Splošni izreki dinamike sistema teles. Izreke o gibanju središča mase, o spreminjanju gibalne količine, o spreminjanju glavnega momenta gibanja, o spreminjanju kinetične energije. D'Alembertova načela in možni premiki. Splošna enačba dinamike. Lagrangeove enačbe.

Splošni izreki dinamike togega telesa in sistema teles

Splošni izreki dinamike je izrek o gibanju središča mase mehanski sistem, izrek o spremembi količine gibanja, izrek o spremembi glavnega momenta kotne količine (kotne količine) in izrek o spremembi kinetične energije mehanskega sistema.

Izrek o gibanju masnega središča mehanskega sistema

Izrek o gibanju središča mase.
Zmnožek mase sistema s pospeškom njegovega masnega središča je enak vektorski vsoti vseh zunanjih sil, ki delujejo na sistem:
.

Tukaj je M masa sistema:
;
a C - pospešek masnega središča sistema:
;
v C je hitrost masnega središča sistema:
;
r C - polmer (koordinate) središča mase sistema:
;
- koordinate (glede na fiksno središče) in mase točk, ki sestavljajo sistem.

Izrek o spremembi količine gibanja (impulza)

Količina gibanja (impulza) sistema je enak zmnožku mase celotnega sistema s hitrostjo njegovega masnega središča ali vsote gibalne količine (vsote impulzov) posameznih točk ali delov, ki sestavljajo sistem:
.

Izrek o spremembi gibalne količine v diferencialni obliki.
Časovni izvod gibalne količine (gibalne količine) sistema je enak vektorski vsoti vseh zunanjih sil, ki delujejo na sistem:
.

Izrek o spremembi gibalne količine v integralni obliki.
Sprememba zagona (impulza) sistema v določenem časovnem obdobju je enaka vsoti impulzov zunanjih sil v istem časovnem obdobju:
.

Zakon o ohranitvi gibalne količine (gibalne količine).
Če je vsota vseh zunanjih sil, ki delujejo na sistem, enaka nič, bo vektor gibalne količine sistema konstanten. To pomeni, da bodo vse njegove projekcije na koordinatni osi ohranile konstantne vrednosti.

Če je vsota projekcij zunanjih sil na katero koli os enaka nič, bo projekcija gibalne količine sistema na to os konstantna.

Izrek o spremembi glavnega momenta gibanja (izrek momentov)

Glavni moment gibalne količine sistema glede na dano središče O imenujemo vrednost, ki je enaka vektorski vsoti momentov količin gibanja vseh točk sistema glede na to središče:
.
Tukaj oglati oklepaji označujejo navzkrižni produkt.

Fiksni sistemi

Naslednji izrek se nanaša na primer, ko ima mehanski sistem fiksno točko ali os, ki je fiksna glede na inercialni referenčni okvir. Na primer, telo, pritrjeno s sferičnim ležajem. Ali sistem teles, ki se gibljejo okoli fiksnega središča. Lahko je tudi fiksna os, okoli katere se vrti telo ali sistem teles. V tem primeru je treba trenutke razumeti kot momente impulza in sil glede na fiksno os.

Izrek o spremembi glavnega momenta gibanja (izrek momentov)
Časovni izvod glavnega kotnega momenta sistema glede na neko fiksno središče O je enak vsoti momentov vseh zunanjih sil sistema glede na isto središče.

Zakon o ohranitvi glavne kotne količine (kotne količine).
Če je vsota momentov vseh zunanjih sil, ki delujejo na sistem glede na dano fiksno središče O, enaka nič, bo glavni kotni moment sistema glede na to središče konstanten. To pomeni, da bodo vse njegove projekcije na koordinatni osi ohranile konstantne vrednosti.

Če je vsota momentov zunanjih sil glede na neko fiksno os enaka nič, bo moment gibanja sistema glede na to os konstanten.

Samovoljni sistemi

Naslednji izrek je univerzalen. Uporablja se tako za fiksne kot za prosto gibljive sisteme. Pri sidranih sistemih je treba upoštevati reakcije vezi na zasidranih mestih. Od prejšnjega izreka se razlikuje po tem, da je treba namesto fiksne točke O vzeti središče mase C sistema.

Izrek o središču masnega trenutka
Časovni izvod glavnega kotnega momenta sistema glede na središče mase C je enak vsoti momentov vseh zunanjih sil sistema glede na isto središče.

Zakon o ohranitvi kotne količine.
Če je vsota momentov vseh zunanjih sil, ki delujejo na sistem glede na središče mase C, enaka nič, bo glavni kotni moment sistema glede na to središče konstanten. To pomeni, da bodo vse njegove projekcije na koordinatni osi ohranile konstantne vrednosti.

Vztrajnostni moment telesa

Če se telo vrti okoli z-osi s kotno hitrostjo ω z, potem je njen kotni moment (kotni moment) glede na os z določen s formulo:
L z = J z ω z,
kjer je J z vztrajnostni moment telesa glede na os z.

Vztrajnostni moment telesa okoli osi z določeno s formulo:
,
kjer je h k razdalja od točke mase m k do osi z.
Za tanek obroč mase M in polmera R ali valj, katerega masa je porazdeljena po njegovem robu,
J z = M R 2 .
Za trden enoten obroč ali valj,
.

