Ühes eelmises artiklis me juba mainisime arvu võimsust. Täna proovime navigeerida selle tähenduse leidmise protsessis. Teaduslikult öeldes mõtleme välja, kuidas võimsust õigesti tõsta. Me selgitame välja, kuidas see protsess läbi viiakse, ja samal ajal puudutame kõiki võimalikke eksponente: loomulik, irratsionaalne, ratsionaalne, täisarv.

Niisiis, vaatame lähemalt näidete lahendusi ja uurime, mida see tähendab:

1. Mõiste definitsioon.
2. Tõstmine negatiivse kunsti juurde.
3. Täisarvu indikaator.
4. Numbri tõstmine irratsionaalne aste.

Siin on määratlus, mis peegeldab täpselt tähendust: "Astendamine on arvu astme väärtuse määratlus."

Sellest lähtuvalt suurendatakse artiklis a numbrit a. r ja astme a väärtuse leidmine eksponendiga r on identsed mõisted. Näiteks kui ülesandeks on arvutada võimsuse väärtus (0,6)6″, siis saab seda lihtsustada avaldisega "Tõstke arv 0,6 astmeni 6".

Pärast seda saate jätkata otse ehitusreeglitega.

Tõstmine negatiivsesse jõudu

Selguse huvides peaksite pöörama tähelepanu järgmisele väljendite ahelale:

110 = 0,1 = 1 * 10 miinus 1 spl.,

1100=0,01=1*10 miinus 2 kraadi juures,

11000=0,0001=1*10 miinus 3 st.,

110000=0,00001=1*10 kuni miinus 4 kraadi.

Tänu nendele näidetele näete selgelt võimalust arvutada koheselt 10 mis tahes miinusvõimsusele. Selleks piisab kümnendkomponendi nihutamisest:

• 10 kuni -1 kraadi – enne ühte on 1 null;
• in -3 - kolm nulli enne ühte;
• -9-s on 9 nulli ja nii edasi.

Sellelt diagrammil on ka lihtne aru saada, kui palju on 10 miinus 5 spl. -

1100000=0,000001=(1*10)-5.

Kuidas tõsta arv loomuliku astmeni

Definitsiooni meeles pidades võtame arvesse, et naturaalarv a Art. n võrdub n teguri korrutisega, millest igaüks on võrdne a. Näitame: (a*a*…a)n, kus n on korrutatud arvude arv. Sellest lähtuvalt on a tõstmiseks n-ks vaja arvutada järgmise kuju korrutis: a*a*…a jagatud n-ga.

Sellest selgub, et tõstmine looduslikule st. tugineb korrutamise võimele(seda materjali käsitletakse reaalarvude korrutamise osas). Vaatame probleemi:

Tõstke -2 4. silmuseni.

Meil on tegemist loomuliku näitajaga. Vastavalt sellele on otsuse käik järgmine: (-2) art. 4 = (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Nüüd jääb üle vaid täisarvud korrutada: (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Saame 16.

Vastus probleemile:

(-2) artiklis 4=16.

Näide:

Arvutage väärtus: kolm koma kaks seitsmendikku ruudus.

See näide võrdub järgmise korrutisega: kolm koma kaks seitsmendikku korrutatuna kolme koma kahe seitsmendikuga. Tuletades meelde, kuidas segaarvud korrutatakse, lõpetame ehituse:

• 3 koma 2 seitsmendikku korrutatuna iseendaga;
• võrdub 23 seitsmendikuga, mis on korrutatud 23 seitsmendikuga;
• võrdub 529 neljakümne üheksandikuga;
• me vähendame ja saame 10 kolmkümmend üheksa nelikümmend üheksandikku.

Vastus: 10 39/49

Seoses irratsionaalsele eksponendile tõstmise küsimusega tuleb märkida, et arvutusi hakatakse tegema pärast astme aluse eelneva ümardamise lõpetamist mis tahes numbrini, mis võimaldaks saada väärtuse etteantud täpsusega. Näiteks peame panema arvu P (pi) ruutudesse.

Alustuseks ümardame P sajandikuteks ja saame:

P ruudus = (3,14)2 = 9,8596. Kui aga vähendada P kümne tuhandeni, saame P = 3,14159. Siis annab ruutudeks panemine hoopis teise numbri: 9.8695877281.

Siinkohal tuleb märkida, et paljudes probleemides ei ole vaja irratsionaalseid numbreid astmetesse tõsta. Reeglina sisestatakse vastus kas tegeliku astme kujul, näiteks 6 juur 3 astmeni, või kui avaldis lubab, viiakse läbi selle teisendus: juur 5 kuni 7 kraadi = 125 juur 5-st.

