Bir cisimler sisteminin dinamiği üzerine genel teoremler. Kütle merkezinin hareketi, momentum değişimi, ana açısal momentum değişimi, kinetik enerji değişimi ile ilgili teoremler. D'Alembert'in ilkeleri ve olası hareketler. Dinamiğin genel denklemi. Lagrange denklemleri.

Katı bir cismin ve cisimler sisteminin dinamiği üzerine genel teoremler

Dinamiğin genel teoremleri- bu, mekanik bir sistemin kütle merkezinin hareketine ilişkin bir teorem, momentumdaki değişime ilişkin bir teorem, ana açısal momentumdaki (kinetik moment) değişime ilişkin bir teorem ve kinetik enerjideki değişime ilişkin bir teoremdir mekanik bir sistemden oluşur.

Mekanik bir sistemin kütle merkezinin hareketi üzerine teorem

Kütle merkezinin hareketi ile ilgili teorem.
Bir sistemin kütlesi ile kütle merkezinin ivmesinin çarpımı, sisteme etki eden tüm dış kuvvetlerin vektör toplamına eşittir:
.

Burada M sistemin kütlesidir:
;
a C sistemin kütle merkezinin ivmesidir:
;
v C - sistemin kütle merkezinin hızı:
;
r C - sistemin kütle merkezinin yarıçap vektörü (koordinatları):
;
- sistemi oluşturan noktaların koordinatları (sabit merkeze göre) ve kütleleri.

Momentumdaki değişime ilişkin teorem (momentum)

Sistemin hareket (impuls) miktarı tüm sistemin kütlesinin, kütle merkezinin hızına veya sistemi oluşturan bireysel noktaların veya parçaların momentumunun (impulsların toplamına) toplamına eşittir:
.

Momentumun diferansiyel formdaki değişimine ilişkin teorem.
Sistemin hareket miktarının (momentumunun) zamana göre türevi, sisteme etki eden tüm dış kuvvetlerin vektör toplamına eşittir:
.

İntegral formda momentum değişimine ilişkin teorem.
Belirli bir süre boyunca sistemin momentumundaki (momentumundaki) değişim, aynı süre içindeki dış kuvvetlerin darbelerinin toplamına eşittir:
.

Momentumun korunumu kanunu (momentum).
Sisteme etki eden tüm dış kuvvetlerin toplamı sıfır ise sistemin momentum vektörü sabit olacaktır. Yani koordinat eksenlerindeki tüm projeksiyonları sabit değerleri koruyacaktır.

Eğer dış kuvvetlerin herhangi bir eksene izdüşümü toplamı sıfır ise, sistemin hareket miktarının bu eksene izdüşümü sabit olacaktır.

Asal açısal momentumdaki değişime ilişkin teorem (momentler teoremi)

Belirli bir O merkezine göre bir sistemin temel açısal momentumu, sistemin bu merkeze göre tüm noktalarının açısal momentumunun vektör toplamına eşit miktardır:
.
Burada köşeli parantezler çapraz çarpımı göstermektedir.

Ekli sistemler

Aşağıdaki teorem, mekanik bir sistemin eylemsiz bir referans çerçevesine göre sabitlenmiş sabit bir noktaya veya eksene sahip olduğu duruma uygulanır. Örneğin, küresel bir yatakla sabitlenmiş bir gövde. Veya sabit bir merkez etrafında hareket eden cisimlerden oluşan bir sistem. Aynı zamanda bir cismin veya cisimler sisteminin etrafında döndüğü sabit bir eksen de olabilir. Bu durumda momentler, itme momentleri ve sabit eksene göre kuvvetler olarak anlaşılmalıdır.

Asal açısal momentumdaki değişime ilişkin teorem (momentler teoremi)
Sistemin ana açısal momentumunun sabit bir O merkezine göre zamana göre türevi, sistemin tüm dış kuvvetlerinin aynı merkeze göre momentlerinin toplamına eşittir.

Asal açısal momentumun korunumu yasası (açısal momentum).
Belirli bir sabit O merkezine göre sisteme uygulanan tüm dış kuvvetlerin momentlerinin toplamı sıfıra eşitse, o zaman ana nokta sistemin bu merkeze göre hareket miktarı sabit olacaktır. Yani koordinat eksenlerindeki tüm projeksiyonları sabit değerleri koruyacaktır.

Eğer dış kuvvetlerin sabit bir eksene göre momentlerinin toplamı sıfır ise, sistemin bu eksene göre açısal momentumu sabit olacaktır.

Keyfi sistemler

Aşağıdaki teorem evrensel bir karaktere sahiptir. Hem sabit hem de serbestçe hareket eden sistemler için geçerlidir. Sabit sistemlerde bağlantıların sabit noktalardaki tepkilerinin dikkate alınması gerekir. Sabit bir O noktası yerine sistemin C kütle merkezinin alınması gerektiği açısından önceki teoremden farklıdır.

Kütle merkezi etrafındaki momentler teoremi
Sistemin C kütle merkezine göre ana açısal momentumunun zamana göre türevi, sistemin tüm dış kuvvetlerinin aynı merkeze göre momentlerinin toplamına eşittir.

Açısal momentumun korunumu kanunu.
Sisteme uygulanan tüm dış kuvvetlerin C kütle merkezine göre momentlerinin toplamı sıfıra eşitse, sistemin bu merkeze göre ana momentum momenti sabit olacaktır. Yani koordinat eksenlerindeki tüm projeksiyonları sabit değerleri koruyacaktır.

Vücudun eylemsizlik momenti

Vücut z ekseni etrafında dönüyorsaİle açısal hızω z ise, z eksenine göre açısal momentumu (kinetik momenti) aşağıdaki formülle belirlenir:
Lz = Jz ωz ,
burada Jz, cismin z eksenine göre eylemsizlik momentidir.

Cismin z eksenine göre atalet momenti formülle belirlenir:
,
burada h k, m k kütleli bir noktadan z eksenine olan mesafedir.
Kütlesi M ve yarıçapı R olan ince bir halka veya kütlesi kenarı boyunca dağılmış bir silindir için,
J z = MR 2 .
Katı homojen bir halka veya silindir için,
.

