Između korijena i koeficijenata kvadratne jednadžbe, osim formula korijena, postoje i drugi korisni odnosi koji su dati Vietin teorem. U ovom ćemo članku dati formulaciju i dokaz Vietinog teorema za kvadratna jednadžba. Zatim ćemo razmotriti teorem suprotan Vietinom teoremu. Nakon toga ćemo analizirati rješenja najtipičnijih primjera. Na kraju, zapisujemo Vieta formule koje definiraju odnos između pravih korijena algebarska jednadžba stupnja n i njegovih koeficijenata.

Navigacija po stranici.

Vietin teorem, formulacija, dokaz

Iz formula korijena kvadratne jednadžbe a·x 2 +b·x+c=0 oblika, gdje je D=b 2 −4·a·c, slijede relacije: x 1 +x 2 =− b/a, x 1 ·x 2 = c/a. Ovi rezultati su potvrđeni Vietin teorem:

Teorema.

Ako x 1 i x 2 su korijeni kvadratne jednadžbe a x 2 +b x+c=0, tada je zbroj korijena jednak omjeru koeficijenata b i a preuzet iz suprotnog predznaka, a umnožak korijena jednak je omjeru koeficijenata c i a, odnosno .

Dokaz.

Provest ćemo dokaz Vietinog teorema prema sljedećoj shemi: sastavljamo zbroj i umnožak korijena kvadratne jednadžbe koristeći poznate formule za korijene, zatim transformiramo dobivene izraze i uvjeravamo se da su jednaki −b/ a odnosno c/a.

Počnimo sa zbrojem korijena i izmislimo ga. Sada reduciramo razlomke na zajednički nazivnik, imamo . U brojniku dobivenog razlomka, nakon čega:. Konačno, nakon na 2, dobivamo . Time je dokazana prva relacija Vietinog teorema za zbroj korijena kvadratne jednadžbe. Prijeđimo na drugu.

Sastavljamo umnožak korijena kvadratne jednadžbe: . Prema pravilu množenja razlomaka, posljednji komad može se napisati kao . Sada množimo zagradu sa zagradom u brojniku, ali brže je sažeti ovaj proizvod za formula kvadratne razlike, dakle . Zatim, prisjećajući se, izvodimo sljedeći prijelaz. A budući da diskriminant kvadratne jednadžbe odgovara formuli D=b 2 −4·a·c, tada umjesto D u zadnjem razlomku možemo zamijeniti b 2 −4·a·c, dobivamo. Nakon otvaranja zagrada i lijevanja slični pojmovi dolazimo do razlomka , a njegovo smanjenje za 4·a daje . Ovo dokazuje drugu relaciju Vietinog teorema za produkt korijena.

Ako izostavimo objašnjenja, dokaz Vietinog teorema poprimit će lakonski oblik:
,
.

Ostaje samo primijetiti da ako je diskriminant jednak nuli, kvadratna jednadžba ima jedan korijen. No, ako pretpostavimo da jednadžba u ovom slučaju ima dva ista korijena, tada vrijede i jednakosti iz Vietinog teorema. Doista, kada je D=0 korijen kvadratne jednadžbe jednak , tada je i , a budući da je D=0, odnosno b ​​2 −4·a·c=0, odakle je b 2 =4·a·c, tada .

U praksi se Vietin teorem najčešće koristi u odnosu na reduciranu kvadratnu jednadžbu (s vodećim koeficijentom a jednakim 1) oblika x 2 +p·x+q=0. Ponekad se formulira samo za kvadratne jednadžbe ovog tipa, što ne ograničava općenitost, budući da se svaka kvadratna jednadžba može zamijeniti ekvivalentnom jednadžbom dijeljenjem obje strane s brojem a koji nije nula. Dajmo odgovarajuću formulaciju Vietinog teorema:

Teorema.

Zbroj korijena reducirane kvadratne jednadžbe x 2 +p x+q=0 jednak je koeficijentu x uzetom sa suprotnim predznakom, a umnožak korijena jednak je slobodnom članu, odnosno x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 = q.

