Arvu x n-s juur on mittenegatiivne arv z, mis n-nda astmeni tõstes muutub x-ks. Juure määramine on lisatud lapsepõlves tuttavaks saanud aritmeetiliste põhitoimingute loendisse.

Matemaatiline tähistus

"Juur" pärineb ladinakeelsest sõnast radix ja tänapäeval kasutatakse sõna "radikaalne" selle matemaatilise termini sünonüümina. Alates 13. sajandist on matemaatikud tähistanud juurtehtet r-tähega horisontaalse ribaga radikaalavaldise kohal. 16. sajandil võeti kasutusele tähis V, mis järk-järgult asendas märki r, kuid horisontaaljoon jäi alles. Seda on lihtne trükikojas trükkida või käsitsi kirjutada, aga sisse elektroonilised väljaanded ja programmeerimine on levinud tähemärgistus juur - ruut. Nii tähistame selles artiklis ruutjuuri.

Ruutjuur

Arvu x ruutradikaal on arv z, mis iseendaga korrutades muutub x-ks. Näiteks kui korrutame 2 2-ga, saame 4. Kaks on antud juhul nelja ruutjuur. Korrutage 5 5-ga, saame 25 ja nüüd teame juba avaldise sqrt(25) väärtust. Me võime ja –12 korrutada –12-ga, et saada 144, ja 144 radikaal on nii 12 kui ka –12. Ilmselt võivad ruutjuured olla nii positiivsed kui ka negatiivsed arvud.

Lahendamiseks on oluline selliste juurte omapärane dualism ruutvõrrandid, seetõttu peate sellistele probleemidele vastuseid otsides märkima mõlemad juured. Otsustades algebralised avaldised Kasutatakse aritmeetilisi ruutjuuri, see tähendab ainult nende positiivseid väärtusi.

Arve, mille ruutjuured on täisarvud, nimetatakse täiuslikeks ruutudeks. Selliseid numbreid on terve rida, mille algus näeb välja selline:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256…

Teiste arvude ruutjuured on irratsionaalarvud. Näiteks sqrt(3) = 1.73205080757... ja nii edasi. See arv on lõpmatu ja mitteperioodiline, mis põhjustab selliste radikaalide arvutamisel mõningaid raskusi.

Kooli matemaatikakursus ütleb, et negatiivsete arvude ruutjuuri ei saa võtta. Nagu me õpime ülikooli matemaatilise analüüsi kursusel, saab ja tuleb seda teha – seepärast on vaja kompleksarve. Meie programm on aga loodud ekstraktimiseks tõelised väärtused juured, nii et see ei arvuta negatiivsetest arvudest paarisastmega radikaale.

Kuubijuur

Arvu x kuupradikaal on arv z, mis kolmekordsel endaga korrutamisel annab arvu x. Näiteks kui korrutame 2 × 2 × 2, saame 8. Seetõttu on kaks kaheksa kuupjuur. Korrutage nelik endaga kolm korda ja saame 4 × 4 × 4 = 64. Ilmselgelt on nelik arvu 64 kuupjuur. On olemas lõpmatu arvujada, mille kuupradikaalid on täisarvud. Selle algus näeb välja selline:

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197, 2744…

Teiste arvude puhul on kuupjuured irratsionaalsed arvud. Erinevalt ruutradikaalidest saab kuupjuuri, nagu iga paaritu juuri, tuletada negatiivsetest arvudest. See kõik on seotud numbrite korrutisega vähem kui null. Miinus miinuse eest annab plussi - koolist tuntud reegel. Ja plussi miinus annab miinuse. Kui korrutate negatiivsed arvud paaritu arv kordi, on ka tulemus negatiivne, seetõttu eraldage paaritu radikaal negatiivne arv meid ei häiri miski.

Kalkulaatoriprogramm töötab aga teisiti. Põhimõtteliselt tähendab juure eraldamine selle tõstmist pöördvõimsusele. Ruutjuurt loetakse tõstetuks astmeni 1/2 ja kuupjuurt astmeni 1/3. 1/3 astmeni tõstmise valemit saab ümber korraldada ja väljendada kui 2/6. Tulemus on sama, kuid sellist juurt ei saa negatiivsest arvust eraldada. Seega arvutab meie kalkulaator aritmeetilised juured ainult positiivsete arvude põhjal.

n-s juur

Selline kaunistatud radikaalide arvutamise meetod võimaldab teil määrata mis tahes astme juured mis tahes väljendi põhjal. Võite võtta kuubikujulise arvu viienda juure või arvu 19. radikaali 12. astmeni. Kõik see on elegantselt teostatud tõstmise näol vastavalt 3/5 või 12/19 võimsusele.