Kuidas tõsta arv täisarvuni

See algebraline manipuleerimine on asjakohane võtta arvesse järgmistel juhtudel:

• täisarvude jaoks;
• nullindikaatori jaoks;
• positiivse täisarvu eksponendi jaoks.

Kuna peaaegu kõik positiivsed täisarvud langevad kokku naturaalarvude massiga, on positiivse täisarvu astme seadmine sama protsess, mis artiklis Art. loomulik. Seda protsessi kirjeldasime eelmises lõigus.

Nüüd räägime st. null. Eespool saime juba teada, et arvu a nullvõimsuse saab määrata mis tahes nullist erineva a (reaalne) korral, samas kui a on Art. 0 võrdub 1-ga.

Sellest lähtuvalt, mis tahes reaalarvu tõstmine nullini. annab ühe.

Näiteks 10 st 0 = 1, (-3,65) 0 = 1 ja 0 st. 0 ei saa määrata.

Täisarvulise astmeni tõstmise lõpuleviimiseks tuleb otsustada negatiivsete täisarvu väärtuste valikute üle. Mäletame, et Art. alates a täisarvu eksponendiga -z defineeritakse murdosana. Murru nimetaja on st. positiivse täisarvuga väärtusega, mille väärtust oleme juba õppinud leidma. Nüüd jääb üle vaid kaaluda ehituse näidet.

Näide:

Arvutage negatiivse täisarvu eksponendiga kuubitud arvu 2 väärtus.

Lahenduse protsess:

Negatiivse astendajaga kraadi definitsiooni järgi tähistame: kaks miinus 3 kraadi. võrdub üks kuni kaks kolmanda astmega.

Nimetaja arvutatakse lihtsalt: kaks kuubikut;

3 = 2*2*2=8.

Vastus: kaks kuni miinus 3. st. = üks kaheksandik.

Selles materjalis vaatleme, mis on arvu võimsus. Lisaks põhimääratlustele sõnastame, millised on naturaal-, täisarvu-, ratsionaal- ja irratsionaalastendajatega astmed. Nagu alati, illustreeritakse kõiki mõisteid näidisülesannetega.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Esiteks sõnastame astme põhidefinitsiooni naturaalastendajaga. Selleks peame meeles pidama korrutamise põhireegleid. Teeme eelnevalt selgeks, et praegu võtame aluseks reaalarvu (tähistatakse tähega a) ja naturaalarvu indikaatoriks (tähistatakse tähega n).

Definitsioon 1

Arvu a aste naturaalse astendajaga n on n-nda tegurite arvu korrutis, millest igaüks on võrdne arvuga a. Kraad on kirjutatud järgmiselt: a n ja valemi kujul võib selle koostist esitada järgmiselt:

Näiteks kui astendaja on 1 ja alus on a, siis kirjutatakse a esimene aste kui a 1. Arvestades, et a on teguri väärtus ja 1 on tegurite arv, võime järeldada, et a 1 = a.

Üldiselt võime öelda, et kraad on mugav vorm suure hulga võrdsete tegurite kirjutamiseks. Niisiis, vormi rekord 8 8 8 8 saab lühendada kuni 8 4 . Samamoodi aitab teos meil salvestamist vältida suur hulk terminid (8 + 8 + 8 + 8 = 8 4) ; Oleme seda juba käsitlenud artiklis, mis on pühendatud naturaalarvude korrutamisele.

Kuidas kraadikandet õigesti lugeda? Üldtunnustatud variant on "a astmeni n". Või võite öelda "a n-nda astme" või "sipelga astme". Kui näiteks näites kohtasime kirjet 8 12 , saame lugeda "8 kuni 12. astmeni", "8 astmeni 12" või "12. astmeni 8".

Arvude teisel ja kolmandal astmel on oma väljakujunenud nimed: ruut ja kuup. Kui näeme teist astet, näiteks arvu 7 (7 2), siis võime öelda “7 ruudus” või “arvu 7 ruut”. Samamoodi kõlab kolmas aste järgmiselt: 5 3 - see on "numbri 5 kuup" või "5 kuubik". Kuid võite kasutada ka standardset sõnastust "teise/kolmanda astmeni"; see ei ole viga.

Näide 1

Vaatame naturaalse astendajaga kraadi näidet: for 5 7 viis on alus ja seitse on astendaja.

Alus ei pea olema täisarv: astme jaoks (4 , 32) 9 Aluseks on murd 4, 32 ja eksponent üheksa. Pöörake tähelepanu sulgudele: see märge on tehtud kõigi astmete kohta, mille alused erinevad naturaalarvudest.

