Funktsioon vormist kus kutsutakse ruutfunktsioon.

Ruutfunktsiooni graafik – parabool.

Vaatleme juhtumeid:

I CASE, KLASSIKALINE PARABOOL

See tähendab, ,

Ehitamiseks täitke tabel, asendades x väärtused valemiga:

Märgi punktid (0;0); (1; 1); (-1;1) jne. sisse koordinaattasand(mida väiksema sammu me võtame x väärtused (in antud juhul samm 1) ja mida rohkem x väärtusi võtame, seda sujuvam on kõver), saame parabooli:

On lihtne näha, et kui võtta juhtum , , , ehk siis saame parabooli, mis on sümmeetriline telje (oh) suhtes. Seda on lihtne kontrollida, täites sarnase tabeli:

II JUHTUM, „a” ERINEB ÜHIKUST

Mis juhtub, kui võtame , , ? Kuidas muutub parabooli käitumine? Title=" Renderdab QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

Esimesel pildil (vt ülal) on selgelt näha, et parabooli (1;1), (-1;1) punktid tabelist muudeti punktideks (1;4), (1;-4), see tähendab, et samade väärtuste korral korrutatakse iga punkti ordinaat 4-ga. See juhtub kõigi algse tabeli võtmepunktidega. Sarnaselt arutleme ka piltide 2 ja 3 puhul.

Ja kui parabool "muutub laiemaks" kui parabool:

Teeme kokkuvõtte:

1)Koefitsiendi märk määrab okste suuna. Title=" Renderdab QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Absoluutne väärtus koefitsient (moodul) vastutab parabooli “paisumise” ja “kokkusurumise” eest. Mida suurem , seda kitsam on parabool, mida väiksem on |a|, seda laiem on parabool.

III JUHTUM, ILMUB “C”.

Tutvustame nüüd mängu (st kaalume juhtumit, millal), vaatleme vormi paraboole. Pole raske arvata (alati võib viidata tabelile), et parabool nihkub mööda telge olenevalt märgist üles või alla:

IV KOHTUUR, ILMUB “b”.

Millal parabool "eraldub" teljest ja lõpuks "kõnnib" mööda kogu koordinaattasandit? Millal see lakkab olemast võrdne?

Siin vajame parabooli konstrueerimiseks tipu arvutamise valem: , .

Nii et praegusel hetkel (nagu punktis (0;0) uus süsteem koordinaadid) ehitame parabooli, mida saame juba teha. Kui käsitleme juhtumit, siis tipust paneme ühe ühikulise lõigu paremale, ühe üles, - saadud punkt on meie (samamoodi samm vasakule, samm üles on meie punkt); kui tegemist on näiteks, siis tipust paneme ühe ühikulise segmendi paremale, kaks - ülespoole jne.

Näiteks parabooli tipp:

Nüüd on peamine mõista, et selles tipus ehitame parabooli parabooli mustri järgi, sest meie puhul.

Parabooli konstrueerimisel pärast tipu koordinaatide leidmist vägaMugav on arvestada järgmiste punktidega:

1) parabool läheb kindlasti punktist läbi . Tõepoolest, asendades valemis x=0, saame, et . See tähendab, et parabooli ja telje (oy) lõikepunkti ordinaat on . Meie näites (ülal) lõikub parabool ordinaat punktis , kuna .

2) sümmeetriatelg paraboolid on sirgjoon, nii et kõik parabooli punktid on selle suhtes sümmeetrilised. Meie näites võtame kohe punkti (0; -2) ja ehitame selle sümmeetriliseks parabooli sümmeetriatelje suhtes, saame punkti (4; -2), mida parabool läbib.

