Bu hesap makinesi "Yamuk Alanı" konulu 2192 problemi hesapladı

TRAPEZOİD ALANI

Size verilen sorunu çözmek için kullanmayı planladığınız yamuğun alanını hesaplamak için formülü seçin:

Bir yamuğun alanını hesaplamak için genel teori.

Yamuk - Bu, üçü aynı doğru üzerinde olmayan dört noktadan ve bu dört noktayı çiftler halinde birbirine bağlayan, karşılıklı iki kenarı paralel (paralel doğrular üzerinde uzanan) ve dört parçadan (kenarlardan) oluşan düz bir şekildir. diğer ikisi paralel değil.

Noktalara denir bir yamuğun köşeleri ve büyük Latin harfleriyle belirtilmiştir.

Segmentler denir yamuk kenarlar ve bir çift büyük harfle gösterilir Latin harfleri segmentlerin bağlandığı köşelere karşılık gelir.

Yamuğun iki paralel kenarına denir yamuk tabanlar .

Yamuğun paralel olmayan iki kenarına denir yamuğun kenarları .

Şekil No. 1: Yamuk ABCD

Şekil 1 ABCD yamuğunu göstermektedir. A, B köşeleri,C,D ve AB, BC, CD, DA kenarları.

AB ρ DC - ABCD yamuğunun tabanları.

AD, BC - ABCD yamuğunun yan tarafları.

AB ve AD ışınlarının oluşturduğu açıya A köşesindeki açı denir. ÐA veya ÐBAD veya ÐDAB olarak gösterilir.

BA ve BC ışınlarının oluşturduğu açıya B köşesindeki açı denir. -B veya -ABC veya -CBA olarak gösterilir.

CB ve CD ışınlarının oluşturduğu açıya köşe açısı C denir. -C veya -DCB veya -BCD olarak gösterilir.

AD ve CD ışınlarının oluşturduğu açıya tepe açısı D denir. ÐD veya ÐADC veya ÐCDA olarak gösterilir.

Şekil No. 2: Yamuk ABCD

Şekil 2'de yan kenarların orta noktalarını birleştiren MN segmentine denir yamuğun orta çizgisi.

Yamuğun orta çizgisi tabanlara paralel ve yarı toplamlarına eşittir. Yani, .

Şekil No. 3: İkizkenar yamuk ABCD

Şekil 3'te AD=BC.

Yamuk denir ikizkenar (ikizkenar) eğer kenarları eşitse.

Şekil No. 4: Dikdörtgen yamuk ABCD

Şekil 4'te D açısı düzdür (90°'ye eşit).

Yamuk denir dikdörtgen, yandaki açı düz ise.

Alan S düz Yamuğun da dahil olduğu şekillere düzlemde sınırlı kapalı alan adı verilir. Kare düz şekil bu rakamın boyutunu gösteriyor.

Bölgenin birkaç özelliği var:

1. Negatif olamaz.

2. Düzlemde birbiriyle kesişmeyen birkaç rakamdan oluşan belirli bir kapalı alan verilirse (yani şekillerin ortak iç noktaları yoktur, ancak birbirlerine iyi dokunabilirler), o zaman alan böyle bir alanın alanı onu oluşturan rakamların alanlarının toplamına eşittir.

3. İki rakam eşitse alanları da eşittir.

4. Birim parça üzerine kurulu karenin alanı bire eşittir.

Arka birim ölçümler alan kenarı eşit olan bir karenin alanını alın birim ölçümler segmentler.

