Selles artiklis uurime vastupidised numbrid. Siin vastame küsimusele, milliseid numbreid nimetatakse vastanditeks, näitame, kuidas antud arvu vastandit tähistatakse, ja toome näiteid. Loetleme ka peamised vastandarvudele iseloomulikud tulemused.

Leheküljel navigeerimine.

Vastandarvude määramine

See aitab meil saada aimu vastandarvudest.

Märgime koordinaatide sirgele punkti M, mis erineb lähtepunktist. Punkti M jõuame, kui eraldame järjestikuselt ühikulise lõigu, samuti selle kümnendiku, sajandiku ja nii edasi, lähtepunktist punkti M suunas. Kui joonistame sama arvu ühikulisi segmente ja selle osasid vastupidises suunas, jõuame teise punkti, mida tähistatakse tähega N. Toome oma tegevuse illustreerimiseks näite (vt joonist allpool). Koordinaatjoonel punkti M jõudmiseks eraldasime kaks ühiku segmenti ja 4 segmenti, mis moodustavad kümnendiku ühikust, negatiivses suunas. Nüüd paneme kaks ühiku segmenti ja 4 segmenti, mis moodustavad kümnendiku ühikust, positiivses suunas. See annab meile punkti N.

Oleme peaaegu valmis mõistma vastandarvude määratlust, jääb üle vaid arutada paar nüanssi.

Teame, et koordinaatjoone iga punkt vastab ühele reaalarvule, seega vastavad nii punkt M kui ka punkt N mõnele reaalarvule. Seega nimetatakse punktidele M ja N vastavaid numbreid vastandlikud.

Eraldi on vaja öelda punkti O kohta - päritolu. Punkt O vastab arvule 0. Nulli peetakse enda vastandiks.

Nüüd saame hääletada vastandarvude määramine.

Definitsioon.

Kahte arvu nimetatakse vastandlikuks, kui nendele arvudele vastavad punktid koordinaatjoonel on saavutatavad, eraldades sama arvu ühikulisi lõike alguspunktist vastassuundades, samuti ühikulõigu murde, arv 0 on vastupidine ise.

Vastandarvude märkimine ja näited

On aeg siseneda vastandarvude sümbolid.

Antud arvu vastandi märkimiseks kasuta miinusmärki, mis kirjutatakse antud numbri ette. See tähendab, et arvule a vastandav arv kirjutatakse kujul −a. Näiteks vastandarv 0,24 on −0,24 ja vastasarv −25 on −(−25).

Anname näiteid vastandarvudest. Arvude paar 17 ja −17 (või −17 ja 17) on näide vastandlike täisarvude kohta. Arvud ja on vastupidised ratsionaalarvudele. Teised vastupidiste ratsionaalarvude näited on arvude paarid 5,126 ja −5,126. samuti 0,(1201) ja –0,(1201) . Jääb üle tuua mõned näited vastupidise kohta

Teema

Tunni tüüp

• uue materjali uurimine ja esmane assimilatsioon

Tunni eesmärgid

Õppige positiivsete, negatiivsete ja vastandarvude määratlusi.

Leia vastandarvud harjutuste lahendamisel, võrrandite lahendamisel

Arendav – arendada õpilaste tähelepanu, visadust, visadust, loogilist mõtlemist, matemaatilist kõnet.

Hariv - kasvatage tunni kaudu tähelepanelikku suhtumist üksteisesse, sisendage oskust kuulata kaaslasi, vastastikust abi ja iseseisvust.

Tunni eesmärgid

Uurige, millised on vastandarvud

Õppige seda mõistet probleemide lahendamisel kasutama

Testige õpilaste probleemide lahendamise oskusi.

Tunniplaan

1. Sissejuhatus.

2. Teoreetiline osa

3. Praktiline osa.

4. Kodutöö.

5. Huvitavad faktid

Sissejuhatus

Vaadake pilte ja kirjeldage ühe sõnaga, mis neil teistmoodi on.

