Tervitused, kassid! Eelmisel korral arutasime üksikasjalikult, mis on juured (kui te ei mäleta, soovitan seda lugeda). Peamine järeldus sellest õppetunnist: juurtel on ainult üks universaalne määratlus, mida peate teadma. Ülejäänu on jama ja ajaraisk.

Täna läheme kaugemale. Õpime korrutama juuri, uurime mõningaid korrutamisega seotud ülesandeid (kui need ülesanded ei lahene, siis võivad need eksamil saatuslikuks saada) ja harjutame korralikult. Nii et varuge popkorni, seadke end mugavalt ja alustame :)

Sa pole ka seda veel suitsetanud, eks?

Tund osutus üsna pikaks, nii et jagasin selle kaheks osaks:

1. Kõigepealt tutvume korrutamise reeglitega. Näib, et kork vihjab: see on siis, kui on kaks juurt, nende vahel on märk "korrutada" - ja me tahame sellega midagi ette võtta.
2. Vaatame siis vastupidist olukorda: on üks suur juur, aga me tahtsime seda kujutada kahe lihtsama juure produktina. Miks see vajalik on, on omaette küsimus. Analüüsime ainult algoritmi.

Need, kes ei jõua ära oodata, et saaksid kohe teise osa juurde liikuda, olete teretulnud. Alustame ülejäänud järjekorras.

Korrutamise põhireegel

Alustame kõige lihtsamast - klassikalistest ruutjuurtest. Samad, mida tähistatakse $\sqrt(a)$ ja $\sqrt(b)$. Kõik on neile selge:

Korrutamisreegel. Ruutjuure korrutamiseks teisega korrutage lihtsalt nende radikaalavaldised ja kirjutage tulemus tavalise radikaali alla:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

Paremal ega vasakul olevatele numbritele täiendavaid piiranguid ei seata: kui juurtegurid on olemas, siis on ka toode olemas.

Näited. Vaatame korraga nelja näidet numbritega:

\[\begin(joonda) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(joonda)\]

Nagu näete, on selle reegli peamine tähendus irratsionaalsete väljendite lihtsustamine. Ja kui esimeses näites oleksime 25 ja 4 juured ise välja võtnud ilma uute reegliteta, siis läheb asi karmiks: $\sqrt(32)$ ja $\sqrt(2)$ ei arvestata iseenesest, vaid nende korrutis osutub täiuslikuks ruuduks, seega on selle juur võrdne ratsionaalarvuga.

Eriti tahaksin esile tõsta viimast rida. Seal on mõlemad radikaalsed avaldised murrud. Tänu tootele tühistatakse paljud tegurid ja kogu avaldis muutub piisavaks arvuks.

Muidugi ei ole asjad alati nii ilusad. Mõnikord tekib juurte all täielik segadus - pole selge, mida sellega teha ja kuidas seda pärast korrutamist teisendada. Veidi hiljem, kui hakkate uurima irratsionaalseid võrrandeid ja võrratusi, on seal igasuguseid muutujaid ja funktsioone. Ja väga sageli loodavad probleemide kirjutajad sellele, et avastate mõned tühistavad terminid või tegurid, mille järel probleem lihtsustub mitu korda.

Lisaks pole üldse vaja täpselt kahte juuri korrutada. Saate korrutada kolm, neli või isegi kümme korraga! See reeglit ei muuda. Heida pilk peale:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(joonda)\]

Ja jälle väike märkus teise näite järgi. Nagu näete, on juure all olevas kolmandas teguris kümnendmurd - arvutuste käigus asendame selle tavalisega, mille järel kõike on lihtne vähendada. Seega: soovitan tungivalt vabaneda kümnendmurdudest mis tahes irratsionaalsetes avaldistes (st mis sisaldavad vähemalt ühte radikaalsümbolit). See säästab tulevikus palju aega ja närve.

Kuid see oli lüüriline kõrvalepõige. Nüüd vaatame rohkem üldine juhtum- kui juurnäidik on suvaline arv$n$ ja mitte ainult "klassikaline" kaks.

