о! Това не е ли женската тоалетна?
- Млада жена! Това е лаборатория за изследване на бездефилната святост на душите по време на възнесението им на небето! Ореол отгоре и стрелка нагоре. Каква друга тоалетна?

Жена... Ореолът отгоре и стрелката надолу са мъжки.

Ако такова произведение на дизайнерското изкуство мига пред очите ви няколко пъти на ден,

Тогава не е изненадващо, че изведнъж намирате странна икона в колата си:

Лично аз полагам усилия да видя минус четири градуса в акащ човек (една снимка) (композиция от няколко снимки: знак минус, числото четири, обозначение на градуси). И не мисля, че това момиче е глупачка, която не знае физика. Тя просто има силен стереотип за възприемане на графични изображения. И математиците ни учат на това през цялото време. Ето един пример.

1А не е „минус четири градуса“ или „едно а“. Това е "какащ човек" или числото "двадесет и шест" в шестнадесетичен запис. Тези хора, които постоянно работят в тази бройна система, автоматично възприемат число и буква като един графичен символ.

\[(\Large(\text(Свободен трапец)))\]

Дефиниции

Трапецът е изпъкнал четириъгълник, в който две страни са успоредни, а другите две страни не са успоредни.

Успоредните страни на трапеца се наричат ​​негови основи, а другите две страни се наричат ​​страни.

Височината на трапец е перпендикулярът, прекаран от която и да е точка на една основа към друга основа.

Теореми: свойства на трапец

1) Сборът от ъглите при страната е \(180^\circ\) .

2) Диагоналите разделят трапеца на четири триъгълника, два от които са еднакви, а другите два са еднакви по големина.

Доказателство

1) Защото \(AD\паралел BC\), тогава ъглите \(\ъгъл BAD\) и \(\ъгъл ABC\) са едностранни за тези прави и напречната \(AB\), следователно, \(\ъгъл BAD +\ъгъл ABC=180^\circ\).

2) Защото \(AD\паралел BC\) и \(BD\) са секанс, тогава \(\ъгъл DBC=\ъгъл BDA\) лежат на кръст.
Също \(\ъгъл BOC=\ъгъл AOD\) като вертикален.
Следователно под два ъгъла \(\триъгълник BOC \sim \триъгълник AOD\).

Нека докажем това \(S_(\триъгълник AOB)=S_(\триъгълник COD)\). Нека \(h\) е височината на трапеца. Тогава \(S_(\триъгълник ABD)=\frac12\cdot h\cdot AD=S_(\триъгълник ACD)\). След това: \

Определение

Средната линия на трапец е сегмент, свързващ средните точки на страните.

Теорема

Средната линия на трапеца е успоредна на основите и е равна на тяхната полусума.

Доказателство*

1) Нека докажем паралелизма.

Нека начертаем през точката \(M\) правата \(MN"\паралел AD\) (\(N"\в CD\) ). Тогава, според теоремата на Талес (тъй като \(MN"\паралел AD\паралел BC, AM=MB\)) точка \(N"\) е средата на отсечката \(CD\). Това означава, че точките \(N\) и \(N"\) ще съвпадат.

2) Нека докажем формулата.

Нека направим \(BB"\perp AD, CC"\perp AD\) . Нека \(BB"\cap MN=M", CC"\cap MN=N"\).

Тогава, по теоремата на Талес, \(M"\) и \(N"\) са средите на отсечките \(BB"\) и \(CC"\), съответно. Това означава, че \(MM"\) е средната линия на \(\триъгълник ABB"\) , \(NN"\) е средната линия на \(\триъгълник DCC"\) . Ето защо: \

защото \(MN\паралел AD\паралел BC\)и \(BB", CC"\perp AD\), тогава \(B"M"N"C"\) и \(BM"N"C\) са правоъгълници. Съгласно теоремата на Талес, от \(MN\паралелен AD\) и \(AM=MB\) следва, че \(B"M"=M"B\) . Следователно \(B"M"N"C "\) и \(BM"N"C\) са равни правоъгълници, следователно \(M"N"=B"C"=BC\) .

Така:

\ \[=\dfrac12 \left(AB"+B"C"+BC+C"D\right)=\dfrac12\left(AD+BC\right)\]

Теорема: свойство на произволен трапец

Средите на основите, пресечната точка на диагоналите на трапеца и пресечната точка на продълженията на страничните страни лежат на една и съща права линия.

Доказателство*
Препоръчително е да се запознаете с доказателството след изучаване на темата „Подобие на триъгълници“.

