Ruutvõrrandid. Diskrimineeriv. Lahendus, näited.
Tähelepanu!
On täiendavaid
materjalid erijaos 555.
Neile, kes on väga "mitte väga..."
Ja neile, kes "väga…")
Ruutvõrrandite tüübid
Mis on ruutvõrrand? Kuidas see välja näeb? Tähtajaliselt ruutvõrrand märksõna on "ruut". See tähendab, et võrrandis Tingimata seal peab olema x-i ruut. Lisaks sellele võib võrrand sisaldada (või mitte!) sisaldada ainult X-i (esimese astmeni) ja ainult arvu (vabaliige). Ja astmes, mis on suurem kui kaks, ei tohiks olla X-i.
Matemaatilises mõttes on ruutvõrrand järgmise kujuga võrrand:
Siin a, b ja c- mõned numbrid. b ja c- absoluutselt ükskõik, aga A– midagi muud kui null. Näiteks:
Siin A =1; b = 3; c = -4
Siin A =2; b = -0,5; c = 2,2
Siin A =-3; b = 6; c = -18
No saate aru...
Nendes vasakpoolsetes ruutvõrrandites on täiskomplekt liikmed. X ruudus koefitsiendiga A, x koefitsiendiga esimese astmeni b Ja vabaliige s.
Selliseid ruutvõrrandeid nimetatakse täis.
Mis siis, kui b= 0, mida me saame? Meil on X kaob esimesele astmele. See juhtub siis, kui korrutada nulliga.) Selgub näiteks:
5x 2 -25 = 0,
2x2 -6x=0,
-x 2 +4x=0
jne. Ja kui mõlemad koefitsiendid b Ja c on nulliga, siis on veelgi lihtsam:
2x2 =0,
-0,3x2 =0
Selliseid võrrandeid, kus midagi on puudu, nimetatakse mittetäielikud ruutvõrrandid. Mis on üsna loogiline.) Pange tähele, et x ruudus esineb kõigis võrrandites.
Muide, miks A ei saa olla võrdne nulliga? Ja asendate selle asemel A null.) Meie X ruudus kaob! Võrrand muutub lineaarseks. Ja lahendus on täiesti erinev...
See on kõik ruutvõrrandite peamised tüübid. Täielik ja mittetäielik.
Ruutvõrrandite lahendamine.
Täielike ruutvõrrandite lahendamine.
Ruutvõrrandeid on lihtne lahendada. Valemite ja selgete lihtsate reeglite järgi. Esimeses etapis on vaja antud võrrand viia standardkujule, s.o. vormile:
Kui võrrand on teile juba antud kujul, ei pea te esimest etappi tegema.) Peaasi on kõik koefitsiendid õigesti määrata, A, b Ja c. Ruutvõrrandi juurte leidmise valem näeb välja järgmine:
Juuremärgi all olevat väljendit nimetatakse diskrimineeriv. Temast aga lähemalt allpool. Nagu näete, kasutame X leidmiseks ainult a, b ja c.
Need. koefitsiendid ruutvõrrandist. Lihtsalt asendage väärtused ettevaatlikult a, b ja c Arvutame selle valemi järgi. Asendame oma märkidega!
Näiteks võrrandis:
A =1; b = 3; c= -4. Siin paneme selle kirja:
Näide on peaaegu lahendatud:
See on vastus.
See on väga lihtne. Ja mis sa arvad, et viga on võimatu teha? No jah, kuidas...
Levinuimad vead on segiajamine märgiväärtustega a, b ja c. Või pigem mitte nende märkidega (kus segadusse ajada?), vaid negatiivsete väärtuste asendamisega juurte arvutamise valemis. Siin aitab valemi üksikasjalik salvestamine konkreetsete numbritega. Kui arvutustega on probleeme, tee seda!
Oletame, et peame lahendama järgmise näite:
Siin a = -6;
b = -5;
c = -1
Oletame, et teate, et saate harva vastuseid esimesel korral.
Noh, ära ole laisk. Lisarea ja vigade arvu kirjutamiseks kulub umbes 30 sekundit väheneb järsult. Nii et me kirjutame üksikasjalikult koos kõigi sulgude ja märkidega:
Tundub uskumatult raske nii hoolikalt välja kirjutada. Kuid see ainult tundub nii. Proovi seda. No või vali. Mis on parem, kiire või õige? Pealegi teen ma sulle rõõmu. Mõne aja pärast pole enam vaja kõike nii hoolikalt üles kirjutada. See saab iseenesest korda. Eriti kui kasutad praktilisi tehnikaid
, mida kirjeldatakse allpool. Selle hunniku miinustega kurja näite saab lihtsalt ja vigadeta lahendada!