Piltidel on vastandid.

- need on kaks võrdset arvu absoluutväärtus, kuid millel on erinevad märgid nt. 5 ja -5.

Teoreetiline osa

Kõigepealt meenutagem, mis see on negatiivsed arvud. Vaata video:

Punktid koordinaatidega 5 ja -5 on punktist O võrdsel kaugusel ja asuvad selle vastaskülgedel. Punktist O nendesse punktidesse jõudmiseks peate läbima samu vahemaid, kuid vastassuundades. Kutsutakse numbreid 5 ja -5 vastupidised numbrid: 5 on -5 vastand ja -5 on 5 vastand.

Nimetatakse kahte numbrit, mis erinevad üksteisest ainult märkide poolest vastupidised numbrid.

Näiteks vastandarvud oleksid 35 ja -35, kuna arv 35 = +35, mis tähendab, et numbrid 35 ja -35 erinevad ainult märkide poolest. Vastandarvud on samuti 0,8 ja -0,8, ¾ ja -¾.

Vastandarvude omadused

1). Iga numbri jaoks on ainult üks vastandarv.

2). Arv 0 on iseenda vastand.

3). A vastandarv on tähistatud -a. Kui a = -7,8, siis -a = 7,8; kui a = 8,3, siis -a = -8,3; kui a = 0, siis -a = 0.

4). Märkus "-(-15)" tähendab vastupidist arvu -15. Kuna -15 vastand on 15, siis -(-15) = 15. Üldiselt -(-a) = a.

Nimetatakse naturaalarvud, nende vastandid ja null täisarvud.

Vastandnumber n" arvu n suhtes on arv, mis n-le liitmisel annab nulli.

n + n" = 0

Selle võrdsuse saab ümber kirjutada järgmiselt:

n + n" − n = 0 − n või n" = − n

Seega vastupidised numbrid neil on samad moodulid, kuid vastupidised märgid.

Vastavalt sellele tähistatakse n-i vastasarvu − n. Kui arv on positiivne, on selle vastandarv negatiivne ja vastupidi.

1. Too näiteid vastandarvude kohta.

2. Joonista need koordinaatjoonele.

3. Nimetage vastandarv -3,6; 7; 0; 8/9; -1/2

Praktiline osa

Näide

1) Märgi koordinaatjoonele punktid A(2), B(-2), C(+4), D(-3), E(-5.2), F(5.2), G(-6) , H( 7). 2) Leidke ja märkige nende punktide hulgast need, mis on punkti O(0) suhtes sümmeetrilised. Mida saate koordinaatide kohta öelda? sümmeetrilised punktid?

Punkti O(0) suhtes sümmeetrilised punktid: A(2) ja B(-2), E(-5.2) ja F(5.2)

Sümmeetriliste punktide koordinaadid on numbrid, mis erinevad ainult märgi poolest. Selliseid numbreid nimetatakse vastupidine.

Märgi koordinaatjoonele punktid A(-3), B(+6), C(+4,2), D(+3), E(-4,2), F(-6) Mida nende arvude kohta öelda ?

Numbritest 15; 2,5; – 2,5; – 18; 0; 45; – 45 valida: a) naturaalarvud; b) täisarvud; c) negatiivsed arvud; d) positiivsed arvud; e) vastandarvud.

1) Kirjutage numbrile a vastav number.

2) Märkige numbrile a vastandnumber, kui:

a=5, a=-3, a=0, a=-2/5;

A = 6, -a = -2, -a = 3,4.

1) Pidage meeles, mida kirje tähendab: - (- a).

2) Õige võrdsuse saamiseks asetage * asemel arv: a) - (- 5) = *; b) 3 = – *.