1) Нека докажем, че точките \(P\), \(N\) и \(M\) лежат на една права.

Нека начертаем права линия \(PN\) (\(P\) е пресечната точка на продълженията на страничните страни, \(N\) е средата на \(BC\)). Нека пресича страната \(AD\) в точката \(M\) . Нека докажем, че \(M\) е средата на \(AD\) .

Помислете за \(\триъгълник BPN\) и \(\триъгълник APM\) . Те са подобни при два ъгъла (\(\ъгъл APM\) – общ, \(\ъгъл PAM=\ъгъл PBN\) като съответстващ на \(AD\паралел BC\) и \(AB\) секущ). означава: \[\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Помислете за \(\триъгълник CPN\) и \(\триъгълник DPM\) . Те са подобни при два ъгъла (\(\angle DPM\) – общ, \(\angle PDM=\angle PCN\) като съответстващ на \(AD\паралел BC\) и \(CD\) секущ). означава: \[\dfrac(CN)(DM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Оттук \(\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(CN)(DM)\). Но \(BN=NC\) следователно \(AM=DM\) .

2) Нека докажем, че точките \(N, O, M\) лежат на една права.

Нека \(N\) е средата на \(BC\) и \(O\) е пресечната точка на диагоналите. Нека начертаем права линия \(NO\) , тя ще пресича страната \(AD\) в точката \(M\) . Нека докажем, че \(M\) е средата на \(AD\) .

\(\триъгълник BNO\sim \триъгълник DMO\)по протежение на два ъгъла (\(\ъгъл OBN=\ъгъл ODM\), лежащ на кръст при \(BC\паралел AD\) и \(BD\) секанс; \(\ъгъл BON=\ъгъл DOM\) като вертикален). означава: \[\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(ON)(OM)\]

По същия начин \(\триъгълник CON\sim \триъгълник AOM\). означава: \[\dfrac(CN)(MA)=\dfrac(ON)(OM)\]

Оттук \(\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(CN)(MA)\). Но \(BN=CN\) следователно \(AM=MD\) .

\[(\Large(\text(Равнобедрен трапец)))\]

Дефиниции

Трапецът се нарича правоъгълен, ако един от ъглите му е прав.

Трапецът се нарича равнобедрен, ако страните му са равни.

Теореми: свойства на равнобедрен трапец

1) Равнобедреният трапец има равни основни ъгли.

2) Диагоналите на равнобедрен трапец са равни.

3) Два триъгълника, образувани от диагонали и основа, са равнобедрени.

Доказателство

1) Разгледайте равнобедрения трапец \(ABCD\) .

От върховете \(B\) и \(C\) пускаме перпендикулярите \(BM\) и \(CN\) съответно към страната \(AD\). Тъй като \(BM\perp AD\) и \(CN\perp AD\) , тогава \(BM\parallel CN\) ; \(AD\паралел BC\) , тогава \(MBCN\) е успоредник, следователно \(BM = CN\) .

Разгледайте правоъгълните триъгълници \(ABM\) и \(CDN\) . Тъй като техните хипотенузи са равни и катетът \(BM\) е равен на катета \(CN\), тогава тези триъгълници са равни, следователно \(\ъгъл DAB = \ъгъл CDA\) .

2)

защото \(AB=CD, \ъгъл A=\ъгъл D, AD\)- общ, след това според първия знак. Следователно \(AC=BD\) .

3) Защото \(\триъгълник ABD=\триъгълник ACD\), след това \(\angle BDA=\angle CAD\) . Следователно триъгълникът \(\триъгълник AOD\) е равнобедрен. По същия начин се доказва, че \(\триъгълник BOC\) е равнобедрен.

Теореми: признаци на равнобедрен трапец

1) Ако трапецът има равни ъгли при основата, тогава той е равнобедрен.

2) Ако трапецът има равни диагонали, то той е равнобедрен.

Доказателство

Да разгледаме трапеца \(ABCD\), така че \(\ъгъл A = \ъгъл D\) .

Нека завършим трапеца до триъгълника \(AED\), както е показано на фигурата. Тъй като \(\ъгъл 1 = \ъгъл 2\) , тогава триъгълникът \(AED\) е равнобедрен и \(AE = ED\) . Ъгли \(1\) и \(3\) са равни като съответни ъгли за успоредни прави \(AD\) и \(BC\) и напречна \(AB\). По същия начин ъглите \(2\) и \(4\) са равни, но \(\ъгъл 1 = \ъгъл 2\), тогава \(\ъгъл 3 = \ъгъл 1 = \ъгъл 2 = \ъгъл 4\), следователно, триъгълникът \(BEC\) също е равнобедрен и \(BE = EC\) .