Sorunları çözerken, yamuğun alanını hesaplamak için aşağıdaki formüller sıklıkla kullanılır:

1. Bir yamuğun alanı, tabanlarının toplamının yarısı ile yüksekliğinin çarpımına eşittir:

2. Bir yamuğun alanı, orta çizgisinin ve yüksekliğinin çarpımına eşittir:

3. Yamuk tabanlarının ve kenarlarının bilinen uzunlukları ile alanı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:

4. Aşağıdaki formülü kullanarak, yamuğun içine yazılan dairenin yarıçapının bilinen bir uzunluğu ve tabandaki açının bilinen bir değeri ile bir ikizkenar yamuğun alanını hesaplamak mümkündür:

Örnek 1: Tabanları a=7, b=3 ve yüksekliği h=15 olan yamuğun alanını hesaplayın.

Çözüm:

Cevap:

Örnek 2: Alanı S = 35 cm2, yüksekliği h = 7 cm ve ikinci tabanı b = 2 cm olan bir yamuğun tabanının kenarını bulun.

Çözüm:

Yamuğun tabanının kenarını bulmak için alan hesaplama formülünü kullanırız:

Bu formülden yamuk tabanının kenarını ifade edelim:

Böylece aşağıdakilere sahibiz:

Cevap:

Örnek 3: Alanı S = 17 cm2 ve tabanları a = 30 cm, b = 4 cm olan yamuğun yüksekliğini bulun.

Çözüm:

Bir yamuğun yüksekliğini bulmak için alan hesaplama formülünü kullanırız:

Böylece aşağıdakilere sahibiz:

Cevap:

Örnek 4: Yüksekliği h=24 ve merkez çizgisi m=5 olan bir yamuğun alanını hesaplayın.

Çözüm:

Bir yamuğun alanını bulmak için alanı hesaplamak için aşağıdaki formülü kullanırız:

Böylece aşağıdakilere sahibiz:

Cevap:

Örnek 5: Alanı S = 48 cm2 ve merkez çizgisi m = 6 cm olan bir yamuğun yüksekliğini bulun.

Çözüm:

Bir yamuğun yüksekliğini bulmak için yamuğun alanını hesaplamak için formülü kullanırız:

Yamuğun yüksekliğini şu formülden ifade edelim:

Böylece aşağıdakilere sahibiz:

Cevap:

Örnek 6: Alanı S = 56 ve yüksekliği h=4 olan bir yamuğun orta çizgisini bulun.

Çözüm:

Bir yamuğun orta çizgisini bulmak için yamuğun alanını hesaplamak için formülü kullanırız:

Yamuğun orta çizgisini şu formülle ifade edelim:

Böylece aşağıdakilere sahibiz.

Yamuk, iki karşıt tarafın birbirine paralel olduğu, ancak diğer ikisinin paralel olmadığı özel bir dörtgen türüdür. Çeşitli gerçek nesnelerin yamuk şekli vardır, bu nedenle günlük veya okul problemlerini çözmek için böyle bir geometrik şeklin çevresini hesaplamanız gerekebilir.

Yamuk geometrisi

Bir yamuk (Yunanca "yamuk" - tablodan), ikisi paralel ve ikisi olmayan dört bölümle sınırlanan bir düzlemdeki şekildir. Paralel bölümlere yamuğun tabanları, paralel olmayan bölümlere ise şeklin kenarları denir. Kenarlar ve eğim açıları, eşkenar dörtgen, ikizkenar veya dikdörtgen olabilen yamuk tipini belirler. Tabanlara ve yanlara ek olarak yamuğun iki elemanı daha vardır:

• yükseklik - şeklin paralel tabanları arasındaki mesafe;
• orta çizgi - kenarların orta noktalarını birleştiren bir bölüm.

Bu geometrik şekil gerçek hayatta yaygındır.

Gerçekte yamuk

İÇİNDE Gündelik Yaşam Birçok gerçek nesne yamuk şeklini alır. Trapezoidleri aşağıdaki insan faaliyeti alanlarında kolayca bulabilirsiniz:

• iç tasarım ve dekor - kanepeler, masa tablaları, duvarlar, halılar, asma tavanlar;
• peyzaj tasarımı - çimlerin ve yapay rezervuarların sınırları, dekoratif elemanların biçimleri;
• moda - giyim, ayakkabı ve aksesuar biçimi;
• mimari - pencereler, duvarlar, bina temelleri;
• üretim - çeşitli ürünler ve parçalar.

