Töö tekst postitatakse ilma piltide ja valemiteta.
Täisversioon töö on PDF-vormingus saadaval vahekaardil "Tööfailid".

Sissejuhatus

Võib-olla olete täiskasvanute kõnes kuulnud järgmist fraasi: "Jäta mulle oma koordinaadid." See väljend tähendab, et vestluskaaslane peab jätma oma aadressi või telefoninumbri, kuhu ta on leitav. Need, kes mängisid “merelahingut”, kasutasid vastavat koordinaatsüsteemi. Sarnast koordinaatsüsteemi kasutatakse males. Kohad sisse auditoorium kino on määratud kahe numbriga: esimene number tähistab rea numbrit ja teine ​​selle rea istekoha numbrit. Idee määrata punkti asukoht tasapinnal numbrite abil tekkis iidsetel aegadel. Koordinaatsüsteem läbib kogu inimese praktilist elu ja sellel on tohutu praktiline rakendus. Seetõttu otsustasime luua selle projekti, et laiendada oma teadmisi sellel teemal " Koordinaatide tasapind»

Projekti eesmärgid:

tutvuda tasapinnal ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi tekkimise ajalooga;

selle teemaga seotud silmapaistvad tegelased;

huvitavat leida ajaloolised faktid;

taju koordinaate hästi kõrva järgi; teostama ehitusi selgelt ja täpselt;

valmistada ette esitlus.

I peatükk. Koordinaatide tasapind

Idee määrata punkti asukoht tasapinnal numbrite abil tekkis iidsetel aegadel - peamiselt astronoomide ja geograafide seas tähe- ja geograafiliste kaartide ja kalendrite koostamisel.

§1. Koordinaatide päritolu. Koordinaatide süsteem geograafias

200 aastat eKr võttis Kreeka teadlane Hipparkhos kasutusele geograafilised koordinaadid. Ta soovitas joonistada geograafilisele kaardile paralleelid ja meridiaanid ning märkida laius- ja pikkuskraad numbritega. Nende kahe numbri abil saate täpselt määrata saare, küla, mäe või kaevu asukoha kõrbes ja joonistada need kaardile või maakerale, olles õppinud kindlaks määrama avatud maailm laeva asukoha laius- ja pikkuskraad, said meremehed valida vajaliku suuna.

Idapikkus- ja põhjalaiuskraad on tähistatud plussmärgiga numbritega ning läänepikkus- ja lõunalaiuskraad on tähistatud miinusmärgiga numbritega. Seega identifitseerib märgiga numbrite paar üheselt maakera punkti.

Geograafiline laiuskraad? - nurk antud punktis oleva loodijoone ja ekvaatori tasapinna vahel, mõõdetuna 0 kuni 90 mõlemal pool ekvaatorit. Geograafiline pikkuskraad? - nurk läbiva meridiaani tasapinna vahel see punkt, ja meridiaani algustasand (vt Greenwichi meridiaan). Pikkuskraade 0 kuni 180 meridiaani algusest ida pool nimetatakse idapoolseks ja läände - lääneks.

Linnas teatud objekti leidmiseks piisab enamikul juhtudel selle aadressi teadmisest. Raskused tekivad siis, kui peate selgitama, kus näiteks suvila krunt, koht metsas. Geograafilised koordinaadid on universaalne vahend asukoha näitamiseks.

Kui lööb hädaolukord, peab inimene ennekõike suutma maastikul liikuda. Mõnikord on vaja määrata oma asukoha geograafilised koordinaadid, näiteks päästeteenistusele edastamiseks või muul eesmärgil.

Kaasaegne navigatsioon kasutab standardina ülemaailmset koordinaatide süsteemi WGS-84. Kõik Internetis leiduvad GPS-navigaatorid ja suuremad kartograafiaprojektid töötavad selles koordinaatsüsteemis. WGS-84 süsteemi koordinaadid on sama levinud ja kõigile mõistetavad kui universaalaeg. Töötamisel üldiselt kättesaadav täpsus geograafilised koordinaadid on maapinnal 5-10 meetrit.

Geograafilised koordinaadid on märgistatud numbrid (laiuskraad -90° kuni +90°, pikkuskraad -180° kuni +180°) ja neid saab kirjutada erinevaid vorme: kraadides (ddd.ddddd°); kraadid ja minutid (ddd° mm.mmm"); kraadid, minutid ja sekundid (ddd° mm" ss.s"). Salvestusvorme saab hõlpsasti üksteiseks teisendada (1 kraad = 60 minutit, 1 minut = 60 sekundit ) Koordinaatide märgi tähistamiseks kasutatakse sageli tähti, mis põhinevad põhisuundade nimetustel: N ja E - põhjalaius ja idapikkus - positiivsed numbrid, S ja W - lõunalaius ja läänepikkus - negatiivsed numbrid.

Koordinaatide salvestamise vorm kraadides on kõige mugavam käsitsi sisestamiseks ja ühtib arvu matemaatilise tähistusega. Paljudel juhtudel on eelistatud koordinaatide salvestamise vorm KRAADIDES JA MINUTITES. Klassikaline kuju koordinaatide salvestamine KRAADIDES, MINUTITES JA SEKUNDITES ei leia tegelikult erilist praktilist kasutust.

§2. Koordinaatide süsteem astronoomias. Müüdid tähtkujude kohta

Nagu eespool mainitud, tekkis astronoomidel iidsetel aegadel tähekaartide koostamisel idee määrata punkti asukoht tasapinnal numbrite abil. Inimesed pidid lugema aega, ennustama hooajalisi nähtusi (tõusud, hooajalised vihmad, üleujutused) ja pidid reisimise ajal maastikul navigeerima.