В крайна сметка \(AB = AE - BE = DE - CE = CD\), тоест \(AB = CD\), което трябваше да бъде доказано.

2) Нека \(AC=BD\) . защото \(\триъгълник AOD\sim \триъгълник BOC\), тогава обозначаваме техния коефициент на подобие като \(k\) . Тогава ако \(BO=x\) , тогава \(OD=kx\) . Подобно на \(CO=y \Rightarrow AO=ky\) .

защото \(AC=BD\) , след това \(x+kx=y+ky \Rightarrow x=y\) . Това означава, че \(\триъгълник AOD\) е равнобедрен и \(\angle OAD=\angle ODA\) .

Така според първия знак \(\триъгълник ABD=\триъгълник ACD\) (\(AC=BD, \ъгъл OAD=\ъгъл ODA, AD\)– общо). И така, \(AB=CD\) , защо.

В тази статия ще се опитаме да отразим свойствата на трапеца възможно най-пълно. По-специално ще говорим за общи признации свойства на трапец, както и за свойствата на вписан трапец и за окръжност, вписана в трапец. Ще се докоснем и до свойствата на равнобедрения и правоъгълен трапец.

Пример за решаване на проблем с помощта на обсъжданите свойства ще ви помогне да го сортирате на места в главата си и да запомните по-добре материала.

Трапец и всички-всички-всички

Като начало, нека си припомним накратко какво е трапец и какви други понятия са свързани с него.

И така, трапецът е четириъгълна фигура, две от чиито страни са успоредни една на друга (това са основите). И двете не са успоредни - това са страните.

В трапец височината може да се спусне - перпендикулярно на основите. Начертани са централната линия и диагоналите. Също така е възможно да се начертае ъглополовяща от всеки ъгъл на трапеца.

За различни свойства, свързани с всички тези елементи и техните комбинации, сега ще говорим.

Свойства на диагоналите на трапец

За да стане по-ясно, докато четете, начертайте трапеца ACME върху лист хартия и начертайте диагонали в него.

1. Ако намерите средните точки на всеки от диагоналите (нека наречем тези точки X и T) и ги свържете, ще получите сегмент. Едно от свойствата на диагоналите на трапеца е, че отсечката HT лежи на средната линия. А дължината му може да се получи, като разликата на основите се раздели на две: ХТ = (а – б)/2.
2. Пред нас е същият трапец ACME. Диагоналите се пресичат в точка O. Да разгледаме триъгълниците AOE и MOK, образувани от отсечки на диагоналите заедно с основите на трапеца. Тези триъгълници са подобни. Коефициентът на сходство k на триъгълниците се изразява чрез отношението на основите на трапеца: k = AE/KM.
   Отношението на площите на триъгълниците AOE и MOK се описва с коефициента k 2 .
3. Същият трапец, същите диагонали, пресичащи се в точка О. Само че този път ще разгледаме триъгълниците, които сегментите на диагоналите образуват заедно със страните на трапеца. Повърхнините на триъгълници АКО и ЕМО са еднакви по големина – повърхнините им са еднакви.
4. Друго свойство на трапеца включва изграждането на диагонали. Така че, ако продължите страните на AK и ME в посока на по-малката основа, тогава рано или късно те ще се пресекат в определена точка. След това начертайте права линия през средата на основите на трапеца. Тя пресича основите в точки X и T.
   Ако сега удължим правата XT, тогава тя ще свърже заедно точката на пресичане на диагоналите на трапеца O, точката, в която се пресичат продълженията на страните и средата на основите X и T.
5. През пресечната точка на диагоналите ще начертаем сегмент, който ще свързва основите на трапеца (T лежи на по-малката основа KM, X на по-голямата AE). Пресечната точка на диагоналите разделя този сегмент в следното съотношение: TO/OX = KM/AE.
6. Сега през пресечната точка на диагоналите ще начертаем сегмент, успореден на основите на трапеца (a и b). Пресечната точка ще го раздели на две равни части. Можете да намерите дължината на сегмента с помощта на формулата 2ab/(a + b).

Свойства на средната линия на трапец

Начертайте средната линия в трапеца, успоредна на основите му.

1. Дължината на средната линия на трапец може да се изчисли, като се съберат дължините на основите и се разделят наполовина: m = (a + b)/2.
2. Ако начертаете произволен сегмент (например височина) през двете основи на трапеца, средната линия ще го раздели на две равни части.

