Jätkates teemat "Võrrandite lahendamine", tutvustab selle artikli materjal teile ruutvõrrandeid.

Vaatleme kõike üksikasjalikult: ruutvõrrandi olemust ja registreerimist, määratleme sellega seotud terminid, analüüsime mittetäieliku ja mittetäieliku lahendamise skeemi. täielikud võrrandid, tutvume juurte ja diskriminandi valemiga, loome seoseid juurte ja koefitsientide vahel ning loomulikult anname praktilistele näidetele visuaalse lahenduse.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ruutvõrrand, selle liigid

Ruutvõrrand on võrrand, mis on kirjutatud kujul a x 2 + b x + c = 0, Kus x– muutuja, a , b ja c– mõned numbrid, samas a ei ole null.

Sageli ruutvõrrandid nimetatakse ka teise astme võrranditeks, kuna sisuliselt on ruutvõrrand teise astme algebraline võrrand.

Toome illustreerimiseks näite antud määratlus: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 jne. Need on ruutvõrrandid.

2. definitsioon

Numbrid a, b ja c on ruutvõrrandi koefitsiendid a x 2 + b x + c = 0, samas koefitsient a nimetatakse esimeseks ehk vanemaks või koefitsiendiks x 2, b - teiseks koefitsiendiks või koefitsiendiks at x, A c kutsuti vabaliikmeks.

Näiteks ruutvõrrandis 6 x 2 - 2 x - 11 = 0 juhtiv koefitsient on 6, teine ​​koefitsient on − 2 , ja vaba termin on võrdne − 11 . Pöörame tähelepanu asjaolule, et kui koefitsiendid b ja/või c on negatiivsed, siis kasutage lühivorm rekordid nagu 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, kuid mitte 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Täpsustame ka seda aspekti: kui koefitsiendid a ja/või b võrdne 1 või − 1 , siis ei pruugi nad ruutvõrrandi kirjutamises selgesõnaliselt osaleda, mis on seletatav näidatud arvkordajate kirjutamise iseärasustega. Näiteks ruutvõrrandis y 2 – y + 7 = 0 juhtiv koefitsient on 1 ja teine ​​koefitsient on − 1 .

Redutseeritud ja taandamata ruutvõrrandid

Esimese koefitsiendi väärtuse alusel jagatakse ruutvõrrandid taandatud ja taandamata.

3. määratlus

Vähendatud ruutvõrrand on ruutvõrrand, kus juhtiv koefitsient on 1. Juhtkoefitsiendi muude väärtuste puhul on ruutvõrrand redutseerimata.

Toome näiteid: ruutvõrrandid x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0 on taandatud, millest igaühe juhtkoefitsient on 1.

9 x 2 - x - 2 = 0- taandamata ruutvõrrand, kus esimene koefitsient erineb 1 .

Iga taandamata ruutvõrrandi saab teisendada taandatud võrrandiks, jagades mõlemad pooled esimese koefitsiendiga (ekvivalentne teisendus). Teisendatud võrrandil on samad juured kui antud taandamata võrrandil või puuduvad juured üldse.

Konkreetse näite kaalumine võimaldab meil selgelt näidata üleminekut taandamata ruutvõrrandilt redutseeritud võrrandile.

Näide 1

Arvestades võrrandit 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Algne võrrand on vaja teisendada redutseeritud kujule.

Lahendus

Ülaltoodud skeemi kohaselt jagame algse võrrandi mõlemad pooled juhtkoefitsiendiga 6. Siis saame: (6 x 2 + 18 x – 7) : 3 = 0:3, ja see on sama, mis: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 - 7: 3 = 0 ja edasi: (6:6) x 2 + (18:6) x – 7:6 = 0. Siit: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Seega saadakse võrrand, mis on ekvivalentne antud võrrandiga.

Vastus: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Täielikud ja mittetäielikud ruutvõrrandid

Pöördume ruutvõrrandi definitsiooni juurde. Selles täpsustasime seda a ≠ 0. Võrrandi jaoks on vajalik sarnane tingimus a x 2 + b x + c = 0 oli täpselt kandiline, kuna kl a = 0 see muutub sisuliselt ümber lineaarvõrrand b x + c = 0.

Juhul kui koefitsiendid b Ja c on võrdsed nulliga (mis on võimalik nii eraldi kui ka koos), nimetatakse ruutvõrrandit mittetäielikuks.

4. määratlus

Mittetäielik ruutvõrrand- selline ruutvõrrand a x 2 + b x + c = 0, kus vähemalt üks koefitsientidest b Ja c(või mõlemad) on null.

Täielik ruutvõrrand– ruutvõrrand, milles kõik arvulised koefitsiendid ei ole võrdsed nulliga.

Arutleme, miks ruutvõrrandite tüüpidele on antud just need nimed.

Kui b = 0, saab ruutvõrrand kuju a x 2 + 0 x + c = 0, mis on sama, mis a x 2 + c = 0. Kell c = 0 ruutvõrrand on kirjutatud kujul a x 2 + b x + 0 = 0, mis on samaväärne a x 2 + b x = 0. Kell b = 0 Ja c = 0 võrrand võtab kuju a x 2 = 0. Saadud võrrandid erinevad täielikust ruutvõrrandist selle poolest, et nende vasakpoolsed küljed ei sisalda ei muutujaga x ega vaba liiget ega mõlemat. Tegelikult andis see asjaolu seda tüüpi võrrandile nime – mittetäielik.

Näiteks x 2 + 3 x + 4 = 0 ja −7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 on täielikud ruutvõrrandid; x 2 = 0, − 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – mittetäielikud ruutvõrrandid.

Mittetäielike ruutvõrrandite lahendamine

Ülaltoodud määratlus võimaldab eristada järgmist tüüpi mittetäielikke ruutvõrrandeid:

• a x 2 = 0, vastab see võrrand koefitsientidele b = 0 ja c = 0;
• a · x 2 + c = 0, kui b = 0;
• a · x 2 + b · x = 0, kui c = 0.

Vaatleme järjestikku igat tüüpi mittetäieliku ruutvõrrandi lahendust.

Võrrandi lahend a x 2 =0

Nagu eespool mainitud, vastab see võrrand koefitsientidele b Ja c, võrdne nulliga. Võrrand a x 2 = 0 saab teisendada samaväärseks võrrandiks x 2 = 0, mille saame, kui jagame algse võrrandi mõlemad pooled arvuga a, ei ole võrdne nulliga. Ilmselge tõsiasi on see, et võrrandi juur x 2 = 0 see on null, sest 0 2 = 0 . Sellel võrrandil pole muid juuri, mida saab seletada astme omadustega: mis tahes arvu korral p, ei ole võrdne nulliga, on ebavõrdsus tõsi p 2 > 0, millest järeldub, et millal p ≠ 0 võrdsus p 2 = 0 ei saavutata kunagi.

Definitsioon 5

Seega on mittetäieliku ruutvõrrandi jaoks a x 2 = 0 üks juur x = 0.

Näide 2

Näiteks lahendame mittetäieliku ruutvõrrandi − 3 x 2 = 0. See on võrdne võrrandiga x 2 = 0, selle ainus juur on x = 0, siis on esialgsel võrrandil üks juur - null.

Lühidalt on lahendus kirjutatud järgmiselt:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

Võrrandi a x 2 + c = 0 lahendamine

Järgmine on mittetäielike ruutvõrrandite lahendus, kus b = 0, c ≠ 0, st võrrandid kujul a x 2 + c = 0. Teisendame selle võrrandi, teisaldades ühe võrrandi ühelt poolelt teisele, muutes märgi vastupidiseks ja jagades võrrandi mõlemad pooled arvuga, mis ei ole võrdne nulliga:

• ülekandmine c paremale poole, mis annab võrrandi a x 2 = − c;
• jagage võrrandi mõlemad pooled arvuga a, saame tulemuseks x = - c a .

