Cilj:

• Formiranje pojma antiderivata.
• Priprema za percepciju integrala.
• Formiranje računalnih vještina.
• Njegovanje osjećaja za lijepo (sposobnost uočavanja ljepote u neobičnom).

Matematička analiza skup je grana matematike posvećenih proučavanju funkcija i njihovih generalizacija metodama diferencijalnog i integralnog računa.

Do sada smo proučavali granu matematičke analize zvanu diferencijalni račun, čija je bit proučavanje funkcije u "malom".

Oni. proučavanje funkcije u dovoljno malim susjedstvima svake definicijske točke. Jedna od operacija diferenciranja je pronalaženje izvoda (diferencijala) i njegova primjena na proučavanje funkcija.

Ništa manje važan nije ni obrnuti problem. Ako je poznato ponašanje funkcije u blizini svake točke njezine definicije, kako se onda može rekonstruirati funkcija kao cjelina, tj. u cijelom opsegu svoje definicije. Ovaj problem je predmet proučavanja tzv. integralnog računa.

Integracija je inverzna akcija diferencijacije. Ili vraćanje funkcije f(x) iz zadane derivacije f`(x). Latinska riječ “integro” znači restauracija.

Primjer br. 1.

Neka je (x)`=3x 2.
Nađimo f(x).

Riješenje:

Na temelju pravila diferenciranja nije teško pogoditi da je f(x) = x 3, jer je (x 3)` = 3x 2
Međutim, možete lako primijetiti da f(x) nije pronađeno jedinstveno.
Kao f(x) možemo uzeti
f(x)= x 3 +1
f(x)= x 3 +2
f(x)= x 3 -3, itd.

Budući da je derivacija svakog od njih jednaka 3x 2. (Derivacija konstante je 0). Sve te funkcije se međusobno razlikuju konstantnim članom. Zato zajednička odluka problem se može napisati u obliku f(x)= x 3 +C, gdje je C bilo koji konstantni realni broj.

Poziva se bilo koja od pronađenih funkcija f(x). PRIMODIJ za funkciju F`(x)= 3x 2

Definicija. Funkciju F(x) nazivamo antiderivacijom za funkciju f(x) na danom intervalu J ako je za sve x iz tog intervala F`(x)= f(x). Dakle, funkcija F(x)=x 3 je antiderivativna za f(x)=3x 2 na (- ∞ ; ∞).
Budući da za sve x ~R vrijedi jednakost: F`(x)=(x 3)`=3x 2

Kao što smo već primijetili, ovu funkciju ima beskonačan broj antiderivata (vidi primjer br. 1).

Primjer br. 2. Funkcija F(x)=x je antiderivativna za sve f(x)= 1/x na intervalu (0; +), jer za sve x iz ovog intervala vrijedi jednakost.
F`(x)= (x 1/2)`=1/2x -1/2 =1/2x

Primjer br. 3. Funkcija F(x)=tg3x je antiderivacija za f(x)=3/cos3x na intervalu (-n/ 2; P/ 2),
jer F`(x)=(tg3x)`= 3/cos 2 3x

Primjer br. 4. Funkcija F(x)=3sin4x+1/x-2 je antiderivativna za f(x)=12cos4x-1/x 2 na intervalu (0;∞)
jer F`(x)=(3sin4x)+1/x-2)`= 4cos4x-1/x 2

Predavanje 2.

Tema: Antiderivacija. Glavno svojstvo antiderivacijske funkcije.

Pri proučavanju antiderivacije oslonit ćemo se na sljedeću tvrdnju. Predznak konstantnosti funkcije: Ako je na intervalu J derivacija Ψ(x) funkcije jednaka 0, tada je na tom intervalu funkcija Ψ(x) konstantna.

Ova izjava se može pokazati geometrijski.

