Moodul on üks neist asjadest, millest kõik on justkui kuulnud, aga tegelikult ei saa keegi sellest õieti aru. Seetõttu toimub täna suur õppetund, mis on pühendatud võrrandite lahendamisele moodulitega.

Ma ütlen kohe: õppetund ei ole raske. Ja üldiselt on moodulid suhteliselt lihtne teema. "Jah, muidugi, see pole keeruline! See lööb mu pähe!” - ütlevad paljud õpilased, kuid kõik need ajumurrud tekivad seetõttu, et enamikul pole mitte teadmised peas, vaid mingi jama. Ja selle tunni eesmärk on muuta jama teadmisteks :)

Natuke teooriat

Niisiis, lähme. Alustame kõige olulisemast: mis on moodul? Tuletan meelde, et arvu moodul on lihtsalt sama arv, kuid võetud ilma miinusmärgita. See on näiteks $\left| -5 \parem|=5 $. Või $\left| -129,5 \parem|=129,5 $.

Kas see on nii lihtne? Jah, lihtne. Mis on siis positiivse arvu absoluutväärtus? Siin on veelgi lihtsam: positiivse arvu moodul on võrdne selle arvu endaga: $\left| 5 \right|=5$; $\left| 129,5 \right|=129,5 $ jne.

Selgub kurioosne asi: erinevad numbrid võib olla sama moodul. Näiteks: $\left| -5 \right|=\left| 5 \right|=5$; $\left| -129,5 \right|=\left| 129,5\paremal|=129,5 $. On lihtne näha, millised need numbrid on, millel on samad moodulid: need numbrid on vastupidised. Seega märgime ise, et vastandarvude moodulid on võrdsed:

\[\left| -a \right|=\left| a\right|\]

Teine oluline fakt: moodul ei ole kunagi negatiivne. Ükskõik millise arvu me võtame – olgu see siis positiivne või negatiivne –, selle moodul osutub alati positiivseks (või äärmisel juhul nulliks). Seetõttu nimetatakse moodulit sageli arvu absoluutväärtuseks.

Veelgi enam, kui ühendame mooduli määratluse positiivse ja negatiivne arv, siis saame kõigi arvude jaoks mooduli globaalse definitsiooni. Nimelt: arvu moodul on võrdne arvu endaga, kui arv on positiivne (või null), või võrdne vastupidise arvuga, kui arv on negatiivne. Selle saate kirjutada valemina:

Samuti on olemas nullmoodul, kuid see on alati võrdne nulliga. Lisaks on null ainus arv, millel pole vastandit.

Seega, kui arvestada funktsiooni $y=\left| x \right|$ ja proovige joonistada selle graafik, saate midagi sellist:

Mooduligraafik ja võrrandi lahendamise näide

Sellelt pildilt on kohe selge, et $\left| -m \right|=\left| m \right|$ ja moodulgraafik ei jää kunagi x-teljest allapoole. Kuid see pole veel kõik: punane joon tähistab sirget $y=a$, mis positiivse $a$ korral annab meile kaks juurt korraga: $((x)_(1))$ ja $((x) _(2)) $, aga sellest räägime hiljem :)

Lisaks puhtalt algebralisele määratlusele on olemas ka geomeetriline. Oletame, et arvureal on kaks punkti: $((x)_(1))$ ja $((x)_(2))$. Sel juhul avaldis $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ on lihtsalt määratud punktide vaheline kaugus. Või kui soovite, siis neid punkte ühendava segmendi pikkus:

See määratlus viitab ka sellele, et moodul on alati mittenegatiivne. Aga piisavalt definitsioone ja teooriat – liigume edasi reaalvõrrandite juurde :)

Põhivalem

Olgu, oleme määratluse välja selgitanud. Kuid see ei teinud asja lihtsamaks. Kuidas lahendada võrrandeid, mis sisaldavad just seda moodulit?

Rahune, lihtsalt rahu. Alustame kõige lihtsamatest asjadest. Kaaluge midagi sellist:

\[\left| x\right|=3\]

Seega on $x$ moodul 3. Millega võiks $x$ olla võrdne? Noh, definitsiooni järgi otsustades oleme $x=3$-ga üsna rahul. Tõesti:

\[\left| 3\right|=3\]

Kas on ka muid numbreid? Kork näib vihjavat, et on olemas. Näiteks $x=-3$ on ka $\left| -3 \right|=3$, st. nõutav võrdsus on täidetud.

Ehk siis kui otsime ja mõtleme, leiame veel numbreid? Kuid olgem ausad: rohkem numbreid pole. Võrrand $\left| x \right|=3$ on ainult kaks juurt: $x=3$ ja $x=-3$.

Teeme nüüd ülesande pisut keerulisemaks. Laske funktsioon $f\left(x \right)$ muutuja $x$ asemel rippuda mooduli märgi all ja parempoolse kolmiku asemel paneme suvaline arv$a$. Saame võrrandi:

\[\left| f\left(x \right) \right|=a\]

Niisiis, kuidas me saame selle lahendada? Tuletan teile meelde: $f\left(x \right)$ on suvaline funktsioon, $a$ on suvaline arv. Need. Üldse midagi! Näiteks:

\[\left| 2x+1 \right|=5\]

\[\left| 10x-5 \parem|=-65\]

Pöörame tähelepanu teisele võrrandile. Tema kohta võib kohe öelda: tal pole juuri. Miks? Kõik on õige: kuna see nõuab, et moodul oleks võrdne negatiivse arvuga, mida kunagi ei juhtu, kuna me juba teame, et moodul on alati positiivne arv või äärmisel juhul null.

Kuid esimese võrrandiga on kõik lõbusam. On kaks võimalust: kas mooduli märgi all on positiivne avaldis ja seejärel $\left| 2x+1 \right|=2x+1$ või see avaldis on ikka negatiivne ja siis $\left| 2x+1 \right|=-\left(2x+1 \right)=-2x-1$. Esimesel juhul kirjutatakse meie võrrand ümber järgmiselt:

\[\left| 2x+1 \right|=5\Paremnool 2x+1=5\]

Ja äkki selgub, et submodulaarne avaldis $2x+1$ on tõesti positiivne – see on võrdne arvuga 5. See on saame selle võrrandi ohutult lahendada - saadud juur on osa vastusest:

Need, kes on eriti umbusklikud, võivad proovida asendada leitud juur algvõrrandiga ja veenduda, et mooduli all on tõesti positiivne arv.