Steiner-Huygens teoremi.
Cz cismin kütle merkezinden geçen eksen, Oz ise ona paralel eksen olsun. O zaman cismin bu eksenlere göre eylemsizlik momentleri şu ilişkiyle ilişkilendirilir:
J Oz = J Cz + Ma 2 ,
burada M vücut ağırlığıdır; a eksenler arasındaki mesafedir.

Daha fazla genel durum :
,
vücudun atalet tensörü nerede.
Burada cismin kütle merkezinden m k kütleli bir noktaya çizilen bir vektör var.

Kinetik enerjinin değişimine ilişkin teorem

M kütleli bir cismin z ekseni etrafında ω açısal hızıyla öteleme ve dönme hareketi yapmasına izin verin.
,
Daha sonra vücudun kinetik enerjisi aşağıdaki formülle belirlenir:
burada v C vücudun kütle merkezinin hareket hızıdır;

J Cz, dönme eksenine paralel olarak cismin kütle merkezinden geçen eksene göre cismin atalet momentidir. Dönme ekseninin yönü zamanla değişebilir. Bu formül kinetik enerjinin anlık değerini verir.
Diferansiyel formdaki bir sistemin kinetik enerjisindeki değişime ilişkin teorem.
.

İntegral formdaki bir sistemin kinetik enerjisindeki değişime ilişkin teorem.
Bir hareket sırasında sistemin kinetik enerjisindeki değişiklik, sisteme uygulanan tüm dış ve iç kuvvetlerin bu hareket üzerinde yaptığı işin toplamına eşittir:
.

Kuvvetin yaptığı iş, kuvvet vektörlerinin skaler çarpımına ve uygulama noktasının sonsuz küçük yer değiştirmesine eşittir:
,
yani F ve ds vektörlerinin modüllerinin aralarındaki açının kosinüsüyle çarpımı.

Kuvvet momentinin yaptığı iş, tork vektörlerinin skaler çarpımına ve sonsuz küçük dönme açısına eşittir:
.

d'Alembert ilkesi

D'Alembert ilkesinin özü dinamik problemlerini statik problemlerine indirgemektir. Bunu yapmak için sistem gövdelerinin belirli (açısal) ivmelere sahip olduğu varsayılır (veya önceden bilinir). Daha sonra, mekanik yasalarına göre belirli ivmeler veya açısal ivmeler yaratacak kuvvetlerin kuvvetlerine ve momentlerine büyüklük olarak eşit ve zıt yönde olan atalet kuvvetleri ve/veya atalet kuvvetlerinin momentleri tanıtılır.

Bir örneğe bakalım. Vücut öteleme hareketine maruz kalır ve dış kuvvetler tarafından etkilenir. Ayrıca bu kuvvetlerin sistemin kütle merkezinde bir ivme yarattığını varsayıyoruz. Kütle merkezinin hareketi ile ilgili teoreme göre, bir cisme bir kuvvet etki ettiğinde cismin kütle merkezi aynı ivmeye sahip olacaktır. Daha sonra eylemsizlik kuvvetini tanıtacağız:
.
Bundan sonra dinamik problem:
.
;
.

Dönme hareketi için aynı şekilde ilerleyin. Cismin z ekseni etrafında dönmesine ve M e zk kuvvetinin dış momentlerinin etkisine maruz kalmasına izin verin.
.
Bu momentlerin bir εz açısal ivmesi yarattığını varsayıyoruz.
;
.

Daha sonra eylemsizlik kuvvetlerinin momentini tanıtıyoruz M И = - J z ε z.

Bundan sonra dinamik problem:

Statik bir soruna dönüşür:.
Olası hareketlerin ilkesi

Statik problemleri çözmek için olası yer değiştirmeler ilkesi kullanılır. Bazı problemlerde denge denklemlerini oluşturmaktan daha kısa bir çözüm verir. Bu özellikle birçok gövdeden oluşan bağlantıları olan sistemler (örneğin, dişler ve bloklarla birbirine bağlanan gövde sistemleri) için geçerlidir. Olası hareketlerin ilkesi

İdeal bağlantılara sahip bir mekanik sistemin dengesi için, sistemin olası herhangi bir hareketi için üzerine etki eden tüm aktif kuvvetlerin temel işlerinin toplamının sıfıra eşit olması gerekli ve yeterlidir. Olası sistem değişikliği

Dinamiğin genel denklemi (D'Alembert - Lagrange ilkesi)

D'Alembert-Lagrange ilkesi, D'Alembert ilkesinin olası hareketler ilkesiyle birleşimidir. Yani dinamik bir problemi çözerken atalet kuvvetlerini devreye sokuyoruz ve problemi olası yer değiştirmeler ilkesini kullanarak çözdüğümüz statik bir probleme indirgemekteyiz.

D'Alembert-Lagrange ilkesi.
İdeal bağlantılara sahip bir mekanik sistem hareket ettiğinde, zamanın her anında sistemin olası herhangi bir hareketine uygulanan tüm aktif kuvvetlerin ve tüm eylemsizlik kuvvetlerinin temel işlerinin toplamı sıfırdır:
.
Bu denklem denir genel denklem hoparlörler.

Lagrange denklemleri

Genelleştirilmiş q koordinatları 1 , q 2 , ..., q n sistemin konumunu benzersiz bir şekilde belirleyen n adet nicelik kümesidir.

Genelleştirilmiş koordinatların sayısı n, sistemin serbestlik derecesi sayısıyla çakışır.

Genelleştirilmiş hızlar t zamanına göre genelleştirilmiş koordinatların türevleridir.

Genelleştirilmiş kuvvetler Q 1 , Ç 2 , ..., Ç n .
qk koordinatının δqk hareketini alacağı sistemin olası bir hareketini düşünelim.
Kalan koordinatlar değişmeden kalır. Böyle bir hareket sırasında dış kuvvetlerin yaptığı iş δA k olsun. Daha sonra
.

δA k = Q k δq k veya
Sistemin olası bir hareketiyle tüm koordinatlar değişirse, bu tür bir hareket sırasında dış kuvvetlerin yaptığı iş şu şekilde olur: δA = Q.
1 δq 1 + Q 2 δq 2 + ... + Q n δq n
.