Steiner-Huygensov izrek.
Naj bo Cz os, ki poteka skozi masno središče telesa, Oz pa je z njim vzporedna os. Potem so vztrajnostni momenti telesa okoli teh osi povezani z razmerjem:
J Oz = J Cz + M a 2 ,
kjer je M telesna teža; a je razdalja med osema.

V več splošni primer :
,
kjer je tenzor vztrajnosti telesa.
Tukaj je vektor, narisan iz središča mase telesa do točke z maso m k.

Izrek o spremembi kinetične energije

Naj telo mase M izvaja translacijsko in rotacijsko gibanje s kotno hitrostjo ω okoli neke osi z. Nato se kinetična energija telesa določi s formulo:
,
kjer je v C hitrost gibanja središča mase telesa;
J Cz - vztrajnostni moment telesa okoli osi, ki poteka skozi masno središče telesa vzporedno z osjo vrtenja. Smer osi vrtenja se lahko sčasoma spremeni. Navedena formula daje trenutno vrednost kinetične energije.

Izrek o spremembi kinetične energije sistema v diferencialni obliki.
Diferencial (prirast) kinetične energije sistema za del njegovega premika je enak vsoti diferencialov dela na tem premiku vseh zunanjih in notranjih sil, ki delujejo na sistem:
.

Izrek o spremembi kinetične energije sistema v integralni obliki.
Sprememba kinetične energije sistema z delom njegovega premika je enaka vsoti dela na tem premiku vseh zunanjih in notranjih sil, ki delujejo na sistem:
.

Delo, ki ga opravlja moč, je enak skalarnemu produktu vektorjev sil in neskončno majhnega premika točke njegove uporabe:
,
to je produkt absolutnih vrednosti vektorjev F in ds s kosinusom kota med njima.

Delo, ki ga opravlja moment sil, je enak skalarnemu produktu vektorjev trenutka in neskončno majhnega kota vrtenja:
.

D'Alembertovo načelo

Bistvo d'Alembertovega principa je reducirati probleme dinamike na probleme statike. Za to se predpostavlja (oziroma je vnaprej znano), da imajo telesa sistema določene (kotne) pospeške. Nato se uvedejo vztrajnostne sile in (ali) momenti vztrajnostnih sil, ki so po velikosti enake in nasprotne smeri silam in momentom sil, ki bi po zakonih mehanike ustvarile določene pospeške ali kotne pospeške.

Poglejmo primer. Na poti se telo premika naprej in nanj delujejo zunanje sile. Nadalje predpostavljamo, da te sile ustvarjajo pospešek središča mase sistema. Po izreku o gibanju središča mase bi imelo središče mase enak pospešek, če bi na telo delovala sila. Nato uvedemo vztrajnostno silo:
.
Po tem je problem dinamike:
.
;
.

Za rotacijsko gibanje nadaljujte na enak način. Naj se telo vrti okoli z-osi in nanj delujejo zunanji momenti sil M e zk. Predvidevamo, da ti momenti ustvarijo kotni pospešek ε z. Nato uvedemo moment vztrajnosti sil M И = - J z ε z. Po tem je problem dinamike:
.
Spremeni se v statično nalogo:
;
.

Načelo možnih premikov

Za reševanje statičnih problemov se uporablja načelo možnih premikov. Pri nekaterih problemih daje krajšo rešitev kot enačba ravnotežja. To še posebej velja za sisteme z omejitvami (na primer sisteme teles, povezanih z nitmi in bloki), sestavljene iz številnih teles

Načelo možnih premikov.
Za ravnotežje mehanskega sistema z idealnimi omejitvami je potrebno in zadostno, da je vsota elementarnega dela vseh aktivnih sil, ki delujejo nanj, za vsak možen premik sistema enaka nič.

Možno premikanje sistema- to je majhen premik, ki ne prekine povezav, ki so naložene sistemu.

Popolne povezave- to so povezave, ki ob premikanju sistema ne opravljajo dela. Natančneje, količina dela, ki ga opravijo same povezave, ko se sistem premika, je enaka nič.

Splošna enačba dinamike (d'Alembert - Lagrangeov princip)

Načelo d'Alembert-Lagrangea je kombinacija d'Alembertovega principa z načelom možnih premikov. To pomeni, da pri reševanju problema dinamike uvedemo vztrajnostne sile in problem reduciramo na problem statičnosti, ki ga rešujemo po principu možnih premikov.

D'Alembert - Lagrangeovo načelo.
Ko se mehanski sistem z idealnimi omejitvami premika v vsakem trenutku, je vsota elementarnega dela vseh uporabljenih aktivnih sil in vseh inercialnih sil na morebitni premik sistema enaka nič:
.
Ta enačba se imenuje splošna enačba dinamike.

Lagrangeove enačbe

Posplošene koordinate q 1, q 2, ..., q n je zbirka n vrednosti, ki enolično določajo položaj sistema.

Število posplošenih koordinat n sovpada s številom stopenj svobode sistema.

Splošne hitrosti so izpeljanke posplošenih koordinat glede na čas t.

