Ah! Burası kadınlar tuvaleti değil mi?
- Genç kadın! Burası, cennete yükselişleri sırasında ruhların ölümsüz kutsallığının incelenmesine yönelik bir laboratuvardır! Halo üstte ve yukarı ok. Başka hangi tuvalet?

Dişi... Üstteki hale ve aşağı ok erkektir.

Böyle bir tasarım sanatı eseri günde birkaç kez gözünüzün önünden geçiyorsa,

O halde arabanızda aniden garip bir simge bulmanız şaşırtıcı değil:

Kişisel olarak ben kaka yapan bir insanda eksi dört dereceyi görmeye çalışıyorum (tek resim) (birkaç resimden oluşan kompozisyon: eksi işareti, dört rakamı, derece işareti). Ve bu kızın fizik bilmeyen bir aptal olduğunu düşünmüyorum. Sadece grafik görüntüleri algılama konusunda güçlü bir stereotipi var. Ve matematikçiler bize bunu her zaman öğretiyorlar. İşte bir örnek.

1A “eksi dört derece” veya “bir a” değildir. Bu "kaka yapan adam" veya onaltılık gösterimle "yirmi altı" sayısıdır. Sürekli olarak bu sayı sisteminde çalışan kişiler, sayıyı ve harfi otomatik olarak tek bir grafik sembol olarak algılarlar.

\[(\Büyük(\text(Serbest yamuk)))\]

Tanımlar

Yamuk, iki tarafı paralel ve diğer iki tarafı paralel olmayan dışbükey bir dörtgendir.

Bir yamuğun paralel kenarlarına tabanları, diğer iki tarafına ise yan kenarları denir.

Bir yamuğun yüksekliği, bir tabanın herhangi bir noktasından diğer tabanına inen dik bir çizgidir.

Teoremler: yamuğun özellikleri

1) Kenardaki açıların toplamı \(180^\circ\)'dir.

2) Köşegenler yamuğu, ikisi benzer, diğer ikisi eşit büyüklükte dört üçgene böler.

Kanıt

1) Çünkü \(AD\paralel BC\), bu durumda \(\angle BAD\) ve \(\angle ABC\) açıları bu çizgiler ve enine \(AB\) için tek taraflıdır, dolayısıyla, \(\açı KÖTÜ +\açı ABC=180^\circ\).

2) Çünkü \(AD\paralel BC\) ve \(BD\) bir kesen ise, \(\angle DBC=\angle BDA\) çapraz olarak uzanır.
Ayrıca \(\angle BOC=\angle AOD\) dikey olarak.
Bu nedenle iki açıdan \(\triangle BOC \sim \triangle AOD\).

Hadi bunu kanıtlayalım \(S_(\üçgen AOB)=S_(\üçgen COD)\). Yamuğun yüksekliği \(h\) olsun. Daha sonra \(S_(\triangle ABD)=\frac12\cdot h\cdot AD=S_(\triangle ACD)\). Daha sonra: \

Tanım

Yamuğun orta çizgisi, kenarların orta noktalarını birleştiren bir bölümdür.

Teorem

Yamuğun orta çizgisi tabanlara paraleldir ve yarı toplamlarına eşittir.

Kanıt*

1) Paralelliği kanıtlayalım.

\(M\) noktasından \(MN"\paralel AD\) (\(N"\in CD\) ) düz çizgisini çizelim. O halde Thales teoremine göre (çünkü \(MN"\paralel AD\paralel BC, AM=MB\)) \(N"\) noktası \(CD\) doğru parçasının ortasıdır. Bu, \(N\) ve \(N"\) noktalarının çakışacağı anlamına gelir.

2) Formülü kanıtlayalım.

Hadi \(BB"\perp AD, CC"\perp AD\) yapalım. İzin vermek \(BB"\başlık MN=M", CC"\başlık MN=N"\).

O halde, Thales teoremine göre, \(M"\) ve \(N"\) sırasıyla \(BB"\) ve \(CC"\) parçalarının orta noktalarıdır. Bu, \(MM"\) öğesinin \(\triangle ABB"\) öğesinin orta çizgisi olduğu, \(NN"\) öğesinin \(\triangle DCC"\) öğesinin orta çizgisi olduğu anlamına gelir. Bu yüzden: \

Çünkü \(MN\paralel AD\paralel BC\) ve \(BB", CC"\perp AD\) , bu durumda \(B"M"N"C"\) ve \(BM"N"C\) dikdörtgenlerdir. Thales teoremine göre \(MN\paralel AD\) ve \(AM=MB\)'den \(B"M"=M"B\) sonucu çıkar. Dolayısıyla \(B"M"N"C) olur "\) ve \(BM"N"C\) eşit dikdörtgenlerdir, dolayısıyla \(M"N"=B"C"=BC\) .

Böylece:

\ \[=\dfrac12 \left(AB"+B"C"+BC+C"D\right)=\dfrac12\left(AD+BC\right)\]

Teorem: keyfi bir yamuğun özelliği

Tabanların orta noktaları, yamuğun köşegenlerinin kesişme noktası ve yan kenarların uzantılarının kesişme noktası aynı düz çizgi üzerinde bulunur.

Kanıt*
“Üçgenlerin benzerliği” konusunu inceledikten sonra ispata alışmanız tavsiye edilir.

1) \(P\) , \(N\) ve \(M\) noktalarının aynı doğru üzerinde olduğunu kanıtlayalım.

