Le dénominateur de la fraction arithmétique a / b est le nombre b, qui indique les tailles des fractions unitaires qui composent la fraction. Le dénominateur de la fraction algébrique A/B est expression algébrique B. Pour effectuer des opérations arithmétiques avec des fractions, elles doivent être réduites au plus petit dénominateur commun.

Tu auras besoin de

• Pour travailler avec des fractions algébriques lors de la recherche du plus petit dénominateur commun, vous devez connaître les méthodes de factorisation des polynômes.

Instructions

Considérons la réduction au plus petit dénominateur commun de deux fractions arithmétiques n/m et s/t, où n, m, s, t sont des nombres entiers. Il est clair que ces deux fractions peuvent être réduites à n'importe quel dénominateur divisible par m et t. Mais ils essaient de les ramener au plus petit dénominateur commun. Il est égal au plus petit commun multiple des dénominateurs m et t de ces fractions. Le plus petit multiple (LCM) de nombres est le plus petit qui est divisible par tous les nombres donnés en même temps. Celles. dans notre cas il faut trouver le plus petit commun multiple des nombres m et t. Il est désigné par LCM (m, t). Ensuite, les fractions sont multipliées par celles correspondantes : (n/m) * (LCM (m, t) / m), (s / t) * (LCM (m, t) / t).

Trouvons le plus petit dénominateur commun de trois fractions : 4/5, 7/8, 11/14. Développons d'abord les dénominateurs 5, 8, 14 : 5 ​​= 1 * 5, 8 = 2 * 2 * 2 = 2 ^ 3, 14 = 2 * 7. Ensuite, nous calculons le LCM (5, 8, 14), multiplier tous les nombres inclus dans au moins un des développements. LCM (5, 8, 14) = 5 * 2 ^ 3 * 7 = 280. A noter que si le facteur intervient dans le développement de plusieurs nombres (facteur 2 dans le développement des dénominateurs 8 et 14), alors on prend le facteur dans une plus grande mesure (2 ^ 3 dans notre cas).

Ainsi, le total est reçu. C'est 280 = 5 * 56 = 8 * 35 = 14 * 20. Ici, nous obtenons les nombres par lesquels nous devons multiplier les fractions avec les dénominateurs correspondants afin de les amener au plus petit dénominateur commun. On obtient 4/5 = 56 * (4/5) = 224/280, 7/8 = 35 * (7/8) = 245/280, 11/14 = 20 * (11/14) = 220/280.

Les fractions algébriques sont réduites au plus petit dénominateur commun par analogie avec les fractions arithmétiques. Pour plus de clarté, considérons le problème par un exemple. Soit deux fractions (2 * x) / (9 * y ^ 2 + 6 * y + 1) et (x ^ 2 + 1) / (3 * y ^ 2 + 4 * y + 1). Factorisez les deux dénominateurs. Notez que le dénominateur de la première fraction est un carré parfait : 9 * y ^ 2 + 6 * y + 1 = (3 * y + 1) ^ 2. Pour

Mais de nombreux nombres naturels sont également divisibles par d'autres nombres naturels.

Par exemple:

Le nombre 12 est divisé par 1, par 2, par 3, par 4, par 6, par 12;

Le nombre 36 est divisible par 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36.

Les nombres par lesquels le nombre est divisible (pour 12 c'est 1, 2, 3, 4, 6 et 12) sont appelés diviseurs... Diviseur naturel une est un nombre naturel qui divise un nombre donné une sans reste. Un nombre naturel qui a plus de deux diviseurs est appelé composite .

Notez que les nombres 12 et 36 ont des facteurs communs. Ce sont des nombres : 1, 2, 3, 4, 6, 12. Le plus grand diviseur de ces nombres est 12. Diviseur commun de deux nombres donnés une et b- c'est le nombre par lequel les deux nombres donnés sont divisibles sans reste une et b.

Multiple commun nombres multiples est un nombre divisible par chacun de ces nombres. Par exemple, les nombres 9, 18 et 45 ont un multiple commun de 180. Mais 90 et 360 sont aussi leurs multiples communs. Parmi tous les j multiples totaux, il y a toujours le plus petit, dans ce cas c'est 90. Ce nombre s'appelle le plus petitmultiple commun (LCM).