Vaatame näidet

Ruudu diagonaal

Ruudu diagonaali irratsionaalsus oli teada juba vanadele kreeklastele. Nad seisid silmitsi lameda ruudu diagonaali arvutamise probleemiga, kuna selle pikkus on alati võrdeline kahe juurega. Diagonaali pikkuse määramise valem on tuletatud ja lõpuks on järgmine:

d = a × sqrt(2).

Määrame oma kalkulaatori abil kahe ruutradikaali. Sisestame lahtrisse „Arv(x)” väärtuse 2 ja lahtrisse „Degree(n)” ka 2. Selle tulemusena saame avaldise sqrt(2) = 1,4142. Seega piisab ruudu diagonaali ligikaudseks hindamiseks selle külje korrutamisest 1,4142-ga.

Järeldus

Radikaali leidmine on standardne aritmeetiline tehe, ilma milleta on teaduslikud või projekteerimisarvutused hädavajalikud. Loomulikult ei pea me igapäevaste probleemide lahendamiseks juurte määrama, kuid meie veebikalkulaator on kindlasti kasulik koolilastele või üliõpilastele algebra või arvutuse kodutööde kontrollimiseks.

On aeg see korda ajada juure ekstraheerimise meetodid. Need põhinevad juurte omadustel, eelkõige võrdusel, mis kehtib iga mittenegatiivse arvu b kohta.

Allpool vaatleme ükshaaval juurte ekstraheerimise peamisi meetodeid.

Alustame kõige lihtsamast juhtumist – naturaalarvudest juurte eraldamine ruutude tabeli, kuubitabeli jne abil.

Kui tabelid ruutudest, kuubikutest jne. Kui teil seda käepärast pole, on loogiline kasutada juure eraldamise meetodit, mis hõlmab radikaalarvu lagundamist algteguriteks.

Eraldi tasub mainida, mis on võimalik paaritute astendajatega juurte puhul.

Lõpuks vaatleme meetodit, mis võimaldab meil järjestikku leida juurväärtuse numbrid.

Alustame.

Kasutades ruutude tabelit, kuubikute tabelit jne.

Kõige lihtsamatel juhtudel võimaldavad ruutude, kuubikute jms tabelid juurte väljavõtmist. Mis need tabelid on?

Täisarvude ruutude tabel vahemikus 0 kuni 99 (näidatud allpool) koosneb kahest tsoonist. Tabeli esimene tsoon asub hallil taustal, valides konkreetse rea ja konkreetse veeru, see võimaldab koostada arvu vahemikus 0 kuni 99. Näiteks valime rea 8 kümnest ja veeru 3 ühikust, sellega fikseerisime numbri 83. Teine tsoon hõivab ülejäänud tabeli. Iga lahter asub kindla rea ​​ja kindla veeru ristumiskohas ning sisaldab vastava arvu ruutu vahemikus 0 kuni 99. Meie valitud 8 kümnest koosneva rea ​​ja 3 üheliste veeru ristumiskohas on lahter numbriga 6889, mis on arvu 83 ruut.

Kuubikute tabelid, arvude 0 kuni 99 neljanda astme tabelid ja nii edasi on sarnased ruutude tabeliga, ainult et need sisaldavad teises tsoonis kuupe, neljandaid astmeid jne. vastavad numbrid.

Ruudude, kuubikute, neljandate astmete jne tabelid. võimaldab eraldada ruutjuuri, kuupjuuri, neljandaid juuri jne. vastavalt nendes tabelites toodud numbritest. Selgitame nende kasutamise põhimõtet juurte ekstraheerimisel.

Oletame, et peame eraldama arvu a n-nda juure, samas kui arv a sisaldub n-nda astme tabelis. Seda tabelit kasutades leiame arvu b nii, et a=b n. Siis , seega on arv b soovitud n-nda astme juur.

Näitena näitame, kuidas kasutada kuubitabelit kuupjuure 19 683 eraldamiseks. Kuubikute tabelist leiame numbri 19 683, sellest leiame, et see arv on numbri 27 kuup, seega .

On selge, et n-nda astme tabelid on juurte eraldamiseks väga mugavad. Tihti pole neid aga käepärast ja nende koostamine nõuab omajagu aega. Pealegi on sageli vaja välja võtta juured numbritest, mida vastavates tabelites pole. Sellistel juhtudel peate kasutama muid juure ekstraheerimise meetodeid.

Radikaalarvu faktoriseerimine algteguriteks

Üsna mugav viis naturaalarvu juure eraldamiseks (juhul, kui juur on muidugi eraldatud), on radikaalarvu lagundamine algteguriteks. Tema point on selles: pärast seda on seda üsna lihtne esitada soovitud astendajaga astmena, mis võimaldab saada juure väärtuse. Teeme selle punkti selgeks.