Vaatame nüüd negatiivse submodulaarse avaldise juhtumit:

\[\left\( \begin(joon)& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end(joonda) \right.\Rightnarrow -2x-1=5 \Paremnool 2x+1=-5\]

Oih! Jällegi on kõik selge: eeldasime, et $2x+1 \lt 0$ ja tulemuseks saime, et $2x+1=-5$ – tõepoolest, see on väljend vähem kui null. Lahendame saadud võrrandi, teades juba kindlalt, et leitud juur sobib meile:

Kokku saime taas kaks vastust: $x=2$ ja $x=3$. Jah, arvutuste maht osutus veidi suuremaks kui väga lihtsas võrrandis $\left| x \right|=3$, kuid põhimõtteliselt pole midagi muutunud. Nii et võib-olla on mõni universaalne algoritm?

Jah, selline algoritm on olemas. Ja nüüd analüüsime seda.

Moodulimärgist vabanemine

Olgu meile antud võrrand $\left| f\left(x \right) \right|=a$ ja $a\ge 0$ (muidu, nagu me juba teame, pole juuri). Seejärel saate mooduli märgist lahti saada, kasutades järgmist reeglit:

\[\left| f\left(x \right) \right|=a\Rightnarrow f\left(x \right)=\pm a\]

Seega jaguneb meie võrrand mooduliga kaheks, kuid ilma moodulita. See on kõik tehnoloogia! Proovime lahendada paar võrrandit. Alustame sellest

\[\left| 5x+4 \right|=10\Paremnool 5x+4=\pm 10\]

Mõelgem eraldi, kui paremal on kümme pluss, ja eraldi, kui on miinus. Meil on:

\[\begin(joona)& 5x+4=10\Paremnool 5x=6\Paremnool x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\Paremnool 5x=-14\Paremnool x=-\frac(14)(5)=-2,8. \\\lõpp(joonda)\]

See on kõik! Saime kaks juurt: $x=1,2$ ja $x=-2,8$. Kogu lahendus võttis sõna otseses mõttes kaks rida.

Ok, pole kahtlust, vaatame midagi veidi tõsisemat:

\[\left| 7-5x\right|=13\]

Jällegi avame pluss- ja miinusmooduli:

\[\begin(align)& 7-5x=13\Rightnarrow -5x=6\Rightarrow x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\Paremnool -5x=-20\Paremnool x=4. \\\lõpp(joonda)\]

Jälle paar rida – ja vastus ongi valmis! Nagu ma ütlesin, pole moodulites midagi keerulist. Peate lihtsalt meeles pidama mõnda reeglit. Seetõttu liigume edasi ja alustame tõeliselt keerukamate ülesannetega.

Parempoolse muutuja juhtum

Nüüd kaaluge seda võrrandit:

\[\left| 3x-2 \right|=2x\]

See võrrand erineb põhimõtteliselt kõigist eelmistest. Kuidas? Ja see, et võrdusmärgist paremal on avaldis $2x$ - ja me ei saa ju ette teada, kas see on positiivne või negatiivne.

Mida sel juhul teha? Esiteks peame sellest lõplikult aru saama kui võrrandi parem pool osutub negatiivseks, pole võrrandil juuri- me juba teame, et moodul ei saa olla võrdne negatiivse arvuga.

Ja teiseks, kui parempoolne osa on endiselt positiivne (või võrdne nulliga), siis saab toimida täpselt samamoodi nagu varem: lihtsalt avada moodul eraldi plussmärgiga ja eraldi miinusmärgiga.

Seega formuleerime reegli suvaliste funktsioonide $f\left(x \right)$ ja $g\left(x \right)$ jaoks:

\[\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\Rightnarrow \left\( \begin(joona)& f\left(x \right)=\pm g\left(x \right) ), \\& g\left(x \right)\ge 0. \\\end(joonda) \right.\]

Seoses võrrandiga saame:

\[\left| 3x-2 \right|=2x\Paremnool \left\( \begin(joona)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\end(joonda) \right.\]

Eks me saame kuidagi hakkama ka nõudega $2x\ge 0$. Lõpuks võime rumalalt asendada esimesest võrrandist saadud juured ja kontrollida, kas ebavõrdsus kehtib või mitte.

Lahendame siis võrrandi enda:

\[\begin(align)& 3x-2=2\Rightnarrow 3x=4\Rightarrow x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\Paremnool 3x=0\Paremnool x=0. \\\lõpp(joonda)\]

Noh, milline neist kahest juurtest täidab nõuet $2x\ge 0$? Jah mõlemad! Seetõttu on vastuseks kaks numbrit: $x=(4)/(3)\;$ ja $x=0$. See on lahendus :)

Kahtlustan, et mõnel tudengil hakkab juba igav? Noh, vaatame veelgi keerulisemat võrrandit:

\[\left| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \parem|=x-((x)^(3))\]

Kuigi see näeb kurja välja, on see tegelikult ikkagi sama võrrand kujul "moodul võrdub funktsiooniga":

\[\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\]

Ja see lahendatakse täpselt samal viisil:

\[\left| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \paremale|=x-((x)^(3))\Paremnool \vasak\( \begin(joonda)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \left(x-((x)^(3)) \right), \\& x-((x) )^(3))\ge 0. \\\end(joonda) \paremale.\]

Ebavõrdsusega tegeleme hiljem - see on kuidagi liiga kuri (tegelikult on see lihtne, aga me ei lahenda seda). Praegu on parem tegelda saadud võrranditega. Vaatleme esimest juhtumit - see on siis, kui moodulit laiendatakse plussmärgiga:

\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]

Noh, pole aimugi, et peate kõik vasakult kokku koguma, tooma sarnased ja vaadake, mis juhtub. Ja see juhtub:

\[\begin(joona)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\lõpp(joonda)\]

Võtame sulgudest välja ühisteguri $((x)^(2))$ ja saame väga lihtsa võrrandi:

\[((x)^(2))\left(2x-3 \right)=0\Paremnool \vasak[ \begin(joona)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\lõpp(joondamine) \paremale.\]

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1,5.\]

Siin kasutasime ära korrutise olulise omaduse, mille nimel faktoreerisime algse polünoomi: korrutis on võrdne nulliga, kui vähemalt üks teguritest on võrdne nulliga.

