6.1. OSNOVNI POJMOVI I DEFINICIJE

Pri rješavanju raznih problema iz matematike i fizike, biologije i medicine često nije moguće odmah uspostaviti funkcionalni odnos u obliku formule koja povezuje varijable, koji opisuju proces koji se proučava. Obično morate koristiti jednadžbe koje sadrže, osim nezavisne varijable i nepoznate funkcije, i njezine izvodnice.

Definicija. Poziva se jednadžba koja povezuje nezavisnu varijablu, nepoznatu funkciju i njezine izvodnice različitih redova diferencijal.

Obično se označava nepoznata funkcija y(x) ili jednostavno y, i njegovi derivati ​​- y", y" itd.

Moguće su i druge oznake, npr.: ako g= x(t), tada x"(t), x""(t)- njegove izvedenice, i t- neovisna varijabla.

Definicija. Ako funkcija ovisi o jednoj varijabli, tada se diferencijalna jednadžba naziva običnom. Opći obrazac obična diferencijalna jednadžba:

ili

Funkcije F I f možda neće sadržavati neke argumente, ali da bi jednadžbe bile diferencijalne, bitna je prisutnost derivata.

Definicija.Red diferencijalne jednadžbe naziva se red najveće derivacije koja je u njemu uključena.

Na primjer, x 2 y"- g= 0, y" + sin x= 0 su jednadžbe prvog reda, i y"+ 2 y"+ 5 g= x- jednadžba drugog reda.

Pri rješavanju diferencijalnih jednadžbi koristi se operacija integracije koja je povezana s pojavom proizvoljne konstante. Ako se primijeni akcija integracije n puta, tada će, očito, rješenje sadržavati n proizvoljne konstante.

6.2. DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE PRVOG REDA

Opći obrazac diferencijalna jednadžba prvog reda određuje se izrazom

Jednadžba ne smije eksplicitno sadržavati x I y, ali nužno sadrži y".

Ako se jednadžba može napisati kao

tada dobivamo diferencijalnu jednadžbu prvog reda riješenu s obzirom na derivaciju.

Definicija. Opće rješenje diferencijalne jednadžbe prvog reda (6.3) (ili (6.4)) je skup rješenja , Gdje S- proizvoljna konstanta.

Graf rješenja diferencijalne jednadžbe naziva se integralna krivulja.

Zadavanje proizvoljne konstante S različite vrijednosti, mogu se dobiti parcijalna rješenja. Na površini xOy opće rješenje je obitelj integralnih krivulja koje odgovaraju svakom pojedinom rješenju.

Ako postavite točku A (x 0, y 0), kroz koje mora proći integralna krivulja, tada u pravilu iz skupa funkcija Može se izdvojiti jedno - privatno rješenje.

Definicija.Privatna odluka diferencijalne jednadžbe je njezino rješenje koje ne sadrži proizvoljne konstante.

Ako je opće rješenje, zatim iz uvjeta

možete pronaći konstantu S. Stanje se zove početno stanje.

Problem pronalaženja određenog rješenja diferencijalne jednadžbe (6.3) ili (6.4) koje zadovoljava početni uvjet na nazvao Cauchyjev problem. Ima li ovaj problem uvijek rješenje? Odgovor je sadržan u sljedećem teoremu.

Cauchyjev teorem(teorem postojanja i jedinstvenosti rješenja). Neka u diferencijalnoj jednadžbi y"= f(x,y) funkcija f(x,y) i nju

djelomična derivacija definiran i kontinuiran u nekim

regija D, koji sadrži točku Zatim u području D postoji

jedina odluka jednadžba koja zadovoljava početni uvjet na

Cauchyjev teorem tvrdi da pod određenim uvjetima postoji jedinstvena integralna krivulja g= f(x), prolazeći kroz točku Točke u kojima uvjeti teorema nisu ispunjeni

Cauchies se zovu poseban. Na tim točkama se lomi f(x, y) ili.

Nekoliko integralnih krivulja ili nijedna ne prolazi kroz singularnu točku.

Definicija. Ako se rješenje (6.3), (6.4) nađe u obliku f(x, y, C)= 0, nije dopušteno u odnosu na y, tada se poziva opći integral diferencijalna jednadžba.