Düz bir çizgi çizelim \(PN\) (\(P\) yan kenarların uzantılarının kesişme noktasıdır, \(N\) \(BC\)'nin ortasıdır). \(AD\) kenarını \(M\) noktasında kessin. \(M\)'nin \(AD\)'nin orta noktası olduğunu kanıtlayalım.

\(\triangle BPN\) ve \(\triangle APM\) 'yi düşünün. İki açıda benzerdirler (\(\açı APM\) - genel, \(\açı PAM=\açı PBN\), \(AD\paralel BC\) ve \(AB\) sekantına karşılık gelir). Araç: \[\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(PN)(PM)\]

\(\triangle CPN\) ve \(\triangle DPM\) 'yi düşünün. İki açıda benzerdirler (\(\angle DPM\) – genel, \(\angle PDM=\angle PCN\), \(AD\paralel BC\) ve \(CD\) sekantında karşılık gelir). Araç: \[\dfrac(CN)(DM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Buradan \(\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(CN)(DM)\). Ancak \(BN=NC\) dolayısıyla \(AM=DM\) .

2) \(N, O, M\) noktalarının aynı doğru üzerinde olduğunu kanıtlayalım.

\(N\) \(BC\)'nin orta noktası ve \(O\) köşegenlerin kesişme noktası olsun. \(NO\) düz bir çizgi çizelim, \(AD\) kenarını \(M\) noktasında kesecektir. \(M\)'nin \(AD\)'nin orta noktası olduğunu kanıtlayalım.

\(\triangle BNO\sim \triangle DMO\) iki açı boyunca (\(\angle OBN=\angle ODM\) \(BC\parallel AD\) ve \(BD\) sekantında çapraz olarak uzanır; \(\angle BON=\angle DOM\) dikey olarak). Araç: \[\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(ON)(OM)\]

Aynı şekilde \(\triangle CON\sim \triangle AOM\). Araç: \[\dfrac(CN)(MA)=\dfrac(ON)(OM)\]

Buradan \(\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(CN)(MA)\). Ancak \(BN=CN\) dolayısıyla \(AM=MD\) .

\[(\Large(\text(İkizkenar yamuk)))\]

Tanımlar

Bir yamuk, açılarından biri dik ise dikdörtgen olarak adlandırılır.

Kenarları eşit olan bir yamuğa ikizkenar denir.

Teoremler: ikizkenar yamuğun özellikleri

1) İkizkenar yamuğun taban açıları birbirine eşittir.

2) İkizkenar yamuğun köşegenleri eşittir.

3) Köşegenler ve bir tabandan oluşan iki üçgen ikizkenardır.

Kanıt

1) İkizkenar yamuğu \(ABCD\) düşünün.

\(B\) ve \(C\) köşelerinden, sırasıyla \(BM\) ve \(CN\) dikmelerini \(AD\) kenarına bırakıyoruz. \(BM\perp AD\) ve \(CN\perp AD\) olduğundan, \(BM\parallel CN\) ; \(AD\parallel BC\) ise \(MBCN\) bir paralelkenardır, dolayısıyla \(BM = CN\) .

\(ABM\) ve \(CDN\) dik üçgenlerini düşünün. Hipotenüsleri eşit olduğundan ve \(BM\) kenarı \(CN\) kenarına eşit olduğundan, bu üçgenler eşittir, dolayısıyla \(\angle DAB = \angle CDA\) .

2)

Çünkü \(AB=CD, \açı A=\açı D, AD\)– genel, sonra ilk işarete göre. Bu nedenle \(AC=BD\) .

3) Çünkü \(\üçgen ABD=\üçgen ACD\), ardından \(\angle BDA=\angle CAD\) . Bu nedenle, \(\üçgen AOD\) üçgeni ikizkenardır. Benzer şekilde, \(\üçgen BOC\)'nin ikizkenar olduğu kanıtlanmıştır.

Teoremler: ikizkenar yamuğun işaretleri

1)Yamuğun taban açıları eşitse ikizkenardır.

2) Bir yamuğun köşegenleri eşitse ikizkenardır.

Kanıt

\(ABCD\) yamuğunu \(\angle A = \angle D\) olacak şekilde düşünün.

Trapezoidi şekilde gösterildiği gibi \(AED\) üçgenine tamamlayalım. \(\angle 1 = \angle 2\) olduğundan, \(AED\) üçgeni ikizkenardır ve \(AE = ED\) . \(1\) ve \(3\) açıları, paralel çizgiler \(AD\) ve \(BC\) ve çapraz \(AB\) için karşılık gelen açılara eşittir. Benzer şekilde, \(2\) ve \(4\) açıları eşittir, ancak \(\angle 1 = \angle 2\), o zaman \(\açı 3 = \açı 1 = \açı 2 = \açı 4\) dolayısıyla \(BEC\) üçgeni de ikizkenardır ve \(BE = EC\) .

Sonunda \(AB = AE - BE = DE - CE = CD\) yani \(AB = CD\) kanıtlanması gereken şeydi.

2) \(AC=BD\) olsun. Çünkü \(\üçgen AOD\sim \üçgen BOC\) ise benzerlik katsayılarını \(k\) olarak gösteririz. Sonra eğer \(BO=x\) ise \(OD=kx\) . \(CO=y \Rightarrow AO=ky\)'ye benzer.

Çünkü \(AC=BD\) , ardından \(x+kx=y+ky \Rightarrow x=y\) . Bu, \(\triangle AOD\)'nin ikizkenar olduğu ve \(\angle OAD=\angle ODA\) olduğu anlamına gelir.