Olgu naturaalarvu a n-s juur ja selle väärtus võrdub b. Sel juhul on võrdus a=b n tõene. Arvu b, nagu iga naturaalarvu, saab esitada kõigi selle algtegurite p 1 , p 2 , …, p m korrutisena kujul p 1 ·p 2 ·…·p m ja sel juhul radikaalarvu a on esitatud kui (p 1 · p 2 ·… · p m) n . Kuna arvu lagunemine algteguriteks on unikaalne, on radikaalarvu a lagundamine algteguriteks kujul (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, mis võimaldab arvutada juure väärtuse. nagu .

Pange tähele, et kui radikaalarvu a algteguriteks lagunemist ei saa esitada kujul (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, siis sellise arvu a n-ndat juurt ei eraldata täielikult.

Selgitame selle välja näidete lahendamisel.

Näide.

Võtke 144 ruutjuur.

Lahendus.

Kui vaatate eelmises lõigus toodud ruutude tabelit, näete selgelt, et 144 = 12 2, millest on selge, et 144 ruutjuur on 12.

Kuid selle punkti valguses huvitab meid, kuidas juur eraldatakse radikaalarvu 144 algteguriteks lagundamisel. Vaatame seda lahendust.

Laguneme 144 algteguriteks:

See tähendab, et 144=2·2·2·2·3·3. Saadud lagunemise põhjal saab läbi viia järgmised teisendused: 144 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = (2 · 2) 2 · 3 2 = (2 · 2 · 3) 2 = 12 2. Seega .

Kasutades kraadi omadusi ja juurte omadusi, võiks lahuse formuleerida veidi teisiti: .

Vastus:

Materjali koondamiseks kaaluge veel kahe näite lahendusi.

Näide.

Arvutage juure väärtus.

Lahendus.

Radikaalarvu 243 algfaktorisatsioon on kujul 243=3 5 . Seega .

Vastus:

Näide.

Kas juurväärtus on täisarv?

Lahendus.

Sellele küsimusele vastamiseks jagame radikaalarvu algteguriteks ja vaatame, kas seda saab esitada täisarvu kuubina.

Meil on 285 768 = 2 3 · 3 6 · 7 2. Saadud laiendust ei esitata täisarvu kuubina, kuna aste peamine tegur 7 ei ole kolme kordne. Seetõttu ei saa kuupjuurt 285 768 täielikult eraldada.

Vastus:

Ei.

Murdarvudest juurte eraldamine

On aeg välja mõelda, kuidas juurt eemaldada murdarv. Kirjutada murdosa radikaalarv kujul p/q. Jagatise juure omaduse järgi on tõene järgmine võrdsus. Sellest võrdsusest järeldub murru juure eraldamise reegel: Murru juur võrdub lugeja juure jagatisega, mis on jagatud nimetaja juurega.

Vaatame näidet juure murdmisest.

Näide.

Millest on ruutjuur harilik murd 25/169 .

Lahendus.

Kasutades ruutude tabelit, leiame, et algmurru lugeja ruutjuur võrdub 5-ga ja nimetaja ruutjuur on võrdne 13-ga. Siis . See lõpetab hariliku fraktsiooni 25/169 juure ekstraheerimise.

Vastus:

Kümnendmurru või segaarvu juur ekstraheeritakse pärast radikaalarvude asendamist tavaliste murdudega.

Näide.

Võtke kümnendmurru 474,552 kuupjuur.

Lahendus.

Kujutagem ette originaali kümnend hariliku murruna: 474,552=474552/1000. Siis . Jääb välja võtta kuupjuured, mis on saadud murdosa lugejas ja nimetajas. Sest 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 = 78 3 ja 1 000 = 10 3, siis Ja . Jääb vaid arvutused lõpule viia .

Vastus:

.

Negatiivse arvu juure võtmine

Tasub peatuda negatiivsetest arvudest juurte eraldamisel. Juurte uurimisel ütlesime, et kui juureksponent on paaritu arv, siis juurmärgi all võib olla negatiivne arv. Andsime neile kirjetele järgmise tähenduse: negatiivse arvu −a ja juure 2 n−1 paaritu eksponendi korral, . See võrdsus annab reegel negatiivsetest arvudest paaritute juurte eraldamiseks: negatiivse arvu juure eraldamiseks peate võtma vastupidise positiivse arvu juure ja panema tulemuse ette miinusmärgi.

Vaatame näidislahendust.

Näide.

Leidke juure väärtus.

Lahendus.