Cauchyjev teorem jamči samo postojanje rješenja. Budući da ne postoji jedinstvena metoda za pronalaženje rješenja, razmotrit ćemo samo neke vrste diferencijalnih jednadžbi prvog reda koje se mogu integrirati u kvadrature

Definicija. Diferencijalna jednadžba se zove integrabilan u kvadraturama, ako se pronalaženje njezina rješenja svodi na integriranje funkcija.

6.2.1. Diferencijalne jednadžbe prvog reda sa separabilnim varijablama

Definicija. Diferencijalna jednadžba prvog reda naziva se jednadžba sa odvojive varijable,

Desna strana jednadžbe (6.5) je umnožak dviju funkcija od kojih svaka ovisi samo o jednoj varijabli.

Na primjer, jednadžba je jednadžba s odvajanjem

pomiješano s varijablama
i jednadžba

ne može se prikazati u obliku (6.5).

S obzirom na to , prepisujemo (6.5) u obliku

Iz ove jednadžbe dobivamo diferencijalnu jednadžbu s odvojenim varijablama, u kojoj su diferencijali funkcije koje ovise samo o odgovarajućoj varijabli:

Integrirajući pojam po pojam, imamo

gdje je C = C 2 - C 1 - proizvoljna konstanta. Izraz (6.6) je opći integral jednadžbe (6.5).

Dijeljenjem obje strane jednadžbe (6.5) s, možemo izgubiti ona rješenja za koja, Doista, ako na

Da očito je rješenje jednadžbe (6.5).

Primjer 1. Pronađite rješenje jednadžbe koje zadovoljava

stanje: g= 6 at x= 2 (g(2) = 6).

Riješenje. Mi ćemo zamijeniti y" zatim . Pomnožite obje strane s

dx, budući da je tijekom daljnje integracije nemoguće napustiti dx u nazivniku:

a zatim podijelivši oba dijela po dobivamo jednadžbu,

koji se mogu integrirati. Integrirajmo:

Zatim ; potenciramo, dobivamo y = C. (x + 1) - ob-

opće rješenje.

Koristeći početne podatke, određujemo proizvoljnu konstantu, zamjenjujući ih u opće rješenje

Napokon dobivamo g= 2(x + 1) je posebno rješenje. Pogledajmo još nekoliko primjera rješavanja jednadžbi s odvojivim varijablama.

Primjer 2. Pronađite rješenje jednadžbe

Riješenje. S obzirom na to , dobivamo .

Integrirajući obje strane jednadžbe, imamo

gdje

Primjer 3. Pronađite rješenje jednadžbe Riješenje. Obje strane jednadžbe dijelimo na one faktore koji ovise o varijabli koja se ne poklapa s varijablom pod diferencijalnim predznakom, tj. i integrirati. Onda dobivamo

i konačno

Primjer 4. Pronađite rješenje jednadžbe

Riješenje. Znajući što ćemo dobiti. Odjeljak

lim varijable. Zatim

Integracijom, dobivamo

Komentar. U primjerima 1 i 2 tražena funkcija je g izražen eksplicitno (opće rješenje). U primjerima 3 i 4 - implicitno (opći integral). Ubuduće se neće precizirati oblik odluke.

Primjer 5. Pronađite rješenje jednadžbe Riješenje.

Primjer 6. Pronađite rješenje jednadžbe , zadovoljavajuće

stanje vi)= 1.

Riješenje. Zapišimo jednadžbu u obliku

Množenje obje strane jednadžbe s dx i dalje, dobivamo

Integrirajući obje strane jednadžbe (integral s desne strane uzet je po dijelovima), dobivamo

Ali prema stanju g= 1 at x= e. Zatim

Zamijenimo pronađene vrijednosti S na opće rješenje:

Rezultirajući izraz naziva se parcijalno rješenje diferencijalne jednadžbe.

6.2.2. Homogene diferencijalne jednadžbe prvog reda

Definicija. Diferencijalna jednadžba prvog reda naziva se homogeno, ako se može prikazati u obliku

Predstavimo algoritam za rješavanje homogene jednadžbe.

1.Umjesto toga g uvedimo novu funkciju Onda i stoga

2.U smislu funkcije u jednadžba (6.7) ima oblik

tj. zamjena smanjuje homogena jednadžba na jednadžbu s odvojivim varijablama.