Poznato je da je Ψ`(x)=tgα, γde α kut nagiba tangente na graf funkcije Ψ(x) u točki s apscisom x 0. Ako je Ψ`(υ)=0 u bilo kojoj točki intervala J, tada je tanα=0 δ za bilo koju tangentu na graf funkcije Ψ(x). To znači da je tangenta na graf funkcije u bilo kojoj točki paralelna s apscisnom osi. Dakle, na navedenom intervalu graf funkcije Ψ(x) koincidira s ravnim odsječkom y=C.

Dakle, funkcija f(x)=c je konstantna na intervalu J ako je f`(x)=0 na tom intervalu.

Doista, za proizvoljne x 1 i x 2 iz intervala J, koristeći teorem o srednjoj vrijednosti funkcije, možemo napisati:
f(x 2) - f(x 1) = f`(c) (x 2 - x 1), jer f`(c)=0, tada je f(x 2)= f(x 1)

Teorem: (Glavno svojstvo antiderivacijske funkcije)

Ako je F(x) jedna od antiderivacija za funkciju f(x) na intervalu J, tada skup svih antiderivacija te funkcije ima oblik: F(x)+C, gdje je C bilo koji realni broj.

Dokaz:

Neka je F`(x) = f (x), tada je (F(x)+C)`= F`(x)+C`= f (x), za x Ê J.
Pretpostavimo da postoji Φ(x) - druga antiderivacija za f (x) na intervalu J, tj. Φ`(x) = f (x),
tada (Φ(x) - F(x))` = f (x) – f (x) = 0, za x Ê J.
To znači da je Φ(x) - F(x) konstantan na intervalu J.
Stoga je Φ(x) - F(x) = C.
Odakle je Φ(x)= F(x)+C.
To znači da ako je F(x) antiderivacija za funkciju f (x) na intervalu J, tada skup svih antiderivacija te funkcije ima oblik: F(x)+C, gdje je C bilo koji realni broj.
Posljedično, bilo koje dvije antiderivacije dane funkcije razlikuju se jedna od druge konstantnim članom.

Primjer: Nađite skup antiderivacija funkcije f (x) = cos x. Nacrtajte grafove prva tri.

Riješenje: Sin x je jedna od antiderivacija za funkciju f (x) = cos x
F(x) = Sin x+C – skup svih antiderivacija.

F 1 (x) = Sin x-1
F 2 (x) = Sin x
F 3 (x) = Sin x+1

Geometrijska ilustracija: Graf bilo koje antiderivacije F(x)+C može se dobiti iz grafa antiderivacije F(x) pomoću paralelnog prijenosa r (0;c).

Primjer: Za funkciju f (x) = 2x pronađite antiderivaciju čiji graf prolazi kroz t.M (1;4)

Riješenje: F(x)=x 2 +C – skup svih antiderivacija, F(1)=4 - prema uvjetima zadatka.
Prema tome, 4 = 1 2 +C
C = 3
F(x) = x 2 +3

Antiderivacija.

Antiderivat je lako razumjeti na primjeru.

Uzmimo funkciju y = x 3. Kao što znamo iz prethodnih odjeljaka, derivat od x 3 je 3 x 2:

(x 3)" = 3x 2 .

Prema tome, iz funkcije y = x 3 dobivamo nova značajka: na = 3x 2 .
Slikovito rečeno, funkcija na = x 3 proizvedena funkcija na = 3x 2 i njegov je "roditelj". U matematici ne postoji riječ "roditelj", ali postoji srodan koncept: antiderivacija.

Odnosno: funkcija y = x 3 je antiderivacija funkcije na = 3x 2 .

Definicija antiderivacije:

U našem primjeru ( x 3)" = 3x 2 dakle y = x 3 – antiderivat za na = 3x 2 .

Integracija.

Kao što znate, proces pronalaženja derivacije zadane funkcije naziva se diferencijacija. A inverzna operacija se zove integracija.

Primjer-objašnjenje:

na = 3x 2 + grijeh x.

Riješenje :

Znamo da je antiderivat za 3 x 2 je x 3 .

Antiderivat za grijeh x je –cos x.