Teisendame algse avaldise nii, et see ilmub juurmärgi alla positiivne arv: . Nüüd seganumber asendage see tavalise murdosaga: . Rakendame hariliku murru juure eraldamise reeglit: . Jääb arvutada saadud murdosa lugejas ja nimetajas olevad juured: .

Siin on lahenduse lühikokkuvõte: .

Vastus:

.

Juurväärtuse bitipõhine määramine

IN üldine juhtum juure all on arv, mida ülalkirjeldatud tehnikaid kasutades ei saa esitada ühegi arvu n-nda astmena. Kuid sel juhul on vaja teada antud juure tähendust, vähemalt kuni teatud märgini. Sel juhul saate juure ekstraheerimiseks kasutada algoritmi, mis võimaldab teil järjestikku hankida piisav kogus vajaliku numbri numbrite väärtused.

Selle algoritmi esimene samm on välja selgitada, mis on juurväärtuse kõige olulisem bitt. Selleks tõstetakse arvud 0, 10, 100, ... järjestikku astmeni n, kuni saadakse hetk, mil arv ületab radikaalarvu. Seejärel näitab arv, mille tõstsime eelmises etapis astmeni n, vastavat kõige olulisemat numbrit.

Näiteks võtke ekstraheerimisel arvesse seda algoritmi sammu ruutjuur viiest. Võtke arvud 0, 10, 100, ... ja ruudustage need, kuni saame arvu, mis on suurem kui 5. Meil on 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5, mis tähendab, et kõige olulisem number on üks number. Selle biti ja ka madalamate väärtuste leiate juurekstraktsiooni algoritmi järgmistest sammudest.

Algoritmi kõik järgnevad sammud on suunatud juure väärtuse järjestikusele selgitamisele, leides juure soovitud väärtuse järgmiste bittide väärtused, alustades kõrgeimast ja liikudes madalaimateni. Näiteks juure väärtus esimesel etapil osutub 2, teisel - 2,2, kolmandal - 2,23 ja nii edasi 2,236067977…. Kirjeldame, kuidas numbrite väärtused leitakse.

Numbrid leitakse nende võimalike väärtuste 0, 1, 2, ..., 9 kaudu. Sel juhul arvutatakse paralleelselt vastavate arvude n-ndad astmed ja neid võrreldakse radikaalarvuga. Kui mingil etapil ületab astme väärtus radikaalarvu, loetakse eelmisele väärtusele vastav numbri väärtus leitud ja kui seda ei juhtu, viiakse üleminek juure eraldamise algoritmi järgmisele sammule; siis on selle numbri väärtus 9.

Selgitame neid punkte, kasutades sama näidet viie ruutjuure eraldamiseks.

Kõigepealt leiame ühikute numbri väärtuse. Me läbime väärtused 0, 1, 2, ..., 9, arvutades vastavalt 0 2, 1 2, ..., 9 2, kuni saame väärtuse, mis on suurem kui radikaalarv 5. Kõik need arvutused on mugav esitada tabeli kujul:

Seega on ühikute numbri väärtus 2 (alates 2 2<5 , а 2 3 >5). Liigume edasi kümnendike koha väärtuse leidmise juurde. Sel juhul paneme numbrid 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9 ruutu, võrreldes saadud väärtusi radikaalarvuga 5:

Alates 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5, siis kümnendiku koha väärtus on 2. Saate jätkata sajandikukoha väärtuse leidmist:

Nii leitud järgmine väärtus juur viiest, võrdub see 2,23-ga. Ja nii saate jätkata väärtuste leidmist: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Materjali konsolideerimiseks analüüsime vaadeldava algoritmi abil juure eraldamist sajandiku täpsusega.

Kõigepealt määrame kindlaks kõige olulisema numbri. Selleks kuubime arvud 0, 10, 100 jne. kuni saame arvu, mis on suurem kui 2 151 186. Meil on 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151 186 , seega on kõige olulisem number kümnend.

Määrame selle väärtuse.

Alates 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2 151,186, siis on kümnekoha väärtus 1. Liigume edasi üksuste juurde.

Seega on ühe numbri väärtus 2. Liigume kümnendike juurde.

Kuna isegi 12,9 3 on vähem kui radikaalarv 2 151,186, siis kümnendiku koha väärtus on 9. Jääb täita algoritmi viimane samm, see annab meile juurväärtuse vajaliku täpsusega.

Selles etapis leitakse juure väärtus sajandiku täpsusega: .

Selle artikli kokkuvõtteks tahaksin öelda, et juurte ekstraheerimiseks on palju muid viise. Kuid enamiku ülesannete jaoks piisab ülaltoodud ülesannetest.

Viited.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: õpik 8. klassile. õppeasutused.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. ja teised Algebra ja analüüsi alged: Õpik üldharidusasutuste 10. - 11. klassile.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemaatika (käsiraamat tehnikumidesse astujatele).