Nüüd käsitleme täpselt samamoodi teist võrrandit, mis saadakse mooduli laiendamisel miinusmärgiga:

\[\begin(joona)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\left(x-((x)^(3)) \right); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\left(-3x+2 \right)=0. \\\lõpp(joonda)\]

Jälle sama: korrutis on võrdne nulliga, kui vähemalt üks teguritest on võrdne nulliga. Meil on:

\[\left[ \begin(align)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\end(joonda) \right.\]

Noh, saime kolm juurt: $x=0$, $x=1.5$ ja $x=(2)/(3)\;$. Noh, milline sellest komplektist läheb lõplikku vastust? Selleks pidage meeles, et meil on täiendav piirang ebavõrdsuse kujul:

Kuidas seda nõuet arvesse võtta? Asendame lihtsalt leitud juured ja kontrollime, kas ebavõrdsus kehtib nende $x$ kohta või mitte. Meil on:

\[\begin(align)& x=0\Paremnool x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1,5\Paremnool x-((x)^(3))=1,5-((1,5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\Paremnool x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\lõpp(joonda)\]

Seega juur $x=1,5$ meile ei sobi. Ja vastuseks on ainult kaks juurt:

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(2) (3).\]

Nagu näete, polnud ka sel juhul midagi keerulist - moodulitega võrrandid lahendatakse alati algoritmi abil. Peate lihtsalt hästi aru saama polünoomidest ja ebavõrdsustest. Seetõttu liigume edasi keerukamate ülesannete juurde - mooduleid pole juba üks, vaid kaks.

Kahe mooduliga võrrandid

Siiani oleme õppinud ainult kõige rohkem lihtsad võrrandid— oli üks moodul ja midagi muud. Saatsime selle “midagi muud” ebavõrdsuse teise ossa, moodulist eemale, et lõpuks taandataks kõik võrrandiks kujul $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$ või veelgi lihtsam $\left| f\left(x \right) \right|=a$.

Aga lasteaed lõppes – on aeg kaaluda midagi tõsisemat. Alustame selliste võrranditega:

\[\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\]

See on võrrand kujul "moodul võrdub mooduliga". Põhimõtteliselt oluline punkt on muude terminite ja tegurite puudumine: ainult üks moodul vasakul, veel üks moodul paremal - ja ei midagi enamat.

Keegi arvab nüüd, et selliseid võrrandeid on keerulisem lahendada kui seni uurituid. Aga ei: neid võrrandeid on veelgi lihtsam lahendada. Siin on valem:

\[\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\Rightarrow f\left(x \right)=\pm g\left(x \right)\]

Kõik! Me lihtsalt võrdsustame submodulaarsed avaldised, pannes ühe neist ette pluss- või miinusmärgi. Ja siis lahendame saadud kaks võrrandit - ja juured on valmis! Ei mingeid lisapiiranguid, ebavõrdsust jne. See on väga lihtne.

Proovime seda probleemi lahendada:

\[\left| 2x+3 \right|=\left| 2x-7 \right|\]

Elementaarne, Watson! Moodulite laiendamine:

\[\left| 2x+3 \right|=\left| 2x-7 \right|\Paremnool 2x+3=\pm \left(2x-7 \right)\]

Vaatleme iga juhtumit eraldi:

\[\begin(align)& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2x+3=-\left(2x-7 \right)\Paremnool 2x+3=-2x+7. \\\lõpp(joonda)\]

Esimesel võrrandil pole juuri. Sest millal on $3=-7$? Mis väärtustel $x$? "Mis kuradit on $x$? Kas sa oled kividega loobitud? Seal pole $x$ üldse," ütlete te. Ja sul on õigus. Oleme saanud võrdsuse, mis ei sõltu muutujast $x$ ja samas on võrdsus ise vale. Sellepärast pole ka juuri :)

Teise võrrandiga on kõik veidi huvitavam, aga ka väga-väga lihtne:

Nagu näete, lahendati kõik sõna otseses mõttes paari reaga - me ei oodanud lineaarselt võrrandilt midagi muud :)

Selle tulemusena on lõplik vastus: $x=1$.

Kuidas siis? Raske? Muidugi mitte. Proovime midagi muud:

\[\left| x-1 \right|=\left| ((x)^(2))-3x+2 \parem|\]

Meil on jällegi võrrand kujul $\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|$. Seetõttu kirjutame selle kohe ümber, paljastades mooduli märgi:

\[((x)^(2))-3x+2=\pm \left(x-1 \right)\]

Võib-olla küsib keegi nüüd: "Kuule, mis jama? Miks ilmub "pluss-miinus" parempoolsele väljendile ja mitte vasakule? Rahune maha, ma selgitan nüüd kõike. Tõepoolest, heas mõttes oleksime pidanud oma võrrandi ümber kirjutama järgmiselt:

Seejärel peate avama sulud, viima kõik terminid võrdusmärgi ühele küljele (kuna võrrand on ilmselgelt mõlemal juhul ruut) ja seejärel leidma juured. Kuid peate tunnistama: kui "pluss-miinus" esineb enne kolme terminit (eriti kui üks neist terminitest on ruutväljend), tundub see kuidagi keerulisem kui olukord, kus "pluss-miinus" esineb ainult kahe termini ees.

Kuid miski ei takista meil algset võrrandit järgmiselt ümber kirjutamast:

\[\left| x-1 \right|=\left| ((x)^(2))-3x+2 \right|\Paremnool \vasak| ((x)^(2))-3x+2 \right|=\left| x-1 \right|\]

Mis juhtus? Ei midagi erilist: nad lihtsalt vahetasid vasaku ja parema külje. Väike asi, mis teeb meie elu lõpuks pisut lihtsamaks :)

Üldiselt lahendame selle võrrandi, võttes arvesse pluss- ja miinusvõimalusi:

\[\begin(joona)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\Paremnool ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\left(x-1 \right)\Paremnool ((x)^(2))-2x+1=0. \\\lõpp(joonda)\]

Esimesel võrrandil on juured $x=3$ ja $x=1$. Teine on üldiselt täpne ruut:

\[((x)^(2))-2x+1=((\left(x-1 \right))^(2))\]

Seetõttu on sellel ainult üks juur: $x=1$. Kuid me oleme selle juure juba varem hankinud. Seega läheb lõplikku vastust ainult kaks numbrit:

\[((x)_(1))=3;\quad ((x)_(2))=1.\]

Missioon täidetud! Võid piruka riiulilt võtta ja ära süüa. Neid on 2, sinu oma on keskmine :)

Oluline märkus. Identsete juurte olemasolu erinevaid valikuid mooduli laiendamine tähendab, et algsed polünoomid on faktoriseeritud ja nende tegurite hulgas on kindlasti ühine. Tõesti:

\[\begin(joona)& \left| x-1 \right|=\left| ((x)^(2))-3x+2 \parem|; \\& \left| x-1 \right|=\left| \left(x-1 \right)\left(x-2 \right) \right|. \\\lõpp(joonda)\]

