Този калкулатор е изчислил 2192 задачи по темата "Площ на трапец"

ПЛОЩ НА ТРАПЕЦ

Изберете формулата за изчисляване на площта на трапец, която планирате да използвате за решаване на възложената ви задача:

Обща теория за изчисляване на площта на трапец.

трапец - Това е плоска фигура, състояща се от четири точки, три от които не лежат на една и съща права, и четири сегмента (страни), свързващи тези четири точки по двойки, в които две противоположни страни са успоредни (лежат на успоредни прави), а другите две не са успоредни.

Точките се наричат върхове на трапец и се изписват с главни латински букви.

Сегментите се наричат трапецовидни страни и се обозначават с чифт главни букви латински буквисъответстващи на върховете, които сегментите свързват.

Две успоредни страни на трапец се наричат трапецовидни основи .

Две неуспоредни страни на трапец се наричат страни на трапеца .

Фигура No1: Трапец ABCD

Фигура 1 показва трапеца ABCD с върхове A, B,C, D и страни AB, BC, CD, DA.

AB ǁ DC - основи на трапец ABCD.

AD, BC - странични страни на трапеца ABCD.

Ъгълът, образуван от лъчите AB и AD, се нарича ъгъл при върха A. Означава се като ÐA или ÐBAD, или ÐDAB.

Ъгълът, образуван от лъчите BA и BC, се нарича ъгъл при върха B. Означава се като ÐB или ÐABC, или ÐCBA.

Ъгълът, образуван от лъчите CB и CD, се нарича ъгъл при върха C. Означава се като ÐC или ÐDCB, или ÐBCD.

Ъгълът, образуван от лъчите AD и CD, се нарича върхов ъгъл D. Означава се като ÐD или ÐADC, или ÐCDA.

Фигура № 2: Трапец ABCD

На фигура 2 се нарича сегментът MN, свързващ средите на страничните страни средна линия на трапеца.

Средна линия на трапецуспоредни на основите и равни на тяхната полусума. т.е. .

Фигура No3: Равнобедрен трапец ABCD

На фигура 3 AD=BC.

Трапецът се нарича равнобедрен (равнобедрен), ако страните му са равни.

Фигура № 4: Правоъгълен трапец ABCD

На фигура № 4 ъгъл D е прав (равен на 90°).

Трапецът се нарича правоъгълен,ако ъгълът при страната е прав.

Област S плоскафигури, които включват трапеца, се наричат ​​ограничено затворено пространство в равнина. Квадрат плоска фигурапоказва размера на тази фигура.

Районът има няколко свойства:

1. Не може да бъде отрицателен.

2. Ако е дадена определена затворена област на равнината, която се състои от няколко фигури, които не се пресичат помежду си (т.е. фигурите нямат общи вътрешни точки, но могат да се докосват една друга), тогава площта от такава площ е равна на сумата от площите на съставните й фигури.

3. Ако две фигури са равни, то техните повърхнини са равни.

4. Площта на квадрат, който е построен върху единичен сегмент, е равна на единица.

За единица измервания площвземете площта на квадрат, чиято страна е равна на единица измерваниясегменти.

При решаване на задачи често се използват следните формули за изчисляване на площта на трапец:

1. Площта на трапец е равна на половината от сумата от основите му, умножена по височината му:

2. Площта на трапец е равна на произведението на средната му линия и нейната височина:

3. При известни дължини на основите и страните на трапеца, неговата площ може да се изчисли по формулата:

4. Възможно е да се изчисли площта на равнобедрен трапец с известна дължина на радиуса на окръжността, вписана в трапеца, и известна стойност на ъгъла в основата, като се използва следната формула:

Пример 1:Изчислете повърхнината на трапец с основи a=7, b=3 и височина h=15.

Решение:

отговор:

Пример 2:Намерете страната на основата на трапец с площ S = 35 cm 2, височина h = 7 cm и втора основа b = 2 cm.

Решение:

За да намерим страната на основата на трапец, използваме формулата за изчисляване на площта:

Нека изразим от тази формула страната на основата на трапеца:

Така имаме следното:

отговор:

Пример 3:Намерете височината на трапец с площ S = 17 cm 2 и основи a = 30 cm, b = 4 cm.