Kodutöö

1). Täida tabel:

2). Otsige: a) -m,

kui m = -8,

kui m = -16

kui -k = 27

kui -k = -35

kui c = 41

kui c = -3,6

3). Mitu vastandarvu paari asub arvude -7,2 ja 3,6 vahel. Märkige koordinaatjoonel.

4). Uurige välja silmapaistva prantsuse teadlase nimi:

Kas tead, kuhu sisse igapäevaelu kas me kohtame positiivseid ja negatiivseid numbreid?

Kasutatud allikate loetelu

1. Matemaatikaentsüklopeedia (5 köites). - M.: Nõukogude entsüklopeedia, 2002. - T. 1.
2. “Uusim kooliõpilaste teatmik” “MAJA XXI sajand” 2008
3. Tunni kokkuvõte teemal " Vastandlikud numbrid" Autor: Petrova V.P., matemaatikaõpetaja (5.–9. klass), Kiiev
4. N.Ya.Vilenkin, A.S. Chesnokov, S.I. Shvartsburd, V.I. Zhokhov, Matemaatika 6. klassile, Õpik keskkoolile

§ 1 Positiivse arvu mõiste

Selles õppetükis saate teada, milliseid numbreid nimetatakse vastanditeks, kuidas leida vastandarvu ning millised on täisarvud ja ratsionaalsed arvud.

Alustame sellest praktiline töö. Märkige koordinaatjoonele punktid A(2) ja B(-2). Need on sümmeetrilised ja nende punktide sümmeetriakese on koordinaatide O(0) alguspunkt, kuna kaugus OA=OB.

Näeme, et alguspunkti suhtes sümmeetriliste punktide koordinaadid on arvud, mis erinevad ainult märgi poolest. Selliseid numbreid nimetatakse vastanditeks.

Vastandarvudel on veel üks määratlus. Mis on arvude 2 ja -2 absoluutväärtused? Võrdne 2. Seetõttu on vastandarvud arvud, millel on samad moodulid, kuid erinevad märgi poolest.

Antud arvu vastandi märkimiseks kasuta miinusmärki, mis kirjutatakse antud numbri ette. See tähendab, et a vastandarv kirjutatakse kui −a. Näiteks arv 0,24 on arvu −0,24 vastas, arv -25 on vastupidine −(−25), kuid koordinaatjoonel olev arv -25 on 25 vastas, mis tähendab -(-25) = 25. Sellest järeldub, et -( -a) = a ja a = -(-a).

§ 2 Vastandarvude omadused

Toome välja mõned vastandarvude omadused.

Positiivse arvu vastand on negatiivne ja negatiivse arvu vastand on positiivne. See on arusaadav, kuna vastandarvudele vastavad koordinaatjoone punktid asuvad lähtepunkti vastaskülgedel.

Kui arv a on vastand arvule b, siis b on vastand a-le – see tuleneb koordinaatjoone punktide sümmeetria omadusest.

Pöörame koordinaatide sirgele. Mitu punkti saab märkida koordinaatjoonele, mis on antud punktiga sümmeetrilised alguspunkti suhtes? Ainult üks. See tähendab, et iga numbri jaoks on ainult üks vastandarv.

Ainult üks arv on iseendale vastand - see on arv 0, kuna 0 = -0 (seetõttu pole kombeks kirjutada -0).

Numbrid koos ühine omadus moodustavad komplekti (või rühma), igal hulgal on oma nimi.

Pidagem meeles, et arve, mida me loendamisel kasutame, nimetatakse naturaalarvudeks, need moodustavad naturaalarvude hulga.

Iga naturaalarvu kohta leiate selle vastandarvu. Naturaalarve, nende vastandeid ja arvu 0 nimetatakse täisarvudeks.

Võib olla positiivne või negatiivne murdarvud. Kõiki täisarve ja kõiki murde nimetatakse ratsionaalarvudeks. Nad ütlevad ka, et koos moodustavad nad ratsionaalarvude komplekti.