O zaman genelleştirilmiş kuvvetler yer değiştirmeler üzerindeki işin kısmi türevleridir: İçin potansiyel kuvvetler
.

potansiyel Π ile, Lagrange denklemleri

- bunlar genelleştirilmiş koordinatlarda mekanik bir sistemin hareket denklemleridir:
.

Burada T kinetik enerjidir. Genelleştirilmiş koordinatların, hızların ve muhtemelen zamanın bir fonksiyonudur. Bu nedenle kısmi türevi aynı zamanda genelleştirilmiş koordinatların, hızların ve zamanın bir fonksiyonudur. Daha sonra koordinatların ve hızların zamanın fonksiyonu olduğunu dikkate almanız gerekir. Bu nedenle zamana göre toplam türevi bulmak için karmaşık bir fonksiyonun türev alma kuralını uygulamanız gerekir:
Kullanılan literatür: S.M. Targ, Kısa kurs

teorik mekanik, "Yüksekokul", 2010.

BELARUS CUMHURİYETİ TARIM VE GIDA BAKANLIĞI

Eğitim kurumu "BELARUS DEVLET TARIM

TEKNİK ÜNİVERSİTESİ"

Teorik Mekanik ve Mekanizmalar ve Makineler Teorisi Bölümü

TEORİK MEKANİK

uzmanlık öğrencileri için metodolojik kompleks

74 06 Tarım Mühendisliği

2 bölüm halinde Bölüm 1

UDC 531.3(07) BBK 22.213ya7 T 33

Fiziksel ve Matematik Bilimleri Adayı, Doçent Yu. S. Biza, aday teknik bilimler, doçent N. L. Rakova, kıdemli öğretim görevlisi. A. Taraseviç

İnceleyenler:

"Belarus Ulusal Teknik Üniversitesi" Eğitim Kurumu Teorik Mekanik Bölümü (Başkan)

Teorik Mekanik Bölümü BNTU Fizik ve Matematik Bilimleri Doktoru, Profesör A. V. Chigarev);

Devlet Bilim Kurumu Mekanik Sistemlerin Titreşimden Korunması Laboratuvarı'nın Lider Araştırmacısı Birleşik Makine Mühendisliği Enstitüsü

Belarus NAS", teknik bilimler adayı, doçent A. M. Goman

Teorik mekanik. "Dinamik" Bölümü: eğitici

T33 yöntemi. karmaşık. 2 bölüm halinde Bölüm 1 / derleyen: Yu. S. Biza, N. L. Rakova, I. A. Tarasevich. – Minsk: BGATU, 2013. – 120 s.

ISBN 978-985-519-616-8.

Eğitimsel ve metodolojik kompleks, “Teorik Mekanik” disiplininin bir parçası olan “Dinamik”, bölüm 1 bölümünü incelemek için materyaller sunar. Bir dizi ders ve performans için temel materyaller içerir pratik dersler bağımsız çalışma ve kontrol için ödevler ve ödev örnekleri eğitim faaliyetleri tam zamanlı ve yarı zamanlı öğrenciler.

UDC 531.3(07) BBK 22.213ya7

GİRİİŞ

Teorik mekanik, mekanik hareketin, dengenin ve maddi cisimlerin etkileşiminin genel yasalarının bilimidir.

Bu, temel genel bilimsel fiziko-matematik disiplinlerinden biridir. Modern teknolojinin teorik temelidir.

Diğer fiziksel ve matematiksel disiplinlerle birlikte teorik mekaniğin incelenmesi, bilimsel ufukların genişletilmesine, somut ve soyut düşünme yeteneğinin geliştirilmesine ve geleceğin uzmanının genel teknik kültürünün geliştirilmesine yardımcı olur.

Tüm teknik disiplinlerin bilimsel temeli olan teorik mekanik, becerilerin geliştirilmesine katkıda bulunur. rasyonel kararlar Tarım ve arazi ıslahı makine ve ekipmanlarının işletimi, onarımı ve tasarımı ile ilgili mühendislik görevleri.

Ele alınan problemlerin doğasına bağlı olarak mekanik, statik, kinematik ve dinamik olarak ikiye ayrılır. Dinamik, uygulanan kuvvetlerin etkisi altında maddi cisimlerin hareketini inceleyen teorik mekaniğin bir dalıdır.

İÇİNDE eğitimsel ve metodolojik kompleksi (UMK), bir ders kursu, yürütme için temel materyaller içeren “Dinamik” bölümünü incelemek için materyaller sunar. pratik çalışma, görevler ve yürütme örnekleri bağımsız çalışma ve tam zamanlı ve yarı zamanlı öğrencilerin eğitim faaliyetlerinin izlenmesi.

İÇİNDE “Dinamik” bölümünün incelenmesi sonucunda öğrencinin öğrenmesi gerekenler teorik temeller dinamik ve dinamik problemlerini çözmenin temel yöntemlerinde uzmanlaşmak:

Dinamik problemlerin çözüm yöntemlerini, dinamiğin genel teoremlerini, mekaniğin ilkelerini bilir;

Kendisine etki eden kuvvetlere bağlı olarak vücut hareketinin yasalarını belirleyebilme; problemleri çözmek için mekaniğin yasalarını ve teoremlerini uygulayabilir; Bedenlerin hareketini sınırlayan bağlantıların statik ve dinamik tepkilerini belirler.

“Teorik Mekanik” disiplininin müfredatı, “Dinamik” bölümünün incelenmesi için 36 saat dahil olmak üzere toplam 136 ders saati sağlar.

1. EĞİTİM VE METODOLOJİK KOMPLEKSİN BİLİMSEL VE ​​TEORİK İÇERİĞİ

1.1. Sözlük

Statik, kuvvetlerin genel doktrinini ortaya koyan ve azaltma çalışmalarını inceleyen mekaniğin bir bölümüdür. karmaşık sistemler kuvvetler en basit forma getirilir ve denge koşulları oluşturulur çeşitli sistemler kuvvet

Kinematik, maddi nesnelerin hareketini, bu harekete neden olan sebeplerden, yani bu nesnelere etki eden kuvvetlerden bağımsız olarak inceleyen teorik mekaniğin bir dalıdır.

Dinamik, uygulanan kuvvetlerin etkisi altında maddi cisimlerin (noktaların) hareketini inceleyen teorik mekaniğin bir dalıdır.

Önemli nokta– noktaların hareketindeki fark önemsiz olan maddi bir gövde.

Bir cismin kütlesi, belirli bir cismin içerdiği madde miktarına bağlı olan ve öteleme hareketi sırasındaki atalet ölçüsünü belirleyen skaler pozitif bir niceliktir.

Referans sistemi, başka bir cismin hareketinin incelendiği bir cisimle ilişkili bir koordinat sistemidir.

Atalet sistemi– Dinamiğin birinci ve ikinci yasalarının karşılandığı bir sistem.

Kuvvet impulsu, kuvvetin belirli bir zaman içindeki etkisinin vektör ölçüsüdür.

Maddi bir noktanın momentumu – noktanın kütlesi ile hız vektörünün çarpımına eşit olan, hareketinin vektör ölçüsü.

Kinetik enerji– mekanik hareketin skaler ölçüsü.

Temel kuvvet işi kuvvet vektörünün skaler çarpımına ve kuvvetin uygulama noktasının sonsuz küçük yer değiştirme vektörüne eşit sonsuz küçük bir skaler niceliktir.

Kinetik enerji– mekanik hareketin skaler ölçüsü.

Maddi bir noktanın kinetik enerjisi skaler bir enerjidir

Bir noktanın kütlesi ile hızının karesinin çarpımının yarısına eşit olan pozitif bir nicelik.

Mekanik bir sistemin kinetik enerjisi - aritme-

Bu sistemin tüm maddi noktalarının kinetik enerjilerinin toplamı.

Kuvvet, cisimlerin mekanik etkileşiminin, yoğunluğunu ve yönünü karakterize eden bir ölçüsüdür.

1.2. Ders konuları ve içeriği

Bölüm 1. Dinamiğe giriş. Temel Kavramlar

klasik mekanik

Konu 1. Maddi bir noktanın dinamiği

Maddi bir noktanın dinamiği kanunları (Galileo – Newton kanunları). Maddi bir noktanın diferansiyel hareket denklemleri. Maddi açıdan dinamiğin iki ana problemi. Dinamiğin ikinci probleminin çözümü; İntegral sabitleri ve bunların başlangıç ​​koşullarına göre belirlenmesi.

Literatür:, s. 180-196, , s. 12-26.

Konu 2. Malzemenin bağıl hareketinin dinamiği

Maddi bir noktanın bağıl hareketi. Bir noktanın bağıl hareketinin diferansiyel denklemleri; taşınabilir ve Coriolis eylemsizlik kuvvetleri. Klasik mekaniğin görelilik ilkesi. Göreceli bir barış durumu.

Literatür: , s. 180-196, , s. 127-155.

Konu 3. Kütlelerin geometrisi. Mekanik bir sistemin kütle merkezi

Sistem kütlesi. Sistemin kütle merkezi ve koordinatları.

Literatür:, s. 86-93, s. 264-265

Konu 4. Katı bir cismin eylemsizlik momentleri

Katı bir cismin eksene ve direğe göre atalet momentleri. Atalet yarıçapı. Paralel eksenlere göre eylemsizlik momentleri teoremi. Bazı cisimlerin eksenel atalet momentleri.

Vücut asimetrisinin bir özelliği olarak merkezkaç atalet momentleri.

Literatür: , s. 265-271, , s. 155-173.

Bölüm 2. Maddi bir noktanın dinamiği üzerine genel teoremler

ve mekanik sistem

Konu 5. Sistemin kütle merkezinin hareketine ilişkin teorem

Sistemin kütle merkezinin hareketi ile ilgili teorem. Sistemin kütle merkezinin hareketine ilişkin teoremin sonuçları.

Literatür: , s. 274-277, , s. 175-192.

Konu 6. Maddi bir noktanın momentumu

ve mekanik sistem

Maddi bir noktanın ve mekanik sistemin hareket miktarı. Sonlu bir süre boyunca temel dürtü ve kuvvet dürtüsü. Diferansiyel ve integral formlardaki bir noktanın ve sistemin momentumundaki değişime ilişkin teorem. Momentumun korunumu kanunu.

Literatür: , s. 280-284, , s. 192-207.

Konu 7. Maddi bir noktanın momentumu

ve merkeze ve eksene göre mekanik sistem

Bir noktanın merkeze ve eksene göre momentum momenti. Bir noktanın açısal momentumundaki değişime ilişkin teorem. Mekanik bir sistemin merkeze ve eksene göre kinetik momenti.

Dönen katı bir cismin dönme eksenine göre kinetik momenti. Bir sistemin açısal momentumundaki değişime ilişkin teorem. Açısal momentumun korunumu kanunu.

Literatür: , s. 292-298, , s. 207-258.

Konu 8. İş ve kuvvetlerin gücü

Temel kuvvet işi, analitik ifadesi. Bir kuvvetin son yol üzerinde yaptığı iş. Yer çekimi işi, elastik kuvvet. Katı bir cisme etki eden iç kuvvetlerin yaptığı işin toplamı sıfıra eşittir. Sabit bir eksen etrafında dönen katı bir cisme uygulanan kuvvetlerin işi. Güç. Yeterlik.

Literatür: , s. 208-213, , s. 280-290.

Konu 9. Maddi bir noktanın kinetik enerjisi

ve mekanik sistem

Maddi bir noktanın ve mekanik sistemin kinetik enerjisi. Katı bir cismin hareketinin çeşitli durumlarında kinetik enerjisinin hesaplanması. Koenig teoremi. Diferansiyel ve integral formlarda bir noktanın kinetik enerjisindeki değişime ilişkin teorem. Diferansiyel ve integral formlarda mekanik bir sistemin kinetik enerjisindeki değişime ilişkin teorem.

Literatür: , s. 301-310, , s. 290-344.