Yamukların bu kadar yaygın kullanımıyla, uzmanlar genellikle geometrik bir şeklin çevresini hesaplamak zorunda kalıyor.

Yamuk çevre

Bir şeklin çevresi, n-gon'un tüm kenarlarının uzunluklarının toplamı olarak hesaplanan sayısal bir özelliktir. Yamuk bir dörtgendir ve Genel dava tüm kenarları farklı uzunluklara sahiptir, bu nedenle çevre aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

P = a + b + c + d,

a ve c şeklin tabanları, b ve d ise kenarlarıdır.

Bir yamuğun çevresini hesaplarken yüksekliği bilmemize gerek olmasa da hesap makinesi kodu bu değişkenin girilmesini gerektirir. Yüksekliğin hesaplamalar üzerinde hiçbir etkisi olmadığından çevrimiçi hesap makinemizi kullanırken sıfırdan büyük herhangi bir yükseklik değeri girebilirsiniz. Birkaç örneğe bakalım.

Gerçek hayattan örnekler

Mendil

Diyelim ki yamuk şeklinde bir atkınız var ve onu püskül ile süslemek istiyorsunuz. Fazladan malzeme satın almamak veya mağazaya iki kez gitmemek için atkı çevresini bilmeniz gerekecektir. İkizkenar eşarbınızın şu parametrelere sahip olmasına izin verin: a = 120 cm, b = 60 cm, c = 100 cm, d = 60 cm Bu verileri çevrimiçi forma giriyoruz ve forma cevap alıyoruz:

Böylece atkı çevresi 340 cm olur ve bu da onu bitirecek saçak örgünün uzunluğu kadardır.

Eğimler

Örneğin standart dışı eğimler yapmaya karar verdiniz metal-plastik pencereler trapez şeklindedir. Bu tür pencereler bina tasarımında yaygın olarak kullanılmaktadır ve birkaç kanattan oluşan bir kompozisyon oluşturmaktadır. Çoğu zaman, bu tür pencereler formda yapılır. dikdörtgen yamuk. Böyle bir pencerenin eğimlerini yapmak için ne kadar malzemeye ihtiyaç duyulduğunu öğrenelim. Standart bir pencere şu parametrelere sahiptir: a = 140 cm, b = 20 cm, c = 180 cm, d = 50 cm. Bu verileri kullanırız ve sonucu formda alırız.

Dolayısıyla trapez pencerenin çevresi 390 cm'dir ve bu kadar satın almanız gerekecektir. plastik paneller yamaçların oluşumu için.

Çözüm

Yamuk, günlük yaşamda popüler bir figürdür ve en beklenmedik durumlarda kimin parametrelerine ihtiyaç duyulabileceğinin belirlenmesi. Trapez çevrelerin hesaplanması, mühendislerden mimarlara, tasarımcılardan tamircilere kadar birçok profesyonel için gereklidir. Çevrimiçi hesap makineleri kataloğumuz her türlü hesaplamayı yapmanıza olanak tanır. geometrik şekiller ve tel.

Bir yamuğun alanı. Selamlar! Bu yayında bu formüle bakacağız. Neden tam olarak böyle ve onu nasıl anlayacağız? Anlayış varsa öğretmene gerek yok. Sadece bu formüle ve acilen bakmak istiyorsanız hemen sayfayı aşağı kaydırabilirsiniz))

Şimdi ayrıntılı ve sırayla.

Yamuk bir dörtgendir, bu dörtgenin iki tarafı paraleldir, diğer ikisi değildir. Paralel olmayanlar yamuğun tabanlarıdır. Diğer ikisine taraf denir.