Näiteks: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 7 3.

Milleks on sulud? Need aitavad vältida vigu arvutustes. Oletame, et meil on kaks kirjet: (− 2) 3 Ja − 2 3 . Esimene tähendab negatiivne arv miinus kaks tõstetakse astmeni loomuliku astendajaga kolm; teine ​​on arv, mis vastab astme vastupidisele väärtusele 2 3 .

Mõnikord võite raamatutes leida numbri võimsuse veidi teistsuguse kirjapildi - a^n(kus a on alus ja n on astendaja). See tähendab, et 4^9 on sama, mis 4 9 . Kui n on mitmekohaline arv, pannakse see sulgudesse. Näiteks 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . Kuid me kasutame tähistust a n kui tavalisem.

Seda, kuidas arvutada naturaalse astendajaga astendaja väärtus selle määratluse põhjal, on lihtne ära arvata: peate lihtsalt n-ndat korda korrutama. Kirjutasime sellest lähemalt teises artiklis.

Kraadi mõiste on teise matemaatilise mõiste pöördväärtus – arvu juur. Kui teame astme ja astendaja väärtust, saame arvutada selle baasi. Kraadil on mõned spetsiifilised omadused, mis on kasulikud probleemide lahendamiseks, mida käsitlesime eraldi materjalis.

Eksponentid võivad hõlmata mitte ainult naturaalarve, vaid ka kõiki täisarvulisi väärtusi üldiselt, sealhulgas negatiivseid ja nulle, kuna need kuuluvad ka täisarvude hulka.

2. definitsioon

Positiivse täisarvu eksponendiga arvu astme saab esitada valemina: .

Sel juhul on n mis tahes positiivne täisarv.

Mõistame nullkraadi mõistet. Selleks kasutame lähenemist, mis võtab arvesse võrdsete alustega astmete jagatisomadust. See on sõnastatud järgmiselt:

3. definitsioon

Võrdsus a m: a n = a m − n on tõene järgmistel tingimustel: m ja n on naturaalarvud, m< n , a ≠ 0 .

Viimane tingimus on oluline, kuna see väldib nulliga jagamist. Kui m ja n väärtused on võrdsed, saame järgmise tulemuse: a n: a n = a n − n = a 0

Kuid samal ajal a n: a n = 1 on jagatis võrdsed arvud a n ja a. Selgub, et mis tahes nullist erineva arvu nullvõimsus võrdub ühega.

Kuid selline tõestus ei kehti nulli nulli astme kohta. Selleks vajame veel ühte võimsuste omadust – võrdsete alustega võimsuste korrutiste omadust. See näeb välja selline: a m · a n = a m + n .

Kui n on 0, siis a m · a 0 = a m(see võrdsus tõestab ka meile seda a 0 = 1). Aga kui ja on samuti võrdne nulliga, saab meie võrdsus kuju 0 m · 0 0 = 0 m, See kehtib iga n-i loomuliku väärtuse kohta ja see ei oma tähtsust, mis astme väärtus täpselt on 0 0 , see tähendab, et see võib olla võrdne mis tahes arvuga ja see ei mõjuta võrdsuse täpsust. Seetõttu vormi märge 0 0 ei oma oma erilist tähendust ja me ei omista seda sellele.

Soovi korral on seda lihtne kontrollida a 0 = 1 koondub kraadiomadusega (a m) n = a m n eeldusel, et kraadi alus ei ole null. Seega on iga nullist erineva arvu aste, mille astendaja on null, üks.

Näide 2

Vaatame näidet konkreetsete numbritega: Niisiis, 5 0 - üksus, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 ja väärtus 0 0 määratlemata.

Pärast nullkraadi peame lihtsalt välja mõtlema, mis on negatiivne kraad. Selleks vajame võrdsete alustega astmete korrutise sama omadust, mida me juba eespool kasutasime: a m · a n = a m + n.

Toome sisse tingimuse: m = − n, siis a ei tohiks olla võrdne nulliga. Sellest järeldub, et a − n · a n = a − n + n = a 0 = 1. Selgub, et a n ja a−n meil on vastastikused numbrid.

Selle tulemusena ei ole a negatiivse terviku võimsus midagi muud kui murd 1 a n.

See sõnastus kinnitab, et täisarvulise negatiivse eksponendiga astme puhul kehtivad kõik samad omadused, mis loomuliku astendajaga astmel (eeldusel, et alus ei võrdu nulliga).

Näide 3

Negatiivse täisarvu astendaja n võimsust a saab esitada murdena 1 a n . Seega a - n = 1 a n subjektiks a ≠ 0 ja n on mis tahes naturaalarv.