Zbrojimo dvije antiderivacije i dobijemo antiderivaciju za zadanu funkciju:

y = x 3 + (–cos x),

y = x 3 – cos x.

odgovor:
za funkciju na = 3x 2 + grijeh x y = x 3 – cos x.

Primjer-objašnjenje:

Nađimo antiderivaciju za funkciju na= 2 grijeha x.

Riješenje :

Napominjemo da je k = 2. Antiderivat za sin x je –cos x.

Stoga, za funkciju na= 2 grijeha x antiderivat je funkcija na= –2cos x.
Koeficijent 2 u funkciji y = 2 sin x odgovara koeficijentu antiderivacije iz koje je ta funkcija nastala.

Primjer-objašnjenje:

Nađimo antiderivaciju za funkciju g= grijeh 2 x.

Riješenje :

Primjećujemo da k= 2. Protuizvedenica za grijeh x je –cos x.

Primjenjujemo našu formulu da pronađemo antiderivaciju funkcije g= cos 2 x:

1
g= - · (–cos 2 x),
2

jer 2 x
g = – ----
2

jer 2 x
Odgovor: za funkciju g= grijeh 2 x antiderivat je funkcija g = – ----
2

(4)

Primjer-objašnjenje.

Uzmimo funkciju iz prethodnog primjera: g= grijeh 2 x.

Za ovu funkciju svi antiderivati ​​imaju oblik:

jer 2 x
g = – ---- + C.
2

Obrazloženje.

Uzmimo prvu liniju. Ona glasi ovako: ako je funkcija y = f( x) je 0, onda je njegova antiderivacija 1. Zašto? Budući da je derivacija jedinice nula: 1" = 0.

Preostali redovi čitaju se istim redoslijedom.

Kako ispisati podatke iz tablice? Uzmimo liniju osam:

(-cos x)" = grijeh x

Drugi dio zapisujemo znakom izvodnice, zatim znakom jednakosti i izvodnicom.

Čitamo: antiderivacija za funkciju sin x je -cos funkcija x.

Ili: funkcija -cos x je antiderivacija za funkciju sin x.

Razmotrimo kretanje točke po ravnoj liniji. Neka potraje t od početka gibanja točka je prešla put s(t). Zatim trenutna brzina v(t) jednak izvodu funkcije s(t), to je v(t) = s"(t).

U praksi se susrećemo s obrnutim problemom: dana brzina gibanja točke v(t) pronaći put kojim je krenula s(t), odnosno pronaći takvu funkciju s(t),čija je derivacija jednaka v(t). Funkcija s(t), takav da s"(t) = v(t), naziva se antiderivacija funkcije v(t).

Na primjer, ako v(t) = at, Gdje A je zadani broj, zatim funkcija
s(t) = (na 2) / 2v(t), jer
s"(t) = ((at 2) / 2) " = at = v(t).

Funkcija F(x) naziva se antiderivacija funkcije f(x) na nekom intervalu, ako za sve x iz ove praznine F"(x) = f(x).

Na primjer, funkcija F(x) = sin x je antiderivacija funkcije f(x) = cos x, jer (sin x)" = cos x; funkcija F(x) = x 4/4 je antiderivacija funkcije f(x) = x 3, jer (x 4 /4)" = x 3.

Razmotrimo problem.

Zadatak.

Dokažite da su funkcije x 3 /3, x 3 /3 + 1, x 3 /3 – 4 antiderivacije iste funkcije f(x) = x 2.

Riješenje.

1) Označimo F 1 (x) = x 3 /3, tada je F" 1 (x) = 3 ∙ (x 2 /3) = x 2 = f(x).

2) F 2 (x) = x 3 /3 + 1, F" 2 (x) = (x 3 /3 + 1)" = (x 3 /3)" + (1)" = x 2 = f( x).

3) F 3 (x) = x 3 /3 – 4, F" 3 (x) = (x 3 /3 – 4)" = x 2 = f (x).