Kuid sageli näevad ruutvõrrandid veidi erinevad. Näiteks nii: Kas tundsite ära?) Jah! See.
mittetäielikud ruutvõrrandid
Mittetäielike ruutvõrrandite lahendamine. a, b ja c.
Neid saab lahendada ka üldise valemi abil. Peate lihtsalt õigesti aru saama, millega nad siin on võrdsed. Kas olete sellest aru saanud? Esimeses näites a = 1; b = -4; c A ? Seda pole üldse olemas! No jah, see on õige. Matemaatikas tähendab see seda
c = 0 ! See on kõik. Selle asemel asendage valemis null ja meil õnnestub. Sama ka teise näitega. Ainult meil pole siin nulli Koos, A b !
Kuid mittetäielikke ruutvõrrandeid saab lahendada palju lihtsamalt. Ilma ühegi valemita. Vaatleme esimest mittetäielikku võrrandit. Mida saab vasakul küljel teha? X võib sulgudest välja võtta! Võtame selle välja.
Mis sellest siis saab? Ja see, et korrutis võrdub nulliga siis ja ainult siis, kui mõni tegur on null! Ei usu mind? Olgu, siis mõtle välja kaks nullist erinevat arvu, mis korrutatuna annavad nulli!
ei tööta? See on kõik...
Seetõttu võime julgelt kirjutada: x 1 = 0, x 2 = 4.
Kõik. Need on meie võrrandi juured. Mõlemad sobivad. Asendades ükskõik millise neist algsesse võrrandisse, saame õige identiteedi 0 = 0. Nagu näete, on lahendus palju lihtsam kui üldvalemi kasutamine. Lubage mul muide märkida, milline X on esimene ja milline teine - täiesti ükskõikne. Mugav on kirjutada järjekorras, x 1- mis on väiksem ja x 2- see, mis on suurem.
Teise võrrandi saab lahendada ka lihtsalt. Liigutage 9 paremale küljele. Saame:
Jääb üle ainult juur 9-st eraldada ja ongi kõik. Selgub:
Samuti kaks juurt .
x 1 = -3, x 2 = 3.
Nii lahendatakse kõik mittetäielikud ruutvõrrandid. Kas asetades X sulgudest välja või lihtne ülekanne numbrid paremale ja seejärel juure eraldamine.
Neid tehnikaid on äärmiselt raske segi ajada. Lihtsalt sellepärast, et esimesel juhul peate välja võtma X-i juure, mis on kuidagi arusaamatu, ja teisel juhul pole sulgudest midagi välja võtta...
Diskrimineeriv. Diskrimineeriv valem.
Maagiline sõna diskrimineeriv
! Harva mõni gümnaasiumiõpilane pole seda sõna kuulnud! Fraas „lahendame diskrimineerija kaudu” äratab usaldust ja kindlustunnet. Sest diskrimineerijalt pole vaja trikke oodata! Seda on lihtne ja probleemivaba kasutada.) Tuletan meelde kõige üldisemat lahendamise valemit ükskõik milline ruutvõrrandid:
Juuremärgi all olevat väljendit nimetatakse diskriminandiks. Tavaliselt tähistatakse diskrimineerijat tähega D. Diskrimineeriv valem:
D = b2-4ac
Ja mis on selles väljendis nii tähelepanuväärset? Miks see erilist nime vääris? Mida diskrimineerija tähendus? Lõppude lõpuks -b, või 2a selles valemis ei nimeta nad seda konkreetselt millekski... Tähed ja tähed.
Siin on asi. Selle valemi abil ruutvõrrandi lahendamisel on see võimalik ainult kolm juhtumit.
1. Diskriminant on positiivne. See tähendab, et juurt saab sellest eraldada. Kas juur on hästi või halvasti välja võetud, on teine küsimus. Oluline on see, mis põhimõtteliselt välja võetakse. Siis on teie ruutvõrrandil kaks juurt. Kaks erinevat lahendust.