3) Võrdsustades , saame teada parabooli ja telje (oh) lõikepunktid. Selleks lahendame võrrandi. Olenevalt diskriminandist saame ühe (, ), kaks ( title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . Eelmises näites ei ole meie diskriminandi juur konstrueerimisel täisarv, meil pole juuri mõtet leida, kuid me näeme selgelt, et meil on teljega (oh) kaks lõikepunkti; (alates title=" Renderdab QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Nii et teeme asja selgeks

Algoritm parabooli koostamiseks, kui see on antud kujul

1) määrake okste suund (a>0 – üles, a<0 – вниз)

2) leiame valemi , abil parabooli tipu koordinaadid.

3) leiame parabooli lõikepunkti teljega (oy) kasutades vaba liiget, konstrueerime selle punktiga sümmeetrilise punkti parabooli sümmeetriatelje suhtes (tuleb märkida, et juhtub, et märgistamine on kahjumlik näiteks see punkt, kuna väärtus on suur... jätame selle punkti vahele...)

4) Leitud punktis - parabooli tipus (nagu uue koordinaatsüsteemi punktis (0;0)) konstrueerime parabooli. If title=" Renderdab QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) Leiame parabooli lõikepunktid teljega (oy) (kui need pole veel “pinnale tulnud”) võrrandi lahendamisega

Näide 1

Näide 2

Märkus 1. Kui parabool on meile algselt antud kujul , kus on mõned arvud (näiteks ), siis on seda veelgi lihtsam konstrueerida, sest meile on juba antud tipu koordinaadid . Miks?

Võtame ruuttrinoomi ja isoleerime selles terve ruudu: Vaata, saime selle , . Sina ja mina nimetasime varem parabooli tipuks, see tähendab nüüd,.

Näiteks . Märgime tasapinnale parabooli tipu, saame aru, et oksad on suunatud allapoole, parabool on laienenud (suhtes ). See tähendab, et viime läbi punktid 1; 3; 4; 5 parabooli konstrueerimise algoritmist (vt eespool).

Märkus 2. Kui parabool on antud sellele sarnasel kujul (st esitatakse kahe lineaarse teguri korrutisena), siis näeme kohe parabooli ja telje (härg) lõikepunkte. Sel juhul – (0;0) ja (4;0). Ülejäänud osas tegutseme vastavalt algoritmile, avades sulgud.

Koolis matemaatikatundides oled juba tutvunud funktsiooni lihtsamate omaduste ja graafikuga y = x 2. Laiendame oma teadmisi ruutfunktsioon.

Ülesanne 1.

Joonistage funktsiooni graafik y = x 2. Skaala: 1 = 2 cm Märkige punkt Oy teljel F(0; 1/4). Mõõtke kompassi või pabeririba abil kaugus punktist F mingil hetkel M paraboolid. Seejärel kinnitage riba punktis M ja pöörake seda selle punkti ümber, kuni see on vertikaalne. Riba ots langeb veidi allapoole x-telge (Joonis 1). Märkige ribale, kui kaugele see ulatub x-teljelt. Nüüd võtke paraboolil veel üks punkt ja korrake mõõtmist uuesti. Kui kaugele on riba serv langenud allapoole x-telge?

Tulemus: olenemata sellest, millise punkti paraboolil y = x 2 te võtate, on kaugus sellest punktist punktini F(0; 1/4) suurem kui kaugus samast punktist abstsissteljeni alati sama arvu võrra - 1/4 võrra.

Võime öelda erinevalt: kaugus parabooli mis tahes punktist punktini (0; 1/4) on võrdne kaugusega parabooli samast punktist sirgeni y = -1/4. Seda imelist punkti F(0; 1/4) nimetatakse keskenduda paraboolid y = x 2 ja sirge y = -1/4 – koolijuhataja see parabool. Igal paraboolil on suund ja fookus.

Parabooli huvitavad omadused:

1. Parabooli mis tahes punkt on võrdsel kaugusel mingist punktist, mida nimetatakse parabooli fookuseks, ja mõnest sirgest, mida nimetatakse selle suunaks.