Astronoomia on teadus tähtedest, planeetidest, taevakehadest, nende ehitusest ja arengust.

Möödunud on tuhandeid aastaid, teadus on kaugele edasi astunud, kuid inimesed ei suuda ikka veel öise taeva ilult silmi pöörata.

Tähtkujud on tähistaeva alad, iseloomulikud kujundid, mille moodustavad heledad tähed. Kogu taevas on jagatud 88 tähtkujuks, mis muudavad tähtede vahel navigeerimise lihtsamaks. Enamik tähtkujude nimesid on pärit antiikajast.

Kõige kuulsam tähtkuju on Ursa Major. IN Vana-Egiptus seda kutsuti "Jõehobuseks" ja kasahhid nimetasid seda "hobuseks rihma otsas", kuigi väliselt ei meenuta tähtkuju ei üht ega teist looma. Kuidas see on?

Vanadel kreeklastel oli legend Suure ja Väikese Ursa tähtkujude kohta. Kõikvõimas jumal Zeus otsustas vastu viimase tahtmist abielluda kauni nümf Calistoga, jumalanna Aphrodite ühe teenijaga. Päästmaks Kalistot jumalanna tagakiusamisest, muutis Zeus Kalisto Suureks Ursaks, tema armastatud koerast Ursa Minoriks ja viis nad taevasse. Viige tähistaevast koordinaattasandile tähtkujud Suur- ja Väike-Ursa. . Igal Suure Vankri tähel on oma nimi.

URSA SUUREPÄRANE

Tunnen ära ämbri järgi!

Siin säravad seitse tähte

Siin on nende nimed:

DUBHE valgustab pimedust,

MERAK põleb tema kõrval,

Küljel on FEKDA koos MEGRETZiga,

Julge sell.

MEGRETZist väljumiseks

ALIOT asub

Ja tema taga – MITZAR ALCORIga

(Need kaks säravad üheskoos.)

Meie kulp sulgub

Võrreldamatu BENETNASH.

Ta osutab silmale

Tee tähtkujusse BOOTES,

Seal, kus särab kaunis ARCTURUS,

Kõik märkavad teda nüüd!

Mitte vähem ilus legend Cepheuse, Kassiopeia ja Andromeeda tähtkujude kohta.

Kunagi valitses Etioopiat kuningas Cepheus. Ühel päeval oli tema abikaasal, kuninganna Cassiopeial, ettevaatamatus näidata oma ilu mereelanikele - nereiididele. Viimane kaebas solvunult merejumal Poseidonile ning Cassiopeia jultumusest raevunud merede valitseja lasi Etioopia kallastele merekoletise – Vaala. Et päästa oma kuningriik hävingust, otsustas Cepheus oraakli nõuandel ohverdada koletisele ja anda talle oma armastatud tütre Andromeeda alla neelata. Ta aheldas Andromeeda rannikukalju külge ja jättis ta saatuse otsust ootama.

Ja sel ajal, teisel pool maailma, sooritas müütiline kangelane Perseus vapra vägiteo. Ta sisenes eraldatud saarele, kus elasid gorgonid – hämmastavad koletised naiste näol, kelle peas kubisesid juuste asemel maod. Gorgonite pilk oli nii kohutav, et kõik, keda nad vaatasid, muutusid silmapilkselt kiviks.

Kasutades ära nende koletiste und, lõikas Perseus ühel neist, Gorgon Medusa, pea maha. Sel hetkel lendas Medusa mahalõigatud kehast välja hobune Pegasus. Perseus haaras meduusil peast, hüppas Pegasusele peale ja tormas läbi õhu kodumaale. Üle Etioopia lennates nägi ta Andromeedat kivi külge aheldatuna. Sel hetkel oli vaal juba meresügavusest välja tulnud, valmistudes oma ohvrit alla neelama. Kuid Perseus, kes tormas Keithiga surelikku lahingusse, alistas koletise. Ta näitas Keithile meduuside pead, mis polnud veel oma jõudu kaotanud, ja koletis kivistus, muutudes saareks. Perseus andis Andromeeda ketist lahti võttes ta isale tagasi ja õnnest liigutatud Cepheus andis Andromeda Perseusele naiseks. Nii lõppes õnnelikult see lugu, mille peategelased asetasid vanad kreeklased taevasse.

Tähekaardilt ei leia mitte ainult Andromeeda koos isa, ema ja abikaasaga, vaid ka maagiline hobune Pegasus ja kõigi hädade süüdlane - koletis Keith.

Cetuse tähtkuju asub Pegasuse ja Andromeeda all. Kahjuks ei ole seda tähistatud iseloomulike eredate tähtedega ja seetõttu kuulub see väiksemate tähtkujude hulka.

§3. Ristkülikukujuliste koordinaatide idee kasutamine maalimisel.

Ühe Vana-Egiptuse matmiskambri seinal on kujutatud ristkülikukujuliste koordinaatide idee rakendamise jälgi ruudukujulise ruudustiku (paleti) kujul. Isa Ramsese püramiidi matmiskambris on seinal ruutude võrgustik. Nende abiga kantakse pilt suurendatud kujul üle. Renessansikunstnikud kasutasid ka ristkülikukujulist võre.

Sõna "perspektiiv" on ladina keeles "selgelt nägemine". IN kaunid kunstid lineaarne perspektiiv on objektide kujutis tasapinnal vastavalt nende suuruse nähtavatele muutustele. Alus kaasaegne teooria perspektiive panid renessansi suured kunstnikud - Leonardo da Vinci, Albrecht Durer jt. Üks Dureri gravüüridest (joonis 3) kujutab elust joonistamise meetodit läbi klaasi, millele on kantud nelinurkne ruudustik. Seda protsessi saab kirjeldada järgmiselt: kui seisad akna ees ja teed ilma vaatenurka muutmata ringi peale klaasile kõik, mis selle taga paistab, siis on saadud joonisel ruumi perspektiivpilt.