Općenito, svaka funkcija x 3 /3 + C, gdje je C konstanta, je antiderivacija funkcije x 2. To slijedi iz činjenice da je derivacija konstante nula. Ovaj primjer pokazuje da je za danu funkciju njezin antiderivacija određena višeznačno.

Neka su F 1 (x) i F 2 (x) dvije antiderivacije iste funkcije f(x).

Tada je F 1 "(x) = f(x) i F" 2 (x) = f(x).

Derivacija njihove razlike g(x) = F 1 (x) – F 2 (x) jednaka je nuli, budući da je g"(x) = F" 1 (x) – F" 2 (x) = f(x) ) – f (x) = 0.

Ako je g"(x) = 0 na nekom intervalu, tada je tangenta na graf funkcije y = g(x) u svakoj točki tog intervala paralelna s osi Ox. Stoga je graf funkcije y = g(x) je pravac paralelan s osi Ox, tj. g(x) = C, gdje je C neka konstanta. Iz jednakosti g(x) = C, g(x) = F 1 (x) – F 2 (x) slijedi da je F 1 (x) = F 2 (x) + S.

Dakle, ako je funkcija F(x) antiderivacija funkcije f(x) na nekom intervalu, tada se sve antiderivacije funkcije f(x) pišu u obliku F(x) + C, gdje je C proizvoljna konstanta.

Promotrimo grafove svih antiderivacija zadane funkcije f(x). Ako je F(x) jedna od antiderivacija funkcije f(x), tada je svaka antiderivacija te funkcije dobivena dodavanjem F(x) neke konstante: F(x) + C. Grafovi funkcija y = F( x) + C dobivaju se iz grafa y = F(x) pomakom duž Oy osi. Odabirom C možete osigurati da graf antiderivacije prolazi kroz zadanu točku.

Obratimo pozornost na pravila za pronalaženje antiderivata.

Podsjetimo se da se operacija nalaženja derivacije za zadanu funkciju zove diferencijacija. Inverzna operacija nalaženja antiderivacije za zadanu funkciju naziva se integracija(od latinske riječi "vratiti").

Tablica antiderivata za neke funkcije može se sastaviti pomoću tablice izvedenica. Na primjer, znajući da (cos x)" = -sin x, dobivamo (-cos x)" = sin x, iz čega slijedi da sve antiderivativne funkcije grijeh x napisani su u obrascu -cos x + C, Gdje S- konstantno.

Pogledajmo neka od značenja antiderivata.

1) Funkcija: x p, p ≠ -1. antiderivat: (x p+1) / (p+1) + C.

2) Funkcija: 1/x, x > 0. antiderivat: ln x + C.

3) Funkcija: x p, p ≠ -1. antiderivat: (x p+1) / (p+1) + C.

4) Funkcija: e x. antiderivat: e x + C.

5) Funkcija: grijeh x. antiderivat: -cos x + C.

6) Funkcija: (kx + b) p, r ≠ -1, k ≠ 0. antiderivat: (((kx + b) p+1) / k(p+1)) + C.

7) Funkcija: 1/(kx + b), k ≠ 0. antiderivat: (1/k) ln (kx + b)+ C.

8) Funkcija: e kx + b, k ≠ 0. antiderivat: (1/k) e kx + b + C.

9) Funkcija: sin (kx + b), k ≠ 0. antiderivat: (-1/k) cos (kx + b).

10) Funkcija: cos (kx + b), k ≠ 0. antiderivat: (1/k) sin (kx + b).

Pravila integracije može se dobiti korištenjem pravila razlikovanja. Pogledajmo neka pravila.

Neka F(x) I G(x)– antiderivacije funkcija respektivno f(x) I g(x) u nekom intervalu. Zatim:

1) funkcija F(x) ± G(x) je antiderivacija funkcije f(x) ± g(x);

2) funkcija aF(x) je antiderivacija funkcije af(x).

web stranice, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelomično, poveznica na izvor je obavezna.