Üks mooduli atribuutidest: $\left| a\cdot b \right|=\left| a \right|\cdot \left| b \right|$ (st korrutise moodul on võrdne mooduli korrutisega), seega saab algse võrrandi ümber kirjutada järgmiselt:

\[\left| x-1 \right|=\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|\]

Nagu näete, on meil tõesti ühine tegur. Nüüd, kui kogute kõik moodulid ühele küljele, saate selle teguri sulust välja võtta:

\[\begin(joona)& \left| x-1 \right|=\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \parem|; \\& \left| x-1 \right|-\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|=0; \\& \left| x-1 \right|\cdot \left(1-\left| x-2 \right| \right)=0. \\\lõpp(joonda)\]

Noh, nüüd pidage meeles, et korrutis on võrdne nulliga, kui vähemalt üks teguritest on võrdne nulliga:

\[\left[ \begin(align)& \left| x-1 \right|=0, \\& \left| x-2 \right|=1. \\\end(joonda) \paremale.\]

Seega on algne kahe mooduliga võrrand taandatud kahele kõige lihtsamale võrrandile, millest me juba tunni alguses rääkisime. Selliseid võrrandeid saab lahendada sõna otseses mõttes paari reaga :)

See märkus võib tunduda tarbetult keeruline ja praktikas kohaldamatu. Kuid tegelikkuses võite kohata palju enamat keerulised ülesanded, kui need, mida täna analüüsime. Nendes saab mooduleid kombineerida polünoomide, aritmeetiliste juurtega, logaritmidega jne. Ja sellistes olukordades võib võrrandi üldist astet alandada, võttes midagi sulgudest välja :)

Nüüd tahaksin analüüsida teist võrrandit, mis esmapilgul võib tunduda hullumeelne. Paljud õpilased jäävad sellega jänni, isegi need, kes arvavad, et saavad moodulitest hästi aru.

Seda võrrandit on aga veelgi lihtsam lahendada kui seda, mida me varem vaatlesime. Ja kui saate aru, miks, saate veel ühe nipi võrrandite kiireks lahendamiseks moodulitega.

Seega võrrand on järgmine:

\[\left| x-((x)^(3)) \right|+\left| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\]

Ei, see pole kirjaviga: moodulite vahel on pluss. Ja me peame leidma, kui palju $x$ on kahe mooduli summa võrdne nulliga :)

Milles ikkagi probleem? Kuid probleem on selles, et iga moodul on positiivne arv või äärmuslikel juhtudel null. Mis juhtub, kui liita kaks positiivset arvu? Ilmselgelt jälle positiivne arv:

\[\begin(joona)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0,004+0,0001=0,0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\end(joonda)\]

Viimane rida võib anda teile aimu: ainus kord, kui moodulite summa on null, on siis, kui iga moodul on null:

\[\left| x-((x)^(3)) \right|+\left| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\Paremnool \vasak\( \begin(joon)& \left| x-((x)^(3)) \right|=0, \\& \left| ((x)^(2))+x-2 \right|=0.

Ja millal on moodul võrdne nulliga? Ainult ühel juhul - kui alammooduli avaldis on võrdne nulliga:

\[((x)^(2))+x-2=0\Paremnool \left(x+2 \right)\left(x-1 \right)=0\Paremnool \vasak[ \begin(joonda)& x=-2 \\& x=1 \\\end(joonda) \paremale.\]

Seega on meil kolm punkti, kus esimene moodul nullitakse: 0, 1 ja −1; samuti kaks punkti, kus teine ​​moodul nullitakse: −2 ja 1. Siiski on vaja, et mõlemad moodulid nullitakse korraga, nii et leitud numbrite hulgast peame valima need, mis sisalduvad mõlemad komplektid. Ilmselgelt on ainult üks selline arv: $x=1$ – see on lõplik vastus.

Lõhestamise meetod

Noh, oleme juba hunniku probleeme käsitlenud ja õppinud palju tehnikaid. Kas sa arvad, et see on kõik? Aga ei! Nüüd vaatame lõplikku tehnikat - ja samal ajal kõige olulisemat. Räägime võrrandite jagamisest mooduliga. Millest me üldse räägime? Läheme veidi tagasi ja vaatame mõnda lihtsat võrrandit. Näiteks see:

\[\left| 3x-5 \right|=5-3x\]

Põhimõtteliselt me ​​juba teame, kuidas sellist võrrandit lahendada, sest see on standardkonstruktsioon kujul $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$. Kuid proovime seda võrrandit veidi teise nurga alt vaadata. Täpsemalt mõelge moodulmärgi all olevale avaldisele. Lubage mul teile meelde tuletada, et mis tahes arvu moodul võib olla võrdne arvu endaga või vastupidine sellele arvule:

\[\left| a \right|=\left\( \begin(align)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end(joonda) \right.\]

Tegelikult on see ebaselgus kogu probleem: kuna mooduli all olev arv muutub (see sõltub muutujast), pole meile selge, kas see on positiivne või negatiivne.

Aga mis siis, kui soovite alguses, et see arv oleks positiivne? Näiteks nõuame, et $3x-5 \gt 0$ – sellisel juhul saame garanteeritult positiivse arvu mooduli märgi all ja saame sellest moodulist täielikult lahti:

Seega muutub meie võrrand lineaarseks, mida saab hõlpsasti lahendada:

Tõsi, kõik need mõtted on mõttekad ainult tingimusel $3x-5 \gt 0$ - me ise kehtestasime selle nõude, et moodulit ühemõtteliselt paljastada. Seetõttu asendame leitud $x=\frac(5)(3)$ selle tingimusega ja kontrollime:

Selgub, et määratud väärtuse $x$ puhul ei ole meie nõue täidetud, sest avaldis osutus võrdseks nulliga ja meil on vaja, et see oleks nullist rangelt suurem. Kurb :(

Aga pole midagi! On ju teine ​​variant $3x-5 \lt 0$. Veelgi enam: on ka juhtum $3x-5=0$ – ka sellega tuleb arvestada, muidu jääb lahendus poolikuks. Niisiis, kaaluge juhtumit $3x-5 \lt 0$:

Ilmselt avaneb moodul miinusmärgiga. Kuid siis tekib kummaline olukord: algses võrrandis jääb nii vasakul kui ka paremal välja sama avaldis:

Huvitav, millisel $x$ on avaldis $5-3x$ võrdne avaldisega $5-3x$? Isegi Captain Obviousness lämbuks sellistest võrranditest sülg, kuid me teame: see võrrand on identiteet, s.t. see kehtib muutuja mis tahes väärtuse kohta!

