Depuis sommet opposé) et divisez le produit obtenu par deux. Cela ressemble à ceci :

S = ½ * a * h,

Où:
S – aire du triangle,
a est la longueur de son côté,
h est la hauteur abaissée de ce côté.

La longueur et la hauteur des côtés doivent être présentées dans les mêmes unités de mesure. Dans ce cas, l’aire du triangle sera obtenue dans les unités « » correspondantes.

Exemple.
D'un côté d'un triangle scalène de 20 cm de long, une perpendiculaire au sommet opposé de 10 cm de long est abaissée.
L'aire du triangle est obligatoire.
Solution.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (cm²).

Si les longueurs de deux côtés quelconques d'un triangle scalène et l'angle entre eux sont connus, utilisez la formule :

S = ½ * a * b * sinγ,

où : a, b sont les longueurs de deux côtés arbitraires et γ est l'angle entre eux.

En pratique, par exemple, lors de la mesure de terrains, l'utilisation des formules ci-dessus est parfois difficile, car elle nécessite une construction et une mesure d'angles supplémentaires.

Si vous connaissez les longueurs des trois côtés d’un triangle scalène, utilisez la formule de Heron :

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

a, b, c – longueurs des côtés du triangle,
p – demi-périmètre : p = (a+b+c)/2.

Si, en plus des longueurs de tous les côtés, le rayon du cercle inscrit dans le triangle est connu, alors utilisez la formule compacte suivante :

où : r – rayon du cercle inscrit (р – demi-périmètre).

Pour calculer l'aire d'un triangle scalène et la longueur de ses côtés, utilisez la formule :

où : R – rayon du cercle circonscrit.

Si la longueur d'un des côtés du triangle et trois angles sont connus (en principe, deux suffisent - la valeur du troisième est calculée à partir de l'égalité de la somme des trois angles du triangle - 180º), alors utilisez la formule :

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

où α est la valeur de l'angle opposé au côté a ;
β, γ – valeurs des deux angles restants du triangle.

Le besoin de trouver divers éléments, y compris les zones triangle, apparu plusieurs siècles avant JC parmi les astronomes érudits Grèce antique. Carré triangle peut être calculé de diverses manières en utilisant différentes formules. La méthode de calcul dépend des éléments triangle connu.

Instructions

Si à partir de la condition nous connaissons les valeurs de deux côtés b, c et l'angle qu'ils forment ?, alors l'aire triangle ABC se trouve par la formule :
S = (bcsin?)/2.

Si à partir de la condition nous connaissons les valeurs de deux côtés a, b et l'angle qu'ils ne forment pas ?, alors l'aire triangle ABC se trouve comme suit :
Trouver l'angle ?, péché ? = bsin?/a, puis utilisez le tableau pour déterminer l'angle lui-même.
Trouver l'angle ?, ? = 180°-?-?.
On retrouve l'aire elle-même S = (absine ?)/2.

Si à partir de la condition nous connaissons les valeurs de seulement trois côtés triangle a, b et c, alors l'aire triangle ABC se trouve par la formule :
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)), où p est le demi-périmètre p = (a+b+c)/2

Si, à partir des conditions problématiques, nous connaissons la hauteur triangle h et le côté vers lequel cette hauteur est abaissée, puis la surface triangle ABC selon la formule :
S = ah(a)/2 = bh(b)/2 = ch(c)/2.

Si nous connaissons la signification des côtés triangle a, b, c et le rayon décrit à ce sujet triangle R, alors l'aire de ceci triangle ABC est déterminé par la formule :
S = abc/4R.
Si trois côtés a, b, c et le rayon de ce qui est inscrit dans sont connus, alors l'aire triangle ABC se trouve par la formule :
S = pr, où p est le demi-périmètre, p = (a+b+c)/2.

Si ABC est équilatéral, alors l'aire est trouvée par la formule :
S = (a^2v3)/4.
Si le triangle ABC est isocèle, alors l'aire est déterminée par la formule :
S = (cv(4a^2-c^2))/4, où c – triangle.
Si le triangle ABC est rectangle, alors l'aire est déterminée par la formule :
S = ab/2, où a et b sont des jambes triangle.
Si le triangle ABC est un triangle rectangle isocèle, alors l'aire est déterminée par la formule :
S = c^2/4 = a^2/2, où c est l'hypoténuse triangle, a=b – jambe.

Vidéo sur le sujet

Sources :

• comment mesurer l'aire d'un triangle

Astuce 3 : Comment trouver l'aire d'un triangle si l'angle est connu

Connaître un seul paramètre (l'angle) ne suffit pas pour trouver l'aire tre carré . S'il existe des dimensions supplémentaires, pour déterminer la zone, vous pouvez choisir l'une des formules dans lesquelles la valeur de l'angle est également utilisée comme l'une des variables connues. Plusieurs des formules les plus fréquemment utilisées sont indiquées ci-dessous.

Instructions

Si, en plus de la taille de l'angle (γ) formé par les deux côtés tre carré , les longueurs de ces côtés (A et B) sont également connues, alors carré(S) d'une figure peut être défini comme la moitié du produit des longueurs des côtés et du sinus de cet angle connu : S=½×A×B×sin(γ).

Un triangle est comme ça figure géométrique, qui se compose de trois lignes se connectant en des points qui ne se trouvent pas sur la même ligne. Les points de connexion des lignes sont les sommets du triangle, qui sont désignés en lettres latines(par exemple A, B, C). Les lignes droites reliant un triangle sont appelées segments, qui sont également généralement désignés par des lettres latines. On distingue les types de triangles suivants :

• Rectangulaire.
• Obtus.
• Angulaire aigu.
• Polyvalent.
• Équilatéral.
• Isocèle.

Formules générales pour calculer l'aire d'un triangle

Formule pour l'aire d'un triangle basée sur la longueur et la hauteur

S= une*h/2,
où a est la longueur du côté du triangle dont il faut trouver l'aire, h est la longueur de la hauteur tirée jusqu'à la base.

La formule du héron

S=√р*(р-а)*(р-b)*(pc),
où √ est racine carrée, p est le demi-périmètre du triangle, a,b,c est la longueur de chaque côté du triangle. Le demi-périmètre d'un triangle peut être calculé à l'aide de la formule p=(a+b+c)/2.

Formule pour l'aire d'un triangle basée sur l'angle et la longueur du segment

S = (a*b*sin(α))/2,
Où b, c est la longueur des côtés du triangle, sin(α) est le sinus de l'angle entre les deux côtés.

Formule pour l'aire d'un triangle étant donné le rayon du cercle inscrit et trois côtés

S=p*r,
où p est le demi-périmètre du triangle dont il faut trouver l'aire, r est le rayon du cercle inscrit dans ce triangle.

Formule pour l'aire d'un triangle basée sur trois côtés et le rayon du cercle circonscrit autour de lui

S= (a*b*c)/4*R,
où a,b,c est la longueur de chaque côté du triangle, R est le rayon du cercle circonscrit autour du triangle.

Formule pour l'aire d'un triangle utilisant les coordonnées cartésiennes des points

Les coordonnées cartésiennes des points sont des coordonnées dans le système xOy, où x est l'abscisse, y est l'ordonnée. Le système de coordonnées cartésiennes xOy sur un plan est constitué des axes numériques Ox et Oy mutuellement perpendiculaires avec début commun point de référence au point O. Si les coordonnées des points sur ce plan sont données sous la forme A(x1, y1), B(x2, y2) et C(x3, y3), alors vous pouvez calculer l'aire du triangle en utilisant la formule suivante, qui est obtenue à partir du produit vectoriel de deux vecteurs.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
où || signifie module.

Comment trouver l'aire d'un triangle rectangle

Un triangle rectangle est un triangle dont un angle mesure 90 degrés. Un triangle ne peut avoir qu’un seul angle.

Formule pour l'aire d'un triangle rectangle sur deux côtés

S= une*b/2,
où a,b est la longueur des jambes. Les jambes sont les côtés adjacents à un angle droit.

Formule pour l'aire d'un triangle rectangle basée sur l'hypoténuse et l'angle aigu

S = a*b*sin(α)/ 2,
où a, b sont les jambes du triangle et sin(α) est le sinus de l'angle auquel les lignes a, b se coupent.

Formule pour l'aire d'un triangle rectangle basée sur le côté et l'angle opposé

S = une*b/2*tg(β),
où a, b sont les branches du triangle, tan(β) est la tangente de l'angle auquel les branches a, b sont connectées.

Comment calculer l'aire d'un triangle isocèle

Un triangle isocèle est un triangle qui possède deux côtés égaux. Ces côtés sont appelés les côtés et l’autre côté est la base. Pour calculer l'aire d'un triangle isocèle, vous pouvez utiliser l'une des formules suivantes.

Formule de base pour calculer l'aire d'un triangle isocèle

S=h*c/2,
où c est la base du triangle, h est la hauteur du triangle abaissé jusqu'à la base.

Formule d'un triangle isocèle basée sur le côté et la base

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
où c est la base du triangle, a est la taille de l'un des côtés latéraux du triangle isocèle.

Comment trouver l'aire d'un triangle équilatéral

Un triangle équilatéral est un triangle dont tous les côtés sont égaux. Pour calculer l'aire d'un triangle équilatéral, vous pouvez utiliser la formule suivante :
S = (√3*a*a)/4,
où a est la longueur du côté du triangle équilatéral.

Les formules ci-dessus vous permettront de calculer l'aire requise du triangle. Il est important de se rappeler que pour calculer l'aire des triangles, vous devez prendre en compte le type de triangle et les données disponibles qui peuvent être utilisées pour le calcul.

Pour déterminer l'aire d'un triangle, vous pouvez utiliser différentes formules. De toutes les méthodes, la plus simple et la plus fréquemment utilisée consiste à multiplier la hauteur par la longueur de la base puis à diviser le résultat par deux. Cependant, cette méthode est loin d’être la seule. Ci-dessous, vous pouvez lire comment trouver l'aire d'un triangle à l'aide de différentes formules.

Séparément, nous examinerons les moyens de calculer l'aire de types spécifiques de triangles - rectangulaires, isocèles et équilatéraux. Nous accompagnons chaque formule d'une courte explication qui vous aidera à comprendre son essence.

Méthodes universelles pour trouver l'aire d'un triangle

Les formules ci-dessous utilisent une notation spéciale. Nous allons décrypter chacun d'eux :

• a, b, c – les longueurs des trois côtés de la figure que nous considérons ;
• r est le rayon du cercle pouvant être inscrit dans notre triangle ;
• R est le rayon du cercle qui peut être décrit autour de lui ;
• α est la grandeur de l'angle formé par les côtés b et c ;
• β est la grandeur de l'angle entre a et c ;
• γ est la grandeur de l'angle formé par les côtés a et b ;
• h est la hauteur de notre triangle, abaissé de l'angle α au côté a ;
• p – la moitié de la somme des côtés a, b et c.

Il est logiquement clair pourquoi vous pouvez trouver l'aire d'un triangle de cette manière. Le triangle peut facilement être complété en un parallélogramme, dans lequel un côté du triangle fera office de diagonale. L'aire d'un parallélogramme se trouve en multipliant la longueur d'un de ses côtés par la valeur de la hauteur qui lui est dessinée. La diagonale divise ce parallélogramme conditionnel en 2 triangles identiques. Il est donc bien évident que l'aire de notre triangle d'origine doit être égale à la moitié de l'aire de ce parallélogramme auxiliaire.

S=½ a b sin γ

Selon cette formule, l'aire d'un triangle se trouve en multipliant les longueurs de ses deux côtés, c'est-à-dire a et b, par le sinus de l'angle qu'ils forment. Cette formule dérive logiquement de la précédente. Si l'on abaisse la hauteur de l'angle β au côté b, alors, selon les propriétés d'un triangle rectangle, lorsque l'on multiplie la longueur du côté a par le sinus de l'angle γ, on obtient la hauteur du triangle, c'est-à-dire h .

L'aire de la figure en question se trouve en multipliant la moitié du rayon du cercle qui peut y être inscrit par son périmètre. Autrement dit, on trouve le produit du demi-périmètre et du rayon du cercle mentionné.

S = a b c/4R

Selon cette formule, la valeur dont nous avons besoin peut être trouvée en divisant le produit des côtés de la figure par 4 rayons du cercle décrit autour d'elle.

Ces formules sont universelles, car elles permettent de déterminer l'aire de n'importe quel triangle (scalène, isocèle, équilatéral, rectangulaire). Cela peut également se faire à l'aide de calculs plus complexes, sur lesquels nous ne nous attarderons pas en détail.

Aires de triangles avec des propriétés spécifiques

Comment trouver l'aire d'un triangle rectangle ? La particularité de cette figure est que ses deux côtés sont simultanément ses hauteurs. Si a et b sont des jambes et que c devient l'hypoténuse, alors nous trouvons l'aire comme ceci :

Comment trouver l'aire d'un triangle isocèle ? Il a deux côtés de longueur a et un côté de longueur b. Par conséquent, son aire peut être déterminée en divisant par 2 le produit du carré du côté a par le sinus de l'angle γ.

Comment trouver l'aire d'un triangle équilatéral ? Dans celui-ci, la longueur de tous les côtés est égale à a et la grandeur de tous les angles est α. Sa hauteur est égale à la moitié du produit de la longueur du côté a et de la racine carrée de 3. Pour trouver l'aire d'un triangle régulier, il faut multiplier le carré du côté a par la racine carrée de 3 et diviser par 4.

Instructions

Fêtes et les angles sont considérés comme des éléments de base UN. Un triangle est complètement défini par l'un de ses éléments de base suivants : soit trois côtés, soit un côté et deux angles, soit deux côtés et un angle entre eux. Pour l'existence triangle donné par trois côtés a, b, c, il est nécessaire et suffisant de satisfaire les inégalités dites inégalités triangle:
a+b > c,
a+c > b,
b+c > a.

Pour construire triangle sur trois côtés a, b, c, il faut à partir du point C du segment CB = a tracer un cercle de rayon b à l'aide d'un compas. Ensuite, de la même manière, tracez à partir du point B un cercle de rayon égal au côté c. Leur point d'intersection A est le troisième sommet du triangle ABC, où AB=c, CB=a, CA=b - côtés triangle. Le problème est que, si les côtés a, b, c satisfont aux inégalités triangle spécifié à l’étape 1.

Zone S ainsi construite triangle ABC avec fêtes connues a, b, c, calculés à l'aide de la formule de Heron :
S = v (p (p-a)(p-b)(p-c)),
où a, b, c sont des côtés triangle, p – demi-périmètre.
p = (a+b+c)/2

Si un triangle est équilatéral, c'est-à-dire que tous ses côtés sont égaux (a=b=c).Aire triangle calculé par la formule :
S=(a^2 v3)/4

Si le triangle est rectangle, c'est-à-dire qu'un de ses angles est égal à 90° et que les côtés qui le forment sont des jambes, le troisième côté est l'hypoténuse. DANS dans ce cas carré est égal au produit des jambes divisé par deux.
S=ab/2

Pour trouver carré triangle, vous pouvez utiliser l'une des nombreuses formules. Choisissez une formule en fonction des données déjà connues.

Vous aurez besoin

• connaissance des formules pour trouver l'aire d'un triangle

Instructions

Si vous connaissez la taille d'un des côtés et la valeur de la hauteur abaissée de ce côté à partir de l'angle opposé à celui-ci, alors vous pouvez trouver l'aire en utilisant la formule suivante : S = a*h/2, où S est l'aire du triangle, a est l'un des côtés du triangle, et h - hauteur, au côté a.

Il existe une méthode connue pour déterminer l'aire d'un triangle si ses trois côtés sont connus. C'est la formule de Heron. Pour simplifier son enregistrement, une valeur intermédiaire est introduite - semi-périmètre : p = (a+b+c)/2, où a, b, c - . Alors la formule de Heron est la suivante : S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^½, ^ exponentiation.

Supposons que vous connaissiez l'un des côtés d'un triangle et trois angles. Il est alors facile de trouver l'aire du triangle : S = a²sinα sinγ / (2sinβ), où β est l'angle opposé au côté a, et α et γ sont des angles adjacents au côté.

Vidéo sur le sujet

Veuillez noter

La formule la plus générale et adaptée à tous les cas est la formule de Héron.

Sources :

Astuce 3 : Comment trouver l'aire d'un triangle en fonction de trois côtés

Trouver l'aire d'un triangle est l'un des problèmes les plus courants en planimétrie scolaire. Connaître les trois côtés d'un triangle suffit pour déterminer l'aire de n'importe quel triangle. Dans des cas particuliers de triangles équilatéraux, il suffit de connaître respectivement les longueurs de deux et d'un côté.

Vous aurez besoin

• longueurs des côtés des triangles, formule de Heron, théorème du cosinus

Instructions

La formule de Heron pour l'aire d'un triangle est la suivante : S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Si on écrit le demi-périmètre p, on obtient : S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c )/2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Vous pouvez dériver une formule pour l'aire d'un triangle à partir de considérations, par exemple en appliquant le théorème du cosinus.

D'après le théorème du cosinus, AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). En utilisant les notations introduites, celles-ci peuvent également être écrites sous la forme : b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Par conséquent, cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

L'aire d'un triangle est également trouvée par la formule S = a*c*sin(ABC)/2 en utilisant deux côtés et l'angle qui les sépare. Le sinus de l'angle ABC peut être exprimé à travers lui en utilisant l'identité trigonométrique de base : sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2). En remplaçant le sinus dans la formule de l'aire et en l'écrivant , vous pouvez arriver à la formule de l’aire du triangle ABC.

Vidéo sur le sujet

Pour réaliser travaux de réparation il peut être nécessaire de mesurer carré murs Cela facilite le calcul de la quantité requise de peinture ou de papier peint. Pour les mesures, il est préférable d'utiliser un ruban à mesurer ou un ruban à mesurer. Les mesures doivent être prises après murs ont été nivelés.

Vous aurez besoin

• -roulette;
• -échelle.

Instructions

Compter carré murs, vous devez connaître la hauteur exacte des plafonds et également mesurer la longueur le long du sol. Cela se fait comme suit : prenez un centimètre et posez-le sur la plinthe. Habituellement, un centimètre ne suffit pas pour toute la longueur, alors fixez-le dans le coin, puis déroulez-le longueur maximale. À ce stade, faites une marque avec un crayon, notez le résultat obtenu et effectuez d'autres mesures de la même manière, en commençant par le dernier point de mesure.

Plafonds standards dans les modèles typiques - 2 mètres 80 centimètres, 3 mètres et 3 mètres 20 centimètres, selon la maison. Si la maison a été construite avant les années 50, la hauteur réelle est probablement légèrement inférieure à celle indiquée. Si vous calculez carré pour les travaux de réparation, une petite quantité ne fera pas de mal - à considérer en fonction de la norme. Si tu as encore besoin de savoir hauteur réelle- prendre des mesures. Le principe est similaire à la mesure de la longueur, mais vous aurez besoin d'un escabeau.

Multipliez les indicateurs résultants - c'est carré le vôtre murs. C'est vrai, quand travaux de peinture ou car il faut soustraire carré porte et ouvertures de fenêtres. Pour ce faire, posez un centimètre le long de l'ouverture. Si nous parlons de sur la porte que vous allez changer par la suite, puis effectuez-la avec le cadre de porte, en considérant seulement carré directement à l'ouverture elle-même. La superficie de la fenêtre est calculée le long du périmètre de son cadre. Après carré fenêtre et porte calculées, soustrayez le résultat de la surface totale résultante de la pièce.

Veuillez noter que la mesure de la longueur et de la largeur de la pièce est effectuée par deux personnes, cela permet de fixer plus facilement un centimètre ou un ruban à mesurer et, par conséquent, d'obtenir un résultat plus précis. Prenez la même mesure plusieurs fois pour vous assurer que les chiffres que vous obtenez sont exacts.

Vidéo sur le sujet

Trouver le volume d'un triangle est vraiment une tâche non triviale. Le fait est qu'un triangle est une figure à deux dimensions, c'est-à-dire il se trouve entièrement dans un seul plan, ce qui signifie qu'il n'a tout simplement pas de volume. Bien sûr, on ne trouve pas quelque chose qui n’existe pas. Mais n'abandonnons pas ! Nous pouvons accepter l’hypothèse suivante : le volume d’une figure bidimensionnelle est son aire. Nous chercherons l'aire du triangle.

Vous aurez besoin

• feuille de papier, crayon, règle, calculatrice

Instructions

Dessinez sur une feuille de papier à l’aide d’une règle et d’un crayon. En examinant attentivement le triangle, vous pouvez vous assurer qu'il n'y a vraiment pas de triangle, puisqu'il est dessiné sur un plan. Étiquetez les côtés du triangle : un côté est le côté "a", l'autre côté "b" et le troisième côté "c". Étiquetez les sommets du triangle avec les lettres « A », « B » et « C ».

Mesurez n'importe quel côté du triangle avec une règle et notez le résultat. Après cela, restituez une perpendiculaire au côté mesuré à partir du sommet opposé, une telle perpendiculaire sera la hauteur du triangle. Dans le cas représenté sur la figure, la perpendiculaire "h" est restituée du côté "c" à partir du sommet "A". Mesurez la hauteur obtenue avec une règle et notez le résultat de la mesure.

Il peut être difficile pour vous de rétablir la perpendiculaire exacte. Dans ce cas, vous devez utiliser une formule différente. Mesurez tous les côtés du triangle avec une règle. Après cela, calculez le demi-périmètre du triangle « p » en additionnant les longueurs des côtés résultantes et en divisant leur somme par deux. Ayant à votre disposition la valeur du demi-périmètre, vous pouvez utiliser la formule de Héron. Pour ce faire, vous devez prendre la racine carrée de ce qui suit : p(p-a)(p-b)(p-c).

tu as la valeur requise aire du triangle. Le problème de trouver le volume d’un triangle n’a pas été résolu, mais comme mentionné ci-dessus, le volume ne l’est pas. Vous pouvez trouver un volume qui est essentiellement un triangle dans le monde tridimensionnel. Si nous imaginons que notre triangle d'origine est devenu une pyramide tridimensionnelle, alors le volume d'une telle pyramide sera le produit de la longueur de sa base et de l'aire résultante du triangle.

Veuillez noter

Plus vous mesurez avec soin, plus vos calculs seront précis.

Sources :

• Calculateur «Tout pour tout» - un portail pour les valeurs de référence
• volume triangulaire en 2019

Les trois points qui définissent de manière unique un triangle dans le système de coordonnées cartésiennes sont ses sommets. Connaissant leur position par rapport à chacun des axes de coordonnées, vous pouvez calculer tous les paramètres de celui-ci silhouette plate, incluant et limité par son périmètre carré. Cela peut être fait de plusieurs manières.

Instructions

Utilisez la formule de Heron pour calculer la superficie triangle. Il s'agit des dimensions des trois côtés de la figure, alors commencez vos calculs par . La longueur de chaque côté doit être égale à la racine de la somme des carrés des longueurs de ses projections sur axes de coordonnées. Si l'on note les coordonnées A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) et C(X₃,Y₃,Z₃), les longueurs de leurs côtés peuvent s'exprimer ainsi : AB = √((X₁- X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √(( X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).

Pour simplifier les calculs, introduisez une variable auxiliaire - le demi-périmètre (P). Du fait que cela représente la moitié de la somme des longueurs de tous les côtés : P = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁- Z₂)²) + √ ((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃) ²).

Le triangle est une figure familière à tous. Et ce malgré la riche variété de ses formes. Rectangulaire, équilatéral, aigu, isocèle, obtus. Chacun d’eux est différent d’une certaine manière. Mais pour tout le monde, vous devez connaître l'aire d'un triangle.

Formules communes à tous les triangles qui utilisent les longueurs de côtés ou les hauteurs

Les désignations qui y sont adoptées : côtés - a, b, c ; hauteurs sur les côtés correspondants sur a, n in, n with.

1. L'aire d'un triangle est calculée comme le produit de ½, d'un côté et de la hauteur qui lui est soustraite. S = ½ * une * n une. Les formules des deux autres côtés doivent être écrites de la même manière.

2. La formule de Héron, dans laquelle apparaît le demi-périmètre (il est généralement désigné par la petite lettre p, contrairement au périmètre complet). Le demi-périmètre doit être calculé comme suit : additionnez tous les côtés et divisez-les par 2. La formule du demi-périmètre est : p = (a+b+c) / 2. Ensuite l'égalité pour l'aire de ​​le chiffre ressemble à ceci : S = √ (p * (p - a) * ( р - в) * (р - с)).

3. Si vous ne souhaitez pas utiliser de demi-périmètre, alors une formule qui contient uniquement les longueurs des côtés sera utile : S = ¼ * √ ((a + b + c) * (b + c - a ) * (a + c - c) * (a + b - c)). Il est légèrement plus long que le précédent, mais cela vous aidera si vous avez oublié comment trouver le demi-périmètre.

Formules générales impliquant les angles d'un triangle

Notations nécessaires pour lire les formules : α, β, γ - angles. Ils se trouvent respectivement sur les côtés opposés a, b et c.

1. Selon lui, la moitié du produit de deux côtés et le sinus de l'angle qui les sépare est égal à l'aire du triangle. Soit : S = ½ a * b * sin γ. Les formules pour les deux autres cas doivent être écrites de la même manière.

2. L'aire d'un triangle peut être calculée à partir d'un côté et de trois angles connus. S = (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. Il existe également une formule avec un côté connu et deux angles adjacents. Cela ressemble à ceci : S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

Les deux dernières formules ne sont pas les plus simples. Il est assez difficile de s'en souvenir.

Formules générales pour la situation où les rayons des cercles inscrits ou circonscrits sont connus

Désignations supplémentaires : r, R - rayons. Le premier est utilisé pour le rayon du cercle inscrit. Le second est pour celui décrit.

1. La première formule par laquelle l'aire d'un triangle est calculée est liée au demi-périmètre. S = r * r. Une autre façon de l'écrire est : S = ½ r * (a + b + c).

2. Dans le second cas, il faudra multiplier tous les côtés du triangle et les diviser par quatre fois le rayon du cercle circonscrit. DANS expression littérale cela ressemble à ceci : S = (a * b * c) / (4R).

3. La troisième situation permet de se passer de connaître les côtés, mais vous aurez besoin des valeurs des trois angles. S = 2 R 2 * péché α * péché β * péché γ.

Cas particulier : triangle rectangle

C’est la situation la plus simple, puisque seule la longueur des deux jambes est requise. Ils sont désignés par les lettres latines a et b. L'aire d'un triangle rectangle est égale à la moitié de l'aire du rectangle qui lui est ajouté.

Mathématiquement, cela ressemble à ceci : S = ½ a * b. C'est le plus simple à retenir. Parce que cela ressemble à la formule de l'aire d'un rectangle, seule une fraction apparaît, indiquant la moitié.

Cas particulier : triangle isocèle

Comme il a deux côtés égaux, certaines formules pour son aire semblent quelque peu simplifiées. Par exemple, la formule de Heron, qui calcule l'aire d'un triangle isocèle, prend la forme suivante :

S = ½ po √((a + ½ po)*(a - ½ po)).

Si vous le transformez, il deviendra plus court. Dans ce cas, la formule de Heron pour un triangle isocèle s’écrit comme suit :

S = ¼ po √(4 * a 2 - b 2).

La formule de l'aire semble un peu plus simple que pour un triangle arbitraire si les côtés et l'angle qui les sépare sont connus. S = ½ a 2 * sin β.

Cas particulier : triangle équilatéral

Habituellement, dans les problèmes, l'aspect est connu ou peut être découvert d'une manière ou d'une autre. Ensuite, la formule pour trouver l'aire d'un tel triangle est la suivante :

S = (une 2 √3) / 4.

Problèmes pour trouver la zone si le triangle est représenté sur du papier à carreaux

La situation la plus simple est lorsqu'un triangle rectangle est dessiné de manière à ce que ses jambes coïncident avec les lignes du papier. Ensuite, il vous suffit de compter le nombre de cellules qui rentrent dans les jambes. Multipliez-les ensuite et divisez par deux.

Lorsque le triangle est aigu ou obtus, il doit être dessiné en rectangle. Ensuite, la figure résultante aura 3 triangles. L’un est celui donné dans le problème. Et les deux autres sont auxiliaires et rectangulaires. Les superficies des deux derniers doivent être déterminées à l’aide de la méthode décrite ci-dessus. Calculez ensuite l'aire du rectangle et soustrayez-en celles calculées pour les auxiliaires. L'aire du triangle est déterminée.

La situation dans laquelle aucun des côtés du triangle ne coïncide avec les lignes du papier s'avère beaucoup plus compliquée. Ensuite, il faut l'inscrire dans un rectangle de manière à ce que les sommets de la figure originale se trouvent sur ses côtés. Dans ce cas, il y aura trois triangles rectangles auxiliaires.

Exemple de problème utilisant la formule de Heron

Condition. Certains triangles ont des côtés connus. Ils sont égaux à 3, 5 et 6 cm. Vous devez connaître son aire.

Vous pouvez maintenant calculer l'aire du triangle en utilisant la formule ci-dessus. Sous la racine carrée se trouve le produit de quatre nombres : 7, 4, 2 et 1. Autrement dit, l'aire est √(4 * 14) = 2 √(14).

Si une plus grande précision n'est pas requise, vous pouvez alors prendre la racine carrée de 14. Elle est égale à 3,74. La zone sera alors 7,48.

Répondre. S = 2 √14 cm 2 ou 7,48 cm 2.

Exemple de problème avec un triangle rectangle

Condition. Une jambe d'un triangle rectangle est 31 cm plus grande que la seconde. Vous devez connaître leurs longueurs si l'aire du triangle est de 180 cm 2.
Solution. Nous devrons résoudre un système de deux équations. Le premier est lié à la superficie. La seconde concerne le rapport des jambes, qui est donné dans le problème.
180 = ½ a * b ;

une = b + 31.
Premièrement, la valeur de « a » doit être substituée dans la première équation. Il s'avère : 180 = ½ (po + 31) * po. Il n’y a qu’une seule quantité inconnue, elle est donc facile à résoudre. Après avoir ouvert les parenthèses on obtient équation quadratique: en 2 + 31 en - 360 = 0. Il donne deux valeurs pour "in" : 9 et - 40. Le deuxième nombre ne convient pas comme réponse, puisque la longueur du côté d'un triangle ne peut pas être négative valeur.

Il reste à calculer la deuxième étape : ajoutez 31 au nombre obtenu, vous obtenez 40. Ce sont les quantités recherchées dans le problème.

Répondre. Les pattes du triangle mesurent 9 et 40 cm.

Problème de trouver un côté à travers l'aire, le côté et l'angle d'un triangle

Condition. L'aire d'un certain triangle est de 60 cm 2. Il est nécessaire de calculer un de ses côtés si le deuxième côté mesure 15 cm et que l'angle entre eux est de 30º.

Solution. Sur la base de la notation acceptée, le côté souhaité est « a », le côté connu est « b », l'angle donné est « γ ». Ensuite, la formule de l’aire peut être réécrite comme suit :

60 = ½ a * 15 * péché 30º. Ici, le sinus de 30 degrés est de 0,5.

Après transformations, « a » s'avère être égal à 60 / (0,5 * 0,5 * 15). Cela fait 16.

Répondre. Le côté requis est de 16 cm.

Problème concernant un carré inscrit dans un triangle rectangle

Condition. Le sommet d'un carré de 24 cm de côté coïncide avec l'angle droit du triangle. Les deux autres reposent sur les côtés. Le troisième appartient à l'hypoténuse. La longueur d'une des jambes est de 42 cm. Quelle est l'aire du triangle rectangle ?

Solution. Considérons deux triangle rectangle. Le premier est celui spécifié dans la tâche. La seconde est basée sur la branche connue du triangle d’origine. Ils sont similaires car ils ont un angle commun et sont formés de lignes parallèles.

Alors les rapports de leurs jambes sont égaux. Les jambes du plus petit triangle sont égales à 24 cm (côté du carré) et 18 cm (étant donné la jambe 42 cm, soustrayez le côté du carré 24 cm). Les pattes correspondantes d'un grand triangle mesurent 42 cm et x cm. C'est ce « x » qui est nécessaire pour calculer l'aire du triangle.

18/42 = 24/x, c'est-à-dire x = 24 * 42 / 18 = 56 (cm).

L'aire est alors égale au produit de 56 et 42 divisé par deux, soit 1176 cm 2.

Répondre. La surface requise est de 1176 cm 2.