Generalizirane sile Q 1, Q 2, ..., Q n .
Razmislite o možnem gibanju sistema, pri katerem bo koordinata q k prejela premik δq k. Preostale koordinate ostanejo nespremenjene. Naj bo δA k delo, ki ga opravijo zunanje sile med takšnim premikom. Potem
δA k = Q k δq k, oz
.

Če se ob morebitnem gibanju sistema spremenijo vse koordinate, ima delo, ki ga izvajajo zunanje sile med takšnim gibanjem, obliko:
δA = Q 1 δq 1 + Q 2 δq 2 + ... + Q n δq n.
Potem so posplošene sile delne izpeljanke dela na premikih:
.

Za potencialne sile s potencialom Π,
.

Lagrangeove enačbe so enačbe gibanja mehanskega sistema v posplošenih koordinatah:

Tukaj je T kinetična energija. Je funkcija posplošenih koordinat, hitrosti in morda časa. Zato je njen delni izvod tudi funkcija posplošenih koordinat, hitrosti in časa. Poleg tega morate upoštevati, da so koordinate in hitrosti funkcije časa. Zato je za iskanje celotne časovne izpeljanke potrebno uporabiti pravilo za razlikovanje kompleksne funkcije:
.

Reference:
S. M. Targ, Kratek tečaj teoretična mehanika, "Srednja šola", 2010.

3. predavanje. Splošni izreki dinamike

Dinamika sistema materialnih točk je pomemben del teoretične mehanike. Ukvarja se predvsem s problemi gibanja mehanskih sistemov (sistemov materialnih točk) s končnim številom svobodnih stopenj – največjega števila neodvisnih parametrov, ki določajo položaj sistema. Glavna naloga sistemske dinamike je preučevanje zakonov gibanja trdna in mehanskih sistemov.

Najpreprostejši pristop k preučevanju gibanja sistema, sestavljen iz N materialnih točk, zmanjšati na upoštevanje premikov vsake posamezne točke sistema. V tem primeru je treba določiti vse sile, ki delujejo na vsako točko sistema, vključno s silami interakcije med točkami.

Z določitvijo pospeška vsake točke v skladu z Newtonovim drugim zakonom (1.2) dobimo za vsako točko tri skalarne diferencialne zakone gibanja drugega reda, t.j. 3 N diferencialni zakoni gibanja za celoten sistem.

Da bi našli enačbe gibanja mehanskega sistema za dane sile in začetne pogoje za vsako točko sistema, je treba integrirati nastale diferencialne zakone. Ta problem je težaven tudi v primeru dveh materialnih točk, ki se premikata le pod delovanjem interakcijskih sil po zakonu univerzalne privlačnosti (problem dveh teles), in izjemno težak v primeru treh medsebojno delujočih točk (problem tri telesa).

Zato je treba najti metode za reševanje problemov, ki bi pripeljale do rešljivih enačb in dale predstavo o gibanju mehanskega sistema. Splošni izreki dinamike, ki so posledica diferencialnih zakonov gibanja, omogočajo izogibanje kompleksnosti, ki izhaja iz integracije, in pridobivanje potrebnih rezultatov.

3. 1. Splošne opombe

Točke mehanskega sistema bodo oštevilčene z indeksi jaz, j, k in tako naprej, ki poteka skozi vse vrednosti 1, 2, 3… N, kje N Je število točk v sistemu. Fizične količine, povezane z k-ta točka so označene z istim indeksom kot točka. Na primer, izrazite vektor polmera in hitrost k th točka.

Za vsako točko sistema delujejo sile dvojnega izvora: najprej sile, katerih viri ležijo zunaj sistema, imenovane zunanji sile in določene; drugič, sile iz drugih točk tega sistema, imenovane notranji sile in imenovani. Notranje sile izpolnjujejo tretji Newtonov zakon. Razmislimo o najpreprostejših lastnostih notranjih sil, ki delujejo na celoten mehanski sistem v katerem koli njegovem stanju.

Prva lastnina. Geometrijska vsota vseh notranjih sil sistema (glavni vektor notranjih sil) je enaka nič.

Dejansko, če upoštevamo kateri koli dve poljubni točki sistema, na primer in (sl. 3.1), potem za njih od sili delovanja in reakcije sta vedno enaki po velikosti, delujejo vzdolž ene akcijske črte v nasprotni smeri, ki povezuje medsebojno delujoče točke. Glavni vektor notranjih sil je torej sestavljen iz parov sil interakcijskih točk

(3.1)

Druga lastnina. Geometrijska vsota momentov vseh notranjih sil glede na poljubno točko v prostoru je nič.

Razmislite o sistemu momentov sil in glede na točko O(sl. 3.1)... Od (sl. 3.1)... to je jasno

,

od obe sili imata enaka ramena in nasprotni smeri vektorskih momentov. Glavna točka notranje sile glede na točko O je sestavljena iz vektorske vsote takih izrazov in je enaka nič. zato

Naj zunanje in notranje sile delujejo na mehanski sistem, sestavljen iz N točke (sl. 3.2)... Če se na vsako točko sistema uporabi rezultanta zunanjih sil in rezultanta vseh notranjih sil, potem za katero koli k-to točko sistema, lahko sestavite diferencialne enačbe gibanja. Skupaj bo takih enačb N:

in v projekcijah na fiksne osi koordinat 3 N:

(3.4)

Vektorske enačbe (3.3) ali enakovredne skalarne enačbe (3.4) predstavljajo diferencialne zakonitosti gibanja materialnih točk celotnega sistema. Če se vse točke premikajo vzporedno z eno ravnino ali eno ravno črto, bo število enačb (3.4) v prvem primeru 2 N, v drugem N.