2. Diskriminant on null. Siis on teil üks lahendus. Kuna lugejas nulli liitmine või lahutamine ei muuda midagi. Rangelt võttes pole see üks juur, vaid kaks identset. Kuid lihtsustatud versioonis on tavaks rääkida üks lahendus.
3. Diskriminant on negatiivne. Alates negatiivne arv ruutjuurt ei võeta. Ahjaa. See tähendab, et lahendusi pole.
Ausalt öeldes, millal lihtne lahendus ruutvõrrandid, ei ole diskriminandi mõiste eriti vajalik. Asendame koefitsientide väärtused valemisse ja loendame. Kõik toimub seal iseenesest, kaks juurt, üks ja mitte ükski. Keerulisemate ülesannete lahendamisel aga teadmisteta diskriminandi tähendus ja valem ei saa läbi. Eriti parameetritega võrrandites. Sellised võrrandid on vigurlend riigieksami ja ühtse riigieksami jaoks!)
Niisiis, kuidas lahendada ruutvõrrandid läbi diskrimineerija, mis sulle meelde jäi. Või õppisite, mis pole samuti halb.) Oskate õigesti määrata a, b ja c. Kas sa tead, kuidas? tähelepanelikult asendage need juurvalemis ja tähelepanelikult loe tulemust. Saate aru, et võtmesõna siin on tähelepanelikult?
Nüüd pange tähele praktilisi võtteid, mis vähendavad oluliselt vigade arvu. Needsamad, mis on tingitud tähelepanematusest... Mille pärast muutub see hiljem valusaks ja solvavaks...
Esimene kohtumine
. Ärge olge laisk enne ruutvõrrandi lahendamist ja viige see standardvormi. Mida see tähendab?
Oletame, et pärast kõiki teisendusi saate järgmise võrrandi:
Ärge kiirustage juurvalemi kirjutamisega! Peaaegu kindlasti ajate koefitsiendid segamini a, b ja c. Koostage näide õigesti. Esiteks X ruudus, siis ilma ruuduta, siis vaba termin. nagu see:
Ja veel kord, ärge kiirustage! Miinus X ruudu ees võib sind tõsiselt häirida. Lihtne on unustada... Vabane miinusest. Kuidas? Jah, nagu eelmises teemas õpetati! Peame kogu võrrandi korrutama -1-ga. Saame:
Nüüd aga võid julgelt üles kirjutada juurte valemi, arvutada diskriminandi ja lõpetada näite lahendamise. Otsustage ise.
Nüüd peaksid teil olema juured 2 ja -1.
Vastuvõtt teine. Kontrollige juuri! Vastavalt Vieta teoreemile. Ärge kartke, ma selgitan kõik! Kontrollimine viimane võrrand. Need. mida kasutasime juurvalemi kirja panemiseks. Kui (nagu selles näites) koefitsient a = 1 , juurte kontrollimine on lihtne. Piisab nende korrutamisest. Tulemuseks peaks olema vabaliige, st. meie puhul -2. Pange tähele, mitte 2, vaid -2! Vaba liige
oma märgiga
. Kui see ei õnnestu, tähendab see, et nad on juba kuskil sassi läinud. Otsige viga. b Kui see töötab, peate juured lisama. Viimane ja viimane kontroll. Koefitsient peaks olema vastupidine
tuttav. Meie puhul -1+2 = +1. Koefitsient b, mis on enne X, on võrdne -1. Niisiis, kõik on õige!
Kahju, et see on nii lihtne ainult näidete puhul, kus x ruudus on puhas koefitsiendiga a = 1. Kuid vähemalt kontrollige selliseid võrrandeid! Kõik vähem vigu tahe.
Vastuvõtt kolmas
. Kui teie võrrandil on murdosakoefitsiendid, vabanege murdudest! Korrutage võrrand arvuga ühisnimetaja, nagu on kirjeldatud õppetükis "Kuidas võrrandeid lahendada? Identsed teisendused." Murdudega töötades hiilivad vead millegipärast sisse...
Muide, ma lubasin kurja näite lihtsustada hunniku miinustega. Palun! Siin ta on.
Et mitte miinustest segadusse sattuda, korrutame võrrandi -1-ga. Saame:
See on kõik! Lahendamine on nauding!
Niisiis, võtame teema kokku.
