Telg on suund. See tähendab, et projektsioon teljele või suunatud joonele loetakse samaks. Projektsioon võib olla algebraline või geomeetriline. Geomeetrilises mõttes mõistetakse vektori projektsiooni teljele kui vektorit ja algebraliselt on see arv. See tähendab, et kasutatakse mõisteid vektori projektsioon teljele ja vektori arvprojektsioon teljele.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kui meil on L-telg ja nullist erinev vektor A B →, siis saame konstrueerida vektori A 1 B 1 ⇀, mis tähistab selle punktide A 1 ja B 1 projektsioone.

A 1 B → 1 on vektori A B → projektsioon punktile L.

Definitsioon 1

Vektori projektsioon teljele on vektor, mille algus ja lõpp on antud vektori alguse ja lõpu projektsioonid. n p L A B → → on tavaks tähistada projektsiooni A B → L-le. Projektsiooni konstrueerimiseks punktile L langetatakse perpendikulaarid punktile L.

Näide 1

Näide vektorprojektsioonist teljele.

Sees koordinaattasand Umbes x y on määratud punkt M 1 (x 1 , y 1). Punkti M 1 raadiusvektori kujutamiseks on vaja konstrueerida projektsioonid punktidele O x ja O y. Saame vektorite (x 1, 0) ja (0, y 1) koordinaadid.

Kui me räägime a → projektsiooni kohta nullist erinevale b → või a → projektsioonile suunale b → , siis peame silmas a → projektsiooni teljele, millega suund b → ühtib. A → projektsioon b → defineeritud sirgele on tähistatud n p b → a → → . On teada, et kui nurka a → ja b → vahel võib n p b → a → → ja b → pidada kaassuunaliseks. Juhul, kui nurk on nüri, on n p b → a → → ja b → vastassuunalised. Perpendikulaarsuse olukorras a → ja b → ning a → on null, on a → projektsioon suunas b → nullvektor.

Vektori teljele projektsiooni arvkarakteristikuks on vektori arvprojektsioon antud teljele.

2. definitsioon

Vektori arvprojektsioon teljele on arv, mis on võrdne antud vektori pikkuse ja antud vektori ja telje suuna määrava vektori vahelise nurga koosinuse korrutisega.

A B → arvuline projektsioon punktile L on tähistatud n p L A B → ja a → punktile b → - n p b → a → .

Valemi põhjal saame n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ , kust a → on vektori a → pikkus, a ⇀ , b → ^ on vektorite vaheline nurk a → ja b → .

Saame arvprojektsiooni arvutamise valemi: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . Seda saab kasutada teadaolevate pikkuste a → ja b → ning nendevahelise nurga korral. Valem on rakendatav teadaolevate koordinaatide a → ja b → jaoks, kuid on olemas ka lihtsustatud vorm.

Näide 2

Leia a → arvuline projektsioon sirgele suunas b →, mille pikkus a → on 8 ja nendevaheline nurk on 60 kraadi. Tingimuse järgi on meil a ⇀ = 8, a ⇀, b → ^ = 60 °. Niisiis, asendame arvväärtusi valemisse n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4 .

Vastus: 4.

Tuntud cos (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → · b → korral on a → , b → a → ja b → skalaarkorrutis. Järgides valemist n p b → a → = a → · cos a ⇀ , b → ^ , leiame piki vektorit b → suunatud arvprojektsiooni a → ja saame n p b → a → = a → , b → b → . Valem on samaväärne lõigu alguses antud määratlusega.

3. määratlus

Vektori a → arvprojektsioon teljele, mis kattub suunaga b → on vektorite a → ja b → skalaarkorrutise suhe pikkusesse b → . Valem n p b → a → = a → , b → b → on rakendatav a → arvprojektsiooni leidmiseks sirgele, mis ühtib suunaga b → , mille koordinaadid on teada a → ja b →.

Näide 3

Antud b → = (- 3 , 4) . Leidke arvprojektsioon a → = (1, 7) punktile L.

Lahendus

Koordinaattasandil n p b → a → = a → , b → b → on kujul n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2, kusjuures a → = (a x , a y ) ja b → = b x , b y . Vektori a → arvulise projektsiooni leidmiseks L-teljele on vaja: n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y b x 2 + b y 2 = 1 · (- 3) + 7 · 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5.

Vastus: 5.

Näide 4

Leidke a → projektsioon punktile L, mis langeb kokku suunaga b →, kus on a → = - 2, 3, 1 ja b → = (3, - 2, 6). Kolmemõõtmeline ruum on täpsustatud.