Teorem je suprotan Vietinom teoremu

Druga formulacija Vietinog teorema, dana u prethodnom odlomku, pokazuje da ako su x 1 i x 2 korijeni reducirane kvadratne jednadžbe x 2 +p x+q=0, tada relacije x 1 +x 2 =−p , x 1 x 2 =q. S druge strane, iz napisanih relacija x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q proizlazi da su x 1 i x 2 korijeni kvadratne jednadžbe x 2 +p x+q=0. Drugim riječima, vrijedi obratno od Vietinog teorema. Formulirajmo to u obliku teorema i dokažimo.

Teorema.

Ako su brojevi x 1 i x 2 takvi da su x 1 +x 2 =−p i x 1 · x 2 =q, tada su x 1 i x 2 korijeni reducirane kvadratne jednadžbe x 2 +p · x+q =0.

Dokaz.

Nakon zamjene koeficijenata p i q u jednadžbi x 2 +p·x+q=0 njihovim izrazima kroz x 1 i x 2, ona se transformira u ekvivalentnu jednadžbu.

Zamijenimo broj x 1 umjesto x u dobivenu jednadžbu i imamo jednakost x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 =0, što za bilo koje x 1 i x 2 predstavlja ispravnu numeričku jednakost 0=0, jer x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 ·x 1 +x 1 ·x 2 =0. Stoga je x 1 korijen jednadžbe x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, što znači da je x 1 korijen ekvivalentne jednadžbe x 2 +p·x+q=0.

Ako je u jednadžbi x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0 zamijenimo broj x 2 umjesto x, dobivamo jednakost x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 =0. Ovo je istinska jednakost, jer x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 ·x 2 −x 2 2 +x 1 ·x 2 =0. Stoga je x 2 također korijen jednadžbe x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, pa prema tome jednadžbe x 2 +p·x+q=0.

Time je završen dokaz teoreme, obratno od teoreme Vieta.

Primjeri korištenja Vietinog teorema

Vrijeme je da govorimo o praktičnoj primjeni Vietinog teorema i njemu obrnutog teorema. U ovom odjeljku ćemo analizirati rješenja za nekoliko najtipičnijih primjera.

Počnimo primjenom teorema suprotnog Vietinom teoremu. Pogodno ga je koristiti za provjeru jesu li zadana dva broja korijeni zadane kvadratne jednadžbe. U tom slučaju izračunava se njihov zbroj i razlika, nakon čega se provjerava valjanost relacija. Ako su obje ove relacije zadovoljene, tada se na temelju teorema, suprotno Vietinom teoremu, zaključuje da su ti brojevi korijeni jednadžbe. Ako barem jedna od relacija nije zadovoljena, tada ti brojevi nisu korijeni kvadratne jednadžbe. Ovaj se pristup može koristiti pri rješavanju kvadratnih jednadžbi za provjeru pronađenih korijena.

Primjer.

Koji je od parova brojeva 1) x 1 =−5, x 2 =3 ili 2) ili 3) par korijena kvadratne jednadžbe 4 x 2 −16 x+9=0?

Riješenje.

Koeficijenti zadane kvadratne jednadžbe 4 x 2 −16 x+9=0 su a=4, b=−16, c=9. Prema Vietinom teoremu, zbroj korijena kvadratne jednadžbe trebao bi biti jednak −b/a, odnosno 16/4=4, a umnožak korijena trebao bi biti jednak c/a, odnosno 9 /4.

Izračunajmo sada zbroj i umnožak brojeva u svakom od tri navedena para i usporedimo ih s vrijednostima koje smo upravo dobili.

U prvom slučaju imamo x 1 +x 2 =−5+3=−2. Rezultirajuća vrijednost je različita od 4, tako da se ne može provoditi daljnja provjera, ali koristeći teorem inverzan Vietinom teoremu, može se odmah zaključiti da prvi par brojeva nije par korijena dane kvadratne jednadžbe.

Prijeđimo na drugi slučaj. Ovdje je, odnosno, prvi uvjet ispunjen. Provjeravamo drugi uvjet: dobivena vrijednost razlikuje se od 9/4. Prema tome, drugi par brojeva nije par korijena kvadratne jednadžbe.

Ostao je još jedan posljednji slučaj. Ovdje i . Oba su uvjeta ispunjena, pa su ovi brojevi x 1 i x 2 korijeni zadane kvadratne jednadžbe.