Свойство за ъглополовяща трапец

Изберете произволен ъгъл на трапеца и начертайте ъглополовяща. Да вземем, например, ъгъла KAE на нашия трапец ACME. След като завършите конструкцията сами, можете лесно да проверите дали ъглополовящата отрязва от основата (или нейното продължение на права линия извън самата фигура) сегмент със същата дължина като страната.

Свойства на ъглите на трапеца

1. Която и от двете двойки ъгли, съседни на страната, да изберете, сумата от ъглите в двойката винаги е 180 0: α + β = 180 0 и γ + δ = 180 0.
2. Нека свържем средите на основите на трапеца с отсечка TX. Сега нека разгледаме ъглите при основите на трапеца. Ако сумата от ъглите за някой от тях е 90 0, дължината на сегмента TX може лесно да се изчисли въз основа на разликата в дължините на основите, разделена наполовина: TX = (AE – KM)/2.
3. Ако през страните на трапецовиден ъгъл се начертаят успоредни прави, те ще разделят страните на ъгъла на пропорционални сегменти.

Свойства на равнобедрен (равностранен) трапец

1. В равнобедрен трапец ъглите при всяка основа са равни.
2. Сега отново изградете трапец, за да можете по-лесно да си представите за какво говорим. Погледнете внимателно основата AE - върхът на противоположната основа M се проектира към определена точка на правата, която съдържа AE. Разстоянието от върха A до проекционната точка на върха M и средната линия на равнобедрен трапец са равни.
3. Няколко думи за свойството на диагоналите на равнобедрен трапец - дължините им да са равни. И също така ъглите на наклона на тези диагонали към основата на трапеца са еднакви.
4. Само около равнобедрен трапец може да се опише окръжност, тъй като сборът от срещуположните ъгли на четириъгълник е 180 0 - предпоставка за това.
5. Свойството на равнобедрен трапец следва от предходния абзац - ако близо до трапеца може да се опише окръжност, той е равнобедрен.
6. От характеристиките на равнобедрен трапец следва свойството на височината на трапец: ако неговите диагонали се пресичат под прав ъгъл, тогава дължината на височината е равна на половината от сбора на основите: h = (a + b)/2.
7. Отново начертайте сегмента TX през средите на основите на трапеца - в равнобедрен трапец той е перпендикулярен на основите. И в същото време TX е оста на симетрия на равнобедрен трапец.
8. Този път намалете височината от противоположния връх на трапеца върху по-голямата основа (да я наречем a). Ще получите два сегмента. Дължината на едно може да се намери, ако дължините на основите се добавят и разделят наполовина: (a + b)/2. Получаваме втората, когато извадим по-малката от по-голямата основа и разделим получената разлика на две: (а – б)/2.

Свойства на трапец, вписан в окръжност

Тъй като вече говорим за трапец, вписан в кръг, нека се спрем на този въпрос по-подробно. По-специално, къде е центърът на кръга спрямо трапеца. И тук е препоръчително да отделите време да вземете молив и да нарисувате това, за което ще стане дума по-долу. Така ще разберете по-бързо и ще запомните по-добре.

1. Местоположението на центъра на кръга се определя от ъгъла на наклона на диагонала на трапеца към неговата страна. Например, диагоналът може да се простира от върха на трапец под прав ъгъл към страната. В този случай по-голямата основа пресича центъра на описаната окръжност точно в средата (R = ½AE).
2. Диагоналът и страната също могат да се срещат под остър ъгъл– тогава центърът на окръжността е вътре в трапеца.
3. Центърът на описаната окръжност може да е извън трапеца, отвъд по-голямата му основа, ако има тъп ъгъл между диагонала на трапеца и страната.
4. Ъгълът, образуван от диагонала и голямата основа на трапеца ACME (вписан ъгъл), е половината от централния ъгъл, който му съответства: MAE = ½ MOE.
5. Накратко за два начина за намиране на радиуса на описана окръжност. Първи метод: погледнете внимателно рисунката си - какво виждате? Лесно можете да забележите, че диагоналът разделя трапеца на два триъгълника. Радиусът може да се намери чрез съотношението на страната на триъгълника към синуса на противоположния ъгъл, умножено по две. например, R = AE/2*sinAME. Формулата може да бъде написана по подобен начин за всяка от страните на двата триъгълника.
6. Метод втори: намерете радиуса на описаната окръжност през площта на триъгълника, образуван от диагонала, страната и основата на трапеца: R = AM*ME*AE/4*S AME.