Egiptuse disainimeetodid, mis näivad põhinevat ruudukujulistel mustritel. Egiptuse kunstist on palju näiteid, mis näitavad, et kunstnikud ja skulptorid joonistasid kõigepealt seinale ruudustiku, mis tuli väljakujunenud proportsioonide säilitamiseks värvida või nikerdada. Nende võrgustike lihtsad arvulised seosed on kõigi suurepäraste asjade keskmes kunstiteosed egiptlased

Sama meetodit kasutasid paljud renessansiajastu kunstnikud, sealhulgas Leonardo da Vinci. Vana-Egiptuses kehastus see suures püramiidis, mida tugevdab selle tihe seos Marlborough Downi mustriga.

Tööd alustades vooderdas Egiptuse kunstnik seina sirgjoonte ruudustikuga ja kandis seejärel ettevaatlikult sellele figuurid. Kuid geomeetriline korrastatus ei takistanud tal loodust üksikasjaliku täpsusega uuesti loomast. Iga kala ja iga linnu välimus on edasi antud nii tõetruult, et tänapäeva zooloogid suudavad nende liigi hõlpsasti määrata. Joonisel 4 on kujutatud kompositsiooni detaili illustratsioonilt – Khnumhotepi võrku sattunud puu lindudega. Kunstniku käe liikumist ei juhtinud mitte ainult tema oskuste tagavara, vaid ka looduse piirjoonte suhtes tundlik silm.

Joon.4 Linnud akaatsial

II peatükk. Koordinaatide meetod matemaatikas

§1. Koordinaatide rakendamine matemaatikas. Teenete

Prantsuse matemaatik René Descartes

Pikaks ajaks Ainult geograafia - "maakirjeldus" - kasutas seda imelist leiutist ja alles 14. sajandil püüdis prantsuse matemaatik Nicolas Oresme (1323-1382) rakendada seda "maa mõõtmise" - geomeetria - jaoks. Ta tegi ettepaneku katta lennuk ristkülikukujulise ruudustikuga ja nimetada laius- ja pikkuskraadiks seda, mida me praegu nimetame abstsissiks ja ordinaadiks.

Selle eduka uuenduse põhjal tekkis koordinaatide meetod, mis seob geomeetria algebraga. Selle meetodi loomise peamine tunnustus kuulub suurele prantsuse matemaatikule Rene Descartes'ile (1596–1650). Tema auks nimetatakse sellist koordinaatide süsteemi Descartes'iks, mis näitab tasapinna mis tahes punkti asukohta kauguste järgi sellest punktist nulllaiuskraadini - abstsisstelje ja nullmeridiaani - ordinaatteljeni.

See 17. sajandi (1596 - 1650) hiilgav prantsuse teadlane ja mõtleja ei leidnud aga elus kohe oma kohta. Aadliperekonnas sündinud Descartes sai hea haridus. 1606. aastal saatis isa ta La Flèche'i jesuiitide kolledžisse. Arvestades Descartes'i mitte eriti head tervist, tehti talle selle ranges režiimis mõningaid mööndusi õppeasutus, näiteks lubati neil teistest hiljem tõusta. Kolledžis palju teadmisi omandanud Descartes oli samal ajal läbi imbunud antipaatiast skolastilise filosoofia vastu, mida ta säilitas kogu oma elu.

Pärast kolledži lõpetamist jätkas Descartes oma haridusteed. 1616. aastal sai ta Poitiers' ülikoolis bakalaureusekraadi õigusteaduses. Aastal 1617 astus Descartes sõjaväkke ja reisis palju kogu Euroopas.

Aasta 1619 osutus Descartes'i jaoks teaduslikult võtmeaastaks.

Just sel ajal, nagu ta ise oma päevikus kirjutas, avastati talle uue "kõige hämmastavama teaduse" alused. Tõenäoliselt pidas Descartes silmas universaali avastamist teaduslik meetod, mida ta hiljem viljakalt rakendas erinevatel erialadel.

1620. aastatel kohtus Descartes matemaatik M. Mersenne'iga, kelle kaudu ta paljudeks aastateks"hoidis ühendust" kogu Euroopa teadusringkonnaga.

1628. aastal asus Descartes üle 15 aasta Hollandisse elama, kuid ei asunud elama ühte kohta, vaid vahetas oma elukohta umbes kakskümmend korda.

Aastal 1633, saades teada, et kirik mõistis Galilei hukka, keeldus Descartes avaldamast oma loodusfilosoofilist teost “Maailm”, mis visandas universumi loomuliku päritolu ideid vastavalt mateeria mehaanilistele seadustele.

Aastal 1637 prantsuse keel Ilmub Descartes’i teos “Discourse on Method”, millest, nagu paljud arvavad, sai alguse kaasaegne Euroopa filosoofia.

Descartes'i viimane filosoofiline teos, 1649. aastal ilmunud "Hinge kired" avaldas samuti suurt mõju Euroopa mõtteviisile Samal aastal läks Descartes Rootsi kuninganna Christina kutsel Rootsi. Karm kliima ja ebatavaline režiim (kuninganna sundis Descartes'i tundide andmiseks ja muude ülesannete täitmiseks tõusma kell 5 hommikul) kahjustasid Descartes'i tervist ja külmetunud.

suri kopsupõletikku.

Descartes’i juurutatud traditsiooni kohaselt tähistatakse punkti “laiuskraad” tähega x, “pikkuskraad” tähega y.