Решение:

За да намерим височината на трапец, използваме формулата за изчисляване на площта:

Така имаме следното:

отговор:

Пример 4:Изчислете повърхнината на трапец с височина h=24 и централна линия m=5.

Решение:

За да намерим площта на трапец, използваме следната формула за изчисляване на площта:

Така имаме следното:

отговор:

Пример 5:Намерете височината на трапец с площ S = 48 cm 2 и централна линия m = 6 cm.

Решение:

За да намерим височината на трапец, използваме формулата за изчисляване на площта на трапец:

Нека изразим височината на трапеца от тази формула:

Така имаме следното:

отговор:

Пример 6:Намерете средната линия на трапец с площ S = 56 и височина h = 4.

Решение:

За да намерим средната линия на трапец, използваме формулата за изчисляване на площта на трапец:

Нека изразим средната линия на трапеца от тази формула:

Така имаме следното.

Трапецът е специален вид четириъгълник, в който две срещуположни страни са успоредни една на друга, но другите две не са. Различни реални обекти имат трапецовидна форма, така че може да се наложи да изчислите периметъра на такава геометрична фигура, за да решите ежедневни или училищни задачи.

Геометрия на трапец

Трапецът (от гръцки „trapezion” - маса) е фигура в равнина, ограничена от четири сегмента, два от които са успоредни и два не. Успоредните отсечки се наричат ​​основи на трапеца, а неуспоредните отсечки се наричат ​​страни на фигурата. Страните и техните ъгли на наклон определят вида на трапеца, който може да бъде мащабен, равнобедрен или правоъгълен. В допълнение към основите и страните, трапецът има още два елемента:

• височина - разстоянието между успоредните основи на фигурата;
• средна линия - сегмент, свързващ средните точки на страните.

Тази геометрична фигура е широко разпространена в реалния живот.

Трапец в действителност

IN ежедневиетоМного реални обекти имат трапецовидна форма. Можете лесно да намерите трапец в следните области на човешката дейност:

• интериорен дизайн и декор - дивани, плотове, стени, мокети, окачени тавани;
• ландшафтен дизайн - граници на тревни площи и изкуствени резервоари, форми на декоративни елементи;
• мода - формата на облекло, обувки и аксесоари;
• архитектура - прозорци, стени, основи на сгради;
• производство - различни изделия и части.

При такова широко разпространено използване на трапеци, специалистите често трябва да изчисляват периметъра на геометрична фигура.

Периметър на трапец

Периметърът на фигура е числова характеристика, която се изчислява като сбор от дължините на всички страни на n-ъгълника. Трапецът е четириъгълник и общ случайвсичките му страни имат различна дължина, така че периметърът се изчислява по формулата:

P = a + b + c + d,

където a и c са основите на фигурата, b и d са нейните страни.

Въпреки че не е необходимо да знаем височината, когато изчисляваме периметъра на трапец, кодът на калкулатора изисква въвеждането на тази променлива. Тъй като височината няма ефект върху изчисленията, когато използвате нашия онлайн калкулатор, можете да въведете всяка стойност на височина, която е по-голяма от нула. Нека да разгледаме няколко примера.

Примери от реалния живот

Носна кърпичка

Да приемем, че имате шал с форма на трапец и искате да го подстрижете с ресни. Ще трябва да знаете периметъра на шала, за да не купувате допълнителен материал или да ходите два пъти до магазина. Нека вашият равнобедрен шал има следните параметри: a = 120 cm, b = 60 cm, c = 100 cm, d = 60 cm. Въвеждаме тези данни в онлайн формата и получаваме отговора във формата:

Така периметърът на шала е 340 см и точно толкова е дължината на ресните за завършване.