See tähendab, et meile sobib iga $x$. Meil on aga piirang:

Teisisõnu, vastus ei ole üks arv, vaid terve intervall:

Lõpuks on veel üks juhtum, mida kaaluda: $3x-5=0$. Siin on kõik lihtne: mooduli all on null ja nullmoodul on samuti võrdne nulliga (see tuleneb otseselt definitsioonist):

Aga siis algne võrrand $\left| 3x-5 \right|=5-3x$ kirjutatakse ümber järgmiselt:

Selle juure saime juba eespool, kui kaalusime juhtumit $3x-5 \gt 0$. Pealegi on see juur lahendus võrrandile $3x-5=0$ - see on piirang, mille me ise mooduli lähtestamiseks kasutusele võtsime :)

Seega jääme lisaks intervallile rahule ka selle intervalli lõpus oleva numbriga:

Lõplik vastus kokku: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$ Üsna lihtsa (sisuliselt lineaarse) mooduliga võrrandi vastuses pole sellist jama väga sageli näha, noh, harjuge ära: mooduli raskus seisneb selles, et vastused sellistes võrrandites võivad olla täiesti ettearvamatud.

Midagi muud on palju olulisem: analüüsisime just universaalset algoritmi mooduliga võrrandi lahendamiseks! Ja see algoritm koosneb järgmistest sammudest:

1. Võrdsusta iga võrrandi moodul nulliga. Saame mitu võrrandit;
2. Lahendage kõik need võrrandid ja märkige arvujoonele juured. Selle tulemusel jagatakse sirgjoon mitmeks intervalliks, millest igaühel kuvatakse kõik moodulid unikaalselt;
3. Lahendage iga intervalli algne võrrand ja ühendage vastused.

See on kõik! Jääb vaid üks küsimus: mida teha 1. sammus saadud juurtega? Oletame, et meil on kaks juurt: $x=1$ ja $x=5$. Nad jagavad numbrirea kolmeks osaks:

Millised on siis intervallid? On selge, et neid on kolm:

1. Vasakpoolseim: $x \lt 1$ — ühik ise ei kuulu intervalli;
2. Keskne: $1\le x \lt 5$ - siin sisaldub intervallis üks, aga viit ei arvestata;
3. Parempoolne: $x\ge 5$ – siin on ainult viis!

Ma arvan, et sa juba mõistad mustrit. Iga intervall sisaldab vasakut otsa ja ei sisalda paremat.

Esmapilgul võib selline sissekanne tunduda ebamugav, ebaloogiline ja üldiselt mingi hull. Kuid uskuge mind: pärast väikest harjutamist leiate, et see lähenemine on kõige usaldusväärsem ega sega moodulite ühemõttelist avamist. Parem on kasutada sellist skeemi kui mõelda iga kord: anda praegusele intervallile vasak/parem ots või "viska" see järgmisse.

Selles artiklis analüüsime üksikasjalikult arvu moodul. Meie anname erinevaid määratlusi arvu moodul, tutvustage tähistust ja esitage graafilisi illustratsioone. Samal ajal kaalume erinevaid näiteid arvu mooduli leidmine definitsiooni järgi. Pärast seda loetleme ja põhjendame mooduli peamised omadused. Artikli lõpus räägime sellest, kuidas kompleksarvu moodul määratakse ja leitakse.

Leheküljel navigeerimine.

Numbrimoodul - definitsioon, tähistus ja näited

Kõigepealt tutvustame numbrimooduli tähistus. Arvu a mooduli kirjutame kujul , see tähendab, et arvust vasakule ja paremale asetame mooduli märgi moodustamiseks vertikaalsed kriipsud. Toome paar näidet. Näiteks mooduli −7 saab kirjutada kujul ; moodul 4.125 on kirjutatud kujul ja moodulil on vormi märge.

Järgmine mooduli definitsioon viitab reaalarvude hulga koostisosadele ja seega täisarvudele ning ratsionaal- ja irratsionaalarvudele. Räägime kompleksarvu moodulist in.

Definitsioon.

Arvu a moodul– see on kas arv a ise, kui a on positiivne arv, või arv −a, vastupidine number a kui a on negatiivne arv või 0, kui a=0.

Arvu mooduli hääleline määratlus kirjutatakse sageli järgmisel kujul , tähendab see kirje, et kui a>0 , kui a=0 ja kui a<0 .

Plaati saab esitada kompaktsemal kujul . See märge tähendab, et kui (a on suurem või võrdne 0-ga) ja kui a<0 .

Seal on ka sissekanne . Siin tuleks eraldi selgitada juhtumit, kui a=0. Sel juhul on meil , kuid −0=0, kuna nulli peetakse arvuks, mis on tema enda vastand.

Anname näiteid arvu mooduli leidmisest kasutades toodud määratlust. Näiteks leiame numbrite 15 ja moodulid. Alustame leidmisega. Kuna arv 15 on positiivne, on selle moodul definitsiooni järgi võrdne selle arvu endaga, see tähendab . Mis on arvu moodul? Kuna on negatiivne arv, on selle moodul võrdne arvule vastupidise arvuga, see tähendab arvuga . Seega,.

Selle punkti lõpetuseks esitame ühe järelduse, mida on praktikas väga mugav kasutada arvu mooduli leidmisel. Arvu mooduli definitsioonist järeldub, et arvu moodul on võrdne mooduli märgi all oleva arvuga, arvestamata selle märki, ja ülaltoodud näidetest on see väga selgelt näha. Nimetatud lause selgitab, miks kutsutakse ka numbri moodulit arvu absoluutväärtus. Seega on arvu moodul ja arvu absoluutväärtus üks ja seesama.

Arvu moodul kaugusena

Geomeetriliselt võib arvu moodulit tõlgendada kui vahemaa. Anname arvu mooduli määramine läbi kauguse.

Definitsioon.

Arvu a moodul– see on kaugus koordinaatjoone alguspunktist arvule a vastava punktini.

See määratlus on kooskõlas esimeses lõigus toodud arvu mooduli määratlusega. Täpsustame seda punkti. Kaugus alguspunktist positiivsele arvule vastava punktini on võrdne selle arvuga. Null vastab lähtepunktile, seepärast võrdub kaugus lähtepunktist punktini koordinaadiga 0 nulliga (ei pea kõrvale jätma üht ühikulist segmenti ja mitte ühtegi lõiku, mis moodustab ühikulise segmendi murdosa et jõuda punktist O punkti, mille koordinaat on 0). Kaugus lähtepunktist negatiivse koordinaadiga punktini on võrdne selle punkti koordinaadi vastas oleva arvuga, kuna see on võrdne kaugusega lähtepunktist punktini, mille koordinaat on vastupidine.

