Vaatleme seda näidet. Peate loendama järjestikku: .

Saate liitavaid numbreid ümber korraldada ja ülejäänud arvud lahutada: .

Kuid see pole alati mugav. Näiteks saame arvutada mõne lao asjade jäägi ja vahetulemust on vaja teada.

Saate teha toiminguid järjest: .

Teame, et seetõttu lahutatakse tulemus arvust. See tähendab, et peame lahutama , kuid mitte veel millestki. Kui meil on millestki lahutada, lahutame:

Kuid me saame "petta" ja määrata . Seega tutvustame uut objekti - negatiivsed arvud.

Oleme sellise toimingu juba teinud - näiteks looduses ei eksisteerinud ka numbrit “”, kuid võtsime sellise objekti kasutusele, et toiminguid oleks lihtsam salvestada.

Kujutage ette, et spordilaos tehti meile ülesandeks palle väljastada ja vastu võtta. Peame pidama arvestust. Võite kirjutada sõnadega:

Välja antud, vastu võetud, välja antud, vastu võetud, … (vt joonis 1.)

Riis. 1. Raamatupidamine

Nõus, kui peate mitu korda päevas välja andma ja vastu võtma, pole salvestamine eriti mugav.

Saate lehe jagada kaheks veergu, millest üks on vastu võetud, teine ​​- välja antud. (Vt joonist 2.)

Riis. 2. Lihtsustatud salvestamine

Salvestus on muutunud lühemaks. Kuid siin on probleem: kuidas aru saada, kui palju palli mingil konkreetsel ajahetkel võeti (või ära anti)?

Salvestamise juures saab kasutada järgmist kaalutlust: kui anname laost välja palle, siis nende kogus laos väheneb ja vastuvõtmisel suureneb.

Aga kuidas kirjutada "andis palli välja"? Saate sisestada järgmise objekti: .

See objekt võimaldab meil teha pallide liikumise matemaatilise rekordi selle toimumise järjekorras:

Vaatame teist näidet.

Teie telefonikontol on rublasid. Sa läksid internetti ja see maksis rublasid. Tulemuseks oli rublade suurune võlg. Operaator oleks võinud kirjutada: "klient võlgneb rubla." Panid rublad. Operaator arvas võla maha. Selgus rublade arvel.

Kuid kontol on mugav registreerida nii tehinguid kui ka raha, kasutades märke “” ja “”. (Vt joonist 3.)

Riis. 3. Mugav salvestamine

Sisestame negatiivse arvu, et kirjutada väiksemast arvust suurema arvu lahutamise tulemus: .

Negatiivse arvu liitmine võrdub lahutamisega: .

Et eristada negatiivseid numbreid positiivsetest, millega varem tegelesime, leppisime kokku, et paneme selle ette miinusmärgi: .

Kas saaksite ilma nendeta hakkama? Jah, sa saad. Igas konkreetne olukord kasutaksime sõnu “tagasi”, “võlgu” jne. Kuid need, need sõnad, oleksid teistsugused.

Ja nii on meil universaalne mugav tööriist. Üks kõigi selliste juhtumite jaoks.

Võime tuua analoogia autoga. See koosneb suurest hulgast osadest, millest paljusid pole eraldi vaja, kuid koos võimaldavad need sõita. Niisamuti on negatiivsed arvud tööriist, mis koos teiste matemaatiliste vahenditega hõlbustab paljude ülesannete lahendamise ja kirjutamise arvutamist ja lihtsustamist.

Niisiis, oleme kasutusele võtnud uue objekti - negatiivsed arvud. Milleks neid elus kasutatakse?

Kõigepealt meenutagem positiivsete arvude rolle:

Kogus: näiteks puit, liiter piima. (Vt joonist 4.)

Riis. 4. Kogus

Tellimine: näiteks majad on nummerdatud positiivsed numbrid. (Vt joonis 5.)

Riis. 5. Korraldada

Nimi: näiteks jalgpalluri number. (Vt joonist 6.)

Riis. 6. Number kui nimetus

Nüüd vaatame funktsioone negatiivsed arvud:

Puuduva koguse märge. Kogus ei ole kunagi negatiivne. Kuid negatiivset arvu kasutatakse selleks, et näidata, et kogust lahutatakse. Näiteks võime pudelist valada ja kirjutada selle kui . (Vt joonist 7.)

Riis. 7. Puuduva koguse märge

Korraldamine. Mõnikord valitakse nummerdamisel null ja peate nummerdama objektid nulli mõlemal küljel. Näiteks põrandad, mis asuvad allpool th, keldris. (Vt joonist 8.) Või temperatuur, mis on alla valitud nulli. (Vt joonist 9.)