Primer 1. Dve uteži tehtata in sta med seboj povezani z neraztegljivim kablom, vrženim čez blok (sl. 3.3)... Če zanemarimo sile trenja, pa tudi maso bloka in kabla, določimo zakon premikanja bremen in napetosti kabla.

Rešitev... Sistem je sestavljen iz dveh materialnih teles (povezanih z neraztegljivim kablom), ki se premikata vzporedno z eno osjo NS. Zapišimo diferencialne zakone gibanja v projekcijah na os NS za vsako telo.

Naj desna teža pada s pospeškom, nato pa se bo leva teža s pospeškom dvignila. Psihično se osvobodimo povezave (kabla) in jo nadomestimo z reakcijami in (sl. 3.3)... Ob predpostavki, da so telesa prosta, sestavimo diferencialne zakone gibanja v projekciji na os NS(kar pomeni, da so napetosti niti notranje sile, teža uteži pa zunanje):

Ker in (telesa sta povezana z neraztegljivim kablom), dobimo

Rešitev teh enačb za pospešek in napetost kabla T, dobimo

.

Upoštevajte, da napetost kabla ni enaka teži ustrezne obremenitve.

3. 2. Izrek o gibanju središča mase

Znano je, da se lahko togo telo in mehanski sistem v ravnini premikata precej zapleteno. Prvi izrek o gibanju telesa in mehanskega sistema je mogoče doseči takole: vrzi K.-L. predmet, sestavljen iz številnih togih teles, pritrjenih drug na drugega. Jasno je, da bo letel v paraboli. To se je pokazalo pri preučevanju gibanja točke. Vendar zdaj predmet ni točka. Med letom se obrača, ziblje okoli nekega učinkovitega središča, ki se giblje po paraboli. Prvi izrek o gibanju kompleksnih predmetov pravi, da je določeno učinkovito središče masno središče premikajočega se predmeta. Središče mase ni nujno v telesu samem, lahko pa tudi nekje zunaj njega.

Izrek. Masno središče mehanskega sistema se premika kot materialna točka z maso, ki je enaka masi celotnega sistema, na katero delujejo vse zunanje sile, ki delujejo na sistem.

Za dokaz izreka prepišemo diferencialne zakone gibanja (3.3) v naslednji obliki:

(3.5)

kje N Je število točk v sistemu.

Dodajmo enačbe glede na drugo:

(a)

Položaj središča mase mehanskega sistema glede na izbrani koordinatni sistem je določen s formulo (2.1): kje M Je masa sistema. Potem leva stran enakost (a) bo zapisana

Prva vsota na desni strani enačbe (a) je enaka glavnemu vektorju zunanjih sil, zadnja pa je po lastnosti notranjih sil enaka nič. Nato bo enakost (a) ob upoštevanju (b) prepisana

, (3.6)

tiste. produkt mase sistema s pospeškom njegovega masnega središča je enak geometrijski vsoti vseh zunanjih sil, ki delujejo na sistem.

Iz enačbe (3.6) sledi, da notranje sile ne vplivajo neposredno na gibanje središča mase. Vendar pa so v nekaterih primerih razlog za pojav zunanjih sil, ki delujejo na sistem. Tako notranje sile, ki poganjajo pogonska kolesa avtomobila v vrtenje, povzročijo, da nanj deluje zunanja sila oprijema, ki deluje na platišče kolesa.

Primer 2. Mehanizem, ki se nahaja v navpični ravnini, je nameščen na vodoravni gladki ravnini in nanjo pritrjen s palicami, togo pritrjenimi na površino TO in L (sl. 3.4).

Radij diska 1 R negibno. Masa diska 2 m in polmer r pritrjen z ročico, dolžina R+ r na točki C 2... Ročica se vrti konstantno

kotna hitrost. V začetnem trenutku je ročica zasedla desno vodoravni položaj... Če zanemarimo maso ročične gredi, določimo največje vodoravne in navpične sile, ki delujejo na drogove, če je skupna masa ležišča in kolesa 1 enaka M. Upoštevajte tudi obnašanje mehanizma v odsotnosti palic.

Rešitev... Sistem je sestavljen iz dveh mas ( N=2 ): stacionarni disk 1 z ležiščem in premični disk 2. Usmerimo os pri skozi težišče mirujočega diska navpično navzgor, os NS- vzdolž vodoravne ravnine.

Zapišimo izrek o gibanju središča mase (3.6) v koordinatni obliki

Zunanje sile tega sistema so: teža ležišča in stacionarnega diska - Mg, teža premikajočega se diska - mg, je skupna horizontalna reakcija vijakov; je normalna skupna reakcija ravnine. zato

Potem bodo zakoni gibanja (b) prepisani

Izračunajmo koordinate središča mase mehanskega sistema:

; (G)

kot je razvidno iz (sl. 3.4), , , (kot gonilke), ... Zamenjava teh izrazov v (d) in izračun drugih časovnih izpeljank t od,, to razumemo

(e)

Če zamenjamo (c) in (e) v (b), ugotovimo

Vodoravni tlak, ki deluje na palice, ima najvišjo in najnižjo vrednost, ko cos = 1 oziroma, tj.