Meie teisendused on samaväärsed, seega on ka saadud võrrand samaväärne algse võrrandiga ja see asjaolu võimaldab teha järeldusi võrrandi juurte kohta. Alates sellest, millised on väärtused a Ja c avaldise väärtus - c a sõltub: sellel võib olla miinusmärk (näiteks kui a = 1 Ja c = 2, siis - c a = - 2 1 = - 2) või plussmärki (näiteks kui a = -2 Ja c = 6, siis - c a = - 6 - 2 = 3); see ei ole null, sest c ≠ 0. Peatugem üksikasjalikumalt olukordadel, kui - c a< 0 и - c a > 0 .

Juhul kui - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа lk võrdus p 2 = - c a ei saa olla tõene.

Kõik on teisiti, kui - c a > 0: jätke ruutjuur meelde ja selgub, et võrrandi x 2 = - c a juur on arv - c a, kuna - c a 2 = - c a. Pole raske mõista, et arv - - c a on ühtlasi ka võrrandi x 2 = - c a juur: tõepoolest, - - c a 2 = - c a.

Võrrandil pole muid juuri. Seda saame demonstreerida vastuolu meetodi abil. Alustuseks määratleme ülaltoodud juurte tähised kui x 1 Ja − x 1. Oletame, et võrrandil x 2 = - c a on ka juur x 2, mis erineb juurtest x 1 Ja − x 1. Me teame seda võrrandisse asendades x selle juurtest teisendame võrrandi õiglaseks arvuliseks võrduseks.

Sest x 1 Ja − x 1 kirjutame: x 1 2 = - c a , ja jaoks x 2- x 2 2 = - c a . Arvuliste võrduste omaduste põhjal lahutame ühe õige võrdusliikme teisest, mis annab meile: x 1 2 − x 2 2 = 0. Viimase võrdsuse ümberkirjutamiseks kasutame arvudega tehte omadusi (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Teatavasti on kahe arvu korrutis null siis ja ainult siis, kui vähemalt üks arvudest on null. Eeltoodust järeldub, et x 1 − x 2 = 0 ja/või x 1 + x 2 = 0, mis on sama x 2 = x 1 ja/või x 2 = − x 1. Tekkis ilmne vastuolu, sest algul lepiti kokku, et võrrandi juur x 2 erineb x 1 Ja − x 1. Seega oleme tõestanud, et võrrandil pole muid juuri kui x = - c a ja x = - - c a.

Võtame kõik ülaltoodud argumendid kokku.

Definitsioon 6

Mittetäielik ruutvõrrand a x 2 + c = 0 on samaväärne võrrandiga x 2 = - c a, mis:

• ei ole juures - c a< 0 ;
• on kaks juurt x = - c a ja x = - - c a kui - c a > 0.

Toome näiteid võrrandite lahendamisest a x 2 + c = 0.

Näide 3

Antud ruutvõrrand 9 x 2 + 7 = 0. Vaja on leida lahendus.

Lahendus

Liigume vaba liikme võrrandist paremale poole, siis saab võrrand kuju 9 x 2 = −7.
Jagame saadud võrrandi mõlemad pooled arvuga 9 , jõuame x 2 = - 7 9 . Paremal pool näeme miinusmärgiga arvu, mis tähendab: antud võrrandil pole juuri. Siis algne mittetäielik ruutvõrrand 9 x 2 + 7 = 0 ei oma juuri.

Vastus: võrrand 9 x 2 + 7 = 0 pole juuri.

Näide 4

Võrrand tuleb lahendada − x 2 + 36 = 0.

Lahendus

Liigume 36 paremale poole: − x 2 = −36.
Jagame mõlemad osad arvuga − 1 , saame x 2 = 36. Paremal pool - positiivne arv, siit võime järeldada, et x = 36 või x = -36.
Eraldame juure ja kirjutame üles lõpptulemuse: mittetäielik ruutvõrrand − x 2 + 36 = 0 on kaks juurt x=6 või x = −6.

Vastus: x=6 või x = −6.

Võrrandi a x 2 +b x=0 lahendus

Analüüsime kolmandat tüüpi mittetäielikke ruutvõrrandeid, mil c = 0. Mittetäieliku ruutvõrrandi lahenduse leidmiseks a x 2 + b x = 0, kasutame faktoriseerimise meetodit. Faktoriseerime võrrandi vasakul poolel oleva polünoomi, võttes sulgudest välja ühisteguri x. See samm võimaldab teisendada esialgse mittetäieliku ruutvõrrandi selle ekvivalendiks x (a x + b) = 0. Ja see võrrand on omakorda võrdväärne võrrandite kogumiga x = 0 Ja a x + b = 0. Võrrand a x + b = 0 lineaarne ja selle juur: x = − b a.

Definitsioon 7

Seega mittetäielik ruutvõrrand a x 2 + b x = 0 on kaks juurt x = 0 Ja x = − b a.

Tugevdame materjali näitega.

Näide 5

On vaja leida lahendus võrrandile 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0.

Lahendus

Me võtame selle välja x väljaspool sulgusid saame võrrandi x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . See võrrand on samaväärne võrranditega x = 0 ja 2 3 x - 2 2 7 = 0. Nüüd peaksite lahendama saadud lineaarvõrrandi: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Kirjutage võrrandi lahend lühidalt järgmiselt:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 või 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 või x = 3 3 7

Vastus: x = 0, x = 3 3 7.

Diskriminant, ruutvõrrandi juurte valem

Ruutvõrrandite lahenduste leidmiseks on juurvalem:

Definitsioon 8

x = - b ± D 2 · a, kus D = b 2 − 4 a c– ruutvõrrandi nn diskriminant.

x = - b ± D 2 · a kirjutamine tähendab sisuliselt seda, et x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

Kasulik oleks mõista, kuidas see valem tuletati ja kuidas seda rakendada.

Ruutvõrrandi juurte valemi tuletamine

Olgem ruutvõrrandi lahendamise ülesande ees a x 2 + b x + c = 0. Teeme mitu samaväärset teisendust:

• jagage võrrandi mõlemad pooled arvuga a, mis erineb nullist, saame järgmise ruutvõrrandi: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
• Valime saadud võrrandi vasakpoolses servas terve ruudu:
  x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a
  Pärast seda saab võrrand järgmise kuju: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
• Nüüd on võimalik kaks viimast liiget üle kanda paremale poole, muutes märgi vastupidiseks, mille järel saame: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• Lõpuks teisendame viimase võrdsuse paremale küljele kirjutatud avaldise:
  b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .

Seega jõuame võrrandini x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , mis on samaväärne algse võrrandiga a x 2 + b x + c = 0.

Selliste võrrandite lahendust uurisime eelmistes lõikudes (mittetäielike ruutvõrrandite lahendamine). Juba saadud kogemus võimaldab teha järelduse võrrandi x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 juurte kohta:

• koos b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• kui b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, on võrrand x + b 2 · a 2 = 0, siis x + b 2 · a = 0.

Siit on ilmne ainus juur x = - b 2 · a;

• b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0 korral kehtib järgmine: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 või x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , mis on sama kui x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 või x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2, st. võrrandil on kaks juurt.

Võib järeldada, et võrrandi x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 juurte olemasolu või puudumine (ja seega ka algne võrrand) sõltub avaldise b märgist 2 - 4 · a · c 4 · a 2 kirjutatud paremale küljele. Ja selle väljendi märgi annab lugeja märk (nimetaja 4 ja 2 on alati positiivne), see tähendab väljendi märk b 2 − 4 a c. See väljend b 2 − 4 a c nimi on antud - ruutvõrrandi diskriminant ja täht D on defineeritud selle tähistusena. Siin saate kirja panna diskriminandi olemuse - selle väärtuse ja märgi põhjal saavad nad järeldada, kas ruutvõrrandil on reaalsed juured ja kui jah, siis kui palju on juure - üks või kaks.