Склонове

Например, вие решавате да направите склонове за нестандартни металопластични прозорци, които имат трапецовидна форма. Такива прозорци се използват широко в дизайна на сградите, създавайки композиция от няколко крила. Най-често такива прозорци се правят във формата правоъгълен трапец. Нека разберем колко материал е необходим, за да направим склоновете на такъв прозорец. Стандартен прозорец има следните параметри a = 140 cm, b = 20 cm, c = 180 cm, d = 50 cm. Използваме тези данни и получаваме резултата във формуляра

Следователно периметърът на трапецовидния прозорец е 390 см и толкова ще трябва да закупите пластмасови панелиза образуване на откоси.

Заключение

Трапецът е популярна фигура в ежедневието, чиито параметри може да се определят в най-неочаквани ситуации. Изчисляването на трапецовидни периметри е необходимо за много професионалисти: от инженери и архитекти до дизайнери и механици. Нашият каталог от онлайн калкулатори ще ви позволи да извършвате изчисления за всякакви геометрични формии тел.

Площ на трапец. поздрави! В тази публикация ще разгледаме тази формула. Защо е точно такава и как да я разберем. Ако има разбиране, тогава не е нужно да го преподавате. Ако просто искате да разгледате тази формула и спешно, тогава можете веднага да превъртите страницата надолу))

Сега подробно и по ред.

Трапецът е четириъгълник, две страни на този четириъгълник са успоредни, другите две не са. Тези, които не са успоредни, са основите на трапеца. Другите две се наричат ​​страни.

Ако страните са равни, тогава трапецът се нарича равнобедрен. Ако една от страните е перпендикулярна на основите, тогава такъв трапец се нарича правоъгълен.

IN класически видТрапецът е изобразен по следния начин: по-голямата основа е отдолу, а по-малката основа е отгоре. Но никой не забранява да я изобразява и обратното. Ето и скиците:

Следващата важна концепция.

Средната линия на трапец е сегмент, който свързва средните точки на страните. Средната линия е успоредна на основите на трапеца и е равна на тяхната полусума.

Сега нека се задълбочим. защо е така

Помислете за трапец с основи а и би със средната линия ли нека изпълним някои допълнителни конструкции: начертайте прави линии през основите и перпендикуляри през краищата на средната линия, докато се пресекат с основите:

*Буквените обозначения за върхове и други точки не са включени умишлено, за да се избегнат ненужни обозначения.

Вижте, триъгълници 1 и 2 са равни според втория знак за равенство на триъгълници, триъгълници 3 и 4 са еднакви. От равенството на триъгълниците следва равенството на елементите, а именно краката (те са обозначени съответно в синьо и червено).

Сега внимание! Ако мислено „отрежем“ синия и червения сегмент от долната основа, тогава ще остане сегмент (това е страната на правоъгълника), равен на средната линия. След това, ако „залепим“ изрязаните сини и червени сегменти към горната основа на трапеца, тогава ще получим и сегмент (това също е страната на правоъгълника), равен на средната линия на трапеца.

Разбра ли? Оказва се, че сборът от основите ще бъде равен на двете средни линии на трапеца:

Вижте друго обяснение

Нека направим следното - построим права линия, минаваща през долната основа на трапеца и права, която ще минава през точки A и B:

Получаваме триъгълници 1 и 2, те са равни по страната и прилежащите ъгли (вторият знак за равенство на триъгълниците). Това означава, че полученият сегмент (на скицата е посочен в синьо) е равен на горната основа на трапеца.

Сега разгледайте триъгълника:

*Средната линия на този трапец и средната линия на триъгълника съвпадат.

Известно е, че триъгълникът е равен на половината от успоредната му основа, т.е.

Добре, разбрахме го. Сега за площта на трапеца.

Формула за площ на трапец:

Те казват: площта на трапец е равна на произведението на половината от сбора на неговите основи и височина.

Тоест, оказва се, че е равно на произведението на централната линия и височината:

Вероятно вече сте забелязали, че това е очевидно. Геометрично това може да се изрази по следния начин: ако мислено отрежем триъгълници 2 и 4 от трапеца и ги поставим съответно на триъгълници 1 и 3:

Тогава ще получим правоъгълник с площ, равна на площта на нашия трапец. Площта на този правоъгълник ще бъде равна на произведението на централната линия и височината, тоест можем да напишем:

Но въпросът тук не е в писането, разбира се, а в разбирането.