Riis. 8. Korrus asub th all, keldris

Riis. 9. Negatiivsed numbrid termomeetri skaalal

Kuid ikkagi on negatiivsete arvude peamine eesmärk olla matemaatiliste arvutuste lihtsustamise vahend.

Aga selleks, et negatiivsed arvud muutuksid sellisteks mugav tööriist, vaja:

Negatiivne temperatuur on temperatuur, mis on alla nulli, alla nulli. Aga mis on nulltemperatuur? Temperatuuri mõõtmiseks ja salvestamiseks peate valima mõõtühiku ja võrdluspunkti. Mõlemad on kokkulepped. Kasutame Celsiuse skaalat selle teadlase järgi, kes selle välja pakkus. (Vt joonist 10.)

Riis. 10. Anders Celsius

Siin valitakse võrdluspunktiks vee külmumispunkt. Kõik allpool olevad asjad on tähistatud negatiivse väärtusega. (Vt joonist 11.)

Riis. üksteist.

Aga on selge, et kui me võtame teise võrdluspunkti, teise nulli, siis negatiivne temperatuur Celsiuse järgi võib sellel teisel skaalal olla positiivne. Nii juhtubki. Kelvini skaalat kasutatakse füüsikas laialdaselt. See sarnaneb Celsiuse skaalaga, nulliks valitakse ainult madalaima võimaliku temperatuuri väärtus (see ei saa olla madalam). Seda väärtust nimetatakse "absoluutseks nulliks". Celsiuse järgi on see ligikaudu . (Vt joonist 12.)

Riis. 12. Kaks kaalu

See tähendab, et Kelvini skaalal pole üldse negatiivseid väärtusi.

Niisiis, meie suvi .

Ja need härmas .

See tähendab, et negatiivne temperatuur on kokkulepe, inimestevaheline kokkulepe seda nii nimetada.

Alustame nullist. Nullil on numbrite seas eriline positsioon.

Nagu me juba arutanud oleme, võime seitsme lahutamise tähistada negatiivse arvuna. Kuna see tähendab lahutamist, jätame selle märgiks "" märgi. Nimetagem uus number.

See tähendab, et "" on arv, mis annab kokku nulli: . Ja suvalises järjekorras. See on negatiivse (või vastupidise) arvu määratlus.

Iga varem uuritud arvu jaoks tutvustame uut negatiivset arvu, mille ees on miinusmärk. See tähendab, et iga eelmise numbri jaoks ilmus negatiivne kaksik. Me nimetame selliseid kaksikuid vastandnumbriteks. (Vt joonist 13.)

Riis. 13. Vastandlikud numbrid

Niisiis, definitsioon: vastandarvud on kaks arvu, mille summa on võrdne nulliga.

Väliselt erinevad need ainult märgi "" poolest.

Kui muutujale eelneb näiteks märk "", siis mida see tähendab? See ei tähenda, et see väärtus oleks negatiivne. Miinusmärk tähendab, et see väärtus on arvu vastand: . Me ei tea, milline neist numbritest on positiivne ja milline negatiivne.

Kui siis.

Kui (negatiivne arv), siis (positiivne arv).

Milline arv on nulli vastand? Seda me juba teame.

Kui mis tahes arvule, sealhulgas nullile, lisatakse null, siis algne arv ei muutu. See tähendab, et kahe nulli summa on null: . Kuid arvud, mille summa on null, on vastandid. Seega on null iseendale vastand.

Niisiis, oleme andnud negatiivsete arvude määratluse ja selgitanud välja, miks neid vaja on.

Nüüd kulutame veidi aega tehnoloogiale. Praegu peame õppima, kuidas leida mis tahes arvu vastand:

Tunni viimases osas räägime uutest komplektide nimedest ja tähistustest, mis tekivad pärast negatiivsete arvude sisseviimist.

Vaatleme seda näidet. Peate loendama järjestikku: .

Saate liitavaid numbreid ümber korraldada ja ülejäänud arvud lahutada: .

Kuid see pole alati mugav. Näiteks saame arvutada mõne lao asjade jäägi ja vahetulemust on vaja teada.

Saate teha toiminguid järjest: .

Teame, et seetõttu lahutatakse tulemus arvust. See tähendab, et peame lahutama , kuid mitte veel millestki. Kui meil on millestki lahutada, lahutame:

Kuid me saame "petta" ja määrata . Seega tutvustame uut objekti - negatiivsed arvud.