Pöördume tagasi võrrandi x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 juurde. Kirjutame selle ümber, kasutades diskrimineerivat tähistust: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Sõnastame oma järeldused uuesti:

Definitsioon 9

• juures D< 0 võrrandil pole tegelikke juuri;
• juures D = 0 võrrandil on üks juur x = - b 2 · a ;
• juures D > 0 võrrandil on kaks juurt: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 või x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Lähtuvalt radikaalide omadustest saab need juured kirjutada kujul: x = - b 2 · a + D 2 · a või - b 2 · a - D 2 · a. Ja kui me avame moodulid ja viime murrud ühise nimetajani, saame: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

Niisiis, meie arutluse tulemuseks oli ruutvõrrandi juurte valemi tuletamine:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, diskriminant D arvutatakse valemiga D = b 2 − 4 a c.

Need valemid võimaldavad määrata mõlemad tegelikud juured, kui diskriminant on suurem kui null. Kui diskriminant on null, annab mõlema valemi rakendamine sama juure, nagu ainus otsus ruutvõrrand. Juhul, kui diskriminant on negatiivne ja proovime kasutada ruutvõrrandi juure valemit, seisame silmitsi vajadusega eraldada Ruutjuur alates negatiivne arv, mis viib meid reaalarvudest kaugemale. Negatiivse diskriminandi korral ei ole ruutvõrrandil reaalseid juuri, kuid võimalik on keerukate konjugeeritud juurte paar, mis määratakse kindlaks samade juurvalemitega, mille saime.

Algoritm ruutvõrrandite lahendamiseks juurvalemite abil

Ruutvõrrandit on võimalik lahendada kohe juurvalemi abil, kuid üldjuhul tehakse seda siis, kui on vaja leida keerulisi juuri.

Enamikul juhtudel tähendab see tavaliselt ruutvõrrandi mitte keeruliste, vaid tegelike juurte otsimist. Siis on optimaalne enne ruutvõrrandi juurte valemite kasutamist esmalt määrata diskriminant ja veenduda, et see pole negatiivne (muidu järeldame, et võrrandil pole reaalseid juuri) ja seejärel hakata arvutama juurte väärtus.

Ülaltoodud arutluskäik võimaldab sõnastada ruutvõrrandi lahendamise algoritmi.

Definitsioon 10

Ruutvõrrandi lahendamiseks a x 2 + b x + c = 0, vajalik:

• valemi järgi D = b 2 − 4 a c leida diskrimineeriv väärtus;
• kohas D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• kui D = 0, leidke võrrandi ainus juur, kasutades valemit x = - b 2 · a ;
• kui D > 0, määrake ruutvõrrandi kaks reaaljuurt valemiga x = - b ± D 2 · a.

Pange tähele, et kui diskriminant on null, võite kasutada valemit x = - b ± D 2 · a, see annab sama tulemuse kui valem x = - b 2 · a.

Vaatame näiteid.

Näiteid ruutvõrrandite lahendamisest

Anname näidetele lahenduse erinevaid tähendusi diskrimineeriv.

Näide 6

Peame leidma võrrandi juured x 2 + 2 x - 6 = 0.

Lahendus

Paneme kirja ruutvõrrandi arvulised koefitsiendid: a = 1, b = 2 ja c = – 6. Edasi liigume algoritmi järgi, s.t. Alustame diskriminandi arvutamist, mille asemel asendame koefitsiendid a, b Ja c diskrimineerivasse valemisse: D = b 2 - 4 · a · c = 2 2 - 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Seega saame D > 0, mis tähendab, et algsel võrrandil on kaks reaaljuurt.
Nende leidmiseks kasutame juurvalemit x = - b ± D 2 · a ja asendades vastavad väärtused, saame: x = - 2 ± 28 2 · 1. Lihtsustame saadud avaldist, võttes teguri juurmärgist välja ja seejärel murdu vähendades:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 või x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 või x = - 1 - 7

Vastus: x = -1 + 7​​​​​, x = -1 -7.

Näide 7

Vaja lahendada ruutvõrrand − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Lahendus

Määratleme diskrimineerija: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. Selle diskriminandi väärtusega on algsel võrrandil ainult üks juur, mis määratakse valemiga x = - b 2 · a.

x = -28 2 (-4) x = 3,5

Vastus: x = 3,5.

Näide 8

Võrrand tuleb lahendada 5 a 2 + 6 a + 2 = 0

Lahendus

Selle võrrandi arvulised koefitsiendid on: a = 5, b = 6 ja c = 2. Diskriminandi leidmiseks kasutame neid väärtusi: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Arvutatud diskriminant on negatiivne, seega pole algsel ruutvõrrandil tegelikke juuri.

Juhul, kui ülesandeks on näidata keerulisi juuri, rakendame juurvalemit, tehes kompleksarvudega toiminguid:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 või x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i või x = - 3 5 - 1 5 · i.

Vastus: pole tõelisi juuri; kompleksjuured on järgmised: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

IN kooli õppekava Standardne nõue keeruliste juurte otsimiseks puudub, mistõttu kui lahenduse käigus määratakse diskriminant eitav, kirjutatakse kohe vastus, et pärisjuuri pole.

Juurvalem isegi teise koefitsiendi jaoks

Juurvalem x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) võimaldab saada teise, kompaktsema valemi, mis võimaldab leida lahendusi ruutvõrranditele paariskoefitsiendiga x ( või koefitsiendiga kujul 2 · n, näiteks 2 3 või 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Näitame, kuidas see valem tuletatakse.

Olgem silmitsi ülesandega leida lahendus ruutvõrrandile a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 . Toimime vastavalt algoritmile: määrame diskriminandi D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) ja seejärel kasutame juurvalemit:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a.

Olgu avaldis n 2 − a · c tähistatud kui D 1 (mõnikord on see tähistatud D "). Siis saab teise koefitsiendiga 2 · n vaadeldava ruutvõrrandi juurte valem järgmiselt:

x = - n ± D 1 a, kus D 1 = n 2 − a · c.

On lihtne näha, et D = 4 · D 1 või D 1 = D 4. Teisisõnu, D 1 on neljandik diskriminandist. Ilmselgelt on D 1 märk sama, mis D, mis tähendab, et D 1 märk võib olla ka ruutvõrrandi juurte olemasolu või puudumise indikaator.

Definitsioon 11

Seega, et leida lahendus ruutvõrrandile teise koefitsiendiga 2 n, on vaja:

• leida D 1 = n 2 − a · c ;
• kohas D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• kui D 1 = 0, määrake võrrandi ainus juur, kasutades valemit x = - n a;
• D 1 > 0 korral määrake kaks reaaljuurt valemiga x = - n ± D 1 a.

Näide 9

On vaja lahendada ruutvõrrand 5 x 2 − 6 x − 32 = 0.

Lahendus

Antud võrrandi teist kordajat saame esitada kui 2 · (− 3) . Seejärel kirjutame antud ruutvõrrandi ümber 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0, kus a = 5, n = − 3 ja c = − 32.

Arvutame diskriminandi neljanda osa: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. Saadud väärtus on positiivne, mis tähendab, et võrrandil on kaks reaaljuurt. Määrame need vastava juurvalemi abil:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 või x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 või x = - 2

Arvutusi oleks võimalik teostada ruutvõrrandi juurte tavavalemiga, kuid sel juhul oleks lahendus tülikam.

Vastus: x = 3 1 5 või x = - 2 .

Ruutvõrrandite vormi lihtsustamine

Mõnikord on võimalik algse võrrandi vormi optimeerida, mis lihtsustab juurte arvutamise protsessi.

Näiteks ruutvõrrandit 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 on selgelt mugavam lahendada kui 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0.

Sagedamini teostatakse ruutvõrrandi vormi lihtsustamine selle mõlema külje korrutamise või jagamise teel teatud arvuga. Näiteks näitasime ülalpool võrrandi 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0 lihtsustatud esitust, mis saadakse mõlema poole jagamisel 100-ga.

Selline teisendus on võimalik, kui ruutvõrrandi koefitsiendid ei ole vastastikku algarvud. Siis jagame tavaliselt võrrandi mõlemad pooled suurimaga ühine jagaja absoluutväärtused selle koefitsiendid.