Odgovor:

Suprotno od Vietinog teorema može se koristiti u praksi za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe. Obično se biraju cjelobrojni korijeni zadanih kvadratnih jednadžbi s cjelobrojnim koeficijentima, budući da je u drugim slučajevima to prilično teško učiniti. U ovom slučaju koriste se činjenicom da ako je zbroj dvaju brojeva jednak drugom koeficijentu kvadratne jednadžbe, uzetom s predznakom minus, a umnožak tih brojeva jednak je slobodnom članu, tada su ti brojevi korijene ove kvadratne jednadžbe. Shvatimo ovo na primjeru.

Uzmimo kvadratnu jednadžbu x 2 −5 x+6=0. Da bi brojevi x 1 i x 2 bili korijeni ove jednadžbe, moraju biti zadovoljene dvije jednakosti: x 1 + x 2 =5 i x 1 ·x 2 =6. Ostaje samo odabrati takve brojeve. U u ovom slučaju to je prilično jednostavno učiniti: takvi brojevi su 2 i 3, budući da je 2+3=5 i 2·3=6. Dakle, 2 i 3 su korijeni ove kvadratne jednadžbe.

Teorem obrnut Vietinom teoremu posebno je pogodan za korištenje za pronalaženje drugog korijena dane kvadratne jednadžbe kada je jedan od korijena već poznat ili očit. U ovom slučaju, drugi korijen se može pronaći iz bilo koje relacije.

Na primjer, uzmimo kvadratnu jednadžbu 512 x 2 −509 x −3=0. Ovdje je lako vidjeti da je jedinica korijen jednadžbe, budući da je zbroj koeficijenata ove kvadratne jednadžbe jednak nuli. Dakle x 1 =1. Drugi korijen x 2 može se pronaći, na primjer, iz relacije x 1 ·x 2 =c/a. Imamo 1 x 2 =−3/512, odakle je x 2 =−3/512. Tako smo odredili oba korijena kvadratne jednadžbe: 1 i −3/512.

Jasno je da je odabir korijena preporučljiv samo u najjednostavnijim slučajevima. U drugim slučajevima, da biste pronašli korijene, možete koristiti formule za korijene kvadratne jednadžbe kroz diskriminant.

Još praktičnu upotrebu Teorem, suprotan Vietinom teoremu, sastoji se u sastavljanju kvadratnih jednadžbi s korijenima x 1 i x 2. Da biste to učinili, dovoljno je izračunati zbroj korijena, koji daje koeficijent x sa suprotnim predznakom zadane kvadratne jednadžbe, i umnožak korijena, koji daje slobodni član.

Primjer.

Napišite kvadratnu jednadžbu čiji su korijeni −11 i 23.

Riješenje.

Označimo x 1 =−11 i x 2 =23. Izračunavamo zbroj i umnožak ovih brojeva: x 1 +x 2 =12 i x 1 ·x 2 =−253. Stoga su naznačeni brojevi korijeni reducirane kvadratne jednadžbe s drugim koeficijentom −12 i slobodnim članom −253. Odnosno, x 2 −12·x−253=0 je tražena jednadžba.

Odgovor:

x 2 −12·x−253=0 .

Vietin teorem vrlo se često koristi pri rješavanju problema vezanih uz predznake korijena kvadratnih jednadžbi. Kako je Vietin teorem povezan s predznacima korijena reducirane kvadratne jednadžbe x 2 +p·x+q=0? Evo dvije relevantne izjave:

• Ako je slobodni član q pozitivan broj a ako kvadratna jednadžba ima realne korijene, tada su ili oba pozitivna ili oba negativna.
• Ako je slobodni član q negativan broj i ako kvadratna jednadžba ima realne korijene, tada su im predznaci različiti, drugim riječima, jedan korijen je pozitivan, a drugi negativan.

Ove tvrdnje slijede iz formule x 1 · x 2 =q, kao i pravila pozitivnog množenja, negativni brojevi i brojevi s različitim predznacima. Pogledajmo primjere njihove primjene.

Primjer.

R to je pozitivno. Koristeći se diskriminantnom formulom nalazimo D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8, vrijednost izraza r 2 +8 je pozitivan za bilo koji realni r, dakle D>0 za bilo koji realni r. Prema tome, izvorna kvadratna jednadžba ima dva korijena za bilo koju prave vrijednosti parametar r.