Suvalise indikaatori juhtum

Niisiis, koos ruutjuured arvasin välja. Mida teha kuubikutega? Või isegi suvalise $n$ astme juurtega? Jah, kõik on sama. Reegel jääb samaks:

Kahe astme $n$ juure korrutamiseks piisab, kui korrutada nende radikaalavaldised ja seejärel kirjutada tulemus ühe radikaali alla.

Üldiselt pole midagi keerulist. Välja arvatud see, et arvutuste arv võib olla suurem. Vaatame paari näidet:

Näited. Arvutage tooteid:

\[\begin(joona) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0.16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\ frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3 )) ))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(joonda)\]

Ja jälle tähelepanu teisele väljendile. Me korrutame kuubiku juured, vabaneda kümnend ja selle tulemusena saame nimetaja arvude 625 ja 25 korrutise suur hulk- Mina isiklikult ei oska kohe välja arvutada, millega see võrdub.

Seetõttu eraldasime lugejas ja nimetajas täpse kuubiku ning kasutasime siis $n$-nda juure ühte võtmeomadust (või, kui soovite, definitsiooni):

\[\begin(joonda) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\left| a\right|. \\ \end(joonda)\]

Sellised "mahhinatsioonid" võivad säästa palju aega eksamil või proovitöö, nii et pidage meeles:

Ärge kiirustage radikaalsete avaldiste abil arve korrutama. Esiteks kontrollige: mis siis, kui mis tahes väljendi täpne aste on seal "krüpteeritud"?

Vaatamata selle märkuse ilmselgusele, pean tunnistama, et enamik ettevalmistamata tudengeid ei näe täpseid kraade tühipaljas. Selle asemel korrutavad kõik otse läbi ja siis imestavad: miks nad nii jõhkraid numbreid said :)

See kõik on aga beebijutt võrreldes sellega, mida me praegu uurime.

Juurte korrutamine erinevate astendajatega

Olgu, nüüd saame juured samade näitajatega korrutada. Mis siis, kui näitajad on erinevad? Ütleme, kuidas korrutada tavalist $\sqrt(2)$ sellise jamaga nagu $\sqrt(23)$? Kas seda on üldse võimalik teha?

Jah muidugi saab. Kõik tehakse järgmise valemi järgi:

Juurte paljundamise reegel. $\sqrt[n](a)$ korrutamiseks $\sqrt[p](b)$-ga piisab järgmise teisenduse tegemisest:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

See valem töötab aga ainult siis, kui radikaalsed väljendid on mittenegatiivsed. See on väga oluline märkus, mille juurde tuleme veidi hiljem tagasi.

Praegu vaatame paari näidet:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot 8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \end(joonda)\]

Nagu näete, pole midagi keerulist. Nüüd mõtleme välja, kust tuli mittenegatiivsuse nõue ja mis juhtub, kui me seda rikume :)

Miks peavad radikaalsed väljendid olema mittenegatiivsed?

Muidugi võite olla nagu kooli õpetajad ja tsiteerida nutikalt õpikut:

Mittenegatiivsuse nõue on seotud paaris- ja paarituastme juurte erinevate definitsioonidega (vastavalt on ka nende määratlusvaldkonnad erinevad).

No kas sai selgemaks? Mina isiklikult 8. klassis seda jama lugedes sain aru umbes sellisest: “Mitteegatiivsuse nõue on seotud *#&^@(*#@^#)~%” - ühesõnaga ma sain ma ei saanud sel ajal mitte midagi aru :)

Nii et nüüd selgitan kõike tavalisel viisil.