Näiteks arvu 9 moodul on võrdne 9-ga, kuna kaugus lähtepunktist punktini koordinaadiga 9 on võrdne üheksaga. Toome veel ühe näite. Punkt koordinaadiga −3,25 asub punktist O 3,25 kaugusel, seega .

Väljatoodud arvu mooduli määratlus on kahe arvu erinevuse mooduli definitsiooni erijuht.

Definitsioon.

Kahe arvu erinevuse moodul a ja b on võrdne koordinaatidega a ja b koordinaatjoone punktide vahelise kaugusega.

See tähendab, et kui on antud punktid koordinaatjoonel A(a) ja B(b), siis on kaugus punktist A punkti B võrdne arvude a ja b vahe mooduliga. Kui võtta punktiks B punkt O (päritolu), siis saame selle lõigu alguses antud arvu mooduli definitsiooni.

Arvu mooduli määramine aritmeetilise ruutjuure abil

Aeg-ajalt esineb mooduli määramine aritmeetilise ruutjuure kaudu.

Näiteks arvutame arvude −30 moodulid ja selle definitsiooni põhjal. Meil on. Samamoodi arvutame kahe kolmandiku mooduli: .

Arvu mooduli definitsioon läbi aritmeetilise ruutjuure on samuti kooskõlas käesoleva artikli esimeses lõigus toodud määratlusega. Näitame seda. Olgu a positiivne arv ja olgu −a negatiivne arv. Siis Ja , kui a=0 , siis .

Mooduli omadused

Moodulil on mitmeid iseloomulikke tulemusi - mooduli omadused. Nüüd tutvustame neist peamisi ja sagedamini kasutatavaid. Nende omaduste põhjendamisel tugineme arvu mooduli definitsioonile kauguse järgi.

Alustame mooduli kõige ilmsemast omadusest - Arvu moodul ei saa olla negatiivne arv. Sõnasõnalises vormis on sellel omadusel vorm mis tahes arvu a jaoks. Seda omadust on väga lihtne põhjendada: arvu moodul on kaugus ja kaugust ei saa väljendada negatiivse arvuna.

Liigume edasi järgmise mooduli atribuudi juurde. Arvu moodul on null siis ja ainult siis, kui see arv on null. Nullmoodul on definitsiooni järgi null. Null ei vasta lähtepunktile; ükski teine ​​punkt koordinaatjoonel ei vasta nullile, kuna iga reaalarv on seotud ühe punktiga koordinaatjoonel. Samal põhjusel vastab iga number peale nulli lähtepunktist erinevale punktile. Ja kaugus lähtepunktist ühegi teise punktini peale punkti O ei ole null, kuna kahe punkti vaheline kaugus on null siis ja ainult siis, kui need punktid langevad kokku. Ülaltoodud arutluskäik tõestab, et ainult nullmoodul on võrdne nulliga.

Lähme edasi. Vastandarvudel on võrdsed moodulid, st mis tahes arvu a jaoks. Tõepoolest, kaks koordinaatjoone punkti, mille koordinaadid on vastandarvud, on lähtepunktist samal kaugusel, mis tähendab, et vastasarvude moodulid on võrdsed.

Mooduli järgmine omadus on: Kahe arvu korrutise moodul on võrdne nende arvude moodulite korrutisega, see tähendab,. Definitsiooni järgi on arvude a ja b korrutise moodul võrdne kas a·b, kui , või −(a·b), kui . Reaalarvude korrutamise reeglitest järeldub, et arvude a ja b moodulite korrutis on võrdne kas a·b, , või −(a·b) kui , mis tõestab kõnealust omadust.

Jagatise a jagatud b-ga moodul on võrdne arvu mooduli jagatisega b mooduliga, see tähendab,. Põhjendame seda mooduli omadust. Kuna jagatis on võrdne korrutisega, siis. Eelneva kinnisvara alusel, mis meil on . Jääb üle vaid kasutada võrdsust , mis kehtib arvu mooduli definitsiooni alusel.

Järgmine mooduli omadus on kirjutatud ebavõrdsusena: , a , b ja c on suvalised reaalarvud. Kirjalik ebavõrdsus pole midagi muud kui kolmnurga ebavõrdsus. Selle selgeks tegemiseks võtame koordinaatjoone punktid A(a), B(b), C(c) ja vaatleme degenereerunud kolmnurka ABC, mille tipud asuvad samal sirgel. Definitsiooni järgi on erinevuse moodul võrdne lõigu AB pikkusega, - lõigu AC pikkusega ja - lõigu CB pikkusega. Kuna kolmnurga ühegi külje pikkus ei ületa ülejäänud kahe külje pikkuste summat, on ebavõrdsus tõene , seega kehtib ka ebavõrdsus.

Äsja tõestatud ebavõrdsus on vormis palju tavalisem . Kirjutatud ebavõrdsust peetakse tavaliselt mooduli eraldi omaduseks sõnastusega: “ Kahe arvu summa moodul ei ületa nende arvude moodulite summat" Kuid ebavõrdsus tuleneb otseselt ebavõrdsusest, kui paneme b asemel −b ja võtame c=0.

Kompleksarvu moodul

Anname kompleksarvu mooduli määratlus. Olgu see meile antud kompleksarv, kirjutatud algebralises vormis, kus x ja y on mõned reaalarvud, mis esindavad vastavalt antud kompleksarvu z reaal- ja imaginaarosa ning on imaginaarühik.

Üks keerulisemaid teemasid õpilastele on moodulimärgi all muutujat sisaldavate võrrandite lahendamine. Mõelgem kõigepealt välja, millega see seotud on? Miks näiteks enamik lapsi murrab ruutvõrrandeid nagu mutreid, kuid neil on nii palju probleeme nii kaugeltki keerulise kontseptsiooniga nagu moodul?

Minu arvates on kõik need raskused seotud selgelt sõnastatud reeglite puudumisega mooduliga võrrandite lahendamiseks. Niisiis, otsustades ruutvõrrand, teab õpilane kindlalt, et ta peab esmalt rakendama diskrimineeriva valemi ja seejärel ruutvõrrandi juurte valemeid. Mida teha, kui võrrandist leitakse moodul? Püüame selgelt kirjeldada vajalikku tegevuskava juhuks, kui võrrand sisaldab mooduli märgi all tundmatut. Toome iga juhtumi kohta mitu näidet.