Lahendus

Arvestades a → = a x , a y , a z ja b → = b x , b y , b z , arvutame skalaarkorrutise: a ⇀ , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z . Pikkus b → leitakse valemi b → = b x 2 + b y 2 + b z 2 abil. Sellest järeldub, et arvprojektsiooni a → määramise valem on järgmine: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z b x 2 + b y 2 + b z 2 .

Asendage arvväärtused: n p L a → = n p b → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .

Vastus: - 6 7.

Vaatame seost a → L-l ja projektsiooni a → pikkuse vahel L-l. Joonistame telje L, lisades punktist L punktist a → ja b →, mille järel tõmbame risti otsast a → punktile L ja projektsiooni punktile L. Kujutisel on 5 variatsiooni:

Esiteks juhtum a → = n p b → a → → tähendab a → = n p b → a → → , seega n p b → a → = a → · cos (a , → b → ^) = a → · cos 0 ° = a → = n p b → a → → .

Teiseks juhtum eeldab n p b → a → ⇀ = a → · cos a → , b → kasutamist, mis tähendab n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → .

Kolmandaks juhtum selgitab, et kui n p b → a → → = 0 → saame n p b ⇀ a → = a → · cos (a → , b → ^) = a → · cos 90 ° = 0, siis n p b → a → → = 0 ja n p b → a → = 0 = n p b → a → → .

Neljandaks juhtum näitab n p b → a → → = a → · cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → · cos (a → , b → ^) , järgneb n p b → a → = a → · cos ( a → , b → ^) = - n p b → a → → .

Viiendaks juhtum näitab a → = n p b → a → → , mis tähendab a → = n p b → a → → , seega on meil n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ = a → · cos 180° = - a → = - n p b → a → .

4. definitsioon

Vektori a → arvprojektsioon L-teljele, mis on suunatud samamoodi nagu b →, on järgmise väärtusega:

• vektori a → projektsiooni pikkus punktile L, eeldusel, et nurk a → ja b → vahel on väiksem kui 90 kraadi või võrdne 0-ga: n p b → a → = n p b → a → → tingimusega 0 ≤ (a → , b →) ^< 90 ° ;
• null tingimusel, et a → ja b → on risti: n p b → a → = 0, kui (a → , b → ^) = 90 °;
• projektsiooni pikkus a → punktile L, korrutatuna -1-ga, kui vektorite a → ja b → nüri- või pöördenurk on olemas: n p b → a → = - n p b → a → → tingimusega 90 °< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

Näide 5

Arvestades projektsiooni a → pikkust L-le, võrdub 2. Leidke arvprojektsioon a → eeldusel, et nurk on 5 π 6 radiaani.

Lahendus

Tingimusest on selge, et see nurk on nüri: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

Vastus: - 2.

Näide 6

Antud tasapind O x y z vektori pikkusega a → on võrdne 6 3, b → (- 2, 1, 2) nurgaga 30 kraadi. Leidke projektsiooni a → koordinaadid L-teljele.

Lahendus

Esiteks arvutame vektori a →: n p L a → = n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = 6 3 · cos 30 ° = 6 3 · 3 2 = 9 arvprojektsiooni. .

Tingimuse järgi on nurk terav, siis arvprojektsioon a → = vektori a → projektsiooni pikkus: n p L a → = n p L a → → = 9. See juhtum näitab, et vektorid n p L a → → ja b → on kaassuunatud, mis tähendab, et on olemas arv t, mille võrdsus on tõene: n p L a → → = t · b → . Siit näeme, et n p L a → → = t · b → , mis tähendab, et leiame parameetri t väärtuse: t = n p L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3 .

Siis n p L a → → = 3 · b → vektori a → projektsiooni koordinaatidega L-teljele, mis on võrdne b → = (- 2 , 1 , 2) , kus on vaja väärtused korrutada 3. Meil ​​on n p L a → → = (- 6 , 3 , 6) . Vastus: (- 6, 3, 6).

On vaja korrata varem õpitud teavet vektorite kollineaarsuse tingimuse kohta.

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Olgu kaks vektorit ja antud ruumis. Lükkame suvalisest punktist edasi O vektorid ja . Nurk vektorite vahelist nurka nimetatakse väikseimaks. Määratud .

Mõelge teljele l ja joonistada sellele ühikvektor (st vektor, mille pikkus on võrdne ühega).

Nurga all vektori ja telje vahel l mõista nurka vektorite ja .

Nii et las l on mingi telg ja on vektor.