Näitena kasutame ruutvõrrandit 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Määrame selle koefitsientide absoluutväärtuste GCD: GCD (12, 42, 48) = GCD(GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. Jagame algse ruutvõrrandi mõlemad pooled 6-ga ja saame ekvivalentse ruutvõrrandi 2 x 2 − 7 x + 8 = 0.

Korrutades ruutvõrrandi mõlemad pooled, vabanete tavaliselt murdosa kordajatest. Sel juhul korrutatakse need selle koefitsientide nimetajate väikseima ühiskordsega. Näiteks kui ruutvõrrandi 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 iga osa korrutatakse LCM-iga (6, 3, 1) = 6, siis kirjutatakse see rohkem lihtsal kujul x 2 + 4 x - 18 = 0 .

Lõpuks märgime, et peaaegu alati vabaneme ruutvõrrandi esimese koefitsiendi miinusest, muutes võrrandi iga liikme märke, mis saadakse mõlema poole korrutamisel (või jagamisel) -1-ga. Näiteks ruutvõrrandist − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0 saate minna selle lihtsustatud versioonile 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.

Seos juurte ja koefitsientide vahel

Meile juba tuntud ruutvõrrandite juurte valem x = - b ± D 2 · a väljendab võrrandi juuri oma arvuliste kordajate kaudu. Selle valemi põhjal on meil võimalus täpsustada muid sõltuvusi juurte ja koefitsientide vahel.

Kõige kuulsamad ja rakendatavamad valemid on Vieta teoreem:

x 1 + x 2 = - b a ja x 2 = c a.

Täpsemalt, antud ruutvõrrandi puhul on juurte summa teine ​​koefitsient vastupidine märk, ja juurte korrutis on võrdne vaba liikmega. Näiteks ruutvõrrandi kuju 3 x 2 − 7 x + 22 = 0 vaadates saab kohe kindlaks teha, et selle juurte summa on 7 3 ja juurte korrutis on 22 3.

Ruutvõrrandi juurte ja kordajate vahel võib leida ka mitmeid muid seoseid. Näiteks ruutvõrrandi juurte ruutude summat saab väljendada koefitsientide kaudu:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Mittetäielik ruutvõrrand erineb klassikalistest (täielikest) võrranditest selle poolest, et selle tegurid ehk vaba liige on võrdne nulliga. Selliste funktsioonide graafikud on paraboolid. Sõltuvalt nende üldisest välimusest jagunevad nad 3 rühma. Lahenduspõhimõtted igat tüüpi võrrandite puhul on samad.

Mittetäieliku polünoomi tüübi määramisel pole midagi keerulist. Kõige parem on kaaluda peamisi erinevusi visuaalsete näidete abil:

1. Kui b = 0, siis on võrrand ax 2 + c = 0.
2. Kui c = 0, siis tuleks lahendada avaldis ax 2 + bx = 0.
3. Kui b = 0 ja c = 0, muutub polünoom võrduseks nagu ax 2 = 0.

Viimane juhtum on pigem teoreetiline võimalus ja seda teadmiste kontrollimise ülesannetes kunagi ei esine, kuna avaldises on muutuja x ainus õige väärtus null. Edaspidi käsitletakse 1) ja 2) tüüpi mittetäielike ruutvõrrandite lahendamise meetodeid ja näiteid.

Üldine algoritm muutujate otsimiseks ja näited koos lahendustega

Sõltumata võrrandi tüübist taandatakse lahendusalgoritm järgmisteks sammudeks:

1. Vähendage avaldis juurte leidmiseks sobivasse vormi.
2. Tehke arvutused.
3. Kirjutage vastus üles.

Lihtsaim viis mittetäielike võrrandite lahendamiseks on nende koefitsient vasak pool ja jättes paremale nulli. Seega taandatakse mittetäieliku ruutvõrrandi valem juurte leidmiseks x väärtuse arvutamiseks iga teguri jaoks.

Saate õppida, kuidas seda lahendada ainult praktikas, nii et mõelgem konkreetne näide mittetäieliku võrrandi juurte leidmine:

Nagu näha, sisse sel juhul b = 0. Teguriseerime vasaku külje ja saame avaldise:

4 (x – 0,5) ⋅ (x + 0,5) = 0.

Ilmselt on korrutis võrdne nulliga, kui vähemalt üks teguritest on võrdne nulliga. Muutuja x1 = 0,5 ja (või) x2 = -0,5 väärtused vastavad sarnastele nõuetele.

Lagundamise ülesandega hõlpsalt ja kiiresti toimetulemiseks ruuttrinoom tegurite puhul pidage meeles järgmist valemit:

Kui avaldises pole vaba terminit, on probleem oluliselt lihtsustatud. Piisab lihtsalt leidmisest ja sulgudest ühine nimetaja. Selguse huvides vaatleme näidet mittetäielike ruutvõrrandite lahendamisest kujul ax2 + bx = 0.

Võtame muutuja x sulgudest välja ja saame järgmise avaldise:

x ⋅ (x + 3) = 0.

Loogikast juhindudes jõuame järeldusele, et x1 = 0 ja x2 = -3.

Traditsiooniline lahendusmeetod ja mittetäielikud ruutvõrrandid

Mis juhtub, kui rakendate diskrimineeriva valemi ja proovite leida nulliga võrdsete kordajatega polünoomi juured? Võtame näite kogust tüüpilised ülesanded matemaatika 2017. aasta ühtse riigieksami puhul lahendame selle tüüpvalemite ja faktoriseerimismeetodi abil.

7x 2 – 3x = 0.

Arvutame diskrimineeriva väärtuse: D = (-3)2 – 4 ⋅ (-7) ⋅ 0 = 9. Selgub, et polünoomil on kaks juurt:

Nüüd lahendame võrrandi faktooringuga ja võrdleme tulemusi.

X ⋅ (7x + 3) = 0,

2) 7x + 3 = 0,
7x = -3,
x = -.

Nagu näete, annavad mõlemad meetodid sama tulemuse, kuid võrrandi lahendamine teise meetodi abil oli palju lihtsam ja kiirem.

Vieta teoreem

Aga mida teha Vieta lemmikteoreemiga? Kas seda meetodit saab kasutada, kui kolmik on mittetäielik? Proovime mõista mittetäielike võrrandite toomise aspekte klassikaline välimus ax2 + bx + c = 0.

Tegelikult on sel juhul võimalik Vieta teoreemi rakendada. Tuleb vaid viia avaldis selle üldkujule, asendades puuduvad terminid nulliga.

Näiteks b = 0 ja a = 1 korral tuleks segiajamise võimaluse välistamiseks ülesanne kirjutada kujul: ax2 + 0 + c = 0. Seejärel juurte summa ja korrutise suhe ja polünoomi tegureid saab väljendada järgmiselt:

Teoreetilised arvutused aitavad probleemi olemusega tutvuda ja nõuavad lahendamisel alati praktilisi oskusi konkreetsed ülesanded. Pöördume uuesti ühtse riigieksami tüüpülesannete teatmeteosse ja leiame sobiva näite:

Kirjutame avaldise Vieta teoreemi rakendamiseks sobival kujul:

x 2 + 0 – 16 = 0.

Järgmine samm on tingimuste süsteemi loomine:

Ilmselgelt on ruutpolünoomi juured x 1 = 4 ja x 2 = -4.

Nüüd harjutame võrrandi viimist üldisele kujule. Võtame järgmise näite: 1/4× x 2 – 1 = 0

Vieta teoreemi avaldisele rakendamiseks on vaja murdosast lahti saada. Korrutame vasaku ja parema külje 4-ga ja vaatame tulemust: x2– 4 = 0. Saadud võrdus on valmis lahendama Vieta teoreemiga, kuid vastuse saamine on palju lihtsam ja kiirem lihtsalt liigutades c = 4 võrrandi paremale küljele: x2 = 4.

Kokkuvõtteks tuleks öelda, et parim viis mittetäielike võrrandite lahendamine on faktoriseerimine, on kõige lihtsam ja kiire meetod. Kui juurte otsimisel tekib raskusi, võite ühendust võtta traditsiooniline meetod juurte leidmine diskriminandi kaudu.