Insenerikalkulaator Internetis

Meil on hea meel pakkuda kõigile tasuta insenerikalkulaatorit. Selle abiga saab iga õpilane kiiresti ja, mis kõige tähtsam, hõlpsalt teha mitmesuguseid matemaatilisi arvutusi Internetis.

Lihtne ja hõlpsasti kasutatav insenerikalkulaator, millel on märkamatu ja intuitiivne liides, on tõesti kasulik paljudele Interneti-kasutajatele. Nüüd, kui teil on vaja kalkulaatorit, minge meie veebisaidile ja kasutage tasuta insenerikalkulaatorit.

Insenerikalkulaator suudab teha nii lihtsaid aritmeetilisi tehteid kui ka üsna keerulisi matemaatilisi arvutusi.

Web20calc on insenerikalkulaator, millel on tohutult palju funktsioone, näiteks kuidas arvutada kõiki elementaarseid funktsioone. Kalkulaator toetab ka trigonomeetrilisi funktsioone, maatrikseid, logaritme ja isegi graafikuid.

Kahtlemata pakub Web20calc huvi sellele inimrühmale, kes lihtsaid lahendusi otsides sisestab otsingumootoritesse päringu: online matemaatiline kalkulaator. Tasuta veebirakendus aitab teil koheselt arvutada mõne matemaatilise avaldise tulemuse, näiteks lahutada, liita, jagada, eraldada juur, tõsta astmeni jne.

Avaldises saab kasutada astendamise, liitmise, lahutamise, korrutamise, jagamise, protsendi ja PI-konstandi tehteid. Keeruliste arvutuste jaoks tuleks lisada sulud.

Insenerikalkulaatori omadused:

1. aritmeetilised põhitehted;
2. tüüpvormis numbritega töötamine;
3. trigonomeetriliste juurte, funktsioonide, logaritmide, eksponentsiatsiooni arvutamine;
4. statistilised arvutused: liitmine, aritmeetiline keskmine või standardhälve;
5. mälurakkude ja 2 muutuja kohandatud funktsioonide kasutamine;
6. töö nurkadega radiaani- ja kraadimõõtudes.

Tehnikakalkulaator võimaldab kasutada mitmesuguseid matemaatilisi funktsioone:

Juurte väljatõmbamine (ruut-, kuupjuur ja n-s juur);
ex (e x astmeni), eksponentsiaalne;
trigonomeetrilised funktsioonid: siinus - sin, koosinus - cos, puutuja - tan;
pöördtrigonomeetrilised funktsioonid: arcsinus - sin-1, arkosiinus - cos-1, arktangent - tan-1;
hüperboolsed funktsioonid: siinus - sinh, koosinus - cosh, tangens - tanh;
logaritmid: kahendlogaritm kahe baasini - log2x, kümnendlogaritm kümne baasini - log, naturaallogaritm - ln.

See insenerikalkulaator sisaldab ka kogusekalkulaatorit, mis võimaldab teisendada füüsilisi suurusi erinevate mõõtesüsteemide jaoks – arvutiühikud, kaugus, kaal, aeg jne. Seda funktsiooni kasutades saate koheselt teisendada miilid kilomeetriteks, naelad kilogrammideks, sekundid tundideks jne.

Matemaatiliste arvutuste tegemiseks sisestage esmalt vastavale väljale matemaatiliste avaldiste jada, seejärel klõpsake võrdusmärgil ja vaadake tulemust. Väärtusi saab sisestada otse klaviatuurilt (selleks peab kalkulaatori ala olema aktiivne, seetõttu oleks kasulik kursor sisestusväljale asetada). Muuhulgas saab andmeid sisestada kalkulaatori enda nuppude abil.

Graafikute koostamiseks tuleks funktsioon kirjutada sisestusväljale, nagu väljal koos näidetega näidatud või kasutada spetsiaalselt selleks loodud tööriistariba (sellele minemiseks klõpsake graafiku ikooniga nuppu). Väärtuste teisendamiseks klõpsake maatriksitega töötamiseks nuppu Ühik, klõpsake Matrix.

Enne kalkulaatoreid arvutasid õpilased ja õpetajad ruutjuure käsitsi. Arvu ruutjuure käsitsi arvutamiseks on mitu võimalust. Mõned neist pakuvad vaid ligikaudset lahendust, teised annavad täpse vastuse.