Le LCM est toujours un nombre naturel, qui doit être supérieur au plus grand des nombres pour lesquels il est déterminé.

Plus petit commun multiple (LCM). Propriétés.

Commutabilité :

Associativité :

En particulier, si et sont des nombres premiers entre eux, alors :

Plus petit commun multiple de deux entiers m et m est le diviseur de tous les autres multiples communs m et m... De plus, l'ensemble des multiples communs m, n coïncide avec l'ensemble des multiples pour LCM ( m, n).

L'asymptotique pour peut être exprimée en termes de fonctions théoriques des nombres.

Donc, Fonction Tchebychev... Et:

Cela découle de la définition et des propriétés de la fonction de Landau g (n).

Ce qui découle de la loi de distribution des nombres premiers.

Trouver le plus petit commun multiple (LCM).

LCM ( un B) peut être calculé de plusieurs manières :

1. Si le plus grand commun diviseur est connu, vous pouvez utiliser sa relation avec le LCM :

2. Soit la décomposition canonique des deux nombres en facteurs premiers :

où p 1, ..., p k- divers nombres premiers, une d 1, ..., d k et e 1, ..., e k- des entiers non négatifs (ils peuvent être des zéros si le premier correspondant est absent de la décomposition).

Puis LCM ( une,b) est calculé par la formule :

En d'autres termes, la décomposition LCM contient tous les facteurs premiers inclus dans au moins une des expansions de nombre un B, et le plus grand des deux exposants de ce facteur est pris.

Exemple:

Le calcul du plus petit commun multiple de plusieurs nombres peut se réduire à plusieurs calculs consécutifs du LCM de deux nombres :

Régner. Pour trouver le LCM d'une série de nombres, il vous faut :

- décomposer les nombres en facteurs premiers ;

- transférer le plus grand développement dans les facteurs du produit souhaité (le produit des facteurs du plus grand nombre de ceux donnés), puis ajouter les facteurs du développement d'autres nombres qui n'apparaissent pas dans le premier nombre ou n'apparaissent pas dans il moins de fois ;

- le produit résultant des facteurs premiers sera le LCM des nombres donnés.

Deux nombres naturels ou plus ont leur LCM. Si les nombres ne sont pas des multiples les uns des autres ou n'ont pas les mêmes facteurs dans l'expansion, alors leur LCM est égal au produit de ces nombres.

Les facteurs premiers du nombre 28 (2, 2, 7) ont été complétés par un facteur 3 (le nombre 21), le produit résultant (84) sera le plus petit nombre qui est divisible par 21 et 28.

Les facteurs premiers du plus grand nombre 30 ont été complétés par un facteur 5 du nombre 25, le produit résultant 150 est supérieur au plus grand nombre 30 et est divisé par tous les nombres donnés sans reste. C'est le plus petit produit possible (150, 250, 300...), qui est un multiple de tous les nombres donnés.

Les nombres 2,3,11,37 sont simples, leur LCM est donc égal au produit des nombres donnés.

La règle... Pour calculer le LCM des nombres premiers, vous devez multiplier tous ces nombres entre eux.

Une autre option:

Pour trouver le plus petit commun multiple (LCM) de plusieurs nombres, il vous faut :

1) représenter chaque nombre comme le produit de ses facteurs premiers, par exemple :

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) écrivez les puissances de tous les facteurs premiers :

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) notez tous les diviseurs premiers (facteurs) de chacun de ces nombres;

4) choisir le degré le plus élevé de chacun d'eux, trouvé dans toutes les expansions de ces nombres ;

5) multiplier ces degrés.

Exemple... Trouvez le LCM des nombres : 168, 180 et 3024.

Solution... 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Nous écrivons les plus grandes puissances de tous les facteurs premiers et les multiplions :

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15 120.

La plupart des opérations avec des fractions algébriques, telles que l'addition et la soustraction, nécessitent une réduction préliminaire de ces fractions à les mêmes dénominateurs... De tels dénominateurs sont également souvent désignés par l'expression " dénominateur commun". Dans ce sujet, nous examinerons la définition des concepts "dénominateur commun des fractions algébriques" et "plus petit dénominateur commun des fractions algébriques (LCF)", examinerons l'algorithme pour trouver le dénominateur commun point par point et résoudrons plusieurs problèmes sur le sujet .