Tähistagem poolt A 1 Ja B 1 projektsioonid teljele l vastavalt punktid A Ja B. Oletame, et A 1 on koordinaat x 1, A B 1- koordineerida x 2 teljel l.

Siis projektsioon vektor telje kohta l nimetatakse erinevuseks x 1 – x 2 vektori selle telje otsa ja alguse projektsiooni koordinaatide vahel.

Vektori projektsioon teljele l me tähistame .

On selge, et kui vektori ja telje vaheline nurk l vürtsikas siis x 2> x 1 ja projektsioon x 2 – x 1> 0; kui see nurk on nüri, siis x 2< x 1 ja projektsioon x 2 – x 1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси l, See x 2= x 1 Ja x 2– x 1=0.

Seega vektori projektsioon teljele l on segmendi pikkus A 1 B 1, võetud teatud märgiga. Seetõttu on vektori projektsioon teljele arv või skalaar.

Samamoodi määratakse ühe vektori projektsioon teisele. Sel juhul leitakse selle vektori otste projektsioonid sirgele, millel asub 2. vektor.

Vaatame mõnda põhilist projektsioonide omadused.

LINEAARSELT SÕLTUVAD JA LINEAARSELT SÕLTUMATUD VEKTORSÜSTEEMID

Vaatleme mitut vektorit.

Lineaarne kombinatsioon nendest vektoritest on mis tahes vektor kujul , kus on mõned arvud. Arve nimetatakse lineaarseteks kombinatsiooni koefitsientideks. Nad ütlevad ka, et sel juhul väljendatakse seda nende vektorite kaudu lineaarselt, st. saadakse neilt lineaarsete toimingute abil.

Näiteks kui on antud kolm vektorit, võib nende lineaarseks kombinatsiooniks lugeda järgmisi vektoreid:

Kui vektorit kujutatakse mõne vektori lineaarse kombinatsioonina, siis öeldakse, et see nii on välja pandud mööda neid vektoreid.

Vektoreid nimetatakse lineaarselt sõltuv, kui on numbreid, ei ole kõik nulliga võrdsed, nii et . On selge, et antud vektorid on lineaarselt sõltuvad, kui mõnda neist vektoritest väljendatakse lineaarselt teiste kaudu.

Vastasel juhul, st. kui suhe sooritatakse ainult siis, kui , nimetatakse neid vektoreid lineaarselt sõltumatu.

1. teoreem. Mis tahes kaks vektorit on lineaarselt sõltuvad siis ja ainult siis, kui nad on kollineaarsed.

Tõestus:

Sarnaselt saab tõestada järgmist teoreemi.

2. teoreem. Kolm vektorit on lineaarselt sõltuvad siis ja ainult siis, kui nad on tasapinnalised.

Tõestus.

ALUS

Alus on nullist erineva lineaarselt sõltumatute vektorite kogu. Tähistame aluse elemendid .

Eelmises lõigus nägime, et kaks mittekollineaarset vektorit tasapinnal on lineaarselt sõltumatud. Seetõttu on eelmise lõigu teoreemi 1 kohaselt aluseks tasapinnal mis tahes kaks mittekollineaarset vektorit sellel tasandil.

Samamoodi on mis tahes kolm mittetasatasandilist vektorit ruumis lineaarselt sõltumatud. Järelikult nimetame kolme mittetasatasandilist vektorit ruumi baasiks.

Järgmine väide vastab tõele.

Teoreem. Olgu ruumis alus antud. Siis saab mis tahes vektori esitada lineaarse kombinatsioonina , Kus x, y, z- mõned numbrid. See on ainus lagunemine.

Tõestus.

Seega võimaldab alus iga vektori üheselt seostada arvukolmikuga – selle vektori baasvektoriteks laienemise koefitsientidega: . Vastupidine kehtib ka iga kolme numbri kohta x, y, z baasi kasutades saate vektorit võrrelda, kui teete lineaarse kombinatsiooni .

Kui aluseks ja , siis numbrid x, y, z kutsutakse koordinaadid vektor antud alusel. Vektori koordinaate tähistatakse .

KARTESIAANI KOORDINAATSÜSTEEM

Olgu ruumis antud punkt O ja kolm mittetasatasandilist vektorit.

Descartes'i koordinaatsüsteem ruumis (tasapinnal) on punkti ja aluse kogum, s.t. sellest punktist lähtuv punkti ja kolme mittetasapinnalise vektori (2 mittekollineaarset vektorit) hulk.