Kõigepealt uurime, kust pärineb ülaltoodud korrutamisvalem. Selleks tuletan teile meelde juure ühte olulist omadust:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Teisisõnu võime radikaalse väljendi hõlpsasti tõsta ükskõik milliseks loomulik kraad$k$ - sel juhul tuleb juureksponent korrutada sama astmega. Seetõttu saame hõlpsalt taandada kõik juured ühiseks astendajaks ja need seejärel korrutada. Siit pärineb korrutusvalem:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Kuid on üks probleem, mis piirab järsult kõigi nende valemite kasutamist. Mõelge sellele numbrile:

Äsja antud valemi järgi saame lisada mis tahes kraadi. Proovime lisada $k=2$:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

Miinuse eemaldasime just seetõttu, et ruut põletab miinuse (nagu iga teine ​​paariskraad). Nüüd teostame pöördteisendust: "vähendame" kahte eksponendis ja võimsuses. Lõppude lõpuks saab iga võrdsust lugeda nii vasakult paremale kui ka paremalt vasakule:

\[\begin(joona) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Paremnool \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](a); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Paremnool \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \end(joonda)\]

Aga siis selgub, et see on mingi jama:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

Seda ei saa juhtuda, sest $\sqrt(-5) \lt 0$ ja $\sqrt(5) \gt 0$. See tähendab, et paarisastmete ja negatiivsete arvude puhul meie valem enam ei tööta. Pärast seda on meil kaks võimalust:

1. Põrutada vastu seina ja väita, et matemaatika on rumal teadus, kus “on mingid reeglid, aga need on ebatäpsed”;
2. Kehtestage täiendavaid piiranguid, mille alusel valem muutub 100% toimivaks.

Esimeses variandis peame pidevalt tabama "mittetöötavaid" juhtumeid - see on keeruline, aeganõudev ja üldiselt tüütu. Seetõttu eelistasid matemaatikud teist varianti :)

Aga ära muretse! Praktikas see piirang arvutusi kuidagi ei mõjuta, sest kõik kirjeldatud probleemid puudutavad vaid paaritu astme juuri ja neist saab võtta miinuseid.

Seetõttu sõnastagem veel üks reegel, mis kehtib üldiselt kõigi juurtega toimingute kohta:

Enne juurte korrutamist veenduge, et radikaalavaldised ei oleks negatiivsed.

Näide. Numbris $\sqrt(-5)$ saate juurmärgi alt eemaldada miinuse - siis on kõik normaalne:

\[\begin(joonda) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Paremnool \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(joonda)\]

Kas tunnete erinevust? Kui jätta juure alla miinus, siis radikaalavaldise ruudustamisel see kaob ja hakkab jama. Ja kui võtad kõigepealt miinuse välja, siis saad ruudu ehitada/eemaldada, kuni oled näost sinine – number jääb negatiivseks :)

Seega kõige õigem ja kõige usaldusväärne viis juurte korrutamine on järgmine:

1. Eemaldage radikaalidest kõik negatiivsed. Miinused eksisteerivad ainult paaritu paljususega juurtes - neid saab asetada juure ette ja vajadusel vähendada (näiteks kui neid miinuseid on kaks).
2. Tehke korrutamine vastavalt ülaltoodud reeglitele, millest tänases tunnis räägiti. Kui juurte näitajad on samad, korrutame radikaalsed avaldised lihtsalt. Ja kui need on erinevad, kasutame kurja valemit \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
3. 3.Naudi tulemust ja häid hindeid.:)

Noh? Kas harjutame?

Näide 1: avaldise lihtsustamine:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3) ) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=- \ sqrt(64)=-4; \end(joonda)\]

See on kõige lihtsam variant: juured on samad ja paaritud, ainus probleem on see, et teine ​​tegur on negatiivne. Selle miinuse võtame pildilt välja, misjärel on kõik lihtsalt välja arvutatud.

Näide 2: avaldise lihtsustamine:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( joondada)\]

Siin oleks paljudes segaduses asjaolu, et väljund osutus irratsionaalseks arvuks. Jah, see juhtub: me ei saanud juurtest täielikult lahti, kuid vähemalt lihtsustasime väljendit oluliselt.

Näide 3: avaldise lihtsustamine:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left(((() a)^(4)) \parem))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(joonda)\]

Tahaksin juhtida teie tähelepanu sellele ülesandele. Siin on kaks punkti:

1. Juur ei ole konkreetne arv või aste, vaid muutuja $a$. Esmapilgul on see veidi ebatavaline, kuid tegelikkuses tuleb matemaatikaülesannete lahendamisel kõige sagedamini tegeleda muutujatega.
2. Lõpuks õnnestus radikaali indikaatorit ja radikaali väljenduse astet "vähendada". Seda juhtub üsna sageli. Ja see tähendab, et kui te ei kasutanud põhivalemit, oli võimalik arvutusi oluliselt lihtsustada.