Rješavanje integrala je lak zadatak, ali samo za odabrane. Ovaj članak je za one koji žele naučiti razumjeti integrale, ali ne znaju ništa ili gotovo ništa o njima. Integral... Zašto je potreban? Kako to izračunati? Što su određeni i neodređeni integrali? Ako je jedina upotreba integrala za koju znate da koristite kuku za heklanje u obliku ikone integrala kako biste izvukli nešto korisno teško dostupna mjesta, onda dobrodošli! Saznajte kako rješavati integrale i zašto ne možete bez toga.

Proučavamo koncept "integrala"

Integracija je bila poznata još u Drevni Egipt. Naravno ne unutra moderni oblik, ali ipak. Od tada su matematičari napisali mnogo knjiga o ovoj temi. Posebno su se istakli Newton I Leibniz , ali se bit stvari nije promijenila. Kako razumjeti integrale od nule? Nema šanse! Da biste razumjeli ovu temu, i dalje ćete trebati osnovno znanje o osnovama matematičke analize. To su temeljne informacije koje ćete pronaći na našem blogu.

Neodređeni integral

Neka nam bude neka funkcija f(x) .

Funkcija neodređenog integrala f(x) ova funkcija se zove F(x) , čija je derivacija jednaka funkciji f(x) .

Drugim riječima, integral je obrnuta derivacija ili antiderivacija. Usput, pročitajte kako u našem članku.

Antiderivacija postoji za sve neprekidne funkcije. Također, antiderivatu se često dodaje predznak konstante, jer se derivacije funkcija koje se razlikuju po konstanti podudaraju. Proces pronalaženja integrala naziva se integracija.

Jednostavan primjer:

Kako ne bi stalno izračunavali antiderivacije elementarnih funkcija, zgodno ih je staviti u tablicu i koristiti gotove vrijednosti:

Određeni integral

Kada govorimo o pojmu integrala, imamo posla s infinitezimalnim veličinama. Integral će vam pomoći izračunati površinu figure, masu neuniformnog tijela, prijeđenu udaljenost tijekom neravnomjernog kretanja i još mnogo toga. Treba imati na umu da je integral zbroj beskonačno velikog broja infinitezimalnih članova.

Kao primjer, zamislite graf neke funkcije. Kako pronaći područje figure ograničene grafom funkcije?

Korištenje integrala! Podijelimo krivuljasti trapez, ograničen koordinatnim osima i grafom funkcije, na infinitezimalne segmente. Na taj način će lik biti podijeljen u tanke stupce. Zbroj površina stupaca bit će površina trapeza. Ali zapamtite da će takav izračun dati približan rezultat. Međutim, što su segmenti manji i uži, izračun će biti točniji. Ako ih smanjimo do te mjere da duljina teži nuli, tada će zbroj površina segmenata težiti površini figure. Ovo je određeni integral koji se piše ovako:

Točke a i b nazivamo limesima integracije.

Bari Alibasov i grupa "Integral"

Usput! Za naše čitatelje sada postoji popust od 10% na

Pravila za izračunavanje integrala za lutke

Svojstva neodređenog integrala

Kako riješiti neodređeni integral? Ovdje ćemo se osvrnuti na svojstva neodređenog integrala, što će nam biti od koristi pri rješavanju primjera.

• Derivacija integrala jednaka je integrandu:

• Konstanta se može izvući ispod znaka integrala:

• Integral zbroja jednak je zbroju integrala. Ovo vrijedi i za razliku:

Svojstva određenog integrala

• Linearnost:

• Predznak integrala se mijenja ako se granice integracije zamijene:

• Na bilo koji bodova a, b I S:

Već smo saznali da je određeni integral limit zbroja. Ali kako dobiti određenu vrijednost prilikom rješavanja primjera? Za to postoji Newton-Leibnizova formula:

Primjeri rješavanja integrala

U nastavku ćemo razmotriti nekoliko primjera pronalaženja neodređenih integrala. Pozivamo vas da sami shvatite zamršenosti rješenja, a ako nešto nije jasno, postavite pitanja u komentarima.