Kenarlar eşitse yamuğa ikizkenar denir. Kenarlardan biri tabanlara dik ise, böyle bir yamuğa dikdörtgen denir.

İÇİNDE klasik biçim Bir yamuk şu şekilde tasvir edilmiştir: daha büyük taban altta, daha küçük taban ise üsttedir. Ancak kimse onu tasvir etmeyi yasaklamaz ve bunun tersi de geçerlidir. İşte taslaklar:

Sonraki önemli kavram.

Yamuğun orta çizgisi, kenarların orta noktalarını birleştiren bir segmenttir. Orta çizgi yamuğun tabanlarına paraleldir ve yarı toplamlarına eşittir.

Şimdi daha derinlere inelim. Bu neden böyle?

Tabanları olan bir yamuk düşünün a ve B ve orta çizgiyle ben ve bazı ek yapılar gerçekleştirelim: tabanlar boyunca düz çizgiler çizin ve tabanlarla kesişene kadar orta çizginin uçlarından dik çizgiler çizin:

*Köşe noktaları ve diğer noktalar için harf gösterimleri, gereksiz tanımlamalardan kaçınmak amacıyla kasıtlı olarak dahil edilmemiştir.

Bakın üçgenlerin ikinci eşitlik işaretine göre 1 ve 2 numaralı üçgenler eşit, 3 ve 4 numaralı üçgenler aynı. Üçgenlerin eşitliğinden, elemanların, yani bacakların eşitliği gelir (sırasıyla mavi ve kırmızı ile gösterilir).

Şimdi dikkat! Alt tabandaki mavi ve kırmızı bölümleri zihinsel olarak "kesersek", orta çizgiye eşit bir bölüm (bu dikdörtgenin kenarı) kalır. Daha sonra, kesilmiş mavi ve kırmızı bölümleri yamuğun üst tabanına "yapıştırırsak", o zaman yamuğun orta çizgisine eşit bir bölüm (bu aynı zamanda dikdörtgenin yanıdır) elde ederiz.

Anladım? Tabanların toplamının yamuğun iki orta çizgisine eşit olacağı ortaya çıktı:

Başka bir açıklamayı görüntüle

Aşağıdakileri yapalım - yamuğun alt tabanından geçen düz bir çizgi ve A ve B noktalarından geçecek düz bir çizgi çizelim:

1 ve 2 numaralı üçgenleri alıyoruz, bunlar yan ve bitişik açılar boyunca eşittir (üçgenlerin eşitliğinin ikinci işareti). Bu, ortaya çıkan bölümün (çizimde mavi renkle gösterilmiştir) yamuğun üst tabanına eşit olduğu anlamına gelir.

Şimdi üçgeni düşünün:

*Bu yamuğun orta çizgisi ile üçgenin orta çizgisi çakışmaktadır.

Bir üçgenin kendisine paralel tabanın yarısına eşit olduğu bilinmektedir, yani:

Tamam, çözdük. Şimdi yamuğun alanı hakkında.

Yamuk alan formülü:

Diyorlar ki: bir yamuğun alanı, tabanlarının ve yüksekliğinin toplamının yarısına eşittir.

Yani, merkez çizgisi ile yüksekliğin çarpımına eşit olduğu ortaya çıkıyor:

Muhtemelen bunun çok açık olduğunu fark etmişsinizdir. Geometrik olarak bu şu şekilde ifade edilebilir: 2 ve 4 numaralı üçgenleri zihinsel olarak yamuktan kesip sırasıyla 1 ve 3 numaralı üçgenlerin üzerine yerleştirirsek:

Sonra yamuğumuzun alanına eşit bir alana sahip bir dikdörtgen elde edeceğiz. Bu dikdörtgenin alanı merkez çizgisi ile yüksekliğin çarpımına eşit olacaktır, yani şunu yazabiliriz:

Ama burada önemli olan elbette yazmak değil, anlamaktır.