Yani ilk işarete göre \(\üçgen ABD=\üçgen ACD\) (\(AC=BD, \angle OAD=\angle ODA, AD\)- genel). Peki, \(AB=CD\) neden.

Bu yazıda yamuğun özelliklerini mümkün olduğunca tam olarak yansıtmaya çalışacağız. Özellikle, hakkında konuşacağız genel işaretler ve bir yamuğun özelliklerinin yanı sıra yazılı bir yamuğun özellikleri ve bir yamuğun içine yazılmış bir daire hakkında. Ayrıca ikizkenarların özelliklerine de değineceğiz ve dikdörtgen yamuk.

Tartışılan özellikleri kullanarak bir sorunu çözme örneği, sorunu kafanızda çözmenize ve materyali daha iyi hatırlamanıza yardımcı olacaktır.

Trapez ve hepsi hepsi

Başlangıç ​​​​olarak, yamuğun ne olduğunu ve onunla başka hangi kavramların ilişkili olduğunu kısaca hatırlayalım.

Yani yamuk, iki tarafı birbirine paralel olan dörtgen bir şekildir (bunlar tabanlardır). Ve ikisi paralel değil; bunlar kenarlar.

Bir yamukta yükseklik, tabanlara dik olarak azaltılabilir. Merkez çizgisi ve köşegenler çizilir. Yamuğun herhangi bir açısından bir açıortay çizmek de mümkündür.

Hakkında çeşitli özelliklerŞimdi tüm bu unsurlarla ve bunların kombinasyonlarıyla ilişkili olarak konuşacağız.

Yamuk köşegenlerin özellikleri

Daha açık hale getirmek için, okurken ACME yamuğunu bir parça kağıda çizin ve içine köşegenler çizin.

1. Köşegenlerin her birinin orta noktalarını bulursanız (bu noktalara X ve T diyelim) ve bunları birleştirirseniz bir doğru parçası elde edersiniz. Bir yamuğun köşegenlerinin özelliklerinden biri, HT segmentinin orta çizgide yer almasıdır. Ve uzunluğu, tabanların farkının ikiye bölünmesiyle elde edilebilir: ХТ = (a – b)/2.
2. Önümüzde aynı yamuk ACME var. Köşegenler O noktasında kesişir. Köşegen parçalarının yamuk tabanlarıyla birlikte oluşturduğu AOE ve MOK üçgenlerine bakalım. Bu üçgenler benzerdir. Üçgenlerin benzerlik katsayısı k yamuk tabanlarının oranı ile ifade edilir: k = AE/KM.
   AOE ve MOK üçgenlerinin alanlarının oranı k 2 katsayısı ile tanımlanır.
3. Aynı yamuk, O noktasında kesişen aynı köşegenler. Ancak bu sefer köşegenlerin parçalarının yamuğun kenarlarıyla birlikte oluşturduğu üçgenleri ele alacağız. AKO ve EMO üçgenlerinin alanları eşit büyüklüktedir - alanları aynıdır.
4. Yamuğun başka bir özelliği köşegenlerin yapımını içerir. Yani AK ve ME'nin kenarlarına daha küçük taban yönünde devam ederseniz, er ya da geç belli bir noktada kesişeceklerdir. Daha sonra yamuğun tabanlarının ortasından düz bir çizgi çizin. Tabanları X ve T noktalarında kesiyor.
   Şimdi XT çizgisini uzatırsak, o zaman yamuk O'nun köşegenlerinin kesişme noktasını, kenarların uzantılarının ve X ve T tabanlarının ortasının kesiştiği noktayı birbirine bağlayacaktır.
5. Köşegenlerin kesişme noktasından yamuğun tabanlarını birleştirecek bir parça çizeceğiz (T, daha küçük KM tabanında, X daha büyük AE'de yer alır). Köşegenlerin kesişme noktası bu parçayı aşağıdaki oranda böler: TO/OX = KM/AE.
6. Şimdi köşegenlerin kesişme noktasından yamuğun tabanlarına (a ve b) paralel bir parça çizeceğiz. Kesişme noktası onu iki eşit parçaya bölecektir. Formülü kullanarak segmentin uzunluğunu bulabilirsiniz. 2ab/(a + b).

Bir yamuğun orta çizgisinin özellikleri

Yamuktaki orta çizgiyi tabanlarına paralel olarak çizin.

1. Bir yamuğun orta çizgisinin uzunluğu, tabanların uzunlukları toplanıp ikiye bölünerek hesaplanabilir: m = (a + b)/2.
2. Yamuğun her iki tabanından herhangi bir parça (örneğin yükseklik) çizerseniz, orta çizgi onu iki eşit parçaya bölecektir.

Yamuk Açıortay Özelliği

Yamuğun herhangi bir açısını seçin ve bir açıortay çizin. Örneğin yamuk ACME'mizin KAE açısını ele alalım. İnşaatı kendiniz tamamladıktan sonra, açıortayın tabandan (veya şeklin dışındaki düz bir çizgideki devamından) kenarla aynı uzunlukta bir parçayı kestiğini kolayca doğrulayabilirsiniz.