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Dénominateur commun des fractions algébriques

Si nous parlons de fractions ordinaires, alors le dénominateur commun est un nombre divisible par l'un des dénominateurs des fractions originales. Pour fractions communes 1 2 et 5 9 36 peut être un dénominateur commun, puisqu'il est divisible par 2 et 9 sans reste.

Le dénominateur commun des fractions algébriques est défini de la même manière, seuls les polynômes sont utilisés à la place des nombres, car ce sont eux qui figurent dans les numérateurs et les dénominateurs d'une fraction algébrique.

Définition 1

Dénominateur commun d'une fraction algébrique Est un polynôme divisible par le dénominateur de l'une des fractions.

En rapport avec les particularités des fractions algébriques, qui seront discutées plus loin, nous traiterons souvent de dénominateurs communs présentés sous forme de produit, et non sous forme de polynôme standard.

Exemple 1

Le polynôme écrit comme un produit 3 x 2 (x + 1), correspond à un polynôme de la forme standard 3x3 + 3x2... Ce polynôme peut être le dénominateur commun des fractions algébriques 2 x, - 3 x y x 2 et y + 3 x + 1, du fait qu'il est divisible par X, au x 2 et sur x + 1... Les informations sur la divisibilité des polynômes se trouvent dans la rubrique correspondante de notre ressource.

Plus petit dénominateur commun (LCN)

Pour des fractions algébriques données, le nombre de dénominateurs communs peut être infini.

Exemple 2

Prenons les fractions 1 2 x et x + 1 x 2 + 3 comme exemple. Leur dénominateur commun est 2 x (x 2 + 3) Comme - 2 x (x 2 + 3) Comme x (x 2 + 3) Comme 6, 4 x (x 2 + 3) (y + y 4) Comme - 31 x 5 (x 2 + 3) 3, etc.

Lors de la résolution de problèmes, vous pouvez faciliter votre travail en utilisant un dénominateur commun, qui, parmi l'ensemble des dénominateurs, a la forme la plus simple. Ce dénominateur est souvent appelé le plus petit dénominateur commun.

Définition 2

Plus petit dénominateur commun des fractions algébriques Est le dénominateur commun des fractions algébriques, qui a la forme la plus simple.

Soit dit en passant, le terme « plus petit dénominateur commun » n'est généralement pas accepté, il vaut donc mieux se limiter au terme « dénominateur commun ». Et c'est pourquoi.

Tout à l'heure, nous avons attiré votre attention sur l'expression « le dénominateur du plus genre simple". Le sens principal de cette phrase est le suivant : tout autre dénominateur commun des données dans la condition du problème des fractions algébriques doit être divisé sans reste par le dénominateur de la forme la plus simple. Dans ce cas, dans le produit, qui est le dénominateur commun des fractions, vous pouvez utiliser divers coefficients numériques.

Exemple 3

Prenez les fractions 1 2 x et x + 1 x 2 + 3. Nous avons déjà découvert qu'il serait plus facile pour nous de travailler avec un dénominateur commun de la forme 2 x (x 2 + 3). De plus, le dénominateur commun de ces deux fractions peut être x (x 2 + 3) qui ne contient pas de facteur numérique. La question est de savoir lequel de ces deux dénominateurs communs est le plus petit dénominateur commun des fractions. Il n'y a pas de réponse univoque, il est donc plus juste de parler simplement d'un dénominateur commun, et de prendre en compte l'option avec laquelle il sera le plus commode de travailler. Ainsi, nous pouvons utiliser des dénominateurs communs tels que x 2 (x 2 + 3) (y + y 4) ou - 15 x 5 (x 2 + 3) 3 qui ont plus vue complexe mais il peut être plus difficile de les gérer.

Trouver le dénominateur commun des fractions algébriques : un algorithme d'actions

Supposons que nous ayons plusieurs fractions algébriques pour lesquelles nous devons trouver un dénominateur commun. Pour résoudre ce problème, nous pouvons utiliser l'algorithme d'actions suivant. Premièrement, nous devons factoriser les dénominateurs des fractions originales. Puis nous composons une œuvre, dans laquelle nous insérons successivement :

• tous les facteurs du dénominateur de la première fraction avec les puissances ;
• tous les facteurs présents dans le dénominateur de la seconde fraction, mais qui ne sont pas dans l'œuvre écrite ou leur degré ne suffit pas ;
• tous les facteurs manquants du dénominateur de la troisième fraction, et ainsi de suite.

