Дефиниции:

Екстремумнаречен максимум или минимална стойностфункции на дадено множество.

Екстремна точкае точката, в която се достига максималната или минималната стойност на функцията.

Максимална точкае точката, в която се постига максимална стойностфункции.

Минимална точкае точката, в която се достига минималната стойност на функцията.

Обяснение.

На фигурата, в близост до точката x = 3, функцията достига максималната си стойност (т.е. в близост до тази конкретна точка няма точка по-висока). В околността на x = 8 тя отново има максимална стойност (отново да уточним: точно в тази околност няма точка по-висока). В тези точки увеличението отстъпва място на намаление. Това са максималните точки:

x max = 3, x max = 8.

В близост до точката x = 5 се достига минималната стойност на функцията (т.е. в близост до x = 5 няма точка отдолу). В този момент намалението отстъпва място на увеличение. Това е минималната точка:

Максималните и минималните точки са екстремни точки на функцията, а стойностите на функцията в тези точки са нейни крайности.

Критични и стационарни точки на функцията:

Необходимо условие за екстремум:

Достатъчно условие за екстремум:

На сегмент функцията г = f(х) може да достигне най-малката или най-голямата стойност или в критични точки, или в краищата на сегмента.

Алгоритъм за изследване на непрекъсната функцияг = f(х) за монотонност и екстремуми:

Помислете за следната фигура.

Той показва графиката на функцията y = x^3 – 3*x^2. Нека разгледаме някакъв интервал, съдържащ точката x = 0, например от -1 до 1. Такъв интервал се нарича още околност на точката x = 0. Както може да се види на графиката, в тази околност функцията y = x ^3 – 3*x^2 взема най-голяма стойност точно в точка x = 0.

Максимална и минимална функция

В този случай точката x = 0 се нарича максимална точка на функцията. По аналогия с това точката x = 2 се нарича точка на минимум на функцията y = x^3 – 3*x^2. Тъй като има квартал на тази точка, в който стойността в тази точка ще бъде минимална сред всички други стойности от този квартал.

Точка максимумфункция f(x) се нарича точка x0, при условие че има околност на точката x0, така че за всички x, които не са равни на x0 от тази околност, неравенството f(x) е валидно< f(x0).

Точка минимумфункция f(x) се нарича точката x0, при условие че има околност на точката x0, така че за всички x, които не са равни на x0 от тази околност, е валидно неравенството f(x) > f(x0).

В точките на максимум и минимум на функциите стойността на производната на функцията е нула. Но това не е достатъчно условие за съществуването на функция в максимална или минимална точка.

Например функцията y = x^3 в точката x = 0 има производна, равна на нула. Но точката x = 0 не е минималната или максималната точка на функцията. Както знаете, функцията y = x^3 нараства по цялата числена ос.

По този начин минималните и максималните точки винаги ще бъдат сред корените на уравнението f’(x) = 0. Но не всички корени на това уравнение ще бъдат максимални или минимални точки.

Стационарни и критични точки

Точките, в които стойността на производната на функцията е нула, се наричат ​​стационарни точки. Може също да има точки на максимум или минимум в точки, в които производната на функцията изобщо не съществува. Например y = |x| в точката x = 0 има минимум, но производната не съществува в тази точка. Тази точка ще бъде критичната точка на функцията.

Критичните точки на функция са точките, в които производната е равна на нула или производната не съществува в тази точка, тоест функцията в тази точка е недиференцируема. За да се намери максимумът или минимумът на дадена функция, трябва да е изпълнено достатъчно условие.

Нека f(x) е някаква диференцируема функция на интервала (a;b). Точка x0 принадлежи на този интервал и f’(x0) = 0. Тогава:

1. ако при преминаване през стационарна точка x0 функцията f(x) и нейната производна сменят знака от „плюс“ на „минус“, тогава точката x0 е максималната точка на функцията.

2. ако при преминаване през стационарна точка x0 функцията f(x) и нейната производна сменят знака от „минус“ на „плюс“, тогава точката x0 е минималната точка на функцията.

Критични точки– това са точките, в които производната на дадена функция е равна на нула или не съществува. Ако производната е равна на 0, тогава функцията в тази точка приема локален минимум или максимум. На графиката в такива точки функцията има хоризонтална асимптота, т.е. допирателната е успоредна на оста Ox.

Такива точки се наричат стационарен. Ако видите „гърбица“ или „дупка“ на графиката на непрекъсната функция, не забравяйте, че максимумът или минимумът се достига в критична точка. Да вземем за пример следната задача.