Praktilised nõuanded:
1. Enne lahendamist viime ruutvõrrandi standardkujule ja koostame selle Õige.
2. Kui X ruudu ees on negatiivne koefitsient, siis elimineerime selle, korrutades kogu võrrandi -1-ga.
3. Kui koefitsiendid on murdarvulised, siis elimineerime murrud, korrutades kogu võrrandi vastava teguriga.
4. Kui x ruut on puhas, selle koefitsient on võrdne ühega, saab lahendit hõlpsasti kontrollida Vieta teoreemi abil. Tee seda!
Nüüd saame otsustada.)
Lahenda võrrandid:
8x 2 - 6x + 1 = 0
x 2 + 3x + 8 = 0
x 2 - 4x + 4 = 0
(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2)
Vastused (segaduses):
x 1 = 0
x 2 = 5
x 1,2 =2
x 1 = 2
x 2 = -0,5
x - suvaline arv
x 1 = -3
x 2 = 3
lahendusi pole
x 1 = 0,25
x 2 = 0,5
Kas kõik sobib? Suurepärane! Ruutvõrrandid pole teie peavalu. Esimesed kolm töötasid, aga ülejäänud mitte? Siis pole probleem ruutvõrrandites. Probleem seisneb võrrandite identsetes teisendustes. Vaata linki, see on abiks.
Ei tule päris välja? Või ei tule see üldse välja? Siis saab teid aidata jaotis 555. Kõik need näited on seal jaotatud. Näidatud peamine vead lahenduses. Loomulikult räägime ka identsete teisenduste kasutamisest erinevate võrrandite lahendamisel. Aitab palju!
Kui teile meeldib see sait...
Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)
Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õpime - huviga!)
Saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.
|
5x (x - 4) = 0
5 x = 0 või x - 4 = 0
x = ± √ 25/4
Olles õppinud lahendama esimese astme võrrandeid, tahate loomulikult töötada koos teistega, eriti teise astme võrranditega, mida muidu nimetatakse ruutarvulisteks.
Ruutvõrrandid on sellised võrrandid nagu ax² + bx + c = 0, kus muutuja on x, arvud on a, b, c, kus a ei ole võrdne nulliga.
Kui ruutvõrrandis on üks või teine koefitsient (c või b) võrdne nulliga, klassifitseeritakse see võrrand mittetäielikuks ruutvõrrandiks.
Kuidas lahendada mittetäielikku ruutvõrrandit, kui õpilased on seni suutnud lahendada vaid esimese astme võrrandeid? Vaatleme mittetäielikke ruutvõrrandeid erinevat tüüpi ja lihtsaid viise nende lahendamiseks.
a) Kui koefitsient c on 0 ja koefitsient b ei ole võrdne nulliga, taandatakse ax ² + bx + 0 = 0 võrrandiks kujul ax ² + bx = 0.
Sellise võrrandi lahendamiseks peate teadma mittetäieliku ruutvõrrandi lahendamise valemit, mis on järgmine: vasak pool faktoriseerida ja hiljem kasutada tingimust, et korrutis on võrdne nulliga.
Näiteks 5x² - 20x = 0. Tegutseme võrrandi vasaku poole, tehes samal ajal tavalist matemaatiline tehe: koguteguri liigutamine sulgudest välja
5x (x - 4) = 0
Kasutame tingimust, et tooted on võrdsed nulliga.
5 x = 0 või x - 4 = 0
Vastus on järgmine: esimene juur on 0; teine juur on 4.
b) Kui b = 0 ja vaba liige ei ole võrdne nulliga, siis taandatakse võrrand ax ² + 0x + c = 0 võrrandiks kujul ax ² + c = 0. Võrrandid lahendatakse kahel viisil : a) arvutades vasakul pool oleva võrrandi polünoomi ; b) kasutades aritmeetika omadusi ruutjuur. Sellist võrrandit saab lahendada ühe meetodi abil, näiteks:
x = ± √ 25/4
x = ± 5/2. Vastus on järgmine: esimene juur on 5/2; teine juur on võrdne - 5/2.
c) Kui b võrdub 0 ja c on 0, siis ax ² + 0 + 0 = 0 taandatakse võrrandiks kujul ax ² = 0. Sellises võrrandis võrdub x 0-ga.
Nagu näete, ei saa mittetäielikel ruutvõrranditel olla rohkem kui kaks juurt.