Aga kõigepealt meenutagem mooduli määratlus. Niisiis, modulo number a seda numbrit ise kutsutakse if a mittenegatiivsed ja -a, kui number a vähem kui null. Võite selle kirjutada nii:

|a| = a, kui a ≥ 0 ja |a| = -a kui a< 0

Rääkides mooduli geomeetrilisest tähendusest, tuleb meeles pidada, et iga reaalarv vastab arvutelje teatud punktile - selle koordineerida. Seega on arvu moodul ehk absoluutväärtus kaugus sellest punktist arvtelje alguspunktini. Kaugus määratakse alati positiivse arvuna. Seega on iga negatiivse arvu moodul positiivne arv. Muide, isegi selles etapis hakkavad paljud õpilased segadusse minema. Moodul võib sisaldada mis tahes arvu, kuid mooduli kasutamise tulemuseks on alati positiivne arv.

Liigume nüüd otse võrrandite lahendamise juurde.

1. Vaatleme võrrandit kujul |x| = c, kus c on reaalarv. Seda võrrandit saab lahendada mooduli definitsiooni abil.

Jagame kõik reaalarvud kolme rühma: need, mis on suuremad kui null, need, mis on väiksemad kui null, ja kolmas rühm on arv 0. Lahenduse kirjutame diagrammi kujul:

(±c, kui c > 0

Kui |x| = c, siis x = (0, kui c = 0

(juured puuduvad, kui koos< 0

1) |x| = 5, sest 5 > 0, siis x = ±5;

2) |x| = -5, sest -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0, siis x = 0.

2. Valem |f(x)| = b, kus b > 0. Selle võrrandi lahendamiseks on vaja moodulist lahti saada. Teeme seda järgmiselt: f(x) = b või f(x) = -b. Nüüd peate lahendama kõik saadud võrrandid eraldi. Kui algses võrrandis b< 0, решений не будет.

1) |x + 2| = 4, sest 4 > 0, siis

x + 2 = 4 või x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11, sest 11 > 0, siis

x 2 – 5 = 11 või x 2 – 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 juurteta

3) |x 2 – 5x| = -8, sest -8< 0, то уравнение не имеет корней.

3. Võrrand kujul |f(x)| = g(x). Vastavalt mooduli tähendusele on sellisel võrrandil lahendid, kui selle parem pool on nullist suurem või sellega võrdne, s.t. g(x) ≥ 0. Siis saame:

f(x) = g(x) või f(x) = -g(x).

1) |2x – 1| = 5x – 10. Sellel võrrandil on juured, kui 5x – 10 ≥ 0. Siit algab selliste võrrandite lahendamine.

1. O.D.Z. 5x – 10 ≥ 0

2. Lahendus:

2x – 1 = 5x – 10 või 2x – 1 = -(5x – 10)

3. Ühendame O.D.Z. ja lahendus, saame:

Juur x = 11/7 ei sobi O.D.Z.-ga, see on väiksem kui 2, kuid x = 3 vastab sellele tingimusele.

Vastus: x = 3

2) |x – 1| = 1 – x 2 .

1. O.D.Z. 1 – x 2 ≥ 0. Lahendame selle ebavõrdsuse intervallmeetodi abil:

(1 – x) (1 + x) ≥ 0

2. Lahendus:

x – 1 = 1 – x 2 või x – 1 = -(1 – x 2)

x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0

x = -2 või x = 1 x = 0 või x = 1

3. Ühendame lahenduse ja O.D.Z.:

Sobivad ainult juured x = 1 ja x = 0.

Vastus: x = 0, x = 1.

4. Valem |f(x)| = |g(x)|. Selline võrrand on samaväärne kahe järgmise võrrandiga f(x) = g(x) või f(x) = -g(x).

1) |x 2 – 5x + 7| = |2x – 5|. See võrrand on võrdne järgmise kahega:

x 2 – 5x + 7 = 2x - 5 või x 2 - 5x +7 = -2x + 5

x 2 – 7x + 12 = 0 x 2 – 3x + 2 = 0

x = 3 või x = 4 x = 2 või x = 1

Vastus: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. Asendusmeetodil (muutuja asendamine) lahendatud võrrandid. Seda lahendusmeetodit on kõige lihtsam selgitada konkreetne näide. Niisiis, andke meile ruutvõrrand mooduliga:

x 2 – 6|x| + 5 = 0. Mooduli omaduse järgi x 2 = |x| 2, seega saab võrrandi ümber kirjutada järgmiselt:

|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. Teeme asendus |x| = t ≥ 0, siis on meil:

t 2 – 6t + 5 = 0. Selle võrrandi lahendamisel leiame, et t = 1 või t = 5. Tuleme tagasi asendusse:

|x| = 1 või |x| = 5

x = ±1 x = ±5

Vastus: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

Vaatame teist näidet:

x 2 + |x| – 2 = 0. Mooduli omaduse järgi x 2 = |x| 2, seega

|x| 2 + |x| – 2 = 0. Teeme asendus |x| = t ≥ 0, siis:

t 2 + t – 2 = 0. Selle võrrandi lahendamisel saame t = -2 või t = 1. Pöördume tagasi asendusse:

|x| = -2 või |x| = 1

Juure pole x = ± 1

Vastus: x = -1, x = 1.

6. Teist tüüpi võrrandid on "keerulise" mooduliga võrrandid. Sellised võrrandid hõlmavad võrrandeid, millel on "moodulid moodulis". Seda tüüpi võrrandeid saab lahendada mooduli omaduste abil.

1) |3 – |x|| = 4. Toimime samamoodi nagu teist tüüpi võrrandite puhul. Sest 4 > 0, siis saame kaks võrrandit:

3 – |x| = 4 või 3 – |x| = -4.

Nüüd väljendame igas võrrandis moodulit x, siis |x| = -1 või |x| = 7.

Lahendame kõik saadud võrrandid. Esimeses võrrandis pole juuri, sest -1< 0, а во втором x = ±7.

Vastus x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. Lahendame selle võrrandi sarnaselt:

3 + |x + 1| = 5 või 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 või x + 1 = -2. Pole juuri.

Vastus: x = -3, x = 1.

Samuti on olemas universaalne meetod mooduliga võrrandite lahendamiseks. See on intervallmeetod. Aga me vaatame seda hiljem.

blog.site, materjali täielikul või osalisel kopeerimisel on vaja linki algallikale.