Пример 1. Намерете критичните точки на функцията y=2x^3-3x^2+5.
Решение. Алгоритъмът за намиране на критични точки е както следва:

Така че функцията има две критични точки.

След това, ако трябва да изучавате функция, тогава определяме знака на производната отляво и отдясно на критичната точка. Ако производната промени знака от “-” на “+” при преминаване през критичната точка, тогава функцията приема местен минимум. Ако от “+” до “-” трябва локален максимум.

Втори тип критични точкитова са нулите на знаменателя на дробни и ирационални функции

Логаритмични и тригонометрични функции, които не са дефинирани в тези точки


Трети тип критични точкиимат частично непрекъснати функции и модули.
Например всяка модулна функция има минимум или максимум в точката на прекъсване.

Например модул y = | x -5 |
в точка х = 5 има минимум (критична точка).

Производната не съществува в него, но отдясно и отляво приема съответно стойност 1 и -1.

1)
2)
3)
4)
5)

Опитайте се да определите критичните точки на функциите
Ако отговорът е y, получавате стойността
1) х=4;
2) x=-1;x=1;
3) х=9;
4) x=Pi*k;
5) х=1. тогава вече знаешкак да намерите критични точки

и да можете да се справите с прост тест или тестове. Област на функция, изчисляване на нейната производна, намиране на област на производна на функция, намиранеточки

превръщайки производната в нула, докажете, че намерените точки принадлежат към областта на дефиниция на оригиналната функция. Област на функция, изчисляване на нейната производна, намиране на област на производна на функция, намиранеПример 1 Идентифицирайте критично

функции y = (x - 3)²·(x-2). Решение Намерете домейна на функцията вв този случай без ограничения: x ∈ (-∞; +∞); Изчислете производната на y’. Съгласно правилата за диференциране на произведението от две, имаме: y' = ((x - 3)²)'·(x - 2) + (x - 3)²·(x - 2)' = 2·( x - 3)·(x - 2) + (x - 3)²·1. В последствие се оказваквадратно уравнение

Намерете областта на дефиниция на производната на функцията: x ∈ (-∞; +∞) Решете уравнението 3 x² – 16 x + 21 = 0, за да намерите при кое става нула: 3 x² – 16 x +. 21 = 0.

D = 256 – 252 = 4x1 = (16 + 2)/6 = 3; x2 = (16 - 2)/6 = 7/3, така че производната отива на нула при стойности на x, равни на 3 и 7/3.

Определете дали намерените принадлежат Област на функция, изчисляване на нейната производна, намиране на област на производна на функция, намиранеобласт на дефиниция на оригиналната функция. Тъй като x (-∞; +∞), тогава и двете Област на функция, изчисляване на нейната производна, намиране на област на производна на функция, намиранеса критични.

Пример 2: Идентифициране на критично Област на функция, изчисляване на нейната производна, намиране на област на производна на функция, намиранефункции y = x² – 2/x.

Област на решение на функцията: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞), тъй като x е в знаменателя. Изчислете производната y’ = 2 x + 2/x².

Областта на дефиниране на производната на функцията е същата като тази на оригинала: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞) Решете уравнението 2 x + 2/x² = 0: 2 x = -2/x² → x = -1.

И така, производната отива на нула при x = -1. Необходимото, но недостатъчно условие за критичност е изпълнено. Тъй като x=-1 попада в интервала (-∞; 0) ∪ (0; +∞), тогава тази точка е критична.

източници:

• Критичен обем на продажбите, pcsThreshold

Много жени страдат от предменструален синдром, който се проявява не само с болезнени усещания, но и с повишен апетит. В резултат на това критични дниможе значително да забави процеса на отслабване.

Причини за повишен апетит по време на менструация

Причината за повишаване на апетита по време на менструалния цикъл е промяна в общите хормонални нива в женското тяло. Няколко дни преди началото на менструацията нивото на хормона прогестерон се повишава, тялото се приспособява към възможността и се опитва да направи допълнителни резерви от енергия под формата на мастни натрупвания, дори ако жената е седнала. По този начин промените в теглото в критични дни са нормални.