Sageli esinevad ruutvõrrandid erinevate füüsika- ja matemaatikaülesannete lahendamisel. Käesolevas artiklis vaatleme, kuidas lahendada need võrdsused universaalsel viisil “diskriminandi kaudu”. Artiklis on toodud ka näiteid omandatud teadmiste kasutamisest.
Millistest võrranditest me räägime?
Alloleval joonisel on kujutatud valem, milles x on tundmatu muutuja ja ladina sümbolid a, b, c tähistavad mõnda teadaolevat arvu.
Kõiki neid sümboleid nimetatakse koefitsiendiks. Nagu näete, ilmub arv "a" enne muutuja x ruudus. See on esitatava avaldise maksimaalne võimsus, mistõttu seda nimetatakse ruutvõrrandiks. Sageli kasutatakse selle teist nimetust: teist järku võrrand. Väärtus a ise on ruutkoefitsient (seisab muutuja ruudus), b on lineaarkoefitsient (see on esimese astmeni tõstetud muutuja kõrval) ja lõpuks on arv c vaba liige.
Pange tähele, et ülaltoodud joonisel näidatud võrrandi tüüp on üldine klassikaline ruutväljend. Lisaks sellele on veel teist järku võrrandeid, milles koefitsiendid b ja c võivad olla nullid.
Kui ülesanne on seatud kõnealuse võrdsuse lahendamiseks, tähendab see, et tuleb leida sellised muutuja x väärtused, mis seda rahuldaksid. Siin tuleb kõigepealt meeles pidada järgmist: kuna X-i maksimaalne aste on 2, ei saa seda tüüpi avaldises olla rohkem kui 2 lahendit. See tähendab, et kui võrrandi lahendamisel leiti 2 x väärtust, mis seda rahuldavad, siis võite olla kindel, et 3. numbrit pole, asendades selle x-ga, oleks ka võrdsus tõene. Matemaatikas nimetatakse võrrandi lahendeid selle juurteks.
Teist järku võrrandite lahendamise meetodid
Seda tüüpi võrrandite lahendamine eeldab nende kohta mõne teooria tundmist. IN koolikursus algebrad arvestavad 4 erinevaid meetodeid lahendusi. Loetleme need:
- faktoriseerimise kasutamine;
- täiusliku ruudu valemi kasutamine;
- rakendades vastava ruutfunktsiooni graafikut;
- kasutades diskrimineerivat võrrandit.
Esimese meetodi eeliseks on selle lihtsus, kuid seda ei saa kasutada kõigi võrrandite jaoks. Teine meetod on universaalne, kuid mõnevõrra tülikas. Kolmas meetod eristub selle selguse poolest, kuid see pole alati mugav ja rakendatav. Ja lõpuks, diskrimineeriva võrrandi kasutamine on universaalne ja üsna lihtne viis absoluutselt iga teist järku võrrandi juurte leidmiseks. Seetõttu käsitleme selles artiklis ainult seda.
Valem võrrandi juurte saamiseks
Pöördume poole üldine välimus ruutvõrrand. Paneme selle kirja: a*x²+ b*x + c =0. Enne „diskriminandi kaudu“ lahendamise meetodi kasutamist peaksite alati viima võrdsuse kirjalikule kujule. See tähendab, et see peab koosnema kolmest liikmest (või vähem, kui b või c on 0).
Näiteks kui on olemas avaldis: x²-9*x+8 = -5*x+7*x², siis tuleks esmalt viia kõik selle liikmed võrdsuse ühele poole ja lisada muutujat x sisaldavad terminid. samad volitused.
IN antud juhul see toiming toob kaasa järgmise avaldise: -6*x²-4*x+8=0, mis on samaväärne võrrandiga 6*x²+4*x-8=0 (siin korrutasime avaldise vasaku ja parema külje võrdsus -1).
Ülaltoodud näites on a = 6, b = 4, c = -8. Pange tähele, et kõik vaadeldava võrdsuse liikmed liidetakse alati kokku, nii et kui ilmub märk “-”, tähendab see, et vastav koefitsient on negatiivne, nagu antud juhul arv c.
Olles seda punkti uurinud, liigume nüüd edasi valemi enda juurde, mis võimaldab saada ruutvõrrandi juured. See näeb välja selline, nagu on näidatud alloleval fotol.
Nagu sellest väljendist näha, võimaldab see saada kaks juurt (pöörake tähelepanu märgile "±"). Selleks piisab, kui asendada sellega koefitsiendid b, c ja a.