Yamuk açıların özellikleri

1. Kenara bitişik iki açı çiftinden hangisini seçerseniz seçin, çiftteki açıların toplamı her zaman 180 0 olur: α + β = 180 0 ve γ + δ = 180 0.
2. Yamuğun tabanlarının orta noktalarını bir TX segmentine bağlayalım. Şimdi yamuğun tabanlarındaki açılara bakalım. Bunlardan herhangi biri için açıların toplamı 90 0 ise, TX segmentinin uzunluğu, tabanların uzunlukları arasındaki farkın ikiye bölünmesiyle kolayca hesaplanabilir: TX = (AE – KM)/2.
3. Bir yamuk açının kenarlarından paralel çizgiler çizilirse, açının kenarlarını orantılı parçalara bölerler.

İkizkenar (eşkenar) yamuğun özellikleri

1. İkizkenar yamukta herhangi bir tabandaki açılar eşittir.
2. Şimdi neden bahsettiğimizi hayal etmeyi kolaylaştırmak için tekrar bir yamuk yapın. AE tabanına dikkatlice bakın; karşıt M tabanının tepe noktası, AE'yi içeren çizgi üzerinde belirli bir noktaya yansıtılır. A tepe noktasından M tepe noktasının projeksiyon noktasına ve ikizkenar yamuğun orta çizgisine olan mesafe eşittir.
3. İkizkenar yamuğun köşegenlerinin özelliği hakkında birkaç söz - uzunlukları eşittir. Ayrıca bu köşegenlerin yamuğun tabanına olan eğim açıları da aynıdır.
4. Sadece bir ikizkenar yamuk etrafında bir daire tanımlanabilir, çünkü bir dörtgenin zıt açılarının toplamı 180 0'dır - bunun için bir ön koşul.
5. Bir ikizkenar yamuğun özelliği önceki paragraftan kaynaklanmaktadır - eğer yamuğun yakınında bir daire tanımlanabiliyorsa, bu ikizkenardır.
6. Bir ikizkenar yamuğun özelliklerinden, bir yamuğun yüksekliğinin özelliği gelir: eğer köşegenleri dik açılarla kesişiyorsa, yüksekliğin uzunluğu tabanların toplamının yarısına eşittir: h = (a + b)/2.
7. Yine, TX segmentini yamuğun tabanlarının orta noktalarından çizin - ikizkenar yamukta tabanlara diktir. Ve aynı zamanda TX, ikizkenar yamuğun simetri eksenidir.
8. Bu sefer yamuğun karşı köşesinden yüksekliği daha büyük tabana indirin (buna a diyelim). İki segment alacaksınız. Tabanların uzunlukları toplanıp ikiye bölünürse birinin uzunluğu bulunabilir: (a + b)/2. Büyük tabandan küçük olanı çıkarıp çıkan farkı ikiye böldüğümüzde ikinciyi elde ederiz: (a – b)/2.

Bir daire içine yazılmış bir yamuğun özellikleri

Zaten bir daire içine yazılmış bir yamuktan bahsettiğimiz için bu konuyu daha ayrıntılı olarak ele alalım. Özellikle dairenin merkezinin yamuğa göre olduğu yer. Burada da elinize bir kalem alıp aşağıda anlatılacakları çizmeniz tavsiye edilir. Bu sayede daha hızlı anlayacak ve daha iyi hatırlayacaksınız.

1. Dairenin merkezinin konumu, yamuğun köşegeninin kendi tarafına eğim açısı ile belirlenir. Örneğin, bir köşegen, bir yamuğun tepesinden yana doğru dik bir açıyla uzanabilir. Bu durumda, daha büyük olan taban çevrel çemberin merkezini tam olarak ortada keser (R = ½AE).
2. Çapraz ve yan da aşağıda buluşabilir dar açı– o zaman dairenin merkezi yamuğun içindedir.
3. Yamuk köşegeni ile yan taraf arasında geniş bir açı varsa, çevrelenen dairenin merkezi yamuğun dışında, daha büyük tabanının ötesinde olabilir.
4. Köşegen ve yamuk ACME'nin geniş tabanının oluşturduğu açı (yazılı açı), ona karşılık gelen merkezi açının yarısıdır: MAE = ½MOE.
5. Kısaca çevrelenmiş bir dairenin yarıçapını bulmanın iki yolu hakkında. Birinci yöntem: Çiziminize dikkatlice bakın - ne görüyorsunuz? Köşegenin yamuğu iki üçgene böldüğünü kolayca fark edebilirsiniz. Yarıçap, üçgenin kenarının karşı açının sinüsüne oranının ikiyle çarpılmasıyla bulunabilir. Örneğin, R = AE/2*sinAME. Formül her iki üçgenin herhangi bir tarafı için benzer şekilde yazılabilir.
6. İkinci yöntem: yamuğun köşegeni, kenarı ve tabanı tarafından oluşturulan üçgenin alanı boyunca çevrelenmiş dairenin yarıçapını bulun: R = AM*ME*AE/4*S AME.

Bir daire etrafında çevrelenmiş bir yamuğun özellikleri

Bir koşulun karşılanması durumunda bir daireyi yamuğun içine yerleştirebilirsiniz. Aşağıda bununla ilgili daha fazlasını okuyun. Ve bu figür kombinasyonunun bir takım ilginç özellikleri var.