Punkt O nimetatakse päritoluks; sirgjooni, mis läbivad koordinaatide alguspunkti alusvektorite suunas, nimetatakse koordinaattelgedeks - abstsiss-, ordinaat- ja rakendusteljeks. Tasapindu, mis läbivad koordinaattelgesid, nimetatakse koordinaattasanditeks.

Vaatleme suvalist punkti valitud koordinaatsüsteemis M. Tutvustame punkti koordinaatide mõistet M. Algpunkti punktiga ühendav vektor M. helistas raadiuse vektor punktid M.

Valitud aluses oleva vektori saab seostada arvukolmikuga – selle koordinaatidega: .

Punkti raadiuse vektori koordinaadid M. kutsutakse punkti M koordinaadid. vaadeldavas koordinaatsüsteemis. M(x,y,z). Esimest koordinaati nimetatakse abstsissiks, teist ordinaadiks ja kolmandat aplikatsiooniks.

Descartes'i koordinaadid tasapinnal määratakse sarnaselt. Siin on punktil ainult kaks koordinaati - abstsiss ja ordinaat.

On lihtne näha, et antud koordinaatsüsteemi jaoks on igal punktil teatud koordinaadid. Teisest küljest on iga arvukolmiku jaoks üks punkt, millel on need arvud koordinaatidena.

Kui valitud koordinaatsüsteemis aluseks võetud vektorid on ühiku pikkusega ja on paarikaupa risti, siis koordinaatsüsteemi nn. Descartes'i ristkülikukujuline.

Seda on lihtne näidata.

Vektori suunakoosinused määravad täielikult selle suuna, kuid ei ütle midagi selle pikkuse kohta.

ja teljel või mõnel muul vektoril on selle geomeetrilise projektsiooni ja arvulise (või algebralise) projektsiooni mõisted. Geomeetrilise projektsiooni tulemuseks on vektor ja algebralise projektsiooni tulemuseks mittenegatiivne reaalarv. Kuid enne nende mõistete juurde asumist pidage meeles vajalikku teavet.

Esialgne info

Põhimõiste on vektori enda mõiste. Geomeetrilise vektori definitsiooni tutvustamiseks tuletagem meelde, mis on segment. Tutvustame järgmist määratlust.

Definitsioon 1

Lõik on sirge osa, millel on punktide kujul kaks piiri.

Segmendil võib olla 2 suunda. Suuna tähistamiseks nimetame lõigu ühte piiri selle alguseks ja teist piiri selle lõpuks. Suund näidatakse segmendi algusest lõpuni.

2. definitsioon

Vektoriks või suunatud lõiguks nimetame lõiku, mille puhul on teada, millist lõigu piiridest loetakse alguseks ja millist lõppu.

Nimetus: kahe tähega: $\overline(AB)$ – (kus $A$ on selle algus ja $B$ on selle lõpp).

Ühe väikese tähega: $\overline(a)$ (joon. 1).

Tutvustame veel mõnda vektori mõistega seotud mõistet.

3. määratlus

Kahte nullist erinevat vektorit nimetatakse kollineaarseks, kui need asuvad samal sirgel või üksteisega paralleelsetel sirgel (joonis 2).

4. definitsioon

Nimetame kahte nullist erinevat vektorit kaassuunalisteks, kui need vastavad kahele tingimusele:

1. Need vektorid on kollineaarsed.
2. Kui need on suunatud ühes suunas (joon. 3).

Märkus: $\overline(a)\overline(b)$

Definitsioon 5

Me nimetame kahte nullist erinevat vektorit vastassuunas, kui need vastavad kahele tingimusele:

1. Need vektorid on kollineaarsed.
2. Kui need on suunatud eri suundades (joon. 4).

Tähistus: $\overline(a)↓\overline(d)$

Definitsioon 6

Vektori $\overline(a)$ pikkus on lõigu $a$ pikkus.

Märkus: $|\overline(a)|$

Liigume edasi kahe vektori võrdsuse määramise juurde

Definitsioon 7

Me nimetame kahte vektorit võrdseks, kui need vastavad kahele tingimusele:

1. Need on samasuunalised;
2. Nende pikkused on võrdsed (joon. 5).

Geomeetriline projektsioon

Nagu me varem ütlesime, on geomeetrilise projektsiooni tulemuseks vektor.

Definitsioon 8

Vektori $\overline(AB)$ geomeetriline projektsioon teljele on vektor, mis saadakse järgmiselt: Sellele teljele projitseeritakse vektori $A$ alguspunkt. Saame punkti $A"$ – soovitud vektori algus. Vektori $B$ lõpp-punkt projitseeritakse sellele teljele. Saame punkti $B"$ – soovitud vektori lõpp. Vektor $\overline(A"B")$ on soovitud vektor.

