Iz nasprotnega vrha) in dobljeni produkt razdelite na dva. V obliki izgleda takole:

S = ½ * a * h,

kje:
S je površina trikotnika,
a je dolžina njegove stranice,
h je višina, spuščena na to stran.

Stranska dolžina in višina morata biti predstavljeni v istih enotah. V tem primeru se bo površina trikotnika izkazala v ustreznih "" enotah.

Primer.
Na eni od stranic skalenskega trikotnika dolžine 20 cm je spuščena pravokotnica iz nasprotnega oglišča dolžine 10 cm.
Območje trikotnika je potrebno.
Rešitev.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (cm²).

Če poznate dolžini poljubnih dveh stranic skalenskega trikotnika in kot med njima, uporabite formulo:

S = ½ * a * b * sinγ,

kjer sta: a, b dolžini dveh poljubnih stranic, γ pa kot med njima.

V praksi je na primer pri merjenju zemljišča uporaba zgornjih formul včasih težavna, saj zahteva dodatne konstrukcije in merjenje kotov.

Če poznate dolžine vseh treh stranic skalenskega trikotnika, uporabite Heronovo formulo:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

a, b, c so dolžine stranic trikotnika,
р – polobod: p = (a+b+c)/2.

Če je poleg dolžin vseh strani znan tudi polmer kroga, vpisanega v trikotnik, potem uporabite naslednjo kompaktno formulo:

kjer je: r polmer vpisanega kroga (p je polobod).

Za izračun površine skalenskega trikotnika opisanega kroga in dolžine njegovih stranic uporabite formulo:

kjer je: R polmer opisanega kroga.

Če je znana dolžina ene od stranic trikotnika in treh kotov (načeloma sta dovolj dva - vrednost tretjega se izračuna iz enakosti vsote treh kotov trikotnika - 180º), potem uporabite formula:

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

kjer je α vrednost kota nasproti strani a;
β, γ sta vrednosti preostalih dveh kotov trikotnika.

Potreba po iskanju različni elementi, vključno z območjem trikotnik, se je pojavila mnogo stoletij pred našo dobo med astronomi Antična grčija. Kvadrat trikotnik je mogoče izračunati različne poti z uporabo različnih formul. Metoda izračuna je odvisna od tega, kateri elementi trikotnik znano.

Navodilo

Če iz pogoja poznamo vrednosti obeh stranic b, c in kota, ki ga tvorita?, potem je površina trikotnik ABC najdemo po formuli:
S = (bcsin?)/2.

Če iz pogoja poznamo vrednosti obeh stranic a, b in kota, ki ga ne tvorita?, potem je površina trikotnik ABC najdemo na naslednji način:
Iskanje kota?, greh? = bsin? / a, naprej v tabeli določimo sam kot.
Iskanje kota? = 180°-?-?.
Poiščite samo območje S = (absin?)/2.

Če iz pogoja poznamo vrednosti le treh strani trikotnik a, b in c, nato območje trikotnik ABC najdemo po formuli:
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)) , kjer je p polobod p = (a+b+c)/2

Če iz pogoja problema poznamo višino trikotnik h in stran, na katero je ta višina spuščena, nato površina trikotnik ABC po formuli:
S = ah(a)/2 = bh(b)/2 = ch(c)/2.

Če poznamo vrednosti stranic trikotnik a, b, c in polmer opisanega v bližini dane trikotnik R, nato območje tega trikotnik ABC se določi s formulo:
S = abc/4R.
Če so znane tri stranice a, b, c in polmer vpisanega v, potem je površina trikotnik ABC najdemo po formuli:
S = pr, kjer je p polobod, p = (a+b+c)/2.

Če je ABC enakostranična, potem površino najdemo po formuli:
S = (a^2v3)/4.
Če je trikotnik ABC enakokraki, potem je površina določena s formulo:
S = (cv(4a^2-c^2))/4, kjer je c trikotnik.
Če je trikotnik ABC pravokoten trikotnik, potem je površina določena s formulo:
S = ab/2, kjer sta a in b kraka trikotnik.
Če je trikotnik ABC pravokoten enakokraki trikotnik, potem je površina določena s formulo:
S = c^2/4 = a^2/2, kjer je c hipotenuza trikotnik, a=b - noga.