1. Bir yamuk içine bir daire yazılmışsa, orta çizgisinin uzunluğu, kenarların uzunlukları toplanıp elde edilen toplamı ikiye bölerek kolayca bulunabilir: m = (c + d)/2.
2. Bir daire hakkında tanımlanan yamuk ACME için tabanların uzunluklarının toplamı, kenarların uzunluklarının toplamına eşittir: AK + ME = KM + AE.
3. Bir yamuğun tabanlarının bu özelliğinden, ters ifade şu şekildedir: Tabanlarının toplamı kenarlarının toplamına eşit olan bir yamuğun içine bir daire yazılabilir.
4. Yarıçapı r olan bir yamuk içine yazılmış bir dairenin teğet noktası, kenarı iki parçaya böler, bunlara a ve b diyelim. Bir dairenin yarıçapı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir: r = √ab.
5. Ve bir mülk daha. Karışıklığı önlemek için bu örneği kendiniz de çizin. Bir daire etrafında tanımlanan eski güzel yamuk ACME'ye sahibiz. O noktasında kesişen köşegenler içerir. Köşegenlerin parçaları ve yan kenarlarının oluşturduğu AOK ve EOM üçgenleri dikdörtgendir.
   Bu üçgenlerin hipotenüslere (yani yamuğun yan kenarlarına) indirilen yükseklikleri, yazılı dairenin yarıçaplarıyla çakışır. Ve yamuğun yüksekliği yazılı dairenin çapına denk gelir.

Dikdörtgen bir yamuğun özellikleri

Bir yamuk, açılarından biri dik ise dikdörtgen olarak adlandırılır. Ve özellikleri de bu durumdan kaynaklanmaktadır.

1. Dikdörtgen bir yamuğun bir kenarı tabanına diktir.
2. Bitişik yamuğun yüksekliği ve yan tarafı dik açı, eşittir. Bu, dikdörtgen bir yamuğun alanını hesaplamanıza olanak tanır (genel formül S = (a + b) * h/2) yalnızca yükseklikten değil, aynı zamanda dik açıya bitişik taraftan da.
3. Dikdörtgen bir yamuk için, yukarıda açıklanan bir yamuğun köşegenlerinin genel özellikleri konuyla ilgilidir.

Yamuğun bazı özelliklerinin kanıtı

İkizkenar yamuğun tabanındaki açıların eşitliği:

• Muhtemelen burada AKME yamukuna tekrar ihtiyacımız olacağını tahmin etmişsinizdir - ikizkenar yamuk çizin. M köşesinden AK'nin (MT || AK) kenarına paralel bir düz MT çizgisi çizin.

Ortaya çıkan dörtgen AKMT bir paralelkenardır (AK || MT, KM || AT). ME = KA = MT olduğundan, ∆ MTE ikizkenardır ve MET = MTE'dir.

AK || MT, dolayısıyla MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME nerede olur.

Q.E.D.

Şimdi, ikizkenar yamuğun (köşegenlerin eşitliği) özelliğine dayanarak şunu kanıtlıyoruz: yamuk ACME ikizkenardır:

• Başlangıç ​​olarak MX – MX || düz bir çizgi çizelim. KE. Bir paralelkenar KMHE elde ederiz (taban – MX || KE ve KM || EX).

AM = KE = MX ve MAX = MEA olduğundan ∆AMX ikizkenardır.

MH || KE, KEA = MXE, dolayısıyla MAE = MXE.

AM = KE ve AE iki üçgenin ortak kenarı olduğundan AKE ve EMA üçgenlerinin birbirine eşit olduğu ortaya çıkıyor. Ve ayrıca MAE = MXE. AK = ME olduğu sonucuna varabiliriz ve bundan AKME yamuğunun ikizkenar olduğu sonucu çıkar.

Görevi gözden geçir

Yamuk ACME'nin tabanları 9 cm ve 21 cm'dir, 8 cm'ye eşit olan KA yan tarafı, daha küçük tabanla 150 0'lik bir açı oluşturur. Yamuğun alanını bulmanız gerekiyor.

Çözüm: K köşesinden yüksekliği yamuğun daha büyük tabanına kadar indiriyoruz. Ve yamuğun açılarına bakmaya başlayalım.

AEM ve KAN açıları tek taraflıdır. Bu toplamda 180 0 verdikleri anlamına gelir. Dolayısıyla KAN = 30 0 (yamuk açıların özelliğine göre).

Şimdi dikdörtgen ∆ANC'yi ele alalım (bu noktanın okuyucular için ek kanıt olmaksızın açık olduğuna inanıyorum). Ondan yamuk KH'nin yüksekliğini bulacağız - bir üçgende 30 0 açısının karşısında yer alan bacaktır. Bu nedenle KH = ½AB = 4 cm'dir.

Yamuğun alanını şu formülü kullanarak buluyoruz: S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 cm2.

Sonsöz

Bu makaleyi dikkatlice ve düşünceli bir şekilde okuduysanız, elinizde bir kalemle verilen tüm özellikler için yamuk çizemeyecek kadar tembel değilseniz ve bunları pratikte analiz ettiyseniz, malzemeye iyi hakim olmuş olmalısınız.

Tabii ki, burada çeşitli ve hatta bazen kafa karıştırıcı pek çok bilgi var: tarif edilen yamuğun özelliklerini yazılı olanın özellikleriyle karıştırmak o kadar da zor değil. Ama farkın çok büyük olduğunu siz de gördünüz.

Artık her şeyin ayrıntılı bir özetine sahipsiniz genel özellikler yamuk. Ayrıca ikizkenar ve dikdörtgen yamukların spesifik özellikleri ve özellikleri. Testlere ve sınavlara hazırlanmak için kullanımı çok uygundur. Kendiniz deneyin ve bağlantıyı arkadaşlarınızla paylaşın!

web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.

Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

• Siteye bir talep gönderdiğinizde adınız, telefon numaranız, adresiniz dahil çeşitli bilgileri toplayabiliriz. e-posta vesaire.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

• Topladığımız kişisel bilgiler sizinle iletişime geçmemize ve sizi benzersiz teklifler, promosyonlar ve diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler.
• Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
• Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
• Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

• Gerekirse - yasaya, adli prosedüre uygun olarak, duruşma ve/veya kamunun taleplerine veya Rusya Federasyonu'ndaki devlet kurumlarının taleplerine dayanarak - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
• Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

Bu yazıda yamuğun özelliklerini mümkün olduğunca tam olarak yansıtmaya çalışacağız. Özellikle, bir yamuğun genel özellikleri ve özelliklerinin yanı sıra yazılı bir yamuk ve bir yamuğun içine yazılmış bir dairenin özellikleri hakkında konuşacağız. Ayrıca ikizkenar ve dikdörtgen yamuğun özelliklerine de değineceğiz.

Tartışılan özellikleri kullanarak bir sorunu çözme örneği, sorunu kafanızda çözmenize ve materyali daha iyi hatırlamanıza yardımcı olacaktır.

Trapez ve hepsi hepsi

Başlangıç ​​​​olarak, yamuğun ne olduğunu ve onunla başka hangi kavramların ilişkili olduğunu kısaca hatırlayalım.

Yani yamuk, iki tarafı birbirine paralel olan dörtgen bir şekildir (bunlar tabanlardır). Ve ikisi paralel değil; bunlar kenarlar.

Bir yamukta yükseklik, tabanlara dik olarak azaltılabilir. Merkez çizgisi ve köşegenler çizilir. Yamuğun herhangi bir açısından bir açıortay çizmek de mümkündür.

Şimdi tüm bu elementlerin çeşitli özelliklerinden ve bunların kombinasyonlarından bahsedeceğiz.

Yamuk köşegenlerin özellikleri

Daha açık hale getirmek için, okurken ACME yamuğunu bir parça kağıda çizin ve içine köşegenler çizin.

1. Köşegenlerin her birinin orta noktalarını bulursanız (bu noktalara X ve T diyelim) ve bunları birleştirirseniz bir doğru parçası elde edersiniz. Bir yamuğun köşegenlerinin özelliklerinden biri, HT segmentinin orta çizgide yer almasıdır. Ve uzunluğu, tabanların farkının ikiye bölünmesiyle elde edilebilir: ХТ = (a – b)/2.
2. Önümüzde aynı yamuk ACME var. Köşegenler O noktasında kesişir. Köşegen parçalarının yamuk tabanlarıyla birlikte oluşturduğu AOE ve MOK üçgenlerine bakalım. Bu üçgenler benzerdir. Üçgenlerin benzerlik katsayısı k yamuk tabanlarının oranı ile ifade edilir: k = AE/KM.
   AOE ve MOK üçgenlerinin alanlarının oranı k 2 katsayısı ile tanımlanır.
3. Aynı yamuk, O noktasında kesişen aynı köşegenler. Ancak bu sefer köşegenlerin parçalarının yamuğun kenarlarıyla birlikte oluşturduğu üçgenleri ele alacağız. AKO ve EMO üçgenlerinin alanları eşit büyüklüktedir - alanları aynıdır.
4. Yamuğun başka bir özelliği köşegenlerin yapımını içerir. Yani AK ve ME'nin kenarlarına daha küçük taban yönünde devam ederseniz, er ya da geç belli bir noktada kesişeceklerdir. Daha sonra yamuğun tabanlarının ortasından düz bir çizgi çizin. Tabanları X ve T noktalarında kesiyor.
   Şimdi XT çizgisini uzatırsak, o zaman yamuk O'nun köşegenlerinin kesişme noktasını, kenarların uzantılarının ve X ve T tabanlarının ortasının kesiştiği noktayı birbirine bağlayacaktır.
5. Köşegenlerin kesişme noktasından yamuğun tabanlarını birleştirecek bir parça çizeceğiz (T, daha küçük KM tabanında, X daha büyük AE'de yer alır). Köşegenlerin kesişme noktası bu parçayı aşağıdaki oranda böler: TO/OX = KM/AE.
6. Şimdi köşegenlerin kesişme noktasından yamuğun tabanlarına (a ve b) paralel bir parça çizeceğiz. Kesişme noktası onu iki eşit parçaya bölecektir. Formülü kullanarak segmentin uzunluğunu bulabilirsiniz. 2ab/(a + b).

Bir yamuğun orta çizgisinin özellikleri

Yamuktaki orta çizgiyi tabanlarına paralel olarak çizin.

1. Bir yamuğun orta çizgisinin uzunluğu, tabanların uzunlukları toplanıp ikiye bölünerek hesaplanabilir: m = (a + b)/2.
2. Yamuğun her iki tabanından herhangi bir parça (örneğin yükseklik) çizerseniz, orta çizgi onu iki eşit parçaya bölecektir.

Yamuk Açıortay Özelliği

Yamuğun herhangi bir açısını seçin ve bir açıortay çizin. Örneğin yamuk ACME'mizin KAE açısını ele alalım. İnşaatı kendiniz tamamladıktan sonra, açıortayın tabandan (veya şeklin dışındaki düz bir çizgideki devamından) kenarla aynı uzunlukta bir parçayı kestiğini kolayca doğrulayabilirsiniz.