Za učvršćivanje gradiva pogledajte video o tome kako se integrali rješavaju u praksi. Nemojte očajavati ako integral ne dobijete odmah. Pitajte i reći će vam sve što znaju o računanju integrala. Uz našu pomoć, svaki trostruki ili zakrivljeni integral po zatvorenoj plohi bit će u vašoj moći.

Funkcija F(x ) nazvao antiderivativan za funkciju f(x) na danom intervalu, ako za sve x iz ovog intervala vrijedi jednakost

F"(x ) = f(x ) .

Na primjer, funkcija F(x) = x 2 f(x ) = 2x , jer

F"(x) = (x 2 )" = 2x = f(x). ◄

Glavno svojstvo antiderivacije

Ako F(x) - antiderivacija funkcije f(x) na zadanom intervalu, zatim funkcija f(x) ima beskonačno mnogo antiderivacija, a sve te antiderivacije mogu se napisati u obliku F(x) + C, Gdje S je proizvoljna konstanta.

Pravila za izračunavanje antiderivacija

1. Ako F(x) - antiderivat za f(x) , A G(x) - antiderivat za g(x) , To F(x) + G(x) - antiderivat za f(x) + g(x) . Drugim riječima, antiderivacija zbroja jednaka je zbroju antiderivacija .
2. Ako F(x) - antiderivat za f(x) , I k - konstantno, dakle k · F(x) - antiderivat za k · f(x) . Drugim riječima, konstantni faktor se može uzeti iz predznaka derivacije .
3. Ako F(x) - antiderivat za f(x) , I k,b- konstantno, i k ≠ 0 , To 1 / k F( k x+ b ) - antiderivat za f(k x+ b) .

Neodređeni integral

Ne određeni integral od funkcije f(x) zove izraz F(x) + C, odnosno skup svih antiderivacija date funkcije f(x) . Neodređeni integral se označava na sljedeći način:

∫ f(x) dx = F(x) + C ,

f(x)- oni zovu funkcija integranda ;

f(x) dx- oni zovu integrand ;

x - oni zovu integracijska varijabla ;

F(x) - jedna od primitivnih funkcija f(x) ;

S je proizvoljna konstanta.

Na primjer, ∫ 2 x dx =x 2 + S , ∫ cosx dx = grijeh x + S i tako dalje. ◄

Riječ "integral" dolazi od latinske riječi cijeli broj , što znači "obnovljen". Uzimajući u obzir neodređeni integral od 2 x, čini se da vraćamo funkciju x 2 , čija je derivacija jednaka 2 x. Vraćanje funkcije iz njezine derivacije ili, što je isto, pronalaženje neodređenog integrala nad danim integrandom naziva se integracija ovu funkciju. Integracija je inverzna operacija diferenciranja.Da bi se provjerilo je li integracija ispravno izvedena dovoljno je diferencirati rezultat i dobiti integrand.

Osnovna svojstva neodređenog integrala

1. Derivacija neodređenog integrala jednaka je integrandu:

(∫ f(x) dx )" = f(x) .

2. Konstantni faktor integranda može se uzeti iz predznaka integrala:

∫ k · f(x) dx = k · ∫ f(x) dx .

3. Integral zbroja (razlike) funkcija jednak je zbroju (razlici) integrala ovih funkcija:

∫ ( f(x) ± g(x ) ) dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x ) dx .

4. Ako k,b- konstantno, i k ≠ 0 , To

∫ f ( k x+ b) dx = 1 / k F( k x+ b ) + C .

Tablica antiderivacija i neodređenih integrala

Određeni integral

Neka između [a; b] dana je kontinuirana funkcija y = f(x) , Zatim određeni integral od a do b funkcije f(x) naziva se prirast antiderivacije F(x) ovu funkciju, tj

$$\int_(a)^(b)f(x)dx=F(x)|(_a^b) = ~~F(a)-F(b).$$

Brojke a I b nazivaju se prema tome niži I vrh granice integracije.