Illustreerime oma ideed konkreetsete näidetega:

Näide 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

Lõigu viimases osas püüame kõike öeldut selgelt ühes valemis kujutada:

4. määratlus

Naturaalse astendajaga z arvu aste on: a z = a z, e l ja z - positiivne täisarv 1, z = 0 ja a ≠ 0, (z = 0 ja a = 0 korral on tulemus 0 0, avaldise 0 0 väärtused ei ole defineeritud) 1 a z, kui ja z on negatiivne täisarv ja a ≠ 0 (kui z on negatiivne täisarv ja a = 0 saad 0 z, egoz on väärtus määramata)

Mis on ratsionaalse astendajaga astmed?

Uurisime juhtumeid, kui astendaja sisaldab täisarvu. Siiski saate arvu tõsta astmeks isegi siis, kui selle astendaja sisaldab murdarvu. Seda nimetatakse kraadiks c ratsionaalne näitaja. Selles jaotises tõestame, et sellel on samad omadused kui teistel jõududel.

Mis on ratsionaalsed arvud? Nende mitmekesisus hõlmab nii tervet kui ka murdarvud, samas kui murdarvu saab esitada tavaliste murdudena (nii positiivsete kui ka negatiivsete). Sõnastame arvu a astme definitsiooni murdeksponentiga m / n, kus n on naturaalarv ja m on täisarv.

Meil on mingi aste murdeksponentiga a m n . Selleks, et võimsuse võimsus kehtiks, peab võrdus a m n n = a m n · n = a m olema tõene.

Arvestades n-nda juure määratlust ja seda, et a m n n = a m, võime aktsepteerida tingimust a m n = a m n, kui a m n on m, n ja a väärtuste jaoks mõistlik.

Täisarvulise astendajaga astme ülaltoodud omadused on tõesed tingimusel a m n = a m n .

Peamine järeldus meie arutlusest on järgmine: teatud arvu a astme murdosaline astendaja m / n on arvu a astme m n-s juur. See on tõsi, kui antud väärtuste m, n ja a puhul jääb avaldis a m n tähenduslikuks.

1. Saame piirata astme aluse väärtust: võtame a, mis m positiivsete väärtuste korral on suurem või võrdne 0-ga ja negatiivsete väärtuste korral - rangelt väiksem (kuna m ≤ 0 saame 0 m, kuid sellist kraadi pole määratletud). Sel juhul näeb murdosa eksponendiga kraadi määratlus välja järgmine:

Võimsus koos murdeksponentiga m/n mõne jaoks positiivne arv a on astmeni m tõstetud a n-s juur. Seda saab väljendada valemiga:

Nullbaasiga astme jaoks sobib ka see säte, kuid ainult siis, kui selle eksponent on positiivne arv.

Baasnulliga ja murdosalise positiivse eksponendiga võimsust m/n saab väljendada järgmiselt

0 m n = 0 m n = 0 eeldusel, et m on positiivne täisarv ja n on naturaalarv.

Negatiivse suhte m n korral< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Märgime ühte punkti. Kuna kehtestasime tingimuse, et a on nullist suurem või sellega võrdne, jätsime mõned juhtumid kõrvale.

Avaldis a m n on mõnikord endiselt mõttekas mõne a ja mõne m negatiivse väärtuse puhul. Seega on õiged kirjed (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4, milles alus on negatiivne.

2. Teine lähenemine on vaadelda eraldi paaris ja paaritu astendajatega juur a m n. Siis peame sisse viima veel ühe tingimuse: astet a, mille eksponendis on taandatav harilik murd, loetakse astmeks a, mille eksponendis on vastav taandamatu murd. Hiljem selgitame, miks me seda tingimust vajame ja miks see nii oluline on. Seega, kui meil on tähis a m · k n · k, siis saame selle taandada a m n-ks ja arvutusi lihtsustada.

Kui n on paaritu arv ja m väärtus on positiivne ja a on mis tahes mittenegatiivne arv, siis on a m n mõistlik. Tingimus, et a ei oleks negatiivne, on vajalik, kuna paarisastme juurt ei saa negatiivsest arvust eraldada. Kui m väärtus on positiivne, võib a olla nii negatiivne kui ka null, sest Paaritu juure võib võtta mis tahes reaalarvust.

Kombineerime kõik ülaltoodud määratlused ühte kirjesse:

Siin m/n tähendab taandamatut murdu, m on mis tahes täisarv ja n on mis tahes naturaalarv.

Definitsioon 5

Iga tavalise taandatava murru m · k n · k korral võib astme asendada a m n .