Teeme koostööd ruutvõrrandid. Need on väga populaarsed võrrandid! Väga üldine vaade ruutvõrrand näeb välja selline:

Näiteks:

Siin A =1; b = 3; c = -4

Siin A =2; b = -0,5; c = 2,2

Siin A =-3; b = 6; c = -18

No saate aru...

Kuidas lahendada ruutvõrrandid? Kui teie ees on ruutvõrrand sellisel kujul, on kõik lihtne. Jätame meelde Maagiline sõna diskrimineeriv . Harva mõni gümnaasiumiõpilane pole seda sõna kuulnud! Fraas „lahendame diskrimineerija kaudu” äratab usaldust ja kindlustunnet. Sest diskrimineerijalt pole vaja trikke oodata! Seda on lihtne ja probleemivaba kasutada. Seega näeb ruutvõrrandi juurte leidmise valem välja järgmine:

Juuremärgi all olev väljend on üks diskrimineeriv. Nagu näete, kasutame X leidmiseks ainult a, b ja c. Need. koefitsiendid ruutvõrrandist. Lihtsalt asendage väärtused ettevaatlikult a, b ja c See on valem, mida me arvutame. Asendame oma märkidega! Näiteks esimese võrrandi jaoks A =1; b = 3; c= -4. Siin paneme selle kirja:

Näide on peaaegu lahendatud:

See on kõik.

Millised juhtumid on selle valemi kasutamisel võimalikud? Juhtumeid on ainult kolm.

1. Diskriminant on positiivne. See tähendab, et juurt saab sellest eraldada. Kas juur on hästi või halvasti välja võetud, on teine ​​küsimus. Oluline on see, mis põhimõtteliselt välja võetakse. Siis on teie ruutvõrrandil kaks juurt. Kaks erinevat lahendust.

2. Diskriminant on null. Siis on teil üks lahendus. Rangelt võttes pole see üks juur, vaid kaks identset. Kuid see mängib rolli ebavõrdsuses, kus me uurime seda küsimust üksikasjalikumalt.

3. Diskriminant on negatiivne. Negatiivse arvu ruutjuurt ei saa võtta. No okei. See tähendab, et lahendusi pole.

Kõik on väga lihtne. Ja mis sa arvad, et viga on võimatu teha? No jah, kuidas...
Levinuimad vead on segiajamine märgiväärtustega a, b ja c. Või pigem mitte nende märkidega (kus segadusse ajada?), vaid negatiivsete väärtuste asendamisega juurte arvutamise valemis. Siin aitab valemi üksikasjalik salvestamine konkreetsete numbritega. Kui arvutustega on probleeme, tee seda!

Oletame, et peame lahendama järgmise näite:

Siin a = -6; b = -5; c = -1

Oletame, et teate, et saate harva vastuseid esimesel korral.

Noh, ära ole laisk. Lisarea kirjutamine võtab umbes 30 sekundit ja vigade arv väheneb järsult. Nii et me kirjutame üksikasjalikult koos kõigi sulgude ja märkidega:

Tundub uskumatult raske nii hoolikalt välja kirjutada. Kuid see ainult tundub nii. Proovi. No või vali. Mis on parem, kiire või õige? Pealegi teen ma sulle rõõmu. Mõne aja pärast pole enam vaja kõike nii hoolikalt üles kirjutada. See saab iseenesest korda. Eriti kui kasutad praktilisi tehnikaid, mida kirjeldatakse allpool. Selle hunniku miinustega kurja näite saab lihtsalt ja vigadeta lahendada!

Niisiis, kuidas lahendada ruutvõrrandid läbi diskriminandi, mida me mäletasime. Või nad õppisid, mis on samuti hea. Teate, kuidas õigesti määrata a, b ja c. Kas sa tead, kuidas? tähelepanelikult asendage need juurvalemis ja tähelepanelikult loe tulemust. Saate aru, et võtmesõna siin on tähelepanelikult?

Ruutvõrrandid näevad sageli aga veidi erinevad. Näiteks nii:

See mittetäielikud ruutvõrrandid . Neid saab lahendada ka diskriminandi abil. Peate lihtsalt õigesti aru saama, millega need siin on võrdsed. a, b ja c.

Kas olete sellest aru saanud? Esimeses näites a = 1; b = -4; A c? Seda pole seal üldse! No jah, see on õige. Matemaatikas tähendab see seda c = 0 ! See on kõik. Selle asemel asendage valemis null c, ja meil õnnestub. Sama ka teise näitega. Ainult meil pole siin nulli Koos, A b !

Kuid mittetäielikke ruutvõrrandeid saab lahendada palju lihtsamalt. Ilma igasuguse diskrimineerimiseta. Vaatleme esimest mittetäielik võrrand. Mida saab vasakul küljel teha? X võib sulgudest välja võtta! Võtame selle välja.

Ja mis sellest? Ja see, et korrutis võrdub nulliga siis ja ainult siis, kui mõni tegur on null! Ei usu mind? Olgu, siis mõtle välja kaks nullist erinevat arvu, mis korrutatuna annavad nulli!
Ei tööta? See on kõik...
Seetõttu võime julgelt kirjutada: x = 0, või x = 4

Kõik. Need on meie võrrandi juured. Mõlemad sobivad. Kui asendada ükskõik milline neist algsesse võrrandisse, saame õige identiteedi 0 = 0. Nagu näete, on lahendus palju lihtsam kui diskriminandi kasutamine.

Teise võrrandi saab lahendada ka lihtsalt. Liigutage 9 paremale küljele. Saame:

Jääb üle ainult juur 9-st eraldada ja ongi kõik. Selgub:

Samuti kaks juurt . x = +3 ja x = -3.

Nii lahendatakse kõik mittetäielikud ruutvõrrandid. Kas asetades X sulgudest välja või lihtne ülekanne numbrid paremale ja seejärel juure eraldamine.
Neid tehnikaid on äärmiselt raske segi ajada. Lihtsalt sellepärast, et esimesel juhul peate välja võtma X-i juure, mis on kuidagi arusaamatu, ja teisel juhul pole sulgudest midagi välja võtta...

Nüüd pange tähele praktilisi võtteid, mis vähendavad oluliselt vigade arvu. Needsamad, mis on tingitud tähelepanematusest... Mille pärast muutub see hiljem valusaks ja solvavaks...

Esimene kohtumine. Ärge olge laisk enne ruutvõrrandi lahendamist ja viige see standardvormi. Mida see tähendab?
Oletame, et pärast kõiki teisendusi saate järgmise võrrandi:

Ärge kiirustage juurvalemi kirjutamisega! Peaaegu kindlasti ajate koefitsiendid segamini a, b ja c. Koostage näide õigesti. Esiteks X ruudus, siis ilma ruuduta, siis vaba termin. Nagu nii:

Ja veel kord, ärge kiirustage! Miinus X ruudu ees võib sind tõsiselt häirida. Lihtne on unustada... Vabane miinusest. Kuidas? Jah, nagu eelmises teemas õpetati! Peame kogu võrrandi korrutama -1-ga. Saame:

Nüüd aga võid julgelt juurte valemi kirja panna, diskriminandi arvutada ja näite lahendamise lõpetada. Otsustage ise. Nüüd peaksid teil olema juured 2 ja -1.

Vastuvõtt teine. Kontrollige juuri! Vastavalt Vieta teoreemile. Ärge kartke, ma selgitan kõik! Kontrollimine viimane asi võrrand. Need. mida kasutasime juurvalemi kirja panemiseks. Kui (nagu selles näites) koefitsient a = 1, juurte kontrollimine on lihtne. Piisab nende korrutamisest. Tulemuseks peaks olema vabaliige, st. meie puhul -2. Pange tähele, mitte 2, vaid -2! Vaba liige oma märgiga . Kui see ei õnnestu, tähendab see, et nad on juba kuskil sassi läinud. Otsige viga. Kui see töötab, peate juured lisama. Viimane ja viimane kontroll. Koefitsient peaks olema b Koos vastupidine tuttav. Meie puhul -1+2 = +1. Koefitsient b, mis on enne X, on võrdne -1. Niisiis, kõik on õige!
Kahju, et see on nii lihtne ainult näidete puhul, kus x ruudus on puhas koefitsiendiga a = 1. Kuid vähemalt kontrollige selliseid võrrandeid! Kõik vähem vigu tahe.