Pritisk na mehanizem vodoravna ravnina ima največjo in najmanjšo vrednost, ko greh oziroma, tj.

Pravzaprav je bil rešen prvi problem dinamike: v skladu z dobro znanimi enačbami gibanja središča mase sistema (e) se sile, ki sodelujejo pri gibanju, obnovijo.

V odsotnosti palic K in L (sl. 3.4), lahko mehanizem začne odbijati čez vodoravno ravnino. Tako bo, ko bo t.j. ko iz tega sledi, da mora kotna hitrost vrtenja gonilke, pri kateri mehanizem odskoči, izpolnjevati enakost

.

3. 3. Zakon o ohranitvi gibanja središča mase

Če je glavni vektor zunanjih sil, ki delujejo na sistem, enak nič, t.j. potem od(3.6)iz tega sledi, da je pospešek središča mase nič, zato je hitrost središča mase konstantna po velikosti in smeri. Če zlasti v začetnem trenutku središče mase miruje, potem miruje ves čas, dokler glavni vektor zunanjih sil ni enak nič.

Iz tega izreka izhaja več posledic.

· Samo notranje sile ne morejo spremeniti narave gibanja središča mase sistema.

· Če je glavni vektor zunanjih sil, ki delujejo na sistem, enak nič, potem težišče miruje ali se giblje enakomerno in pravokotno.

· Če je projekcija glavnega vektorja zunanjih sil sistema na neko fiksno os enaka nič, se projekcija hitrosti središča mase sistema na to os ne spremeni.

· Par sil, ki delujejo na togo telo, ne more spremeniti gibanja njegovega masnega središča (lahko povzroči le vrtenje telesa okoli središča mase).

Poglejmo primer, ki ponazarja zakon ohranjanja gibanja središča mase.

Primer 3. Dve uteži sta masi in sta povezani z neraztegljivo nitjo, vrženo čez blok (sl. 3.5) nameščen na klin z maso M. Klin leži na gladki vodoravni ravnini. V začetnem trenutku je sistem miroval. Poiščite premik klina vzdolž ravnine, ko prvo breme spustite na višino N. Ne upoštevajte mase bloka in niti.

Rešitev. Zunanje sile, ki delujejo na klin skupaj z utežmi, so sile teže in Mg, kot tudi normalna reakcija gladke vodoravne površine N.

Ker je v začetnem trenutku sistem miroval, imamo.

Izračunajmo koordinato središča mase sistema v trenutku in v tem trenutku t 1 ko obremenitev tehta g spustiti v višino H.

Trenutno:

,

kje , , NS- koordinate središča mase bremen s težo g, g in teže klina Mg.

Recimo, da se klin v trenutku premika v pozitivni smeri osi Ox po znesku Lče teža pade na višino N. Potem, za trenutek

od bremeni skupaj s klinom se bodo premaknili v L v desno, tovor pa se bo premikal navzgor vzdolž klina. Ker po izračunih dobimo

.

3.4. Količina gibanja sistema

3.4.1. Izračun količine gibanja sistema

Količina gibanja materialne točke je vektorska količina, ki je enaka zmnožku mase točke z vektorjem njene hitrosti

Enota gibanja -

Količina gibanja mehanskega sistema imenujemo vektorska vsota količine gibanja posameznih točk sistema, t.j.

kje N Je število točk v sistemu.

Količino gibanja mehanskega sistema lahko izrazimo z maso sistema M in hitrost središča mase. res,

tiste. zagon sistema je enak zmnožku mase celotnega sistema s hitrostjo njegovega masnega središča. Smer je enaka smeri (sl. 3.6)

V projekcijah na pravokotne osi imamo

kjer so,, projekcije hitrosti središča mase sistema.

Tukaj M- masa mehanskega sistema; se ne spremeni, ko se sistem premakne.

Ti rezultati so še posebej uporabni pri izračunu količin gibanja togih teles.

Iz formule (3.7) je razvidno, da če se mehanski sistem premika tako, da njegovo masno središče ostane nepremično, potem zagon sistema ostane nič.

3.4.2. Elementarni in polni impulz sile

Delovanje sile na materialno točko skozi čas dt lahko označimo z elementarnim impulzom. Polni impulz moči skozi čas t, ali impulz sile, je določen s formulo

ali v projekcijah na koordinate osi

(3.8a)

Enota impulzne sile je.

3.4.3. Izrek o spremembi količine gibanja sistema

Na točke sistema naj delujejo zunanje in notranje sile. Nato lahko za vsako točko sistema uporabimo diferencialne zakone gibanja (3.3), pri čemer upoštevamo, da :

.

