Selles artiklis sisalduv teave annab üldise ülevaate täisarvud. Esiteks antakse täisarvude definitsioon ja tuuakse näiteid. Järgmisena vaatleme arvureal olevaid täisarve, kust selgub, milliseid arve nimetatakse positiivseteks ja milliseid negatiivseteks täisarvudeks. Pärast seda näidatakse, kuidas kirjeldatakse suuruste muutusi täisarvude abil ja arvestatakse täisarve negatiivsed arvud võla mõttes.

Leheküljel navigeerimine.

Täisarvud – definitsioon ja näited

Definitsioon.

Täisarvud– need on naturaalarvud, arv null, aga ka naturaalarvudele vastupidised arvud.

Täisarvude definitsioon ütleb, et kõik arvud 1, 2, 3, …, arv 0, samuti iga arv −1, −2, −3, … on täisarv. Nüüd saame lihtsalt tuua täisarvude näited. Näiteks arv 38 on täisarv, arv 70 040 on samuti täisarv, null on täisarv (pidage meeles, et null EI OLE naturaalarv, null on täisarv), arvud −999, −1, −8 934 832 on samuti täisarvude arvude näited.

Kõik täisarvud on mugav esitada täisarvude jadana, millel on järgmine kuju: 0, ±1, ±2, ±3, ... Täisarvude jada saab kirjutada järgmiselt: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

Täisarvude definitsioonist järeldub, et naturaalarvude hulk on täisarvude hulga alamhulk. Seetõttu on iga naturaalarv täisarv, kuid mitte iga täisarv pole naturaalarv.

Täisarvud koordinaatjoonel

Definitsioon.

Positiivsed täisarvud on nullist suuremad täisarvud.

Definitsioon.

Negatiivsed täisarvud on täisarvud, mis vähem kui null.

Positiivseid ja negatiivseid täisarve saab määrata ka nende asukoha järgi koordinaatjoonel. Horisontaalsel koordinaatjoonel asuvad punktid, mille koordinaadid on positiivsed täisarvud, lähtepunktist paremal. Negatiivsete täisarvuliste koordinaatidega punktid asuvad omakorda punktist O vasakul.

On selge, et kõigi positiivsete täisarvude hulk on naturaalarvude hulk. Kõikide negatiivsete täisarvude hulk on omakorda kõigi naturaalarvudele vastandlike arvude hulk.

Eraldi juhime teie tähelepanu tõsiasjale, et me võime julgelt nimetada iga naturaalarvu täisarvuks, kuid me ei saa nimetada ühtegi täisarvu naturaalarvuks. Iga positiivset täisarvu saame nimetada ainult naturaalarvuks, kuna negatiivsed täisarvud ja null ei ole naturaalarvud.

Mittepositiivsed ja mittenegatiivsed täisarvud

Anname mittepositiivsete ja mittenegatiivsete täisarvude definitsioonid.

Definitsioon.

Nimetatakse kõik positiivsed täisarvud koos arvuga null mittenegatiivsed täisarvud.

Definitsioon.

Mittepositiivsed täisarvud– need on kõik negatiivsed täisarvud koos arvuga 0.

Teisisõnu, mittenegatiivne täisarv on täisarv, mis on suurem kui null või võrdne nulliga, ja mittepositiivne täisarv on täisarv, mis on väiksem kui null või võrdne nulliga.

Mittepositiivsete täisarvude näideteks on arvud −511, −10 030, 0, −2 ning mittenegatiivsete täisarvude näidetena toome arvud 45, 506, 0, 900 321.

Kõige sagedamini kasutatakse lühiduse huvides termineid "mittepositiivsed täisarvud" ja "mitte-negatiivsed täisarvud". Näiteks fraasi "arv a on täisarv ja a on suurem kui null või võrdne nulliga" asemel võite öelda "a on mittenegatiivne täisarv".

Koguste muutuste kirjeldamine täisarvude abil

On aeg rääkida sellest, miks on üldse vaja täisarve.

Täisarvude peamine eesmärk on see, et nende abil on mugav kirjeldada mis tahes objektide koguse muutusi. Mõistame seda näidete abil.

Laos olgu teatud arv osi. Kui lattu tuuakse näiteks 400 detaili juurde, siis osade arv laos suureneb ja number 400 väljendab seda koguse muutust positiivne pool(kasvab). Kui laost võetakse näiteks 100 detaili, siis osade arv laos väheneb ja number 100 väljendab koguse muutust negatiivses suunas (allapoole). Osasid lattu ei tooda ja osi laost ära ei viida, siis saab rääkida osade konstantsest kogusest (ehk siis koguse nullmuutusest).