Свойства на трапец, описан около окръжност

Можете да поставите кръг в трапец, ако е изпълнено едно условие. Прочетете повече за това по-долу. И заедно тази комбинация от фигури има редица интересни свойства.

1. Ако окръжност е вписана в трапец, дължината на средната му линия може лесно да се намери чрез добавяне на дължините на страните и разделяне на получената сума наполовина: m = (c + d)/2.
2. За трапеца ACME, описан около окръжност, сборът от дължините на основите е равен на сбора от дължините на страните: AK + ME = KM + AE.
3. От това свойство на основите на трапец следва обратното твърдение: в трапец може да се впише окръжност, чийто сбор от основи е равен на сбора от страните му.
4. Допирателната точка на окръжност с радиус r, вписана в трапец, разделя страната на два сегмента, нека ги наречем a и b. Радиусът на кръг може да се изчисли по формулата: r = √ab.
5. И още един имот. За да избегнете объркване, нарисувайте сами и този пример. Имаме добрия стар трапец ACME, описан около окръжност. Той съдържа диагонали, които се пресичат в точка O. Триъгълниците AOK и EOM, образувани от отсечките на диагоналите и страничните страни, са правоъгълни.
   Височините на тези триъгълници, спуснати до хипотенузите (т.е. страничните страни на трапеца), съвпадат с радиусите на вписаната окръжност. А височината на трапеца съвпада с диаметъра на вписаната окръжност.

Свойства на правоъгълен трапец

Трапецът се нарича правоъгълен, ако един от ъглите му е прав. И свойствата му произтичат от това обстоятелство.

1. Една от страните на правоъгълен трапец е перпендикулярна на основата му.
2. Височина и странична страна на трапеца в съседство с прав ъгъл, са равни. Това ви позволява да изчислите площта на правоъгълен трапец (обща формула S = (a + b) * h/2) не само през височината, но и през страната, съседна на правия ъгъл.
3. За правоъгълен трапец общите свойства на диагоналите на трапец, вече описани по-горе, са от значение.

Доказателство за някои свойства на трапеца

Равенство на ъглите при основата на равнобедрен трапец:

• Вероятно вече се досетихте, че тук отново ще ни трябва трапецът AKME - начертайте равнобедрен трапец. Начертайте права линия MT от върха M, успоредна на страната на AK (MT || AK).

Полученият четириъгълник AKMT е успоредник (AK || MT, KM || AT). Тъй като ME = KA = MT, ∆ MTE е равнобедрен и MET = MTE.

AK || MT, следователно MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Къде е AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Сега, въз основа на свойството на равнобедрен трапец (равенство на диагоналите), доказваме това трапецът ACME е равнобедрен:

• Първо, нека начертаем права линия MX – MX || KE. Получаваме успоредник KMHE (основа – MX || KE и KM || EX).

∆AMX е равнобедрен, тъй като AM = KE = MX и MAX = MEA.

МЗ || KE, KEA = MXE, следователно MAE = MXE.

Оказва се, че триъгълниците AKE и EMA са равни един на друг, тъй като AM = KE и AE са общата страна на двата триъгълника. И също MAE = MXE. Можем да заключим, че AK = ME, а от това следва, че трапецът AKME е равнобедрен.

Задача за преглед

Основите на трапеца ACME са 9 cm и 21 cm, страничната страна KA, равна на 8 cm, сключва ъгъл 150 0 с по-малката основа. Трябва да намерите площта на трапеца.

Решение: От върха K спускаме височината до по-голямата основа на трапеца. И нека започнем да разглеждаме ъглите на трапеца.

Ъглите AEM и KAN са едностранни. Това означава, че общо те дават 180 0. Следователно KAN = 30 0 (въз основа на свойството на трапецовидни ъгли).

Нека сега разгледаме правоъгълника ∆ANC (вярвам, че тази точка е очевидна за читателите без допълнителни доказателства). От него ще намерим височината на трапеца KH - в триъгълник това е крак, който лежи срещу ъгъл от 30 0. Следователно KH = ½AB = 4 cm.

Намираме площта на трапеца по формулата: S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 cm 2.

Послеслов

Ако сте внимателно и замислено изучавали тази статия, не сте били твърде мързеливи, за да нарисувате трапец за всички дадени свойства с молив в ръцете си и да ги анализирате на практика, трябва да сте усвоили добре материала.

Разбира се, тук има много информация, разнообразна и понякога дори объркваща: не е толкова трудно да се объркат свойствата на описания трапец със свойствата на вписания. Но вие сами виждате, че разликата е огромна.