Sammud

Peamine faktoriseerimine

Muutke radikaalarv teguriteks, mis on ruutarvud. Olenevalt radikaalarvust saad ligikaudse või täpse vastuse. Ruutarvud on arvud, millest saab võtta terve ruutjuure. Tegurid on arvud, mille korrutamisel saadakse algne arv. Näiteks arvu 8 tegurid on 2 ja 4, kuna 2 x 4 = 8, arvud 25, 36, 49 on ruutarvud, kuna √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Ruuttegurid on tegurid, mis on ruutarvud. Esmalt proovige radikaalarv arvestada ruutteguritega.

• Näiteks arvutage ruutjuur 400-st (käsitsi). Esmalt proovige arvutada 400 ruutteguriteks. 400 on 100 kordne, st jagub 25-ga - see on ruutarv. Jagades 400 25-ga, saad 16. Arv 16 on samuti ruutarv. Seega saab 400 arvestada ruutteguritega 25 ja 16, st 25 x 16 = 400.
• Selle saab kirjutada järgmiselt: √400 = √(25 x 16).

1. Mõne liikme korrutise ruutjuur on võrdne iga liikme ruutjuure korrutisega, see tähendab √(a x b) = √a x √b.

   • Kasutage seda reeglit, et võtta iga ruutteguri ruutjuur ja vastuse leidmiseks tulemused korrutada.
     • Meie näites võtke 25 ja 16 juur.
     • √ (25 x 16)
     • √25 x √16

2. 5 x 4 = 20

   • Kui radikaalarv ei muutu kaheks ruutteguriks (ja see juhtub enamikul juhtudel), ei saa te täpset vastust täisarvu kujul leida.
     • Kuid saate ülesannet lihtsustada, jagades radikaalarvu ruutteguriks ja tavaliseks teguriks (arv, millest ei saa võtta kogu ruutjuurt). Seejärel võtate ruutjuure ja ühisteguri juure.
     • Näiteks arvutage arvu 147 ruutjuur. Arvu 147 ei saa arvestada kaheks ruutteguriks, küll aga saab selle arvutada järgmisteks teguriteks: 49 ja 3. Lahendage ülesanne järgmiselt:
     • = 7√3

3. = √ (49 x 3)= √49 x √3

   • Tuleme tagasi meie näite juurde. Radikaalarv on 3. Sellele lähimad ruutarvud on arvud 1 (√1 = 1) ja 4 (√4 = 2). Seega asub √3 väärtus 1 ja 2 vahel. Kuna √3 väärtus on tõenäoliselt lähemal 2-le kui 1-le, on meie hinnang: √3 = 1,7. Korrutame selle väärtuse juurmärgis oleva arvuga: 7 x 1,7 = 11,9. Kui arvutate kalkulaatoriga, saate 12,13, mis on meie vastusele üsna lähedal.
     • See meetod töötab ka suurte arvude puhul. Võtke näiteks √35. Radikaalarv on 35. Sellele lähimad ruuduarvud on numbrid 25 (√25 = 5) ja 36 (√36 = 6). Seega asub √35 väärtus vahemikus 5 ja 6. Kuna √35 väärtus on palju lähemal 6-le kui 5-le (kuna 35 on ainult 1 võrra väiksem kui 36), siis võime öelda, et √35 on veidi väiksem kui 6 Kalkulaatori kontroll annab meile vastuse 5,92 – meil oli õigus.

4. Teine võimalus on lisada radikaalarv algteguriteks. Algtegurid on arvud, mis jaguvad ainult 1-ga ja iseendaga. Kirjutage algtegurid jadasse ja leidke identsete tegurite paarid. Sellised tegurid saab juurmärgist välja võtta.

   • Näiteks arvutage 45 ruutjuur. Jaotame radikaalarvu algteguriteks: 45 = 9 x 5 ja 9 = 3 x 3. Seega √45 = √(3 x 3 x 5). 3 saab välja võtta juurmärgina: √45 = 3√5. Nüüd saame hinnata √5.
   • Vaatame teist näidet: √88.
     • = √ (2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Saite kolm kordajat 2; võtke paar neist ja viige need juurmärgist kaugemale.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Nüüd saate hinnata √2 ja √11 ning leida ligikaudse vastuse.

   Ruutjuure käsitsi arvutamine

   Pika jaotuse kasutamine

   1. See meetod hõlmab pika jagamisega sarnast protsessi ja annab täpse vastuse. Kõigepealt tõmmake vertikaalne joon, mis jagab lehe kaheks pooleks, ja seejärel paremale ja veidi lehe ülemisest servast allapoole tõmmake horisontaaljoon vertikaaljooneni. Nüüd jaga radikaalarv arvupaarideks, alustades komajärgsest murdosast. Seega on number 79520789182.47897 kirjutatud kujul "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".