Le produit résultant sera le dénominateur commun des fractions algébriques.

Comme multiplicateurs du produit, nous pouvons prendre tous les dénominateurs des fractions données dans l'énoncé du problème. Cependant, le multiplicateur que nous obtiendrons au final sera loin du NOZ en sens et son utilisation sera irrationnelle.

Exemple 4

Trouvez le dénominateur commun des fractions 1 x 2 y, 5 x + 1 et y - 3 x 5 y.

Solution

Dans ce cas, nous n'avons pas besoin de factoriser les dénominateurs des fractions originales. Par conséquent, nous commencerons à appliquer l'algorithme en compilant un travail.

Du dénominateur de la première fraction, on prend le facteur x 2 ans, à partir du dénominateur de la seconde fraction le facteur x + 1... Nous obtenons le travail x 2 y (x + 1).

Le dénominateur de la troisième fraction peut nous donner un multiplicateur x 5 ans, cependant, dans le travail que nous avons compilé précédemment, il existe déjà des facteurs x 2 et oui... Par conséquent, nous ajoutons plus x 5 - 2 = x 3... Nous obtenons le travail x 2 y (x + 1) x 3 qui peut être réduit à la forme x 5 y (x + 1)... Ce sera notre NOZ de fractions algébriques.

Réponse: x 5 y (x + 1).

Nous allons maintenant considérer des exemples de problèmes lorsque les dénominateurs de fractions algébriques ont des facteurs numériques entiers. Dans de tels cas, nous agissons également selon l'algorithme, ayant préalablement décomposé les facteurs numériques entiers en facteurs premiers.

Exemple 5

Trouvez le dénominateur commun des fractions 1 12 x et 1 90 x 2.

Solution

En développant les nombres dans les dénominateurs des fractions en facteurs premiers, nous obtenons 1 2 2 · 3 · x et 1 2 · 3 2 · 5 · x 2. Nous pouvons maintenant passer à l'élaboration d'un dénominateur commun. Pour ce faire, à partir du dénominateur de la première fraction, on prend le produit 2 2 3 x et additionner les facteurs 3, 5 et X du dénominateur de la seconde fraction. On a 2 2 3 x 3 5 x = 180 x 2... C'est notre dénominateur commun.

Réponse: 180x2.

Si vous regardez de près les résultats des deux exemples analysés, vous remarquerez que les dénominateurs communs des fractions contiennent tous les facteurs présents dans les développements des dénominateurs, et si un certain facteur est présent dans plusieurs dénominateurs, alors il est pris avec le plus grand exposant disponible. Et s'il y a des coefficients entiers dans les dénominateurs, alors dans le dénominateur commun il y a un facteur numérique égal au plus petit commun multiple de ces coefficients numériques.

Exemple 6

Les dénominateurs des deux fractions algébriques 1 12 x et 1 90 x 2 ont un facteur X... Dans le second cas, le facteur x est au carré. Pour établir un dénominateur commun, nous devons prendre ce facteur au maximum, c'est-à-dire x 2... Il n'y a pas d'autres multiplicateurs avec des variables. Coefficients numériques entiers des fractions d'origine 12 et 90 , et leur plus petit commun multiple est 180 ... Il s'avère que le dénominateur commun recherché a la forme 180x2.

Nous pouvons maintenant écrire un autre algorithme pour trouver le facteur commun des fractions algébriques. Pour cela nous :

• nous décomposons les dénominateurs de toutes les fractions en facteurs ;
• composer le produit de tous les facteurs alphabétiques (s'il y a un facteur dans plusieurs développements, on prend l'option avec l'exposant le plus élevé);
• ajouter le LCM des coefficients de dilatation numériques au produit résultant.

Les algorithmes ci-dessus sont équivalents, donc n'importe lequel d'entre eux peut être utilisé pour résoudre des problèmes. Il est important de faire attention aux détails.