Vastuvõtt kolmas. Kui teie võrrandil on murdosakoefitsiendid, vabanege murdudest! Korrutage võrrand ühise nimetajaga, nagu on kirjeldatud eelmises jaotises. Murdudega töötades hiilivad vead millegipärast sisse...

Muide, ma lubasin kurja näite lihtsustada hunniku miinustega. Palun! Siin ta on.

Et mitte miinustest segadusse sattuda, korrutame võrrandi -1-ga. Saame:

See on kõik! Lahendamine on nauding!

Niisiis, võtame teema kokku.

Praktilised nõuanded:

1. Enne lahendamist viime ruutvõrrandi standardkujule ja koostame selle Õige.

2. Kui X ruudu ees on negatiivne koefitsient, siis elimineerime selle, korrutades kogu võrrandi -1-ga.

3. Kui koefitsiendid on murdarvulised, siis elimineerime murrud, korrutades kogu võrrandi vastava teguriga.

4. Kui x ruudus on puhas, selle koefitsient on võrdne ühega, saab lahendit hõlpsasti kontrollida Vieta teoreemi abil. Tee seda!

Murdvõrrandid. ODZ.

Jätkame võrrandite valdamist. Me juba teame, kuidas töötada lineaar- ja ruutvõrranditega. Viimane vaade jäänud - murdvõrrandid. Või kutsutakse neid ka palju auväärsemalt - murdosaline ratsionaalsed võrrandid . See on sama.

Murdvõrrandid.

Nagu nimigi ütleb, sisaldavad need võrrandid tingimata murde. Kuid mitte ainult murrud, vaid need, millel on nimetaja tundmatu. Vähemalt ühes. Näiteks:

Lubage mul teile meelde tuletada, et kui nimetajad on ainult numbrid, need on lineaarsed võrrandid.

Kuidas otsustada murdvõrrandid? Kõigepealt vabane murdosadest! Pärast seda muutub võrrand enamasti lineaarseks või ruutkeskseks. Ja siis me teame, mida teha... Mõnel juhul võib see muutuda identiteediks, näiteks 5=5 või valeks väljendiks, näiteks 7=2. Kuid seda juhtub harva. Mainin seda allpool.

Aga kuidas murdudest lahti saada!? Väga lihtne. Samade identsete teisenduste rakendamine.

Peame kogu võrrandi korrutama sama avaldisega. Et kõik nimetajad väheneksid! Kõik muutub kohe lihtsamaks. Lubage mul selgitada näitega. Peame lahendama võrrandi:

Nagu on õpetatud nooremad klassid? Tõstame kõik ühele poole, viime ühise nimetaja juurde jne. Unusta kuidas kohutav unenägu! Seda peate tegema murdude liitmisel või lahutamisel. Või töötate ebavõrdsusega. Ja võrrandites korrutame kohe mõlemad pooled avaldisega, mis annab meile võimaluse vähendada kõiki nimetajaid (st sisuliselt ühise nimetajaga). Ja mis see väljend on?

Vasakul pool nõuab nimetaja vähendamiseks korrutamist x+2. Ja paremal on vaja korrutada 2-ga. See tähendab, et võrrand tuleb korrutada 2 (x+2). Korruta:

See on tavaline murdude korrutis, kuid ma kirjeldan seda üksikasjalikult:

Pange tähele, et ma ei ava veel klambrit (x + 2)! Seega kirjutan selle tervikuna:

Vasakul küljel tõmbub see täielikult kokku (x+2), ja paremal 2. Mida oligi vaja! Pärast vähendamist saame lineaarne võrrand:

Ja igaüks saab selle võrrandi lahendada! x = 2.

Lahendame veel ühe näite, veidi keerulisema:

Kui me mäletame, et 3 = 3/1, ja 2x = 2x/ 1, võime kirjutada:

Ja jälle vabaneme sellest, mis meile tegelikult ei meeldi - murdosadest.

Näeme, et nimetaja vähendamiseks X-ga peame murdosa korrutama (x–2). Ja mõned ei ole meile takistuseks. No korrutame. Kõik vasak pool ja kõik parem pool:

Jälle sulud (x–2) Ma ei paljasta. Ma töötan klambriga tervikuna, nagu oleks see üks number! Seda tuleb alati teha, muidu ei vähene midagi.

Sügava rahulolutundega vähendame (x–2) ja saame võrrandi ilma murdudeta, joonlauaga!

Avame nüüd sulud:

Toome sarnased, liigutame kõik vasakule ja saame:

Klassikaline ruutvõrrand. Kuid eesootav miinus pole hea. Sellest saab alati lahti korrutades või jagades -1-ga. Kuid kui vaatate näidet tähelepanelikult, märkate, et kõige parem on see võrrand jagada -2-ga! Ühe hoobiga kaob miinus ja koefitsiendid muutuvad atraktiivsemaks! Jagage -2-ga. Vasakul pool - termini kaupa ja paremal - lihtsalt jagage null -2-ga, null ja saame:

Lahendame läbi diskriminandi ja kontrollime Vieta teoreemi abil. Saame x = 1 ja x = 3. Kaks juurt.

Nagu näete, muutus esimesel juhul võrrand pärast teisendust lineaarseks, kuid siin muutub see ruutkeskseks. Juhtub, et pärast murdosadest vabanemist vähenevad kõik X-id. Midagi jääb alles, näiteks 5=5. See tähendab et x võib olla ükskõik milline. Mis iganes see ka poleks, seda ikka vähendatakse. Ja see osutub puhtaks tõeks, 5=5. Kuid pärast murdosadest vabanemist võib see osutuda täiesti valeks, näiteks 2=7. Ja see tähendab seda lahendusi pole! Iga X osutub valeks.

Sai aru peamisest lahendusest murdvõrrandid ? See on lihtne ja loogiline. Muudame algset väljendit nii, et kõik, mis meile ei meeldi, kaoks. Või segab. Sel juhul on need murdarvud. Sama teeme kõikvõimalike keerukate näidetega logaritmide, siinuste ja muude õudustega. Meie Alati Vabaneme sellest kõigest.

Peame aga muutma algset väljendit meile vajalikus suunas reeglite järgi, jah... Mille valdamine on ettevalmistus matemaatika ühtseks riigieksamiks. Nii et me valdame seda.

Nüüd õpime, kuidas ühest neist mööda minna peamised varitsused ühtsel riigieksamil! Aga kõigepealt vaatame, kas sa langed sellesse või mitte?

Vaatame lihtsat näidet:

Asi on juba tuttav, korrutame mõlema poolega (x–2), saame:

Tuletan teile meelde, sulgudega (x–2) Töötame justkui ühe tervikliku avaldisega!

Siin ma enam nimetajatesse ühte ei kirjutanud, see on ebaväärikas... Ja ma ei tõmmanud nimetajatesse sulgusid, v.a. x-2 pole midagi, sa ei pea joonistama. Lühendame:

Avage sulud, liigutage kõik vasakule ja sisestage sarnased:

Lahendame, kontrollime, saame kaks juurt. x = 2 Ja x = 3. Suurepärane.

Oletame, et ülesandes on kirja pandud juur või nende summa, kui juure on rohkem kui üks. Mida me kirjutame?

Kui otsustate, et vastus on 5, siis teie sattusid varitsusele. Ja seda ülesannet teile ei omistata. Nad töötasid asjata... Õige vastus on 3.

Mis viga?! Ja proovite kontrollida. Asendage tundmatu väärtused originaal näide. Ja kui kl x = 3 kõik kasvab imeliselt kokku, saame 9 = 9, siis millal x = 2 See on nulliga jagamine! Mida sa absoluutselt ei saa teha. Tähendab x = 2 ei ole lahendus ja seda ei võeta vastuses arvesse. See on nn kõrvaline või lisajuur. Me lihtsalt loobume sellest. Lõplik juur on üks. x = 3.