Diskriminandi mõiste
Eelmises lõigus anti valem, mis võimaldab kiiresti lahendada mis tahes teist järku võrrandi. Selles nimetatakse radikaali avaldist diskriminandiks, st D = b²-4*a*c.
Miks on see valemi osa esile tõstetud ja isegi on õige nimi? Fakt on see, et diskriminant ühendab kõik kolm võrrandi koefitsienti üheks avaldiseks. Viimane asjaolu tähendab, et see kannab täielikult teavet juurte kohta, mida saab väljendada järgmises loendis:
- D>0: Võrdsusel on 2 erinevat lahendit, mis mõlemad on reaalarvud.
- D=0: võrrandil on ainult üks juur ja see on reaalarv.
Diskriminantide määramise ülesanne
Toome lihtsa näite, kuidas diskrimineerijat leida. Olgu antud võrdus: 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.
Toome selle standardkujule, saame: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, millest tuleme võrdsuseni : -2*x² +2*x-11 = 0. Siin a=-2, b=2, c=-11.
Nüüd saate diskriminandi jaoks kasutada ülaltoodud valemit: D = 2² - 4*(-2)*(-11) = -84. Saadud arv on ülesande vastus. Kuna näites on diskriminant vähem kui null, siis võime öelda, et sellel ruutvõrrandil pole tegelikke juuri. Selle lahenduseks on ainult kompleksset tüüpi numbrid.
Näide ebavõrdsusest diskriminandi kaudu
Lahendame veidi erinevat tüüpi ülesandeid: kui on antud võrdus -3*x²-6*x+c = 0. Tuleb leida c väärtused, mille puhul D>0.
Sel juhul on 3-st koefitsiendist teada vaid 2, mistõttu ei ole võimalik täpselt arvutada diskriminandi väärtust, kuid on teada, et see on positiivne. Kasutame ebavõrdsuse koostamisel viimast fakti: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. Saadud võrratuse lahendamine viib tulemuseni: c>-3.
Kontrollime saadud arvu. Selleks arvutame D kahel juhul: c=-2 ja c=-4. Arv -2 rahuldab saadud tulemust (-2>-3), vastav diskriminant saab väärtuseks: D = 12>0. Arv -4 omakorda ei rahulda ebavõrdsust (-4. Seega kõik arvud c, mis on suuremad kui -3, vastavad tingimusele.
Näide võrrandi lahendamisest
Esitame probleemi, mis hõlmab mitte ainult diskriminandi leidmist, vaid ka võrrandi lahendamist. Võrdsuse -2*x²+7-9*x = 0 juured tuleb leida.
Selles näites on diskriminant järgmine väärtus: D = 81-4*(-2)*7= 137. Seejärel määratakse võrrandi juured järgmiselt: x = (9±√137)/(-4). Need on juurte täpsed väärtused, kui arvutate juure ligikaudselt, saate numbrid: x = -5,176 ja x = 0,676.
Geomeetriline probleem
Lahendame ülesande, mis nõuab mitte ainult diskriminandi arvutamise oskust, vaid ka abstraktse mõtlemise oskuste kasutamist ja ruutvõrrandite kirjutamise teadmisi.
Bobil oli tekk 5 x 4 meetrit. Poiss tahtis õmmelda pidevat riba ilus kangas. Kui paks see riba on, kui teame, et Bobil on 10 m² kangast.
Olgu riba paksus x m, siis kanga pindala on pikk külg tekk saab olema (5+2*x)*x ja kuna seal on 2 pikka külge, siis on meil: 2*x*(5+2*x). Lühikese poole pealt on õmmeldud kanga pindala 4*x, kuna neid külgi on 2, saame väärtuseks 8*x. Pange tähele, et pikale küljele lisati väärtus 2*x, kuna teki pikkus suurenes selle numbri võrra. Teki külge õmmeldud kanga üldpind on 10 m². Seetõttu saame võrdsuse: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.
Selle näite puhul on diskriminant võrdne: D = 18²-4*4*(-10) = 484. Selle juur on 22. Valemit kasutades leiame vajalikud juured: x = (-18±22)/( 2*4) = (-5; 0,5). Ilmselgelt sobib kahest juurtest ainult arv 0,5 vastavalt ülesande tingimustele.
Seega on kangariba, mille Bob oma teki külge õmbleb, 50 cm lai.