Näiteks võite teha järgmist.

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a)^() 4)) \parem))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \\lõpp(joonda)\]

Tegelikult viidi kõik teisendused läbi ainult teise radikaaliga. Ja kui te ei kirjelda üksikasjalikult kõiki vaheetappe, siis lõpuks väheneb arvutuste hulk oluliselt.

Tegelikult oleme sarnase ülesandega juba eespool kokku puutunud, kui lahendasime näite $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Nüüd saab selle kirjutada palju lihtsamalt:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \end(joonda)\]

Noh, me oleme juurte korrutamise korda ajanud. Nüüd kaalume pöördtoimingut: mida teha, kui juure all on toode?

Arvu kvadrandjuure eraldamine ei ole ainus tehe, mida selle matemaatilise nähtusega teha saab. Nii nagu tavaarvud, liidavad ja lahutavad ka ruutjuured.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ruutjuurte liitmise ja lahutamise reeglid

Tehted nagu ruutjuurte liitmine ja lahutamine on võimalikud ainult siis, kui radikaalavaldis on sama.

Näide 1

Saate avaldisi liita või lahutada 2 3 ja 6 3, aga mitte 56 Ja 9 4. Kui on võimalik avaldist lihtsustada ja taandada juurteks sama radikaaliga, siis lihtsustada ja seejärel liita või lahutada.

Tegevused juurtega: põhitõed

6 50 - 2 8 + 5 12

Toimingu algoritm:

1. Lihtsusta radikaalset väljendit. Selleks on vaja radikaalavaldis lagundada 2 teguriks, millest üks on ruutarv (arv, millest eraldatakse kogu ruutjuur, näiteks 25 või 9).
2. Seejärel peate võtma ruutnumbri juure ja kirjutage saadud väärtus juuremärgi ette. Pange tähele, et teine ​​tegur sisestatakse juure märgi alla.
3. Pärast lihtsustamisprotsessi on vaja rõhutada juuri samade radikaalsete väljenditega - ainult neid saab liita ja lahutada.
4. Samade radikaalavaldistega juurte puhul on vaja liita või lahutada tegurid, mis esinevad enne juuremärki. Radikaalne väljend jääb muutumatuks. Radikaalarve ei saa liita ega lahutada!

Vihje 1

Kui teil on näide koos suur hulk identsed radikaalavaldised, siis kriipsutage sellised avaldised arvutusprotsessi hõlbustamiseks alla ühe-, kahe- ja kolmekordse joonega.

Näide 3

Proovime seda näidet lahendada:

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2. Kõigepealt peate 50 lagundama kaheks teguriks 25 ja 2, seejärel võtma 25 juure, mis võrdub 5-ga, ja võtma juure alt välja 5. Pärast seda peate korrutama 5 6-ga (tegur juurtes) ja saama 30 2.

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2. Kõigepealt peate 8 lagundama 2 teguriks: 4 ja 2. Seejärel võtke juur 4-st, mis võrdub 2-ga, ja võtke juure alt välja 2. Pärast seda peate korrutama 2 2-ga (tegur juurtes) ja saama 4 2.

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3. Kõigepealt peate 12 lagundama 2 teguriks: 4 ja 3. Seejärel eraldage 4 juur, mis võrdub 2-ga, ja eemaldage see juure alt. Pärast seda peate korrutama 2 5-ga (tegur juurtes) ja saama 10 3.

Lihtsustamise tulemus: 30 2 - 4 2 + 10 3

30 2 - 4 2 + 10 3 = (30 - 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

Selle tulemusena nägime, kui palju identseid radikaalseid väljendeid sisaldab selles näites. Nüüd harjutame teiste näidetega.

Näide 4

• Lihtsustame (45). Tegur 45: (45) = (9 × 5) ;
• Võtame juure alt välja 3 (9 = 3): 45 = 3 5;
• Lisage tegurid juurtes: 3 5 + 4 5 = 7 5.