Konu 10. Potansiyel kuvvet alanı ve potansiyel

Güç alanı kavramı. Potansiyel kuvvet alanı ve kuvvet fonksiyonu. Bir kuvvetin potansiyel kuvvet alanındaki bir noktanın son yer değiştirmesi üzerindeki işi. Potansiyel enerji.

Literatür: , s. 317-320, , s. 344-347.

Konu 11. Katı cisim dinamiği

Katı bir cismin öteleme hareketinin diferansiyel denklemleri. Katı bir cismin sabit bir eksen etrafında dönme hareketinin diferansiyel denklemi. Fiziksel sarkaç. Katı bir cismin düzlemsel hareketinin diferansiyel denklemleri.

Literatür: , s. 323-334, , s. 157-173.

Bölüm 1. Dinamiğe giriş. Temel Kavramlar

klasik mekanik

Dinamik, uygulanan kuvvetlerin etkisi altında maddi cisimlerin (noktaların) hareketini inceleyen teorik mekaniğin bir dalıdır.

malzeme gövdesi- kütlesi olan bir cisim.

Önemli nokta– noktaların hareketindeki fark önemsiz olan maddi bir gövde. Bu, hareketi sırasında boyutları ihmal edilebilecek bir cisim olabileceği gibi öteleme hareketi yapıyorsa sonlu boyutlarda bir cisim de olabilir.

Maddi noktalara aynı zamanda parçacıklar da denir. sağlam Bazı dinamik özelliklerini belirlerken. Maddi noktalara örnekler (Şekil 1): a – Dünyanın Güneş etrafındaki hareketi. Dünya maddi bir noktadır; b – katı bir cismin öteleme hareketi. Sağlam vücut - anne

bir nokta, çünkü V B = V A; a B = a A; c – vücudun bir eksen etrafında dönmesi.

Bir cismin parçacığı maddi bir noktadır.

Atalet, maddi cisimlerin, uygulanan kuvvetlerin etkisi altında hareket hızlarını daha hızlı veya daha yavaş değiştirme özelliğidir.

Bir cismin kütlesi, belirli bir cismin içerdiği madde miktarına bağlı olan ve öteleme hareketi sırasındaki atalet ölçüsünü belirleyen skaler pozitif bir niceliktir. Klasik mekanikte kütle sabit bir miktardır.

Kuvvet, cisimler arasındaki veya bir cisim (nokta) ile bir alan (elektrik, manyetik vb.) arasındaki mekanik etkileşimin niceliksel bir ölçüsüdür.

Kuvvet, büyüklük, uygulama noktası ve yön (etki çizgisi) ile karakterize edilen bir vektör miktarıdır (Şekil 2: A - uygulama noktası; AB - kuvvetin etki çizgisi).

Pirinç. 2

Dinamikte, sabit kuvvetlerin yanı sıra t zamanına, hızϑ'ya, mesafeye veya bu büyüklüklerin bir kombinasyonuna bağlı olabilen değişken kuvvetler de vardır;

F = sabit;

F = F(t) ;

F = F(ϑ) ;

F = F(r) ;

F = F(t, r, ϑ) .

elektrikli lokomotif; c − F = F (r) – O merkezinden itme kuvveti veya ona doğru çekim.

Referans sistemi, başka bir cismin hareketinin incelendiği bir cisimle ilişkili bir koordinat sistemidir.

Atalet sistemi, dinamiğin birinci ve ikinci yasalarının karşılandığı bir sistemdir. Bu sabit bir koordinat sistemi veya düzgün ve doğrusal hareket eden bir sistemdir.

Mekanikte hareket, bir cismin diğer cisimlere göre uzay ve zamandaki konumunun değişmesidir.

Klasik mekanikte uzay üç boyutludur ve Öklid geometrisine uyar.

Zaman, herhangi bir referans sisteminde eşit olarak akan skaler bir niceliktir.

Birim sistemi, ölçü birimlerinin toplamıdır fiziksel büyüklükler. Tüm mekanik büyüklükleri ölçmek için üç temel birim yeterlidir: uzunluk, zaman, kütle veya kuvvet birimleri.

Mekanik büyüklüklerin diğer tüm ölçüm birimleri bunlardan türetilir. İki tür birim sistemi kullanılır: uluslararası SI birim sistemi (veya daha küçük - GHS) ve teknik birim sistemi - ICGSS.

Konu 1. Maddi bir noktanın dinamiği

1.1. Maddi bir noktanın dinamiği yasaları (Galileo-Newton yasaları)

Birinci yasa (eylemsizlik yasası).

Dış etkilerden izole edilmiş bir maddesel nokta, uygulanan kuvvetler onu bu durumu değiştirmeye zorlayana kadar durgun durumunu korur veya düzgün ve doğrusal olarak hareket eder.

Bir noktanın kuvvetlerin yokluğunda veya dengeli bir kuvvet sisteminin etkisi altında yaptığı harekete atalet hareketi denir.

Örneğin, bir cismin pürüzsüz bir yüzey boyunca hareketi (sürtünme kuvveti sıfırdır)

yatay yüzey (Şekil 4: G – vücut ağırlığı; N – normal düzlem reaksiyonu).

G = − N olduğundan, G + N = 0 olur.

ϑ 0 ≠ 0 olduğunda cisim aynı hızla hareket eder; ϑ 0 = 0 olduğunda vücut hareketsizdir (ϑ 0 başlangıç ​​hızıdır).

İkinci yasa (dinamiğin temel yasası).

Bir noktanın kütlesi ile belirli bir kuvvetin etkisi altında aldığı ivmenin çarpımı, bu kuvvete büyüklükte eşittir ve yönü, ivmenin yönü ile çakışmaktadır.

bir b

Matematiksel olarak bu yasa vektör eşitliğiyle ifade edilir.

F = 0,a 0 = 0 = ϑ 0 = sabit olduğunda - nokta düzgün ve doğrusal olarak hareket eder veya ϑ 0 = 0'da - hareketsizdir (eylemsizlik yasası). Saniye

yasa, dünya yüzeyine yakın bir yerde bulunan bir cismin kütlesi m ile ağırlığı arasında bir bağlantı kurmamıza izin verirG .G = mg, burada –

yer çekiminin hızlanması.