Sada saznajmo kada su korijeni različite znakove. Ako su predznaci korijena različiti, tada je njihov umnožak negativan, a prema Vietinom teoremu umnožak korijena reducirane kvadratne jednadžbe jednak je slobodnom članu. Stoga nas zanimaju one vrijednosti r za koje je slobodni član r−1 negativan. Dakle, da bismo pronašli vrijednosti r koje nas zanimaju, trebamo odlučiti linearna nejednakost r−1<0 , откуда находим r<1 .

Odgovor:

na r<1 .

Vieta formule

Gore smo govorili o Vietinom teoremu za kvadratnu jednadžbu i analizirali odnose koje on tvrdi. Ali postoje formule koje povezuju stvarne korijene i koeficijente ne samo kvadratnih jednadžbi, već i kubičnih jednadžbi, jednadžbi četvrtog stupnja i općenito, algebarske jednadžbe stupanj n. Zovu se Vietine formule.

Napišimo Vieta formulu za algebarsku jednadžbu stupnja n oblika i pretpostavit ćemo da ona ima n realnih korijena x 1, x 2, ..., x n (među njima može biti i podudarnih):

Vietine formule mogu se dobiti teorem o rastavljanju polinoma na linearne faktore, kao i definicija jednakih polinoma kroz jednakost svih njihovih odgovarajućih koeficijenata. Dakle, polinom i njegovo širenje na linearne faktore oblika su jednaki. Otvaranjem zagrada u posljednjem umnošku i izjednačavanjem odgovarajućih koeficijenata dobivamo Vietine formule.

Konkretno, za n=2 imamo već poznate Vieta formule za kvadratnu jednadžbu.

Za kubnu jednadžbu Vietine formule imaju oblik

Ostaje samo primijetiti da se na lijevoj strani Vietinih formula nalaze tzv simetrični polinomi.

Bibliografija.

• Algebra: udžbenik za 8. razred. opće obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; uredio S. A. Teljakovski. - 16. izd. - M.: Obrazovanje, 2008. - 271 str. : ilustr. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. 8. razred. U 2 sata Dio 1. Udžbenik za učenike općeobrazovnih ustanova / A. G. Mordkovich. - 11. izd., izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Algebra i početak matematičke analize. 10. razred: udžbenik. za opće obrazovanje ustanove: osnovne i profilne. razine / [Yu. M. Koljagin, M. V. Tkačeva, N. E. Fedorova, M. I. Šabunjin]; uredio A. B. Žižčenko. - 3. izd. - M.: Obrazovanje, 2010.- 368 str. : ilustr. - ISBN 978-5-09-022771-1.

Određivanje zbroja korijena jednadžbe jedan je od nužnih koraka pri rješavanju kvadratnih jednadžbi (jednadžbi oblika ax² + bx + c = 0, gdje su eksponenti a, b i c proizvoljni brojevi, a a ? 0) s potporu Vietinog teorema.

upute

1. Zapišite kvadratnu jednadžbu kao ax² + bx + c = 0 Primjer: Početna jednadžba: 12 + x² = 8x Ispravno napisana jednadžba: x² - 8x + 12 = 0

2. Primijenite Vietin teorem prema kojem će zbroj korijena jednadžbe biti jednak broju “b” uzetom sa suprotnim predznakom, a njihov umnožak će biti jednak broju “c”. Primjer: U razmatranoj jednadžbi , b = -8, c = 12, odnosno: x1 + x2 =8×1∗x2=12

3. Utvrdite jesu li korijeni jednadžbi točni ili negativni brojevi. Ako su i umnožak i zbroj korijena pozitivni brojevi, svi su korijeni važeći brojevi. Ako je umnožak korijena pravilan, a zbroj korijena negativan broj, tada su oba korijena negativna. Ako je umnožak korijena negativan, tada jedan korijen ima znak "+", a drugi znak "-". U tom slučaju morate koristiti dodatno pravilo: "Ako je zbroj korijena pozitivan broj, veći korijen u modulu je također pozitivan, a ako je zbroj korijena negativan, broj je korijen s većom apsolutnom vrijednošću - negativan.” Primjer: U razmatranoj jednadžbi i zbroj i umnožak su točni brojevi: 8 i 12, što znači da su oba korijena pozitivni brojevi.