2. Kui pöörate parabooli ümber sümmeetriatelje (näiteks parabool y = x 2 ümber Oy telje), saate väga huvitava pinna, mida nimetatakse pöörde parabooliks.

Pöörlevas anumas oleva vedeliku pind on pöörlemisparaboloidi kujuga. Seda pinda näete, kui segate lusikaga intensiivselt mittetäielikus teeklaasis ja eemaldate seejärel lusika.

3. Kui viskad kivi horisondi suhtes teatud nurga all tühjasse, lendab see paraboolina (Joonis 2).

4. Kui lõikate koonuse pinda tasandiga, mis on paralleelne selle mõne generatriksiga, siis ristlõike tulemuseks on parabool (Joonis 3).

5. Lõbustusparkides korraldatakse vahel lõbusõite nimega Paraboloid of Wonders. Kõigile pöörleva paraboloidi sees seisjatele tundub, et ta seisab põrandal, samal ajal kui ülejäänud inimesed hoiavad kuidagi imekombel seintest kinni.

6. Peegeldavates teleskoopides kasutatakse ka paraboolpeegleid: teleskoobi peeglile langev kauge tähe valgus, mis tuleb paralleelkiirega, kogutakse fookusesse.

7. Kohtvalgustitel on tavaliselt paraboloidi kujuline peegel. Kui asetate valgusallika paraboloidi fookusesse, moodustavad paraboolpeeglist peegelduvad kiired paralleelse kiire.

Ruutfunktsiooni graafik

Matemaatikatundides õppisite, kuidas saada funktsiooni y = x 2 graafikust kujuga funktsioonide graafikud:

1) y = ax 2– graafiku y = x 2 venitamine piki Oy telge punktis |a| korda (koos |a|< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, riis. 4).

2) y = x 2 + n– graafiku nihe n ühiku võrra mööda Oy telge ja kui n > 0, siis on nihe ülespoole ja kui n< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).

3) y = (x + m) 2– graafiku nihe m ühiku võrra piki Ox-telge: kui m< 0, то вправо, а если m >0, siis vasakule, (Joonis 5).

4) y = -x 2– sümmeetriline kuva graafiku Ox-telje suhtes y = x 2 .

Vaatame funktsiooni joonistamist lähemalt y = a(x – m) 2 + n.

Ruutfunktsiooni kujul y = ax 2 + bx + c saab alati taandada kujule

y = a(x – m) 2 + n, kus m = -b/(2a), n = -(b 2 – 4ac)/(4a).

Tõestame seda.

Tõesti,

y = ax 2 + bx + c = a(x 2 + (b/a) x + c/a) =

A(x 2 + 2x · (b/a) + b 2 /(4a 2) – b 2 /(4a 2) + c/a) =

A((x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a 2)) = a(x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a).

Tutvustame uusi tähistusi.

Lase m = -b/(2a), A n = -(b 2 – 4ac)/(4a),

siis saame y = a(x – m) 2 + n või y – n = a(x – m) 2.

Teeme veel mõned asendused: olgu y – n = Y, x – m = X (*).

Siis saame funktsiooni Y = aX 2, mille graafik on parabool.

Parabooli tipp asub algpunktis. X = 0; Y = 0.

Asendades tipu koordinaadid arvuga (*), saame graafiku tipu koordinaadid y = a(x – m) 2 + n: x = m, y = n.

Seega selleks, et joonistada ruutfunktsioon, mis on esitatud kujul

y = a(x – m) 2 + n

teisenduste kaudu saate toimida järgmiselt:

a) joonistage funktsioon y = x 2 ;

b) paralleeltranslatsiooni teel piki Ox-telge m ühiku võrra ja piki Oy telge n ühiku võrra - viige parabooli tipp lähtepunktist koordinaatidega punkti (m; n) (Joonis 6).

Teisenduste salvestamine:

y = x 2 → y = (x – m) 2 → y = a(x – m) 2 → y = a(x – m) 2 + n.

Näide.