Näide 5

6 40 - 3 10 + 5:

• Lihtsustame 6 40. Korraldame 40: 6 40 = 6 (4 × 10) ;
• Juure alt võtame välja 2 (4 = 2): 6 40 = 6 (4 × 10) = (6 × 2) 10 ;
• Korrutame juure ette ilmuvad tegurid: 12 10 ;
• Avaldise kirjutame lihtsustatud kujul: 12 10 - 3 10 + 5 ;
• Kuna kahel esimesel liikmel on samad radikaalarvud, saame need lahutada: (12 - 3) 10 = 9 10 + 5.

Näide 6

Nagu näeme, pole radikaalarvude lihtsustamine võimalik, seega otsime näites samade radikaalarvudega termineid, sooritame matemaatilised tehted (liita, lahuta jne) ja kirjutame tulemuse:

(9 - 4) 5 - 2 3 = 5 5 - 2 3 .

Nõuanne:

• Enne liitmist või lahutamist on vaja radikaalavaldisi (võimaluse korral) lihtsustada.
• Erinevate radikaalavaldistega juurte liitmine ja lahutamine on rangelt keelatud.
• Te ei tohiks liita ega lahutada täisarvu ega juurt: 3 + (2 x) 1/2 .
• Murdudega tehteid tehes peate leidma arvu, mis jagub iga nimetajaga, seejärel vähendama murde ühisnimetaja, seejärel lisage lugejad ja jätke nimetajad muutmata.

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Teie privaatsuse säilitamine on meie jaoks oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun vaadake üle meie privaatsustavad ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.

Isikuandmete kogumine ja kasutamine

Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.

Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.

Allpool on mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas me seda teavet kasutada võime.

Milliseid isikuandmeid me kogume:

• Kui esitate saidil päringu, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, aadressi meili jne.

Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:

• Kogutud isikuandmed võimaldavad meil teiega ühendust võtta ja teid teavitada ainulaadsed pakkumised, tutvustusi ja muid üritusi ning eelseisvaid sündmusi.
• Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid oluliste teadete ja teadete saatmiseks.
• Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, näiteks auditite, andmeanalüüsi ja erinevate uuringute läbiviimiseks, et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile soovitusi meie teenuste kohta.
• Kui osalete auhinnaloosis, -võistlusel või sarnases kampaanias, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.

Teabe avaldamine kolmandatele isikutele

Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.

Erandid:

• Vajadusel - vastavalt seadusele, kohtumenetlusele, sisse kohtuprotsess ja/või Vene Föderatsiooni avalike taotluste või valitsusasutuste taotluste alusel – avaldage oma isikuandmed. Võime teie kohta teavet avaldada ka juhul, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muudel avalikel eesmärkidel.
• Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime kogutud isikuandmed edastada kohaldatavale õigusjärglasele kolmandale osapoolele.

Isikuandmete kaitse

Me võtame kasutusele ettevaatusabinõud – sealhulgas halduslikud, tehnilised ja füüsilised –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.

Teie privaatsuse austamine ettevõtte tasandil

Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvastandardid ning rakendame rangelt privaatsustavasid.

Lihtsaim viis arvust juure lahutamiseks on kalkulaator. Kuid kui teil pole kalkulaatorit, peate teadma ruutjuure arvutamise algoritmi. Fakt on see, et juure all on ruudukujuline arv. Näiteks 4 ruut on 16. See tähendab, et 16 ruutjuur võrdub neljaga. Samuti on 5 ruudus 25. Seetõttu on 25 juur 5. Ja nii edasi.

Kui arv on väike, saab seda hõlpsasti verbaalselt lahutada, näiteks 25 juur võrdub 5-ga ja juur 144-12. Samuti saate arvutada kalkulaatoris, kus peate sisestama numbri ja klõpsama ikoonil;

Ruutjuurte tabel aitab ka:

On ka keerukamaid, kuid väga tõhusaid meetodeid:

Mis tahes arvu juure saab lahutada kalkulaatori abil, eriti kuna need on tänapäeval saadaval igas telefonis.