Mõelgem probleemile:

Näide 1

Koostage joonisel 6 näidatud teljele $l$ geomeetriline projektsioon $\overline(AB)$.

Joonestame punktist $A$ teljega $l$ risti, millele saame punkti $A"$ Järgmiseks joonestame punktist $B$ risti teljega $l$, saame punkti $B "$ peal (joonis 7).

Erinevate joonte ja pindade tasapinnale projitseerimine võimaldab ehitada objektidest visuaalse pildi joonise kujul. Vaatleme ristkülikukujulist projektsiooni, milles väljaulatuvad kiired on projektsioonitasandiga risti. VEKTORI PROJEKTSIOON LENKIL vaatleme vektorit = (joonis 3.22), mis jääb selle algusest ja lõpust välja jäetud perpendikulaaride vahele.

Riis. 3.23. Vektori vektorprojektsioon teljele.

Vektoralgebras on sageli vaja vektorit projekteerida TELJELE, st sirgele, millel on kindel orientatsioon. Selline projekteerimine on lihtne, kui vektor ja L-telg asuvad samal tasapinnal (joonis 3.23). Kuid ülesanne muutub raskemaks, kui see tingimus ei ole täidetud. Koostame vektori projektsiooni teljele, kui vektor ja telg ei asu samal tasapinnal (joonis 3.24).

Riis. 3.24. Vektori projekteerimine teljele
üldjuhul.

Läbi vektori otste joonistame tasapinnad, mis on risti sirgega L. Selle sirgega ristumiskohas määratlevad need tasapinnad kaks punkti A1 ja B1 - vektori, mida me nimetame selle vektori vektorprojektsiooniks. Vektorprojektsiooni leidmise probleemi saab lihtsamini lahendada, kui vektor tuuakse teljega samale tasapinnale, mida saab teha, kuna vektoralgebras arvestatakse vabu vektoreid.

Koos vektorprojektsiooniga on olemas ka SKALAARPROJEKTSIOON, mis on võrdne vektori projektsiooni mooduliga, kui vektori projektsioon langeb kokku L-telje orientatsiooniga, ja on võrdne selle vastupidise väärtusega, kui vektori projektsioon ja L teljel on vastupidine orientatsioon. Tähistame skalaarprojektsiooni:

Vektor- ja skalaarprojektsioonid ei ole praktikas alati terminoloogiliselt rangelt eraldatud. Tavaliselt kasutatakse terminit "vektori projektsioon", mis tähendab vektori skalaarset projektsiooni. Otsuse tegemisel on vaja neid mõisteid selgelt eristada. Väljakujunenud traditsiooni järgides kasutame termineid "vektoriprojektsioon", mis tähendab skalaarprojektsiooni ja "vektoriprojektsioon" - vastavalt väljakujunenud tähendusele.

Tõestame teoreemi, mis võimaldab arvutada antud vektori skalaarprojektsiooni.

TEOREEM 5. Vektori projektsioon L-teljele on võrdne tema mooduli ja vektori ja telje vahelise nurga koosinuse korrutisega, st

(3.5)

Riis. 3.25. Vektori ja skalaari leidmine
Vektorprojektsioonid L-teljele
(ja L-telg on võrdselt orienteeritud).

TÕEND. Esmalt teostame konstruktsioonid, mis võimaldavad meil leida nurga G Vektori ja L-telje vahele konstrueerime sirge MN, mis on paralleelne L-teljega ja läbib punkti O - vektori algus (joonis 3.25). Nurgaks on soovitud nurk. Joonistame kaks tasandit läbi punktide A ja O, mis on risti L-teljega.

Kuna L-telg ja sirgjoon MN on paralleelsed.

Toome välja kaks vektori ja L-telje suhtelise asukoha juhtumit.

1. Olgu vektorprojektsioon ja L-telg võrdselt orienteeritud (joonis 3.25). Seejärel vastav skalaarprojektsioon .

2. Olgu ja L orienteeritud eri suundades (joonis 3.26).

Riis. 3.26. Vektori vektori ja skalaarprojektsioonide leidmine L-teljele (ja L-telg on suunatud vastassuundades).

Seega on teoreem mõlemal juhul tõene.

TEOREEM 6. Kui vektori alguspunkt tuuakse L-telje teatud punkti ja see telg asub s-tasandil, moodustab vektor nurga vektori projektsiooniga s-tasandil ja nurga vektoriga projektsioon L-teljel, lisaks moodustavad vektorprojektsioonid ise üksteisega nurga , Et