4. Dobiveni sustav jednadžbi riješi odabirom korijena. Bit će praktičnije započeti odabir s faktorima, a zatim, radi provjere, zamijeniti bilo koji par faktora u drugu jednadžbu i provjeriti odgovara li zbroj tih korijena rješenju. Primjer: x1∗x2=12 Prikladni parovi korijeni će biti redom: 12 i 1, 6 i 2, 4 i 3 Provjerite dobivene parove pomoću jednadžbe x1+x2=8. Parovi 12 + 1 ≠ 86 + 2 = 84 + 3 ≠ 8 Prema tome, korijeni jednadžbe su brojevi 6 i 8.

Jednadžba je jednakost oblika f(x,y,…)=g(x,y,..), gdje su f i g funkcije jedne ili više varijabli. Otkriti korijen jednadžbe znači otkriti skup argumenata u kojima je ova jednakost zadovoljena.

Trebat će vam

• Poznavanje matematičkog pregleda.

upute

1. Moguće je da imate jednadžbu oblika: x+2=x/5. Prvo pomaknimo sve komponente ove jednakosti s desne strane na lijevu, mijenjajući predznak komponente u suprotan. Na desnoj strani ove jednadžbe bit će nula, odnosno dobivamo sljedeće: x+2-x/5 = 0.

2. Predstavimo slične pojmove. Dobivamo sljedeće: 4x/5 + 2 = 0.

3. Zatim, iz dobivene reducirane jednadžbe pronaći ćemo nepoznati član, u ovom slučaju to je x. Rezultirajuća vrijednost nepoznate varijable bit će rješenje početne jednadžbe. U ovom slučaju dobivamo sljedeće: x = -2,5.

Video na temu

Bilješka!
Kao rezultat rješenja mogu se pojaviti dodatni korijeni. Oni neće biti rješenje početne jednadžbe, čak i ako ste sve riješili pozitivno. Obavezno provjerite sva rješenja koja dobijete.

Koristan savjet
Uvijek provjerite dobivene vrijednosti za nepoznato. To se može učiniti jednostavnom zamjenom dobivene vrijednosti u početnu jednadžbu. Ako je jednakost točna, tada je i rješenje točno.

Vietin teorem uspostavlja izravnu vezu između korijena (x1 i x2) i eksponenata (b i c, d) jednadžbe tipa bx2+cx+d=0. Uz pomoć ovog teorema moguće je, bez utvrđivanja značenja korijena, izračunati njihov zbroj, hrabro rečeno, u mislima. U tome nema ništa teško, glavna stvar je znati neka pravila.

Trebat će vam

• - kalkulator;
• - papir za bilješke.

upute

1. Kvadratnu jednadžbu koju proučavamo dovedite u standardni oblik, tako da su svi eksponenti u silaznom redoslijedu, odnosno da je prvo najviši stupanj x2, a na kraju nulti stupanj x0. Jednadžba će poprimiti oblik: b*x2 + c*x1 + d*x0 = b*x2 + c*x + d = 0.

2. Provjerite nenegativnost diskriminante. Ova je provjera potrebna kako bismo bili sigurni da jednadžba ima korijene. D (diskriminant) ima oblik: D = c2 – 4*b*d. Ovdje postoji nekoliko opcija. D – diskriminanta – točna, što znači da jednadžba ima dva korijena. D je jednak nuli, iz toga slijedi da postoji korijen, ali je dualan, odnosno x1 = x2. D je negativan, za školski tečaj algebre ovaj uvjet znači da nema korijena, za višu matematiku korijeni postoje, ali su složeni.

3. Odredite zbroj korijena jednadžbe. Koristeći Vietin teorem, to je lako učiniti: b*x2+c*x+d = 0. Zbroj korijena jednadžbe izravno je proporcionalan s “–c” i obrnuto proporcionalan s eksponentom “b”. Naime, x1+x2 = -c/b. Odredite umnožak korijena prema formulaciji - umnožak korijena jednadžbe izravno je proporcionalan s “d” i obrnuto proporcionalan s indikatorom “b”: x1*x2 = d/b.