Arvu a võimsust taandamatu murdeksponentiga m / n saab väljendada kui m n järgmistel juhtudel: - iga reaalarvu a korral täisarv positiivsed väärtused m ja paarituid loodusväärtusi n. Näide: 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.

Mis tahes nullist erineva tegeliku a korral on m negatiivsed täisarvud ja n paaritu väärtused, näiteks 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 27

Mis tahes mittenegatiivse a korral on positiivne täisarv m ja isegi n, näiteks 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18.

Mis tahes positiivse a, negatiivse täisarvu m ja isegi n korral, näiteks 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3, .

Muude väärtuste puhul murdeksponentiga kraadi ei määrata. Selliste kraadide näited: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.

Nüüd selgitame ülalkirjeldatud tingimuse tähtsust: miks asendada taandatava astendajaga murd taandamatu astendajaga murruga. Kui me poleks seda teinud, oleks meil olnud järgmised olukorrad, näiteks 6/10 = 3/5. Siis peaks see olema tõene (- 1) 6 10 = - 1 3 5, kuid - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 ja (- 1) 3 5 = (- 1 ) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

Murdastendajaga kraadi määratlus, mille esitlesime esimesena, on praktikas mugavam kasutada kui teist, seega jätkame selle kasutamist.

Definitsioon 6

Seega on positiivse arvu a astmeks murdeksponent m/n defineeritud kui 0 m n = 0 m n = 0. Negatiivse korral a tähistus a m n pole mõtet. Positiivsete murdeksponentide nulli võimsus m/n on defineeritud kui 0 m n = 0 m n = 0, negatiivsete murdeksponentide puhul ei määratle me nulli astet.

Järeldustes märgime, et vormile saab kirjutada mis tahes murdosa indikaatori seganumber, ja kujul kümnend: 5 1 , 7 , 3 2 5 - 2 3 7 .

Arvutamisel on parem asendada astendaja hariliku murruga ja seejärel kasutada astendaja definitsiooni murdosa astendajaga. Ülaltoodud näidete jaoks saame:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Mis on irratsionaalsete ja reaalsete eksponentide võimsused?

Mis on reaalarvud? Nende hulk sisaldab nii ratsionaalseid kui ka irratsionaalseid arve. Seetõttu, et mõista, mis on reaalse astendajaga aste, peame defineerima astmed ratsionaalse ja irratsionaalse astendajaga. Ratsionaalseid oleme juba eespool maininud. Käsitleme samm-sammult irratsionaalseid näitajaid.

Näide 5

Oletame, et meil on irratsionaalne arv a ja selle kümnendlähenduste jada a 0 , a 1 , a 2 , . . . . Näiteks võtame väärtuse a = 1,67175331. . . , Siis

a 0 = 1, 6, a 1 = 1, 67, a 2 = 1, 671, . . . , a 0 = 1,67, a 1 = 1,6717, a 2 = 1,671753, . . .

Lähenduste jadasid saame seostada kraadide jadaga a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . . Kui meenutada, mida me varem rääkisime arvude tõstmisest ratsionaalsete võimsusteni, siis saame nende võimsuste väärtused ise välja arvutada.

Võtame näiteks a = 3, siis a a 0 = 3 1, 67, a a 1 = 3 1, 6717, a a 2 = 3 1, 671753, . . . jne.

Astmete jada saab taandada arvuks, milleks saab astme väärtus alusega a ja irratsionaalse astendajaga a. Tulemuseks: aste, mille irratsionaalne astendaja on kujul 3 1, 67175331. . saab vähendada numbrini 6, 27.

Definitsioon 7

Positiivse arvu a võimsus irratsionaalse astendajaga a kirjutatakse a a . Selle väärtus on jada piir a a 0, a a 1, a a 2, . . . , kus a 0 , a 1 , a 2 , . . . on irratsionaalarvu a järjestikused kümnendarvud. Nullbaasiga kraadi saab määratleda ka positiivsete irratsionaalsete eksponentide jaoks, 0 a = 0 Niisiis, 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0. Kuid seda ei saa teha negatiivsete puhul, kuna näiteks väärtus 0 - 5, 0 - 2 π pole määratletud. Mis tahes irratsionaalse astmeni tõstetud ühik jääb näiteks ühikuks ja 1 2, 1 5 in 2 ja 1 - 5 võrdub 1-ga.

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Algebra ja kogu matemaatika üks peamisi omadusi on kraad. Muidugi saab 21. sajandil kõiki arvutusi teha veebikalkulaatoriga, kuid aju arenguks on parem õppida seda ise tegema.