Võite proovida ligikaudselt hinnata, kuidas antud arv võib välja tulla, korrutades ühe arvu endaga.



Arvu ruutjuure arvutamine pole keeruline, eriti kui teil on spetsiaalne tabel. Algebratundidest tuntud tabel. Seda toimingut nimetatakse arvu ruutjuure võtmiseks, teisisõnu võrrandi lahendamiseks. Peaaegu kõigil nutitelefonide kalkulaatoritel on ruutjuure määramise funktsioon.



Teadaoleva arvu ruutjuure võtmise tulemuseks on teine ​​arv, mis teise astmeni (ruut) tõstes annab sama arvu, mida me teame. Vaatame ühte arvutuskirjeldust, mis tundub lühike ja selge:







Siin on video sellel teemal:

Arvu ruutjuure arvutamiseks on mitu võimalust.

Kõige populaarsem viis on kasutada spetsiaalset juurtabelit (vt allpool).

Samuti on igal kalkulaatoril funktsioon, mille abil saate teada juure.

Või kasutades spetsiaalset valemit.



Arvu ruutjuure eraldamiseks on mitu võimalust. Üks neist on kiireim, kasutades kalkulaatorit.

Kuid kui teil pole kalkulaatorit, saate seda käsitsi teha.

Tulemus saab olema täpne.

Põhimõte on peaaegu sama, mis veeruga jagamisel:



















Proovime leida ilma kalkulaatorita arvu ruutjuure, näiteks 190969.







Seega on kõik äärmiselt lihtne. Arvutustes on peamine kinni pidada teatud lihtsad reeglid ja mõtle loogiliselt.

Selleks vajate ruutude tabelit



Näiteks 100 juur = 10, 20 = 400 43-st = 1849

Nüüd saavad peaaegu kõik kalkulaatorid, sealhulgas nutitelefonides olevad, arvutada arvu ruutjuure. AGA kui teil pole kalkulaatorit, saate numbri juure leida mitmel lihtsal viisil:

Lagunemine sisse peamised tegurid



Muutke radikaalarv teguriteks, mis on ruutarvud. Olenevalt radikaalarvust saad ligikaudse või täpse vastuse. Ruutarvud on arvud, millest saab võtta terve ruutjuure. Arvu tegurid, mille korrutamisel saadakse algne arv. Näiteks arvu 8 tegurid on 2 ja 4, kuna 2 x 4 = 8, arvud 25, 36, 49 on ruutarvud, kuna 25 = 5, 36 = 6, 49 = 7. Ruuttegurid on tegurid, mis on ruutnumbrid. Esmalt proovige radikaalarv arvestada ruutteguritega.

Näiteks arvutage ruutjuur 400-st (käsitsi). Esmalt proovige arvutada 400 ruutteguriteks. 400 on 100 kordne, see tähendab, et jagub 25-ga, on ruutarv. Jagades 400 25-ga, saad 16, mis on samuti ruutnumber. Seega saab 400 arvestada ruutteguritega 25 ja 16, st 25 x 16 = 400.

Kirjutage see üles järgmiselt: 400 = (25 x 16).



Mõne liikme korrutise ruutjuur on võrdne iga liikme ruutjuure korrutisega, see tähendab (a x b) = a x b. Seda reeglit kasutades võtke iga ruutteguri ruutjuur ja vastuse leidmiseks korrutage saadud tulemused.

Meie näites võtke 25 ja 16 juur.



Kui radikaalarv ei lagune kaheks ruudu tegur(ja see juhtub enamikul juhtudel), ei leia te täpset vastust täisarvu kujul. Kuid saate ülesannet lihtsustada, jagades radikaalarvu ruutteguriks ja tavaliseks teguriks (arv, millest ei saa võtta kogu ruutjuurt). Seejärel võtate ruutjuure ja ühisteguri juure.