Makale materyalini *pdf formatında indirin (görüntüleyin)

Bu kadar. Sana iyi şanslar!

Saygılarımla İskender.

Talimatlar

Her iki yöntemi de daha anlaşılır kılmak için birkaç örnek verebiliriz.

Örnek 1: Yamuğun orta çizgisinin uzunluğu 10 cm, alanı 100 cm²'dir. Bu yamuğun yüksekliğini bulmak için yapmanız gerekenler:

h = 100/10 = 10 cm

Cevap: Bu yamuğun yüksekliği 10 cm'dir.

Örnek 2: Yamuğun alanı 100 cm², taban uzunlukları 8 cm ve 12 cm'dir. Bu yamuğun yüksekliğini bulmak için aşağıdaki işlemi yapmanız gerekir:

h = (2*100)/(8+12) = 200/20 = 10 cm

Cevap: Bu yamuğun yüksekliği 20 cm'dir.

Not

Birkaç tür yamuk vardır:
İkizkenar yamuk, kenarların birbirine eşit olduğu bir yamuktur.
Dikdörtgen bir yamuk, aşağıdakilerden birinin olduğu bir yamuktur iç köşeler 90 dereceye eşittir.
Dikdörtgen bir yamukta yüksekliğin kenarın uzunluğu ile çakıştığını belirtmekte fayda var. dik açı.
Bir yamuğun etrafındaki bir daireyi tanımlayabilir veya onu belirli bir şeklin içine sığdırabilirsiniz. Bir daireyi ancak tabanlarının toplamı karşıt kenarlarının toplamına eşitse çizebilirsiniz. Bir daire yalnızca ikizkenar yamuk etrafında tanımlanabilir.

Yararlı tavsiye

Paralelkenar yamuğun özel bir durumudur, çünkü yamuğun tanımı paralelkenarın tanımıyla çelişmez. Paralelkenar, karşılıklı kenarları birbirine paralel olan bir dörtgendir. Bir yamuk için tanım yalnızca bir çift tarafıyla ilgilidir. Bu nedenle herhangi bir paralelkenar aynı zamanda bir yamuktur. Tersi ifade doğru değildir.

Kaynaklar:

• yamuk formülünün alanı nasıl bulunur

İpucu 2: Alanı biliniyorsa yamuğun yüksekliği nasıl bulunur?

Yamuk, dört kenarından ikisinin birbirine paralel olduğu bir dörtgendir. Paralel kenarlar verilenin tabanları, diğer ikisi ise yan kenarlarıdır. yamuklar. Bulmak yükseklik yamuklar biliniyorsa kare, çok kolay olacak.

Talimatlar

Nasıl hesaplanacağını bulmanız gerekiyor kare orijinal yamuklar. Başlangıç ​​verilerine bağlı olarak bunun için çeşitli formüller vardır: S = ((a+b)*h)/2, burada a ve b bazlardır yamuklar ve h yüksekliğidir (Yükseklik yamuklar- dikey, bir tabandan indirilmiş yamuklar başka bir);
S = m*h, burada m çizgidir yamuklar(Orta çizgi bazları olan bir segmenttir yamuklar ve kenarlarının orta noktalarını birleştirmek).

Daha açık hale getirmek için benzer problemler ele alınabilir: Örnek 1: Verilen bir yamuk kare Orta çizgisi 8 cm olan 68 cm²'yi bulmanız gerekiyor yükseklik verildi yamuklar. Bu sorunu çözmek için önceden türetilmiş formülü kullanmanız gerekir:
h = 68/8 = 8,5 cm Cevap: Bunun yüksekliği yamuklar 8,5 cm Örnek 2: y olsun yamuklar kare 120 cm²'ye eşittir, bunun tabanlarının uzunluğu yamuklar Sırasıyla 8 cm ve 12 cm bulmanız gerekir yükseklik Bu yamuklar. Bunu yapmak için türetilmiş formüllerden birini uygulamanız gerekir:
h = (2*120)/(8+12) = 240/20 = 12 cmCevap: verilen yükseklik yamuklar 12 cm'ye eşit