Selles artiklis käsitleme selle määratluse kõige olulisemaid küsimusi. Nimelt mõistame, mis see üldiselt on ja millised on selle peamised funktsioonid, millised omadused on matemaatikas.

Vaatame näiteid, kuidas arvutamine välja näeb ja millised on põhivalemid. Vaatame põhilisi suuruste liike ja kuidas need erinevad teistest funktsioonidest.

Saame aru, kuidas selle koguse abil erinevaid probleeme lahendada. Näitame näidetega, kuidas tõsta nullvõimsusele, irratsionaalset, negatiivset jne.

Online astenduse kalkulaator

Mis on arvu aste

Mida tähendab väljend "tõsta arv astmeni"?

Arvu võimsus n on a suurusjärgu tegurite korrutis n korda järjest.

Matemaatiliselt näeb see välja selline:

a n = a * a * a * …a n .

Näiteks:

• 2 3 = 2 kolmandas astmes. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 sammuks. kaks = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 sammuks. neli = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 10 5 = 10 5 sammuga. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100 000;
• 10 4 = 10 4 sammuga. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10 000.

Allpool on tabel ruutude ja kuubikutega vahemikus 1 kuni 10.

Kraadide tabel 1 kuni 10

Allpool on toodud naturaalarvude tõstmise tulemused positiivseteks astmeteks - “1-lt 100-le”.

Kraadide omadused

Mis on sellisele matemaatilisele funktsioonile iseloomulik? Vaatame põhiomadusi.

Teadlased on kindlaks teinud järgmise kõikidele kraadidele iseloomulikud märgid:

• a n*a m = (a) (n+m);
• a n: a m = (a) (n-m);
• (a b) m = (a) (b*m) .

Kontrollime näidetega:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Teisest küljest 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.

Samamoodi: 2 3: 2 2 = 8 / 4 = 2. Muidu 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. Mis siis, kui see erineb? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Nagu näete, reeglid töötavad.

Aga mis sellest liitmise ja lahutamisega? See on lihtne. Kõigepealt tehakse astendamine ja seejärel liitmine ja lahutamine.

Vaatame näiteid:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 – 3 2 = 25 – 9 = 16. Pange tähele: reegel ei kehti, kui lahutate kõigepealt: (5 - 3) 2 = 2 2 = 4.

Kuid sel juhul peate esmalt arvutama liitmise, kuna sulgudes on toimingud: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Kuidas toota arvutused lähemalt rasked juhtumid ? Järjekord on sama:

• kui sulgudes on, peate nendega alustama;
• siis astendamine;
• seejärel sooritada korrutamise ja jagamise tehted;
• pärast liitmist, lahutamist.

On spetsiifilisi omadusi, mis ei ole iseloomulikud kõikidele kraadidele:

1. Arvu a n-s juur kraadini m kirjutatakse järgmiselt: a m / n.
2. Murru tõstmisel astmeks: seda protseduuri kohaldatakse nii lugeja kui ka nimetaja suhtes.
3. Teose ehitamisel erinevad numbrid astmele vastab avaldis nende arvude korrutusele antud astmega. See tähendab: (a * b) n = a n * b n .
4. Kui tõstate arvu negatiivsesse astmesse, peate 1 jagama sama sajandi arvuga, kuid "+" märgiga.
5. Kui murdosa nimetaja on negatiivse astmega, võrdub see avaldis lugeja ja nimetaja positiivse astme korrutisega.
6. Mis tahes arv astmeni 0 = 1 ja astmeni. 1 = iseendale.

Need reeglid on mõnel juhul olulised, käsitleme neid üksikasjalikumalt allpool.

Kraad negatiivse astendajaga

Mida teha miinuskraadiga, st kui indikaator on negatiivne?

Põhineb omadustel 4 ja 5(vt ülaltoodud punkti), selgub:

A (- n) = 1 / A n, 5 (-2) = 1/5 2 = 1/25.

Ja vastupidi:

1/A (- n) = A n, 1/2 (-3) = 2 3 = 8.

Mis siis, kui see on murdosa?

(A / B) (- n) = (B / A) n, (3/5) (-2) = (5/3) 2 = 25/9.

Kraad loomuliku indikaatoriga

Seda mõistetakse kraadina, mille eksponendid on võrdsed täisarvudega.

Asjad, mida meeles pidada:

A 0 = 1, 10 = 1; 2 0 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1... jne.

A1 = A, 11 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3... jne.

Lisaks, kui (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2...siis on tulemus plussmärgiga. Kui negatiivne arv tõstetakse paaritu astmeni, siis vastupidi.

