Bir daire, merkezden aynı uzaklıkta bulunan birçok noktanın görünür bir koleksiyonudur. Alanını bulmak için yarıçapın, çapın, π sayısının ve çevrenin ne olduğunu bilmeniz gerekir.

Bir dairenin alanının hesaplanmasında yer alan büyüklükler

Çemberin merkez noktası ile çemberin herhangi bir noktasının sınırladığı mesafeye bu geometrik şeklin yarıçapı denir. Bir dairenin tüm yarıçaplarının uzunlukları aynıdır. Bir dairenin herhangi 2 noktası arasında geçen ve içinden geçen bir doğru parçası merkez noktasıçapı denir. Çapın uzunluğu, yarıçapın uzunluğunun 2 ile çarpımına eşittir.

Bir dairenin alanını hesaplamak için π sayısının değeri kullanılır. Bu değer dairenin çevresinin çapının uzunluğuna oranına eşittir ve sabit bir değere sahiptir. Π = 3,1415926. Çevre L=2πR formülü kullanılarak hesaplanır.

Yarıçapı kullanarak bir dairenin alanını bulun

Bu nedenle, bir dairenin alanı, π sayısı ile 2. kuvvete yükseltilmiş dairenin yarıçapının çarpımına eşittir. Örnek olarak dairenin yarıçapının uzunluğunu 5 cm alalım. O zaman S dairesinin alanı 3,14*5^2=78,5 metrekare olacaktır. santimetre.

Çap boyunca bir dairenin alanı

Bir dairenin alanı, dairenin çapı bilinerek de hesaplanabilir. Bu durumda S = (π/4)*d^2, burada d dairenin çapıdır. Aynı örneği ele alalım, yarıçapı 5 cm ise çapı 5*2=10 cm olacaktır. Dairenin alanı S = 3,14/4*10^2=78,5 cm2 olacaktır. İlk örnekteki hesaplamaların toplamına eşit olan sonuç, her iki durumda da hesaplamaların doğruluğunu teyit etmektedir.

Çevre boyunca bir dairenin alanı

Bir dairenin yarıçapı çevre boyunca temsil edilirse formül şu forma sahip olacaktır: R=(L/2)π. Bu ifadeyi dairenin alanı formülünde yerine koyalım ve sonuç olarak S=(L^2)/4π elde edelim. Çevresinin 10 cm olduğu bir örneği ele alalım. O zaman dairenin alanı S = (10^2)/4*3,14=7,96 metrekare olur. santimetre.

Yazılı bir karenin bir kenarı boyunca bir dairenin alanı

Bir daireye bir kare yazılmışsa, dairenin çapının uzunluğu karenin köşegeninin uzunluğuna eşittir. Karenin kenarının boyutunu bildiğinizde, d^2=2a^2 formülünü kullanarak dairenin çapını kolayca bulabilirsiniz. Başka bir deyişle, çapın 2. kuvveti, karenin kenarının 2. kuvvetinin 2 ile çarpımına eşittir.

Bir dairenin çapının uzunluğunu hesapladıktan sonra yarıçapını bulabilir ve ardından dairenin alanını belirlemek için formüllerden birini kullanabilirsiniz.

Bir daire sektörünün alanı

Sektör, 2 yarıçapla sınırlı bir dairenin ve aralarında bir yay bulunan bir parçasıdır. Alanını bulmak için sektörün açısını ölçmeniz gerekir. Bundan sonra payı sektörün açısının değeri olacak ve paydası 360 olacak bir kesir oluşturmanız gerekiyor. Sektörün alanını hesaplamak için kesirin bölünmesiyle elde edilen değerin olması gerekir. yukarıdaki formüllerden biri kullanılarak hesaplanan dairenin alanıyla çarpılır.

- Bu düz şekil merkezden eşit uzaklıktaki noktaların kümesidir. Hepsi aynı uzaklıkta ve bir daire oluşturuyor.