Oleme sellise toimingu juba teinud - näiteks looduses ei eksisteerinud ka numbrit “”, kuid võtsime sellise objekti kasutusele, et toiminguid oleks lihtsam salvestada.

Kujutage ette, et spordilaos tehti meile ülesandeks palle väljastada ja vastu võtta. Peame pidama arvestust. Võite kirjutada sõnadega:

Välja antud, vastu võetud, välja antud, vastu võetud, … (vt joonis 1.)

Riis. 1. Raamatupidamine

Nõus, kui peate mitu korda päevas välja andma ja vastu võtma, pole salvestamine eriti mugav.

Saate lehe jagada kaheks veergu, millest üks on vastu võetud, teine ​​- välja antud. (Vt joonist 2.)

Riis. 2. Lihtsustatud salvestamine

Salvestus on muutunud lühemaks. Kuid siin on probleem: kuidas aru saada, kui palju palli mingil konkreetsel ajahetkel võeti (või ära anti)?

Salvestamise juures saab kasutada järgmist kaalutlust: kui anname laost välja palle, siis nende kogus laos väheneb ja vastuvõtmisel suureneb.

Aga kuidas kirjutada "andis palli välja"? Saate sisestada järgmise objekti: .

See objekt võimaldab meil teha pallide liikumise matemaatilise rekordi selle toimumise järjekorras:

Vaatame teist näidet.

Teie telefonikontol on rublasid. Sa läksid internetti ja see maksis rublasid. Tulemuseks oli rublade suurune võlg. Operaator oleks võinud kirjutada: "klient võlgneb rubla." Panid rublad. Operaator arvas võla maha. Selgus rublade arvel.

Kuid kontol on mugav registreerida nii tehinguid kui ka raha, kasutades märke “” ja “”. (Vt joonist 3.)

Riis. 3. Mugav salvestamine

Sisestame negatiivse arvu, et kirjutada väiksemast arvust suurema arvu lahutamise tulemus: .

Negatiivse arvu liitmine võrdub lahutamisega: .

Et eristada negatiivseid numbreid positiivsetest, millega varem tegelesime, leppisime kokku, et paneme selle ette miinusmärgi: .

Kas saaksite ilma nendeta hakkama? Jah, sa saad. Igas olukorras kasutaksime sõnu "tagasi", "laena" ja nii edasi. Kuid need, need sõnad, oleksid teistsugused.

Ja nii on meil universaalne mugav tööriist. Üks kõigi selliste juhtumite jaoks.

Võime tuua analoogia autoga. See koosneb suurest hulgast osadest, millest paljusid pole eraldi vaja, kuid koos võimaldavad need sõita. Niisamuti on negatiivsed arvud tööriist, mis koos teiste matemaatiliste vahenditega hõlbustab paljude ülesannete lahendamise ja kirjutamise arvutamist ja lihtsustamist.

Niisiis, oleme kasutusele võtnud uue objekti - negatiivsed arvud. Milleks neid elus kasutatakse?

Kõigepealt meenutagem positiivsete arvude rolle:

Kogus: näiteks puit, liiter piima. (Vt joonist 4.)

Riis. 4. Kogus

Järjestamine: Näiteks majad on nummerdatud positiivsete numbritega. (Vt joonis 5.)

Riis. 5. Korraldada

Nimi: näiteks jalgpalluri number. (Vt joonist 6.)

Riis. 6. Number kui nimetus

Vaatame nüüd negatiivsete arvude funktsioone:

Puuduva koguse märge. Kogus ei ole kunagi negatiivne. Kuid negatiivset arvu kasutatakse selleks, et näidata, et kogust lahutatakse. Näiteks võime pudelist valada ja kirjutada selle kui . (Vt joonist 7.)

Riis. 7. Puuduva koguse märge

Korraldamine. Mõnikord valitakse nummerdamisel null ja peate nummerdama objektid nulli mõlemal küljel. Näiteks põrandad, mis asuvad allpool th, keldris. (Vt joonist 8.) Või temperatuur, mis on alla valitud nulli. (Vt joonist 9.)

Riis. 8. Korrus asub th all, keldris

Riis. 9. Negatiivsed numbrid termomeetri skaalal

Kuid ikkagi on negatiivsete arvude peamine eesmärk olla matemaatiliste arvutuste lihtsustamise vahend.