Povezani videoposnetki

Viri:

• kako izmeriti površino trikotnika

Nasvet 3: Kako najti površino trikotnika, če poznate kot

Poznavanje samo enega parametra (vrednost kota) ni dovolj za iskanje območja tre kvadratni . Če obstajajo dodatne dimenzije, lahko za določitev območja izberete eno od formul, v kateri se kot ena od znanih spremenljivk uporablja tudi vrednost kota. Nekaj ​​najpogosteje uporabljenih formul je navedenih spodaj.

Navodilo

Če poleg kota (γ), ki ga tvorita obe strani tre kvadratni , znane so torej tudi dolžine teh stranic (A in B). kvadratni(S) številke lahko definiramo kot polovico produkta dolžin stranic in sinusa tega znanega kota: S=½×A×B×sin(γ).

Trikotnik je geometrijski lik, ki je sestavljen iz treh črt, ki se združujejo v točkah, ki ne ležijo na isti premici. Povezovalne točke premic so oglišča trikotnika, ki so označena z latinskimi črkami(na primer A, B, C). Povezovalne ravne črte trikotnika se imenujejo segmenti, ki jih običajno označujemo tudi z latinskimi črkami. Obstajajo naslednje vrste trikotnikov:

• Pravokotna.
• topo.
• Ostrokotna.
• Vsestranski.
• Enakostranski.
• Enakokraki.

Splošne formule za izračun površine trikotnika

Formula površine trikotnika za dolžino in višino

S=a*h/2,
kjer je a dolžina stranice trikotnika, katerega površino je treba najti, h je dolžina višine, potegnjene do osnove.

Heronova formula

S=√p*(p-a)*(p-b)*(p-c),
kjer je √ Kvadratni koren, p je polovični obseg trikotnika, a, b, c je dolžina vsake strani trikotnika. Polobod trikotnika lahko izračunamo s formulo p=(a+b+c)/2.

Formula za površino trikotnika glede na kot in dolžino segmenta

S = (a*b*sin(α))/2,
kje b,c je dolžina stranic trikotnika, sin (α) je sinus kota med obema stranicama.

Formula za površino trikotnika glede na polmer vpisanega kroga in treh stranic

S=p*r,
kjer je p polperimeter trikotnika, katerega površino je treba najti, r je polmer kroga, vpisanega v ta trikotnik.

Formula za površino trikotnika s tremi stranicami in polmerom kroga, ki je opisan okoli njega

S= (a*b*c)/4*R,
kjer je a,b,c dolžina vsake strani trikotnika, R je polmer opisanega kroga okoli trikotnika.

Formula za površino trikotnika v kartezičnih koordinatah točk

Kartezijeve koordinate točk so koordinate v sistemu xOy, kjer je x abscisa in y ordinata. Kartezijev koordinatni sistem xOy na ravnini imenujemo medsebojno pravokotni numerični osi Ox in Oy z skupni začetek referenca v točki O. Če so koordinate točk na tej ravnini podane v obliki A (x1, y1), B (x2, y2) in C (x3, y3), potem lahko izračunate površino \u200b trikotnik z uporabo naslednje formule, ki jo dobimo iz navzkrižnega produkta dveh vektorjev.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
kjer || pomeni modul.

Kako najti površino pravokotnega trikotnika

Pravokotni trikotnik je trikotnik, ki ima en kot 90 stopinj. Trikotnik ima lahko samo en tak kot.

Formula za površino pravokotnega trikotnika na dveh krakih

S=a*b/2,
kjer je a,b dolžina nog. Noge se imenujejo stranice, ki mejijo na pravi kot.

Formula za površino pravokotnega trikotnika glede na hipotenuzo in ostri kot

S = a*b*sin(α)/ 2,
kjer sta a, b kraki trikotnika, sin(α) pa je sinus kota, pod katerim se premici a, b sekata.