Bir dairenin merkezini çevresindeki noktalara birleştiren doğru parçasına ne ad verilir? yarıçap. Her dairede tüm yarıçaplar birbirine eşittir. Bir çember üzerinde iki noktayı birleştiren ve merkezden geçen doğruya ne denir çap. Bir dairenin alanı formülü matematiksel bir sabit - π sayısı kullanılarak hesaplanır.

Bu ilginç : Sayı π. bir dairenin çevresinin çapının uzunluğuna oranını temsil eder ve sabit bir değerdir. π = 3,1415926 değeri L. Euler'in 1737'deki çalışmasından sonra kullanılmıştır.

Bir dairenin alanı π sabiti kullanılarak hesaplanabilir. ve dairenin yarıçapı. Bir dairenin alanının yarıçap cinsinden formülü şöyle görünür:

Yarıçapı kullanarak bir dairenin alanını hesaplamanın bir örneğine bakalım. Bize yarıçapı R = 4 cm olan bir daire verilsin. Şeklin alanını bulalım.

Dairemizin alanı 50,24 metrekare olacaktır. santimetre.

Bir formül var çapı boyunca bir dairenin alanı. Ayrıca gerekli parametreleri hesaplamak için de yaygın olarak kullanılır. Bu formüller bulmak için kullanılabilir.

Yarıçapını bilerek bir dairenin alanını çapı boyunca hesaplamanın bir örneğini ele alalım. Bize yarıçapı R = 4 cm olan bir daire verilsin. Öncelikle bilindiği gibi yarıçapın iki katı olan çapı bulalım.


Şimdi verileri yukarıdaki formülü kullanarak bir dairenin alanını hesaplama örneği için kullanıyoruz:

Gördüğünüz gibi sonuç, ilk hesaplamalardaki cevabın aynısıdır.

Bir dairenin alanını hesaplamak için standart formüller bilgisi gelecekte kolayca belirlemenize yardımcı olacaktır sektör alanı ve eksik miktarları kolayca bulun.

Bir dairenin alanı formülünün, π sabit değerinin dairenin yarıçapının karesiyle çarpılmasıyla hesaplandığını zaten biliyoruz. Yarıçap, çevre cinsinden ifade edilebilir ve formüldeki ifadeyi, dairenin alanı yerine çevre cinsinden değiştirebilir:
Şimdi bu eşitliği dairenin alanını hesaplama formülünde yerine koyalım ve çevreyi kullanarak dairenin alanını bulma formülünü elde edelim.

Çevreyi kullanarak bir dairenin alanını hesaplamanın bir örneğini ele alalım. Uzunluğu l = 8 cm olan bir daire verilsin ve değeri türetilmiş formülde yerine koyun:

Dairenin toplam alanı 5 metrekare olacaktır. santimetre.

Bir karenin çevrelediği dairenin alanı

Bir karenin çevrelediği dairenin alanını bulmak çok kolaydır.

Bunu yapmak için sadece karenin kenarına ve basit formül bilgisine ihtiyacınız var. Karenin köşegeni, çevrelenen dairenin köşegenine eşit olacaktır. a tarafını bilerek Pisagor teoremini kullanarak bulunabilir: buradan.
Köşegeni bulduktan sonra yarıçapı hesaplayabiliriz: .
Ve sonra her şeyi bir karenin çevrelediği dairenin alanı için temel formülde değiştireceğiz:

Bir dairenin alanı nasıl bulunur? İlk önce yarıçapı bulun. Basit ve karmaşık problemleri çözmeyi öğrenin.

Bir daire kapalı bir eğridir. Daire çizgisi üzerindeki herhangi bir nokta merkez noktadan aynı uzaklıkta olacaktır. Daire düz bir şekil olduğundan alan bulmayla ilgili problemleri çözmek kolaydır. Bu yazımızda üçgen, yamuk, kare içine yazılan ve bu şekillerin çevresine çizilen bir dairenin alanının nasıl bulunacağına bakacağız.