Сега имате подробно резюме на всички общи свойстватрапецовидни. Както и специфични свойства и характеристики на равнобедрените и правоъгълните трапеци. Много е удобно да се използва за подготовка за контролни и изпити. Опитайте сами и споделете връзката с приятелите си!

уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към оригиналния източник.

Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявка на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, адрес имейли т.н.

Как използваме вашата лична информация:

• Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас и да ви информираме за уникални предложения, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
• Може също да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на информация на трети лица

Ние не разкриваме информацията, получена от Вас, на трети страни.

Изключения:

• При необходимост - по реда на закона, съдебния ред, в изпитание, и/или въз основа на публични искания или искания от държавни агенции в Руската федерация - разкрива личната ви информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Уважаване на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

В тази статия ще се опитаме да отразим свойствата на трапеца възможно най-пълно. По-специално ще говорим за общите характеристики и свойства на трапеца, както и за свойствата на вписан трапец и окръжност, вписана в трапец. Ще се докоснем и до свойствата на равнобедрен и правоъгълен трапец.

Пример за решаване на проблем с помощта на обсъжданите свойства ще ви помогне да го сортирате на места в главата си и да запомните по-добре материала.

Трапец и всички-всички-всички

Като начало, нека си припомним накратко какво е трапец и какви други понятия са свързани с него.

И така, трапецът е четириъгълна фигура, две от чиито страни са успоредни една на друга (това са основите). И двете не са успоредни - това са страните.

В трапец височината може да се спусне - перпендикулярно на основите. Начертани са централната линия и диагоналите. Също така е възможно да се начертае ъглополовяща от всеки ъгъл на трапеца.

Сега ще говорим за различните свойства, свързани с всички тези елементи и техните комбинации.

Свойства на диагоналите на трапец

За да стане по-ясно, докато четете, начертайте трапеца ACME върху лист хартия и начертайте диагонали в него.

1. Ако намерите средните точки на всеки от диагоналите (нека наречем тези точки X и T) и ги свържете, ще получите сегмент. Едно от свойствата на диагоналите на трапеца е, че отсечката HT лежи на средната линия. А дължината му може да се получи, като разликата на основите се раздели на две: ХТ = (а – б)/2.
2. Пред нас е същият трапец ACME. Диагоналите се пресичат в точка O. Да разгледаме триъгълниците AOE и MOK, образувани от отсечки на диагоналите заедно с основите на трапеца. Тези триъгълници са подобни. Коефициентът на сходство k на триъгълниците се изразява чрез отношението на основите на трапеца: k = AE/KM.
   Отношението на площите на триъгълниците AOE и MOK се описва с коефициента k 2 .
3. Същият трапец, същите диагонали, пресичащи се в точка О. Само че този път ще разгледаме триъгълниците, които сегментите на диагоналите образуват заедно със страните на трапеца. Повърхнините на триъгълници АКО и ЕМО са еднакви по големина – повърхнините им са еднакви.
4. Друго свойство на трапеца включва изграждането на диагонали. Така че, ако продължите страните на AK и ME в посока на по-малката основа, тогава рано или късно те ще се пресекат в определена точка. След това начертайте права линия през средата на основите на трапеца. Тя пресича основите в точки X и T.
   Ако сега удължим правата XT, тогава тя ще свърже заедно точката на пресичане на диагоналите на трапеца O, точката, в която се пресичат продълженията на страните и средата на основите X и T.
5. През пресечната точка на диагоналите ще начертаем сегмент, който ще свързва основите на трапеца (T лежи на по-малката основа KM, X на по-голямата AE). Пресечната точка на диагоналите разделя този сегмент в следното съотношение: TO/OX = KM/AE.
6. Сега през пресечната точка на диагоналите ще начертаем сегмент, успореден на основите на трапеца (a и b). Пресечната точка ще го раздели на две равни части. Можете да намерите дължината на сегмента с помощта на формулата 2ab/(a + b).

Свойства на средната линия на трапец

Начертайте средната линия в трапеца, успоредна на основите му.

1. Дължината на средната линия на трапец може да се изчисли, като се съберат дължините на основите и се разделят наполовина: m = (a + b)/2.
2. Ако начертаете произволен сегмент (например височина) през двете основи на трапеца, средната линия ще го раздели на две равни части.

Свойство за ъглополовяща трапец

Изберете произволен ъгъл на трапеца и начертайте ъглополовяща. Да вземем, например, ъгъла KAE на нашия трапец ACME. След като завършите конструкцията сами, можете лесно да проверите дали ъглополовящата отрязва от основата (или нейното продължение на права линия извън самата фигура) сегмент със същата дължина като страната.