Sellel süsteemil põhinevad paljud koha märkimise viisid.

Näiteks kinopiletil on kaks numbrit: rida ja iste – neid võib pidada teatri istme koordinaatideks.

Sarnaseid koordinaate aktsepteeritakse ka males. Ühe numbri asemel võetakse täht: vertikaalsed lahtriread on tähistatud tähtedega Ladina tähestik, ja horisontaalsed - numbrites. Seega on igale malelaua ruudule määratud tähtede ja numbrite paar ning maletajad saavad oma partiid salvestada. Konstantin Simonov kirjutab koordinaatide kasutamisest oma luuletuses “Kahurväelase poeg”.

Terve öö kõndides nagu pendel,

Major ei sulgenud silmi,

Hüvasti hommikul raadiost

Esimene signaal tuli:

"Pole midagi, ma jõudsin kohale,

Sakslased on minust vasakul,

Koordinaadid (3;10),

Paneme varsti põlema!

Relvad on laetud

Major arvutas kõik ise välja.

Ja mürinaga esimesed volled

Nad tabasid mägesid.

Ja jälle signaal raadiost:

"Sakslastel on rohkem õigus kui minul,

Koordinaadid (5; 10),

Varsti rohkem tulekahju!

Maa ja kivid lendasid,

Suits tõusis kolonnis.

Tundus, et nüüd sealt

Keegi ei lahku elusalt.

Kolmas raadiosignaal:

"Sakslased on mu ümber,

Koordinaadid (4; 10),

Ärge säästke tuld.

Major muutus kahvatuks, kui kuulis:

(4;10) - lihtsalt

Koht, kus tema Lyonka

Peab nüüd istuma.

Konstantin Simonov "Kahuriväe poeg"

§2. Legendid koordinaatsüsteemi leiutamisest

Descartes'i nime kandva koordinaatsüsteemi leiutamise kohta on mitu legendi.

Legend 1

See lugu on jõudnud meie aegadesse.

Pariisi teatreid külastades ei väsinud Descartes end üllatamast segadusest, nääklemisest ja mõnikord ka väljakutsetest duellile, mille põhjustas publiku jaotuse elementaarne järjekord auditooriumis. Tema pakutud nummerdamissüsteem, kus iga iste sai äärest reanumbri ja seerianumbri, eemaldas kohe kõik tülide põhjused ja tekitas Pariisi kõrgseltskonnas tõelise sensatsiooni.

Legend 2. Ühel päeval lamas Rene Descartes terve päeva voodis ja mõtles millelegi ning kärbes sumises ringi ega lasknud tal keskenduda. Ta hakkas mõtlema, kuidas kirjeldada matemaatiliselt kärbse asukohta suvalisel ajahetkel, et oleks võimalik seda ilma eksimata lüüa. Ja...ta mõtles välja Descartes'i koordinaadid, mis on üks suurimaid leiutisi inimkonna ajaloos.

Markovtsev Yu.

Kunagi ammu võõras linnas

Noor Descartes saabus.

Teda piinas kohutavalt nälg.

Oli jahe märtsikuu.

Otsustasin ühelt möödujalt küsida

Descartes, püüdes värinat vaigistada:

Kus hotell on, ütle mulle?

Ja daam hakkas seletama:

- Mine piimapoodi

Siis pagariärisse, selle taha

Mustlanna müüb nööpnõelad

Ja mürk rottidele ja hiirtele,

Te leiate need kindlasti

Juustud, küpsised, puuviljad

Ja värvilised siidid...

Ma kuulasin kõiki neid seletusi

Descartes, külmast värisemas.

Ta tahtis väga süüa

- Kaupluste taga on apteek

(seal apteeker on vuntsidega rootslane),

Ja kirik, kus sajandi alguses

Tundub, et mu vanaisa abiellus...

Kui proua hetkeks vait jäi,

Äkitselt ütles tema teenija:

- Kõndige otse kolm kvartalit

Ja kaks paremale. Sissepääs nurgast.

See on kolmas lugu juhtumist, mis andis Descartesile idee koordinaatidest.

Järeldus

Oma projekti luues õppisime tundma koordinaattasandi kasutamist erinevates teadusvaldkondades ja igapäevaelu, veidi teavet koordinaattasandi päritolu ajaloost ja matemaatikutest, kes andsid sellesse leiutisse suure panuse. Materjali, mida töö kirjutamise käigus kogusime, saab kasutada kooliklubi tundides kui lisamaterjal tundidesse. Kõik see võib kooliõpilastele huvi pakkuda ja õppeprotsessi elavdada.

Ja me tahaksime lõpetada nende sõnadega:

"Kujutage oma elu ette koordinaattasandina. Y-telg on teie positsioon ühiskonnas. X-telg liigub edasi, eesmärgi poole, sinu unistuse poole. Ja nagu me teame, on see lõputu... me võime alla kukkuda, minnes aina kaugemale miinusesse, võime jääda nulli ja teha mitte midagi, absoluutselt mitte midagi. Me võime tõusta üles, kukkuda, minna edasi või tagasi ja kõik sellepärast, et kogu meie elu on koordinaattasand ja siin on kõige tähtsam, milline on teie koordinaat..."

Kasutatud kirjanduse loetelu

Glazer G.I. Matemaatika ajalugu koolis: - M.: Prosveshchenie, 1981. - 239 lk., ill.

Lyatker Ya A. Descartes. M.: Mysl, 1975. - (Minevikumõtlejad)

Matvievskaja G. P. Rene Descartes, 1596-1650. M.: Nauka, 1976.