Belirli bir şeklin alanını bulmak için yarıçapın, çapın ve π sayısının ne olduğunu bilmeniz gerekir.

Yarıçap R dairenin merkezi tarafından sınırlanan mesafedir. Bir dairenin tüm R-yarıçaplarının uzunlukları eşit olacaktır.

Çap D merkez noktasından geçen bir daire üzerindeki herhangi iki nokta arasındaki çizgidir. Bu parçanın uzunluğu, R yarıçapının uzunluğunun 2 ile çarpımına eşittir.

Sayı π 3,1415926'ya eşit olan sabit bir değerdir. Matematikte bu sayı genellikle 3,14'e yuvarlanır.

Yarıçapı kullanarak bir dairenin alanını bulma formülü:

R yarıçapını kullanarak bir dairenin S alanını bulmayla ilgili problem çözme örnekleri:

Görev: Yarıçapı 7 cm ise dairenin alanını bulun.

Çözüm: S=πR², S=3,14*7², S=3,14*49=153,86 cm².

Cevap: Dairenin alanı 153,86 cm²'dir.

D çapı boyunca bir dairenin S alanını bulma formülü:

D biliniyorsa S'yi bulmak için problem çözme örnekleri:

————————————————————————————————————————-

Görev: D'si 10 cm olan bir dairenin S'sini bulun.

Çözüm: P=π*d²/4, P=3,14*10²/4=3,14*100/4=314/4=78,5 cm².

Cevap: Düz dairesel bir şeklin alanı 78,5 cm²'dir.

Çevresi biliniyorsa bir dairenin S'sini bulma:

İlk önce yarıçapın neye eşit olduğunu buluyoruz. Dairenin çevresi şu formülle hesaplanır: sırasıyla L=2πR, yarıçap R, L/2π'ye eşit olacaktır. Şimdi R'ye kadar olan formülü kullanarak dairenin alanını buluyoruz.

Örnek bir problem kullanarak çözümü ele alalım:

———————————————————————————————————————-

Görev: L çevresi biliniyorsa dairenin alanını bulun - 12 cm.

Çözüm:İlk önce yarıçapı buluyoruz: R=L/2π=12/2*3,14=12/6,28=1,91.

Şimdi yarıçaptan geçen alanı buluyoruz: S=πR²=3,14*1,91²=3,14*3,65=11,46 cm².

Cevap: Dairenin alanı 11,46 cm²'dir.

Bir karenin içine yazılan dairenin alanını bulmak kolaydır. Karenin bir kenarı dairenin çapıdır. Yarıçapı bulmak için kenarı 2'ye bölmeniz gerekir.

Bir kareye yazılan dairenin alanını bulma formülü:

Bir kareye yazılan bir dairenin alanını bulma problemlerini çözme örnekleri:

———————————————————————————————————————

Görev #1: 6 santimetre olan kare bir şeklin kenarı bilinmektedir. Yazılı dairenin S alanını bulun.

Çözüm: S=π(a/2)²=3,14(6/2)²=3,14*9=28,26 cm².

Cevap: Düz dairesel bir şeklin alanı 28,26 cm²'dir.

————————————————————————————————————————

Görev No.2: Bir kare şeklin içine yazılan bir çemberin S'sini ve bir kenarı a=4 cm ise yarıçapını bulun.

Bu şekilde karar ver: İlk önce R=a/2=4/2=2 cm'yi buluyoruz.

Şimdi S=3.14*2²=3.14*4=12.56 cm² dairenin alanını bulalım.

Cevap: Düz dairesel bir şeklin alanı 12,56 cm²'dir.

Bir kare etrafında tarif edilen daire şeklinin alanını bulmak biraz daha zordur. Ancak formülü bilerek bu değeri hızlı bir şekilde hesaplayabilirsiniz.