Osnovna pravila za izračunavanje određenog integrala

1. \(\int_(a)^(a)f(x)dx=0\);

2. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=- \int_(b)^(a)f(x)dx\);

3. \(\int_(a)^(b)kf(x)dx=k\int_(a)^(b)f(x)dx,\) gdje je k - konstantno;

4. \(\int_(a)^(b)(f(x) ± g(x))dx=\int_(a)^(b)f(x) dx±\int_(a)^(b) g(x)dx\);

5. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=\int_(a)^(c)f(x)dx+\int_(c)^(b)f(x)dx\);

6. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=2\int_(0)^(a)f(x)dx\), gdje je f(x) — ravnomjerna funkcija;

7. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=0\), gdje je f(x) je čudna funkcija.

Komentar . U svim slučajevima pretpostavlja se da su integranti integrabilni na numeričkim intervalima čije su granice limiti integracije.

Geometrijsko i fizikalno značenje određenog integrala

Geometrijsko značenje određeni integral	Fizičko značenje određeni integral
Kvadrat S krivolinijski trapez (figura ograničena grafom kontinuiranog pozitiva na intervalu [a; b] funkcije f(x) , os Vol i ravno x=a , x=b ) izračunava se formulom $$S=\int_(a)^(b)f(x)dx.$$	Staza s, koju je materijalna točka prešla gibajući se pravocrtno brzinom koja se mijenja prema zakonu v(t) , na određeno vrijeme a ; b] , zatim područje figure ograničeno grafovima ovih funkcija i ravnim linijama x = a , x = b , izračunato formulom $$S=\int_(a)^(b)(f(x)-g(x))dx.$$
	Na primjer. Izračunajmo površinu figure, ograničena linijama y = x 2 I y = 2-x . Prikažimo shematski grafove ovih funkcija i označimo drugom bojom lik čije područje treba pronaći. Da bismo pronašli granice integracije, rješavamo jednadžbu: x 2 = 2-x ; x 2 + x- 2 = 0 ; x 1 = -2, x 2 = 1 . $$S=\int_(-2)^(1)((2-x)-x^2)dx=$$
$$=\int_(-2)^(1)(2-x-x^2)dx=\lijevo (2x-\frac(x^2)(2)-\frac(x^3)(2) \desno )\bigm|(_(-2)^(~1))=4\frac(1)(2). $$ ◄

Volumen tijela rotacije

	Ako je tijelo dobiveno kao rezultat rotacije oko osi Vol krivolinijski trapez omeđen kontinuiranim i nenegativnim grafom na intervalu [a; b] funkcije y = f(x) i ravno x = a I x = b , onda se zove tijelo rotacije . Volumen tijela rotacije izračunava se po formuli $$V=\pi\int_(a)^(b)f^2(x)dx.$$ Ako je tijelo rotacije dobiveno kao rezultat rotacije figure ograničene gore i dolje grafovima funkcija y = f(x) I y = g(x) , prema tome, onda $$V=\pi\int_(a)^(b)(f^2(x)-g^2(x))dx.$$
	Na primjer. Izračunajmo volumen stošca s polumjerom r i visine h . Postavimo stožac u pravokutni koordinatni sustav tako da mu se os poklapa s osi Vol , a središte baze nalazilo se u ishodištu. Okretanje generatora AB definira stožac. Budući da jednadžba AB $$\frac(x)(h)+\frac(y)(r)=1,$$ $$y=r-\frac(rx)(h)$$
a za volumen stošca imamo $$V=\pi\int_(0)^(h)(r-\frac(rx)(h))^2dx=\pi r^2\int_(0)^(h)(1-\frac( x)(h))^2dx=-\pi r^2h\cdot \frac((1-\frac(x)(h))^3)(3)|(_0^h)=-\pi r^ 2h\lijevo (0-\frac(1)(3) \desno)=\frac(\pi r^2h)(3).$$ ◄