Toodud näidetes saab osade arvu muutust kirjeldada täisarvude 400, −100 ja 0 abil. Positiivne täisarv 400 näitab koguse muutust positiivses suunas (kasvu). Negatiivne täisarv −100 väljendab koguse muutust negatiivses suunas (vähenemist). Täisarv 0 näitab, et kogus jääb muutumatuks.

Täisarvude kasutamise mugavus võrreldes naturaalarvude kasutamisega seisneb selles, et ei pea selgelt märkima, kas kogus kasvab või väheneb – täisarv kvantifitseerib muutuse ja täisarvu märk näitab muutuse suunda.

Täisarvud võivad väljendada ka mitte ainult koguse muutust, vaid ka mõne koguse muutust. Mõistame seda temperatuurimuutuste näitel.

Temperatuuri tõusu näiteks 4 kraadi võrra väljendatakse positiivse täisarvuna 4. Temperatuuri langust näiteks 12 kraadi võrra saab kirjeldada negatiivse täisarvuga −12. Ja temperatuuri invariantsus on selle muutus, mis on määratud täisarvuga 0.

Eraldi on vaja öelda negatiivsete täisarvude tõlgendamise kohta võlasummana. Näiteks kui meil on 3 õuna, siis positiivne täisarv 3 tähistab meile kuuluvate õunte arvu. Teisest küljest, kui me peame kellelegi kinkima 5 õuna, kuid meil pole neid laos, siis saab seda olukorda kirjeldada negatiivse täisarvuga −5. Sel juhul "omame" −5 õuna, miinusmärk näitab võlga ja number 5 väljendab võlga.

Negatiivse täisarvu mõistmine võlana võimaldab näiteks põhjendada negatiivsete täisarvude lisamise reeglit. Toome näite. Kui keegi võlgneb ühele inimesele 2 õuna ja teisele 1 õuna, siis on võlg kokku 2+1=3 õuna, seega −2+(−1)=−3.

Bibliograafia.

• Vilenkin N.Ya. ja teised matemaatika. 6. klass: õpik üldharidusasutustele.

Oletame, et Achilleus jookseb kümme korda kiiremini kui kilpkonn ja on sellest tuhat sammu maas. Aja jooksul, mis kulub Achilleuse läbimiseks, roomab kilpkonn sada sammu samas suunas. Kui Achilleus jookseb sada sammu, roomab kilpkonn veel kümme sammu jne. Protsess jätkub lõpmatuseni, Achilleus ei jõua kunagi kilpkonnale järele.

See arutluskäik sai loogiliseks šokiks kõigile järgnevatele põlvkondadele. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Nad kõik pidasid ühel või teisel viisil Zenoni apooriat. Šokk oli nii tugev, et " ... arutelud jätkuvad tänapäevani, teadusringkonnad ei ole veel suutnud jõuda ühisele arvamusele paradokside olemuses ... teema uurimisse kaasati matemaatilist analüüsi, hulgateooriat, uusi füüsikalisi ja filosoofilisi käsitlusi; ; ükski neist ei saanud probleemi üldtunnustatud lahenduseks..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Kõik saavad aru, et neid lollitatakse, aga keegi ei saa aru, milles pettus seisneb.

Matemaatilisest vaatenurgast näitas Zenon oma apooriates selgelt üleminekut kvantiteedilt . See üleminek eeldab rakendust püsivate asemel. Minu arusaamist mööda pole muutuvate mõõtühikute kasutamise matemaatilist aparaati kas veel välja töötatud või pole seda Zenoni apooria puhul rakendatud. Meie tavapärase loogika rakendamine viib meid lõksu. Me rakendame mõtlemise inertsi tõttu vastastikusele väärtusele konstantseid ajaühikuid. Füüsilisest vaatenurgast näeb see välja nagu aeg aeglustub, kuni see täielikult peatub hetkel, mil Achilleus jõuab kilpkonnale järele. Kui aeg peatub, ei suuda Achilleus enam kilpkonnast üle joosta.

Kui keerame oma tavapärase loogika ümber, loksub kõik paika. Achilleus jookseb ühtlase kiirusega. Tema tee iga järgmine lõik on kümme korda lühem kui eelmine. Sellest tulenevalt on selle ületamiseks kulunud aeg kümme korda väiksem kui eelmisel. Kui rakendame selles olukorras "lõpmatuse" mõistet, siis oleks õige öelda: "Achilleus jõuab kilpkonnale lõpmatult kiiresti järele."

Kuidas seda loogilist lõksu vältida? Jääge konstantsetesse ajaühikutesse ja ärge lülituge vastastikustele ühikutele. Zenoni keeles näeb see välja järgmine:

Aja jooksul, mis kulub Achilleuse tuhande sammu jooksmiseks, roomab kilpkonn sada sammu samas suunas. Järgmise esimesega võrdse ajaintervalli jooksul jookseb Achilleus veel tuhat sammu ja kilpkonn roomab sada sammu. Nüüd on Achilleus kilpkonnast kaheksasada sammu ees.