Yamuk açıların özellikleri

1. Kenara bitişik iki açı çiftinden hangisini seçerseniz seçin, çiftteki açıların toplamı her zaman 180 0 olur: α + β = 180 0 ve γ + δ = 180 0.
2. Yamuğun tabanlarının orta noktalarını bir TX segmentine bağlayalım. Şimdi yamuğun tabanlarındaki açılara bakalım. Bunlardan herhangi biri için açıların toplamı 90 0 ise, TX segmentinin uzunluğu, tabanların uzunlukları arasındaki farkın ikiye bölünmesiyle kolayca hesaplanabilir: TX = (AE – KM)/2.
3. Bir yamuk açının kenarlarından paralel çizgiler çizilirse, açının kenarlarını orantılı parçalara bölerler.

İkizkenar (eşkenar) yamuğun özellikleri

1. İkizkenar yamukta herhangi bir tabandaki açılar eşittir.
2. Şimdi neden bahsettiğimizi hayal etmeyi kolaylaştırmak için tekrar bir yamuk yapın. AE tabanına dikkatlice bakın; karşıt M tabanının tepe noktası, AE'yi içeren çizgi üzerinde belirli bir noktaya yansıtılır. A tepe noktasından M tepe noktasının projeksiyon noktasına ve ikizkenar yamuğun orta çizgisine olan mesafe eşittir.
3. İkizkenar yamuğun köşegenlerinin özelliği hakkında birkaç söz - uzunlukları eşittir. Ayrıca bu köşegenlerin yamuğun tabanına olan eğim açıları da aynıdır.
4. Sadece bir ikizkenar yamuk etrafında bir daire tanımlanabilir, çünkü bir dörtgenin zıt açılarının toplamı 180 0'dır - bunun için bir ön koşul.
5. Bir ikizkenar yamuğun özelliği önceki paragraftan kaynaklanmaktadır - eğer yamuğun yakınında bir daire tanımlanabiliyorsa, bu ikizkenardır.
6. Bir ikizkenar yamuğun özelliklerinden, bir yamuğun yüksekliğinin özelliği gelir: eğer köşegenleri dik açılarla kesişiyorsa, yüksekliğin uzunluğu tabanların toplamının yarısına eşittir: h = (a + b)/2.
7. Yine, TX segmentini yamuğun tabanlarının orta noktalarından çizin - ikizkenar yamukta tabanlara diktir. Ve aynı zamanda TX, ikizkenar yamuğun simetri eksenidir.
8. Bu sefer yamuğun karşı köşesinden yüksekliği daha büyük tabana indirin (buna a diyelim). İki segment alacaksınız. Tabanların uzunlukları toplanıp ikiye bölünürse birinin uzunluğu bulunabilir: (a + b)/2. Büyük tabandan küçük olanı çıkarıp çıkan farkı ikiye böldüğümüzde ikinciyi elde ederiz: (a – b)/2.

Bir daire içine yazılmış bir yamuğun özellikleri

Zaten bir daire içine yazılmış bir yamuktan bahsettiğimiz için bu konuyu daha ayrıntılı olarak ele alalım. Özellikle dairenin merkezinin yamuğa göre olduğu yer. Burada da elinize bir kalem alıp aşağıda anlatılacakları çizmeniz tavsiye edilir. Bu sayede daha hızlı anlayacak ve daha iyi hatırlayacaksınız.

1. Dairenin merkezinin konumu, yamuğun köşegeninin kendi tarafına eğim açısı ile belirlenir. Örneğin, bir köşegen, bir yamuğun tepesinden yana doğru dik bir açıyla uzanabilir. Bu durumda, daha büyük olan taban çevrel çemberin merkezini tam olarak ortada keser (R = ½AE).
2. Çapraz ve yan da dar bir açıda buluşabilir - bu durumda dairenin merkezi yamuğun içinde olur.
3. Yamuk köşegeni ile yan taraf arasında geniş bir açı varsa, çevrelenen dairenin merkezi yamuğun dışında, daha büyük tabanının ötesinde olabilir.
4. Köşegen ve yamuk ACME'nin geniş tabanının oluşturduğu açı (yazılı açı), ona karşılık gelen merkezi açının yarısıdır: MAE = ½MOE.
5. Kısaca çevrelenmiş bir dairenin yarıçapını bulmanın iki yolu hakkında. Birinci yöntem: Çiziminize dikkatlice bakın - ne görüyorsunuz? Köşegenin yamuğu iki üçgene böldüğünü kolayca fark edebilirsiniz. Yarıçap, üçgenin kenarının karşı açının sinüsüne oranının ikiyle çarpılmasıyla bulunabilir. Örneğin, R = AE/2*sinAME. Formül her iki üçgenin herhangi bir tarafı için benzer şekilde yazılabilir.
6. İkinci yöntem: yamuğun köşegeni, kenarı ve tabanı tarafından oluşturulan üçgenin alanı boyunca çevrelenmiş dairenin yarıçapını bulun: R = AM*ME*AE/4*S AME.

Bir daire etrafında çevrelenmiş bir yamuğun özellikleri

Bir koşulun karşılanması durumunda bir daireyi yamuğun içine yerleştirebilirsiniz. Aşağıda bununla ilgili daha fazlasını okuyun. Ve bu figür kombinasyonunun bir takım ilginç özellikleri var.