Mittetäielik ruutvõrrand erineb klassikalistest (täielikest) võrranditest selle poolest, et selle tegurid ehk vaba liige on võrdne nulliga. Selliste funktsioonide graafikud on paraboolid. Sõltuvalt nende üldisest välimusest jagunevad nad 3 rühma. Lahenduspõhimõtted igat tüüpi võrrandite puhul on samad.
Mittetäieliku polünoomi tüübi määramisel pole midagi keerulist. Kõige parem on kaaluda peamisi erinevusi visuaalsete näidete abil:
- Kui b = 0, siis on võrrand ax 2 + c = 0.
- Kui c = 0, siis tuleks lahendada avaldis ax 2 + bx = 0.
- Kui b = 0 ja c = 0, muutub polünoom võrduseks nagu ax 2 = 0.
Viimane juhtum on pigem teoreetiline võimalus ja seda teadmiste kontrollimise ülesannetes kunagi ei esine, kuna avaldises on muutuja x ainus õige väärtus null. Edaspidi käsitletakse 1) ja 2) tüüpi mittetäielike ruutvõrrandite lahendamise meetodeid ja näiteid.
Üldine algoritm muutujate otsimiseks ja näited koos lahendustega
Sõltumata võrrandi tüübist taandatakse lahendusalgoritm järgmisteks sammudeks:
- Vähendage avaldis juurte leidmiseks sobivasse vormi.
- Tehke arvutused.
- Kirjutage vastus üles.
Lihtsaim viis mittetäielike võrrandite lahendamiseks on arvutada vasak pool ja jätta paremale null. Seega taandatakse mittetäieliku ruutvõrrandi valem juurte leidmiseks x väärtuse arvutamiseks iga teguri jaoks.
Saate õppida, kuidas seda lahendada ainult praktikas, nii et mõelgem konkreetne näide mittetäieliku võrrandi juurte leidmine:
Nagu näete, on sel juhul b = 0. Teguriseerime vasaku külje ja saame avaldise:
4 (x – 0,5) ⋅ (x + 0,5) = 0.
Ilmselgelt on korrutis võrdne nulliga, kui vähemalt üks teguritest on võrdne nulliga. Muutuja x1 = 0,5 ja (või) x2 = -0,5 väärtused vastavad sarnastele nõuetele.
Lagundamise ülesandega hõlpsalt ja kiiresti toimetulemiseks ruuttrinoom tegurite puhul pidage meeles järgmist valemit:
Kui avaldises pole vaba terminit, on probleem oluliselt lihtsustatud. Piisab vaid ühise nimetaja leidmisest ja sulgudesse panemisest. Selguse huvides vaatleme näidet mittetäielike ruutvõrrandite lahendamisest kujul ax2 + bx = 0.
Võtame muutuja x sulgudest välja ja saame järgmise avaldise:
x ⋅ (x + 3) = 0.
Loogikast juhindudes jõuame järeldusele, et x1 = 0 ja x2 = -3.
Traditsiooniline lahendusmeetod ja mittetäielikud ruutvõrrandid
Mis juhtub, kui rakendate diskrimineeriva valemi ja proovite leida nulliga võrdsete kordajatega polünoomi juured? Võtame näite kogust tüüpilised ülesanded matemaatika 2017. aasta ühtse riigieksami puhul lahendame selle tüüpvalemite ja faktoriseerimismeetodi abil.
7x 2 – 3x = 0.
Arvutame diskrimineeriva väärtuse: D = (-3)2 – 4 ⋅ (-7) ⋅ 0 = 9. Selgub, et polünoomil on kaks juurt:
Nüüd lahendame võrrandi faktooringuga ja võrdleme tulemusi.
X ⋅ (7x + 3) = 0,
2) 7x + 3 = 0,
7x = -3,
x = -.
Nagu näete, annavad mõlemad meetodid sama tulemuse, kuid võrrandi lahendamine teise meetodi abil oli palju lihtsam ja kiirem.
Vieta teoreem
Aga mida teha Vieta lemmikteoreemiga? Kas seda meetodit saab kasutada, kui kolmik on mittetäielik? Proovime mõista valamise aspekte täielikud võrrandid To klassikaline välimus ax2 + bx + c = 0.
Tegelikult on sel juhul võimalik Vieta teoreemi rakendada. Tuleb vaid viia avaldis selle üldkujule, asendades puuduvad terminid nulliga.