A. Savin. Koordinaadid Kvant. 1977. nr 9

Matemaatika - ajalehe “Esimene september” lisa, nr 7, nr 20, nr 17, 2003, nr 11, 2000.

Siegel F.Yu. Tärnitähestik: käsiraamat õpilastele. - M.: Haridus, 1981. - 191 lk, illus.

Steve Parker, Nicholas Harris. Illustreeritud entsüklopeedia lastele. Universumi saladused. Harkov Belgorod. 2008

Materjalid saidilt http://istina.rin.ru/

Lennukis. Olgu üks x, teine ​​y. Ja olgu need sirged üksteisega risti (st ristuvad täisnurga all). Veelgi enam, nende ristumispunkt on mõlema sirge koordinaatide alguspunkt ja ühikuline segment on sama (joonis 1).

Nii et saime ristkülikukujuline koordinaatsüsteem, ja meie lennukist on saanud koordinaattasapind. Sirgeid x ja y nimetatakse koordinaattelgedeks. Veelgi enam, x-telg on abstsisstellg ja y-telg on ordinaattelg. Sellist tasapinda tähistatakse tavaliselt telgede nimetuste ja võrdluspunktiga - xOy. Nimetatakse ka ristkülikukujulist koordinaatsüsteemi Descartes'i koordinaatsüsteem, kuna prantsuse matemaatik ja filosoof Rene Descartes hakkas seda esimest korda aktiivselt kasutama.

Täisnurgad nimetatakse sirgetest x ja y moodustatud sirgetest koordinaatnurgad. Igal nurgal on oma number, nagu on näidatud joonisel fig. 2.

Niisiis, kui me rääkisime koordinaatjoonest, oli igal selle sirge punktil üks koordinaat. Nüüd see me räägime koordinaattasandi kohta, siis on selle tasandi igal punktil juba kaks koordinaati. Üks vastab sirgele x (seda koordinaati nimetatakse abstsiss), teine ​​vastab sirgele y (seda koordinaati nimetatakse ordinaat). See on kirjutatud järgmiselt: M(x;y), kus x on abstsiss ja y on ordinaat. Loe järgmiselt: "Punkt M koordinaatidega x, y."

Kuidas määrata tasapinna punkti koordinaate?
Nüüd teame, et igal tasapinna punktil on kaks koordinaati. Selle koordinaatide väljaselgitamiseks peame lihtsalt läbi selle punkti tõmbama kaks sirgjoont, mis on risti koordinaatide telgedega. Nende joonte lõikepunktid koordinaatide telgedega on nõutavad koordinaadid. Nii näiteks joonisel fig. 3 tegime kindlaks, et punkti M koordinaadid on 5 ja 3.

Kuidas konstrueerida tasapinnale punkti, kasutades selle koordinaate?
Juhtub ka seda, et me juba teame tasapinna punkti koordinaate. Ja me peame leidma selle asukoha. Oletame, et punkti koordinaadid on (-2;5). See tähendab, et abstsiss on võrdne -2 ja ordinaat on 5. Võtke x-joonel (abstsisstelljel) punkt koordinaadiga -2 ja tõmmake selle kaudu y-teljega paralleelne sirgjoon a. Pange tähele, et selle sirge mis tahes punkti abstsiss on võrdne -2-ga. Nüüd leiame y-teljel (ordinaatteljel) punkti koordinaadiga 5 ja joonestame selle kaudu paralleelselt x-teljega sirge b. Pange tähele, et selle sirge mis tahes punkti ordinaat on 5. Sirgete a ja b ristumiskohas on punkt koordinaatidega (-2;5). Tähistame seda tähega P (joon. 4).

Lisagem veel, et sirge a, mille kõikidel punktidel on abstsiss -2, annab võrrand
x = -2 või et x = -2 on sirge a võrrand. Mugavuse huvides võime öelda mitte "sirge, mis saadakse võrrandiga x = -2", vaid lihtsalt "sirge x = -2". Tõepoolest, sirge a mis tahes punkti puhul on võrdus x = -2 tõene. Ja sirge b, mille kõikidel punktidel on ordinaat 5, annab omakorda võrrand y = 5 või et y = 5 on sirge b võrrand.

Kui konstrueerida tasapinnale kaks vastastikku risti asetsevat arvtelge: HÄRG Ja OY, siis neile helistatakse koordinaatteljed. Horisontaalne telg HÄRG helistas x-telg(telg x), vertikaaltelg OY - y-telg(telg y).

Punkt O, mis seisab telgede ristumiskohas, nimetatakse päritolu. See on mõlema telje nullpunkt. Positiivsed numbrid on kujutatud abstsissteljel täppidega paremale ja ordinaatteljel punktidega alates null punkt. Negatiivsed arvud on kujutatud punktidega, mis jäävad koordinaatide (punktide) alguspunktist vasakule ja allapoole O). Nimetatakse tasapinda, millel asuvad koordinaatteljed koordinaattasand.

Koordinaatide teljed jagavad tasapinna neljaks osaks, nn kvartalites või kvadrandid. Need veerandid on tavaks nummerdada rooma numbritega selles järjekorras, nagu need on joonisel nummerdatud.

Tasapinna punkti koordinaadid

Kui võtame koordinaattasandil suvalise punkti A ja tõmmake sellest ristid koordinaattelgedele, siis langevad ristide alused kahele arvule. Arv, milleni kutsutakse vertikaalsed perpendikulaarsed punktid abstsisspunkt A. Arv, millega horisontaalsed risti punktid on - punkti ordinaat A.

Joonisel punkti abstsiss A on võrdne 3-ga ja ordinaat on 5.

Abstsissi ja ordinaati nimetatakse tasapinna antud punkti koordinaatideks.