3. Rješavajući jednadžbu (6.8), prvo nalazimo u, a zatim g= ux.

Primjer 1. Riješite jednadžbu Riješenje. Zapišimo jednadžbu u obliku

Vršimo zamjenu:
Zatim

Mi ćemo zamijeniti

Pomnožite s dx: Podijelite po x i dalje Zatim

Nakon što smo integrirali obje strane jednadžbe preko odgovarajućih varijabli, imamo

ili, vraćajući se na stare varijable, konačno dobivamo

Primjer 2.Riješite jednadžbu Riješenje.Neka Zatim

Podijelimo obje strane jednadžbe s x2: Otvorimo zagrade i presložimo pojmove:

Prelazeći na stare varijable, dolazimo do konačnog rezultata:

Primjer 3.Pronađite rješenje jednadžbe s obzirom na to

Riješenje.Izvođenje standardne zamjene dobivamo

ili

ili

To znači da određeno rješenje ima oblik Primjer 4. Pronađite rješenje jednadžbe

Riješenje.

Primjer 5.Pronađite rješenje jednadžbe Riješenje.

Samostalni rad

Pronađite rješenja diferencijalnih jednadžbi sa separabilnim varijablama (1-9).

Pronađite rješenje homogenih diferencijalnih jednadžbi (9-18).

6.2.3. Neke primjene diferencijalnih jednadžbi prvog reda

Problem radioaktivnog raspada

Brzina raspada Ra (radija) u svakom trenutku proporcionalna je njegovoj dostupnoj masi. Nađite zakon radioaktivnog raspada Ra ako se zna da je Ra bio u početnom trenutku i da je vrijeme poluraspada Ra 1590 godina.

Riješenje. Neka u ovom trenutku masa Ra bude x= x(t) g, i Tada je brzina raspada Ra jednaka

Prema uvjetima problema

Gdje k

Odvajanjem varijabli u posljednjoj jednadžbi i integriranjem, dobivamo

gdje

Za određivanje C koristimo početni uvjet: kada .

Zatim i stoga,

Faktor proporcionalnosti k određuje se iz dodatnog uvjeta:

Imamo

Odavde i traženu formulu

Problem s brzinom reprodukcije bakterija

Brzina razmnožavanja bakterija proporcionalna je njihovom broju. Na početku je bilo 100 bakterija. Unutar 3 sata njihov se broj udvostručio. Odredite ovisnost broja bakterija o vremenu. Koliko će se puta povećati broj bakterija unutar 9 sati?

Riješenje. Neka x- broj bakterija u jednom trenutku t. Tada, prema uvjetu,

Gdje k- koeficijent proporcionalnosti.

Odavde Iz stanja se zna da . Sredstva,

Od dodatnog uvjeta . Zatim

Funkcija koju tražite:

Pa kad t= 9 x= 800, tj. unutar 9 sati broj bakterija se povećao 8 puta.

Problem povećanja količine enzima

U kulturi pivskog kvasca, brzina rasta aktivnog enzima proporcionalna je njegovoj početnoj količini. x. Početna količina enzima a udvostručio unutar sat vremena. Pronađite ovisnost

x(t).

Riješenje. Prema uvjetu, diferencijalna jednadžba procesa ima oblik

odavde

Ali . Sredstva, C= a i onda

Također je poznato da

Stoga,

6.3. DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE DRUGOG REDA

6.3.1. Osnovni koncepti

Definicija.Diferencijalna jednadžba drugog reda naziva se relacija koja povezuje nezavisnu varijablu, željenu funkciju i njenu prvu i drugu derivaciju.

U posebnim slučajevima, x može nedostajati u jednadžbi, na ili y". Međutim, jednadžba drugog reda mora nužno sadržavati y." U općem slučaju, diferencijalna jednadžba drugog reda piše se kao:

ili, ako je moguće, u obliku razriješenom s obzirom na drugu derivaciju:

Kao i u slučaju jednadžbe prvog reda, za jednadžbu drugog reda mogu postojati opća i posebna rješenja. Općenito rješenje je:

Pronalaženje određenog rješenja

pod početnim uvjetima – zadani

brojevi) naziva se Cauchyjev problem. Geometrijski to znači da trebamo pronaći integralnu krivulju na= y(x), prolazeći kroz datu točku i imajući tangentu u ovoj točki koja je

poravnava s pozitivnim smjerom osi Vol navedeni kut. e. (Slika 6.1). Cauchyjev problem ima jedinstveno rješenje ako je desna strana jednadžbe (6.10), neprekidan

je diskontinuiran i ima kontinuirane parcijalne derivacije u odnosu na uh, uh" u nekom susjedstvu početne točke

Za pronalaženje konstanti uključeno u privatno rješenje, sustav se mora riješiti

Riža. 6.1. Integralna krivulja

I. Obične diferencijalne jednadžbe

1.1. Osnovni pojmovi i definicije

Diferencijalna jednadžba je jednadžba koja povezuje nezavisnu varijablu x, tražena funkcija g i njegove derivacije ili diferencijale.