Toome esile veel kaks numbrirühma. Võtame koordinaatide sirge. Kui eemaldada joone osa, millel asuvad negatiivsed arvud, jääb alles positiivsete arvudega kiir, mille võrdluspunkt on 0. Ülejäänud numbreid nimetatakse mittenegatiivseteks, st arvudeks, mis on suuremad või võrdsed 0. Seetõttu on mittepositiivsed arvud kõik negatiivsed arvud ja arv 0, st arvud, mis on 0-st väiksemad või sellega võrdsed.

Täna õppisime, mis on vastandarvud, täisarv, ratsionaalne, mittenegatiivne ja mittepositiivne arv, ning õppisime leidma antud arvule vastandarvu.

Kasutatud kirjanduse loetelu:

1. Matemaatika 6. klass: õpiku tunniplaanid I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich //autor-koostaja L.A. Topilina. Mnemosyne 2009
2. matemaatika. 6. klass: õpik õpilastele õppeasutused. I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich - M.: Mnemosyne, 2013.
3. matemaatika. 6. klass: õpik üldharidusasutuste õpilastele. /N.Jah. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Chesnokov, S.I. Schwartzburd. – M.: Mnemosyne, 2013.
4. Matemaatika käsiraamat - http://lyudmilanik.com.ua
5. Õpilase juhend keskkooli http://shkolo.ru

Vastandarvude määratlus

Vastandarvude määratlus:

Kahte arvu nimetatakse vastandlikuks, kui need erinevad ainult märkide poolest.

Vastandarvude näited

Vastandarvude näited.

1 -1;
2 -2;
99 -99;
-12 12;
-45 45

Siit on selge, kuidas leida antud arvu vastand: lihtsalt vaheta numbri märki.

3 vastandarv on arv miinus kolm.

Näide. Numbrid on andmetele vastupidised.

Antud: numbrid 1; 5; 8; 9.

Leidke andmete vastandarvud.

Selle ülesande lahendamiseks muutke lihtsalt antud numbrite märke:

Teeme vastandarvude tabeli:

Nulli vastand

Nulli vastand on arv null ise.

Seega on 0-le vastandarv 0.

Vastandarvud

Vastandtäisarvud erinevad ainult märgi poolest.

Vastandtäisarvude näited.

10 -10
20 -20
125 -125

Vastandarvude paar

Kui nad räägivad vastandarvudest, peavad nad alati silmas vastandarvude paari.

Arv on teise arvu vastand. Ja igal numbril on ainult üks vastandarv.

Naturaalarvudele vastupidised arvud

Naturaalarvude vastandid on negatiivsed täisarvud.

Koostame esimese viie naturaalarvu vastandarvude tabeli:

Vastandarvude summa

Vastandarvude summa on null. Lõppude lõpuks erinevad vastandarvud ainult märgi poolest.

Selles artiklis püüame välja selgitada, millised on vastandarvud. Selgitame, mis need on üldiselt, näitame, milliseid konkreetseid nimetusi nende jaoks kasutatakse, ja vaatame mõnda näidet. Materjali viimases osas loetleme vastandarvude peamised omadused.

Vastandite kontseptsiooni selgitamiseks peame kõigepealt kujutama koordinaatjoont. Võtame selle peale punkti M (aga mitte päris loenduse alguses). Selle kaugus nullist võrdub teatud arvu ühikuliste segmentidega, mille saab omakorda jagada kümnendikuteks ja sajandikuteks. Kui mõõta sama kaugust lähtepunktist M-i asukohaga vastassuunas, siis jõuame teise sarnasesse punkti. Nimetagem seda N. Näiteks M-st nullini on kaugus 2,4 ühikulist segmenti ja N-st nullini on sama. Vaata pilti:

Pidagem meeles, et koordinaatjoone iga punkti saab seostada ainult ühe reaalarvuga. Sel juhul vastavad meie punktid M ja N teatud arvudele, mida nimetatakse vastandlikeks. Igal arvul on vastandarv, välja arvatud null. Kuna see on pöördloenduse algus, peetakse seda iseenda vastandiks.