Punkti koordinaadid kirjutatakse punkti tähistusest paremale sulgudesse. Kõigepealt kirjutatakse abstsiss, seejärel ordinaat. Nii et salvestage A(3; 5) tähendab, et punkti abstsiss A on võrdne kolmega ja ordinaat on viis.

Punkti koordinaadid on arvud, mis määravad selle asukoha tasapinnal.

Kui punkt asub abstsissteljel, siis on selle ordinaat null (näiteks punkt B koordinaatidega -2 ja 0). Kui punkt asub ordinaatteljel, on selle abstsiss võrdne nulliga (näiteks punkt C koordinaatidega 0 ja -4).

Päritolu - punkt O- mille abstsiss ja ordinaat on võrdsed nulliga: O (0; 0).

Seda koordinaatsüsteemi nimetatakse ristkülikukujuline või Descartes.

§ 1 Koordinaadisüsteem: mõiste ja ehitusviis

Selles tunnis tutvume mõistetega “koordinaatsüsteem”, “koordinaattasand”, “koordinaatide teljed” ja õpime koordinaatide abil tasapinnal punkte konstrueerima.

Võtame koordinaatjoone x lähtepunktiga O, positiivse suuna ja ühikulise lõiguga.

Koordinaatide alguspunkti, koordinaatjoone x punkti O kaudu joonistame teise koordinaatjoone y, mis on risti x-ga, seame positiivse suuna ülespoole, ühiklõik on sama. Seega oleme loonud koordinaatide süsteemi.

Anname definitsiooni:

Kaks vastastikku risti asetsevat koordinaatjoont, mis ristuvad punktis, mis on nende mõlema koordinaatide alguspunkt, moodustavad koordinaatsüsteemi.

§ 2 Koordinaatide telg ja koordinaattasand

Koordinaatsüsteemi moodustavaid sirgeid nimetatakse koordinaattelgedeks, millest igaühel on oma nimi: koordinaatjoon x on abstsisstellg, koordinaatjoon y on ordinaattelg.

Tasapinda, millel koordinaatsüsteem on valitud, nimetatakse koordinaattasandiks.

Kirjeldatud koordinaatsüsteemi nimetatakse ristkülikukujuliseks. Seda nimetatakse sageli prantsuse filosoofi ja matemaatiku René Descartes'i auks Descartes'i koordinaatsüsteemiks.

Igal koordinaattasandi punktil on kaks koordinaati, mida saab määrata koordinaatide telje punktist risti langetades. Tasapinna punkti koordinaadid on arvupaar, millest esimene arv on abstsiss, teine ​​arv on ordinaat. Abstsiss on risti x-teljega, ordinaat on risti y-teljega.

Märgime koordinaattasandile punkti A ja tõmbame sealt ristid koordinaatsüsteemi telgedele.

Piki abstsissteljega risti (x-telg) määrame punkti A abstsissi, see võrdub 4-ga, punkti A ordinaat - piki ordinaatteljega risti (y-telg) on ​​3. Koordinaadid meie punktist on 4 ja 3. A (4;3). Seega võib koordinaadid leida igale punktile koordinaattasandil.

§ 3 Punkti ehitamine tasapinnal

Kuidas konstrueerida antud koordinaatidega tasapinnale punkt, s.t. Kasutades tasapinnal oleva punkti koordinaate, määrake selle asukoht? IN antud juhul toimingud tehakse sisse vastupidine järjekord. Sees koordinaatteljed leida vastavad punktid antud koordinaadid, mille kaudu tõmbame sirgjooned risti x- ja y-teljega. Perpendikulaaride lõikepunkt saab olema soovitud, st. etteantud koordinaatidega punkt.

Täidame ülesande: konstrueerime koordinaattasandile punkt M (2;-3).

Selleks tuleb leida x-teljel punkt koordinaadiga 2 ja läbi selle punkti tõmmata x-teljega risti olev sirge. Ordinaatteljel leiame punkti koordinaadiga -3, läbi selle tõmbame y-teljega risti oleva sirge. Perpendikulaarsete sirgete lõikepunktiks on antud punkt M.

Vaatame nüüd mõnda erijuhtumit.

Märgime koordinaattasandile punktid A (0; 2), B (0; -3), C (0; 4).

Nende punktide abstsissid on 0. Jooniselt on näha, et kõik punktid asuvad ordinaatteljel.

Järelikult asuvad punktid, mille abstsissid on võrdsed nulliga, ordinaatteljel.

Vahetame nende punktide koordinaadid.

Tulemuseks on A (2;0), B (-3;0) C (4; 0). Sel juhul on kõik ordinaadid võrdsed 0-ga ja punktid on x-teljel.

See tähendab, et punktid, mille ordinaadid on võrdsed nulliga, asuvad abstsissteljel.

Vaatame veel kahte juhtumit.

Märgi koordinaattasandile punktid M (3; 2), N (3; -1), P (3; -4).

Lihtne on märgata, et kõik punktide abstsissid on ühesugused. Kui need punktid on ühendatud, saate sirge, mis on paralleelne ordinaatteljega ja risti abstsissteljega.

Järeldus viitab iseenesest: punktid, millel on sama abstsiss, asuvad samal sirgel, mis on paralleelne ordinaatteljega ja risti abstsissteljega.

Kui vahetate punktide M, N, P koordinaadid, saate M (2; 3), N (-1; 3), P (-4; 3). Punktide ordinaadid on samad. Sel juhul, kui ühendate need punktid, saate sirge, mis on paralleelne abstsissteljega ja on risti ordinaatteljega.

Seega asuvad sama ordinaatpunktid samal sirgel, mis on paralleelne abstsissteljega ja on ordinaatteljega risti.