Simbolično, diferencijalna jednadžba se piše na sljedeći način:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

Diferencijalna jednadžba se naziva običnom ako tražena funkcija ovisi o jednoj nezavisnoj varijabli.

Rješavanje diferencijalne jednadžbe naziva se funkcija koja ovu jednadžbu pretvara u identitet.

Red diferencijalne jednadžbe je red najveće derivacije uključene u ovu jednadžbu

Primjeri.

1. Razmotrimo diferencijalnu jednadžbu prvog reda

Rješenje ove jednadžbe je funkcija y = 5 ln x. Doista, zamjena y" u jednadžbu, dobivamo identitet.

A to znači da je funkcija y = 5 ln x– rješenje ove diferencijalne jednadžbe.

2. Razmotrimo diferencijalnu jednadžbu drugog reda y" - 5y" +6y = 0. Funkcija je rješenje ove jednadžbe.

Stvarno,.

Zamjenom ovih izraza u jednadžbu dobivamo: , – identitet.

A to znači da je funkcija rješenje ove diferencijalne jednadžbe.

Integriranje diferencijalnih jednadžbi je proces pronalaženja rješenja diferencijalnih jednadžbi.

Opće rješenje diferencijalne jednadžbe naziva funkcija oblika , koji uključuje onoliko nezavisnih proizvoljnih konstanti koliko je redoslijeda jednadžbe.

Parcijalno rješenje diferencijalne jednadžbe je rješenje dobiveno iz općeg rješenja za različite numeričke vrijednosti proizvoljnih konstanti. Vrijednosti proizvoljnih konstanti nalaze se na određenim početnim vrijednostima argumenta i funkcije.

Graf određenog rješenja diferencijalne jednadžbe naziva se integralna krivulja.

Primjeri

1. Pronađite određeno rješenje diferencijalne jednadžbe prvog reda

xdx + ydy = 0, Ako g= 4 at x = 3.

Riješenje. Integrirajući obje strane jednadžbe, dobivamo

Komentar. Proizvoljna konstanta C dobivena kao rezultat integracije može se prikazati u bilo kojem obliku pogodnom za daljnje transformacije. U ovom slučaju, uzimajući u obzir kanoničku jednadžbu kruga, pogodno je prikazati proizvoljnu konstantu C u obliku .

- opće rješenje diferencijalne jednadžbe.

Partikularno rješenje jednadžbe koje zadovoljava početne uvjete g = 4 at x = 3 nalazi se iz općeg zamjenom početnih uvjeta u opće rješenje: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

Zamjenom C=5 u opće rješenje dobivamo x 2 + y 2 = 5 2 .

Ovo je posebno rješenje diferencijalne jednadžbe dobiveno iz općeg rješenja pod zadanim početnim uvjetima.

2. Naći opće rješenje diferencijalne jednadžbe

Rješenje ove jednadžbe je bilo koja funkcija oblika , gdje je C proizvoljna konstanta. Doista, zamjenom u jednadžbe dobivamo: , .

Posljedično, ova diferencijalna jednadžba ima beskonačan broj rješenja, jer za različite vrijednosti konstante C jednakost određuje različita rješenja jednadžbe.

Na primjer, izravnom zamjenom možete provjeriti da funkcije su rješenja jednadžbe.

Zadatak u kojem trebate pronaći određeno rješenje jednadžbe y" = f(x,y) zadovoljavajući početni uvjet y(x 0) = y 0, naziva se Cauchyjev problem.

Rješavanje jednadžbe y" = f(x,y), koji zadovoljava početni uvjet, y(x 0) = y 0, naziva se rješenje Cauchyjevog problema.