S'yi kare bir şekil etrafında çevrelenmiş bir daire bulma formülü:

Kare bir şekil etrafında çevrelenmiş bir dairenin alanını bulmak için problem çözme örnekleri:

Görev

Üçgen şeklinde yazılı bir daire, üçgenin üç kenarına da dokunan bir dairedir. Herhangi bir üçgen şekline bir daire sığdırabilirsiniz, ancak yalnızca bir tane. Çemberin merkezi, üçgenin açılarının açıortaylarının kesişme noktası olacaktır.

İçinde yazılı bir dairenin alanını bulmak için formül ikizkenar üçgen:

Yarıçap bilindikten sonra alan şu formül kullanılarak hesaplanabilir: S=πR².

Dik üçgende yazılı bir dairenin alanını bulmak için formül:

Problem çözme örnekleri:

Görev No.1

Bu problemde yarıçapı 4 cm olan bir dairenin alanını da bulmanız gerekiyorsa, bu şu formül kullanılarak yapılabilir: S=πR²

Görev No.2

Çözüm:

Artık yarıçap bilindiğine göre, yarıçapı kullanarak dairenin alanını bulabiliriz. Metindeki yukarıdaki formüle bakın.

Görev No.3

Sağ ve ikizkenar üçgen etrafında çevrelenmiş bir dairenin alanı: formül, problem çözme örnekleri

Bir dairenin alanını bulmak için kullanılan tüm formüller, önce onun yarıçapını bulmanız gerektiği gerçeğine dayanır. Yarıçap bilindiğinde alanı bulmak yukarıda açıklandığı gibi basittir.

Bir dik ve ikizkenar üçgen etrafında çevrelenen bir dairenin alanı aşağıdaki formülle bulunur:

Problem çözme örnekleri:

İşte Heron formülünü kullanarak bir problemi çözmenin başka bir örneği.

Bu tür problemleri çözmek zordur, ancak tüm formülleri biliyorsanız bu konularda uzmanlaşabilirsiniz. Öğrenciler bu tür problemleri 9. sınıfta çözüyorlar.

Dikdörtgen ve ikizkenar yamuk içine yazılmış bir dairenin alanı: formül, problem çözme örnekleri

İkizkenar yamuk iki eşit kenara sahiptir. Dikdörtgen bir yamuğun bir açısı 90°'ye eşittir. Problem çözme örneğini kullanarak dikdörtgen ve ikizkenar yamuk içine yazılmış bir dairenin alanını nasıl bulacağımıza bakalım.

Örneğin, temas noktasında bir tarafı m ve n bölümlerine ayıran ikizkenar yamuk içine bir daire yazılmıştır.

Bu sorunu çözmek için aşağıdaki formülleri kullanmanız gerekir:

İçinde yazılı bir dairenin alanını bulma dikdörtgen yamuk, aşağıdaki formüle göre üretilir:

Yan taraf biliniyorsa bu değer kullanılarak yarıçap bulunabilir. Bir yamuk kenarının yüksekliği dairenin çapına eşittir ve yarıçap, çapın yarısı kadardır. Buna göre yarıçap R=d/2'dir.

Problem çözme örnekleri:

Karşıt açılarının toplamı 180° olduğunda bir yamuk bir daireye yazılabilir. Bu nedenle, yalnızca ikizkenar yamuk yazabilirsiniz. Dikdörtgen veya ikizkenar yamuk etrafında çevrelenen bir dairenin alanını hesaplamak için yarıçap, aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplanır:

Problem çözme örnekleri:

Çözüm: Büyük taban bu durumda bir daire içine ikizkenar yamuk yazıldığı için merkezden geçer. Merkez bu tabanı tam olarak ikiye böler. AB tabanı 12 ise R yarıçapı şu şekilde bulunabilir: R=12/2=6.

Cevap: Yarıçapı 6'dır.

Geometride formülleri bilmek önemlidir. Ancak hepsini hatırlamak mümkün olmadığından birçok sınavda bile özel bir form kullanılmasına izin verilmektedir. Ancak belirli bir sorunu çözmek için doğru formülü bulabilmek önemlidir. Formülleri doğru bir şekilde değiştirebilmeniz ve doğru yanıtlar alabilmeniz için bir dairenin yarıçapını ve alanını bulmak için çeşitli problemleri çözme alıştırması yapın.