Konuyla ilgili video

Not

Herhangi bir yamuğun bir takım özellikleri vardır:

Bir yamuğun orta çizgisi, tabanlarının toplamının yarısına eşittir;

Bir yamuğun köşegenlerini birleştiren parça, tabanlarının farkının yarısına eşittir;

Tabanların orta noktalarından düz bir çizgi çizilirse, yamuğun köşegenlerinin kesişme noktasıyla kesişecektir;

Yamuğun tabanlarının toplamı kenarlarının toplamına eşitse, yamuğun içine bir daire yazılabilir.

Sorunları çözerken bu özellikleri kullanın.

İpucu 3: Tabanlar biliniyorsa yamuğun alanı nasıl bulunur?

İle geometrik çözünürlüklü Yamuk, yalnızca bir çift kenarı paralel olan bir dörtgendir. Bu taraflar onun sebepler. Arasındaki mesafe sebepler yükseklik denir yamuklar. Bulmak kare yamuklar kullanarak mümkün geometrik formüller.

Talimatlar

Bazları ölçün ve yamuklar ABCD. Genellikle görevlerde verilirler. Bırak girsin bu örnekte görevler temeli AD (a) yamuklar 10 cm'ye eşit olacak, BC tabanı (b) - 6 cm, yükseklik yamuklar BK (h) - 8 cm Alanı bulmak için geometrik kullanın. yamuklar, taban uzunlukları ve yükseklikleri biliniyorsa - S= 1/2 (a+b)*h, burada: - a - AD tabanının boyutu yamuklar ABCD, - b - BC tabanının değeri, - h - BK yüksekliğinin değeri.

Geçen yılki Birleşik Devlet Sınavı ve Devlet Sınavı uygulaması, geometri problemlerinin birçok okul çocuğu için zorluklara neden olduğunu gösteriyor. Gerekli tüm formülleri ezberlerseniz ve problem çözme pratiği yaparsanız onlarla kolayca başa çıkabilirsiniz.

Bu yazıda yamuğun alanını bulmak için formüllerin yanı sıra çözümlü problem örneklerini göreceksiniz. Aynılarına KIM'lerde sertifika sınavlarında veya olimpiyatlarda da rastlayabilirsiniz. Bu nedenle onlara dikkatli davranın.

Yamuk hakkında bilmeniz gerekenler?

Başlangıç ​​olarak şunu hatırlayalım. yamuk tabanlar olarak da adlandırılan karşılıklı iki kenarın paralel olduğu ve diğer ikisinin paralel olmadığı bir dörtgen denir.

Bir yamukta yükseklik (tabana dik) da azaltılabilir. Orta çizgi çizilir - bu, tabanlara paralel ve toplamlarının yarısına eşit olan düz bir çizgidir. Kesişebilen, dar ve geniş açılar oluşturabilen köşegenlerin yanı sıra. Veya bazı durumlarda dik açıyla. Ayrıca yamuk ikizkenar ise içine bir daire yazılabilir. Ve onun etrafında bir daire çizin.

Yamuk alan formülleri

İlk önce yamuğun alanını bulmak için standart formüllere bakalım. Aşağıda ikizkenar ve eğrisel yamukların alanını hesaplamanın yollarını ele alacağız.

Yani, a ve b tabanlarına sahip, h yüksekliğinin daha büyük tabana indirildiği bir yamuğunuz olduğunu hayal edin. Bu durumda bir şeklin alanını hesaplamak armut bombardımanı kadar kolaydır. Taban uzunluklarının toplamını ikiye bölmeniz ve sonucu yükseklikle çarpmanız yeterlidir: S = 1/2(a + b)*h.