Neile on iseloomulikud ka üldised omadused ja kõik ülalkirjeldatud spetsiifilised omadused.

Murdjärguline aste

Seda tüüpi saab kirjutada skeemina: A m / n. Loe järgmiselt: arvu A n-s juur astmeni m.

Murdnäidikuga saate teha mida iganes: seda vähendada, osadeks jagada, teisele astmele tõsta jne.

Kraad irratsionaalse astendajaga

Olgu α irratsionaalne arv ja A ˃ 0.

Et mõista kraadi olemust sellise indikaatoriga, Vaatame erinevaid võimalikke juhtumeid:

• A = 1. Tulemus on võrdne 1-ga. Kuna on olemas aksioom - 1 on kõigis astmetes võrdne ühega;

А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 – ratsionaalarvud;

• 0˂А˂1.

Sel juhul on see vastupidi: A r 2 ˂ A α ˂ A r 1 samadel tingimustel nagu teises lõigus.

Näiteks on eksponendiks arv π. See on ratsionaalne.

r 1 – antud juhul võrdub 3;

r 2 – võrdub 4-ga.

Siis, kui A = 1, 1 π = 1.

A = 2, siis 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4, 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, siis (½) 4˂ (½) π˂ (½) 3, 1/16˂ (½) π˂ 1/8.

Selliseid kraade iseloomustavad kõik matemaatilised tehted ja ülalkirjeldatud spetsiifilised omadused.

Järeldus

Teeme kokkuvõtte – milleks neid koguseid vaja on, millised on selliste funktsioonide eelised? Muidugi, esiteks lihtsustavad need matemaatikute ja programmeerijate elu näidete lahendamisel, kuna võimaldavad arvutusi minimeerida, algoritme lühendada, andmeid süstematiseerida ja palju muud.

Kus veel need teadmised kasuks võivad tulla? Igal ajal töötav eriala: meditsiin, farmakoloogia, hambaravi, ehitus, tehnoloogia, inseneriteadus, projekteerimine jne.

Kraadivalemid kasutatakse keeruliste avaldiste taandamise ja lihtsustamise protsessis, võrrandite ja võrratuste lahendamisel.

Number c on n-arvu aste a Millal:

Tehted kraadidega.

1. Kraadide korrutamisel sama alusega liidetakse nende näitajad:

a m·a n = a m + n .

2. Kraadide jagamisel sama alusega lahutatakse nende eksponendid:

3. Kahe või enama teguri korrutis on võrdne nende tegurite astmete korrutisega:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Murru aste võrdub dividendi ja jagaja astmete suhtega:

(a/b) n = a n/bn.

5. Tõsttes astme astmeks, korrutatakse eksponendid:

(a m) n = a m n .

Kõik ülaltoodud valemid kehtivad vasakult paremale ja vastupidi.

Näiteks. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operatsioonid juurtega.

1. Mitme teguri korrutis on võrdne nende tegurite juurte korrutisega:

2. Suhtarvu juur võrdub dividendi ja juurte jagaja suhtega:

3. Juure tõstmisel astmele piisab radikaalarvu tõstmisest selle astmeni:

4. Kui suurendate juure astet n kord ja samal ajal sisse ehitada n th aste on radikaalarv, siis juure väärtus ei muutu:

5. Kui vähendate juure astet n eemaldage samal ajal juur n-radikaalarvu astmes, siis juure väärtus ei muutu:

Negatiivse astendajaga kraad. Teatud mittepositiivse (täisarvulise) astendajaga arvu aste on defineeritud kui see, mis on jagatud sama arvu astmega, mille astendaja on võrdne absoluutväärtus mittepositiivne indikaator:

Valem a m:a n =a m - n saab kasutada mitte ainult m> n, aga ka koos m< n.

Näiteks. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Valemile a m:a n =a m - n muutus õiglaseks, kui m = n, on vajalik null kraadi olemasolu.

Kraad nullindeksiga. Iga arvu, mis ei ole võrdne nulliga ja mille astendaja on null, aste on võrdne ühega.

Näiteks. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Kraad murdarvulise astendajaga. Tõsta reaalarvu A kraadini m/n, peate juure ekstraheerima n aste m-selle arvu aste A.

Jätkates vestlust arvu võimsuse üle, on loogiline välja mõelda, kuidas võimsuse väärtust leida. Seda protsessi nimetatakse astendamine. Selles artiklis uurime, kuidas eksponentsimist tehakse, puudutades samal ajal kõiki võimalikke eksponente - loomulikke, täisarvulisi, ratsionaalseid ja irratsionaalseid. Ja traditsiooni kohaselt kaalume üksikasjalikult lahendusi numbrite suurendamise näidetele erinevatele võimudele.