Il y a des moments où les facteurs communs dans les dénominateurs des fractions peuvent ne pas être perceptibles derrière les coefficients numériques. Ici, il est conseillé de retirer d'abord les coefficients numériques aux puissances les plus élevées des variables en dehors des parenthèses dans chacun des facteurs du dénominateur.

Exemple 7

Quel est le dénominateur commun des fractions 3 5 - x et 5 - x · y 2 2 · x - 10.

Solution

Dans le premier cas, le moins doit être retiré des parenthèses. On obtient 3 - x - 5. Multipliez le numérateur et le dénominateur par - 1 pour éliminer le moins du dénominateur : - 3 x - 5.

Dans le second cas, nous mettons deux hors de la parenthèse. Cela nous permet d'obtenir la fraction 5 - x · y 2 2 · x - 5.

Évidemment, le dénominateur commun de ces fractions algébriques - 3 x - 5 et 5 - x y 2 2 x - 5 est 2 (x - 5).

Réponse:2 (x - 5).

Les données de fractions dans l'énoncé du problème peuvent avoir des coefficients fractionnaires. Dans ces cas, vous devez d'abord vous débarrasser des coefficients fractionnaires en multipliant le numérateur et le dénominateur par un certain nombre.

Exemple 8

Simplifier fractions algébriques 1 2 x + 1 1 14 x 2 + 1 7 et - 2 2 3 x 2 + 1 1 3, puis détermine leur dénominateur commun.

Solution

Débarrassons-nous des coefficients fractionnaires en multipliant le numérateur et le dénominateur dans le premier cas par 14, dans le second cas par 3. On a:

1 2 x + 1 1 14 x 2 + 1 7 = 14 1 2 x + 1 14 1 14 x 2 + 1 7 = 7 x + 1 x 2 + 2 et - 2 2 3 x 2 + 1 1 3 = 3 - 2 3 2 3 x 2 + 4 3 = - 6 2 x 2 + 4 = - 6 2 x 2 + 2.

Après les transformations, il devient clair que le dénominateur commun est 2 (x 2 + 2).

Réponse: 2 (x 2 + 2).

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Un multiple est un nombre qui est divisible par un nombre donné. Le plus petit commun multiple (LCM) d'un groupe de nombres est le plus petit nombre qui est divisible de manière égale par chaque nombre du groupe. Pour trouver le plus petit commun multiple, vous devez trouver les facteurs premiers des nombres donnés. Le LCM peut également être calculé à l'aide d'un certain nombre d'autres méthodes applicables aux groupes de deux nombres ou plus.

Pas

Une série de multiples

Regardez les nombres donnés. La méthode décrite ici est mieux utilisée lorsque deux nombres sont donnés, chacun étant inférieur à 10. Si les nombres sont grands, utilisez une méthode différente.

• Par exemple, trouvez le plus petit commun multiple de 5 et 8. Ce sont de petits nombres, vous pouvez donc utiliser cette méthode.

1. Un multiple est un nombre qui est divisible par un nombre donné. Plusieurs nombres peuvent être trouvés dans la table de multiplication.

   • Par exemple, les nombres multiples de 5 sont : 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Écrivez une série de nombres qui sont des multiples du premier nombre. Faites cela sous les multiples du premier nombre pour comparer deux séries de nombres.

   • Par exemple, les nombres qui sont des multiples de 8 sont : 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 et 64.

3. Trouvez le plus petit nombre qui apparaît dans les deux rangées de multiples. Vous devrez peut-être écrire de longues séries de multiples pour trouver nombre total... Le plus petit nombre qui apparaît dans les deux rangées de multiples est le plus petit multiple commun.

   • Par exemple, le plus petit nombre qui apparaît dans une série de multiples de 5 et 8 est 40. Par conséquent, 40 est le plus petit multiple commun de 5 et 8.

   Factorisation en nombres premiers

   1. Regardez les nombres donnés. La méthode décrite ici est mieux utilisée lorsque deux nombres sont donnés, chacun étant supérieur à 10. Si les nombres donnés sont plus petits, utilisez une méthode différente.

      • Par exemple, trouvez le plus petit commun multiple de 20 et 84. Chacun des nombres est supérieur à 10, vous pouvez donc utiliser cette méthode.

   2. Factorisez le premier nombre. C'est-à-dire que vous devez trouver de tels nombres premiers, lors de la multiplication, vous obtenez le nombre donné. Une fois que vous avez trouvé les facteurs premiers, notez-les sous forme d'égalités.