Başka bir durumu ele alalım: yamukta yüksekliğe ek olarak bir orta çizgi m olduğunu varsayalım. Orta çizginin uzunluğunu bulma formülünü biliyoruz: m = 1/2(a + b). Bu nedenle, yamuk alanı formülünü aşağıdaki forma haklı olarak basitleştirebiliriz: S = m* sa. Başka bir deyişle, bir yamuğun alanını bulmak için orta çizgiyi yükseklikle çarpmanız gerekir.

Başka bir seçeneği düşünelim: yamuk, α dik açılarında kesişmeyen d 1 ve d 2 köşegenlerini içerir. Böyle bir yamuğun alanını hesaplamak için köşegenlerin çarpımını ikiye bölmeniz ve sonucu aralarındaki açının günahıyla çarpmanız gerekir: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.

Şimdi, tüm kenarlarının uzunlukları dışında hiçbir şey bilinmiyorsa, yamuğun alanını bulma formülünü düşünün: a, b, c ve d. Bu hantal ve karmaşık formül ancak aşağıdaki durumlarda hatırlamanız faydalı olacaktır: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.

Bu arada, yukarıdaki örnekler dikdörtgen bir yamuğun alanı için formüle ihtiyaç duyduğunuz durumlar için de geçerlidir. Bu, tarafı tabanlara dik açıyla bitişik olan bir yamuktur.

İkizkenar yamuk

Kenarları eşit olan yamuğa ikizkenar denir. İkizkenar yamuk alanı formülü için çeşitli seçenekleri ele alacağız.

İlk seçenek: r yarıçaplı bir dairenin ikizkenar yamuk içine yazıldığı ve yan ve daha büyük taban şeklinin oluştuğu durum için keskin köşeα. Tabanlarının uzunluklarının toplamının, kenarlarının uzunluklarının toplamına eşit olması koşuluyla, yamuk içine bir daire yazılabilir.

İkizkenar yamuğun alanı şu şekilde hesaplanır: yazılı dairenin yarıçapının karesini dört ile çarpın ve hepsini sinα'ya bölün: S = 4r 2 /sinα. Başka bir alan formülü, büyük taban ile kenar arasındaki açının 30 0 olduğu seçeneğin özel bir durumudur: S = 8r2.

İkinci seçenek: bu sefer alacağız ikizkenar yamuk burada ek olarak d 1 ve d 2 köşegenleri ve h yüksekliği çizilir. Bir yamuğun köşegenleri birbirine dik ise yükseklik tabanların toplamının yarısı kadardır: h = 1/2(a + b). Bunu bilerek, zaten aşina olduğunuz yamuk alanı formülünü bu forma dönüştürmek kolaydır: S = h2.

Kavisli bir yamuğun alanı için formül

Kavisli bir yamuğun ne olduğunu bularak başlayalım. Bir koordinat ekseni ve x eksenindeki belirli bir parça içinde işaretini değiştirmeyen sürekli ve negatif olmayan bir f fonksiyonunun grafiğini hayal edin. Eğrisel bir yamuk, y = f(x) fonksiyonunun grafiğiyle oluşturulur - üstte, x ekseni altta (bölüm) ve yanlarda - a ve b noktaları arasında çizilen düz çizgiler ve grafiği işlev.

Böyle standart dışı bir şeklin alanını yukarıdaki yöntemleri kullanarak hesaplamak imkansızdır. Burada matematiksel analiz uygulamanız ve integrali kullanmanız gerekir. Yani: Newton-Leibniz formülü - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). Bu formülde F, fonksiyonumuzun seçilen parça üzerindeki ters türevidir. Ve eğrisel bir yamuğun alanı, belirli bir segmentteki antiderivatifin artışına karşılık gelir.

Örnek problemler

Tüm bu formüllerin kafanızda anlaşılmasını kolaylaştırmak için, yamuğun alanını bulmaya yönelik bazı problem örnekleri aşağıda verilmiştir. Sorunları önce kendiniz çözmeye çalışmanız ve ancak daha sonra aldığınız cevabı hazır çözümle karşılaştırmanız en iyisi olacaktır.