Selles õppetükis tutvusite mõistetega "koordinaatsüsteem", "koordinaattasand", "koordinaatide teljed - abstsisstelg ja ordinaattelg". Õppisime leidma koordinaatide tasapinnal oleva punkti koordinaate ja konstrueerima tasapinnal punkte selle koordinaatide abil.

Kasutatud kirjanduse loetelu:

1. matemaatika. 6. klass: I.I õpiku tunniplaanid. Zubareva, A.G. Mordkovich // autor-koostaja L.A. Topilina. - Mnemosyne, 2009.
2. matemaatika. 6. klass: õpik õpilastele haridusasutused. I. I. Zubareva, A. G. Mordkovich - M.: Mnemosyna, 2013.
3. matemaatika. 6. klass: õpik üldharidusasutustele/G.V. Dorofejev, I.F. Sharygin, S.B. Suvorov ja teised/toimetanud G.V. Dorofejeva, I.F. Sharygina; Venemaa Teaduste Akadeemia, Venemaa Haridusakadeemia. - M.: "Valgustus", 2010
4. Matemaatika käsiraamat - http://lyudmilanik.com.ua
5. Õpilase juhend keskkooli http://shkolo.ru

Matemaatika on üsna keeruline teadus. Seda õppides tuleb lisaks näidete ja ülesannete lahendamisele ka töötada erinevate kujundite ja isegi tasapindadega. Üks matemaatikas enim kasutatavaid on koordinaatide süsteem tasapinnal. Korralik töö Lapsi on temaga koos õpetatud rohkem kui aasta. Seetõttu on oluline teada, mis see on ja kuidas sellega õigesti töötada.

Mõelgem välja, mis see süsteem on, milliseid toiminguid saab selle abiga teha, samuti selgitame välja selle peamised omadused ja omadused.

Mõiste definitsioon

Koordinaattasand on tasapind, millel on määratud konkreetne koordinaatsüsteem. Selline tasapind on määratletud kahe sirgjoonega, mis ristuvad täisnurga all. Nende sirgete lõikepunktis on koordinaatide alguspunkt. Iga punkt koordinaattasandil on määratud arvupaariga, mida nimetatakse koordinaatideks.

IN koolikursus Matemaatikas peavad koolilapsed tegema koordinaatide süsteemiga üsna tihedat koostööd - ehitama sellele kujundeid ja punkte, määrama, millisele tasapinnale see või teine ​​koordinaat kuulub, samuti määrama punkti koordinaadid ja need kirjutama või nimetama. Seetõttu räägime üksikasjalikumalt kõigist koordinaatide omadustest. Kuid kõigepealt puudutame loomise ajalugu ja seejärel räägime sellest, kuidas töötada koordinaattasandil.

Ajalooline taust

Ideed koordinaatsüsteemi loomise kohta eksisteerisid juba Ptolemaiose ajal. Juba siis mõtlesid astronoomid ja matemaatikud, kuidas õppida tasapinnal punkti asukohta määrama. Kahjuks polnud tol ajal meile teadaolevat koordinaatsüsteemi ja teadlased pidid kasutama muid süsteeme.

Algselt määrasid nad punktid laius- ja pikkuskraadide abil. See oli pikka aega üks enim kasutatud meetodeid selle või teise teabe kaardile kandmiseks. Kuid 1637. aastal lõi Rene Descartes oma koordinaatide süsteemi, mis sai hiljem nime "Cartesiuse" järgi.

Juba sees XVII lõpp V. Mõistet “koordinaattasand” on matemaatika maailmas laialdaselt kasutatud. Hoolimata asjaolust, et selle süsteemi loomisest on möödunud mitu sajandit, kasutatakse seda endiselt laialdaselt matemaatikas ja isegi elus.

Näited koordinaattasandist

Enne teooriast rääkimist toome mõned visuaalsed näited koordinaattasandist, et saaksite seda ette kujutada. Koordinaatsüsteemi kasutatakse peamiselt males. Tahvlil on igal ruudul oma koordinaadid – üks koordinaat on tähestikuline, teine ​​digitaalne. Selle abil saate määrata konkreetse nupu asukoha laual.

Teine kõige silmatorkavam näide on armastatud mäng “Battleship”. Pidage meeles, kuidas mängides nimetate koordinaadi, näiteks B3, näidates nii täpselt, kuhu sihite. Samal ajal määrate laevade paigutamisel punktid koordinaattasandil.

Seda koordinaatide süsteemi kasutatakse laialdaselt mitte ainult matemaatikas ja loogikamängudes, vaid ka sõjanduses, astronoomias, füüsikas ja paljudes teistes teadustes.

Koordinaatide teljed

Nagu juba mainitud, on koordinaatsüsteemis kaks telge. Räägime neist veidi, kuna neil on märkimisväärne tähtsus.

Esimene telg on abstsiss – horisontaalne. Seda tähistatakse kui ( Ox). Teine telg on ordinaat, mis kulgeb vertikaalselt läbi võrdluspunkti ja on tähistatud kui ( Oy). Just need kaks telge moodustavad koordinaatsüsteemi, jagades tasapinna neljaks veerandiks. Algpunkt asub nende kahe telje ristumispunktis ja võtab väärtuse 0 . Ainult siis, kui tasapinna moodustavad kaks risti ristuvat telge, millel on võrdluspunkt, on see koordinaattasapind.

Pange tähele ka seda, et igal teljel on oma suund. Tavaliselt on koordinaatsüsteemi koostamisel tavaks näidata telje suunda noole kujul. Lisaks märgitakse koordinaattasandi konstrueerimisel iga telg.