Numbrimoodul a on kaugus lähtepunktist punktini A(a).

Selle määratluse mõistmiseks asendame muutujaga a suvaline number, näiteks 3, ja proovige seda uuesti lugeda:

Numbrimoodul 3 on kaugus lähtepunktist punktini A(3 ).

Selgeks saab, et moodul pole midagi muud kui tavaline vahemaa. Proovime näha kaugust lähtepunktist punktini A( 3 )

Kaugus lähtepunktist punktini A( 3 ) võrdub 3 (kolm ühikut või kolm sammu).

Arvu moodulit tähistavad kaks vertikaalset joont, näiteks:

Arvu 3 moodulit tähistatakse järgmiselt: |3|

Arvu 4 moodulit tähistatakse järgmiselt: |4|

Arvu 5 moodulit tähistatakse järgmiselt: |5|

Otsisime arvu 3 moodulit ja saime teada, et see on võrdne 3-ga. Kirjutame selle üles:

Loeb nagu: "Numbri kolme moodul on kolm"

Nüüd proovime leida arvu -3 moodulit. Jällegi pöördume tagasi definitsiooni juurde ja asendame sellega arvu -3. Ainult täpi asemel A kasutage uut punkti B. Täispeatus A kasutasime juba esimeses näites.

Arvu moodul - 3 on kaugus lähtepunktist punktini B(—3 ).

Kaugus ühest punktist teise ei saa olla negatiivne. Seetõttu ei ole ka ühegi negatiivse arvu moodul, mis on kaugus, negatiivne. Arvu -3 mooduliks saab number 3. Kaugus lähtepunktist punktini B(-3) võrdub samuti kolme ühikuga:

Loeb nagu: "Moodul miinus kolm on kolm."

Arvu 0 moodul on võrdne 0-ga, kuna punkt koordinaadiga 0 ühtib koordinaatide alguspunktiga, s.t. kaugus lähtepunktist punktini O(0) võrdub nulliga:

"Nullmoodul on null"

Teeme järeldused:

• Arvu moodul ei saa olla negatiivne;
• Positiivse arvu ja nulli korral on moodul võrdne arvu endaga ja negatiivse arvu puhul vastupidine arv;
• Vastandarvudel on võrdsed moodulid.

Vastandlikud numbrid

Nimetatakse numbreid, mis erinevad ainult märkide poolest vastupidine. Näiteks arvud −2 ja 2 on vastandid. Need erinevad ainult märkide poolest. Numbril −2 on miinusmärk ja numbril 2 on plussmärk, kuid me ei näe seda, sest plussi, nagu varem ütlesime, traditsiooniliselt ei kirjutata.

Veel näiteid vastupidiste arvude kohta:

Vastandarvudel on võrdsed moodulid. Näiteks leiame moodulid −2 ja 2 jaoks

Joonis näitab, et kaugus lähtepunktist punktideni A(−2) Ja B(2) võrdne kahe sammuga.

Kas teile tund meeldis?
Liituge meiega uus grupp VKontakte ja hakkate uute õppetundide kohta teatisi saama

A arvutatakse vastavalt järgmistele reeglitele:

Lühiduse huvides kasutatakse tähistusi |a|. Niisiis, |10| = 10; - 1/3 = | 1/3 |; | -100| =100 jne.

Igas suuruses X vastab üsna täpsele väärtusele | X|. Ja see tähendab identiteet juures= |X| komplektid juures nagu mõned argument funktsioon X.

Ajakava see funktsioonid allpool esitatud.

Sest x > 0 |x| = x, ja jaoks x< 0 |x|= -x; sellega seoses on rida y = | x| juures x> 0 kombineerituna sirgjoonega y = x(esimese koordinaatnurga poolitaja) ja millal X< 0 - с прямой y = -x(teise koordinaatnurga poolitaja).

Eraldi võrrandid lisada märgi alla tundmatuid moodul.

Selliste võrrandite meelevaldsed näited - | X— 1| = 2, |6 — 2X| =3X+ 1 jne.

Võrrandite lahendamine mis sisaldab mooduli märgi all tundmatut, põhineb asjaolul, et kui tundmatu arvu x absoluutväärtus on võrdne positiivne arv a, siis see arv x ise on võrdne kas a või -a-ga.

Näiteks:, kui | X| = 10, siis või X=10 või X = -10.

Mõelgem üksikvõrrandite lahendamine.

Analüüsime võrrandi | lahendit X- 1| = 2.

Laiendame moodulit siis vahe X- 1 võib võrduda kas + 2 või - 2. Kui x - 1 = 2, siis X= 3; kui X- 1 = - 2, siis X= - 1. Teeme asendused ja leiame, et mõlemad väärtused vastavad võrrandile.

Vastus.Ülaltoodud võrrandil on kaks juurt: x 1 = 3, x 2 = - 1.

Analüüsime võrrandi lahendus | 6 — 2X| = 3X+ 1.

Pärast mooduli laiendamine saame: või 6 - 2 X= 3X+ 1 või 6 - 2 X= - (3X+ 1).

Esimesel juhul X= 1 ja teises X= - 7.

Uurimine. Kell X= 1 |6 — 2X| = |4| = 4, 3x+ 1 = 4; see tuleneb kohtust, X = 1 - juur antud võrrandid.

Kell x = - 7 |6 — 2x| = |20| = 20, 3x+ 1 = -20; alates 20 ≠ -20, siis X= - 7 ei ole selle võrrandi juur.

Vastus. U võrrandil on ainult üks juur: X = 1.

Seda tüüpi võrrandid võivad olla lahendada ja graafiliselt.

Nii et otsustame Näiteks, graafiline võrrand | X- 1| = 2.

Kõigepealt ehitame funktsioonigraafika juures = |x- 1|. Kõigepealt joonistame funktsiooni graafiku juures=X- 1:

See osa sellest graafika, mis asub telje kohal X Me ei muuda seda. Tema jaoks X- 1 > 0 ja seetõttu | X-1|=X-1.

Graafiku osa, mis asub telje all X, kujutame sümmeetriliselt selle telje suhtes. Sest selle osa jaoks X - 1 < 0 и соответственно |X - 1|= - (X - 1). Saadud rida(pidev joon) ja tahe funktsiooni graafik y = | X—1|.

See joon lõikub otsene juures= 2 kahes punktis: M 1 abstsissiga -1 ja M 2 abstsissiga 3. Ja vastavalt võrrand | X- 1| =2 on kaks juurt: X 1 = - 1, X 2 = 3.