Če seštejemo vse točke sistema, dobimo

Po lastnosti notranjih sil in po definiciji imamo

(3.9)

Pomnožite obe strani te enačbe z dt, dobimo izrek o spremembi gibalne količine v diferencialni obliki:

, (3.10)

tiste. diferencial gibalne količine mehanskega sistema je enak vektorski vsoti elementarnih impulzov vseh zunanjih sil, ki delujejo na točke mehanskega sistema.

Izračun integrala obeh strani (3.10) v času od 0 do t, dobimo izrek v končni ali integralni obliki

(3.11)

V projekcijah na koordinatne osi bomo imeli

Sprememba količine gibanja mehanskega sistema skozi čast, je enak vektorski vsoti vseh impulzov zunanjih sil, ki delujejo na točke mehanskega sistema za isti čas.

Primer 4. Masna teža m se pod delovanjem sile spusti po nagnjeni ravnini iz mirovanja F, sorazmerno s časom: kje (sl. 3.7)... S kakšno hitrostjo bo telo pridobilo t sekund po začetku gibanja, če je koeficient drsnega trenja bremena na nagnjeni ravnini f.

Rešitev. Oglejmo si sile, ki delujejo na obremenitev: mg - sila teže bremena, N Je normalna reakcija ravnine, je sila drsnega trenja bremena na ravnino in. Smer vseh sil je prikazana v (sl. 3.7).

Usmerimo os NS vzdolž nagnjene ravnine navzdol. Zapišimo izrek o spremembi gibalne količine (3.11) v projekciji na os NS:

(a)

Po pogoju, saj v začetnem trenutku je breme mirovalo. Vsota projekcij impulzov vseh sil na os x je

zato

,

.

3.4.4. Zakoni ohranjanja gibalne količine

Ohranjevalni zakoni so pridobljeni kot posebni primeri izreka o spreminjanju zagona. Možna sta dva posebna primera.

· Če je vektorska vsota vseh zunanjih sil, ki delujejo na sistem, enaka nič, t.j. , potem izrek implicira (3.9) , kaj ,

tiste. če je glavni vektor zunanjih sil sistema enak nič, je zagon sistema konstanten po velikosti in smeri.

· Če je projekcija glavnega vektorja zunanjih sil na katero koli koordinatna os je enak nič, na primer Oh, t.j. , potem je projekcija zagona na to os konstantna.

Oglejmo si primer uporabe zakona o ohranitvi gibalne količine.

Primer 5. Balistično nihalo je telo mase, obešeno na dolgi niti (sl. 3.8).

Krogla z maso, ki se giblje s hitrostjo V in pade v negibno telo, se vanj zatakne in telo se odvrne. Kolikšna je bila hitrost krogle, če se je telo dvignilo na višino h ?

Rešitev. Naj telo z zagozdeno kroglo pridobi hitrost. Nato lahko z uporabo zakona o ohranitvi gibalne količine pri interakciji dveh teles zapišemo .

Hitrost je mogoče izračunati z uporabo zakona ohranjanja mehanske energije ... Potem . Posledično najdemo

.

Primer 6... Voda vstopi v fiksni kanal (sl. 3.9) spremenljiv odsek s hitrostjo pod kotom na obzorje; površina prečnega prereza kanala na vhodu; hitrost vode na izstopu iz kanala in naredi kot z obzorjem.

Določite vodoravno komponento reakcije, ki jo ima voda na stenah kanala. Gostota vode .

Rešitev. Določili bomo horizontalno komponento reakcije sten kanala na vodo. Ta sila je enaka po velikosti in nasprotna predznaku zahtevani sili. Glede na (3.11a) imamo

... (a)

Izračunamo maso volumna tekočine, ki vstopi v kanal v času t:

Imenuje se vrednost rАV 0 druga masa - masa tekočine, ki teče skozi kateri koli del cevi na enoto časa.

Enaka količina vode zapusti kanal v istem času. Začetna in končna hitrost sta podani v pogoju.

Izračunajmo desno stran enakosti (a), ki določa vsoto projekcij na vodoravno os zunanjih sil, ki delujejo na sistem (vodo). Edina vodoravna sila je vodoravna komponenta nastale stenske reakcije R x... Ta sila je pri enakomernem toku vode konstantna. Zato

... (v)

Če zamenjamo (b) in (c) v (a), dobimo

3.5. Kinetični moment sistema

3.5.1. Glavni moment zagona sistema

Naj je vektor polmera točke z maso sistema glede na neko točko A, imenovano središče (sl. 3.10).

Kotni moment (kinetični moment) točke glede na središče A se imenuje vektor , določeno s formulo

. (3.12)

Poleg tega vektor usmerjen pravokotno na ravnino, ki poteka skozi središče A in vektor .

Kotni moment (kotni moment) točke glede na os se imenuje projekcija na to os kotnega momenta točke glede na katero koli središče, izbrano na dani osi.

Glavni moment zagona (kinetični moment) sistema glede na središče A imenovana vrednost

(3.13)

Glavni moment zagona (kinetični moment) sistema okoli osi se imenuje projekcija na to os glavnega momenta gibanja sistema glede na katero koli izbrano na danem sredinska os.