Kvartalid

Nüüd ütleme paar sõna sellise mõiste kohta nagu koordinaattasandi veerandid. Lennuk on kahe teljega jagatud neljaks veerandiks. Igal neist on oma number ja lennukid on nummerdatud vastupäeva.

Igal kvartalil on oma eripärad. Niisiis, esimesel veerandil on abstsiss ja ordinaat positiivne, teisel veerandil on abstsiss negatiivne, ordinaat on positiivne, kolmandas on nii abstsiss kui ka ordinaat negatiivsed, neljandas on abstsiss positiivne ja ordinaat negatiivne .

Neid funktsioone meeles pidades saate hõlpsasti kindlaks teha, millisesse kvartalisse konkreetne punkt kuulub. Lisaks võib see teave olla teile kasulik, kui peate tegema arvutusi Descartes'i süsteemi abil.

Töö koordinaattasandiga

Kui oleme mõistnud tasapinna mõistet ja rääkinud selle veeranditest, saame liikuda edasi sellise probleemi juurde nagu selle süsteemiga töötamine ning rääkida ka sellest, kuidas sellele panna punkte ja kujundite koordinaate. Koordinaatide tasapinnal pole see nii keeruline, kui esmapilgul võib tunduda.

Esiteks on süsteem ise üles ehitatud, sellele kantakse kõik olulised tähised. Seejärel töötame otse punktide või kujunditega. Veelgi enam, isegi kujundite konstrueerimisel joonistatakse kõigepealt tasapinnale punktid ja seejärel joonistatakse joonised.

Reeglid lennuki ehitamiseks

Kui otsustate hakata paberile kujundeid ja punkte märkima, on teil vaja koordinaattasandit. Sellele kantakse punktide koordinaadid. Koordinaattasandi konstrueerimiseks on vaja ainult joonlauda ja pliiatsit või pliiatsit. Kõigepealt joonistatakse horisontaalne x-telg, seejärel vertikaaltelg. Oluline on meeles pidada, et teljed ristuvad täisnurga all.

Edasi kohustuslik ese on märgistamine. Igal teljel mõlemas suunas on üksuse segmendid märgistatud ja märgistatud. Seda tehakse selleks, et saaksite seejärel lennukiga maksimaalselt mugavalt töötada.

Märkige punkt

Nüüd räägime sellest, kuidas joonistada punktide koordinaate koordinaattasandil. Need on põhitõed, mida peate teadma erinevate kujundite edukaks paigutamiseks tasapinnale ja isegi võrrandite märgistamiseks.

Punktide koostamisel peaksite meeles pidama, kuidas nende koordinaadid on õigesti kirjutatud. Seega kirjutatakse punkti määramisel tavaliselt kaks numbrit sulgudesse. Esimene number tähistab punkti koordinaati piki abstsisstellge, teine ​​- piki ordinaattelge.

Punkt tuleks üles ehitada nii. Esimene märk teljel Ox määratud punkt, seejärel märkige punkt teljel Oy. Järgmiseks tõmmake nendest tähistest kujuteldavad jooned ja leidke koht, kus need ristuvad – see on antud punkt.

Kõik, mida pead tegema, on see ära märkida ja allkirjastada. Nagu näete, on kõik üsna lihtne ega vaja erilisi oskusi.

Asetage kujund

Liigume nüüd edasi koordinaattasandil kujundite konstrueerimise küsimuse juurde. Koordinaattasandil mistahes kujundi konstrueerimiseks peaksite teadma, kuidas sellele punkte paigutada. Kui teate, kuidas seda teha, pole figuuri lennukile asetamine nii keeruline.

Kõigepealt vajate joonise punktide koordinaate. Nende järgi rakendame teie poolt valitud koordinaatide süsteemi. Vaatleme ristküliku, kolmnurga ja ringi rakendamist.

Alustame ristkülikuga. Seda on üsna lihtne rakendada. Kõigepealt märgitakse tasapinnale neli punkti, mis tähistavad ristküliku nurki. Seejärel ühendatakse kõik punktid üksteisega järjestikku.

Kolmnurga joonistamine ei erine. Ainus asi on see, et sellel on kolm nurka, mis tähendab, et tasapinnale on märgitud kolm punkti, mis näitavad selle tippe.

Ringi puhul peaksite teadma kahe punkti koordinaate. Esimene punkt on ringi keskpunkt, teine ​​punkt, mis näitab selle raadiust. Need kaks punkti on joonistatud tasapinnale. Seejärel võtke kompass ja mõõtke kahe punkti vaheline kaugus. Kompassi ots asetatakse keskpunkti tähistavasse punkti ja kirjeldatakse ringi.

Nagu näha, pole siin ka midagi keerulist, peaasi, et joonlaud ja sirkel on alati käepärast.

Nüüd teate, kuidas joonistada kujundite koordinaate. Selle tegemine koordinaattasandil pole nii keeruline, kui esmapilgul võib tunduda.

Järeldused

Niisiis, oleme vaatlenud üht kõige huvitavamat ja põhilisemat matemaatika mõistet, millega iga koolilaps peab tegelema.

Oleme välja selgitanud, et koordinaattasand on kahe telje lõikepunktist moodustunud tasapind. Selle abil saate määrata punktide koordinaate ja joonistada sellele kujundeid. Lennuk on jagatud neljandikku, millest igaühel on oma omadused.

Peamine oskus, mida koordinaattasandiga töötades arendada, on oskus sellele antud punkte õigesti joonistada. Selleks peate teadma õige asukoht teljed, veerandite tunnused, samuti punktide koordinaatide täpsustamise reeglid.

Loodame, et meie esitatud teave oli juurdepääsetav ja arusaadav ning ka teile kasulik ning aitas teil seda teemat paremini mõista.