Rješenje Cauchyjevog problema ima jednostavno geometrijsko značenje. Doista, prema ovim definicijama, riješiti Cauchyjev problem y" = f(x,y) s obzirom na to y(x 0) = y 0, znači pronaći integralnu krivulju jednadžbe y" = f(x,y) koja prolazi kroz datu točku M 0 (x 0,y 0).

II. Diferencijalne jednadžbe prvog reda

2.1. Osnovni koncepti

Diferencijalna jednadžba prvog reda je jednadžba oblika F(x,y,y") = 0.

Diferencijalna jednadžba prvog reda uključuje prvu derivaciju i ne uključuje derivacije višeg reda.

Jednadžba y" = f(x,y) naziva se jednadžba prvog reda riješena s obzirom na derivaciju.

Opće rješenje diferencijalne jednadžbe prvog reda je funkcija oblika , koja sadrži jednu proizvoljnu konstantu.

Primjer. Razmotrimo diferencijalnu jednadžbu prvog reda.

Rješenje ove jednadžbe je funkcija.

Doista, zamjenjujući ovu jednadžbu njezinom vrijednošću, dobivamo

to je 3x=3x

Stoga je funkcija opće rješenje jednadžbe za bilo koju konstantu C.

Pronađite određeno rješenje ove jednadžbe koje zadovoljava početni uvjet y(1)=1 Zamjena početnih uvjeta x = 1, y = 1 u opće rješenje jednadžbe, dobivamo odakle C=0.

Dakle, dobivamo posebno rješenje iz općeg zamjenom dobivene vrijednosti u ovu jednadžbu C=0– privatno rješenje.

2.2. Diferencijalne jednadžbe sa separabilnim varijablama

Diferencijalna jednadžba sa separabilnim varijablama je jednadžba oblika: y"=f(x)g(y) ili preko diferencijala, gdje f(x) I g (y)– određene funkcije.

Za one g, za koje , jednadžba y"=f(x)g(y) je ekvivalentan jednadžbi, u kojoj varijabla g prisutna je samo s lijeve strane, a varijabla x samo s desne strane. Kažu, "u jednadžbi y"=f(x)g(y Razdvojimo varijable."

Jednadžba oblika naziva se jednadžba odvojene varijable.

Integriranje obje strane jednadžbe Po x, dobivamo G(y) = F(x) + C je opće rješenje jednadžbe, gdje je G(y) I F(x)– neki antiderivati, odnosno, funkcija i f(x), C proizvoljna konstanta.

Algoritam za rješavanje diferencijalne jednadžbe prvog reda sa separabilnim varijablama

Primjer 1

Riješite jednadžbu y" = xy

Riješenje. Derivacija funkcije y" zamijenite ga sa

razdvojimo varijable

Integrirajmo obje strane jednakosti:

Primjer 2

2yy" = 1- 3x 2, Ako y 0 = 3 na x 0 = 1

Ovo je jednadžba odvojene varijable. Zamislimo to u diferencijalima. Da bismo to učinili, prepisujemo ovu jednadžbu u obliku Odavde

Integrirajući obje strane posljednje jednakosti, nalazimo

Zamjena početnih vrijednosti x 0 = 1, y 0 = 3 pronaći ćemo S 9=1-1+C, tj. C = 9.

Stoga će traženi parcijalni integral biti ili

Primjer 3

Napišite jednadžbu za krivulju koja prolazi točkom M(2;-3) a ima tangentu s kutnim koeficijentom

Riješenje. Prema stanju

Ovo je jednadžba s odvojivim varijablama. Dijeljenjem varijabli dobivamo:

Integrirajući obje strane jednadžbe, dobivamo:

Koristeći početne uvjete, x = 2 I y = - 3 pronaći ćemo C:

Stoga tražena jednadžba ima oblik

2.3. Linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda

Linearna diferencijalna jednadžba prvog reda je jednadžba oblika y" = f(x)y + g(x)

Gdje f(x) I g(x)- neke specificirane funkcije.

Ako g(x)=0 tada se linearna diferencijalna jednadžba naziva homogenom i ima oblik: y" = f(x)y

Ako tada jednadžba y" = f(x)y + g(x) naziva se heterogenim.

Opće rješenje linearne homogene diferencijalne jednadžbe y" = f(x)y daje se formulom: gdje je S– proizvoljna konstanta.

