این ماشین حساب ریاضی آنلاین در صورت نیاز به شما کمک می کند حد یک تابع را محاسبه کنید. برنامه محدودیت های راه حلنه تنها پاسخ مشکل را می دهد، بلکه منجر می شود راه حل دقیق با توضیحات، یعنی روند محاسبه حد را نمایش می دهد.

این برنامه ممکن است برای دانش آموزان دبیرستانی مفید باشد مدارس متوسطهدر آماده سازی برای آزمون ها و امتحانات، هنگام آزمایش دانش قبل از آزمون دولتی واحد، برای والدین برای کنترل حل بسیاری از مسائل در ریاضیات و جبر. یا شاید استخدام معلم یا خرید کتاب های درسی جدید برای شما گران باشد؟ یا فقط می خواهید آن را در سریع ترین زمان ممکن انجام دهید؟مشق شب

در ریاضیات یا جبر؟ در این صورت می توانید از برنامه های ما با راه حل های دقیق نیز استفاده کنید.

محاسبه حد
مشخص شد که برخی از اسکریپت های لازم برای حل این مشکل بارگیری نشده اند و ممکن است برنامه کار نکند.
ممکن است AdBlock را فعال کرده باشید.

در اینجا دستورالعمل هایی در مورد نحوه فعال کردن جاوا اسکریپت در مرورگر خود آورده شده است.
چون افراد زیادی مایل به حل مشکل هستند، درخواست شما در صف قرار گرفته است.
پس از چند ثانیه راه حل در زیر ظاهر می شود. لطفا صبر کنید

ثانیه... متوجه خطا در راه حل شد، سپس می توانید در این مورد در فرم بازخورد بنویسید.
فراموش نکنید مشخص کنید کدام کارشما تصمیم می گیرید چه چیزی در فیلدها وارد کنید.

بازی ها، پازل ها، شبیه سازهای ما:

کمی تئوری

حد تابع در x->x 0

اجازه دهید تابع f(x) در مجموعه ای از X تعریف شود و اجازه دهید نقطه \(x_0 \در X\) یا \(x_0 \نه X\)

اجازه دهید از X دنباله ای از نقاط متفاوت از x 0 بگیریم:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
همگرا به x*. مقادیر تابع در نقاط این دنباله نیز یک دنباله عددی را تشکیل می دهند
f(x 1)، f(x 2)، f(x 3)، ...، f(x n)، ... (2)
و می توان بحث وجود حد آن را مطرح کرد.

تعریف. عدد A حد تابع f(x) در نقطه x = x 0 (یا در x -> x 0) نامیده می شود، اگر برای هر دنباله (1) از مقادیر آرگومان x با x 0 متفاوت باشد. همگرا به x 0، دنباله مربوطه (2) از تابع مقادیر به عدد A همگرا می شود.

$$ \lim_(x\to x_0)(f(x)) = یک $$

تابع f(x) فقط می تواند یک حد در نقطه x 0 داشته باشد. این نتیجه از این واقعیت است که دنباله
(f(xn)) فقط یک حد دارد.

تعریف دیگری از حد یک تابع وجود دارد.

تعریفعدد A حد تابع f(x) در نقطه x = x 0 نامیده می شود اگر برای هر عدد \(\varepsilon > 0\) یک عدد \(\delta > 0\) وجود داشته باشد به طوری که برای همه \( (x \در X, \; x \neq x_0 \)، با ارضای نابرابری \(|x-x_0| با استفاده از نمادهای منطقی، این تعریف را می توان به صورت نوشتاری
\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \در X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| توجه داشته باشید که نابرابری‌های \(x \neq x_0 تعریف اول بر اساس مفهوم حد یک دنباله اعداد است \(\varepsilon - \delta \)".
این دو تعریف از حد یک تابع معادل هستند و بسته به اینکه کدام یک برای حل یک مشکل خاص راحت تر است، می توانید از هر یک از آنها استفاده کنید.

توجه داشته باشید که تعریف حد یک تابع "در زبان دنباله ها" را تعریف حد یک تابع از نظر هاینه و به تعریف حد یک تابع "در زبان \(\varepsilon - نیز می گویند. \delta \)” به تعریف حد یک تابع مطابق کوشی نیز گفته می شود.

حد تابع در x->x 0 - و در x->x 0 +

در ادامه از مفاهیم حدود یک طرفه یک تابع استفاده خواهیم کرد که به صورت زیر تعریف می شوند.

تعریفعدد A حد راست (چپ) تابع f(x) در نقطه x 0 نامیده می شود اگر برای هر دنباله (1) که به x 0 همگرا می شود، عناصر x n آن بزرگتر (کمتر از) x 0 هستند، دنباله مربوطه (2) به A همگرا می شود.

به طور نمادین اینگونه نوشته شده است:
$$ \lim_(x \تا x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \راست) $$

ما می توانیم یک تعریف معادل از محدودیت های یک طرفه یک تابع "در زبان \(\varepsilon - \delta\)" ارائه دهیم:

تعریفیک عدد A حد راست (چپ) تابع f(x) در نقطه x 0 نامیده می شود اگر برای هر \(\varepsilon > 0\) \(\delta > 0\) وجود داشته باشد به طوری که برای همه x راضی کننده باشد. نابرابری های \(x_0 ورودی های نمادین:

بیایید به چند مثال گویا نگاه کنیم.

اجازه دهید x یک عدد باشد کمیت متغیر، X مساحت تغییر آن است. اگر هر عدد x متعلق به X با یک عدد خاص y مرتبط باشد، می گویند که یک تابع روی مجموعه X تعریف شده است و y = f(x) را می نویسند.
X را تنظیم کنید در این مورد- یک هواپیما متشکل از دو محورهای مختصات- 0X و 0Y. به عنوان مثال، بیایید تابع y = x 2 را به تصویر بکشیم. محورهای 0X و 0Y X - ناحیه تغییر آن را تشکیل می دهند. شکل به وضوح نحوه عملکرد تابع را نشان می دهد. در این حالت می گویند که تابع y = x 2 روی مجموعه X تعریف شده است.

مجموعه Y تمام مقادیر جزئی یک تابع مجموعه مقادیر f(x) نامیده می شود. به عبارت دیگر، مجموعه مقادیر فاصله زمانی در امتداد محور 0Y است که تابع در آن تعریف می شود. سهمی نشان داده شده به وضوح نشان می دهد که f(x) > 0، زیرا x2 > 0. بنابراین، محدوده مقادیر خواهد بود. ما به مقادیر زیادی با 0Y نگاه می کنیم.

مجموعه تمام x ها دامنه f(x) نامیده می شود. ما به تعاریف زیادی با 0X نگاه می کنیم و در مورد ما محدوده مقادیر قابل قبول [-; +].

نقطه a (a متعلق به یا X است) نقطه حدی از مجموعه X می گویند اگر در هر همسایگی نقطه a نقاطی از مجموعه X متفاوت از a وجود داشته باشد.

زمان آن رسیده است که بفهمیم محدودیت یک تابع چیست؟

b خالصی که تابع به سمت آن میل می کند که x به عدد a میل می کند محدودیت عملکرد. این به صورت زیر نوشته شده است:

به عنوان مثال، f(x) = x 2. ما باید بفهمیم که تابع در x 2 به چه چیزی تمایل دارد (برابر نیست). ابتدا حد را یادداشت می کنیم:

بیایید به نمودار نگاه کنیم.

بیایید یک خط موازی با محور 0Y از طریق نقطه 2 در محور 0X رسم کنیم. نمودار ما را در نقطه (2;4) قطع خواهد کرد. بیایید یک عمود از این نقطه را روی محور 0Y رها کنیم و به نقطه 4 برسیم. این همان چیزی است که تابع ما در x 2 برای آن تلاش می کند. اگر اکنون مقدار 2 را با تابع f(x) جایگزین کنیم، پاسخ یکسان خواهد بود.

حالا قبل از اینکه به سراغ آن برویم محاسبه حدود، اجازه دهید تعاریف اولیه را معرفی کنیم.

توسط ریاضیدان فرانسوی آگوستین لوئی کوشی در قرن نوزدهم معرفی شد.

فرض کنید تابع f(x) در یک بازه مشخص که حاوی نقطه x = A است تعریف شده است، اما اصلاً لازم نیست که مقدار f(A) تعریف شود.

سپس، طبق تعریف کوشی، محدودیت عملکرداگر برای هر C > 0 عددی D > 0 وجود داشته باشد، f(x) یک عدد B با x متمایل به A خواهد بود که

آن ها اگر تابع f(x) در x A با حد B محدود شود، این به صورت نوشته می شود

محدودیت توالیعدد معینی A فراخوانی می شود اگر برای هر دلخواه کوچک باشد عدد مثبتدر > 0 یک عدد N وجود دارد که تمام مقادیر در حالت n > N نابرابری را برآورده می کند.

این حد به نظر می رسد.

دنباله ای که حدی دارد، همگرا نامیده می شود، اگر نه، آن را واگرا می نامیم.

همانطور که قبلاً متوجه شده اید، محدودیت ها با نماد lim نشان داده می شوند که تحت آن شرایطی برای متغیر نوشته می شود و سپس خود تابع نوشته می شود. چنین مجموعه ای به عنوان "محدودیت یک تابع موضوع ..." خوانده می شود. به عنوان مثال:

- حد تابع با تمایل x به 1.

عبارت "نزدیک شدن به 1" به این معنی است که x به طور متوالی مقادیری را می گیرد که به 1 بی نهایت نزدیک می شوند.

اکنون مشخص می شود که برای محاسبه این حد کافی است مقدار 1 را جایگزین x کنید:

علاوه بر خاص مقدار عددی x می تواند به بی نهایت تمایل داشته باشد. به عنوان مثال:

عبارت x به این معنی است که x پیوسته در حال افزایش است و به طور نامحدود به بی نهایت نزدیک می شود. بنابراین، با جایگزینی بی‌نهایت به جای x، مشخص می‌شود که تابع 1-x به سمت راست گرایش پیدا می‌کند، اما با علامت مخالف:

بنابراین، محاسبه حدودبه یافتن مقدار خاص آن یا ناحیه خاصی که تابع محدود شده توسط حد در آن سقوط می کند، ختم می شود.

با توجه به موارد فوق، نتیجه این است که هنگام محاسبه محدودیت ها استفاده از چندین قانون مهم است:

درک کردن جوهر حدو قوانین اساسی محاسبات محدود، بینش کلیدی در مورد نحوه حل آنها به دست خواهید آورد. اگر محدودیتی برای شما مشکل ایجاد می کند، در نظرات بنویسید و ما قطعا به شما کمک خواهیم کرد.

نکته: فقه علم احکام است که در تعارضات و سایر مشکلات زندگی کمک می کند.

نظریه حدود- یکی از بخش های تجزیه و تحلیل ریاضی که برخی می توانند بر آن مسلط شوند، در حالی که برخی دیگر در محاسبه محدودیت ها مشکل دارند. مسئله یافتن محدودیت ها کاملاً کلی است، زیرا ده ها تکنیک وجود دارد محدودیت های راه حل انواع مختلف. هم با استفاده از قانون L'Hopital و هم بدون آن می توان محدودیت های مشابهی را یافت. این اتفاق می افتد که برنامه ریزی یک سری از توابع بی نهایت کوچک به شما امکان می دهد به سرعت به نتیجه دلخواه برسید. مجموعه ای از تکنیک ها و ترفندها وجود دارد که به شما امکان می دهد حد یک تابع با هر پیچیدگی را پیدا کنید. در این مقاله سعی خواهیم کرد انواع اصلی محدودیت هایی را که اغلب در عمل با آن مواجه می شوند، درک کنیم. ما در اینجا تئوری و تعریف محدودیت را ارائه نمی دهیم. بنابراین، بیایید به محاسبات عملی بپردازیم، اینجاست که شما «نمی‌دانم نمی‌توانم!»

محاسبه حدود با استفاده از روش جایگزینی

مثال 1. حد یک تابع را پیدا کنید
Lim((x^2-3*x)/(2*x+5)،x=3).
راه حل: نمونه هایی از این نوع را می توان از نظر تئوری با استفاده از جایگزینی معمول محاسبه کرد

محدودیت 18/11 است.
هیچ چیز پیچیده یا عاقلانه ای در مورد چنین محدودیت هایی وجود ندارد - ما مقدار را جایگزین کردیم، آن را محاسبه کردیم و حد را به عنوان پاسخ یادداشت کردیم. با این حال، بر اساس چنین محدودیت‌هایی، به همه آموزش داده می‌شود که اول از همه باید مقدار را با تابع جایگزین کنند. علاوه بر این، محدودیت ها پیچیده تر می شوند و مفهوم بی نهایت، عدم قطعیت و مانند آن را معرفی می کنند.

حدی با عدم قطعیت مانند بی نهایت تقسیم بر بی نهایت. روش‌های افشای عدم قطعیت

مثال 2. حد یک تابع را پیدا کنید
Lim((x^2+2x)/(4x^2+3x-4)، x=infinity).
راه حل: حدی از چند جمله ای شکل تقسیم بر چند جمله ای داده شده است و متغیر به سمت بی نهایت میل می کند.

صرفاً جایگزین کردن مقداری که متغیر باید برای آن یافت شود، به یافتن حدود کمکی نمی‌کند.
طبق تئوری حدود، الگوریتم محاسبه حد، یافتن بزرگترین توان "x" در صورت یا مخرج است. بعد، صورت و مخرج برای آن ساده شده و حد تابع پیدا می شود

از آنجایی که وقتی متغیر به بی‌نهایت نزدیک می‌شود، مقدار به صفر گرایش پیدا می‌کند، آنها نادیده گرفته می‌شوند یا در عبارت نهایی به شکل صفر نوشته می‌شوند.

بلافاصله از تمرین، می توانید دو نتیجه بگیرید که یک اشاره در محاسبات است. اگر متغیری به بی نهایت متمایل شود و درجه صورت از درجه مخرج بزرگتر باشد، حد برابر با بی نهایت است. در غیر این صورت، اگر مرتبه چند جمله ای در مخرج بالاتر از صورت باشد، حد صفر است.
حد را می توان در فرمول هایی مانند زیر نوشت:

اگر تابعی از یک میدان معمولی بدون کسر داشته باشیم، حد آن برابر با بی نهایت است

نوع بعدی محدودیت ها مربوط به رفتار توابع نزدیک به صفر است.

مثال 3. حد یک تابع را پیدا کنید
Lim((x^2+3x-5)/(x^2+x+2)، x=0).
راه حل: در اینجا نیازی به حذف عامل پیشرو چند جمله ای نیست. دقیقا برعکس، باید کوچکترین توان صورت و مخرج را پیدا کنید و حد را محاسبه کنید.

مقدار x^2; x زمانی که متغیر به سمت صفر میل می کند، به صفر تمایل دارند، بنابراین، آنها نادیده گرفته می شوند، بنابراین ما دریافت می کنیم

که حد 2.5 است.

حالا شما می دانید چگونه حد یک تابع را پیدا کنیماز شکل، اگر متغیر به بی نهایت یا 0 میل دارد، یک چند جمله ای را بر چند جمله ای تقسیم کنید. اما این تنها بخش کوچک و آسانی از مثال ها است. از مطالب زیر یاد خواهید گرفت چگونه عدم قطعیت ها را در حدود یک تابع کشف کنیم.

حد با عدم قطعیت از نوع 0/0 و روش های محاسبه آن

همه بلافاصله این قانون را به یاد می آورند که نمی توانید بر صفر تقسیم کنید. با این حال، تئوری حدود در این زمینه بر توابع بی نهایت کوچک دلالت دارد.
برای وضوح به چند مثال نگاه می کنیم.

مثال 4. حد یک تابع را پیدا کنید
Lim((3x^2+10x+7)/(x+1)، x=-1).
راه‌حل: وقتی مقدار متغیر x = -1 را با مخرج جایگزین می‌کنیم، صفر می‌شویم و همان چیزی را در صورت‌گر می‌گیریم. پس ما داریم عدم قطعیت فرم 0/0.
برخورد با چنین عدم قطعیتی ساده است: شما باید چند جمله ای را فاکتور بگیرید، یا بهتر است بگوییم، عاملی را انتخاب کنید که تابع را به صفر تبدیل می کند.

پس از بسط، حد تابع را می توان به صورت نوشتاری کرد

این کل روش برای محاسبه حد یک تابع است. اگر حدی از چند جمله ای شکل تقسیم بر چند جمله ای وجود داشته باشد، همین کار را می کنیم.

مثال 5. حد یک تابع را پیدا کنید
Lim((2x^2-7x+6)/(3x^2-x-10)، x=2).
راه حل: جایگزینی مستقیم نشان می دهد
2*4-7*2+6=0;
3*4-2-10=0
ما چه داریم عدم قطعیت نوع 0/0.
بیایید چند جمله ای ها را بر عاملی که تکینگی را معرفی می کند، تقسیم کنیم


معلمانی هستند که آموزش می دهند که چند جمله ای های مرتبه 2، یعنی از نوع "معادلات درجه دوم" باید از طریق تفکیک حل شوند. اما تمرین واقعی نشان می‌دهد که این طولانی‌تر و گیج‌کننده‌تر است، بنابراین طبق الگوریتم مشخص‌شده، از شر ویژگی‌ها در محدوده‌ها خلاص شوید. بنابراین تابع را در فرم می نویسیم عوامل اصلیو تا حد مجاز محاسبه کنید

همانطور که می بینید، هیچ چیز پیچیده ای در محاسبه چنین محدودیت هایی وجود ندارد. زمانی که حدود را مطالعه می کنید، می دانید چگونه چند جمله ای ها را تقسیم کنید، حداقل طبق برنامه باید قبلاً آن را پاس کرده باشید.
از جمله وظایف در عدم قطعیت نوع 0/0برخی از آنها باید از فرمول ضرب اختصاری استفاده کنید. اما اگر آنها را نمی دانید، با تقسیم یک چند جمله ای بر یک تک جمله ای می توانید فرمول مورد نظر را بدست آورید.

مثال 6. حد یک تابع را پیدا کنید
Lim((x^2-9)/(x-3)، x=3).
راه حل: ما یک عدم قطعیت از نوع 0/0 داریم. در صورت حساب از فرمول ضرب اختصاری استفاده می کنیم

و حد مورد نیاز را محاسبه کنید

روشی برای آشکار کردن عدم قطعیت با ضرب در مزدوج آن

این روش برای محدودیت هایی که در آن عدم قطعیت ایجاد می شود، اعمال می شود توابع غیر منطقی. صورت یا مخرج در نقطه محاسبه به صفر تبدیل می شود و مشخص نیست که چگونه مرز را پیدا کنیم.

مثال 7. حد یک تابع را پیدا کنید
Lim((sqrt(x+2)-sqrt(7x-10))/(3x-6)، x=2).
راه حل:بیایید متغیر را در فرمول حد نشان دهیم

هنگام تعویض، عدم قطعیت نوع 0/0 را به دست می آوریم.
بر اساس نظریه حدود، راه دور زدن این ویژگی، ضرب بیان غیرمنطقی در مزدوج آن است. برای اطمینان از عدم تغییر عبارت، مخرج باید بر همان مقدار تقسیم شود

با استفاده از قانون تفاضل مربعات، شمارنده را ساده کرده و حد تابع را محاسبه می کنیم

اصطلاحاتی را که تکینگی را در حد ایجاد می کنند ساده می کنیم و جایگزینی را انجام می دهیم

مثال 8. حد یک تابع را پیدا کنید
Lim((sqrt(x-2)-sqrt(2x-5))/(3-x)، x=3).
راه حل: جایگزینی مستقیم نشان می دهد که حد دارای تکینگی به شکل 0/0 است.

برای بسط، ضرب و تقسیم بر مزدوج صورتگر می کنیم

اختلاف مربع ها را یادداشت می کنیم

ما اصطلاحاتی را که تکینگی را معرفی می کنند ساده می کنیم و حد تابع را پیدا می کنیم

مثال 9. حد یک تابع را پیدا کنید
Lim((x^2+x-6)/(sqrt(3x-2)-2)، x=2).
راه حل: دو را جایگزین فرمول کنید

می گیریم عدم قطعیت 0/0.
مخرج باید در عبارت مزدوج ضرب شود و در صورتگر معادله درجه دوم را با در نظر گرفتن تکینگی حل یا فاکتور گرفت. از آنجایی که مشخص است 2 یک ریشه است، ریشه دوم را با استفاده از قضیه ویتا می یابیم

بنابراین، ما شماره را در فرم می نویسیم

و آن را در حد جایگزین کنید

با کاهش اختلاف مربع ها از تکینگی های صورت و مخرج خلاص می شویم.

با استفاده از روش فوق، می توان در بسیاری از مثال ها از شر تکینگی ها خلاص شد و هر جا که اختلاف ریشه ها در حین جایگزینی به صفر تبدیل شود، باید به کاربرد آن توجه داشت. انواع دیگر محدودیت ها نگران هستند توابع نمایی، توابع بی نهایت کوچک، لگاریتم ها، محدودیت های خاص و تکنیک های دیگر. اما می توانید در مقالاتی که در زیر در مورد محدودیت ها ذکر شده است، در این مورد مطالعه کنید.

نظریه حدود یکی از شاخه های تحلیل ریاضی است. مسئله حل حدود بسیار گسترده است، زیرا ده ها روش برای حل حدود از انواع مختلف وجود دارد. ده ها تفاوت ظریف و ترفند وجود دارد که به شما امکان می دهد این یا آن محدودیت را حل کنید. با این وجود، ما همچنان سعی خواهیم کرد انواع اصلی محدودیت هایی را که اغلب در عمل با آنها مواجه می شوند، درک کنیم.

بیایید با مفهوم حد شروع کنیم. اما اول کوتاه پیشینه تاریخی. در قرن نوزدهم یک فرانسوی به نام آگوستین لوئی کوشی زندگی می کرد که تعاریف دقیقی برای بسیاری از مفاهیم ماتان ارائه کرد و پایه های آن را پی ریزی کرد. باید گفت که این ریاضیدان ارجمند در کابوس همه دانشجویان گروه های فیزیک و ریاضی بوده، هست و خواهد بود، چرا که تعداد زیادی قضایای آنالیز ریاضی را به اثبات رسانده و یکی از قضیه ها کشنده تر از دیگری است. در این زمینه، ما هنوز در نظر نخواهیم گرفت تعیین حد کوشی، اما بیایید سعی کنیم دو کار را انجام دهیم:

1. درک کنید که محدودیت چیست.
2. حل انواع اصلی محدودیت ها را بیاموزید.

بابت برخی توضیحات غیر علمی پوزش می طلبم، مهم این است که مطالب حتی برای یک قوری قابل درک باشد که در واقع وظیفه پروژه است.

پس حد آن چیست؟

و فقط یک مثال از چرایی مادربزرگ پشمالو ....

هر محدودیتی از سه قسمت تشکیل شده است:

1) نماد محدود شناخته شده.
2) ورودی های زیر نماد محدودیت، در این مورد. ورودی به عنوان "X تمایل به یک دارد." اغلب - دقیقاً، اگرچه به جای "X" در عمل متغیرهای دیگری وجود دارد. در کارهای عملی، مکان یک می تواند مطلقاً هر عدد و همچنین بی نهایت باشد ().
3) در این مورد زیر علامت حد عمل می کند.

خود ضبط به این صورت می‌خواند: «حد تابعی که x تمایل به وحدت دارد».

بیایید به سوال مهم بعدی نگاه کنیم - عبارت "x" به چه معناست؟ تلاش می کندبه یکی"؟ و حتی "تلاش" به چه معناست؟
مفهوم حد یک مفهوم است، به اصطلاح، پویا. بیایید یک دنباله بسازیم: ابتدا، سپس،، ...، , ….
یعنی عبارت «x تلاش می کندبه یک" باید به صورت زیر درک شود: "x" به طور مداوم مقادیر را می گیرد که به وحدت بی نهایت نزدیک و عملاً منطبق بر آن هستند.

چگونه مثال بالا را حل کنیم؟ با توجه به موارد فوق، فقط باید یکی را در تابع زیر علامت حد جایگزین کنید:

بنابراین، قانون اول: وقتی محدودیتی در نظر گرفته می شود، ابتدا سعی می کنیم عدد را به تابع متصل کنیم.

ما ساده ترین حد را در نظر گرفتیم، اما اینها در عمل هم اتفاق می افتد و نه به ندرت!

مثال با بی نهایت:

بیایید بفهمیم که چیست؟ این در صورتی است که بدون محدودیت افزایش یابد، یعنی: اول، بعد، بعد، سپس و غیره تا بی نهایت.

در این زمان چه اتفاقی برای عملکرد می افتد؟
, , , …

بنابراین: اگر، پس تابع به منهای بی نهایت میل می کند:

به طور کلی، طبق قانون اول ما، به جای "X"، بی نهایت را جایگزین تابع می کنیم و پاسخ را می گیریم.

مثال دیگر با بی نهایت:

دوباره شروع به افزایش تا بی نهایت می کنیم و به رفتار تابع نگاه می کنیم:

نتیجه گیری: وقتی تابع بدون محدودیت افزایش می یابد:

و یک سری مثال دیگر:

لطفاً سعی کنید موارد زیر را برای خودتان تحلیل ذهنی کنید و ساده ترین نوع محدودیت ها را به خاطر بسپارید:

, , , , , , , , ,
اگر در جایی شک دارید، می توانید یک ماشین حساب بردارید و کمی تمرین کنید.
در صورتی که سعی کنید دنباله , , را بسازید . اگر , پس , , .

! توجه داشته باشید: به بیان دقیق، این رویکرد برای ساخت دنباله های چند اعداد نادرست است، اما برای درک ساده ترین مثال ها کاملاً مناسب است.

به نکته زیر نیز توجه کنید. حتی اگر محدودیتی با یک عدد بزرگ در بالا داده شود، یا حتی با یک میلیون: ، پس همه چیز یکسان است ، زیرا دیر یا زود "X" شروع به گرفتن چنین ارزش های غول پیکری می کند که یک میلیون در مقایسه یک میکروب واقعی خواهد بود.

چه چیزی را باید از موارد بالا به خاطر بسپارید و بفهمید؟

1) وقتی هر محدودیتی داده می شود، ابتدا سعی می کنیم عدد را در تابع جایگزین کنیم.

2) شما باید ساده ترین محدودیت ها را بفهمید و فوراً حل کنید، مانند و غیره .

علاوه بر این، حد دارای معنای هندسی بسیار خوبی است. برای درک بهتر موضوع توصیه می کنم حتما مطالعه کنید مواد روش شناختی نمودارها و خواص توابع ابتدایی. پس از خواندن این مقاله، نه تنها در نهایت متوجه خواهید شد که محدودیت چیست، بلکه با موارد جالبی که محدودیت یک تابع به طور کلی وجود ندارد!

در عمل متاسفانه هدایایی کم است. و بنابراین ما به بررسی محدودیت های پیچیده تر می رویم. به هر حال، در مورد این موضوع وجود دارد دوره فشردهدر قالب pdf، که مخصوصاً اگر زمان بسیار کمی برای تهیه داشته باشید مفید است. اما مواد سایت، البته، بدتر نیستند:

حال گروهی از حدود را در نظر می گیریم زمانی که، و تابع کسری است که صورت و مخرج آن دارای چند جمله ای هستند.

مثال:

محاسبه حد

طبق قاعده ما، سعی می کنیم بی نهایت را جایگزین تابع کنیم. در اوج چه چیزی بدست می آوریم؟ بی نهایت. و در زیر چه اتفاقی می افتد؟ همچنین بی نهایت. بنابراین، ما چیزی داریم که عدم قطعیت گونه نامیده می شود. کسی فکر می کند که، و پاسخ آماده است، اما مورد کلیاین به هیچ وجه اینطور نیست و شما باید راه حلی را اعمال کنید که اکنون به بررسی آن خواهیم پرداخت.

چگونه می توان محدودیت های این نوع را حل کرد؟

ابتدا به عددگر نگاه می کنیم و بالاترین توان را پیدا می کنیم:

توان پیشرو در صورتگر دو است.

اکنون به مخرج نگاه می کنیم و همچنین آن را به بالاترین توان می یابیم:

بالاترین درجه مخرج دو است.

سپس بالاترین توان صورت و مخرج را انتخاب می کنیم: in در این مثالآنها بر هم منطبق هستند و برابر با دو هستند.

بنابراین، روش حل به شرح زیر است: برای آشکار شدن عدم قطعیت، باید صورت و مخرج را بر بالاترین توان تقسیم کرد.

اینجا پاسخ است و اصلاً بی نهایت نیست.

چه چیزی اساساً در طراحی یک تصمیم مهم است؟

ابتدا، در صورت وجود عدم قطعیت را نشان می دهیم.

ثانیاً، توصیه می شود که راه حل را برای توضیحات میانی قطع کنید. من معمولا از علامت استفاده می کنم، هیچ معنای ریاضی ندارد، اما به این معنی است که راه حل برای یک توضیح میانی قطع می شود.

ثالثاً ، در حد توصیه می شود علامت گذاری کنید که کجا می رود. هنگامی که کار با دست طراحی می شود، انجام آن به این صورت راحت تر است:

بهتر است از یک مداد ساده برای یادداشت استفاده کنید.

البته لازم نیست هیچ یک از این کارها را انجام دهید، اما ممکن است معلم به کاستی هایی در راه حل اشاره کند یا شروع به سؤال کند. سوالات اضافیدر تکلیف آیا به آن نیاز دارید؟

مثال 2

حد را پیدا کنید
باز هم در صورت و مخرج در بالاترین درجه پیدا می کنیم:

حداكثر مدرك در صورت‌حساب: 3
حداکثر مدرک تحصیلی در مخرج: 4
انتخاب کنید بزرگترینمقدار، در این مورد چهار.
طبق الگوریتم ما، برای نشان دادن عدم قطعیت، صورت و مخرج را بر تقسیم می کنیم.
ثبت نام کاملوظایف ممکن است شبیه به این باشد:

صورت و مخرج را تقسیم بر

مثال 3

حد را پیدا کنید
حداکثر درجه "X" در صورتگر: 2
حداکثر درجه "X" در مخرج: 1 (می توان به صورت نوشتاری)
برای آشکار شدن عدم قطعیت، لازم است که صورت و مخرج را بر . راه حل نهایی ممکن است به این صورت باشد:

صورت و مخرج را تقسیم بر

علامت گذاری به معنای تقسیم بر صفر نیست (شما نمی توانید بر صفر تقسیم کنید)، بلکه تقسیم بر یک عدد بی نهایت کوچک است.

بنابراین، با کشف عدم قطعیت گونه‌ها، ممکن است بتوانیم شماره نهایی، صفر یا بی نهایت.

محدودیت هایی با عدم قطعیت نوع و روش برای حل آنها

گروه بعدی حدود تا حدودی شبیه به حدودی است که به تازگی در نظر گرفته شده است: صورت و مخرج شامل چند جمله ای هستند، اما "x" دیگر به بی نهایت تمایل ندارد، بلکه به سمت بی نهایت می رود. عدد محدود.

مثال 4

حل محدودیت
ابتدا بیایید سعی کنیم -1 را به کسر جایگزین کنیم:

در این صورت به اصطلاح عدم قطعیت به دست می آید.

قانون کلی : اگر صورت و مخرج دارای چند جمله ای باشند و شکل آن نامشخص باشد، آن را فاش کنید. شما باید صورت و مخرج را فاکتور بگیرید.

برای انجام این کار، اغلب باید یک معادله درجه دوم را حل کنید و/یا از فرمول های ضرب اختصاری استفاده کنید. اگر این موارد فراموش شده اند، از صفحه بازدید کنید فرمول ها و جداول ریاضیو مطالب آموزشی را بخوانید فرمول های داغ دوره مدرسهریاضیدانان. به هر حال، بهتر است آن را اغلب چاپ کنید، و اطلاعات بهتر از کاغذ جذب می شود.

پس بیایید حد خود را حل کنیم

صورت و مخرج را فاکتور بگیرید

برای فاکتور گرفتن عدد، باید معادله درجه دوم را حل کنید:

ابتدا وجه تمایز را پیدا می کنیم:

و جذر آن: .

اگر تمایز بزرگ باشد، برای مثال 361، از یک ماشین حساب، تابع استخراج استفاده می کنیم ریشه مربعدر ساده ترین ماشین حساب موجود است.

! اگر ریشه به طور کامل استخراج نشود (معلوم است عدد کسریبا کاما)، به احتمال بسیار زیاد ممیز اشتباه محاسبه شده است یا اشتباه تایپی در کار وجود داشته است.

بعد ریشه ها را پیدا می کنیم:

بدین ترتیب:

همه شمارنده فاکتوریزه شده است.

مخرج. مخرج در حال حاضر ساده ترین عامل است و راهی برای ساده سازی آن وجود ندارد.

بدیهی است که می توان آن را به موارد زیر خلاصه کرد:

حالا 1- را به عبارتی که در زیر علامت حد باقی می ماند جایگزین می کنیم:

به طور طبیعی، در کار آزمایشی، در طول یک آزمون یا امتحان، راه حل هرگز با این جزئیات نوشته نمی شود. در نسخه نهایی، طراحی باید چیزی شبیه به این باشد:

بیایید شمارنده را فاکتورسازی کنیم.

مثال 5

محاسبه حد

اول، نسخه "پایان" راه حل

بیایید صورت و مخرج را فاکتور بگیریم.

شمارنده:
مخرج:



,

در این مثال چه چیزی مهم است؟
اولاً شما باید درک خوبی از نحوه آشکار شدن شمارنده داشته باشید، ابتدا 2 را از پرانتز خارج کردیم و سپس از فرمول تفاوت مربع ها استفاده کردیم. این فرمولی است که باید بدانید و ببینید.

توصیه: اگر در یک محدودیت (تقریباً از هر نوع) بتوان یک عدد را از پرانتز خارج کرد، ما همیشه این کار را انجام می دهیم.
علاوه بر این، توصیه می شود که چنین اعدادی را فراتر از نماد حد منتقل کنید. برای چی؟ بله، فقط برای اینکه مانعی نشوند. نکته اصلی این است که این اعداد را بعداً در طول حل از دست ندهید.

لطفا توجه داشته باشید که در مرحله نهایی راه حل، من این دو را از آیکون حد و سپس منفی را حذف کردم.

! مهم است
در طول حل، قطعه نوع اغلب رخ می دهد. این کسر را کاهش دهیدممنوع است . ابتدا باید علامت صورت یا مخرج را تغییر دهید (1- را خارج از پرانتز قرار دهید).
یعنی علامت منفی ظاهر می شود که در محاسبه حد به آن توجه می شود و اصلا نیازی به از دست دادن آن نیست.

به طور کلی، من متوجه شدم که اغلب در یافتن حدودی از این نوع باید دو مورد را حل کنیم معادلات درجه دوم، یعنی صورت و مخرج هر دو شامل سه جمله ای مربع هستند.

روش ضرب صورت و مخرج در عبارت مزدوج

ما همچنان عدم قطعیت فرم را در نظر می گیریم

نوع بعدی محدودیت ها مشابه نوع قبلی است. تنها چیزی که علاوه بر چند جمله ای ها، ریشه ها را اضافه خواهیم کرد.

مثال 6

حد را پیدا کنید

بیایید شروع به تصمیم گیری کنیم.

ابتدا سعی می کنیم 3 را در عبارت زیر علامت حد جایگزین کنیم
یک بار دیگر تکرار می کنم - این اولین کاری است که باید برای هر محدودیتی انجام دهید. این عمل معمولاً به صورت ذهنی یا به صورت پیش نویس انجام می شود.

عدم قطعیت فرم به دست آمده است که باید برطرف شود.

همانطور که احتمالا متوجه شدید، شمارنده ما حاوی تفاوت ریشه ها است. و در ریاضیات مرسوم است که در صورت امکان از ریشه خلاص شوند. برای چی؟ و زندگی بدون آنها آسان تر است.

مفاهیم حدود توالی ها و توابع. هنگامی که لازم است حد یک دنباله را پیدا کنید، به صورت زیر نوشته می شود: lim xn=a. در چنین دنباله ای از دنباله ها، xn به a و n به بی نهایت میل می کند. یک دنباله معمولاً به صورت یک سری نشان داده می شود، به عنوان مثال:
x1, x2, x3...,xm,...,xn... .
توالی ها به افزایش و کاهش تقسیم می شوند. به عنوان مثال:
xn=n^2 - توالی افزایشی
yn=1/n - دنباله
بنابراین، برای مثال، حد دنباله xn=1/n^:
lim 1/n^2=0

x→∞
این حد برابر با صفر است، زیرا n→∞، و دنباله 1/n^2 به سمت صفر میل می کند.

به طور معمول، یک کمیت متغیر x به حد محدود a تمایل دارد و x دائماً به a نزدیک می‌شود و کمیت a ثابت است. این به صورت زیر نوشته می شود: limx =a، در حالی که n نیز می تواند به صفر یا بی نهایت تمایل داشته باشد. توابع نامتناهی وجود دارد که حد به بی نهایت میل می کند. در موارد دیگر، زمانی که، برای مثال، عملکرد یک قطار را کاهش می دهد، ممکن است حدود صفر باشد.
محدودیت ها دارای تعدادی ویژگی هستند. به طور معمول، هر تابعی فقط یک محدودیت دارد. این ویژگی اصلی حد است. سایر موارد در زیر ذکر شده است:
* سقف مبلغ برابر است با مجموع حدود:
lim(x+y)=lim x+lim y
* حد محصول برابر است با حاصل ضرب حدود:
lim(xy)=lim x*lim y
* حد نصاب برابر است با نصاب حدود:
lim(x/y)=lim x/lim y
* عامل ثابت خارج از علامت حد گرفته می شود:
lim(Cx)=C lim x
با توجه به یک تابع 1 /x که در آن x →∞، حد آن صفر است. اگر x← 0، حد چنین تابعی ∞ است.
برای توابع مثلثاتیاز این قوانین هستند چون تابع گناه x زمانی که به صفر نزدیک می شود همیشه به وحدت تمایل دارد، هویت برای آن برقرار است:
lim sin x/x=1

در تعدادی از توابع، توابعی وجود دارد که هنگام محاسبه حدود آن عدم قطعیت ایجاد می شود - وضعیتی که در آن حد قابل محاسبه نیست. تنها راه برون رفت از این وضعیت L'Hopital است. دو نوع عدم قطعیت وجود دارد:
* عدم قطعیت فرم 0/0
* عدم قطعیت شکل ∞/∞
به عنوان مثال، حدی از شکل زیر داده شده است: lim f(x)/l(x) و f(x0)=l(x0)=0. در این حالت، عدم قطعیت از فرم 0/0 بوجود می آید. برای حل چنین مشکلی، هر دو تابع متمایز می شوند، پس از آن حد نتیجه پیدا می شود. برای عدم قطعیت های نوع 0/0، حد این است:
lim f(x)/l(x)=lim f"(x)/l"(x) (در x→0)
همین قانون برای عدم قطعیت های نوع ∞/∞ نیز صادق است. اما در این مورد برابری زیر صادق است: f(x)=l(x)=∞
با استفاده از قانون L'Hopital، می توانید مقادیر هر محدودیتی را که در آن عدم قطعیت ظاهر می شود، بیابید. یک پیش نیاز برای

حجم - هنگام یافتن مشتقات هیچ خطایی وجود ندارد. بنابراین، برای مثال، مشتق تابع (x^2)" برابر با 2x است. از اینجا می توان نتیجه گرفت که:
f"(x)=nx^(n-1)