Üçüncü yasa (etki ve tepki eşitliği yasası). İki maddi nokta birbirine eşit büyüklükte ve onları birleştiren düz çizgi boyunca yönlendirilmiş kuvvetlerle etki eder.

bu noktalar zıt yönlerdedir.

F 1 = − F 2 kuvvetleri farklı noktalara uygulandığından (F 1 , F 2 ) kuvvetler sistemi dengeli değildir, yani (F 1 , F 2 )≈ 0 (Şekil 6).

Etkileşen noktaların kütleleri ivmeleriyle ters orantılıdır.

Dördüncü yasa (kuvvetlerin eyleminin bağımsızlığı yasası). Bir noktaya aynı anda etki edildiğinde alınan ivme

ancak, her bir kuvvet kendisine ayrı ayrı uygulandığında noktanın alacağı ivmelerin geometrik toplamına eşit birkaç kuvvet.

Açıklama (Şekil 7).

t ve n

a 1 a kF n

Bileşik kuvvet R (F 1 ,...Fk ,...Fn ) .

ma = R,F 1 = ma 1, ...,F k = ma k, ...,F n = man olduğundan, o zaman

a = a 1 + ...+ a k + ...+ a n = ∑ a k, yani dördüncü yasa eşdeğerdir

k = 1

kuvvetlerin toplamı kuralı.

1.2. Maddi bir noktanın diferansiyel hareket denklemleri

Maddi bir noktaya, aralarında hem sabit hem de değişken olan birçok kuvvetin aynı anda etki ettiğini varsayalım.

Dinamiğin ikinci yasasını şu şekilde yazalım:

noktalar varsa (1.2) r'nin türevlerini içerir ve maddi bir noktanın vektör formundaki diferansiyel hareket denklemi veya maddi bir noktanın dinamiğinin temel denklemidir.

Vektör eşitliğinin projeksiyonları (1.2): - Kartezyen koordinatların ekseninde (Şekil 8, a)

Doğal eksende (Şekil 8, b)

mab = m0 = ∑ Fk b

k = 1

M t oM oa

Denklemler (1.3) ve (1.4), bir maddi noktanın sırasıyla Kartezyen koordinat eksenlerinde ve doğal eksenlerdeki diferansiyel hareketinin diferansiyel denklemleridir; yani, bir noktanın yörüngesi varsa, genellikle bir noktanın eğrisel hareketi için kullanılan doğal diferansiyel denklemlerdir. nokta ve eğrilik yarıçapı bilinmektedir.

1.3. Maddi bir nokta için dinamiğin iki ana problemi ve bunların çözümü

İlk (doğrudan) görev.

Hareket yasasını ve noktanın kütlesini bilerek, noktaya etkiyen kuvveti belirleyin.

Bu sorunu çözmek için noktanın ivmesini bilmeniz gerekir. Bu tür problemlerde doğrudan belirlenebileceği gibi bir noktanın hareket yasası da belirlenerek buna göre belirlenebilir.

1. Yani bir noktanın hareketi Kartezyen koordinatlarda belirtilirse

x = f 1 (t), y = f 2 (t) ve z = f 3 (t), o zaman ivme projeksiyonları belirlenir

(MEKANİK SİSTEMLER) – IV seçeneği

1. Maddi bir noktanın dinamiğinin temel denklemi bilindiği gibi denklem ile ifade edilir. Serbest olmayan bir mekanik sistemin keyfi noktalarının iki bölme kuvveti yöntemine göre diferansiyel hareket denklemleri iki biçimde yazılabilir:

(1) , burada k=1, 2, 3, … , n – malzeme sisteminin nokta sayısı.

(2)

k'inci noktanın kütlesi nerede; - k'inci noktanın yarıçap vektörü, - k'inci noktaya etki eden belirli (aktif) kuvvet veya k'inci noktaya etki eden tüm aktif kuvvetlerin sonucu. - k'inci noktaya etki eden bağ reaksiyon kuvvetlerinin sonucu; - k'inci noktaya etki eden iç kuvvetlerin bileşkesi; - k'inci noktaya etki eden dış kuvvetlerin bileşkesi.

Denklemler (1) ve (2) kullanılarak dinamiğin hem birinci hem de ikinci problemleri çözülmeye çalışılabilir. Bununla birlikte, bir sistemin ikinci dinamik problemini çözmek, yalnızca matematiksel açıdan değil, aynı zamanda temel zorluklarla karşı karşıya olduğumuz için de çok karmaşık hale gelir. Hem sistem (1) hem de sistem (2) için denklem sayısının önemli olması gerçeğinden oluşurlar. daha az sayı bilinmiyor.

Yani, eğer (1)'i kullanırsak, o zaman ikinci (ters) problem için bilinen dinamikler ve olacaktır ve bilinmeyenler ve olacaktır. Vektör denklemleri " N”ve bilinmeyenler - “2n”.

Denklem sisteminden (2) devam edersek, dış kuvvetlerin bir kısmı bilinmektedir. Neden ayrılalım? Gerçek şu ki, dış kuvvetlerin sayısı aynı zamanda bilinmeyen bağlantıların dış reaksiyonlarını da içermektedir. Ayrıca .

Böylece hem sistem (1) hem de sistem (2) KAPALI değildir. Bağlantı denklemlerini dikkate alarak denklemler eklemek gerekir ve belki de bağlantıların kendilerine de bazı kısıtlamalar getirmek gerekir. Ne yapalım?

(1)'den başlarsak, birinci türden Lagrange denklemlerini oluşturma yolunu takip edebiliriz. Ancak bu yol rasyonel değil çünkü daha kolay görev(serbestlik derecesi ne kadar azsa) matematiksel açıdan çözmek o kadar zor olur.

O halde -'nin her zaman bilinmediği sistem (2)'ye dikkat edelim. Bir sistemi çözmenin ilk adımı bu bilinmeyenleri ortadan kaldırmaktır. Unutulmamalıdır ki, kural olarak, sistem hareket ederken iç kuvvetlerle ilgilenmiyoruz, yani sistem hareket ettiğinde, sistemin her noktasının nasıl hareket ettiğini bilmek gerekli değildir, ancak yeterlidir. sistemin bir bütün olarak nasıl hareket ettiğini bilmek.