Bilješka!
Ako dobijete negativnu diskriminaciju, to ne znači da nema korijena. To znači da su korijeni jednadžbe takozvani kompleksni korijeni. Vietin teorem također je primjenjiv u ovom slučaju, ali će njegov oblik biti malo promijenjen: [-c+(-i)*(-c2 + 4*b*d)0.5]/ = x1,2

Koristan savjet
Ako niste suočeni s kvadratnom jednadžbom, već s kubičnom jednadžbom ili jednadžbom stupnja n: b0*xn + b1*xn-1 +…..+ bn = 0, tada za izračunavanje zbroja ili produkta korijena jednadžbe, također možete ispravno koristiti Vietin teorem :1. –b1/b0 = x1 + x2 + x3 +….+ xn,2. b2/b0 = x1*x2+….+xn-1*xn,3. (-1)n * (bn/b0) = x1*x2*x3*….*xn.

Ako se pri zamjeni broja u jednadžbu dobije ispravna jednakost, takav se broj naziva korijenom. Korijeni mogu biti pravilni, negativni ili nulti. Među svakim skupom korijena jednadžbe razlikuju se maksimum i minimum.

upute

1. Pronađite sve korijene jednadžbe, odaberite negativan među njima, ako postoji. Recimo da nam je dana kvadratna jednadžba 2x?-3x+1=0. Primijenite formulu za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe: x(1,2)=/2=/2=/2, zatim x1=2, x2=1. Lako je primijetiti da među njima nema negativnih.

2. Također možete pronaći korijene kvadratne jednadžbe koristeći Vietin teorem. Prema ovom teoremu, x1+x1=-b, x1?x2=c, gdje su b i c eksponenti jednadžbe x?+bx+c=0. Primjenom ovog teorema moguće je ne izračunati diskriminant b?-4ac, što u nekim slučajevima može značajno pojednostaviti problem.

3. Ako je u kvadratnoj jednadžbi eksponent na x paran, možete koristiti ne glavnu, već skraćenu formulu za pronalaženje korijena. Ako osnovna formula izgleda kao x(1,2)=[-b±?(b?-4ac)]/2a, tada se u skraćenom obliku piše na sljedeći način: x(1,2)=[-b/2 ±?(b?/4-ac)]/a. Ako u kvadratnoj jednadžbi nema lažnog člana, prilično je lako premjestiti x iz zagrada. I povremeno se lijeva strana savija u potpuni kvadrat: x?+2x+1=(x+1)?.

4. Postoje vrste jednadžbi koje daju ne samo jedan broj, već čitavu hrpu rješenja. Recimo trigonometrijske jednadžbe. Dakle, rezultat jednadžbe 2sin?(2x)+5sin(2x)-3=0 bit će x=?/4+?k, gdje je k cijeli broj. To jest, pri zamjeni bilo koje cjelobrojne vrijednosti parametra k, argument x će zadovoljiti danu jednadžbu.

5. U trigonometrijskim problemima možda ćete trebati pronaći sve negativne korijene ili najviše od negativnih. Za rješavanje takvih problema koristi se logičko zaključivanje ili metoda matematičke indukcije. Uključite neke cjelobrojne vrijednosti za k u izraz x=?/4+?k i promatrajte kako argument radi. Usput, najveći negativni korijen u prethodnoj jednadžbi bit će x=-3?/4 s k=1.

Video na temu

Bilješka!
U ovom smo primjeru razmotrili verziju kvadratne jednadžbe u kojoj je a=1. Kako biste riješili potpunu kvadratnu jednadžbu koristeći istu metodu, gdje je a&ne 1, trebate izraditi pomoćnu jednadžbu, dovodeći "a" do jedinice.

Koristan savjet
Koristite ovu metodu rješavanja jednadžbi za brzo otkrivanje korijena. Također će vam pomoći ako trebate riješiti jednadžbu u glavi bez vođenja bilješki.

Zbroj korijena gornje kvadratne jednadžbe jednak je drugom koeficijentu suprotnog predznaka, a umnožak korijena jednak je slobodnom članu.

(Podsjetimo: reducirana kvadratna jednadžba je jednadžba u kojoj je prvi koeficijent 1).

Obrazloženje:

Neka je kvadratna jednadžba sjekira 2 +bx +c= 0 ima korijene x 1 i x 2. Zatim, prema Vietinom teoremu:

Primjer 1:

Dana jednadžba x 2 – 7x + 10 = 0 ima korijene 2 i 5.