Изтеглете (разгледайте) материалите на статията във формат *pdf

това е всичко Успех на теб!

Най-добри пожелания, Александър.

Инструкции

За да направим двата метода по-разбираеми, можем да дадем няколко примера.

Пример 1: дължината на средната линия на трапеца е 10 cm, площта му е 100 cm². За да намерите височината на този трапец, трябва да направите:

h = 100/10 = 10 см

Отговор: височината на този трапец е 10 см

Пример 2: площта на трапеца е 100 см², дължините на основите са 8 см и 12 см. За да намерите височината на този трапец, трябва да извършите следното действие:

h = (2*100)/(8+12) = 200/20 = 10 cm

Отговор: височината на този трапец е 20 см

Моля, обърнете внимание

Има няколко вида трапец:
Равнобедрен трапец е трапец, в който страните са равни една на друга.
Правоъгълен трапец е трапец, в който един от вътрешни ъглиравен на 90 градуса.
Струва си да се отбележи, че в правоъгълен трапец височината съвпада с дължината на страната, когато прав ъгъл.
Можете да начертаете кръг около трапец или да го поставите в дадена фигура. Можете да впишете окръжност само ако сборът от нейните основи е равен на сбора от противоположните й страни. Окръжност може да бъде описана само около равнобедрен трапец.

Полезни съвети

Успоредникът е специален случай на трапец, тъй като определението за трапец по никакъв начин не противоречи на определението за успоредник. Успоредникът е четириъгълник, чиито противоположни страни са успоредни една на друга. За трапец дефиницията се занимава само с чифт страни. Следователно всеки успоредник също е трапец. Обратното твърдение не е вярно.

източници:

• как да намерите площта на формула за трапец

Съвет 2: Как да намерите височината на трапец, ако площта е известна

Трапецът е четириъгълник, в който две от четирите му страни са успоредни една на друга. Успоредните страни са основите на дадената, другите две са страничните страни на дадената. трапецовидни. Намерете височина трапецовидни, ако е известно квадрат, ще бъде много лесно.

Инструкции

Трябва да разберете как да изчислявате квадраторигинален трапецовидни. Има няколко формули за това, в зависимост от първоначалните данни: S = ((a+b)*h)/2, където a и b са основи трапецовидни, а h е неговата височина (Височина трапецовидни- перпендикулярна, спусната от една основа трапецовиднина друг);
S = m*h, където m е линия трапецовидни(Средната линия е сегмент с основи трапецовиднии свързване на средните точки на страните му).

За да стане по-ясно, подобни задачи могат да бъдат разгледани: Пример 1: Даден е трапец с квадрат 68 cm², чиято средна линия е 8 cm, трябва да намерите височинададено трапецовидни. За да разрешите този проблем, трябва да използвате получената по-рано формула:
h = 68/8 = 8,5 cm Отговор: височината на това трапецовидние 8,5 см. Пример 2: Нека y трапецовидни квадратсе равнява на 120 cm², дължината на основите на това трапецовидни 8 см и 12 см съответно, трябва да намерите височинатова трапецовидни. За да направите това, трябва да приложите една от получените формули:
h = (2*120)/(8+12) = 240/20 = 12 cmОтговор: дадена височина трапецовидниравно на 12 см

Видео по темата

Моля, обърнете внимание

Всеки трапец има редица свойства:

Средната линия на трапец е равна на половината от сбора на неговите основи;

Сегментът, който свързва диагоналите на трапец, е равен на половината от разликата на неговите основи;

Ако се начертае права линия през средните точки на основите, тогава тя ще пресече точката на пресичане на диагоналите на трапеца;

В трапец може да се впише окръжност, ако сборът от основите на трапеца е равен на сбора от страните му.

Използвайте тези свойства, когато решавате проблеми.

Съвет 3: Как да намерите площта на трапец, ако основите са известни

от геометрична дефиницияТрапецът е четириъгълник само с една двойка успоредни страни. Тези страни са нейни причини. Разстояние между причининаречена височина трапецовидни. Намерете квадрат трапецовиднивъзможно използване геометрични формули.