Как да се храните по време на цикъл

Опитайте се да не ядете сладкиши, сладкарски изделия и други висококалорични храни, съдържащи „бързи“ храни в наши дни. Техният излишък веднага ще се отложи в мазнини. През този период много жени наистина искат да ядат шоколад; в този случай можете да си купите черен шоколад и да се поглезите с няколко резена, но не повече. По време на цикъла не трябва да се консумират алкохолни напитки, маринати, туршии, пушени храни, семена и ядки. По принцип туршиите и пушените храни трябва да бъдат ограничени в диетата 6-8 дни преди началото на менструацията, тъй като такива продукти увеличават водните запаси в организма и този период се характеризира с повишено натрупване на течност. За да намалите количеството сол в диетата си, добавяйте минимални количества от нея към готовите храни.

Препоръчително е да се консумират нискомаслени млечни продукти, растителни храни и зърнени храни. Фасул, варени картофи, ориз - продукти, които съдържат „бавни“ въглехидрати, ще бъдат полезни. Морски дарове, черен дроб, риба, говеждо месо, птици, яйца, бобови растения и сушени плодове ще помогнат за попълване на загубите на желязо. Пшеничните трици ще бъдат полезни. Естествена реакция по време на менструация е подуването. Леките диуретични билки ще помогнат за коригиране на състоянието: босилек, копър, магданоз, целина. Могат да се използват като подправка. През втората половина на цикъла се препоръчва да се консумират протеинови храни (постни меса и риба, млечни продукти), а количеството на въглехидратите в диетата трябва да се намали възможно най-много.

Икономическа концепция за критичния обем продажбисъответства на позицията на предприятието на пазара, при която приходите от продажба на стоки са минимални. Тази ситуация се нарича точка на рентабилност, когато търсенето на продукти пада и печалбите едва покриват разходите. За определяне на критичния обем продажби, използвайте няколко метода.

Инструкции

Цикълът на работа не се ограничава до неговите дейности - производство или услуги. Това е сложна работа на определена структура, включваща работата на ключов персонал, ръководен персонал, ръководен персонал и др., както и икономисти, чиято задача е финансов анализпредприятия.

Целта на този анализ е да се изчислят определени количества, които в една или друга степен влияят върху размера на крайната печалба. това различни видовеобеми на производство и продажби, пълни и средни, показатели за търсене и др. Основната задача е да се определи обемът на производството, при който се установява стабилна връзка между разходите и печалбите.

Минимален обем продажби, при които приходите напълно покриват разходите, но не се увеличават собствен капиталкомпания се нарича критичен обем продажби. Има три метода за изчисляване на метода на този показател: метод на уравнения, пределен доход и графичен.

За определяне на критичния обем продажбипо първия метод съставете уравнение от вида: Вп – Zпер – Зпос = Пп = 0, където: Вп – приходи от продажбии ;Zper и Zpos – променливи и постоянни разходи; продажбиИ.

Според друг метод, първият термин, приходи от продажби, представи го като произведение на пределния доход за единица стока и обем продажби, същото важи и за променливите разходи. Фиксирани разходисе прилага за цялата партида стоки, така че оставете този компонент общ: MD N – Zper1 N – Zpos = 0.

Изразете стойността на N от това уравнение и ще получите критичния обем продажби:N = Zpos/(MD – Zper1), където Zper1 са променливите разходи за единица стока.

Графичният метод включва конструиране. Приложете към координатна равнинадва реда: функция на приходите от продажбиминус функцията на разходите и печалбата. По абсцисната ос се нанася обемът на произведената продукция, а по ординатната ос - доходът от съответното количество стоки, изразен в парични единици. Пресечната точка на тези линии съответства на критичния обем продажби, рентабилна позиция.

източници:

• как да дефинираме критичната работа

Критичното мислене е съвкупност от съждения, въз основа на които се формират определени заключения и се прави оценка на обектите на критика. Това е особено характерно за изследователи и учени от всички клонове на науката. Критичното мислене заема по-високо ниво в сравнение с обикновеното мислене.

Стойността на опита за развиване на критично мислене

Трудно е да анализирате и да правите заключения за нещо, което не разбирате добре. Следователно, за да се научим да мислим критично, е необходимо да изучаваме обектите във всевъзможни връзки и отношения с други явления. И също голяма стойноств този случай има знания за информация за такива обекти, способността да изгражда логически вериги от преценки и да прави разумни заключения.

Например преценка на стойността произведение на изкуствотое възможно само чрез познаване на доста други плодове на литературната дейност. В същото време е добре да си експерт в историята на човешкото развитие, формирането на литературата и литературната критика. В изолация от историческия контекст едно произведение може да загуби предвиденото си значение. За да бъде оценката на едно художествено произведение достатъчно пълна и обоснована, е необходимо да използвате и своите литературни познания, които включват правилата за изграждане литературен текств рамките на отделните жанрове, система от различни литературни техники, класификация и анализ на съществуващи стилове и направления в литературата и др. В същото време е важно да се изучава вътрешната логика на сюжета, последователността от действия, подреждането и взаимодействието на героите в произведението на изкуството.