Kuid selleks, et negatiivsetest numbritest saaks nii mugav tööriist, peate:

Negatiivne temperatuur on temperatuur, mis on alla nulli, alla nulli. Aga mis on nulltemperatuur? Temperatuuri mõõtmiseks ja salvestamiseks peate valima mõõtühiku ja võrdluspunkti. Mõlemad on kokkulepped. Kasutame Celsiuse skaalat selle teadlase järgi, kes selle välja pakkus. (Vt joonist 10.)

Riis. 10. Anders Celsius

Siin valitakse võrdluspunktiks vee külmumispunkt. Kõik allpool olevad asjad on tähistatud negatiivse väärtusega. (Vt joonist 11.)

Riis. üksteist.

Aga on selge, et kui me võtame teise võrdluspunkti, teise nulli, siis negatiivne temperatuur Celsiuse järgi võib sellel teisel skaalal olla positiivne. Nii juhtubki. Kelvini skaalat kasutatakse füüsikas laialdaselt. See sarnaneb Celsiuse skaalaga, nulliks valitakse ainult madalaima võimaliku temperatuuri väärtus (see ei saa olla madalam). Seda väärtust nimetatakse "absoluutseks nulliks". Celsiuse järgi on see ligikaudu . (Vt joonist 12.)

Riis. 12. Kaks kaalu

See tähendab, et Kelvini skaalal pole üldse negatiivseid väärtusi.

Niisiis, meie suvi .

Ja need härmas .

See tähendab, et negatiivne temperatuur on kokkulepe, inimestevaheline kokkulepe seda nii nimetada.

Alustame nullist. Nullil on numbrite seas eriline positsioon.

Nagu me juba arutanud oleme, võime seitsme lahutamise tähistada negatiivse arvuna. Kuna see tähendab lahutamist, jätame selle märgiks "" märgi. Nimetagem uus number.

See tähendab, et "" on arv, mis annab kokku nulli: . Ja suvalises järjekorras. See on negatiivse (või vastupidise) arvu määratlus.

Iga varem uuritud arvu jaoks tutvustame uut negatiivset arvu, mille ees on miinusmärk. See tähendab, et iga eelmise numbri jaoks ilmus negatiivne kaksik. Me nimetame selliseid kaksikuid vastandnumbriteks. (Vt joonist 13.)

Riis. 13. Vastandarvud

Niisiis, definitsioon: vastandarvud on kaks arvu, mille summa on võrdne nulliga.

Väliselt erinevad need ainult märgi "" poolest.

Kui muutujale eelneb näiteks märk "", siis mida see tähendab? See ei tähenda, et see väärtus oleks negatiivne. Miinusmärk tähendab, et see väärtus on arvu vastand: . Me ei tea, milline neist numbritest on positiivne ja milline negatiivne.

Kui siis.

Kui (negatiivne arv), siis (positiivne arv).

Milline arv on nulli vastand? Seda me juba teame.

Kui mis tahes arvule, sealhulgas nullile, lisatakse null, siis algne arv ei muutu. See tähendab, et kahe nulli summa on null: . Kuid arvud, mille summa on null, on vastandid. Seega on null iseendale vastand.

Niisiis, oleme andnud negatiivsete arvude määratluse ja selgitanud välja, miks neid vaja on.

Nüüd kulutame veidi aega tehnoloogiale. Praegu peame õppima, kuidas leida mis tahes arvu vastand:

Tunni viimases osas räägime uutest komplektide nimedest ja tähistustest, mis tekivad pärast negatiivsete arvude sisseviimist.

Vastand iseendale.

Reaalsuse vastand

Definitsioonist vastupidine number peaks

$n"\; =\; -n$

Seega on vastandarvudel sama suurusjärk, kuid vastupidised märgid. Selle järgi arvu vastand $n$ tähistama $-n$.

Imaginaarse üksuse vastand

$\backslash frac(1)(i)=\backslash frac(1\; \backslash cdot\; i)(i\; \backslash cdot\; i)=\backslash frac(i)(i^2)=\backslash frac(i)(-1)=-i$

Seega saame

$-i\; =\; \backslash frac(1)(i)$ __ või__ $-i\; =\; i^(-1)$

Samamoodi jaoks $-i$: __ $i\; =\; -\; \backslash frac(1)(i)$ __ või __ $i\; =\; -i^(-1)$