3.5.2. Kinetični moment vrtečega se togega telesa okoli osi vrtenja

Združljiva fiksna točka O telo, ki leži na osi vrtenja Oz, z izvorom koordinatnega sistema oooz, katere osi se bodo vrtele s telesom (sl. 3.11)... Naj je vektor polmera točke telesa glede na izvor in označimo njegovo projekcijo na os z,,. Vektorske projekcije kotna hitrost telesa na istih oseh označujemo z 0, 0, ().

Ministrstvo za izobraževanje in znanost Ruska federacija

Zvezni državni proračunski izobraževalni zavod za visoko strokovno izobraževanje

"Kubanska državna tehnološka univerza"

Teoretična mehanika

2. del zvočnik

Odobreno s strani uredništva in založbe

svet univerze kot

študijski vodnik

Krasnodar

UDK 531.1 / 3 (075)

Teoretična mehanika. 2. del. Dinamika: Učbenik / LI Draiko; kubanski. država technol.un-t. Krasnodar, 2011. 123 str.

ISBN 5-230-06865-5

Teoretično gradivo je predstavljeno v kratki obliki, podani so primeri reševanja problemov, od katerih večina odraža resnična tehnična vprašanja, pozornost je namenjena izbiri racionalne rešitve.

Namenjen je diplomantom dopisnega in daljanskega izobraževanja v gradbeništvu, prometu in strojništvu.

Tab. 1 sl. 68 Bibliografija. 20 naslovov

Znanstveni urednik, kandidat tehniških znanosti, izr. V.F. Melnikov

Recenzenti: predstojnik Oddelka za teoretično mehaniko in teorijo mehanizmov in strojev Kubanske agrarne univerze prof. F.M. Kanarev; Izredni profesor Oddelka za teoretično mehaniko Kubanske državne tehnološke univerze M.E. Multich

Objavljeno s sklepom uredniškega in založniškega sveta Kubanske državne tehnološke univerze.

Ponatis

ISBN 5-230-06865-5 KubGTU 1998

Predgovor

Ta učbenik je namenjen dopisnim študentom smeri gradbeništvo, promet in strojništvo, vendar ga lahko uporabljajo pri študiju oddelka "Dinamika" predmeta teoretična mehanika dopisni študenti drugih specialnosti, pa tudi redni študenti pri samostojnem delu.

Priročnik je sestavljen v skladu z veljavnim programom predmeta teoretična mehanika, zajema vsa vprašanja glavnega dela predmeta. Vsak del vsebuje kratko teoretično gradivo, opremljeno z ilustracijami in navodili za njegovo uporabo pri reševanju problemov. Priročnik obravnava rešitev 30 problemov, ki odražajo resnična tehnična vprašanja in ustrezajo kontrolnim nalogam za samostojna odločitev... Za vsako nalogo je predstavljena shema izračuna, ki jasno ponazarja rešitev. Zasnova rešitve ustreza zahtevam za oblikovanje testnih nalog izrednih študentov.

Avtor izraža globoko hvaležnost učiteljem Oddelka za teoretično mehaniko in teorijo mehanizmov in strojev Kubanske agrarne univerze za njihovo veliko delo pri pregledu učbenika, pa tudi učiteljem Oddelka za teoretično mehaniko Kubanske države. Tehnološki univerzi za dragocene pripombe in nasvete pri pripravi učbenika za objavo.

Vse kritične pripombe in predloge bo avtor v prihodnje s hvaležnostjo sprejel.

Uvod

Dinamika je najpomembnejša veja teoretične mehanike. Večina specifičnih problemov v inženirski praksi je povezana z dinamiko. S pomočjo zaključkov statike in kinematike dinamika vzpostavlja splošne zakonitosti gibanja materialnih teles pod delovanjem uporabljenih sil.

Najenostavnejši materialni predmet je materialna točka. Za materialno točko lahko vzamemo materialno telo katere koli oblike, katerega dimenzije lahko v obravnavanem problemu zanemarimo. Telo končnih dimenzij lahko vzamemo kot materialno točko, če razlika v gibanju njegovih točk ni bistvena za določen problem. To se zgodi, ko so dimenzije telesa majhne v primerjavi z razdaljami, ki jih prepotujejo točke telesa. Vsak delček trdne snovi se lahko šteje za materialno točko.

Sile, ki delujejo na točko ali materialno telo v dinamiki, se ocenjujejo po njihovem dinamičnem učinku, torej po tem, kako spremenijo značilnosti gibanja materialnih predmetov.

Gibanje materialnih predmetov v času poteka v prostoru glede na določen referenčni okvir. V klasični mehaniki, ki temelji na Newtonovih aksiomih, se prostor šteje za tridimenzionalen, njegove lastnosti niso odvisne od materialnih predmetov, ki se v njem gibljejo. Položaj točke v takem prostoru določajo tri koordinate. Čas ni povezan s prostorom in gibanjem materialnih predmetov. Za vse referenčne sisteme velja enako.

Zakoni dinamike opisujejo gibanje materialnih predmetov glede na absolutne osi koordinat, ki jih običajno vzamemo kot nepremične. Izvor absolutnega koordinatnega sistema je vzet v središču Sonca, osi pa so usmerjene na oddaljene, običajno nepremične zvezde. Pri reševanju številnih tehničnih problemov lahko koordinatne osi, povezane z Zemljo, običajno štejemo za negibne.