Kuidas nii?! – kuulen nördinud hüüatusi. Meile õpetati, et võrrandit saab avaldisega korrutada! See on identne teisendus!

Jah, identne. Väikese tingimuse korral - avaldis, millega me korrutame (jagame) - nullist erinev. A x-2 juures x = 2 võrdub nulliga! Nii et kõik on õiglane.

Ja mida ma nüüd teha saan?! Kas mitte avaldisega korrutada? Kas ma peaksin iga kord kontrollima? Jällegi on ebaselge!

rahulikult! Ära paanitse!

Selles keerulises olukorras päästavad meid kolm võlutähte. Ma tean, mida sa mõtled. Õige! See ODZ . Aktsepteeritavate väärtuste valdkond.

Loodan, et pärast selle artikli uurimist saate teada, kuidas leida täieliku ruutvõrrandi juuri.

Diskriminandi abil lahendatakse ainult täielikud ruutvõrrandid, mittetäielike ruutvõrrandite lahendamiseks kasutatakse muid meetodeid, mille leiate artiklist "Mittetäielike ruutvõrrandite lahendamine".

Milliseid ruutvõrrandeid nimetatakse täielikeks? See võrrandid kujul ax 2 + b x + c = 0, kus koefitsiendid a, b ja c ei ole võrdsed nulliga. Niisiis, täieliku ruutvõrrandi lahendamiseks peame arvutama diskriminandi D.

D = b 2 – 4ac.

Olenevalt diskriminandi väärtusest paneme vastuse kirja.

Kui diskriminant on negatiivne arv (D< 0),то корней нет.

Kui diskriminant on null, siis x = (-b)/2a. Kui diskriminant on positiivne arv (D > 0),

siis x 1 = (-b - √D)/2a ja x 2 = (-b + √D)/2a.

Näiteks. Lahenda võrrand x 2– 4x + 4 = 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Vastus: 2.

Lahendage võrrand 2 x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Vastus: pole juuri.

Lahendage võrrand 2 x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2) = (-5 - 9)/4 = - 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Vastus: – 3,5; 1.

Kujutagem ette täielike ruutvõrrandite lahendust, kasutades joonisel 1 olevat diagrammi.

Neid valemeid kasutades saate lahendada mis tahes täieliku ruutvõrrandi. Peate lihtsalt olema ettevaatlik võrrand kirjutati tüüpvormi polünoomina

A x 2 + bx + c, muidu võid eksida. Näiteks võrrandi x + 3 + 2x 2 = 0 kirjutamisel võite ekslikult otsustada, et

a = 1, b = 3 ja c = 2. Siis

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 ja siis on võrrandil kaks juurt. Ja see pole tõsi. (Vt ülaltoodud näite 2 lahendust).

Seega, kui võrrandit ei kirjutata standardkuju polünoomina, tuleb esmalt kirjutada täis ruutvõrrand standardkuju polünoomina (enne peaks olema suurima eksponendiga monoom, st. A x 2 , siis vähemaga – bx ja siis vabaliige Koos.

Redutseeritud ruutvõrrandi ja paariskoefitsiendiga ruutvõrrandi lahendamisel teises liikmes saab kasutada muid valemeid. Tutvume nende valemitega. Kui täisruutvõrrandis on teisel liikmel paariskoefitsient (b = 2k), siis saate võrrandi lahendada joonise 2 diagrammil näidatud valemite abil.

Täielikku ruutvõrrandit nimetatakse redutseerituks, kui koefitsient at x 2 on võrdne ühega ja võrrand saab kuju x 2 + pikslit + q = 0. Sellise võrrandi võib anda lahenduse jaoks või selle võib saada, jagades kõik võrrandi koefitsiendid koefitsiendiga A, seisab x 2 .

Joonisel 3 on toodud skeem vähendatud ruudu lahendamiseks
võrrandid. Vaatame näidet käesolevas artiklis käsitletud valemite rakendamisest.

Näide. Lahenda võrrand

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Lahendame selle võrrandi joonise 1 diagrammil näidatud valemite abil.

D = 6 2–4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = -1 - √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Vastus: –1 – √3; –1 + √3

Võite märgata, et selles võrrandis on x koefitsient paarisarv, st b = 6 või b = 2k, millest k = 3. Seejärel proovime võrrandit lahendada joonise D diagrammil näidatud valemite abil. 1 = 3 2–3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 – 3√3)/3 = (3 (-1 – √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Vastus: –1 – √3; –1 + √3. Märgates, et kõik selles ruutvõrrandis olevad koefitsiendid jagavad 3-ga ja teostades jagamise, saame taandatud ruutvõrrandi x 2 + 2x – 2 = 0 Lahendage see võrrand taandatud ruutvõrrandi valemite abil
võrrandid joonis 3.

D 2 = 2 2–4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 – 2√3)/2 = (2 (-1 – √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Vastus: –1 – √3; –1 + √3.

Nagu näete, saime selle võrrandi lahendamisel erinevate valemite abil sama vastuse. Seega, kui olete põhjalikult õppinud joonisel 1 kujutatud diagrammil näidatud valemeid, saate alati lahendada mis tahes täieliku ruutvõrrandi.

blog.site, materjali täielikul või osalisel kopeerimisel on vaja linki algallikale.

Ruutvõrrand – lihtne lahendada! *Edaspidi “KU”. Sõbrad, näib, et matemaatikas pole midagi lihtsamat kui sellise võrrandi lahendamine. Kuid miski ütles mulle, et paljudel inimestel on temaga probleeme. Otsustasin vaadata, kui palju tellitavaid kuvamisi Yandex kuus annab. Siin on, mis juhtus, vaata:

Mida see tähendab? See tähendab, et kuus otsib umbes 70 000 inimest see informatsioon, mis sel suvel sellega pistmist on ja mis juhtub seas õppeaastal— taotlusi tuleb kaks korda rohkem. See pole üllatav, sest need poisid ja tüdrukud, kes on ammu kooli lõpetanud ja valmistuvad ühtseks riigieksamiks, otsivad seda teavet ning ka koolilapsed püüavad oma mälu värskendada.

Hoolimata asjaolust, et on palju saite, mis räägivad teile, kuidas seda võrrandit lahendada, otsustasin ka panustada ja materjali avaldada. Esiteks soovin, et külastajad tuleksid minu saidile selle taotluse alusel; teiseks, teistes artiklites, kui “KU” teema üles kerkib, annan lingi sellele artiklile; kolmandaks räägin teile tema lahendusest veidi rohkem, kui teistel saitidel tavaliselt öeldakse. Alustame! Artikli sisu:

Ruutvõrrand on võrrand järgmisel kujul:

kus koefitsiendid a,bja koos suvalised arvud, kus a≠0.

IN koolikursus materjal on esitatud järgmisel kujul - võrrandid jagunevad tinglikult kolme klassi:

1. Neil on kaks juurt.

2. *On ainult üks juur.

3. Neil pole juuri. Siinkohal tasub eriti tähele panna, et neil pole pärisjuuri

Kuidas juuri arvutatakse? Lihtsalt!

Arvutame diskriminandi. Selle "kohutava" sõna all peitub väga lihtne valem:

Juurevalemid on järgmised:

*Neid valemeid pead peast teadma.

Saate kohe kirja panna ja lahendada:

Näide:

1. Kui D > 0, siis on võrrandil kaks juurt.

2. Kui D = 0, siis on võrrandil üks juur.

3. Kui D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Vaatame võrrandit:

Kõrval sel puhul, kui diskriminant on null, ütleb koolikursus, et tulemus on üks juur, siin võrdub see üheksaga. Kõik on õige, see on nii, aga ...

See idee on mõnevõrra vale. Tegelikult on kaks juurt. Jah, jah, ärge imestage, saate kaks võrdset juurt ja et olla matemaatiliselt täpne, tuleks vastuses kirjutada kaks juurt:

x 1 = 3 x 2 = 3

Aga see on nii – väike kõrvalepõige. Koolis saab selle kirja panna ja öelda, et on üks juur.