Zbroj korijena je 7, a umnožak 10.

A u našoj jednadžbi, drugi koeficijent je -7, a slobodni član je 10.

Dakle, zbroj korijena jednak je drugom koeficijentu suprotnog predznaka, a umnožak korijena jednak je slobodnom članu.

Vrlo često postoje kvadratne jednadžbe koje se lako mogu izračunati pomoću Vietinog teorema - štoviše, lakše ih je izračunati uz njegovu pomoć. To je lako provjeriti iu prethodnom iu sljedećem primjeru.

Primjer 2. Riješite kvadratnu jednadžbu x 2 – 2x – 24 = 0.

Riješenje .

Primjenjujemo Vietin teorem i zapisujemo dva identiteta:

x 1 · x 2 = –24

x 1 + x 2 = 2

Odaberemo faktore za –24 tako da njihov zbroj bude jednak 2. Nakon malo razmišljanja nalazimo: 6 i –4. Provjerimo:

6 · (– 4) = –24.

6 + (– 4) = 6 – 4 = 2.

Kao što ste primijetili, u praksi, bit Vietinog teorema je rastavljanje slobodnog člana u danoj kvadratnoj jednadžbi na faktore čiji je zbroj jednak drugom koeficijentu sa suprotnim predznakom. Ovi čimbenici bit će korijeni.

To znači da su korijeni naše kvadratne jednadžbe 6 i –4.

Odgovor: x 1 = 6, x 2 = –4.

Primjer 3. Riješimo kvadratnu jednadžbu 3x 2 + 2x – 5 = 0.

Ovdje nemamo posla s reduciranom kvadratnom jednadžbom. Ali takve se jednadžbe također mogu riješiti korištenjem Vietinog teorema ako su njihovi koeficijenti uravnoteženi - na primjer, ako je zbroj prvog i trećeg koeficijenta jednak drugom sa suprotnim predznakom.

Riješenje .

Koeficijenti jednadžbe su uravnoteženi: zbroj prvog i trećeg člana jednak je drugom sa suprotnim predznakom:

3 + (–5) = –2.

U skladu s Vietaovim teoremom

x 1 + x 2 = –2/3
x 1 x 2 = –5/3.

Moramo pronaći dva broja čiji je zbroj –2/3, a umnožak –5/3. Ovi brojevi će biti korijeni jednadžbe.

Prvi broj se odmah pogađa: to je 1. Uostalom, kada je x = 1, jednadžba se pretvara u najjednostavnije zbrajanje i oduzimanje:
3 + 2 – 5 = 0. Kako pronaći drugi korijen?
Predstavimo 1 kao 3/3 tako da svi brojevi imaju isti nazivnik: tako je lakše. I odmah se pojavljuju daljnje radnje. Ako je x 1 = 3/3, tada:

3/3 + x 2 = –2/3.

Riješimo jednostavnu jednadžbu:

x 2 = –2/3 – 3/3.

Odgovor: x 1 = 1; x 2 = –5/3

Primjer 4: Riješite kvadratnu jednadžbu 7 x 2 – 6x – 1 = 0.

Riješenje :

Jedan se korijen odmah otkriva - upada u oči: x 1 = 1 (jer jednostavnom aritmetikom ispada: 7 – 6 – 1 = 0).

Koeficijenti jednadžbe su uravnoteženi: zbroj prvog i trećeg jednak je drugom sa suprotnim predznakom:
7 + (– 1) = 6.

U skladu s Vietinim teoremom konstruiramo dva identiteta (iako je u ovom slučaju jedan od njih dovoljan):

x 1 · x 2 = –1/7
x 1 + x 2 = 6/7

Zamijenite vrijednost x 1 u bilo koji od ova dva izraza i pronađite x 2:

x 2 = –1/7: 1 = –1/7

odgovor: x 1 = 1; x 2 = –1/7

Diskriminanta reducirane kvadratne jednadžbe.

Diskriminant reducirane kvadratne jednadžbe može se izračunati ili općom formulom ili pojednostavljenom:

NaD = 0, korijeni gornje jednadžbe mogu se izračunati pomoću formule:

Ako D< 0, то уравнение не имеет корней.

Ako je D = 0, onda jednadžba ima jedan korijen.

Ako je D > 0, onda jednadžba ima dva korijena.