Характеристики на критичното мислене

Други характеристики на критичното мислене включват следното:
- знанието за изучавания обект е само отправна точка за по-нататъшна мозъчна дейност, свързана с изграждането на логически вериги;
- последователно изградените и разумни разсъждения водят до идентифициране на вярна и погрешна информация за обекта, който се изучава;
- критичното мислене винаги е свързано с оценката на наличната информация за този обекти съответните заключения, оценката от своя страна е свързана със съществуващите умения.

За разлика от обикновеното мислене, критичното не е подчинено на сляпа вяра. Критичното мислене позволява, с помощта на цяла система от преценки за обекта на критика, да се разбере неговата същност, да се идентифицират истинските знания за него и да се опровергаят фалшивите. Тя се основава на логиката, дълбочината и пълнотата на изследването, истинността, адекватността и последователността на преценките. В този случай очевидните и отдавна доказани твърдения се приемат като постулати и не изискват повторно доказване и оценка.

В предишните дискусии изобщо не използвахме техническите методи на диференциалното смятане.

Трудно е да не признаем, че нашите елементарни методи са по-прости и по-директни от методите за анализ. Като цяло, когато се занимавате с конкретен научен проблем, е по-добре да изхождате от него индивидуални характеристикиотколкото да разчитате единствено на общи методи, въпреки че, от друга страна, общ принцип, което изяснява значението на прилаганите специални процедури, разбира се, винаги трябва да играе водеща роля. Именно това е значението на методите на диференциалното смятане при разглеждане на екстремални задачи. Наблюдавано в съвременна наукажеланието за обобщеност представлява само едната страна на въпроса, тъй като това, което е наистина жизненоважно в математиката, без съмнение се определя от индивидуалните характеристики на разглежданите проблеми и използваните методи.

В неговия историческо развитиеДиференциалното смятане беше силно повлияно от индивидуалните проблеми, свързани с намирането на най-големите и най-малките стойности на количествата. Връзката между екстремалните проблеми и диференциалното смятане може да се разбере по следния начин. В глава VIII ще се занимаваме с подробно изследване на производната f"(x) на функцията f(x) и нейния геометричен смисъл. Там ще видим, че накратко казано, производната f"(x) е наклонът на допирателната към кривата y = f(x)в точка (x, y). Геометрично очевидно е, че в максималните или минималните точки на гладка крива y = f(x)допирателната към кривата със сигурност трябва да е хоризонтална, т.е. наклонът трябва да е нула. Така получаваме условието за екстремни точки f"(x) = 0.

За да разберете ясно какво означава производната f"(x) да изчезне, разгледайте кривата, показана на фиг. 191. Тук виждаме пет точки A, B, C, D, ?, в които допирателната към кривата е хоризонтална ; нека означим съответните стойности на f(x) в тези точки с a, b, c, d, e. Най-висока стойност f(x) (в рамките на зоната, показана на чертежа) се постига в точка D, най-малкото в точка A. В точка B има максимум - в смисъл, че във всички точки някакъв кварталточки B, стойността на f(x) е по-малка от b, въпреки че в точки, близки до D, стойността на f(x) все още е по-голяма от b. Поради тази причина е прието да се казва, че в точка Б има относителен максимум на функцията f(x), докато в точка D - абсолютен максимум.По същия начин в точка C има относителен минимум,и в точка А - абсолютен минимум.И накрая, що се отнася до точка Е, в нея няма нито максимум, нито минимум, въпреки че равенството все още е реализирано в нея f"(x) = Q, От това следва, че изчезването на производната f"(x) е необходимо, но изобщо не достатъчноусловие за поява на екстремум на гладка функция f(x); с други думи, във всяка точка, където има екстремум (абсолютен или относителен), равенството със сигурност се осъществява f"(x) = 0, но не навсякъде f"(x) = 0, трябва да е екстремум. Тези точки, в които производната f"(x) изчезва, независимо дали в тях има екстремум, се наричат стационарен.По-нататъшният анализ води до повече или по-малко сложни условия относно по-високите производни на функцията f(x) и напълно характеризиращи максимумите, минимумите и други стационарни точки.