Konkretno, ako C =0, onda je rješenje y = 0 Ako linearna homogena jednadžba ima oblik y" = ky Gdje k je neka konstanta, tada njeno opće rješenje ima oblik: .

Opće rješenje linearne nehomogene diferencijalne jednadžbe y" = f(x)y + g(x) daje se formulom ,

oni. jednak je zbroju općeg rješenja odgovarajuće linearne homogene jednadžbe i partikularnog rješenja te jednadžbe.

Za linearnu nehomogenu jednadžbu oblika y" = kx + b,

Gdje k I b- neki brojevi i određeno rješenje bit će stalna funkcija. Stoga opće rješenje ima oblik .

Primjer. Riješite jednadžbu y" + 2y +3 = 0

Riješenje. Predstavimo jednadžbu u obliku y" = -2y - 3 Gdje k = -2, b = -3 Opće rješenje dano je formulom.

Prema tome, gdje je C proizvoljna konstanta.

2.4. Rješavanje linearnih diferencijalnih jednadžbi prvog reda Bernoullijevom metodom

Pronalaženje općeg rješenja linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda y" = f(x)y + g(x) svodi na rješavanje dviju diferencijalnih jednadžbi s odvojenim varijablama pomoću supstitucije y=uv, Gdje u I v- nepoznate funkcije iz x. Ova metoda rješenja naziva se Bernoullijeva metoda.

Algoritam za rješavanje linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda

y" = f(x)y + g(x)

1. Unesite zamjenu y=uv.

2. Izdiferenciraj ovu jednakost y" = u"v + uv"

3. Zamjena g I y" u ovu jednadžbu: u"v + uv" =f(x)uv + g(x) ili u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Grupirajte članove jednadžbe tako da u izvadite iz zagrade:

5. Iz zagrade, izjednačujući je s nulom, pronađite funkciju

Ovo je odvojiva jednadžba:

Podijelimo varijable i dobijemo:

Gdje . .

6. Zamijenite dobivenu vrijednost v u jednadžbu (iz koraka 4):

i pronađite funkciju. Ovo je jednadžba s razdvojivim varijablama:

7. Opće rješenje napišite u obliku: , tj. .

Primjer 1

Pronađite određeno rješenje jednadžbe y" = -2y +3 = 0 Ako y =1 na x = 0

Riješenje. Riješimo to pomoću supstitucije y=uv,.y" = u"v + uv"

Zamjena g I y" u ovu jednadžbu, dobivamo

Grupiranjem drugog i trećeg člana na lijevoj strani jednadžbe uklanjamo zajednički faktor u izvan zagrada

Izraz u zagradama izjednačujemo s nulom i nakon rješavanja dobivene jednadžbe nalazimo funkciju v = v(x)

Dobivamo jednadžbu s odvojenim varijablama. Integrirajmo obje strane ove jednadžbe: Pronađite funkciju v:

Zamijenimo dobivenu vrijednost v u jednadžbu dobivamo:

Ovo je jednadžba odvojene varijable. Integrirajmo obje strane jednadžbe: Pronađimo funkciju u = u(x,c) Pronađimo opće rješenje: Nađimo određeno rješenje jednadžbe koje zadovoljava početne uvjete y = 1 na x = 0:

III. Diferencijalne jednadžbe višeg reda

3.1. Osnovni pojmovi i definicije

Diferencijalna jednadžba drugog reda je jednadžba koja sadrži derivacije najviše drugog reda. U općem slučaju, diferencijalna jednadžba drugog reda piše se kao: F(x,y,y",y") = 0

Opće rješenje diferencijalne jednadžbe drugog reda je funkcija oblika , koja uključuje dvije proizvoljne konstante C 1 I C 2.

Posebno rješenje diferencijalne jednadžbe drugog reda je rješenje dobiveno iz općeg rješenja za određene vrijednosti proizvoljnih konstanti C 1 I C 2.

3.2. Linearne homogene diferencijalne jednadžbe drugog reda sa konstantni koeficijenti.

Linearna homogena diferencijalna jednadžba drugog reda s konstantnim koeficijentima naziva jednadžba oblika y" + py" +qy = 0, Gdje str I q- konstantne vrijednosti.