Görev 1: Bir yamuk verildi. Büyük tabanı 11 cm, küçük tabanı ise 4 cm'dir. Yamuk, biri 12 cm, ikincisi 9 cm uzunluğunda köşegenlere sahiptir.

Çözüm: Bir yamuk AMRS oluşturun. P tepe noktasından geçen, MC köşegenine paralel olacak ve AC düz çizgisiyle X noktasında kesişecek şekilde bir РХ düz çizgisi çizin. Bir APХ üçgeni elde edeceksiniz.

Bu manipülasyonlar sonucunda elde edilen iki şekli ele alacağız: APX üçgeni ve CMRX paralelkenarı.

Paralelkenar sayesinde PX = MC = 12 cm ve CX = MR = 4 cm olduğunu öğreniyoruz. ARX ​​üçgeninin AX kenarını buradan hesaplayabiliriz: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.

Ayrıca APX üçgeninin dik açılı olduğunu da kanıtlayabiliriz (bunu yapmak için Pisagor teoremini uygulayın - AX 2 = AP 2 + PX 2). Ve alanını hesaplayın: S APX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9 * 12) = 54 cm2.

Daha sonra AMP ve PCX üçgenlerinin alanlarının eşit olduğunu kanıtlamanız gerekecek. Temel, MR ve CX taraflarının eşitliği olacaktır (zaten yukarıda kanıtlanmıştır). Ayrıca bu kenarlarda indirdiğiniz yükseklikler de AMRS yamuk yüksekliğine eşittir.

Bütün bunlar S AMPC = S APX = 54 cm2 demenizi sağlayacaktır.

Görev #2: Yamuk KRMS verilmiştir. Yan taraflarında O ve E noktaları bulunurken, OE ve KS paraleldir. ORME ve OKSE yamuklarının alanlarının 1:5 oranında olduğu da bilinmektedir. RM = a ve KS = b. OE'yi bulmanız gerekiyor.

Çözüm: M noktasından geçen RK'ya paralel bir çizgi çizin ve OE ile kesiştiği noktayı T olarak belirleyin. A, RK'ye paralel E noktasından çizilen çizginin KS tabanıyla kesişme noktasıdır.

Bir gösterim daha verelim - OE = x. Ve ayrıca TME üçgeni için h 1 yüksekliği ve AEC üçgeni için h 2 yüksekliği (bu üçgenlerin benzerliğini bağımsız olarak kanıtlayabilirsiniz).

b > a olduğunu varsayacağız. ORME ve OKSE yamuklarının alanları 1:5 oranındadır, bu da bize aşağıdaki denklemi oluşturma hakkını verir: (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2. Haydi dönüştürelim ve şunu elde edelim: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).

TME ve AEC üçgenleri benzer olduğundan h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x) elde ederiz. Her iki girişi de birleştirip şunu elde edelim: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.

Böylece OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.

Çözüm

Geometri bilimlerin en kolayı değildir ancak sınav sorularını kesinlikle çözebilirsiniz. Hazırlık aşamasında biraz azim göstermeniz yeterlidir. Ve elbette gerekli tüm formülleri unutmayın.

Yamuğun alanını hesaplamak için tüm formülleri tek bir yerde toplamaya çalıştık, böylece sınavlara hazırlanırken ve materyali gözden geçirirken kullanabilirsiniz.

Sınıf arkadaşlarınıza ve arkadaşlarınıza bu makaleden bahsetmeyi unutmayın. sosyal ağlarda. Birleşik Devlet Sınavı ve Devlet Sınavları için daha iyi notlar olsun!

web sitesi, materyalin tamamı veya bir kısmı kopyalanırken orijinal kaynağa bir bağlantı gereklidir.