1. Bir yamuk içine bir daire yazılmışsa, orta çizgisinin uzunluğu, kenarların uzunlukları toplanıp elde edilen toplamı ikiye bölerek kolayca bulunabilir: m = (c + d)/2.
2. Bir daire hakkında tanımlanan yamuk ACME için tabanların uzunluklarının toplamı, kenarların uzunluklarının toplamına eşittir: AK + ME = KM + AE.
3. Bir yamuğun tabanlarının bu özelliğinden, ters ifade şu şekildedir: Tabanlarının toplamı kenarlarının toplamına eşit olan bir yamuğun içine bir daire yazılabilir.
4. Yarıçapı r olan bir yamuk içine yazılmış bir dairenin teğet noktası, kenarı iki parçaya böler, bunlara a ve b diyelim. Bir dairenin yarıçapı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir: r = √ab.
5. Ve bir mülk daha. Karışıklığı önlemek için bu örneği kendiniz de çizin. Bir daire etrafında tanımlanan eski güzel yamuk ACME'ye sahibiz. O noktasında kesişen köşegenler içerir. Köşegenlerin parçaları ve yan kenarlarının oluşturduğu AOK ve EOM üçgenleri dikdörtgendir.
   Bu üçgenlerin hipotenüslere (yani yamuğun yan kenarlarına) indirilen yükseklikleri, yazılı dairenin yarıçaplarıyla çakışır. Ve yamuğun yüksekliği yazılı dairenin çapına denk gelir.

Dikdörtgen bir yamuğun özellikleri

Bir yamuk, açılarından biri dik ise dikdörtgen olarak adlandırılır. Ve özellikleri de bu durumdan kaynaklanmaktadır.

1. Dikdörtgen bir yamuğun bir kenarı tabanına diktir.
2. Dik açıya bitişik bir yamuğun yüksekliği ve kenarı eşittir. Bu, dikdörtgen bir yamuğun alanını hesaplamanıza olanak tanır (genel formül S = (a + b) * h/2) yalnızca yükseklikten değil, aynı zamanda dik açıya bitişik taraftan da.
3. Dikdörtgen bir yamuk için, yukarıda açıklanan bir yamuğun köşegenlerinin genel özellikleri konuyla ilgilidir.

Yamuğun bazı özelliklerinin kanıtı

İkizkenar yamuğun tabanındaki açıların eşitliği:

• Muhtemelen burada AKME yamukuna tekrar ihtiyacımız olacağını tahmin etmişsinizdir - ikizkenar yamuk çizin. M köşesinden AK'nin (MT || AK) kenarına paralel bir düz MT çizgisi çizin.

Ortaya çıkan dörtgen AKMT bir paralelkenardır (AK || MT, KM || AT). ME = KA = MT olduğundan, ∆ MTE ikizkenardır ve MET = MTE'dir.

AK || MT, dolayısıyla MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME nerede olur.

Q.E.D.

Şimdi, ikizkenar yamuğun (köşegenlerin eşitliği) özelliğine dayanarak şunu kanıtlıyoruz: yamuk ACME ikizkenardır:

• Başlangıç ​​olarak MX – MX || düz bir çizgi çizelim. KE. Bir paralelkenar KMHE elde ederiz (taban – MX || KE ve KM || EX).

AM = KE = MX ve MAX = MEA olduğundan ∆AMX ikizkenardır.

MH || KE, KEA = MXE, dolayısıyla MAE = MXE.

AM = KE ve AE iki üçgenin ortak kenarı olduğundan AKE ve EMA üçgenlerinin birbirine eşit olduğu ortaya çıkıyor. Ve ayrıca MAE = MXE. AK = ME olduğu sonucuna varabiliriz ve bundan AKME yamuğunun ikizkenar olduğu sonucu çıkar.

Görevi gözden geçir

Yamuk ACME'nin tabanları 9 cm ve 21 cm'dir, 8 cm'ye eşit olan KA yan tarafı, daha küçük tabanla 150 0'lik bir açı oluşturur. Yamuğun alanını bulmanız gerekiyor.

Çözüm: K köşesinden yüksekliği yamuğun daha büyük tabanına kadar indiriyoruz. Ve yamuğun açılarına bakmaya başlayalım.

AEM ve KAN açıları tek taraflıdır. Bu toplamda 180 0 verdikleri anlamına gelir. Dolayısıyla KAN = 30 0 (yamuk açıların özelliğine göre).

Şimdi dikdörtgen ∆ANC'yi ele alalım (bu noktanın okuyucular için ek kanıt olmaksızın açık olduğuna inanıyorum). Ondan yamuk KH'nin yüksekliğini bulacağız - bir üçgende 30 0 açısının karşısında yer alan bacaktır. Bu nedenle KH = ½AB = 4 cm'dir.

Yamuğun alanını şu formülü kullanarak buluyoruz: S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 cm2.

Sonsöz

Bu makaleyi dikkatlice ve düşünceli bir şekilde okuduysanız, elinizde bir kalemle verilen tüm özellikler için yamuk çizemeyecek kadar tembel değilseniz ve bunları pratikte analiz ettiyseniz, malzemeye iyi hakim olmuş olmalısınız.

Tabii ki, burada çeşitli ve hatta bazen kafa karıştırıcı pek çok bilgi var: tarif edilen yamuğun özelliklerini yazılı olanın özellikleriyle karıştırmak o kadar da zor değil. Ama farkın çok büyük olduğunu siz de gördünüz.

Artık bir yamuğun tüm genel özelliklerinin ayrıntılı bir taslağına sahipsiniz. Ayrıca ikizkenar ve dikdörtgen yamukların spesifik özellikleri ve özellikleri. Testlere ve sınavlara hazırlanmak için kullanımı çok uygundur. Kendiniz deneyin ve bağlantıyı arkadaşlarınızla paylaşın!

blog.site, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken, orijinal kaynağa bir bağlantı gereklidir.