Koostage teisenduste abil funktsiooni y = 2(x – 3) 2 graafik Descartes'i koordinaatsüsteemis – 2.

Lahendus.

Teisenduste ahel:

y = x 2 (1) → y = (x – 3) 2 (2) → y = 2(x – 3) 2 (3) → y = 2 (x – 3) 2 – 2 (4) .

Joonistus on näidatud riis. 7.

Ruutfunktsioonide graafikuid saate ise harjutada. Näiteks koostage teisenduste abil ühes koordinaatsüsteemis graafik funktsioonist y = 2(x + 3) 2 + 2 Kui teil on küsimusi või soovite saada nõu õpetajalt, siis on teil võimalus läbi viia tasuta 25-minutiline õppetund online juhendajaga peale registreerimist. Sest edasine töö Koos õpetajaga saate valida endale sobiva tariifiplaani.

Kas teil on endiselt küsimusi? Kas te ei tea, kuidas ruutfunktsiooni joonistada?
Juhendajalt abi saamiseks registreeruge.
Esimene tund on tasuta!

veebilehel, materjali täielikul või osalisel kopeerimisel on vajalik link allikale.

Olulised märkused!
1. Kui näete valemite asemel gobbledygooki, tühjendage vahemälu. Kuidas seda brauseris teha, on kirjutatud siin:
2. Enne artikli lugemise alustamist pöörake tähelepanu meie navigaatorile, et leida kõige kasulikumad vahendid

Siin kirjutatava mõistmiseks peate hästi teadma, mis on ruutfunktsioon ja millega seda kasutatakse. Kui peate end ruutfunktsioonide osas professionaaliks, tere tulemast. Aga kui ei, siis peaksite teemat lugema.

Alustame väikesest kontrollid:

1. Kuidas ruutfunktsioon üldkujul (valemil) välja näeb?
2. Kuidas nimetatakse ruutfunktsiooni graafikut?
3. Kuidas mõjutab juhtkoefitsient ruutfunktsiooni graafikut?

Kui suutsite neile küsimustele kohe vastata, jätkake lugemist. Kui vähemalt üks küsimus tekitas raskusi, minge aadressile.

Niisiis, teate juba, kuidas ruutfunktsiooni käsitleda, selle graafikut analüüsida ja punktide kaupa graafikut koostada.

Noh, siin see on: .

Meenutagem lühidalt, mida nad teevad koefitsiendid.

1. Juhtkoefitsient vastutab parabooli “järsuse” ehk teisisõnu selle laiuse eest: mida suurem, seda kitsam on parabool (järsem) ja mida väiksem, seda laiem (lamedam).
2. Vaba liige on parabooli ja ordinaattelje lõikepunkti koordinaat.
3. Ja koefitsient vastutab kuidagi parabooli nihke eest koordinaatide keskpunktist. Räägime sellest nüüd üksikasjalikumalt.

Kust me alati parabooli ehitama hakkame? Mis on selle eristav punkt?

See tipp. Kas mäletate, kuidas leida tipu koordinaate?

Abstsissi otsitakse järgmise valemi abil:

Niimoodi: kui rohkem, need vasakule parabooli tipp liigub.

Tipu ordinaadi saab leida, asendades funktsiooniga:

Asendage see ise ja arvutage. Mis juhtus?

Kui teete kõik õigesti ja lihtsustate saadud avaldist nii palju kui võimalik, saate:

Selgub, et mida rohkem modulo, need kõrgemale tahe tipp paraboolid.

Liigume lõpuks graafiku joonistamise juurde.
Lihtsaim viis on ehitada parabool, alustades ülalt.

Näide:

Koostage funktsiooni graafik.

Lahendus:

Esiteks määrame koefitsiendid: .

Nüüd arvutame tipu koordinaadid:

Nüüd pidage meeles: kõik sama juhtkoefitsiendiga paraboolid näevad välja ühesugused. See tähendab, et kui koostame parabooli ja liigutame selle tipu punkti, saame vajaliku graafiku:

Lihtne, eks?