Algoritam za rješavanje homogenih diferencijalnih jednadžbi drugog reda s konstantnim koeficijentima

1. Napišite diferencijalnu jednadžbu u obliku: y" + py" +qy = 0.

2. Napravite njegovu karakterističnu jednadžbu, označavajući y" kroz r 2, y" kroz r, g u 1: r 2 + pr + q = 0

Ili su već riješeni s obzirom na derivaciju, ili se mogu riješiti s obzirom na derivaciju .

Opće rješenje diferencijalnih jednadžbi tipa na intervalu x, koji je dan, može se pronaći uzimanjem integrala obje strane ove jednakosti.

Dobivamo .

Ako pogledamo svojstva neodređenog integrala, nalazimo željeno opće rješenje:

y = F(x) + C,

Gdje F(x)- jedan od antiderivacijske funkcije f(x) između x, A S- proizvoljna konstanta.

Imajte na umu da je u većini problema interval x ne ukazuju. To znači da se mora pronaći rješenje za sve. x, za koju i željenu funkciju g, a izvorna jednadžba ima smisla.

Ako trebate izračunati određeno rješenje diferencijalne jednadžbe koje zadovoljava početni uvjet y(x 0) = y 0, zatim nakon izračuna općeg integrala y = F(x) + C, još je potrebno odrediti vrijednost konstante C = C 0, koristeći početni uvjet. Odnosno konstanta C = C 0 određena iz jednadžbe F(x 0) + C = y 0, a željeno parcijalno rješenje diferencijalne jednadžbe će imati oblik:

y = F(x) + C 0.

Pogledajmo primjer:

Pronađimo opće rješenje diferencijalne jednadžbe i provjerimo točnost rezultata. Nađimo posebno rješenje ove jednadžbe koje bi zadovoljilo početni uvjet.

Riješenje:

Nakon što integriramo zadanu diferencijalnu jednadžbu, dobivamo:

.

Uzmimo ovaj integral metodom integracije po dijelovima:

Da., je opće rješenje diferencijalne jednadžbe.

Kako bismo bili sigurni da je rezultat točan, napravimo provjeru. Da bismo to učinili, rješenje koje smo pronašli zamijenimo u zadanu jednadžbu:

.

Odnosno kada originalna jednadžba se pretvara u identitet:

stoga je opće rješenje diferencijalne jednadžbe točno određeno.

Rješenje koje smo pronašli je opće rješenje diferencijalne jednadžbe za svaku realnu vrijednost argumenta x.

Preostaje izračunati određeno rješenje ODE koje bi zadovoljilo početni uvjet. Drugim riječima, potrebno je izračunati vrijednost konstante S, pri čemu će vrijediti jednakost:

.

.

Zatim, zamjena C = 2 u opće rješenje ODE-a, dobivamo partikularno rješenje diferencijalne jednadžbe koje zadovoljava početni uvjet:

.

Obična diferencijalna jednadžba može se riješiti za derivaciju dijeljenjem 2 strane jednadžbe s f(x). Ova će transformacija biti ekvivalentna ako f(x) ne pretvara se u nulu ni pod kojim okolnostima x iz intervala integracije diferencijalne jednadžbe x.

Postoje vjerojatne situacije kada, za neke vrijednosti argumenta x ∈ x funkcije f(x) I g(x) istovremeno postaju nula. Za slične vrijednosti x opće rješenje diferencijalne jednadžbe je bilo koja funkcija g, koji je u njima definiran, jer .

Ako za neke vrijednosti argumenata x ∈ x uvjet je zadovoljen, što znači da u ovom slučaju ODE nema rješenja.

Za sve ostale x iz intervala x iz transformirane jednadžbe određuje se opće rješenje diferencijalne jednadžbe.

Pogledajmo primjere:

Primjer 1.

Pronađimo opće rješenje za ODE: .

Riješenje.

Iz svojstava osnovnih elementarnih funkcija jasno je da je funkcija prirodnog logaritma definirana za nenegativne vrijednosti argumenta, stoga je domena definiranja izraza ln(x+3) postoji interval x > -3 . To znači da navedena diferencijalna jednadžba ima smisla za x > -3 . Za ove vrijednosti argumenata, izraz x+3 ne nestaje, tako da ODE za izvod možete riješiti dijeljenjem 2 dijela s x + 3.

Dobivamo .

Zatim integriramo dobivenu diferencijalnu jednadžbu, riješenu s obzirom na derivaciju: . Da bismo uzeli ovaj integral, koristimo se metodom podvođenja pod diferencijalni predznak.