Свойства на ъглите на трапеца

1. Която и от двете двойки ъгли, съседни на страната, да изберете, сумата от ъглите в двойката винаги е 180 0: α + β = 180 0 и γ + δ = 180 0.
2. Нека свържем средите на основите на трапеца с отсечка TX. Сега нека разгледаме ъглите при основите на трапеца. Ако сумата от ъглите за някой от тях е 90 0, дължината на сегмента TX може лесно да се изчисли въз основа на разликата в дължините на основите, разделена наполовина: TX = (AE – KM)/2.
3. Ако през страните на трапецовиден ъгъл се начертаят успоредни прави, те ще разделят страните на ъгъла на пропорционални сегменти.

Свойства на равнобедрен (равностранен) трапец

1. В равнобедрен трапец ъглите при всяка основа са равни.
2. Сега отново изградете трапец, за да можете по-лесно да си представите за какво говорим. Погледнете внимателно основата AE - върхът на противоположната основа M се проектира към определена точка на правата, която съдържа AE. Разстоянието от върха A до проекционната точка на върха M и средната линия на равнобедрен трапец са равни.
3. Няколко думи за свойството на диагоналите на равнобедрен трапец - дължините им да са равни. И също така ъглите на наклона на тези диагонали към основата на трапеца са еднакви.
4. Само около равнобедрен трапец може да се опише окръжност, тъй като сборът от срещуположните ъгли на четириъгълник е 180 0 - предпоставка за това.
5. Свойството на равнобедрен трапец следва от предходния абзац - ако близо до трапеца може да се опише окръжност, той е равнобедрен.
6. От характеристиките на равнобедрен трапец следва свойството на височината на трапец: ако неговите диагонали се пресичат под прав ъгъл, тогава дължината на височината е равна на половината от сбора на основите: h = (a + b)/2.
7. Отново начертайте сегмента TX през средите на основите на трапеца - в равнобедрен трапец той е перпендикулярен на основите. И в същото време TX е оста на симетрия на равнобедрен трапец.
8. Този път намалете височината от противоположния връх на трапеца върху по-голямата основа (да я наречем a). Ще получите два сегмента. Дължината на едно може да се намери, ако дължините на основите се добавят и разделят наполовина: (a + b)/2. Получаваме втората, когато извадим по-малката от по-голямата основа и разделим получената разлика на две: (а – б)/2.

Свойства на трапец, вписан в окръжност

Тъй като вече говорим за трапец, вписан в кръг, нека се спрем на този въпрос по-подробно. По-специално, къде е центърът на кръга спрямо трапеца. И тук е препоръчително да отделите време да вземете молив и да нарисувате това, за което ще стане дума по-долу. Така ще разберете по-бързо и ще запомните по-добре.

1. Местоположението на центъра на кръга се определя от ъгъла на наклона на диагонала на трапеца към неговата страна. Например, диагоналът може да се простира от върха на трапец под прав ъгъл към страната. В този случай по-голямата основа пресича центъра на описаната окръжност точно в средата (R = ½AE).
2. Диагоналът и страната могат да се срещат и под остър ъгъл – тогава центърът на окръжността е вътре в трапеца.
3. Центърът на описаната окръжност може да е извън трапеца, отвъд по-голямата му основа, ако има тъп ъгъл между диагонала на трапеца и страната.
4. Ъгълът, образуван от диагонала и голямата основа на трапеца ACME (вписан ъгъл), е половината от централния ъгъл, който му съответства: MAE = ½ MOE.
5. Накратко за два начина за намиране на радиуса на описана окръжност. Първи метод: погледнете внимателно рисунката си - какво виждате? Лесно можете да забележите, че диагоналът разделя трапеца на два триъгълника. Радиусът може да се намери чрез съотношението на страната на триъгълника към синуса на противоположния ъгъл, умножено по две. например, R = AE/2*sinAME. Формулата може да бъде написана по подобен начин за всяка от страните на двата триъгълника.
6. Метод втори: намерете радиуса на описаната окръжност през площта на триъгълника, образуван от диагонала, страната и основата на трапеца: R = AM*ME*AE/4*S AME.

Свойства на трапец, описан около окръжност

Можете да поставите кръг в трапец, ако е изпълнено едно условие. Прочетете повече за това по-долу. И заедно тази комбинация от фигури има редица интересни свойства.