      • Par exemple, 2 × 10 = 20 (\ displaystyle (\ mathbf (2)) \ fois 10 = 20) et 2 × 5 = 10 (\ displaystyle (\ mathbf (2)) \ fois (\ mathbf (5)) = 10)... Ainsi, facteurs premiers les nombres 20 sont les nombres 2, 2 et 5. Écrivez-les sous forme d'expression :.

   3. Factorisez le deuxième nombre. Faites-le de la même manière que vous avez factorisé le premier nombre, c'est-à-dire trouvez les nombres premiers qui, une fois multipliés, donneront le nombre donné.

      • Par exemple, 2 × 42 = 84 (\ displaystyle (\ mathbf (2)) \ times 42 = 84), 7 × 6 = 42 (\ displaystyle (\ mathbf (7)) \ fois 6 = 42) et 3 × 2 = 6 (\ displaystyle (\ mathbf (3)) \ fois (\ mathbf (2)) = 6)... Ainsi, les facteurs premiers de 84 sont 2, 7, 3 et 2. Écrivez-les sous la forme d'une expression :.

   4. Notez les facteurs communs aux deux nombres.Écrivez ces facteurs sous forme d'opération de multiplication. Au fur et à mesure que vous écrivez chaque facteur, rayez-le dans les deux expressions (expressions qui décrivent des factorisations premières).

      • Par exemple, le facteur commun aux deux nombres est 2, alors écrivez 2 × (\ displaystyle 2 \ fois) et biffez 2 dans les deux expressions.
      • Commun aux deux nombres est un autre facteur de 2, alors écrivez 2 × 2 (\ displaystyle 2 \ times 2) et rayez le deuxième 2 dans les deux expressions.

   5. Ajoutez les facteurs restants à l'opération de multiplication. Ce sont des facteurs qui ne sont pas barrés dans les deux expressions, c'est-à-dire des facteurs qui ne sont pas communs aux deux nombres.

      • Par exemple, dans l'expression 20 = 2 × 2 × 5 (\ displaystyle 20 = 2 \ fois 2 \ fois 5) les deux (2) sont barrés car ce sont des facteurs communs. Le facteur 5 n'est pas barré, alors écrivez l'opération de multiplication comme ceci : 2 × 2 × 5 (\ displaystyle 2 \ times 2 \ times 5)
      • Dans l'expression 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\ displaystyle 84 = 2 \ fois 7 \ fois 3 \ fois 2)également barré les deux (2). Les facteurs 7 et 3 ne sont pas barrés, alors écrivez l'opération de multiplication comme ceci : 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\ displaystyle 2 \ times 2 \ times 5 \ times 7 \ times 3).

   6. Calculer le plus petit commun multiple. Pour ce faire, multipliez les nombres dans l'opération de multiplication enregistrée.

      • Par exemple, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\ displaystyle 2 \ times 2 \ times 5 \ times 7 \ times 3 = 420)... Ainsi, le plus petit commun multiple de 20 et 84 est 420.

   Trouver des diviseurs communs

   1. Dessinez la grille comme pour un jeu de morpion. Une telle grille se compose de deux lignes parallèles qui se coupent (à angle droit) avec les deux autres lignes parallèles. Cela crée trois lignes et trois colonnes (la grille est très similaire au signe #). Écrivez le premier nombre dans la première ligne et la deuxième colonne. Écrivez le deuxième nombre sur la première ligne et la troisième colonne.

      • Par exemple, trouvez le plus petit commun multiple de 18 et 30. Écrivez 18 dans la première ligne et la deuxième colonne, et écrivez 30 dans la première ligne et la troisième colonne.

   2. Trouvez le diviseur commun aux deux nombres.Écrivez-le sur la première ligne et la première colonne. Il est préférable de rechercher des facteurs premiers, mais ce n'est pas une exigence.

      • Par exemple, 18 et 30 sont des nombres pairs, leur diviseur commun est donc 2. Écrivez donc 2 dans la première ligne et la première colonne.

   3. Divisez chaque nombre par le premier diviseur.Écris chaque quotient sous le nombre correspondant. Le quotient est le résultat de la division de deux nombres.