Kirjutage arvustus artikli "Vastunumber" kohta

Märkmed

Vaata ka

Vastandnumbrit iseloomustav väljavõte

Järgmisel päeval varahommikul tõusis vaoshoitud Kutuzov püsti, palvetas jumalat, riietus ning ebameeldivas teadvuses, et peab juhtima lahingut, mida ta heaks ei kiidanud, istus vankrisse ja sõitis Letashevkast välja. , viis miili Tarutini taga, kohta, kus tuli kokku panna edasiliikuvad kolonnid. Kutuzov ratsutas, jäi magama ja ärkas ja kuulas, kas paremalt on kaadreid, kas asjad hakkavad? Kuid kõik oli endiselt vaikne. Niiske ja pilvise sügispäeva koit alles algas. Tarutinile lähenedes märkas Kutuzov ratsaväelasi, kes viisid oma hobused vette üle tee, mida mööda vanker liikus. Kutuzov vaatas neid lähemalt, peatas vankri ja küsis, mis rügement? Ratsaväelased olid kolonnist, mis oleks pidanud varitsuses olema kaugel ees. "See võib olla viga," arvas vana ülemjuhataja. Kuid veelgi kaugemale sõitnud, nägi Kutuzov jalaväerügemente, nende estakaatides relvi, aluspükstes sõdureid pudru ja küttepuudega. Kutsuti ohvitser. Ametnik teatas, et liikumiskäsku polnud.
"Kuidas sa ei saaks..." alustas Kutuzov, kuid vaikis kohe ja käskis vanemohvitseri enda juurde kutsuda. Olles vankrist välja tulnud, pea maas ja raskelt hingates, vaikselt oodates, kõndis ta edasi-tagasi. Kui palutud ohvitser ilmus Kindralstaap Eichen, Kutuzov muutus lillaks, mitte sellepärast, et see ohvitser oleks eksinud, vaid sellepärast, et ta oli viha väljendamise väärt teema. Ja värisedes, hingeldades, jõudes sellesse raevuseisundisse, millesse ta vihast maas veeredes suutis siseneda, ründas ta Eichenit kätega ähvardades, karjudes ja roppude sõnadega vandudes. . Sama saatus tabas teist kohale tulnud inimest, kapten Brozinit, kes oli milleski süütu.
- Mis pätt see on? Laske kaabakad maha! – hüüdis ta kähedalt, kätega vehkides ja kogeldes. Tal oli füüsiline valu. Tema, ülemjuhataja, kõige silmapaistvam, kellele kõik kinnitavad, et kellelgi pole Venemaal kunagi olnud sellist võimu kui temal, pannakse sellesse positsiooni – naeruvääristatakse kogu armee ees. “Asjata, et ma nii palju viitsisin selle päeva pärast palvetada, asjata ei maganud ma öösel ja mõtlesin kõigele! - mõtles ta enda peale. "Kui ma poisikesena ohvitser olin, poleks keegi julgenud minu üle niimoodi nalja teha... Aga nüüd!" Ta koges füüsilisi kannatusi, nagu ihunuhtlust, ja ei suutnud jätta seda väljendamata vihaste ja valusate hüüetega; kuid varsti tema jõud nõrgenes ja ta, ringi vaadates, tundes, et on palju halvasti öelnud, istus vankrisse ja sõitis vaikselt tagasi.

Vastandarvude määratlus

Vastandarvude määratlus:

Kahte arvu nimetatakse vastandlikuks, kui need erinevad ainult märkide poolest.

Vastandarvude näited

Vastandarvude näited.

1 -1;
2 -2;
99 -99;
-12 12;
-45 45

Siit on selge, kuidas leida antud arvu vastand: lihtsalt vaheta numbri märki.

3 vastandarv on arv miinus kolm.

Näide. Numbrid on andmetele vastupidised.

Antud: numbrid 1; 5; 8; 9.

Leidke andmete vastandarvud.

Selle ülesande lahendamiseks muutke lihtsalt antud numbrite märke:

Teeme vastandarvude tabeli:

Nulli vastand

Nulli vastand on arv null ise.

Seega on 0-le vastandarv 0.

Vastandarvud

Vastandtäisarvud erinevad ainult märgi poolest.

Vastandtäisarvude näited.

10 -10
20 -20
125 -125

Vastandarvude paar

Kui nad räägivad vastandarvudest, peavad nad alati silmas vastandarvude paari.

Arv on teise arvu vastand. Ja igal numbril on ainult üks vastandarv.

Naturaalarvudele vastupidised arvud

Naturaalarvude vastandid on negatiivsed täisarvud.

Koostame esimese viie naturaalarvu vastandarvude tabeli:

Vastandarvude summa

Vastandarvude summa on null. Lõppude lõpuks erinevad vastandarvud ainult märgi poolest.