1. Ако окръжност е вписана в трапец, дължината на средната му линия може лесно да се намери чрез добавяне на дължините на страните и разделяне на получената сума наполовина: m = (c + d)/2.
2. За трапеца ACME, описан около окръжност, сборът от дължините на основите е равен на сбора от дължините на страните: AK + ME = KM + AE.
3. От това свойство на основите на трапец следва обратното твърдение: в трапец може да се впише окръжност, чийто сбор от основи е равен на сбора от страните му.
4. Допирателната точка на окръжност с радиус r, вписана в трапец, разделя страната на два сегмента, нека ги наречем a и b. Радиусът на кръг може да се изчисли по формулата: r = √ab.
5. И още един имот. За да избегнете объркване, нарисувайте сами и този пример. Имаме добрия стар трапец ACME, описан около окръжност. Той съдържа диагонали, които се пресичат в точка O. Триъгълниците AOK и EOM, образувани от отсечките на диагоналите и страничните страни, са правоъгълни.
   Височините на тези триъгълници, спуснати до хипотенузите (т.е. страничните страни на трапеца), съвпадат с радиусите на вписаната окръжност. А височината на трапеца съвпада с диаметъра на вписаната окръжност.

Свойства на правоъгълен трапец

Трапецът се нарича правоъгълен, ако един от ъглите му е прав. И свойствата му произтичат от това обстоятелство.

1. Една от страните на правоъгълен трапец е перпендикулярна на основата му.
2. Височината и страната на трапец, съседен на прав ъгъл, са равни. Това ви позволява да изчислите площта на правоъгълен трапец (обща формула S = (a + b) * h/2) не само през височината, но и през страната, съседна на правия ъгъл.
3. За правоъгълен трапец общите свойства на диагоналите на трапец, вече описани по-горе, са от значение.

Доказателство за някои свойства на трапеца

Равенство на ъглите при основата на равнобедрен трапец:

• Вероятно вече се досетихте, че тук отново ще ни трябва трапецът AKME - начертайте равнобедрен трапец. Начертайте права линия MT от върха M, успоредна на страната на AK (MT || AK).

Полученият четириъгълник AKMT е успоредник (AK || MT, KM || AT). Тъй като ME = KA = MT, ∆ MTE е равнобедрен и MET = MTE.

AK || MT, следователно MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Къде е AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Сега, въз основа на свойството на равнобедрен трапец (равенство на диагоналите), доказваме това трапецът ACME е равнобедрен:

• Първо, нека начертаем права линия MX – MX || KE. Получаваме успоредник KMHE (основа – MX || KE и KM || EX).

∆AMX е равнобедрен, тъй като AM = KE = MX и MAX = MEA.

МЗ || KE, KEA = MXE, следователно MAE = MXE.

Оказва се, че триъгълниците AKE и EMA са равни един на друг, тъй като AM = KE и AE са общата страна на двата триъгълника. И също MAE = MXE. Можем да заключим, че AK = ME, а от това следва, че трапецът AKME е равнобедрен.

Задача за преглед

Основите на трапеца ACME са 9 cm и 21 cm, страничната страна KA, равна на 8 cm, сключва ъгъл 150 0 с по-малката основа. Трябва да намерите площта на трапеца.

Решение: От върха K спускаме височината до по-голямата основа на трапеца. И нека започнем да разглеждаме ъглите на трапеца.

Ъглите AEM и KAN са едностранни. Това означава, че общо те дават 180 0. Следователно KAN = 30 0 (въз основа на свойството на трапецовидни ъгли).

Нека сега разгледаме правоъгълника ∆ANC (вярвам, че тази точка е очевидна за читателите без допълнителни доказателства). От него ще намерим височината на трапеца KH - в триъгълник това е крак, който лежи срещу ъгъл от 30 0. Следователно KH = ½AB = 4 cm.

Намираме площта на трапеца по формулата: S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 cm 2.

Послеслов

Ако сте внимателно и замислено изучавали тази статия, не сте били твърде мързеливи, за да нарисувате трапец за всички дадени свойства с молив в ръцете си и да ги анализирате на практика, трябва да сте усвоили добре материала.

Разбира се, тук има много информация, разнообразна и понякога дори объркваща: не е толкова трудно да се объркат свойствата на описания трапец със свойствата на вписания. Но вие сами виждате, че разликата е огромна.

Сега имате подробно описание на всички общи свойства на трапец. Както и специфични свойства и характеристики на равнобедрените и правоъгълните трапеци. Много е удобно да се използва за подготовка за контролни и изпити. Опитайте сами и споделете връзката с приятелите си!

blog.site, при пълно или частично копиране на материал е необходима връзка към първоизточника.