Leheküljel navigeerimine.

Mida tähendab "astendamine"?

Alustuseks selgitame, mida nimetatakse eksponentsimiseks. Siin on asjakohane määratlus.

Definitsioon.

Astendamine- see on arvu astme väärtuse leidmine.

Seega on arvu a astme väärtuse leidmine eksponendiga r ja arvu a tõstmine astmele r sama asi. Näiteks kui ülesandeks on "arvuta võimsuse (0,5) väärtus 5", saab selle ümber sõnastada järgmiselt: "Tõstke arv 0,5 astmeni 5."

Nüüd saate minna otse reeglite juurde, mille järgi astendamine toimub.

Arvu tõstmine loomuliku astmeni

Praktikas rakendatakse võrdsust tavaliselt kujul . See tähendab, et arvu a tõstmisel murdarvuni m/n võetakse esmalt arvu a n-s juur, misjärel tõstetakse saadud tulemus täisarvuks m.

Vaatame näiteid murdarvulise astmeni tõstmise lahendustest.

Näide.

Arvutage kraadi väärtus.

Lahendus.

Näitame kahte lahendust.

Esimene viis. Murruastmelise astendajaga kraadi määratluse järgi. Arvutame juurmärgi all oleva kraadi väärtuse ja seejärel eraldame kuupjuur: .

Teine viis. Murruastendajaga astme määratluse järgi ja juurte omaduste põhjal on tõesed järgmised võrdsused: . Nüüd ekstraheerime juure , lõpuks tõstame selle täisarvuni .

Ilmselt langevad murdarvuni tõstmise tulemused kokku.

Vastus:

Pange tähele, et murdosa astendajat saab kirjutada kümnendmurruna või segaarvuna, sellistel juhtudel tuleks see asendada vastava hariliku murruga ja seejärel tõsta astmeni.

Näide.

Arvuta (44,89) 2.5.

Lahendus.

Kirjutame eksponendi vormile harilik murd(vajadusel vaadake artiklit): . Nüüd teostame tõstmise murdarvuni:

Vastus:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Olgu ka öeldud, et arvude tõstmine ratsionaalsete jõududeni on üsna töömahukas protsess(eriti kui murdosa astendaja lugeja ja nimetaja sisaldavad piisavalt suuri numbreid), mis toimub tavaliselt arvutitehnoloogia abil.

Selle punkti lõpetuseks peatume arvu nulli tõstmisel murdarvuni. Vormi nulli murdarvule andsime järgmise tähenduse: kui meil on , ja nulli juures m/n võimsust ei ole määratletud. Näiteks null kuni murdosa positiivne võimsus on null, . Ja null murdosa negatiivses astmes pole mõtet, näiteks avaldised 0 -4,3 ei oma mõtet.

Tõstmine irratsionaalseks jõuks

Mõnikord on vaja välja selgitada irratsionaalse astendajaga arvu astme väärtus. Sel juhul piisab praktilistel eesmärkidel tavaliselt teatud märgi täpsusega kraadi väärtuse hankimisest. Märgime kohe, et praktikas arvutatakse see väärtus elektrooniliste arvutite abil, kuna selle käsitsi irratsionaalse võimsuseni tõstmine nõuab palju tülikaid arvutusi. Kuid me kirjeldame siiski üldiselt toimingute olemust.

Arvu a astme ligikaudse väärtuse saamiseks irratsionaalse astendajaga võetakse astendaja mõni kümnendlik lähendus ja arvutatakse astme väärtus. See väärtus on arvu a astme ligikaudne väärtus irratsionaalse astendajaga. Mida täpsem on algselt võtta arvu kümnendlähendus, seda täpsem on lõpuks astme väärtus.

Näitena arvutame 2 astme ligikaudse väärtuse 1,174367... . Võtame järgmise kümnendarvutuse irratsionaalne näitaja: . Nüüd tõstame 2 ratsionaalse astmeni 1,17 (kirjeldasime selle protsessi olemust eelmises lõigus), saame 2 1,17 ≈2,250116. Seega 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Kui võtame näiteks irratsionaalse astendaja täpsema kümnendväärtuse, saame algse eksponendi täpsema väärtuse: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Viited.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matemaatika õpik 5. klassile. haridusasutused.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: õpik 7. klassile. haridusasutused.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: õpik 8. klassile. haridusasutused.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: õpik 9. klassile. haridusasutused.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. ja teised Algebra ja analüüsi alged: Õpik üldharidusasutuste 10. - 11. klassile.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemaatika (käsiraamat tehnikumidesse astujatele).