Video: Matematik | Bir dairenin alanlarının ve parçalarının hesaplanması

Geometride her yerde düzlem üzerinde, merkez adı verilen bir noktadan, yarıçap adı verilen belirli bir noktadan daha büyük olmayan bir mesafe kadar uzaklaşan tüm noktaların kümesidir. Aynı zamanda dış sınır daire daire ve yarıçapın uzunluğunun sıfır olması durumunda, daire bir noktaya kadar dejenere olur.

Bir dairenin alanının belirlenmesi

Gerekirse bir dairenin alanı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:

R- daire yarıçapı

D- daire çapı

S- bir dairenin alanı

π - 3.14

Bu geometrik şekil hem teknolojide hem de mimaride sıklıkla bulunur. Makine ve mekanizma tasarımcıları gelişiyor çeşitli parçalarçoğunun kesitleri tam olarak aynı daire. Örneğin bunlar miller, çubuklar, çubuklar, silindirler, akslar, pistonlar vb. Bu parçaların imalatında boşluklar çeşitli malzemeler(metaller, ahşap, plastikler), bunların bölümleri de tam olarak temsil eder daire. Geliştiricilerin sıklıkla hesaplamak zorunda kaldıklarını söylemeye gerek yok. bir dairenin alanı Bu amaçla eski zamanlarda keşfedilen basit matematiksel formülleri kullanarak çap veya yarıçap boyunca ölçümler yapılabilir.

İşte o zaman yuvarlak elemanlar mimaride aktif ve yaygın olarak kullanılmaya başlandı. Bunun en çarpıcı örneklerinden biri de çeşitli eğlence etkinliklerine ev sahipliği yapmak üzere tasarlanmış bir yapı türü olan sirklerdir. Arenaları şekilleniyor daire ve ilk kez eski zamanlarda inşa edilmeye başlandı. Kelimenin kendisi " sirk"Latince'den çevrilmiş" anlamına gelir daire" Eski zamanlarda sirkler tiyatro gösterilerine ve gladyatör dövüşlerine ev sahipliği yaparken, şimdi eğitmenlerin, akrobatların, sihirbazların, palyaçoların vb. katılımıyla sirk gösterilerinin yapıldığı bir yer olarak hizmet veriyorlar. Bir sirk arenasının standart çapı 13 metredir. ve bu kesinlikle tesadüf değil: gerçek şu ki, gerekli minimumu sağlayan odur. geometrik parametreler sirk atlarının daireler çizerek dörtnala koştuğu bir arena. Eğer hesaplarsak bir dairenin alanıçap boyunca, bir sirk arenası için bu değerin 113,04 metrekare olduğu ortaya çıkıyor.

Daire şeklini alabilen mimari elemanlar pencerelerdir. Elbette çoğu durumda dikdörtgen veya kare şeklindedirler (büyük ölçüde bunun hem mimarlar hem de inşaatçılar için daha kolay olması nedeniyle), ancak bazı binalarda yuvarlak pencereler de bulabilirsiniz. Üstelik böyle bir durumda Araçlar Hava, deniz ve nehir gemileri gibi bunlar da çoğu zaman tam olarak böyledir.

Mobilya üretiminde masa ve sandalye gibi yuvarlak elemanların kullanılması hiç de alışılmadık bir durum değildir. Hatta bir kavram bile var" yuvarlak masa ", çeşitli önemli sorunların kapsamlı bir tartışmasının yapıldığı ve bunları çözme yollarının geliştirildiği yapıcı bir tartışmayı ima eder. Yuvarlak bir şekle sahip tezgahın imalatına gelince, oldukça yüksek niteliklere sahip işçilerin katılımına bağlı olarak, üretimleri için özel alet ve ekipmanlar kullanılmaktadır.