See lähenemine kirjeldab adekvaatselt tegelikkust ilma loogiliste paradoksideta. Kuid see pole probleemi täielik lahendus. Einsteini väide valguse kiiruse vastupandamatusest on väga sarnane Zenoni apooriaga "Achilleus ja kilpkonn". Seda probleemi tuleb veel uurida, ümber mõelda ja lahendada. Ja lahendust tuleb otsida mitte lõpmata suurtes arvudes, vaid mõõtühikutes.

Veel üks Zenoni huvitav apooria räägib lendavast noolest:

Lendav nool on liikumatu, kuna ta on igal ajahetkel puhkeolekus ja kuna ta on igal ajahetkel puhkab, siis on ta alati puhkeolekus.

Selles apoorias ületatakse loogiline paradoks väga lihtsalt - piisab, kui selgitada, et igal ajahetkel on lendav nool paigal erinevates ruumipunktides, mis tegelikult on liikumine. Siin tuleb märkida veel üks punkt. Ühe maanteel oleva auto foto järgi on võimatu kindlaks teha ei selle liikumise fakti ega kaugust selleni. Et teha kindlaks, kas auto liigub, vajate kahte fotot, mis on tehtud samast punktist erinevatel ajahetkedel, kuid te ei saa määrata nende kaugust. Auto kauguse määramiseks on vaja kahte pilti, mis on tehtud ühel ajahetkel erinevatest ruumipunktidest, kuid nende järgi ei saa liikumise fakti kindlaks teha (loomulikult vajate arvutusteks siiski lisaandmeid, trigonomeetria aitab teid ). Mida ma tahan välja tuua Erilist tähelepanu, on see, et kaks punkti ajas ja kaks punkti ruumis on erinevad asjad, mida ei tohiks segi ajada, sest need pakuvad erinevaid uurimisvõimalusi.

Kolmapäeval, 4. juulil 2018

Vikipeedias on väga hästi kirjeldatud komplekti ja multikomplekti erinevusi. Vaatame.

Nagu näete, "komplektis ei saa olla kahte identset elementi", kuid kui komplektis on identsed elemendid, nimetatakse sellist komplekti "multiseks". Mõistlikud olendid ei mõista kunagi sellist absurdset loogikat. See on rääkivate papagoide ja treenitud ahvide tase, kellel puudub mõistus sõnast “täiesti”. Matemaatikud tegutsevad tavaliste koolitajatena, kuulutades meile oma absurdseid ideid.

Kunagi olid silla ehitanud insenerid silda katsetades silla all paadis. Kui sild kokku kukkus, suri keskpärane insener oma loomingu rusude all. Kui sild koormusele vastu pidas, ehitas andekas insener teisi sildu.

Pole tähtis, kuidas matemaatikud peituvad fraasi "mind me, I'm in the house" taha või õigemini: "matemaatika uurib abstraktseid mõisteid", on üks nabanöör, mis seob neid lahutamatult reaalsusega. See nabanöör on raha. Rakendagem matemaatilist hulgateooriat matemaatikute endi suhtes.

Õppisime matemaatikat väga hästi ja nüüd istume kassa taga ja anname palka välja. Nii et matemaatik tuleb meie juurde oma raha pärast. Loeme talle kogu summa välja ja laotame oma lauale erinevatesse hunnikutesse, millesse paneme sama nimiväärtusega arveid. Seejärel võtame igast hunnikust ühe arve ja anname matemaatikule tema "matemaatilise palgakomplekti". Selgitagem matemaatikule, et ta saab ülejäänud arved alles siis, kui ta tõestab, et ilma identsete elementideta hulk ei võrdu identsete elementidega hulgaga. Siit saab alguse lõbus.

Esiteks hakkab toimima saadikute loogika: "Seda võib teistele rakendada, aga mulle mitte!" Siis hakkavad nad meile kinnitama, et sama nimiväärtusega vekslitel on erinevad arvenumbrid, mis tähendab, et neid ei saa pidada samadeks elementideks. Olgu, loeme palgad müntidesse – müntidel pole numbreid. Siin hakkab matemaatik meeletult füüsikat meenutama: see on erinevatel müntidel erinevad kogused mustus, kristallstruktuur ja iga mündi aatomipaigutus on ainulaadne...

Ja nüüd on mul kõige rohkem huvi Küsi: kus on joon, millest kaugemal muutuvad multihulga elemendid hulga elementideks ja vastupidi? Sellist joont ei eksisteeri – kõike otsustavad šamaanid, teadus ei ole siin lähedalgi valetamisele.