      • Näiteks arvutame ruutjuure arvust 780.14. Tõmmake kaks joont (nagu pildil näidatud) ja kirjutage antud number üleval vasakul olevale vormile “7 80, 14”. On normaalne, et esimene number vasakult on paaritu number. Kirjutate vastuse (selle numbri juur) paremas ülanurgas.

   2. Esimese arvupaari (või üksikarvu) jaoks vasakult leidke suurim täisarv n, mille ruut on väiksem või võrdne kõnealuse arvupaariga (või üksikarvuga).

      • Teisisõnu, leidke ruutnumber, mis on vasakult esimesele numbripaarile (või üksikarvule) lähim, kuid väiksem kui, ja võtke selle ruutarvu ruutjuur; saad numbri n. Kirjutage n, mille leidsite paremas ülanurgas, ja kirjutage n-i ruut all paremale.< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Meie puhul on esimene number vasakul 7. Järgmisena 4 Lahutage äsja leitud arvu n ruut esimesest vasakpoolsest numbripaarist (või üksiknumbrist).

      • Arvutuse tulemus kirjuta alamjaotuse alla (arvu n ruut).

   4. Meie näites lahutage 7-st 4 ja saate 3. Võtke teine ​​numbripaar maha ja kirjutage see eelmises etapis saadud väärtuse kõrvale.

      • Seejärel kahekordistage üleval paremal olev arv ja kirjutage tulemus all paremale, lisades "_×_=".

   5. Meie näites on teine ​​numbripaar "80". Kirjutage "80" pärast 3. Seejärel kahekordistades paremas ülanurgas olev arv annab 4. Kirjutage all paremale "4_×_=".

      • Täitke paremal pool olevad lüngad.

   6. Kui meie puhul panna kriipsude asemele arv 8, siis 48 x 8 = 384, mis on rohkem kui 380. Seetõttu on 8 liiga suur arv, aga 7 sobib. Kirjutage kriipsude asemele 7 ja saate: 47 x 7 = 329. Kirjutage 7 paremasse ülanurka – see on numbri 780,14 soovitud ruutjuure teine ​​number. Lahutage saadud arv vasakul olevast praegusest arvust.

      • Kirjutage eelmise sammu tulemus vasakul oleva praeguse numbri alla, leidke erinevus ja kirjutage see alamlahtri alla.

   7. Meie näites lahutage 380-st 329, mis võrdub 51-ga. Korrake 4. sammu.

      • Kui ülekantav arvupaar on algarvu murdosa, asetage täisarvu ja murdosa vahele eraldaja (koma) nõutavasse ruutjuuresse üleval paremal. Vasakul tooge alla järgmine numbripaar. Kahekordistage number paremas ülanurgas ja kirjutage tulemus all paremale, lisades "_×_=".

   8. Meie näites on järgmine eemaldatav numbripaar arvu 780.14 murdosa, seega asetage täisarvu ja murdosa eraldaja paremas ülanurgas soovitud ruutjuuresse. Võtke 14 maha ja kirjutage see alla vasakus servas. Topeltnumber paremas ülanurgas (27) on 54, seega kirjutage all paremale "54_×_=". Korrake samme 5 ja 6.

      • Meie näites on 549 x 9 = 4941, mis on väiksem kui praegune arv vasakul (5114). Kirjutage üleval paremale 9 ja lahutage vasakpoolsest praegusest arvust korrutamise tulemus: 5114 - 4941 = 173.

   9. Kui teil on vaja ruutjuure jaoks leida rohkem komakohti, kirjutage praegusest arvust vasakule paar nulli ja korrake samme 4, 5 ja 6. Korrake samme, kuni saate vastuse täpsuse (komakohtade arv). vaja.

   Protsessi mõistmine

   Selle meetodi valdamiseks kujutlege ruudu S pindalana arvu, mille ruutjuure peate leidma. Sel juhul otsite sellise ruudu külje L pikkust. Arvutame L väärtuse nii, et L² = S.

   Andke vastuses igale numbrile täht. Tähistame A-ga esimest numbrit L väärtuses (soovitud ruutjuur). B on teine ​​number, C kolmas ja nii edasi.

   Määrake iga esimeste numbrite paari jaoks täht. Tähistame S a-ga esimest numbripaari S väärtuses, S b-ga teist numbripaari jne.

   Mõistke seost selle meetodi ja pika jaotuse vahel. Nii nagu jagamisel, kus meid huvitab iga kord ainult jagatava arvu järgmine number, töötame ruutjuure arvutamisel läbi numbripaari järjestikku (et saada ruutjuure väärtuses järgmine number) .

