциалната и арктангенсната редица (непряко доказателство чрез обратни степенни редове е дадено от Нютон и Лайбниц между 1670 и 1680 г.). Неговото използване на степенни редове му позволи да реши известния Базелски проблем през 1735 г. (той направи по-строго доказателство през 1741 г.):

Геометричният смисъл на формулата на Ойлер Ойлер започва да използва експоненциали и логаритми в аналитични доказателства. Той успя да разшири логаритмичната функция в степенна серия и, използвайки този график, да определи логаритми за отрицателни и комплексни числа. Той също така разшири дефиницията на експоненциалната функция до комплексни числа и откри връзката на експоненциалната функция с тригонометричните функции. Формулата на Ойлер гласи, че за всяко реално число хважи равенството:

Специален случай на формулата на Ойлер за х=? е идентичността на Ойлер, която свързва пет основни математически константи:

д i ? + 1 = 0,

Наречена „най-прекрасната математическа формула“ от Ричард Файнман... През 1988 г. читателите на списанието Математически интелигентпри гласуването те я нарекоха „най-красивата математическа формула на всички времена“.
Следствие от формулата на Ойлер е формулата на Моавър.
Освен това Ойлер развива теорията на специалните трансцендентални функции чрез въвеждане на гама функцията и въвежда нови методи за решаване на уравнения от четвърта степен. Той също така намери начин за изчисляване на интеграли с комплексни граници, изпреварвайки развитието на съвременния комплексен анализ, и започна вариационното смятане, включително известния му резултат, уравненията на Ойлер-Лагранж.
Ойлер също е пионер в използването на аналитични методи за решаване на проблеми в теорията на числата. По този начин той обединява две различни области на математиката и въвежда нова област на изследване, аналитичната теория на числата. Началото е създаването на Ойлер на теорията на хипергеометричните редове, Q-сериите, хиперболичните тригонометрични функции и аналитичната теория на обобщените дроби. Например, той доказа безкрайността на простите числа, използвайки несъгласието на хармоничните редове, и използва методи за анализ, за ​​да научи за разпределението на простите числа. Работата на Ойлер в тази област доведе до появата на теоремата за разпределението на простите числа.
Теория на числата
Интересът на Ойлер към теорията на числата може да се обясни с влиянието на Кристиан Голдбах, втори от Академията в Санкт Петербург. много ранни творбиТеорията на Ойлер за числата се основава на работата на Пиер Ферма. Ойлер развива някои от идеите на Ферма и опровергава някои от неговите предположения.
Ойлер свързва природата на разпределението на простите числа с идеите за анализа. Той доказа, че сборът от обратните на простите числа е различен. По този начин той открива връзката между дзета функцията на Риман и простите числа, резултат, известен като „идентичността на Ойлер в теорията на числата“.
Ойлер доказа идентичностите на Нютон, малката теорема на Ферма, теоремата на Ферма за сумите от два квадрата и направи значителен принос към теоремата на Лагранж за четирите квадрата. Той също така е изобретил функцията на Ойлер? (Н), равно на числото положителни числа, не повече от естествените ни които са относително прости с Н.Използвайки свойствата на тази функция, той обобщи малката теорема на Ферма до това, което сега се нарича теорема на Ойлер. Той има значителен принос към теорията за съвършените числа, която е очаровала математиците от времето на Евклид. Ойлер също постигна напредък към теоремата за разпределението на простите числа и изложи хипотезата за квадратичната реципрочност. Тези две концепции се считат за основните теореми на теорията на числата и неговите идеи проправиха пътя за работата на Гаус.
Преди 1772 г. Ойлер доказва, че 2 31 – 1 = 2147483647 е число на Мерсен. Вероятно това число е било най-голямото известно просто число преди 1867 г.
Теория на графите
През 1736 г. Ойлер решава проблема, известен като Седемте моста на Кьонигсберг. Град Кьонигсберг (днес Калининград) в Прусия се намира на река Преголя и включва два големи острова, които са свързани помежду си и със сушата чрез седем моста. Проблемът е, че можете да намерите пътека, която минава през всеки мост точно веднъж и се връща в началната точка. Отговорът е не: няма цикъл на Ойлер. Това твърдение се счита за първата теорема на теорията на графите, по-специално в теорията на равнинните графи.
Ойлер също доказва формулата V – д + Е= 2, което свързва броя на върховете, ръбовете и лицата на изпъкнал полиедър и следователно равнинни графики (за равнинни графи V – д + Е= 1). Лявата страна на формулата, сега известна като характеристика на Ойлер на графика (или друг математически обект), се свързва с концепцията за рода на повърхността.
Проучването и обобщаването на тази формула, по-специално от Коши и L'Huillier, бяха началото на топологията.
Приложна математика
Сред най-големите успехи на Ойлер са аналитичните решения на практически проблеми, описанието на множество приложения на числата на Бернули, редове на Фурие, диаграми на Вен (известни също като кръгове на Ойлер),Числа на Ойлер, константи e и?, последователни дроби и интеграли.
Той комбинира диференциалното смятане на Лайбниц с метода на флуксиите на Нютон и създаде инструменти, които улесниха прилагането на анализа към физически проблеми. Той направи големи крачки в подобряването на числената апроксимация на интегралите, като изобрети това, което сега е известно като метод на Ойлер и формулата на Ойлер-Маклорен. Той също така насърчава използването на диференциални уравнения, по-специално чрез въвеждане на константата на Ойлер-Машерони:

Един от най-необичайните интереси на Ойлер е приложението на математическите идеи към музиката. През 1739 г. той пише Tentamen novae theoriae musicae,надявайки се най-накрая да включа музикалната теория в математиката. Тази част от работата му обаче не е получила широко вниманиеи някога беше наречен "твърде математически за музиканти и много музикален за математици".
Физика
Леонхард Ойлер има значителен принос за развитието на механиката, по-специално за решаването на проблема с въртенето на твърдо тяло. Подходът на Ойлер е свързан с понятията ъгли на Ойлер и кинематичните уравнения на Ойлер. През 1757 г. Ойлер публикува своите мемоари „Principes generaux du mouvement des fluides“ ( Основни принципидвижение на течност), в който той записва уравненията на движението на несвиваем идеален флуид, наречени уравнения на Ойлер. Резултатът от работата по проблема с деформацията на гредата по време на натоварване бяха уравненията на Ойлер-Бернули, които впоследствие намериха приложение в инженерните науки, по-специално при проектирането на мостове.
Ойлер работи върху общи проблеми на механиката, развивайки принципа на Мопертюи. Уравненията на Лагранжевата механика често се наричат ​​уравнения на Ойлер-Лагранж.
Ойлер прилага развитите си математически методи за решаване на проблемите на небесната механика. Работата му в тази област получава няколко награди от Парижката академия на науките. Сред постиженията му са определянето с голяма точност на орбитите на комети и други небесни тела, обяснението на природата на кометите и изчисляването на паралакса на Слънцето. Изчисленията на Ойлер допринесоха значително за разработването на точни таблици за географска ширина.
важноза времето си е приносът на Ойлер към оптиката. Той отрече доминиращата тогава корпускулярна теория на Нютон за светлината. Работата на Ойлер през 40-те години на 17 век помогна за установяването на вълновата теория на светлината на Кристиан Хюйгенс.
Астрономия
Повечето от астрономическите трудове на Ойлер са посветени на въпросите на небесната механика, които са били актуални по това време, както и на сферичната, практическата и морската астрономия, теорията на приливите и отливите, теорията на астрономическия климат, пречупването на светлината в земната атмосфера, паралакса и аберацията, и въртенето на Земята. В областта на небесната механика Ойлер има значителен принос в теорията на смутеното движение. Още през 1746 г. той изчислява възбужданията на Луната и публикува лунни таблици. Едновременно с A.K Clairaut и J.L.D. Alembert и независимо от тях, Ойлер развива общи теории за движението на Луната, в които той е изучаван с голямо внимание. висока точност. Първата теория, която прилага метода за разширяване на желаните координати в серии в степени на малки параметри и дава частично развитие на аналитичния метод на вариращи орбитални елементи, е публикувана през 1753 г. Тази теория е използвана от T. I. Mayer при съставянето на високо- прецизни таблици на движението на Луната. Съвършена аналитична теория, в която е дадено численото развитие на метода и са изчислени таблици, е изложена в произведение, публикувано в Санкт Петербург през 1772 г. на латински. Неговият съкратен превод на руски под заглавието „Нова теория на движението на Луната“ е извършен от А. Н. Крилов и публикуван през 1934 г. Предложените от Ойлер изчислителни методи за получаване на точни ефемериди на Луната и планетите, по-специално правоъгълната координата брадви, които той представи, по-късно бяха широко използвани от J.W. Според М. Ф. Суботин те се превърнаха в един от най-важните източници на по-нататъшен прогрес в цялата небесна механика. С появата на компютрите се появиха широки възможности за използване на тези методи. Съвременни точни и пълна теориядвижение на луната е създаден през 1895-1908 г. от Е. В. Браун. Работата на Ойлер и Гил даде началото на общата теория на нелинейните трептения, която играе важна роля в съвременната наука и технологии.
Трудът на Ойлер „За усъвършенстване на стъклото на обектива на телескопите“ (1747) е важен за астрономията, в който той показва, че чрез комбиниране на две стъклени лещи с различна сила на пречупване може да се създаде ахроматична леща. Повлиян от работата на Ойлер, първата леща от този вид е направена от английския оптик J. Dollond през 1758 г.