Инструкции

Измерете основите и трапецовидни ABCD. Обикновено те се дават в задачи. Нека влезе в този примерфондация за задачи AD (a) трапецовиднище бъде равна на 10 cm, основа BC (b) - 6 cm, вис трапецовидни BK (h) - 8 cm Използвайте геометрични, за да намерите площ трапецовидни, ако са известни дължините на основите и височините му - S= 1/2 (a+b)*h, където: - a - размерът на основата AD трапецовидни ABCD, - b - стойността на основата BC, - h - стойността на височината BK.

Практиката на миналогодишния Единен държавен изпит и Държавен изпит показва, че проблемите с геометрията създават трудности за много ученици. Можете лесно да се справите с тях, ако запомните всички необходими формули и практикувате решаването на задачи.

В тази статия ще видите формули за намиране на площта на трапец, както и примери за задачи с решения. Можете да срещнете същите в KIM по време на сертификационни изпити или на олимпиади. Затова се отнасяйте към тях внимателно.

Какво трябва да знаете за трапеца?

Като начало нека си припомним това трапецсе нарича четириъгълник, в който две противоположни страни, наричани още основи, са успоредни, а другите две не са.

В трапец височината (перпендикулярна на основата) също може да бъде намалена. Начертана е средната линия - това е права линия, която е успоредна на основите и равна на половината от техния сбор. Както и диагонали, които могат да се пресичат, образувайки остри и тъпи ъгли. Или, в някои случаи, под прав ъгъл. Освен това, ако трапецът е равнобедрен, в него може да се впише окръжност. И опишете кръг около него.

Формули за площ на трапец

Първо, нека разгледаме стандартните формули за намиране на площта на трапец. Ще разгледаме начините за изчисляване на площта на равнобедрени и криволинейни трапеци по-долу.

И така, представете си, че имате трапец с основи a и b, в който височината h е спусната до по-голямата основа. Изчисляването на площта на фигура в този случай е толкова лесно, колкото беленето на круши. Просто трябва да разделите сумата от дължините на основите на две и да умножите резултата по височината: S = 1/2(a + b)*h.

Нека вземем друг случай: да предположим, че в трапец, освен височината, има средна линия m. Знаем формулата за намиране на дължината на средната линия: m = 1/2(a + b). Следователно можем с право да опростим формулата за площта на трапец до следната форма: S = m* h. С други думи, за да намерите площта на трапец, трябва да умножите централната линия по височината.

Нека разгледаме друг вариант: трапецът съдържа диагонали d 1 и d 2, които не се пресичат под прав ъгъл α. За да изчислите площта на такъв трапец, трябва да разделите произведението на диагоналите на две и да умножите резултата по греха на ъгъла между тях: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.

Сега разгледайте формулата за намиране на площта на трапец, ако нищо не се знае за него, освен дължините на всичките му страни: a, b, c и d. Обемно е и сложна формула, но ще ви е полезно да го запомните за всеки случай: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.

Между другото, горните примери са валидни и за случая, когато имате нужда от формулата за площта на правоъгълен трапец. Това е трапец, чиято страна граничи с основите под прав ъгъл.

Равнобедрен трапец

Трапец, чиито страни са равни, се нарича равнобедрен. Ще разгледаме няколко варианта за формулата за площта на равнобедрен трапец.

Първи вариант: за случая, когато окръжност с радиус r е вписана в равнобедрен трапец, а страната и по-голямата основа образуват остър ъгълα. В трапец може да се впише окръжност, при условие че сборът от дължините на неговите основи е равен на сбора от дължините на страните.

Площта на равнобедрен трапец се изчислява по следния начин: умножете квадрата на радиуса на вписания кръг по четири и го разделете на sinα: S = 4r 2 /sinα. Друга формула за площ е специален случай за опцията, когато ъгълът между голямата основа и страната е 30 0: S = 8r2.