Kirjutame üles vastandarvude definitsiooni:

Definitsioon 1

Vastupidi nimetatakse numbreid, mis vastavad sellistele koordinaatide sirge punktidele, kuhu me jõuame, kui märgime erinevates suundades (positiivsete ja negatiivsete) sama kauguse alguspunktist. Null on algpunktis ja on iseendale vastand.

Kuidas näidatakse vastandarvusid?

Selles jaotises tutvustame selliste arvude põhimärke. Kui meil on teatud arv ja me peame selle vastandi üles kirjutama, siis kasutame selleks miinust.

Näide 1

Oletame, et meie arv on a, seega on selle vastand a (miinus a). Täpselt samamoodi on 0,26 puhul vastupidine - 0,26 ja 145 puhul - 145. Kui esialgne arv ise on negatiivne, näiteks - 9, siis kirjutame vastupidise - (- 9).

Milliseid teisi näiteid vastandarvude kohta saate tuua? Võtame täisarvud: 12 ja -12. Vastandlikud ratsionaalarvud on 3 2 11 ja - 3 2 11, samuti 8, 128 ja − 8, 128, 0, (18901) ja − 0, (18901) jne. Irratsionaalarvud võivad olla ka vastupidised, nt. väärtusi numbrilised avaldised 2 + 1 ja - 2 + 1.

Vastandlikud irratsionaalarvud on samuti e ja - e.

Vastandarvude põhiomadused

Sellistel numbritel on teatud omadused. Allpool anname nende loetelu koos selgitustega.

2. definitsioon

1. Kui algne arv on positiivne, siis selle vastand on negatiivne.

See väide on ilmne ja tuleneb ülaltoodud graafikust: sellised numbrid asuvad võrdlusjoone vastaskülgedel. Kui olete positiivsete ja negatiivsete arvude mõisted unustanud, vaadake varem avaldatud materjali.

Sellest reeglist võib järeldada veel ühe väga olulise väite. IN kirja kujul selle tähistus näeb välja selline: iga positiivse a korral on see tõene − (− a) = a . Näitame näitega, miks see oluline on.

Võtame numbri 5. Koordinaatjoont kasutades näete, et vastandarv on 5 ja vastupidi. Kasutades ülalnimetatud tähistust, kirjutame vastas oleva numbri - 5 kui – (- 5) . Selgub, et – (- 5) = 5. Siit järeldus: vastandarvud erinevad üksteisest ainult miinusmärgi olemasolu poolest.

2. Järgmist omadust nimetatakse tavaliselt sümmeetriaomaduseks. Selle võib tuletada ka vastandarvude definitsioonist. See kõlab nii:

3. definitsioon

Kui mõni arv a on b vastand, siis b on a vastand.

Ilmselgelt ei vaja see väide täiendavaid tõendeid.

3. Vastandarvude kolmas omadus ütleb:

4. määratlus

Igal reaalarvul on ainult üks vastandarv.

See väide tuleneb asjaolust, et koordinaatjoone punktid ei saa vastata paljudele arvudele korraga.

Definitsioon 5

4. Vastandarvude moodulid on võrdsed.

See tuleneb mooduli määratlusest. On loogiline, et mis tahes vastandarvule vastava joone punktid on võrdluspunktist samal kaugusel.

Definitsioon 6

5. Kui liidame vastandarvud, saame 0.

Sõna otseses mõttes näeb see väide välja nagu + (− a) = 0.

Näide 2

Siin on selliste arvutuste näited:

890 + (- 890) = 0 - 45 + 45 = 0 7 + (- 7) = 0

Nagu näete, töötab see reegel kõigi arvude puhul - täisarvud, ratsionaalne, irratsionaalne jne.

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter