آژانس فدرال برای آموزش

موسسه توسعه آموزشی

"روش های گرافیکی برای حل معادلات و نابرابری ها با پارامترها"

تکمیل شد

معلم ریاضی

موسسه آموزشی شهرداری مدرسه متوسطه شماره 62

لیپتسک 2008

معرفی................................................. .......................................................... ............. .3

ایکس;در) 4

1.1. انتقال موازی ................................................ ................................... 5

1.2. دور زدن................................................. ................................................ ...... 9

1.3. همدلی. فشرده سازی به خط مستقیم ................................................... ..................... 13

1.4. دو خط مستقیم در یک هواپیما ...................................... ...................... 15

2. تکنیک های گرافیکی. هواپیمای مختصات ( ایکس;آ) 17

نتیجه................................................. ...................................... 20

فهرست کتابشناسی ................................................ ..................... 22

معرفی

مشکلاتی که دانش‌آموزان در حل معادلات و نابرابری‌های غیر استاندارد دارند، هم به دلیل پیچیدگی نسبی این مسائل و هم از این واقعیت است که مدرسه، به عنوان یک قاعده، بر حل مسائل استاندارد تمرکز می‌کند.

بسیاری از دانش آموزان این پارامتر را به عنوان یک عدد "عادی" درک می کنند. در واقع، در برخی مسائل می توان یک پارامتر را یک مقدار ثابت در نظر گرفت، اما این مقدار ثابت مقادیر ناشناخته می گیرد! بنابراین، لازم است که مسئله را برای تمام مقادیر ممکن این ثابت در نظر بگیریم. در مشکلات دیگر، ممکن است به راحتی یکی از مجهولات را به عنوان پارامتر اعلام کنیم.

سایر دانش آموزان یک پارامتر را به عنوان کمیت ناشناخته تلقی می کنند و بدون خجالت می توانند پارامتر را بر حسب یک متغیر در پاسخ خود بیان کنند. ایکس.

در امتحانات نهایی و کنکور عمدتاً دو نوع مشکل در پارامترها وجود دارد. شما می توانید بلافاصله آنها را با کلمات آنها تشخیص دهید. اول: "برای هر مقدار پارامتر، همه راه حل های معادله یا نابرابری را بیابید." دوم: "همه مقادیر پارامتر را که برای هر یک از آنها شرایط خاصی برای یک معادله یا نابرابری داده شده برآورده می شود، بیابید." بر این اساس، پاسخ ها در مسائل این دو نوع از نظر ماهوی متفاوت است. پاسخ یک مسئله از نوع اول تمام مقادیر ممکن پارامتر را فهرست می کند و برای هر یک از این مقادیر جواب های معادله نوشته می شود. پاسخ به یک مشکل از نوع دوم، تمام مقادیر پارامتری را نشان می دهد که تحت آن شرایط مشخص شده در مشکل برآورده شده است.

راه حل یک معادله با یک پارامتر برای یک مقدار ثابت معین از پارامتر، چنین مقدار مجهول است، زمانی که آن را جایگزین معادله می کنیم، دومی به یک برابری عددی صحیح تبدیل می شود. راه حل یک نابرابری با یک پارامتر به طور مشابه تعیین می شود. حل یک معادله (نابرابری) با یک پارامتر به این معنی است که برای هر مقدار مجاز پارامتر، مجموعه تمام راه حل های یک معادله (نابرابری) را پیدا کنید.

1. تکنیک های گرافیکی. هواپیمای مختصات ( ایکس;در)

در کنار تکنیک ها و روش های تحلیلی اولیه برای حل مسائل با پارامترها، راه هایی برای استفاده از تفاسیر بصری و گرافیکی وجود دارد.

بسته به اینکه پارامتر به چه نقشی در مسئله اختصاص داده شده است (نابرابر یا مساوی با متغیر)، دو تکنیک گرافیکی اصلی را می توان بر این اساس متمایز کرد: اولی ساخت یک تصویر گرافیکی در صفحه مختصات است. (ایکس;y)دوم - در (ایکس; آ).

در صفحه (x; y) تابع y =f (ایکس; آ)بسته به پارامتر خانواده ای از منحنی ها را تعریف می کند آ.واضح است که هر خانواده fخواص خاصی دارد ما در درجه اول علاقه مند خواهیم بود که از چه نوع تبدیل صفحه ای (ترجمه موازی، چرخش و غیره) برای حرکت از یک منحنی خانواده به منحنی دیگر استفاده شود. یک پاراگراف جداگانه به هر یک از این تحولات اختصاص داده خواهد شد. به نظر ما چنین طبقه بندی یافتن تصویر گرافیکی لازم را برای تصمیم گیرنده آسان تر می کند. توجه داشته باشید که با این رویکرد، بخش ایدئولوژیک راه حل بستگی به این ندارد که کدام شکل (خط مستقیم، دایره، سهمی و ...) از خانواده منحنی ها باشد.

البته تصویر گرافیکی خانواده همیشه نیست y =f (ایکس;آ)با یک تبدیل ساده توصیف شده است. بنابراین، در چنین شرایطی، تمرکز نه بر نحوه ارتباط منحنی های یک خانواده، بلکه بر روی خود منحنی ها مفید است. به عبارت دیگر، ما می توانیم نوع دیگری از مشکل را تشخیص دهیم که در آن ایده یک راه حل در درجه اول بر اساس ویژگی های خاص است. شکل های هندسی، و نه خانواده به عنوان یک کل. چه ارقامی (به طور دقیق تر، خانواده های این چهره ها) قبل از هر چیز ما را مورد توجه قرار می دهد؟ اینها خطوط مستقیم و سهمی هستند. این انتخاب به دلیل موقعیت خاص (پایه) خطی و توابع درجه دومدر ریاضیات مدرسه

با صحبت در مورد روش های گرافیکی، اجتناب از یک مشکل "متولد" از تمرین امتحانات رقابتی غیرممکن است. ما به مسئله سختگیری و در نتیجه قانونی بودن یک تصمیم بر اساس ملاحظات گرافیکی اشاره می کنیم. بدون شک، از نقطه نظر رسمی، نتیجه گرفته شده از "تصویر" که از نظر تحلیلی پشتیبانی نمی شود، به طور دقیق به دست نیامده است. با این حال، چه کسی، چه زمانی و کجا میزان سختگیری را تعیین می کند که یک دانش آموز دبیرستانی باید به آن پایبند باشد؟ به نظر ما، الزامات سطح دقت ریاضی برای دانش آموز باید با عقل سلیم تعیین شود. ما درجه ذهنیت چنین دیدگاهی را درک می کنیم. علاوه بر این، روش گرافیکی تنها یکی از ابزارهای وضوح است. و دید می تواند فریبنده باشد..gif" width="232" height="28"> تنها یک راه حل دارد.

راه حل.برای راحتی، ما lg را نشان می دهیم b = a.بیایید معادله ای معادل معادله اصلی بنویسیم: https://pandia.ru/text/78/074/images/image004_56.gif" width="125" height="92">

ساختن نمودار یک تابع با دامنه تعریف و (شکل 1). نمودار حاصل خانواده ای از خطوط مستقیم است y = aفقط در یک نقطه باید قطع شود. شکل نشان می دهد که این الزام تنها زمانی برآورده می شود a > 2، یعنی lg ب> 2, ب> 100.

پاسخ. https://pandia.ru/text/78/074/images/image010_28.gif" width="15 height=16" height="16"> تعداد جواب های معادله را تعیین کنید .

راه حل. بیایید تابع 102" height="37" style="vertical-align:top"> را رسم کنیم.

در نظر بگیریم. این یک خط مستقیم موازی با محور OX است.

پاسخ..gif" width="41" height="20">، سپس 3 راه حل;

اگر ، سپس 2 راه حل;

اگر، 4 راه حل.

بیایید به سری جدیدی از کارها برویم..gif" width="107" height="27 src=">.

راه حل.بیایید یک خط مستقیم بسازیم در= ایکس+1 (شکل 3)..gif" width="92" height="57">

یک راه حل داشته باشید که معادل معادله ( ایکس+1)2 = x + آیک ریشه داشته باشید..gif" width="44 height=47" height="47"> نابرابری اصلی هیچ راه حلی ندارد. توجه داشته باشید که فردی که با مشتق آشنا است می تواند این نتیجه را به گونه ای متفاوت بدست آورد.

سپس، با انتقال "نیمه سهمی" به چپ، آخرین لحظه زمانی که نمودارها در = ایکس+ 1 و دو نقطه مشترک دارند (موقعیت III). این ترتیب با الزام تضمین می شود آ= 1.

واضح است که برای بخش [ ایکس 1; ایکس 2]، کجا ایکس 1 و ایکس 2- ابسیساهای نقاط تلاقی نمودارها، راه حل نابرابری اصلی خواهد بود..gif" width="68 height=47" height="47">، سپس

هنگامی که یک "نیمه سهمی" و یک خط مستقیم فقط در یک نقطه قطع می شوند (این مربوط به مورد a > 1)، سپس راه حل بخش [- خواهد بود آ; ایکس 2"]، که در آن ایکس 2" - بزرگترین ریشه ایکس 1 و ایکس 2 (موقعیت IV).

مثال 4..gif" width="85" height="29 src=">.gif" width="75" height="20 src="> . از اینجا می گیریم .

بیایید به توابع و . در میان آنها، تنها یکی خانواده منحنی ها را تعریف می کند. اکنون می بینیم که جایگزینی مزایای بدون شک به همراه داشت. به موازات آن، توجه می کنیم که در مشکل قبلی، با استفاده از یک جایگزین مشابه، می توانید نه یک حرکت "نیمه سهمی"، بلکه یک خط مستقیم انجام دهید. بیایید به شکل. 4. بدیهی است که اگر آبسیسا راس "نیمه سهمی" بزرگتر از یک باشد، یعنی -3. آ > 1, , پس معادله ریشه ندارد..gif" width="89" height="29"> و دارای ویژگی یکنواختی متفاوتی است.

پاسخ.اگر معادله یک ریشه داشته باشد. اگر https://pandia.ru/text/78/074/images/image039_10.gif" width="141" height="81 src=">

راه حل هایی دارد

راه حل.واضح است که خانواده های مستقیم https://pandia.ru/text/78/074/images/image041_12.gif" width="61" height="52">..jpg" width="259" height="155" ">

معنی k1ما با جایگزین کردن جفت (0;0) در اولین معادله سیستم خواهیم یافت. از اینجا ک1 =-1/4. معنی ک 2 ما با مطالبه از سیستم دریافت می کنیم

https://pandia.ru/text/78/074/images/image045_12.gif" width="151" height="47"> زمانی که ک> 0 یک ریشه دارند. از اینجا k2= 1/4.

پاسخ. .

بیایید یک نکته را بیان کنیم. در برخی از نمونه‌های این نقطه، ما باید یک مسئله استاندارد را حل کنیم: برای یک خانواده خط، ضریب زاویه‌ای آن را مطابق با ممان مماس با منحنی پیدا کنید. ما به شما نشان خواهیم داد که چگونه این کار را انجام دهید نمای کلیبا استفاده از مشتق

اگر (x0; y 0) = مرکز چرخش، سپس مختصات (ایکس 1; در 1) نقاط مماس با منحنی y =f(x)را می توان با حل سیستم پیدا کرد

شیب مورد نیاز کمساوی با .

مثال 6. معادله برای چه مقادیری از پارامتر راه حل منحصر به فردی دارد؟

راه حل..gif" width="160" height="29 src=">..gif" width="237" height="33">، arc AB.

تمام پرتوهایی که بین OA و OB می گذرند، قوس AB را در یک نقطه قطع می کنند و همچنین قوس AB OB و OM (مماس) را در یک نقطه قطع می کنند..gif" width="16" height="48 src=">. فاکتور شیبمماس برابر است با . به راحتی از سیستم پیدا می شود

بنابراین، خانواده ها را مستقیم کنید https://pandia.ru/text/78/074/images/image059_7.gif" width="139" height="52">.

پاسخ. .

مثال 7..gif" width="160" height="25 src="> راه حلی داره؟

راه حل..gif" width="61" height="24 src="> و کاهش می یابد. نقطه حداکثر نقطه است.

تابع خانواده ای از خطوط مستقیم است که از نقطه عبور می کنند https://pandia.ru/text/78/074/images/image062_7.gif" width="153" height="28"> قوس AB است. خطوطی که بین خطوط مستقیم OA و OB قرار خواهند گرفت، شرایط مشکل را برآورده می کنند..gif" width="17" height="47 src=">.

پاسخ..gif" width="15" height="20">راه حلی وجود ندارد.

1.3. همدلی. فشرده سازی به یک خط مستقیم.

مثال 8.سیستم چند راه حل دارد؟

https://pandia.ru/text/78/074/images/image073_1.gif" width="41" height="20 src="> سیستم هیچ راه حلی ندارد. برای رفع مشکل a > 0 نمودار معادله اول مربعی است با رئوس ( آ; 0), (0;-آ), (-آ;0), (0;آ).بنابراین، اعضای خانواده مربع های همتز هستند (مرکز همگنی نقطه O(0; 0) است).

بیایید به شکل. 8..gif" width="80" height="25"> هر ضلع مربع دو نقطه مشترک با دایره دارد، به این معنی که سیستم هشت راه حل خواهد داشت. یعنی دوباره چهار راه حل وجود خواهد داشت، بدیهی است که سیستم هیچ راه حلی ندارد.

پاسخ.اگر آ< 1 или https://pandia.ru/text/78/074/images/image077_1.gif" width="56" height="25 src=">, سپس چهار راه حل وجود دارد. اگر، پس هشت راه حل وجود دارد.

مثال 9. تمام مقادیر پارامتر را پیدا کنید که برای هر کدام معادله https://pandia.ru/text/78/074/images/image081_0.gif" width="181" height="29 src="> است. تابع ..jpg" width="195" height="162"> را در نظر بگیرید

زمانی که شعاع نیم دایره بزرگتر و کمتر از 8 باشد، تعداد ریشه ها مطابق با عدد 8 خواهد بود. توجه داشته باشید که وجود دارد.

پاسخ. یا .

1.4. دو خط مستقیم در یک هواپیما

اساساً ایده حل مشکلات این پاراگراف بر اساس سؤال مطالعه موقعیت نسبی دو خط مستقیم است: و . به راحتی می توان راه حل این مشکل را به شکل کلی نشان داد. ما مستقیماً به نمونه های معمولی خاص می پردازیم که به نظر ما به جنبه کلی موضوع آسیب نمی رساند.

مثال 10.برای آنچه a و b سیستم انجام می دهد

https://pandia.ru/text/78/074/images/image094_0.gif" width="160" height="25 src=">..gif" width="67" height="24 src="> , t..gif" width="116" height="55">

نابرابری سیستم یک نیم صفحه با مرز را تعریف می کند در= 2 برابر– 1 (شکل 10). به راحتی می توان متوجه شد که سیستم حاصل راه حلی دارد اگر خط مستقیم باشد آه +توسط = 5مرز یک نیم صفحه را قطع می کند یا به موازات آن در نیم صفحه قرار می گیرد. در– 2x + 1 < 0.

بیایید با پرونده شروع کنیم b = 0. سپس به نظر می رسد که معادله اوه+ توسط = 5 یک خط عمودی را تعریف می کند که به وضوح خط را قطع می کند y = 2ایکس - 1. با این حال، این عبارت تنها زمانی درست است که ..gif" width="43" height="20 src="> سیستم راه حل های ..gif" width="99" height="48"> داشته باشد. در این حالت شرط تلاقی خطوط در ..gif" width="52" height="48">.gif" width="41" height="20"> و، یا و . یا و https://pandia.ru/text/78/074/images/image109_0.gif" width="69" height="24 src=">.

- ب هواپیمای مختصات xOa تابع را رسم می کنیم.

- خطوط مستقیم را در نظر بگیرید و فواصل محور Oa را انتخاب کنید که در آنها این خطوط مستقیم شرایط زیر را برآورده کنند: الف) نمودار تابع را قطع نمی کند https://pandia.ru/text/78/074/images/image109_0 .gif" width="69" height="24"> در یک نقطه، ج) در دو نقطه، د) در سه نقطه و غیره.

- اگر وظیفه یافتن مقادیر x باشد، آنگاه x را بر حسب a برای هر یک از بازه های یافت شده مقدار a به طور جداگانه بیان می کنیم.

مشاهده یک پارامتر به عنوان یک متغیر برابر در روش های گرافیکی منعکس می شود..jpg" width="242" height="182">

پاسخ. a = 0 یا a = 1.

نتیجه

ما امیدواریم که مشکلات تجزیه و تحلیل شده به طور قانع کننده ای اثربخشی روش های پیشنهادی را نشان دهد. با این حال، متأسفانه، دامنه کاربرد این روش ها به دلیل مشکلاتی که در هنگام ساخت یک تصویر گرافیکی با آن مواجه می شود، محدود شده است. واقعا اینقدر بد است؟ ظاهرا نه. در واقع، با این رویکرد، ارزش آموزشی اصلی مسائل مربوط به پارامترها به عنوان یک مدل تحقیقات مینیاتوری تا حد زیادی از بین می رود. با این حال، ملاحظات فوق متوجه معلمان است، و برای متقاضیان فرمول کاملا قابل قبول است: هدف وسیله را توجیه می کند. علاوه بر این، اجازه دهید این خود را آزادانه بگوییم که در تعداد قابل توجهی از دانشگاه‌ها، کامپایل‌کنندگان مسائل رقابتی با پارامترها مسیری را از تصویر به شرایط دنبال می‌کنند.

در این مسائل، احتمالات حل مسائل را با پارامتری مورد بحث قرار دادیم که وقتی نمودارهایی از توابع موجود در سمت چپ و راست معادلات یا نابرابری‌ها را روی یک برگه می‌کشیم، به روی ما باز می‌شود. با توجه به اینکه پارامتر می تواند مقادیر دلخواه بگیرد، یک یا هر دو نمودار نمایش داده شده به روش خاصی در صفحه حرکت می کنند. می توان گفت که یک خانواده کامل از نمودارها مربوط به مقادیر مختلف پارامتر به دست می آید.

اجازه دهید به شدت بر دو جزئیات تأکید کنیم.

اولا، ما در مورد یک راه حل "گرافیکی" صحبت نمی کنیم. همه مقادیر، مختصات، ریشه ها به طور دقیق، تحلیلی، به عنوان راه حل برای معادلات و سیستم های مربوطه محاسبه می شوند. همین امر در مورد لمس کردن یا تلاقی نمودارها صدق می کند. آنها نه با چشم، بلکه با کمک تمایزها، مشتقات و ابزارهای دیگر در دسترس شما تعیین می شوند. عکس فقط راه حل می دهد.

ثانیاً، حتی اگر راهی برای حل مشکل مرتبط با نمودارهای نشان داده شده پیدا نکنید، درک شما از مسئله به طور قابل توجهی گسترش می یابد، اطلاعاتی برای خودآزمایی دریافت خواهید کرد و شانس موفقیت به طور قابل توجهی افزایش می یابد. با تصور دقیق چه اتفاقی در یک مشکل در چه زمانی رخ می دهد معانی مختلفپارامتر، ممکن است الگوریتم راه حل صحیح را پیدا کنید.

بنابراین، این کلمات را با یک جمله اضطراری به پایان می بریم: اگر در کوچکترین درجه کار دشوارعملکردهایی وجود دارد که می دانید چگونه نمودارها را ترسیم کنید ، حتماً این کار را انجام دهید ، پشیمان نخواهید شد.

فهرست کتابشناسی

1. چرکاسوف،: کتابچه راهنمای دانش آموزان دبیرستانی و متقاضیان ورود به دانشگاه [متن] /، . – M.: AST-PRESS, 2001. – 576 p.

2. گورشتین، با پارامترها [متن]: ویرایش سوم، توسعه یافته و تجدید نظر شده / , . – M.: Ilexa, Kharkov: Gymnasium, 1999. – 336 p.

اجازه دهید f(x,y)و g(x, y)- دو عبارت با متغیر ایکسو درو دامنه ایکس. سپس نابرابری های فرم f(x, y) > g(x, y)یا f(x, y) < g(x, y)تماس گرفت نابرابری با دو متغیر .

معنی متغیرها x، yاز بسیاری ایکس، که در آن نابرابری به نابرابری عددی واقعی تبدیل می شود، نامیده می شود تصمیم گیری و تعیین شده است (x، y). حل نابرابری - این به معنای یافتن بسیاری از این جفت ها است.

اگر هر جفت اعداد (x، y)از مجموعه راه حل ها تا نابرابری، نقطه را مطابقت دهید M(x، y)، مجموعه نقاطی را در صفحه مشخص شده توسط این نابرابری به دست می آوریم. او نامیده می شود نمودار این نابرابری . نمودار یک نابرابری معمولاً یک مساحت در یک صفحه است.

برای به تصویر کشیدن مجموعه ای از راه حل های نابرابری f(x, y) > g(x, y)، به صورت زیر عمل کنید. ابتدا علامت نابرابری را با علامت مساوی جایگزین کنید و خطی را پیدا کنید که معادله را داشته باشد f(x,y) = g(x,y). این خط هواپیما را به چند قسمت تقسیم می کند. پس از این، کافی است از هر قسمت یک امتیاز بگیرید و بررسی کنید که آیا نابرابری در این نقطه برآورده شده است یا خیر. f(x, y) > g(x, y). اگر در این نقطه اجرا شود، در کل قسمتی که این نقطه قرار دارد اجرا می شود. با ترکیب چنین قطعاتی راه حل های زیادی به دست می آوریم.

وظیفه. y > ایکس.

راه حل.ابتدا علامت نابرابری را با علامت مساوی جایگزین می کنیم و یک خط در یک سیستم مختصات مستطیلی می سازیم که دارای معادله باشد. y = ایکس.

این خط هواپیما را به دو قسمت تقسیم می کند. پس از این، از هر قسمت یک نقطه بگیرید و بررسی کنید که آیا نابرابری در این نقطه برآورده شده است یا خیر y > ایکس.

وظیفه.به صورت گرافیکی نابرابری را حل کنید
ایکس 2 + در 2 25 پوند.

بگذارید دو نابرابری داده شود f 1(x، y) > g 1(x، y)و f 2(x، y) > g 2(x، y).

سیستم های مجموعه ای از نابرابری ها با دو متغیر

سیستم نابرابری ها است خودت ترکیب این نابرابری ها راه حل سیستم هر معنی است (x، y)، که هر یک از نامساوی ها را به یک نامعادله عددی واقعی تبدیل می کند. راه حل های زیادی سیستم های نابرابری ها تلاقی مجموعه ای از راه حل ها برای نابرابری هایی است که یک سیستم معین را تشکیل می دهند.

مجموعه ای از نابرابری ها است خودت تفکیک اینها نابرابری ها راه حل را تنظیم کنید هر معنی است (x، y)، که حداقل یکی از مجموعه نامساوی ها را به یک نامساوی عددی واقعی تبدیل می کند. راه حل های زیادی کلیت مجموعه ای از راه حل های نابرابری است که یک مجموعه را تشکیل می دهد.

وظیفه.سیستم نابرابری ها را به صورت گرافیکی حل کنید

راه حل. y = xو ایکس 2 + در 2 = 25. هر نابرابری سیستم را حل می کنیم.

نمودار سیستم مجموعه ای از نقاط روی صفحه خواهد بود که محل تلاقی (هچ دوگانه) مجموعه راه حل های نابرابری های اول و دوم هستند.

وظیفه.مجموعه ای از نابرابری ها را به صورت گرافیکی حل کنید

تمرین برای کار مستقل

1- نابرابری ها را به صورت گرافیکی حل کنید: الف) در> 2ایکس; ب) در< 2ایکس + 3;

V) ایکس 2+ y 2 > 9; ز) ایکس 2+ y 2 4 پوند

2. سیستم های گرافیکی نابرابری ها را حل کنید:

الف) ب)

دانش آموز کلاس دهم یوری کوتوفچیخین

دانش‌آموزان از کلاس ششم شروع به مطالعه معادلات با ماژول‌ها می‌کنند. من این موضوع خاص را انتخاب کردم زیرا معتقدم که نیاز به مطالعه عمیق تر و دقیق تر دارد. که در برنامه آموزشی مدرسهوظایفی شامل یک ماژول به عنوان وظایف با پیچیدگی بیشتر در امتحانات وجود دارد، بنابراین، ما باید برای مواجهه با چنین کاری آماده باشیم.

دانلود:

پیش نمایش:

موسسه آموزشی شهرداری

میانگین مدرسه جامع №5

کار پژوهشی با موضوع:

« حل جبری و گرافیکی معادلات و نابرابری های حاوی مدول»

من کار را انجام دادم:

دانش آموز کلاس دهم

کوتوفچیخین یوری

سرپرست:

معلم ریاضی

شانتا N.P.

اوریوپینسک

1. مقدمه………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. مفاهیم و تعاریف………………………………………….5

3. اثبات قضایا………………………………………..6

4. روشهای حل معادلات حاوی مدول…………….7

4.1 راه حل با استفاده از وابستگی های بین اعداد a و b، ماژول ها و مربع های آنها…………………………………………………………………

4.2. استفاده از تفسیر هندسی ماژول برای حل معادلات……………………………………………………………………..14

4.3. نمودارهای ساده ترین توابع حاوی علامت قدر مطلق.

………………………………………………………………………15

4.4.حل معادلات غیر استاندارد حاوی ماژول ....16

5. نتیجه گیری………………………………………………………………………………………………………….

6. فهرست ادبیات استفاده شده………………………………………………

هدف کار: دانش آموزان شروع به مطالعه معادلات با ماژول ها از کلاس ششم می کنند. من این موضوع خاص را انتخاب کردم زیرا معتقدم که نیاز به مطالعه عمیق تر و دقیق تر دارد. در برنامه درسی مدرسه وظایفی وجود دارد که شامل یک ماژول به عنوان وظایف با پیچیدگی بیشتر و در امتحانات است، بنابراین باید برای مواجهه با چنین کاری آماده باشیم.

1. معرفی:

کلمه "module" از کلمه لاتین "modulus" گرفته شده است که به معنای "اندازه گیری" است. این یک کلمه چند معنایی (همنام) است که معانی زیادی دارد و نه تنها در ریاضیات، بلکه در معماری، فیزیک، فناوری، برنامه نویسی و سایر علوم دقیق نیز استفاده می شود.

در معماری، این واحد اندازه گیری اصلی است که برای یک معین ایجاد شده است ساختار معماریو در خدمت بیان نسبت های متعدد عناصر تشکیل دهنده آن است.

در فناوری، این اصطلاحی است که در زمینه های مختلف فناوری استفاده می شود که معنای جهانی ندارد و برای تعیین ضرایب و کمیت های مختلف به عنوان مثال مدول درگیری، مدول الاستیک و غیره کاربرد دارد.

مدول توده ای (در فیزیک) نسبت تنش معمولی در یک ماده به کشیدگی نسبی است.

2. مفاهیم و تعاریف

مدول - قدر مطلق - یک عدد واقعی A با |A| نشان داده می شود.

برای مطالعه عمیق این موضوع لازم است با ساده ترین تعاریفی که نیاز دارم آشنا شوم:

معادله یک تساوی است که دارای متغیرهایی است.

معادله با مدول معادله ای است که دارای متغیری تحت علامت قدر مطلق (زیر علامت مدول) است.

حل یک معادله به معنای یافتن تمام ریشه های آن یا اثبات عدم وجود ریشه است.

3.اثبات قضایا

قضیه 1. قدر مطلقیک عدد واقعی برابر است با بزرگتر از دو عدد a یا -a.

اثبات

1. اگر عدد a مثبت باشد، -a منفی است، یعنی -a

به عنوان مثال، عدد 5 مثبت است، سپس -5 منفی و -5 است

در این مورد |a| = a، یعنی |a| با بزرگتر دو عدد a و - a مطابقت دارد.

2. اگر a منفی باشد، -a مثبت و a است

نتیجه. از قضیه به دست می آید که |-a| = |a|.

در واقع هر دو و برابر با بزرگتر اعداد -a و a هستند، یعنی با هم برابرند.

قضیه 2. قدر مطلق هر عدد حقیقی a برابر با عدد حسابی است ریشه دوماز 2 .

در واقع، اگر با تعریف مدول یک عدد، lАl>0 خواهیم داشت، از طرف دیگر برای A>0 به معنی |a| = √A 2

اگر یک 2

این قضیه امکان جایگزینی |a| را در هنگام حل برخی مسائل فراهم می کند. بر

هندسی |a| به معنای فاصله روی خط مختصات از نقطه نشان دهنده عدد a تا مبدا است.

اگر بر روی خط مختصات دو نقطه a و -a با فاصله مساوی از صفر وجود داشته باشد که ماژول های آنها برابر هستند.

اگر a = 0، در خط مختصات |a| با نقطه 0 نشان داده شده است

4. روش های حل معادلات حاوی مدول.

برای حل معادلات حاوی علامت قدر مطلق، به تعریف مدول یک عدد و خواص قدر مطلق یک عدد تکیه می کنیم. چند نمونه را حل می کنیم راه های مختلفو بیایید ببینیم کدام روش برای حل معادلات حاوی مدول ساده تر است.

مثال 1. اجازه دهید معادله |x + 2| را به صورت تحلیلی و گرافیکی حل کنیم = 1.

راه حل

راه حل تحلیلی

روش 1

ما بر اساس تعریف یک ماژول استدلال خواهیم کرد. اگر عبارت زیر مدول غیر منفی باشد، یعنی x + 2 ≥0، آنگاه از زیر علامت مدول با علامت مثبت "بیرون می آید" و معادله به شکل x + 2 = 1 خواهد بود. مقدار عبارت زیر علامت مدول منفی است، پس طبق تعریف برابر است با: یا x + 2=-1

بنابراین، ما یا x + 2 = 1 یا x + 2 = -1 را دریافت می کنیم. با حل معادلات به دست آمده متوجه می شویم: X+2=1 یا X+2+-1

X=-1 X=3

پاسخ: -3;-1.

حال می‌توان نتیجه گرفت: اگر مدول یک عبارت برابر با یک عدد واقعی مثبت a باشد، عبارت زیر مدول a یا -a است.

راه حل گرافیکی

یکی از راه های حل معادلات حاوی ماژول، روش گرافیکی است. ماهیت این روش ساختن نمودارهایی از این توابع است. اگر نمودارها همدیگر را قطع کنند، نقاط تلاقی این نمودارها ریشه معادله ما خواهد بود. اگر نمودارها همدیگر را قطع نکنند، می‌توان نتیجه گرفت که معادله ریشه ندارد. این روش احتمالا کمتر از روش های دیگر برای حل معادلات حاوی مدول استفاده می شود، زیرا اولاً زمان زیادی می برد و همیشه منطقی نیست و ثانیاً نتایج به دست آمده هنگام رسم نمودارها همیشه دقیق نیستند.

راه دیگر برای حل معادلات حاوی مدول، تقسیم خط اعداد به فواصل است. در این حالت، باید خط عدد را به گونه‌ای تقسیم کنیم که با تعریف مدول، علامت قدر مطلق در این فواصل حذف شود. سپس برای هر یک از بازه‌ها باید این معادله را حل کرده و در مورد ریشه‌های حاصل (که بازه ما را برآورده می‌کنند یا خیر) نتیجه‌گیری کنیم. ریشه هایی که شکاف ها را برآورده می کنند، پاسخ نهایی را خواهند داد.

روش دوم

اجازه دهید مشخص کنیم که ماژول در چه مقادیری از x برابر با صفر است: |X+2|=0، X=2

دو بازه بدست می آوریم که در هر کدام از آنها معادله را حل می کنیم:

ما دو سیستم ترکیبی دریافت می کنیم:

(1) X+2 0

X-2=1 X+2=1

بیایید هر سیستم را حل کنیم:

X=-3 X=-1

پاسخ: -3;-1.

راه حل گرافیکی

y= |X+2|، y= 1.

راه حل گرافیکی

برای حل معادله به صورت گرافیکی، باید نمودارهایی از توابع و

برای ساختن نمودار یک تابع، بیایید یک نمودار از یک تابع بسازیم - این تابعی است که محور OX و محور OY را در نقاط قطع می کند.

ابسیساهای نقاط تقاطع نمودارهای تابع به معادله جواب می دهند.

نمودار مستقیم تابع y=1 با نمودار تابع y=|x + 2| در نقاطی با مختصات (-3; 1) و (-1; 1)، بنابراین راه حل های معادله ابسیساهای نقاط خواهند بود:

x=-3، x=-1

پاسخ: -3;-1

مثال 2. معادله 1 + |x| را به صورت تحلیلی و گرافیکی حل کنید = 0.5.

راه حل:

راه حل تحلیلی

بیایید معادله را تبدیل کنیم: 1 + |x| = 0.5

|x| = 0.5-1

|x|=-0.5

واضح است که در این مورد معادله هیچ راه حلی ندارد، زیرا، طبق تعریف، مدول همیشه غیر منفی است.

پاسخ: هیچ راه حلی وجود ندارد.

راه حل گرافیکی

بیایید معادله را تبدیل کنیم: 1 + |x| = 0.5

|x| = 0.5-1

|x|=-0.5

نمودار تابع پرتوها است - نیمسازهای زوایای مختصات 1 و 2. نمودار تابع یک خط مستقیم موازی با محور OX است و از نقطه -0.5 در محور OY می گذرد.

نمودارها قطع نمی شوند، یعنی معادله هیچ راه حلی ندارد.

پاسخ: راه حلی وجود ندارد.

مثال 3. معادله |-x + 2| را به صورت تحلیلی و گرافیکی حل کنید = 2x + 1.

راه حل:

راه حل تحلیلی

روش 1

ابتدا باید محدوده مقادیر قابل قبول را برای متغیر تنظیم کنید. یک سوال طبیعی مطرح می شود: چرا در مثال های قبلی نیازی به این کار نبود، اما اکنون این امر به وجود آمده است.

واقعیت این است که در این مثال، در سمت چپ معادله مدول یک عبارت است و در سمت راست یک عدد نیست، بلکه عبارتی با یک متغیر است - این شرایط مهم است که متمایز می کند این مثالاز قبلی ها

از آنجایی که در سمت چپ یک مدول وجود دارد و در سمت راست، یک عبارت حاوی یک متغیر، لازم است که این عبارت غیر منفی باشد، یعنی محدوده معتبر باشد.

مقادیر مدول

اکنون می‌توانیم به همان روشی که در مثال 1 آمده است، زمانی که در سمت راست برابری یافتیم، استدلال کنیم عدد مثبت. ما دو سیستم ترکیبی دریافت می کنیم:

(1) -X+2≥0 و (2) -X+2

X+2=2X+1; X-2=2X+1

بیایید هر سیستم را حل کنیم:

(1) در بازه گنجانده شده و ریشه معادله است.

X≤2

X=⅓

(2) X>2

X=-3

X = -3 در بازه گنجانده نشده است و ریشه معادله نیست.

پاسخ: ⅓.

4.1 حل با استفاده از وابستگی بین اعداد a و b، ماژول های آنها و مربع های این اعداد.

علاوه بر روش‌هایی که در بالا آورده‌ام، هم ارزی خاصی بین اعداد و ماژول‌های اعداد داده شده، و همچنین بین مربع‌ها و مدول‌های اعداد داده شده وجود دارد:

|a|=|ب| a=b یا a=-b

A2=b2 a=b یا a=-b

از اینجا ما به نوبه خود آن را بدست می آوریم

|a|=|ب| a 2 =b 2

مثال 4. معادله |x + 1|=|2x - 5| را حل کنید به دو روش مختلف

1. با در نظر گرفتن رابطه (1)، به دست می آوریم:

X + 1 = 2x - 5 یا x + 1 =-2x + 5

x - 2x=-5 - 1 x + 2x=5 - 1

X=-6|(:1) 3x=4

X=6 x=11/3

ریشه معادله اول x=6، ریشه معادله دوم x=11/3

بنابراین، ریشه های معادله اصلی x 1 = 6، x 2 = 11/3

2. به موجب رابطه (2) به دست می آوریم

(x + 1) 2 = (2x - 5)2، یا x2 + 2x + 1=4x2 - 20x + 25

X2 - 4x2 +2x+1 + 20x - 25=0

3x2 + 22x - 24=0|(:-1)

3x2 - 22x + 24=0

D/4=121-3 24=121 - 72=49>0 ==>معادله 2 ریشه متفاوت دارد.

x 1 =(11 - 7)/3=11/3

x 2 =(11 + 7)/3=6

همانطور که حل نشان می دهد، ریشه های این معادله نیز اعداد 11/3 و 6 هستند

پاسخ: x 1 = 6، x 2 = 11/3

مثال 5. معادله (2x + 3) را حل کنید 2 =(x - 1) 2 .

با در نظر گرفتن رابطه (2) به این نتیجه میرسیم که |2x + 3|=|x - 1|، که طبق مثال قبلی (و طبق رابطه (1)):

2x + 3 = x - 1 یا 2x + 3 = - x + 1

2x - x=-1 - 3 2x+ x=1 - 3

X=-4 x=-0، (6)

بنابراین، ریشه های معادله x1 = -4، و x2 = -0، (6) است.

پاسخ: x1=-4، x2 =0، (6)

مثال 6. حل معادله |x - 6|=|x2 - 5x + 9|

با استفاده از رابطه، دریافت می کنیم:

x - 6 = x2 - 5x + 9 یا x - 6 = -(x2 - 5x + 9)

X2 + 5x + x - 6 - 9=0 |(-1) x - 6=-x2 + 5x - 9

x2 - 6x + 15=0 x2 - 4x + 3=0

D=36 - 4 15=36 - 60= -24 D=16 - 4 3=4 >0==>2 r.k.

==> بدون ریشه.

X 1 =(4- 2) /2=1

X 2 =(4 + 2) /2=3

بررسی کنید: |1 - 6|=|12 - 5 1 + 9| |3 - 6|=|32 - 5 3 + 9|

5 = 5(I) 3 = |9 - 15 + 9|

3 = 3 (I)

پاسخ: x 1 = 1; x 2 = 3

4.2. استفاده از تفسیر هندسی ماژول برای حل معادلات.

معنای هندسی مدول اختلاف بین کمیت ها فاصله بین آنهاست. به عنوان مثال، معنای هندسی عبارت |x - a | - طول بخش محور مختصات، نقاط را با ابسیساهای a و x به هم وصل می کند. ترجمه یک مسئله جبری به زبان هندسی اغلب به فرد اجازه می دهد تا از راه حل های دست و پا گیر اجتناب کند.

مثال 7. بیایید معادله |x - 1| را حل کنیم + |x - 2|=1 با استفاده از تفسیر هندسی مدول.

ما به شرح زیر استدلال خواهیم کرد: بر اساس تفسیر هندسی ماژول، سمت چپمعادله مجموع فواصل یک نقطه ابسیسا معین x تا دو نقطه ثابت با ابسیساهای 1 و 2 است. پس واضح است که تمام نقاط دارای ابسیسا از قطعه دارای خاصیت لازم هستند، اما نقاطی که در خارج از این قطعه قرار دارند این ویژگی را ندارند. از این رو پاسخ: مجموعه راه حل های معادله قطعه است.

پاسخ:

مثال 8. بیایید معادله |x - 1| را حل کنیم - |x - 2|=1 1 با استفاده از تفسیر هندسی مدول.

ما مشابه مثال قبلی استدلال خواهیم کرد و متوجه خواهیم شد که تفاوت فاصله بین نقاط با ابسیساهای 1 و 2 فقط برای نقاط واقع در محور مختصات سمت راست عدد 2 برابر با یک است. بنابراین، راه حل برای این معادله قطعه محصور بین نقاط 1 و 2 و پرتوی نخواهد بود که از نقطه 2 بیرون می آید و در جهت مثبت محور OX هدایت می شود.

پاسخ: )