Jääb vaid üks küsimus: kuidas kiiresti parabooli joonistada? Isegi kui joonistame parabooli, mille tipp on algpunktis, peame selle ikkagi punkt-punkti haaval üles ehitama ja see on pikk ja ebamugav. Aga kõik paraboolid näevad välja ühesugused, äkki on kuidagi võimalik nende joonistamist kiirendada?

Kui ma koolis käisin, käskis mu matemaatikaõpetaja kõigil papist välja lõigata paraboolikujuline šabloon, et nad saaksid selle kiiresti joonistada. Kuid te ei saa igal pool šablooniga ringi käia ja eksamile ei lubata. See tähendab, et me ei kasuta võõrkehi, vaid otsime mustrit.

Vaatleme kõige lihtsamat parabooli. Ehitame selle punkt-punkti haaval:

See on siin muster. Kui tipust nihkume paremale (piki telge) võrra ja üles (piki telge) võrra, siis jõuame parabooli punktini. Edasi: kui sellest punktist liigume paremale ja ülespoole, jõuame jälle parabooli punkti. Järgmine: otse sisse ja üles. Mis edasi? Otse peale ja üles. Ja nii edasi: liigutage üks paremale ja järgmine paaritu number üles. Siis teeme sama vasaku haruga (parabool on ju sümmeetriline, see tähendab, et selle oksad näevad välja samad):

Suurepärane, see aitab teil konstrueerida mis tahes parabooli tipust, mille juhtkoefitsient on võrdne. Näiteks saime teada, et parabooli tipp asub punktis. Ehitage (ise, paberil) see parabool.

Ehitatud?

See peaks välja nägema selline:

Nüüd ühendame saadud punktid:

See on kõik.

Noh, nüüd saame ehitada ainult paraboole?

Muidugi mitte. Nüüd mõtleme välja, mida nendega teha, kui.

Vaatame mõnda tüüpilist juhtumit.

Suurepärane, õppisite parabooli joonistama, nüüd harjutame reaalsete funktsioonide kasutamist.

Niisiis, joonistage nende funktsioonide graafikud:

Vastused:

3. Ülemine: .

Kas mäletate, mida teha, kui vanemkoefitsient on väiksem?

Vaatame murdosa nimetajat: see on võrdne. Niisiis, liigume järgmiselt:

• paremale - üles
• paremale - üles
• paremale - üles

ja ka vasakule:

4. Ülemine: .

Oh, mida me saame sellega teha? Kuidas mõõta rakke, kui tipp on kuskil joonte vahel?..

Ja me petame. Esmalt joonistame parabooli ja alles siis liigutame selle tipu punkti. Ei, teeme midagi veelgi kavalamat: joonistame parabooli ja siis liigutage telgi:- sees alla, a - sees õige:

See tehnika on iga parabooli puhul väga mugav, pidage meeles.

Lubage mul teile meelde tuletada, et saame funktsiooni esitada järgmisel kujul:

Näiteks:.

Mida see meile annab?

Fakt on see, et sulgudes () lahutatud arv on parabooli tipu abstsiss ja sulgudest välja jääv termin () on tipu ordinaat.

See tähendab, et pärast parabooli konstrueerimist vajate lihtsalt liigutage telge vasakule ja telge alla.

Näide: koostame funktsiooni graafiku.

Valime terve ruudu:

Mis number maha arvata sulgudes olevast? See (ja mitte see, kuidas saate ilma mõtlemata otsustada).

Niisiis, ehitame parabooli:

Nüüd nihutame telge alla, see tähendab üles:

Ja nüüd - vasakule, see tähendab paremale:

See on kõik. See on sama, mis parabooli liigutamine oma tipuga lähtepunktist punkti, ainult sirget telge on palju lihtsam liigutada kui kõverat parabooli.