Böylece eğer çeşitli şekillerde bilinmeyen kuvvetleri sistem (2)'den hariç tutarsak, o zaman bazı ilişkiler elde ederiz, yani bazıları görünür genel özellikler Bir sistem için, bilgisi sistemin genel olarak nasıl hareket ettiğine karar vermemizi sağlar. Bu özellikler sözde kullanılarak tanıtılır. genel teoremler hoparlörler. Bu tür dört teorem vardır:

1. Teorem mekanik bir sistemin kütle merkezinin hareketi;

2. Teorem Mekanik bir sistemin momentumundaki değişim;

3. Teorem mekanik sistemin kinetik momentindeki değişim;

4. Teorem mekanik bir sistemin kinetik enerjisindeki değişim.

Rusya Federasyonu Eğitim ve Bilim Bakanlığı

Federal Devlet Bütçe Yüksek Mesleki Eğitim Kurumu

"Kuban Devlet Teknoloji Üniversitesi"

Teorik mekanik

Bölüm 2 dinamikleri

Yayın ve Yayın Komitesi tarafından onaylandı

üniversite konseyi olarak

öğretim yardımı

Krasnodar

UDC 531.1/3 (075)

Teorik mekanik. Bölüm 2. Dinamik: Ders Kitabı / L.I. Kuban. durum technol.un-t. Krasnodar, 2011. 123 s.

ISBN 5-230-06865-5

Teorik materyal kısa bir biçimde sunulur, çoğu gerçek teknik sorunları yansıtan problem çözme örnekleri verilir ve rasyonel bir çözüm yönteminin seçimine dikkat edilir.

İnşaat, ulaştırma ve makine mühendisliği alanlarında yazışma ve uzaktan eğitim lisans öğrencileri için tasarlanmıştır.

Masa 1 Hasta. 68 Kaynakça 20 başlık

Bilimsel editör Teknik Bilimler Adayı, Doçent. V.F.Melnikov

Hakemler: Teorik Mekanik ve Mekanizmalar ve Makineler Teorisi Bölüm Başkanı, Kuban Tarım Üniversitesi prof. F.M. Kanarev; Doçent, Teorik Mekanik Bölümü, Kuban Devlet Teknoloji Üniversitesi M.E. Multık

Kuban Devlet Teknoloji Üniversitesi Yayın ve Yayın Kurulu kararıyla yayınlandı.

Yeniden yayınlama

ISBN 5-230-06865-5 KubSTU 1998

Önsöz

Bu ders kitabı inşaat, ulaştırma ve makine mühendisliği uzmanlık alanlarındaki yarı zamanlı öğrencilere yöneliktir, ancak diğer uzmanlık alanlarındaki yarı zamanlı öğrencilerin yanı sıra tam zamanlı öğrenciler tarafından teorik mekanik dersinin “Dinamik” bölümünü incelerken kullanılabilir. bağımsız çalışıyor.

Kılavuz, teorik mekanik dersinin mevcut müfredatına uygun olarak derlenmiştir ve dersin ana bölümünün tüm konularını kapsamaktadır. Her bölüm, sorunların çözümünde kullanılmasına yönelik resimler ve metodolojik önerilerle birlikte kısa teorik materyal içermektedir. Kılavuz, gerçek teknik sorunları yansıtan ve test görevlerine karşılık gelen 30 sorunun çözümlerini içerir. bağımsız karar. Her problem için çözümü açıkça gösteren bir hesaplama şeması sunulmaktadır. Çözümün biçimlendirmesi, yarı zamanlı öğrenciler için test kağıtlarının biçimlendirilmesine ilişkin gereksinimleri karşılar.

Yazar, Kuban Tarım Üniversitesi Teorik Mekanik ve Mekanizmalar ve Makineler Teorisi Bölümü öğretmenlerinin yanı sıra Kuban Devlet Teknolojik Fakültesi Teorik Mekanik Bölümü öğretmenlerinin ders kitabını incelemedeki büyük çalışmaları için derin şükranlarını sunar. Ders kitabının yayına hazırlanmasına ilişkin değerli yorumları ve tavsiyeleri için Üniversitemize teşekkür ederiz.

Gelecekte tüm eleştirel yorum ve öneriler yazar tarafından şükranla kabul edilecektir.

giriiş

Dinamik, teorik mekaniğin en önemli bölümüdür. Mühendislik uygulamalarında karşılaşılan spesifik problemlerin çoğu dinamikle ilgilidir. Statik ve kinematiğin sonuçlarını kullanan dinamik, uygulanan kuvvetlerin etkisi altında maddi cisimlerin genel hareket yasalarını oluşturur.

En basit maddi nesne maddi bir noktadır. Herhangi bir şekle sahip bir maddi gövde, söz konusu problemde boyutları ihmal edilebilecek maddi bir nokta olarak alınabilir. Belirli bir problem için noktalarının hareketindeki fark önemli değilse, sonlu boyutlu bir cisim maddi bir nokta olarak alınabilir. Bu, vücudun boyutlarının, vücut noktalarının kat ettiği mesafelere kıyasla küçük olması durumunda meydana gelir. Katı bir cismin her parçacığı maddi bir nokta olarak düşünülebilir.

Bir noktaya veya maddi bir gövdeye uygulanan kuvvetler, dinamik etkilerine göre, yani maddi nesnelerin hareketinin özelliklerini nasıl değiştirdiklerine göre dinamik olarak değerlendirilir.

Maddi nesnelerin zaman içindeki hareketi, belirli bir referans çerçevesine göre uzayda meydana gelir. Newton'un aksiyomlarına dayanan klasik mekanikte uzay üç boyutlu kabul edilir, özellikleri içinde hareket eden maddi nesnelere bağlı değildir. Böyle bir uzayda bir noktanın konumu üç koordinatla belirlenir. Zamanın uzayla ve maddi nesnelerin hareketi ile ilgisi yoktur. Tüm referans sistemleri için aynı kabul edilir.