Parametri mehanskega gibanja materialnih predmetov v dinamiki se ugotavljajo z matematičnimi odbitki iz osnovnih zakonov klasične mehanike.

Prvi zakon (zakon vztrajnosti):

Materialna točka ohranja stanje mirovanja ali enakomernega in pravokotnega gibanja, dokler jo delovanje katere koli sile ne pripelje iz tega stanja.

Enakomerno in pravokotno gibanje točke imenujemo inercialno gibanje. Počitek je poseben primer inercialnega gibanja, ko je hitrost točke enaka nič.

Vsaka materialna točka je inertna, to pomeni, da želi vzdrževati stanje mirovanja ali enakomernega pravokotnega gibanja. Referenčni okvir, v zvezi s katerim je izpolnjen vztrajnostni zakon, se imenuje inercialni, gibanje, opaženo v zvezi s tem okvirjem, pa se imenuje absolutno. Vsak referenčni okvir, ki izvaja translacijsko pravokotno in enakomerno gibanje glede na inercialni okvir, bo tudi inercialni okvir.

Drugi zakon (osnovni zakon dinamike):

Pospešek materialne točke glede na inercialni referenčni sistem je sorazmeren s silo, ki deluje na točko, in sovpada s silo v smeri:
.

Iz osnovnega zakona dinamike izhaja, da s silo
pospešek
... Masa točke označuje stopnjo odpornosti točke na spremembo njene hitrosti, torej je merilo vztrajnosti materialne točke.

Tretji zakon (zakon akcije in reakcije):

Sili, s katerimi dve telesi delujeta drug na drugega, sta enaki po velikosti in usmerjeni vzdolž ene premice v nasprotni smeri.

Pri tem se uporabljajo sile, imenovane akcija in reakcija različna telesa in zato ne tvorijo uravnoteženega sistema.

Četrti zakon (zakon neodvisnosti delovanja sil):

Ob hkratnem delovanju več sil je pospešek materialne točke enak geometrijski vsoti pospeškov, ki bi jih imela točka pod delovanjem vsake sile posebej:

, kje
,
,…,
.

(MEHANSKI SISTEMI) - IV možnost

1. Osnovno enačbo dinamike materialne točke, kot je znano, izrazimo z enačbo. Diferencialne enačbe premike poljubnih točk neprostega mehanskega sistema po dveh metodah delitve sil lahko zapišemo v dveh oblikah:

(1) , kjer je k = 1, 2, 3,…, n število točk materialnega sistema.

(2)

kjer je masa k-te točke; je vektor polmera k-te točke, je podana (aktivna) sila, ki deluje na k-to točko, ali rezultanta vseh aktivnih sil, ki delujejo na k-to točko. - rezultanta sil reakcij vezi, ki delujejo na k-to točko; - rezultanta notranjih sil, ki delujejo na k-to točko; je rezultanta zunanjih sil, ki delujejo na k-to točko.

Z enačbama (1) in (2) si lahko prizadevamo rešiti tako prvi kot drugi problem dinamike. Vendar pa se rešitev drugega problema dinamike za sistem zelo zaplete ne le z matematičnega vidika, temveč tudi zato, ker se soočamo s temeljnimi težavami. Sestojijo iz dejstva, da je tako za sistem (1) kot za sistem (2) število enačb precejšnje manjše število neznanke.

Torej, če uporabimo (1), bo dinamika za drugi (inverzni) problem znana in bo neznana. Vektorske enačbe bodo " n", In neznanke -" 2n ".

Če izhajamo iz sistema enačb (2), potem poznamo tudi nekatere zunanje sile. Zakaj del? Dejstvo je, da zunanje sile vključujejo tudi zunanje reakcije vezi, ki so neznane. Poleg tega bo neznano tudi.

Tako sistem (1) in sistem (2) NISTA ZAPRTA. Treba je dodati enačbe, pri čemer je treba upoštevati enačbe omejitev, morda pa morate še vedno naložiti nekatere omejitve na same omejitve. Kaj storiti?

Če izhajamo iz (1), potem lahko sledimo poti sestavljanja Lagrangeovih enačb prve vrste. A ta pot ni racionalna, ker kaj lažja naloga(manj stopenj svobode), težje ga je z matematičnega vidika rešiti.

Potem bodimo pozorni na sistem (2), kjer sta - vedno neznana. Prvi korak pri reševanju sistema je odprava teh neznank. Upoštevati je treba, da nas notranje sile med gibanjem sistema praviloma ne zanimajo, torej ko se sistem premika, ni treba vedeti, kako se premika posamezna točka sistema, dovolj pa je vedeti, kako se sistem kot celota premika.

Torej če različne poti iz sistema (2) izločimo neznane sile, potem dobimo nekatera razmerja, tj Splošne značilnosti za sistem, katerega poznavanje omogoča presojo, kako se sistem na splošno giblje. Te značilnosti uvajamo s pomočjo t.i splošni izreki zvočniki. Obstajajo štirje takšni izreki:

1. Izrek o gibanje središča mase mehanskega sistema;

2. Izrek o spreminjanje zagona mehanskega sistema;

3. Izrek o sprememba kotnega momenta mehanskega sistema;

4. Izrek o spremembe kinetične energije mehanskega sistema.