Nüüd, nagu tavaliselt, mina:

Ja ärge unustage vanu telgesid kustutuskummiga kustutada!

Ma olen nagu vastuseid Kontrollimiseks kirjutan teile nende paraboolide tippude ordinaadid:

Kas kõik sai kokku?

Kui jah, siis oled suurepärane! Parabooli käsitsemise teadmine on väga oluline ja kasulik ning siin saime teada, et see pole üldse raske.

RUUTFUNKTSIOONI GRAAFIKU KONSTRUKTSIOON. LÜHIDALT PEAMISEST

Ruutfunktsioon - vormi funktsioon, kus ja on suvalised arvud (koefitsiendid), - vaba liige.

Ruutfunktsiooni graafik on parabool.

Parabooli tipp:
, st. mida suurem on \displaystyle b , seda rohkem vasakule liigub parabooli tipp.
Asendame selle funktsiooniga ja saame:
, st. \displaystyle b on absoluutväärtuses suurem, seda kõrgem on parabooli tipp

Vaba liige on parabooli ja ordinaattelje lõikepunkti koordinaat.

Noh, teema on läbi. Kui loete neid ridu, tähendab see, et olete väga lahe.

Sest ainult 5% inimestest on võimelised ise midagi meisterdama. Ja kui sa loed lõpuni, siis oled selle 5% sees!

Nüüd kõige tähtsam.

Olete selle teema teooriast aru saanud. Ja kordan, see... see on lihtsalt super! Oled niigi parem kui valdav enamus oma eakaaslastest.

Probleem on selles, et sellest ei pruugi piisata...

mille eest?

Edukaks ühtse riigieksami sooritamine, eelarvega kolledžisse sisseastumiseks ja, MIS TÄHTIS, eluks ajaks.

Ma ei veena sind milleski, ütlen vaid üht...

Inimesed, kes said hea haridus, teenivad palju rohkem kui need, kes seda ei saanud. See on statistika.

Kuid see pole peamine.

Peaasi, et nad on ROHKEM ÕNNELIKUD (sellised uuringud on olemas). Võib-olla sellepärast, et nende ees avaneb palju rohkem võimalusi ja elu muutub helgemaks? Ei tea...

Aga mõelge ise...

Mida on vaja selleks, et olla ühtsel riigieksamil teistest parem ja lõpuks... õnnelikum?

SELLEL TEEMAL PROBLEEMIDE LAHENDAMISEGA VÕITA OMA KÄSI.

Eksami ajal teooriat ei küsita.

Sul läheb vaja lahendada probleeme ajaga.

Ja kui te pole neid lahendanud (PALJU!), teete kindlasti kuskil rumala vea või teil pole lihtsalt aega.

See on nagu spordis – seda on vaja mitu korda korrata, et kindlalt võita.

Leidke kollektsioon kust iganes soovite, tingimata lahendustega, üksikasjalik analüüs ja otsusta, otsusta, otsusta!

Võite kasutada meie ülesandeid (valikuline) ja me loomulikult soovitame neid.

Meie ülesannete paremaks kasutamiseks peate aitama pikendada praegu loetava YouCleveri õpiku eluiga.

Kuidas? On kaks võimalust.

1. Avage kõik selles artiklis peidetud toimingud -
2. Avage juurdepääs kõigile peidetud ülesannetele kõigis õpiku 99 artiklis - Osta õpik - 499 RUR

Jah, meil on õpikus 99 sellist artiklit ja juurdepääs kõigile ülesannetele ja kõigile peidetud tekstid neid saab kohe avada.

Juurdepääs kõigile peidetud ülesannetele on tagatud saidi KOGU eluea jooksul.

Ja kokkuvõtteks...

Kui teile meie ülesanded ei meeldi, otsige teisi. Ärge lihtsalt peatuge teoorial.

“Arusaadav” ja “ma oskan lahendada” on täiesti erinevad oskused. Teil on mõlemat vaja.

Leia probleemid ja lahenda need!