Леонхард Ойлер е един от най-великите математицина всички времена - се отличаваше с неконтролируема жажда за знания и неудържима енергия. Много класически теореми във всички области на математиката са кръстени на него.

Леонхард Ойлер е роден в швейцарския град Базел на 15 април 1707 г. Пол Ойлер, бащата на момчето, беше пастор и мечтаеше синът му да последва стъпките му. От първите години от живота си той учи Леонард на всички видове науки, като иска да внуши в него жажда за нови знания. Ойлер проявява особен талант за прецизни предмети и баща му веднага започва да развива способностите му. Самият Павел посвещава почти цялото си свободно време на математиката, а в младостта си дори посещава уроците на известния Якоб Бернули.

Домашното обучение се превърна в солидна основа за по-нататъшното образование на момчето. Когато влезе в гимназията в Базел, всички предмети му се даваха с изключителна лекота. Нивото на преподаване в гимназията обаче оставя много да се желае и Ойлер започва да търси нови възможности за придобиване на знания. На 13-годишна възраст Леонард постъпва в Базелския университет във Факултета по свободни изкуства. Ето как в крайна сметка той посещава лекции по математика от по-малкия брат на Якоб Бернули, Йохан.

Професорът забелязва способен студент и назначава на Ойлер индивидуални уроци. Под чувствителното ръководство на Бернули момчето се запознава с най-сложните трудове на велики математици, научава се да ги разбира и анализира. Този подход към обучението позволи на Леонард да получи първата си академична степен на 16-годишна възраст, когато успя да дирижира сравнителен анализпроизведения на Декарт и Нютон. Така Ойлер става магистър по изкуства.

След като завършва университета, Пол отново се намесва в образованието на сина си. Убеден, че Леонард ще стане свещеник, баща му го принуждава да научи езици: иврит и гръцки. Ойлер не постига голям успех, така че баща му трябва да се примири със страстта си към математиката. 17-годишното момче обаче не може да си намери работа по специалността – всички места в университета са заети. Той продължава да посещава къщата на професор Бернули и развива близки приятелства със синовете му: Даниел и Николай.

През 1727 г., след братята Бернули, ученият заминава за Санкт Петербург. Тук Ойлер става помощник на висшата математика. През 1730 г. Леонхард Ойлер получава предложение да оглави катедрата по физика, а през януари 1731 г. той става професор. От 1733 г. под негово ръководство вече има катедра по висша математика. През 14-те години, прекарани в Санкт Петербург, той публикува трудове по хидравлика, навигация, механика, картография и, разбира се, математика. Общо има повече от 70 научни труда. На Запад Ойлер е признат именно за руски учен. Швейцарските корени на Леонард напомнят за себе си само в личния му живот - той се жени за швейцарка Катерина Гсел.

Петербургската академия на науките по това време може да се похвали с уникален преподавателски състав. Тук преподават и водят научна дейност известни учени като Й. Херман, Д. Бернули, Х. Голдбах и много други. Такава компания позволява на Ойлер да навлезе възможно най-дълбоко в своите изследвания и ученият публикува все повече и повече нови произведения в публикациите на Академията. Най-значимият от тях е двутомната „Механика“.

Фридрих II, като крал на Прусия, решава да открие Берлинската академия на базата на Обществото на науките. Той кани Ойлер да работи в Берлин за много благоприятни условия. През 1841 г. ученият решава да се премести, но въпреки това поддържа активна кореспонденция с руски учени, по-специално с Ломоносов. В Берлин Леонард Ойлер се среща с президента на Академията на науките Моро дьо Мопертюи и всъщност става негов заместник - Моро често боледува, а Ойлер изпълнява задълженията си.