Nüüd järgmine näide:

Nagu me teame, ei saa negatiivse arvu juurt võtta, seega pole antud juhul lahendust.

See on kogu otsustusprotsess.

Ruutfunktsioon.

See näitab, kuidas lahendus geomeetriliselt välja näeb. Seda on äärmiselt oluline mõista (tulevikus analüüsime ühes artiklis üksikasjalikult ruutvõrratuse lahendust).

See on vormi funktsioon:

kus x ja y on muutujad

a, b, c – antud arvud, mille a ≠ 0

Graafik on parabool:

Ehk siis selgub, et lahendades ruutvõrrandi, kus “y” on võrdne nulliga, leiame parabooli lõikepunktid x-teljega. Neid punkte võib olla kaks (diskriminant on positiivne), üks (diskriminant on null) ja mitte ükski (diskriminant on negatiivne). Üksikasjad selle kohta ruutfunktsioon Saate vaadata Inna Feldmani artikkel.

Vaatame näiteid:

Näide 1: Lahenda 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Vastus: x 1 = 8 x 2 = –12

*Võimalik oli kohe võrrandi vasak ja parem pool 2-ga jagada ehk lihtsustada. Arvutused on lihtsamad.

Näide 2: Otsustama x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 – 4ac = (–22) 2 – 4∙1∙121 = 484–484 = 0

Leidsime, et x 1 = 11 ja x 2 = 11

Vastusesse on lubatud kirjutada x = 11.

Vastus: x = 11

Näide 3: Otsustama x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 – 4ac = (–8) 2 –4, 1, 72 = 64–288 = –224

Diskriminant on negatiivne, reaalarvudes lahendus puudub.

Vastus: lahendust pole

Diskriminant on negatiivne. Lahendus on olemas!

Siin räägime võrrandi lahendamisest juhul, kui saadakse negatiivne diskriminant. Kas sa tead kompleksarvudest midagi? Ma ei hakka siin üksikasjalikult kirjeldama, miks ja kus need tekkisid ning milline on nende konkreetne roll ja vajadus matemaatikas, see on suure eraldi artikli teema.

Kompleksarvu mõiste.

Natuke teooriat.

Kompleksarv z on vormi arv

z = a + bi

kus a ja b on reaalarvud, siis i on nn imaginaarühik.

a+bi – see on ÜKS NUMBER, mitte täiendus.

Imaginaarne ühik on võrdne miinus ühe juurega:

Nüüd kaaluge võrrandit:

Saame kaks konjugeeritud juurt.

Mittetäielik ruutvõrrand.

Vaatleme erijuhtumeid, see on siis, kui koefitsient “b” või “c” on võrdne nulliga (või mõlemad on võrdsed nulliga). Neid saab hõlpsasti lahendada ilma igasuguste diskrimineerivate teguriteta.

Juhtum 1. Koefitsient b = 0.

Võrrand muutub:

Muutame:

Näide:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

Juhtum 2. Koefitsient c = 0.

Võrrand muutub:

Teisendame ja faktoriseerime:

*Korrutis on võrdne nulliga, kui vähemalt üks teguritest on võrdne nulliga.

Näide:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x-5) =0 => x = 0 või x-5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Juhtum 3. Koefitsiendid b = 0 ja c = 0.

Siin on selge, et võrrandi lahendus on alati x = 0.

Kasulikud omadused ja koefitsientide mustrid.

On omadusi, mis võimaldavad lahendada suurte koefitsientidega võrrandeid.

Ax 2 + bx+ c=0 võrdsus kehtib

a + b+ c = 0, See

- kui võrrandi kordajate jaoks Ax 2 + bx+ c=0 võrdsus kehtib

a+ c =b, See

Need omadused aitavad otsustada teatud tüüpi võrrandid

Näide 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Koefitsientide summa on 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, mis tähendab

Näide 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Võrdsus kehtib a+ c =b, Tähendab

Koefitsientide seaduspärasused.

1. Kui võrrandis ax 2 + bx + c = 0 on koefitsient “b” võrdne (a 2 +1) ja koefitsient “c” on arvuliselt võrdne koefitsiendiga “a”, siis on selle juured võrdsed

ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

Näide. Vaatleme võrrandit 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. Kui võrrandis ax 2 – bx + c = 0 on koefitsient “b” võrdne (a 2 +1) ja koefitsient “c” on arvuliselt võrdne koefitsiendiga “a”, siis on selle juured võrdsed

ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

Näide. Vaatleme võrrandit 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Kui võrrandis ax 2 + bx – c = 0 koefitsient "b" on võrdne (a 2 – 1) ja koefitsient “c” on arvuliselt võrdne koefitsiendiga "a", siis on selle juured võrdsed

ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

Näide. Vaatleme võrrandit 17x 2 +288x – 17 = 0.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. Kui võrrandis ax 2 – bx – c = 0 on koefitsient “b” võrdne (a 2 – 1) ja koefitsient c on arvuliselt võrdne koefitsiendiga “a”, siis on selle juured võrdsed

ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

Näide. Vaatleme võrrandit 10x 2 – 99x –10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

Vieta teoreem.

Vieta teoreem on oma nime saanud kuulsa prantsuse matemaatiku Francois Vieta järgi. Vieta teoreemi kasutades saame väljendada suvalise KU juurte summat ja korrutist selle koefitsientide kaudu.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Kokku annab number 14 vaid 5 ja 9. Need on juured. Teatud oskusega saate esitatud teoreemi kasutades palju ruutvõrrandeid kohe suuliselt lahendada.

Vieta teoreem, lisaks. See on mugav selle poolest, et pärast ruutvõrrandi lahendamist tavapärasel viisil (läbi diskriminandi) saab kontrollida saadud juuri. Soovitan seda alati teha.

TRANSPORT MEETOD

Selle meetodi korral korrutatakse koefitsient “a” vaba liikmega, justkui “visatakse” sellele, mistõttu seda nimetatakse "ülekande" meetod. Seda meetodit kasutatakse juhul, kui võrrandi juured on hõlpsasti leitavad Vieta teoreemi abil ja mis kõige tähtsam, kui diskriminant on täpne ruut.

Kui A± b+c≠ 0, siis kasutatakse ülekandetehnikat, näiteks:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Kasutades Vieta teoreemi võrrandis (2), on lihtne kindlaks teha, et x 1 = 10 x 2 = 1

Saadud võrrandi juured tuleb jagada 2-ga (kuna need kaks “visati” x 2-st), saame

x 1 = 5 x 2 = 0,5.

Mis on selle põhjendus? Vaata, mis toimub.

Võrrandite (1) ja (2) diskriminandid on võrdsed:

Kui vaatate võrrandite juuri, saate ainult erinevad nimetajad ja tulemus sõltub täpselt x 2 koefitsiendist:

Teisel (muudetud) on juured, mis on 2 korda suuremad.

Seetõttu jagame tulemuse 2-ga.

*Kui veereme kolm uuesti, jagame tulemuse 3-ga jne.

Vastus: x 1 = 5 x 2 = 0,5

ruut ur-ie ja ühtne riigieksam.

Räägin teile lühidalt selle tähtsusest - TE PEATE OTSUSTAMA kiiresti ja ilma mõtlemiseta, peate teadma juurte ja eristajate valemeid peast. Paljud ühtse riigieksami ülesannetes sisalduvad probleemid taanduvad ruutvõrrandi lahendamisele (kaasa arvatud geomeetrilised).

Midagi väärib märkimist!

1. Võrrandi kirjutamise vorm võib olla "kaudne". Näiteks on võimalik järgmine kirje:

15+ 9x 2 - 45x = 0 või 15x + 42 + 9x 2 - 45x = 0 või 15 -5x + 10x 2 = 0.

Peate selle viima standardvormile (et mitte lahendamisel segadusse sattuda).

2. Pidage meeles, et x on tundmatu suurus ja seda saab tähistada mis tahes muu tähega - t, q, p, h ja teised.