Näiteks arvutage arvu 147 ruutjuur. Arvu 147 ei saa arvestada kaheks ruutteguriks, küll aga saab selle arvutada järgmisteks teguriteks: 49 ja 3. Lahendage ülesanne järgmiselt:



Nüüd saate juure väärtust hinnata (leida ligikaudne väärtus), võrreldes seda ruuduarvude juurte väärtustega, mis on radikaalarvule kõige lähemal (mõlemal pool arvujoont). Juurväärtuse saate kümnendmurruna, mis tuleb korrutada juuremärgi taga oleva arvuga.

Tuleme tagasi meie näite juurde. Radikaalarv on 3. Sellele lähimad ruutarvud on numbrid 1 (1 = 1) ja 4 (4 = 2). Seega asub 3 väärtus vahemikus 1 ja 2. Kuna 3 väärtus on tõenäoliselt lähemal 2-le kui 1-le, on meie hinnang: 3 = 1,7. Korrutame selle väärtuse juurmärgis oleva arvuga: 7 x 1,7 = 11,9. Kui arvutate kalkulaatoriga, saate 12,13, mis on meie vastusele üsna lähedal.

See meetod töötab ka suurte arvude puhul. Näiteks kaaluge 35. Radikaalarv on 35. Sellele lähimad ruutarvud on arvud 25 (25 = 5) ja 36 (36 = 6). Seega asub väärtus 35 vahemikus 5 ja 6. Kuna väärtus 35 on palju lähemal 6-le kui 5-le (kuna 35 on vaid 1 väiksem kui 36), võime öelda, et 35 on veidi väiksem kui 6. Kontrollimine kalkulaator annab meile vastuseks 5,92 - meil oli õigus.



Teine võimalus on lisada radikaalarv algteguriteks. Arvude algtegurid, mis jaguvad ainult 1-ga ja iseendaga. Kirjutage algtegurid jadasse ja leidke identsete tegurite paarid. Sellised tegurid saab juurmärgist välja võtta.

Näiteks arvutage 45 ruutjuur. Jaotame radikaalarvu algteguriteks: 45 = 9 x 5 ja 9 = 3 x 3. Seega 45 = (3 x 3 x 5). 3 saab välja võtta juurmärgina: 45 = 35. Nüüd saame hinnata 5.

Vaatame teist näidet: 88.

= (2 x 4 x 11)

= (2 x 2 x 2 x 11). Saite kolm kordajat 2; võtke paar neist ja viige need juurmärgist kaugemale.

2(2 x 11) = 22 x 11. Nüüd saad hinnata 2 ja 11 ning leida ligikaudse vastuse.

Kasulik võib olla ka see koolitusvideo:

Arvu juure eraldamiseks peaksite kasutama kalkulaatorit või kui teil pole sobivat, soovitan teil minna sellele saidile ja lahendada probleem kasutades Interneti-kalkulaator, mis annab sekunditega õige väärtuse.

Juurte liitmine ja lahutamine- keskkoolis matemaatika (algebra) kursustel osalejate üks levinumaid komistuskivisid. Nende õige liitmise ja lahutamise õppimine on aga väga oluline, sest näited juurte summa või erinevuse kohta sisalduvad distsipliini “matemaatika” ühtse riigieksami programmis.

Selliste näidete lahendamise valdamiseks on teil vaja kahte asja - reeglite mõistmist ja ka praktikat. Olles lahendanud ühe või kaks tosinat tüüpilist näidet, viib õpilane selle oskuse automatiseerimisse ja siis pole tal ühtsel riigieksamil enam midagi karta. Aritmeetiliste tehtete valdamist on soovitatav alustada liitmisest, sest nende liitmine on veidi lihtsam kui lahutamine.

Lihtsaim viis selle selgitamiseks on ruutjuure kasutamine näitena. Matemaatikas on väljakujunenud mõiste “ruudukujundamine”. "Kruutseerimine" tähendab konkreetse arvu korrutamist iseendaga.. Näiteks kui panete ruutu 2, saate 4. Kui panete ruutu 7, saate 49. Ruut 9 on 81. Seega on 4 ruutjuur 2, 49 ruut on 7 ja 81 ruut on 9.