Dinamik yasaları, maddi nesnelerin hareketini, geleneksel olarak sabit olarak kabul edilen mutlak koordinat eksenlerine göre tanımlar. Mutlak koordinat sisteminin kökeni Güneş'in merkezinde alınır ve eksenler uzak, koşullu olarak sabit yıldızlara yönlendirilir. Birçok teknik problemi çözerken, Dünya'ya bağlı koordinat eksenleri şartlı olarak hareketsiz kabul edilebilir.

Maddi nesnelerin dinamikteki mekanik hareketinin parametreleri, klasik mekaniğin temel yasalarından matematiksel türetmelerle belirlenir.

Birinci yasa (eylemsizlik yasası):

Maddi bir nokta, bazı kuvvetlerin etkisi onu bu durumdan çıkarana kadar dinlenme durumunu veya düzgün ve doğrusal hareket durumunu korur.

Bir noktanın düzgün ve doğrusal hareketine eylemsizlik hareketi denir. Dinlenme, bir noktanın hızının sıfır olduğu atalet yoluyla hareketin özel bir durumudur.

Her maddi noktanın eylemsizliği vardır, yani bir dinlenme durumunu veya düzgün doğrusal hareketi korumaya çalışır. Atalet yasasının geçerli olduğu referans sistemine atalet denir ve bu sisteme göre gözlemlenen harekete mutlak denir. Eylemsiz bir sisteme göre ötelemeli doğrusal ve düzgün hareket gerçekleştiren herhangi bir referans sistemi de eylemsiz bir sistem olacaktır.

İkinci yasa (dinamiğin temel yasası):

Bir maddi noktanın eylemsiz referans çerçevesine göre ivmesi, noktaya uygulanan kuvvetle orantılıdır ve şu yöndeki kuvvetle çakışır:
.

Dinamiğin temel yasasından şunu takip eder: kuvvetle
hızlanma
. Bir noktanın kütlesi, bir noktanın hızındaki değişikliklere karşı direnç derecesini karakterize eder, yani maddi bir noktanın ataletinin bir ölçüsüdür.

Üçüncü Kanun (Etki ve Tepki Kanunu):

İki cismin birbirine etki ettiği kuvvetler eşit büyüklüktedir ve zıt yönlerde bir düz çizgi boyunca yönlendirilir.

Etki ve tepki adı verilen kuvvetler uygulanır. farklı bedenler ve bu nedenle dengeli bir sistem oluşturmazlar.

Dördüncü yasa (kuvvetlerin bağımsızlığı yasası):

Çeşitli kuvvetlerin eş zamanlı etkisi ile, maddi bir noktanın ivmesi, her bir kuvvetin ayrı ayrı etkisi altında noktanın sahip olacağı ivmelerin geometrik toplamına eşittir:

, Nerede
,
,…,
.

Çoğu zaman tanımlamak mümkündür önemli özellikler Diferansiyel hareket denklemleri sisteminin entegrasyonuna başvurmadan mekanik bir sistemin hareketi. Bu, genel dinamik teoremlerinin uygulanmasıyla elde edilir.

5.1. Temel kavramlar ve tanımlar

Dış ve iç kuvvetler. Mekanik bir sistemdeki bir noktaya etki eden herhangi bir kuvvet mutlaka ya aktif bir kuvvettir ya da bir birleşme reaksiyonudur. Sistemin noktalarına etki eden kuvvetlerin tamamı farklı iki sınıfa ayrılabilir: dış kuvvetler ve iç kuvvetler (e ve i endeksleri - Latince externus - dış ve internus - iç kelimelerinden). Dış kuvvetler, söz konusu sistemin parçası olmayan noktalardan ve cisimlerden bir sistemin noktalarına etki eden kuvvetlerdir. Söz konusu sistemin noktaları ve gövdeleri arasındaki etkileşim kuvvetlerine iç denir.

Bu bölüm, araştırmacı tarafından incelenen mekanik sisteme hangi malzeme noktalarının ve gövdelerinin dahil edildiğine bağlıdır. Sistemin bileşimini ek noktalar ve gövdeler ekleyerek genişletirseniz, önceki sistem için dışsal olan bazı kuvvetler, genişletilmiş sistem için içsel hale gelebilir.

İç kuvvetlerin özellikleri. Bu kuvvetler sistemin parçaları arasındaki etkileşim kuvvetleri olduğundan, etki-tepki aksiyomuna göre organize edilmiş “ikili” olarak tüm iç kuvvetler sistemine girerler. Bu “iki”nin her birinin güçlü yanları vardır

ana vektör ve keyfi bir merkeze göre ana moment sıfıra eşittir. Tüm iç kuvvetler sistemi yalnızca “ikililerden” oluştuğuna göre, o zaman

1) iç kuvvetler sisteminin ana vektörü sıfırdır,

2) iç kuvvetler sisteminin keyfi bir noktaya göre ana momenti sıfıra eşittir.

Sistemin kütlesine denir aritmetik toplam sistemi oluşturan tüm noktaların ve cisimlerin kütleleri:

Kütle merkezi Mekanik bir sistemin (atalet merkezi), yarıçap vektörü ve koordinatları formüllerle belirlenen geometrik C noktasıdır.

sistemi oluşturan noktaların yarıçap vektörleri ve koordinatları nerededir?

Düzgün bir yerçekimi alanında bulunan katı bir cisim için, kütle merkezinin ve ağırlık merkezinin konumları çakışır; diğer durumlarda bunlar farklı geometrik noktalardır.

Atalet referans sistemi ile birlikte öteleme hareketi yapan ataletsiz bir referans sistemi de sıklıkla eş zamanlı olarak değerlendirilir. Koordinat eksenleri (König eksenleri), C orijini sürekli olarak mekanik sistemin kütle merkeziyle çakışacak şekilde seçilir. Tanıma uygun olarak kütle merkezi Koenig eksenlerinde hareketsizdir ve koordinatların orijininde yer alır.

Sistemin eylemsizlik momenti bir eksene göre, sistemin tüm noktalarının mk kütlelerinin çarpımlarının eksene olan mesafelerinin kareleriyle toplamına eşit bir skaler miktardır:

Eğer mekanik sistem bir katıdır, 12'yi bulmak için formülü kullanabilirsiniz

yoğunluk nerede, vücudun kapladığı hacim.