      • Par exemple, 18 ÷ 2 = 9 (\ displaystyle 18 \ div 2 = 9) alors écrivez 9 moins de 18 ans.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\ displaystyle 30 \ div 2 = 15) alors écrivez 15 sous 30.

   4. Trouvez le diviseur commun aux deux quotients. S'il n'y a pas un tel diviseur, sautez les deux étapes suivantes. Sinon, écrivez le diviseur dans la deuxième ligne et la première colonne.

      • Par exemple, 9 et 15 sont divisibles par 3, alors écrivez 3 dans la deuxième ligne et la première colonne.

   5. Divisez chaque quotient par le deuxième facteur.Écrivez chaque résultat de division sous le quotient correspondant.

      • Par exemple, 9 ÷ 3 = 3 (\ displaystyle 9 \ div 3 = 3) alors écrivez 3 sous 9.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\ displaystyle 15 \ div 3 = 5) alors écrivez 5 sous 15.

   6. Si nécessaire, complétez la grille avec des cellules supplémentaires. Répétez les étapes décrites jusqu'à ce que les quotients aient un diviseur commun.

   7. Encerclez les nombres dans la première colonne et la dernière ligne de la grille. Ensuite, notez les nombres sélectionnés comme une opération de multiplication.

      • Par exemple, les nombres 2 et 3 sont dans la première colonne, et les nombres 3 et 5 sont dans la dernière ligne, alors écrivez l'opération de multiplication comme ceci : 2 × 3 × 3 × 5 (\ displaystyle 2 \ times 3 \ times 3 \ times 5).

   8. Trouvez le résultat de la multiplication des nombres. Cela calculera le plus petit commun multiple des deux nombres donnés.

      • Par exemple, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\ displaystyle 2 \ times 3 \ times 3 \ times 5 = 90)... Le plus petit commun multiple de 18 et 30 est donc 90.

   L'algorithme d'Euclide

   1. Rappelez-vous la terminologie associée à l'opération de division. Le dividende est le nombre qui est divisé. Le diviseur est le nombre divisé par. Le quotient est le résultat de la division de deux nombres. Le reste est le nombre restant lorsque deux nombres sont divisés.

      • Par exemple, dans l'expression 15 ÷ 6 = 2 (\ displaystyle 15 \ div 6 = 2) ost. 3:
        15 est un dividende
        6 est le diviseur
        2 est le quotient
        3 est le reste.

Plus grand diviseur commun

Définition 2

Si un nombre naturel a est divisible par un nombre naturel $ b $, alors $ b $ est appelé diviseur de $ a $ et $ a $ est appelé multiple de $ b $.

Soit $ a $ et $ b $ des entiers naturels. Le nombre $ c $ est appelé diviseur commun pour $ a $ et $ b $.

L'ensemble des diviseurs communs pour $ a $ et $ b $ est fini, car aucun de ces diviseurs ne peut être supérieur à $ a $. Cela signifie que parmi ces diviseurs, il y a un plus grand, qui est appelé le plus grand commun diviseur des nombres $ a $ et $ b $, et la notation est utilisée pour le désigner :

$ Gcd \ (a; b) \ ou \ D \ (a; b) $

Pour trouver le plus grand commun diviseur de deux nombres, il faut :

1. Trouvez le produit des nombres trouvés à l'étape 2. Le nombre résultant sera le plus grand facteur commun souhaité.

Exemple 1

Trouvez le pgcd des nombres 121 $ et 132 $. $

242 $ = 2 \ cdot 11 \ cdot 11 $

132 $ = 2 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot 11 $

Choisissez des nombres qui sont inclus dans la décomposition de ces nombres

242 $ = 2 \ cdot 11 \ cdot 11 $

132 $ = 2 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot 11 $

Trouvez le produit des nombres trouvés à l'étape 2. Le nombre résultant sera le plus grand facteur commun souhaité.

$ Gcd = 2 \ cdot 11 = 22 $

Exemple 2

Trouvez le PGCD des monômes de 63 $ et 81 $.