Vaata siia. Valime välja sama alaga jalgpallistaadionid. Väljade pindalad on samad – see tähendab, et meil on multikomplekt. Aga kui vaadata nende samade staadionide nimesid, siis saame neid palju, sest nimed on erinevad. Nagu näete, on sama elementide komplekt nii hulk kui ka multikomplekt. Kumb on õige? Ja siin tõmbab matemaatik-šamaan-teramees varrukast trumpide ässa ja hakkab meile rääkima kas komplektist või multikomplektist. Igal juhul veenab ta meid, et tal on õigus.

Et mõista, kuidas tänapäeva šamaanid hulgateooriaga opereerivad, sidudes selle reaalsusega, piisab, kui vastata ühele küsimusele: mille poolest erinevad ühe hulga elemendid teise hulga elementidest? Ma näitan teile, ilma igasuguse "mõeldava mitte ühe tervikuna" või "ei ole mõeldav ühtse tervikuna".

Pühapäev, 18. märts 2018

Arvu numbrite summa on šamaanide tants tamburiiniga, millel pole matemaatikaga mingit pistmist. Jah, matemaatikatundides õpetatakse meid leidma arvu numbrite summat ja seda kasutama, aga seepärast ongi nad šamaanid, et õpetada järeltulijatele oskusi ja tarkust, muidu surevad šamaanid lihtsalt välja.

Kas vajate tõestust? Avage Wikipedia ja proovige leida leht "Arvu numbrite summa". Teda pole olemas. Matemaatikas pole valemit, mille abil saaks leida mis tahes arvu numbrite summa. Lõppude lõpuks on numbrid graafilised sümbolid, mille abil kirjutame numbreid ja matemaatika keeles kõlab ülesanne nii: "Leia suvalist arvu esindavate graafiliste sümbolite summa." Matemaatikud ei suuda seda ülesannet lahendada, kuid šamaanid saavad sellega hõlpsasti hakkama.

Mõelgem välja, mida ja kuidas teeme, et leida antud arvu numbrite summa. Ja nii, olgu meil number 12345. Mida tuleb teha, et leida selle arvu numbrite summa? Vaatleme kõiki samme järjekorras.

1. Kirjutage number paberile. Mida me oleme teinud? Oleme teisendanud numbri graafiliseks numbrisümboliks. See ei ole matemaatiline tehe.

2. Lõikasime ühe saadud pildi mitmeks üksikuid numbreid sisaldavaks pildiks. Pildi lõikamine ei ole matemaatiline tehe.

3. Teisendage üksikud graafilised sümbolid numbriteks. See ei ole matemaatiline tehe.

4. Lisage saadud numbrid. Nüüd on see matemaatika.

Arvu 12345 numbrite summa on 15. Need on šamaanide õpetatavad “lõikamis- ja õmbluskursused”, mida matemaatikud kasutavad. Kuid see pole veel kõik.

Matemaatilisest seisukohast pole vahet, millisesse arvusüsteemi me arvu kirjutame. Niisiis, sisse erinevad süsteemid Arvutuses on sama arvu numbrite summa erinev. Matemaatikas märgitakse numbrisüsteem numbrist paremal oleva alaindeksina. Suure numbriga 12345 ei taha ma oma pead petta, mõelgem numbrile 26 artiklist. Kirjutame selle arvu kahend-, kaheksand-, kümnend- ja kuueteistkümnendsüsteemis. Me ei vaata iga sammu mikroskoobi all, oleme seda juba teinud. Vaatame tulemust.

Nagu näete, on erinevates numbrisüsteemides sama numbri numbrite summa erinev. Sellel tulemusel pole matemaatikaga mingit pistmist. See on sama, kui määraksite ristküliku pindala meetrites ja sentimeetrites, saaksite täiesti erinevad tulemused.

Null näeb kõigis numbrisüsteemides välja ühesugune ja sellel pole numbrite summat. See on veel üks argument selle kasuks, et. Küsimus matemaatikutele: kuidas on matemaatikas määratud midagi, mis ei ole arv? Mis, matemaatikute jaoks ei eksisteeri midagi peale numbrite? Ma võin seda lubada šamaanidele, kuid mitte teadlastele. Tegelikkus ei seisne ainult numbrites.

Saadud tulemust tuleks pidada tõestuseks, et arvusüsteemid on arvude mõõtühikud. Me ei saa ju võrrelda numbreid erinevate mõõtühikutega. Kui samad toimingud sama suuruse erinevate mõõtühikutega viivad erinevaid tulemusi pärast nende võrdlemist tähendab see, et sellel pole matemaatikaga mingit pistmist.

Mis on tõeline matemaatika? See on siis, kui tulemus matemaatiline tehe ei sõltu numbri suurusest, kasutatavast mõõtühikust ja sellest, kes toimingu sooritab.