Втори вариант: този път ще вземем равнобедрен трапец, в който допълнително са начертани диагоналите d 1 и d 2, както и височината h. Ако диагоналите на трапец са взаимно перпендикулярни, височината е половината от сбора на основите: h = 1/2(a + b). Знаейки това, лесно е да трансформирате формулата за площта на вече познатия ви трапец в тази форма: S = h 2.

Формула за площта на извит трапец

Нека започнем, като разберем какво е извит трапец. Представете си координатна ос и графика на непрекъсната и неотрицателна функция f, която не променя знака в даден сегмент на оста x. Криволинеен трапец е образуван от графиката на функцията y = f(x) - отгоре, оста x е отдолу (отсечка), а отстрани - прави, прекарани между точки a и b и графиката на функцията.

Невъзможно е да се изчисли площта на такава нестандартна фигура, като се използват горните методи. Тук трябва да приложите математически анализ и да използвате интеграла. А именно: формулата на Нютон-Лайбниц - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). В тази формула F е първоизводната на нашата функция върху избрания сегмент. И площта на криволинейния трапец съответства на нарастването на антипроизводната на даден сегмент.

Примерни проблеми

За да направите всички тези формули по-лесни за разбиране в главата си, ето няколко примера за задачи за намиране на площта на трапец. Най-добре ще е първо да се опитате да решите задачите сами и едва след това да сравните получения отговор с готовото решение.

Задача №1:Даден е трапец. По-голямата му основа е 11 см, по-малката е 4 см. Трапецът има диагонали, единият с дължина 12 cm, вторият 9 cm.

Решение: Построете трапец AMRS. Прекарайте права РХ през върха P така, че да е успоредна на диагонала MC и да пресича правата AC в точка X. Ще получите триъгълник APХ.

Ще разгледаме две фигури, получени в резултат на тези манипулации: триъгълник APX и паралелограм CMRX.

Благодарение на успоредника научаваме, че PX = MC = 12 cm и CX = MR = 4 cm. Откъде можем да изчислим страната AX на триъгълника ARX: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.

Можем също да докажем, че триъгълникът APX е правоъгълен (за да направите това, приложете Питагоровата теорема - AX 2 = AP 2 + PX 2). И изчислете неговата площ: S APX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9 * 12) = 54 cm 2.

След това ще трябва да докажете, че триъгълниците AMP и PCX са еднакви по размер. Основата ще бъде равенството на страните MR и CX (вече доказано по-горе). А също и височините, които спускаш от тези страни - те са равни на височината на AMRS трапеца.

Всичко това ще ви позволи да кажете, че S AMPC = S APX = 54 cm 2.

Задача #2:Даден е трапецът KRMS. На страничните му страни има точки O и E, а OE и KS са успоредни. Известно е също, че площите на трапеца ORME и OKSE са в съотношение 1:5. RM = a и KS = b. Трябва да намерите OE.

Решение: Начертайте права, успоредна на RK, през точка M и означете нейната пресечна точка с OE като T. A е пресечната точка на права, прекарана през точка E, успоредна на RK, с основата KS.

Нека въведем още едно означение - OE = x. А също и височината h 1 за триъгълника TME и височината h 2 за триъгълника AEC (можете независимо да докажете сходството на тези триъгълници).

Ще приемем, че b > a. Площите на трапеца ORME и OKSE са в съотношение 1:5, което ни дава право да съставим следното уравнение: (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2. Нека трансформираме и получаваме: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).

Тъй като триъгълниците TME и AEC са подобни, имаме h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x). Нека комбинираме двата записа и да получим: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.

Така OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.

Заключение

Геометрията не е от най-лесните науки, но със сигурност можете да се справите с изпитните въпроси. Достатъчно е да проявите малко постоянство в подготовката. И, разбира се, запомнете всички необходими формули.

Опитахме се да съберем всички формули за изчисляване на площта на трапец на едно място, за да можете да ги използвате, когато се подготвяте за изпити и повтаряте материала.

Не забравяйте да кажете на вашите съученици и приятели за тази статия. социалните мрежи. Нека има повече добри оценки за Единния държавен изпит и държавните изпити!

уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.