В Германия ученият продължава да работи в областта на теорията на числата, математическия анализ и вариационното смятане и прилага нов подход към изучаването на геометрията. Резултатът от изследванията на Ойлер е нова наука - топология. В същото време корабостроенето и небесната механика попадат в полето на интересите на Леонард. В последния той постига безпрецедентен успех - създава теория за движението на Луната, отчитайки гравитацията на Слънцето.

Ойлер така и не получи дългоочаквания пост президент на Академията, което стана една от основните причини за завръщането му в Санкт Петербург. Тук той е топло приет от самата покровителка на науката Екатерина II. Ученият с ентусиазъм започва да работи в полза на Русия.

Възрастта взема своето и на 60-годишна възраст Ойлер почти напълно губи зрението си, но не спира научната си дейност. След завръщането си успява да публикува 200 есета в различни области на науката.

Първата съпруга на Леонард умира скоро след преместването и няколко години по-късно ученият се жени за нея собствената ми сестраСаломе-Абигейл Гсел. Децата му приемат руско гражданство.

Правителството високо цени постиженията на учения и неговия принос за развитието на науката. Дори след прекратяване на научната си дейност Ойлер и семейството му са напълно осигурени с всичко необходимо за сметка на държавата. Леонхард Ойлер умира през 1783 г. в Санкт Петербург на 75-годишна възраст. По това време той има 5 деца и 26 внуци. Той остави след себе си 800 научни статии и 72 тома, посветени на различни области на науката.

По време на научната си кариера Леонхард Ойлер основава теорията на функциите с комплексни променливи, обикновените диференциални уравнения и частичните диференциални уравнения. Той стана пионер в вариационното смятане и топологията и приложи нови методи на интегриране. Много теореми от алгебрата и теорията на числата, които по-късно стават класически, са кръстени на негово име.

Използвайки резултатите на Стърлинг и Нютон, Ойлер през 1732 г. (по същото време като Макларън) открива общия закон на сумирането. С други думи, той изразява частичната сума, интеграла и производната на безкраен ред sn= ∑ u (k) чрез ред с общи членове u (n). Изследвайки получените данни, както и отношението на числата на Бернули B2n+2:B2n, Ойлер установи, че тази серия- дивергентно обаче успя да изчисли приблизителната му стойност. За да направи това, ученият използва сумата от всички членове на серията, които намаляват. Това откритие доведе до концепцията за асимптотична серия, на която много известни математици впоследствие посветиха своите трудове. Сред тях са Лаплас, Лежандр, Лагранж, Поасон и Коши. Формулата на Ойлер-Макларен стана основа на теорията на крайните разлики.

Очарован от работата на д'Аламбер, Ойлер започва да изучава теорията на струните. В статията си „За вибрациите на една струна” ученият установява общо решениевибрационни уравнения, като началната скорост се приема за нула. Имаше формата y = φ (x + at) + ψ (x - at), където a е константа, и се различаваше малко от решението на d'Alembert. Въпреки това, през 1766 г. Ойлер намира свой собствен метод, който по-късно ще бъде включен в неговото „Интегрално смятане“ (1770 г.), за да направи това, той въвежда нови координати, които довеждат уравнението до по-проста форма за интегриране: u = x + at, v = x - at. В съвременните учебници по диференциални уравнениятакива координати се наричат ​​характерни и се използват широко за различни видове изчисления.

Едно от основните открития на Ойлер е формулата, наречена на негово име. Той казва, че за всяко реално x равенството eix = cosx + isinx е вярно (i е въображаемата единица, e е основата на естествения логаритъм). Така ученият свързва тригонометричната функция и комплексната експонента. Формулата е публикувана в книгата "Въведение в анализа на безкрайно малките" (1748). Продължавайки изследванията си в тази област, Ойлер получава експоненциална форма на комплексно число под формата z = reiφ.

Освен това той значително опростява и съкращава математическите означения - въвежда означения за тригонометрични функции: tg x, ctg x, sec x, cosec x и пръв ги разглежда като функции на числен аргумент, което става основа на съвременната тригонометрия .

Както по-късно твърди Лаплас, всички математици от 18 век са учили при Ойлер. Въпреки това, дори няколко века по-късно неговите математически методи се използват в морското дело, балистиката, оптиката, музикалната теория и застраховането.