Formula za površino pravokotnega trikotnika po kraku in nasprotnem kotu

S = a*b/2*tg(β),
kjer sta a, b kraki trikotnika, tg(β) je tangenta kota, pod katerim sta povezani kraki a, b.

Kako izračunati površino enakokrakega trikotnika

Enakokraki trikotnik je tisti, ki ima dve enaki strani. Te strani se imenujejo stranice, druga stran pa je osnova. Za izračun površine enakokrakega trikotnika lahko uporabite eno od naslednjih formul.

Osnovna formula za izračun površine enakokrakega trikotnika

S=h*c/2,
kjer je c osnova trikotnika, h višina trikotnika, spuščenega na osnovo.

Formula enakokrakega trikotnika na stranski strani in osnovi

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
kjer je c osnova trikotnika, a je vrednost ene od stranic enakokrakega trikotnika.

Kako najti površino enakostraničnega trikotnika

Enakostranični trikotnik je trikotnik, v katerem so vse stranice enake. Za izračun površine enakostraničnega trikotnika lahko uporabite naslednjo formulo:
S = (√3*a*a)/4,
kjer je a dolžina stranice enakostraničnega trikotnika.

Zgornje formule vam bodo omogočile izračun zahtevane površine trikotnika. Pomembno si je zapomniti, da je treba za izračun razmika trikotnikov upoštevati vrsto trikotnika in razpoložljive podatke, ki jih je mogoče uporabiti za izračun.

Za določitev površine trikotnika lahko uporabite različne formule. Od vseh metod je najlažja in najpogosteje uporabljena pomnoževanje višine z dolžino osnove in nato deljenje rezultata z dva. Vendar ta metoda še zdaleč ni edina. Spodaj si lahko preberete, kako najti površino trikotnika z različnimi formulami.

Ločeno bomo obravnavali metode za izračun površine določenih vrst trikotnikov - pravokotnega, enakokračnega in enakostraničnega. Vsako formulo spremljamo s kratko razlago, ki vam bo pomagala razumeti njeno bistvo.

Univerzalni načini za iskanje površine trikotnika

Spodnje formule uporabljajo posebne oznake. Vsakega od njih bomo dešifrirali:

• a, b, c so dolžine treh strani slike, ki jo obravnavamo;
• r je polmer kroga, ki ga lahko vpišemo v naš trikotnik;
• R je polmer kroga, ki ga lahko opišemo okoli njega;
• α - vrednost kota, ki ga tvorita strani b in c;
• β je kot med a in c;
• γ - vrednost kota, ki ga tvorita strani a in b;
• h je višina našega trikotnika, spuščenega iz kota α na stran a;
• p je polovica vsote stranic a, b in c.

Logično je jasno, zakaj lahko na ta način najdete površino trikotnika. Trikotnik se zlahka dopolni v paralelogram, pri katerem bo ena stran trikotnika delovala kot diagonala. Območje paralelograma najdemo tako, da pomnožimo dolžino ene od njegovih strani z vrednostjo narisane višine. Diagonala deli ta pogojni paralelogram na 2 enaka trikotnika. Zato je povsem očitno, da mora biti površina našega prvotnega trikotnika enaka polovici površine tega pomožnega paralelograma.

S=½ a b sin γ

Po tej formuli se površina trikotnika pomnoži tako, da pomnožimo dolžine njegovih dveh stranic, to je a in b, s sinusom kota, ki ga tvorita. Ta formula je logično izpeljana iz prejšnje. Če s kota β znižamo višino na stran b, potem glede na lastnosti pravokotnega trikotnika, ko pomnožimo dolžino stranice a s sinusom kota γ, dobimo višino trikotnika, t.j. h.

Območje obravnavane figure najdemo tako, da polovico polmera kroga, ki ga je mogoče vpisati vanj, pomnožimo z njegovim obodom. Z drugimi besedami, najdemo zmnožek polperimetra in polmera omenjenega kroga.

S= a b c/4R

Po tej formuli lahko vrednost, ki jo potrebujemo, najdemo tako, da zmnožek stranic figure delimo s 4 polmeri kroga, ki je opisan okoli njega.

Te formule so univerzalne, saj omogočajo določitev površine katerega koli trikotnika (skalen, enakokraki, enakostranični, pravokoten). To je mogoče storiti s pomočjo bolj zapletenih izračunov, na katerih se ne bomo podrobneje ukvarjali.

Območja trikotnikov s posebnimi lastnostmi

Kako najti površino pravokotnega trikotnika? Značilnost te figure je, da sta njeni dve strani hkrati njeni višini. Če sta a in b kraka in c postane hipotenuza, potem površino najdemo na naslednji način:

Kako najti površino enakokrakega trikotnika? Ima dve strani z dolžino a in eno stran z dolžino b. Zato lahko njegovo površino določimo tako, da z 2 delimo zmnožek kvadrata stranice a s sinusom kota γ.

Kako najti površino enakostraničnega trikotnika? V njem je dolžina vseh stranic a, vrednost vseh kotov pa α. Njegova višina je polovica zmnožka dolžine stranice, pomnožena s kvadratnim korenom iz 3. Če želite najti površino pravilnega trikotnika, potrebujete kvadrat stranice a, pomnožen s kvadratnim korenom iz 3 in deljen s 4.

Navodilo

Zabave in vogali se štejejo za osnovne elemente a. Trikotnik je v celoti opredeljen s katerim koli od njegovih naslednjih osnovnih elementov: bodisi s tremi stranicami, bodisi z eno stranjo in dvema kotoma, bodisi z dvema stranicama in kotom med njima. Za obstoj trikotnik, ki ga definirajo tri strani a, b, c, je potrebno in zadostno, da neenakosti, imenovane neenakosti trikotnik:
a+b > c
a+c > b
b+c > a.

Za gradnjo trikotnik na treh straneh a, b, c je treba iz točke C odseka CB=a narisati krog polmera b s šestilom. Nato na podoben način narišite krog iz točke B s polmerom, ki je enak strani c. Njihovo presečišče A je tretje oglišče želenega trikotnik ABC, kjer je AB=c, CB=a, CA=b - stranice trikotnik. Problem ima , Če strani a, b, c, izpolnjujejo neenakosti trikotnik določeno v 1. koraku.

Na ta način zgrajeno območje S trikotnik ABC z znane stranke a, b, c se izračuna po Heronovi formuli:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
kjer so a, b, c stranice trikotnik, p je polperimeter.
p = (a+b+c)/2

Če je trikotnik enakostranični, to pomeni, da so vse njegove stranice enake (a=b=c). trikotnik izračunano po formuli:
S=(a^2 v3)/4

Če je trikotnik pravokoten, to pomeni, da je eden od njegovih kotov 90 °, stranice, ki ga tvorijo, pa so kraki, je tretja stranica hipotenuza. V ta primer kvadratni je enak produktu nog, deljeno z dvema.
S=ab/2

Najti kvadratni trikotnik, lahko uporabite eno od številnih formul. Formulo izberite glede na to, kateri podatki so že znani.

Boste potrebovali

• poznavanje formul za iskanje površine trikotnika

Navodilo

Če poznate vrednost ene od stranic in vrednost višine, spuščene na to stran iz nasprotnega vogala, potem lahko poiščete površino z naslednjim: S = a*h/2, kjer je S površina ​trikotnik, a je ena od stranic trikotnika, in h - višina, na stran a.

Obstaja znan način za določitev površine trikotnika, če so znane tri njegove stranice. Ona je Heronova formula. Za poenostavitev snemanja je uvedena vmesna vrednost - polobod: p \u003d (a + b + c) / 2, kjer je a, b, c - . Potem je Heronova formula naslednja: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^1, ^ eksponentacija.

Recimo, da poznate eno od stranic trikotnika in tri kote. Potem je enostavno najti površino trikotnika: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), kjer je β kot nasprotne strani a, α in γ pa kota, ki mejita na stran.

Povezani videoposnetki

Opomba

Najbolj splošna formula, ki je primerna za vse primere, je Heronova formula.

Viri:

Nasvet 3: Kako najti površino trikotnika glede na tri stranice

Iskanje površine trikotnika je ena najpogostejših nalog v šolski planimetriji. Poznavanje treh stranic trikotnika je dovolj za določitev površine katerega koli trikotnika. V posebnih primerih in enakostraničnih trikotnikih je dovolj vedeti dolžine dveh oziroma ene strani.

Boste potrebovali

• dolžine stranic trikotnikov, Heronova formula, kosinusni izrek

Navodilo

Heronova formula za površino trikotnika je naslednja: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Če pobarvate semiperimeter p, potem dobite: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+ca)/2)((a+cb)/2)((a+bc) /2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+bc)(a+cb)(b+ca)))/4.

Formulo za površino trikotnika lahko izpeljete tudi iz premislekov, na primer z uporabo kosinusnega izreka.

Po zakonu kosinusov je AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Z uporabo uvedenega zapisa so lahko tudi v obliki: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Zato je cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

Površino trikotnika najdemo tudi s formulo S = a*c*sin(ABC)/2 skozi dve strani in kotom med njima. Sinus kota ABC je mogoče izraziti z uporabo osnovne trigonometrične istovetnosti: sin (ABC) = sqrt (1- ((cos (ABC)) ^ 2) Če v formulo površine zamenjate sinus in ga pobarvate, lahko pridemo do formule za površino trikotnika ABC.

Povezani videoposnetki

Za popravila morda bo treba izmeriti kvadratni stene. Lažje je izračunati potrebno količino barve ali ozadja. Za meritve je najbolje uporabiti merilni trak ali centimetrski trak. Meritve je treba opraviti po stene so bili usklajeni.

Boste potrebovali

• -ruleta;
• -lestev.

Navodilo

Šteti kvadratni stene, morate poznati natančno višino stropov, pa tudi izmeriti dolžino vzdolž tal. To se naredi na naslednji način: vzemite centimeter, ga položite na podstavek. Ponavadi centimeter ni dovolj za celotno dolžino, zato ga pritrdite v kotu, nato ga odvijte na največja dolžina. Na tej točki s svinčnikom postavite oznako, zapišite rezultat in na enak način izvedite nadaljnje meritve, začenši od zadnje merilne točke.

Standardni stropi tipično - 2 metra 80 centimetrov, 3 metre in 3 metre 20 centimetrov, odvisno od hiše. Če je bila hiša zgrajena pred 50. leti, potem je najverjetneje dejanska višina nekoliko nižja od navedene. Če računaš kvadratni za popravila, potem majhna marža ne bo škodila - upoštevajte na podlagi standarda. Če še vedno morate vedeti realna višina- opraviti meritve. Načelo je podobno merjenju dolžine, vendar boste potrebovali lestev.

Pomnožite nastale številke - to je kvadratni tvoj stene. Res je, pri slikarsko delo ali pa morate odšteti kvadratni vrata in okenske odprtine. Če želite to narediti, položite centimeter vzdolž odprtine. Če govorimo o vratih, ki jih boste naknadno spremenili, nato pa jih porabite z Vratni okvir, ob upoštevanju le kvadratni sama odprtina. Območje okna se izračuna vzdolž oboda njegovega okvirja. Po kvadratni Izračunana okna in vrata, odštejte rezultat od skupne površine ​​dobljene sobe.

Upoštevajte, da se meritve dolžine in širine prostora izvajajo skupaj, lažje je popraviti centimeter ali merilni trak in s tem dobiti natančnejši rezultat. Večkrat opravite isto meritev, da se prepričate, da so številke, ki jih dobite, točne.

Povezani videoposnetki

Iskanje prostornine trikotnika je res netrivialna naloga. Dejstvo je, da je trikotnik dvodimenzionalna figura, t.j. v celoti leži v eni ravnini, kar pomeni, da preprosto nima prostornine. Seveda ne najdete nečesa, kar ne obstaja. Ampak ne obupajmo! Lahko naredimo naslednjo predpostavko - prostornina dvodimenzionalne figure, to je njeno območje. Iščemo površino trikotnika.

Boste potrebovali

• list papirja, svinčnik, ravnilo, kalkulator

Navodilo

Narišite na list papirja z ravnilom in svinčnikom. S skrbnim pregledom trikotnika se lahko prepričate, da ga res nima, saj je narisan na ravnini. Označite stranice trikotnika: ena stran naj bo stran "a", druga stran "b", tretja stran pa "c". Označite oglišča trikotnika s črkami "A", "B" in "C".

Z ravnilom izmerite katero koli stran trikotnika in zapišite rezultat. Po tem obnovite navpičnico na izmerjeno stran iz nasprotnega oglišča, taka pravokotnica bo višina trikotnika. V primeru, prikazanem na sliki, se pravokotnica "h" vrne na stran "c" iz vrha "A". Dobljeno višino izmerite z ravnilom in zabeležite rezultat meritve.

Lahko se zgodi, da boste težko obnovili natančno pravokotno. V tem primeru morate uporabiti drugo formulo. Z ravnilom izmerite vse stranice trikotnika. Po tem izračunajte polovični obseg trikotnika "p" tako, da seštejete nastale dolžine stranic in njihovo vsoto delite na polovico. Če imate na razpolago vrednost pol oboda, lahko uporabite formulo Heron. Če želite to narediti, morate vzeti kvadratni koren naslednjega: p(p-a)(p-b)(p-c).

Prejeli ste želeno vrednost površina trikotnika. Problem iskanja prostornine trikotnika ni rešen, vendar, kot je navedeno zgoraj, prostornina ni . Najdete lahko glasnost, ki je v bistvu trikotnik v svetu 3D. Če si predstavljamo, da je naš prvotni trikotnik postal tridimenzionalna piramida, bo prostornina takšne piramide produkt dolžine njene osnove in površine trikotnika, ki smo ga prejeli.

Opomba

Izračuni bodo natančnejši, bolj natančno boste izvajali meritve.

Viri:

• Kalkulator vse-za-vse - referenčni portal
• prostornina trikotnika v letu 2019

Tri točke, ki enolično definirajo trikotnik v kartezijanskem koordinatnem sistemu, so njegova oglišča. Če poznate njihov položaj glede na vsako od koordinatnih osi, lahko izračunate katere koli parametre tega ravna figura, vključno z in omejeno s svojim obodom kvadratni. To je mogoče storiti na več načinov.

Navodilo

Za izračun površine uporabite Heronovo formulo trikotnik. Vključuje dimenzije treh strani figure, zato začnite izračune z. Dolžina vsake strani mora biti enaka korenu vsote kvadratov dolžin njenih projekcij na koordinatne osi. Če označimo koordinate A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) in C(X₃,Y₃,Z₃), lahko dolžine njihovih stranic izrazimo takole: AB = √((X₁- X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √(( X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).

Za poenostavitev izračunov vnesite pomožno spremenljivko - polobod (P). Od tega je to polovica vsote dolžin vseh stranic: P \u003d ½ * (AB + BC + AC) = ½ * (√ ((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-)) Z₂)²) + √ ((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃) ²).

Trikotnik je dobro znana figura. In to kljub bogati raznolikosti njegovih oblik. Pravokotna, enakostranična, ostra, enakokraka, tupa. Vsak od njih je nekoliko drugačen. Toda za vsako je potrebno poznati površino trikotnika.

Skupne formule za vse trikotnike, ki uporabljajo dolžine stranic ali višin

V njih sprejete oznake: strani - a, b, c; višine na ustreznih straneh na a, n in, n s.

1. Površina trikotnika se izračuna kot zmnožek ½, stranice in višine, spuščene nanjo. S = ½ * a * n a. Podobno bi morali napisati formule za drugi dve strani.

2. Heronova formula, v kateri se pojavi polobod (običajno ga označujemo z malo črko p, za razliko od celotnega oboda). Polobod je treba izračunati na naslednji način: seštejte vse stranice in jih delite z 2. Formula pol oboda: p \u003d (a + b + c) / 2. Nato je enakost za površino \ Slika izgleda takole: S \u003d √ (p * (p - a) * ( p - c) * (p - c)).

3. Če ne želite uporabiti polovičnega oboda, vam bo prišla taka formula, v kateri so prisotne samo dolžine stranic: S \u003d ¼ * √ ((a + b + c) * ( b + c - a) * (a + c - c) * (a + b - c)). Je nekoliko daljši od prejšnjega, vendar vam bo pomagal, če ste pozabili najti polobod.

Splošne formule, v katerih se pojavljajo koti trikotnika

Oznaka, ki je potrebna za branje formul: α, β, γ - koti. Ležijo na nasprotnih straneh a, b, c.

1. Po njem je polovica produkta dveh stranic in sinusa kota med njima enaka površini trikotnika. To je: S = ½ a * b * sin γ. Formule za druga dva primera je treba napisati na podoben način.

2. Površina trikotnika se lahko izračuna iz ene strani in treh znanih kotov. S \u003d (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. Obstaja tudi formula z eno znano stranjo in dvema sosednjima kotoma. Izgleda takole: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

Zadnji dve formuli nista najpreprostejši. Težko si jih je zapomniti.

Splošne formule za situacijo, ko so znani polmeri vpisanih ali opisanih krogov

Dodatne oznake: r, R - polmeri. Prvi se uporablja za polmer vpisanega kroga. Drugi je za opisanega.

1. Prva formula, po kateri se izračuna površina trikotnika, je povezana s polovičnim obodom. S = r * r. Na drug način lahko zapišemo takole: S \u003d ½ r * (a + b + c).

2. V drugem primeru boste morali pomnožiti vse stranice trikotnika in jih deliti s štirikratnim polmerom opisanega kroga. V dobesedni izraz izgleda takole: S = (a * b * c) / (4R).

3. Tretja situacija vam omogoča, da ne poznate strani, vendar potrebujete vrednosti vseh treh kotov. S \u003d 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.

Poseben primer: pravokoten trikotnik

To je najpreprostejša situacija, saj je potrebna le dolžina obeh nog. Označeni so z latiničnima črkama a in b. Površina pravokotnega trikotnika je enaka polovici površine pravokotnika, ki mu je dodan.

Matematično je videti takole: S = ½ a * b. Najlažje si jo je zapomniti. Ker je videti kot formula za površino pravokotnika, se pojavi le ulomek, ki označuje polovico.

Poseben primer: enakokraki trikotnik

Ker sta njeni strani enaki, so nekatere formule za njegovo površino videti nekoliko poenostavljene. Na primer, Heronova formula, ki izračuna površino enakokrakega trikotnika, ima naslednjo obliko:

S = ½ in √((a + ½ in)*(a - ½ in)).

Če ga pretvorite, bo postal krajši. V tem primeru je Heronova formula za enakokraki trikotnik zapisana takole:

S = ¼ v √(4 * a 2 - b 2).

Formula površine je videti nekoliko enostavnejša kot za poljuben trikotnik, če sta strani in kot med njimi znani. S \u003d ½ a 2 * sin β.

Poseben primer: enakostranični trikotnik

Ponavadi se pri težavah o njem stran pozna oziroma jo je mogoče nekako prepoznati. Potem je formula za iskanje površine takšnega trikotnika naslednja:

S = (a 2 √3) / 4.

Naloge za iskanje površine, če je trikotnik upodobljen na karirastem papirju

Najpreprostejša situacija je, ko je pravokoten trikotnik narisan tako, da njegove noge sovpadajo s črtami papirja. Nato morate samo prešteti število celic, ki se prilegajo nogam. Nato jih pomnožite in delite z dva.

Ko je trikotnik oster ali tup, ga je treba narisati v pravokotnik. Potem bodo v dobljeni sliki 3 trikotniki. Eden je tisti, ki je podan v nalogi. In druga dva sta pomožna in pravokotna. Območja zadnjih dveh je treba določiti po zgoraj opisani metodi. Nato izračunajte površino pravokotnika in od nje odštejte tiste, ki so bili izračunani za pomožne. Določeno je območje trikotnika.

Veliko težja je situacija, ko nobena od stranic trikotnika ne sovpada s črtami papirja. Nato ga je treba vpisati v pravokotnik, tako da oglišča prvotne figure ležijo na njegovih straneh. V tem primeru bodo trije pomožni pravokotni trikotniki.

Primer problema na Heronovi formuli

Stanje. Nekateri trikotnik ima stranice. So enaki 3, 5 in 6 cm.Poznati morate njegovo površino.

Zdaj lahko izračunate površino trikotnika z zgornjo formulo. Pod kvadratnim korenom je produkt štirih števil: 7, 4, 2 in 1. To pomeni, da je površina √ (4 * 14) = 2 √ (14).

Če ne potrebujete več natančnosti, lahko vzamete kvadratni koren iz 14. To je 3,74. Potem bo površina enaka 7,48.

Odgovori. S \u003d 2 √14 cm 2 ali 7,48 cm 2.

Primer problema s pravokotnim trikotnikom

Stanje. Ena kraka pravokotnega trikotnika je 31 cm daljša od druge. Njihovo dolžino je treba ugotoviti, če je površina trikotnika 180 cm 2.
Rešitev. Rešiti morate sistem dveh enačb. Prvi je povezan z območjem. Drugi je z razmerjem nog, ki je podano v nalogi.
180 \u003d ½ a * b;

a \u003d b + 31.
Najprej je treba vrednost "a" nadomestiti v prvo enačbo. Izkazalo se je: 180 \u003d ½ (in + 31) * in. Ima samo eno neznano količino, zato jo je enostavno rešiti. Ko odpremo oklepaje, dobimo kvadratna enačba: v 2 + 31 in - 360 = 0. Za "in" daje dve vrednosti: 9 in - 40. Druga številka ni primerna kot odgovor, saj dolžina stranice trikotnika ne more biti negativna vrednost.

Ostaja še izračunati drugi krak: dobljeni številki dodajte 31. Izkazalo se je 40. To so količine, ki jih iščete v problemu.

Odgovori. Krati trikotnika sta 9 in 40 cm.

Naloga iskanja stranice skozi površino, stranico in kot trikotnika

Stanje. Površina nekega trikotnika je 60 cm2. Eno od njegovih stranic je treba izračunati, če je druga stran 15 cm, kot med njima pa 30 °.

Rešitev. Na podlagi sprejetih označb je želena stran "a", znana "b", dani kot je "γ". Nato lahko formulo površine prepišemo na naslednji način:

60 \u003d ½ a * 15 * greh 30º. Tukaj je sinus 30 stopinj 0,5.

Po transformacijah se izkaže, da je "a" enak 60 / (0,5 * 0,5 * 15). To je 16.

Odgovori. Želena stran je 16 cm.

Problem kvadrata, vpisanega v pravokoten trikotnik

Stanje. Vrh kvadrata s stranico 24 cm sovpada s pravim kotom trikotnika. Druga dva ležita na nogah. Tretji pripada hipotenuzi. Dolžina enega od krakov je 42 cm Kolikšna je površina pravokotnega trikotnika?

Rešitev. Razmislite o dveh pravokotni trikotnik. Prvi je določen v nalogi. Drugi temelji na znanem kraku prvotnega trikotnika. Podobni so, ker imajo skupen kot in jih tvorijo vzporedne črte.

Potem so razmerja njihovih nog enaka. Kateti manjšega trikotnika sta 24 cm (stranica kvadrata) in 18 cm (dane krate 42 cm minus stranica kvadrata 24 cm). Ustrezni kraki velikega trikotnika sta 42 cm in x cm. Prav ta "x" je potreben za izračun površine trikotnika.

18/42 \u003d 24 / x, to je x \u003d 24 * 42 / 18 \u003d 56 (cm).

Potem je površina enaka zmnožku 56 in 42, deljeno z dvema, to je 1176 cm 2.

Odgovori. Želena površina je 1176 cm 2.