Nous allons trouver selon l'algorithme présenté. Pour ça:

Décomposer les nombres en facteurs premiers

63 $ = 3 \ cdot 3 \ cdot 7 $

81 $ = 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 3 $

Nous choisissons des nombres qui sont inclus dans la décomposition de ces nombres

63 $ = 3 \ cdot 3 \ cdot 7 $

81 $ = 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 3 $

Trouvons le produit des nombres trouvés à l'étape 2. Le nombre résultant sera le plus grand facteur commun souhaité.

$ Gcd = 3 \ cdot 3 = 9 $

Vous pouvez trouver le PGCD de deux nombres d'une autre manière, en utilisant l'ensemble des diviseurs de nombres.

Exemple 3

Trouvez le PGCD des nombres $ 48 $ et $ 60 $.

Solution:

Trouver l'ensemble des diviseurs du nombre $ 48 $ : $ \ left \ ((\ rm 1,2,3.4.6.8,12,16,24,48) \ right \) $

On trouve maintenant l'ensemble des diviseurs du nombre $ 60 $ : $ \ \ left \ ((\ rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60) \ right \ ) $

Trouvons l'intersection de ces ensembles : $ \ left \ ((\ rm 1,2,3,4,6,12) \ right \) $ - cet ensemble déterminera l'ensemble des diviseurs communs des nombres $ 48 $ et 60 $ $. Le plus grand élément de cet ensemble il y aura un numéro 12$. Ainsi, le plus grand commun diviseur de 48 $ et 60 $ sera de 12 $.

Définition de LCM

Définition 3

Multiple commun de nombres naturels$ a $ et $ b $ est un nombre naturel multiple de $ a $ et $ b $.

Les multiples communs sont des nombres divisibles par l'original sans reste. Par exemple, pour les nombres 25 $ et 50 $, les multiples communs seront les nombres 50 100 150 200 $, etc.

Le plus petit commun multiple sera appelé le plus petit commun multiple et noté LCM $ (a; b) $ ou K $ (a; b). $

Pour trouver le LCM de deux nombres, il vous faut :

1. Nombres de facteurs
2. Écrivez les facteurs qui font partie du premier nombre et ajoutez-leur les facteurs qui font partie du second et n'entrent pas dans le premier

Exemple 4

Trouvez le LCM des nombres 99$ et 77$.

Nous allons trouver selon l'algorithme présenté. Pour ça

Nombres de facteurs

99 $ = 3 \ cdot 3 \ cdot 11 $

Écrivez les facteurs inclus dans le premier

ajoutez-leur les facteurs qui font partie du second et n'entrent pas dans le premier

Trouvez le produit des nombres trouvés à l'étape 2. Le nombre résultant sera le multiple le moins commun souhaité

$ LCM = 3 \ cdot 3 \ cdot 11 \ cdot 7 = 693 $

La compilation de listes de diviseurs de nombres prend souvent beaucoup de temps. Il existe un moyen de trouver le GCD appelé algorithme d'Euclide.

Les énoncés sur lesquels repose l'algorithme d'Euclide :

Si $ a $ et $ b $ sont des nombres naturels, et $ a \ vdots b $, alors $ D (a; b) = b $

Si $ a $ et $ b $ sont des entiers naturels tels que $ b

En utilisant $ D (a; b) = D (a-b; b) $, nous pouvons successivement diminuer les nombres considérés jusqu'à ce que nous atteignions une telle paire de nombres que l'un d'eux est divisible par l'autre. Ensuite, le plus petit de ces nombres sera le plus grand commun diviseur souhaité pour les nombres $ a $ et $ b $.

Propriétés de GCD et LCM

1. Tout multiple commun de $ a $ et $ b $ est divisible par K $ (a; b) $
2. Si $ a \ vdots b $, alors K $ (a; b) = a $

Si K $ (a; b) = k $ et $ m $ est un nombre naturel, alors K $ (am; bm) = km $

Si $ d $ est un diviseur commun pour $ a $ et $ b $, alors K ($ \ frac (a) (d); \ frac (b) (d) $) = $ \ \ frac (k) (d ) $

Si $ a \ vdots c $ et $ b \ vdots c $, alors $ \ frac (ab) (c) $ est un multiple commun de $ a $ et $ b $

Pour tout nombre naturel $ a $ et $ b $, l'égalité

$ D (a; b) \ cdot (a; b) = ab $

Tout diviseur commun des nombres $ a $ et $ b $ est un diviseur du nombre $ D (a; b) $