Selle teema õpetamine matemaatikas algab reeglina ruutjuurtest. Et see kohe kindlaks teha, õpilane keskkooli peab teadma peast korrutustabelit. Kes seda tabelit kindlalt ei tunne, peab kasutama vihjeid. Tavaliselt esitatakse arvust juurruudu eraldamise protsess paljude koolimatemaatika vihikute kaantel tabeli kujul.

Juured on järgmist tüüpi:

• ruut;
• kuubik (või nn kolmas aste);
• neljas aste;
• viies aste.

Lisamise reeglid

Et edukalt lahendada tüüpiline näide, on vaja meeles pidada, et mitte kõik juurarvud saab üksteisega virnastada. Selleks, et need saaks kokku voltida, tuleb need kohale tuua ühtne mudel. Kui see on võimatu, pole probleemil lahendust. Selliseid probleeme leidub sageli ka matemaatikaõpikutes kui omamoodi lõksu õpilastele.

Ülesannetes pole liitmine lubatud, kui radikaalavaldised erinevad üksteisest. Seda saab illustreerida selge näitega:

• Õpilane seisab silmitsi ülesandega: liita ruutjuur 4 ja 9;
• kogenematu õpilane, kes reeglit ei tunne, kirjutab tavaliselt: "4 juur + 9 juur = 13 juur."
• Selle lahenduse vale tõestamine on väga lihtne. Selleks tuleb leida ruutjuur 13-st ja kontrollida, kas näide on õigesti lahendatud;
• mikrokalkulaatori abil saate kindlaks teha, et see on ligikaudu 3,6. Nüüd jääb üle vaid lahendust kontrollida;
• juur 4=2 ja juur 9=3;
• Arvude "kaks" ja "kolm" summa võrdub viiega. Seega võib seda lahendusalgoritmi pidada valeks.

Kui juured on sama astmega, kuid erinevad numbrilised avaldised, võetakse see sulgudest välja ja pannakse sulgudesse kahe radikaalavaldise summa. Seega on see sellest summast juba välja võetud.

Lisamise algoritm

Et õigesti otsustada lihtsaim ülesanne, vajalik:

1. Tehke kindlaks, mis täpselt lisamist vajab.
2. Uurige, kas olemasolevatest matemaatikareeglitest juhindudes on võimalik üksteisele väärtusi lisada.
3. Kui need ei ole kokkupandavad, peate need ümber muutma, et neid saaks kokku voltida.
4. Pärast kõigi vajalike teisenduste tegemist peate lisama ja valmis vastuse üles kirjutama. Sõltuvalt näite keerukusest saate liita peas või mikrokalkulaatori abil.

Mis on sarnased juured

Lisanäite õigeks lahendamiseks peate esmalt mõtlema, kuidas seda lihtsustada. Selleks peavad teil olema algteadmised selle kohta, mis on sarnasus.

Sarnaste tuvastamise võimalus aitab kiiresti lahendada sarnaseid liitmisnäiteid, viies need lihtsustatud kujule. Tüüpilise lisamise näite lihtsustamiseks peate:

1. Leidke sarnased ja eraldage need ühte rühma (või mitmesse rühma).
2. Kirjutage olemasolev näide ümber nii, et sama näitajaga juured järgneksid selgelt üksteisele (seda nimetatakse "rühmitamiseks").
3. Järgmiseks tuleks avaldis uuesti kirjutada, seekord nii, et sarnased (millel on sama indikaator ja sama radikaalkuju) järgneksid ka üksteisele.

Pärast seda on lihtsustatud näidet tavaliselt lihtne lahendada.

Mis tahes lisamise näite õigeks lahendamiseks peate selgelt mõistma liitmise põhireegleid ning teadma, mis on juur ja mis see võib olla.

Mõnikord tunduvad sellised probleemid esmapilgul väga keerulised, kuid tavaliselt on need sarnased rühmitades kergesti lahendatavad. Kõige tähtsam on harjutamine ja siis hakkab õpilane "probleeme nagu pähkleid lõhkuma". Juurte lisamine on matemaatika üks olulisemaid osi, mistõttu peaksid õpetajad pühendama selle õppimisele piisavalt aega.

Video

See video aitab teil mõista ruutjuurtega võrrandeid.