   1. Vaatleme arvu S esimest numbripaari Sa (meie näites Sa = 7) ja leidke selle ruutjuur. Sel juhul on soovitud ruutjuure väärtuse esimene number A number, mille ruut on väiksem kui S a või sellega võrdne (see tähendab, et me otsime sellist A, mille võrratus A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Oletame, et peame jagama 88962 7-ga; siin on esimene samm sarnane: arvestame jaguva arvu 88962 esimest numbrit (8) ja valime suurima arvu, mis 7-ga korrutades annab väärtuse, mis on väiksem või võrdne 8-ga. See tähendab, et me otsime arv d, mille võrratus on tõene: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. Kujutage vaimselt ette ruutu, mille pindala peate arvutama. Otsite L-i, st ruudu külje pikkust, mille pindala on võrdne S-ga. A, B, C on arvus L olevad arvud. Võite selle kirjutada erinevalt: 10A + B = L (for kahekohaline arv) või 100A + 10B + C = L (kolmekohalise arvu korral) ja nii edasi.

      • Lase (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Pidage meeles, et 10A+B on arv, milles number B tähistab ühikuid ja number A kümneid. Näiteks kui A=1 ja B=2, siis 10A+B võrdub arvuga 12. (10A+B)² on kogu ruudu pindala, 100A²- suure siseväljaku pindala, B²- väikese sisemise ruudu pindala, 10A × B- mõlema ristküliku pindala. Kirjeldatud jooniste pindalade liitmisel leiate algse ruudu pindala.

Juhised

Arvu suurendamiseks 1/3 astmeni sisestage arv, seejärel klõpsake astendamise nuppu ja sisestage ligikaudne väärtus 1/3 – 0,333. See täpsus on enamiku arvutuste jaoks täiesti piisav. Arvutuste täpsust on aga väga lihtne suurendada – lisa lihtsalt nii palju kolmikuid, kui kalkulaatori indikaatorile mahub (näiteks 0,3333333333333333). Seejärel klõpsake nuppu "=".

Kolmanda juure arvutamiseks arvuti abil käivitage Windowsi kalkulaator. Kolmanda juure arvutamise protseduur on täiesti sarnane ülalkirjeldatule. Ainus erinevus on astendamise nupu kujunduses. Kalkulaatori virtuaalsel klaviatuuril on see tähistatud kui “x^y”.

Kolmanda juure saab arvutada ka MS Excelis. Selleks sisestage mis tahes lahtrisse "=" ja valige ikoon "sisesta" (fx). Valige kuvatavas aknas funktsioon "DEGREE" ja klõpsake nuppu "OK". Ilmuvas aknas sisestage selle arvu väärtus, mille jaoks soovite kolmanda juure arvutada. Väljale "Kraadi" sisestage arv "1/3". Sisestage arv 1/3 täpselt sellisel kujul - nagu tavaline. Pärast seda klõpsake nuppu "Ok". Antud arvu kuupjuur ilmub tabeli lahtrisse, kus see loodi.

Kui kolmandat juurt tuleb pidevalt arvutada, siis täiusta veidi ülalkirjeldatud meetodit. Arvu jaoks, millest soovite juure eraldada, märkige mitte arv ise, vaid tabeli lahter. Pärast seda sisestage iga kord sellesse lahtrisse algne arv - selle kuupjuur ilmub valemiga lahtrisse.

Video teemal

Pange tähele

Järeldus. Selles artiklis uuriti erinevaid kuupjuure väärtuste arvutamise meetodeid. Selgus, et kuupjuure väärtused saab leida iteratsioonimeetodi abil, samuti saate kuupjuure ligikaudselt hinnata, tõsta arvu astmeni 1/3, otsida kolmanda juure väärtusi kasutades Microsoft Office Ecxel, valemite määramine lahtrites.

Kasulikud nõuanded

Eriti sageli kasutatakse teise ja kolmanda astme juuri ja seetõttu on neil erinimetused. Ruutjuur: sel juhul jäetakse eksponent tavaliselt välja ja termin "juur" ilma eksponendit määramata viitab enamasti ruutjuurele. Praktiline juurte arvutamine Algoritm n-nda astme juure leidmiseks. Kõikides kalkulaatorites on tavaliselt ette nähtud ruut- ja kuupjuured.

Allikad:

• kolmas juur
• Kuidas võtta Excelis ruutjuur N-nda astmeni

Juure leidmise operatsioon kolmandaks kraadid Seda nimetatakse tavaliselt "kuupjuure" eraldamiseks ja see seisneb reaalarvu leidmises, mille kuup annab radikaalarvuga võrdse väärtuse. Mis tahes aritmeetilise juure eraldamise operatsioon kraadid n on samaväärne võimsusele 1/n tõstmise operatsiooniga. Kuubiku juure praktiliselt arvutamiseks saate kasutada mitmeid meetodeid.