Näiteks b = 0 ja a = 1 korral tuleks segiajamise võimaluse välistamiseks ülesanne kirjutada kujul: ax2 + 0 + c = 0. Siis juurte summa ja korrutise suhe ja polünoomi tegureid saab väljendada järgmiselt:
Teoreetilised arvutused aitavad probleemi olemusega tutvuda ja nõuavad lahendamisel alati praktilisi oskusi konkreetsed ülesanded. Pöördume uuesti ühtse riigieksami standardülesannete teatmeteosse ja leiame sobiva näite:
Kirjutame avaldise Vieta teoreemi rakendamiseks sobival kujul:
x 2 + 0 – 16 = 0.
Järgmine samm on tingimuste süsteemi loomine:
Ilmselgelt on ruutpolünoomi juured x 1 = 4 ja x 2 = -4.
Nüüd harjutame võrrandi viimist üldisele kujule. Võtame järgmise näite: 1/4× x 2 – 1 = 0
Vieta teoreemi avaldisele rakendamiseks on vaja murdosast lahti saada. Korrutame vasaku ja parema külje 4-ga ja vaatame tulemust: x2– 4 = 0. Saadud võrdus on valmis lahendama Vieta teoreemi abil, kuid vastuse saamine on palju lihtsam ja kiirem lihtsalt liigutades c = 4 võrrandi paremale küljele: x2 = 4.
Kokkuvõtteks tuleks öelda, et parim viis lahendusi mittetäielikud võrrandid on faktoriseerimine, on kõige lihtsam ja kiire meetod. Kui juurte otsimisel tekib raskusi, võite ühendust võtta traditsiooniline meetod juurte leidmine diskriminandi kaudu.
Ruutvõrrandi juurte valemid. Vaadeldakse tegelike, mitmekordsete ja keerukate juurte juhtumeid. Ruuttrinoomi faktoring. Geomeetriline tõlgendus. Juurte määramise ja faktooringu näited.
Põhivalemid
Mõelge ruutvõrrandile:
(1)
.
Ruutvõrrandi juured(1) määratakse järgmise valemiga:
;
.
Neid valemeid saab kombineerida järgmiselt:
.
Kui ruutvõrrandi juured on teada, saab teise astme polünoomi esitada tegurite korrutisena (faktoreeritud):
.
Järgmisena eeldame, et need on reaalarvud.
Mõelgem ruutvõrrandi diskriminant:
.
Kui diskriminant on positiivne, on ruutvõrrandil (1) kaks erinevat reaaljuurt:
;
.
Siis on ruuttrinoomi faktoriseerimine järgmine:
.
Kui diskriminant on võrdne nulliga, on ruutvõrrandil (1) kaks mitmekordset (võrdset) reaaljuurt:
.
Faktoreerimine:
.
Kui diskriminant on negatiivne, on ruutvõrrandil (1) kaks keerulist konjugaatjuurt:
;
.
Siin on kujuteldav ühik ;
ja need on juurte tegelikud ja kujuteldavad osad:
;
.
Siis
.
Graafiline tõlgendus
Kui ehitate funktsiooni graafik
,
mis on parabool, siis on graafiku lõikepunktid teljega võrrandi juurteks
.
Punktis , lõikub graafik x-teljega (teljega) kahes punktis.
Kui , puudutab graafik ühes punktis x-telge.
Kui , graafik ei ristu x-teljega.
Allpool on selliste graafikute näited.
Kasulikud ruutvõrranditega seotud valemid
(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .
Ruutvõrrandi juurte valemi tuletamine
Teostame teisendusi ja rakendame valemeid (f.1) ja (f.3):
,
Kus
;
.
Niisiis saime teise astme polünoomi valemi kujul:
.
See näitab, et võrrand
esines kl
Ja .
See tähendab, ja on ruutvõrrandi juured
.
Näited ruutvõrrandi juurte määramisest
Näide 1
(1.1)
.
Lahendus
.
Võrreldes meie võrrandiga (1.1), leiame koefitsientide väärtused:
.
Leiame diskrimineerija:
.
Kuna diskriminant on positiivne, on võrrandil kaks tegelikku juurt:
;
;
.
Siit saame ruuttrinoomi faktoriseerimise:
.
Funktsiooni y = graafik 2 x 2 + 7 x + 3 lõikub x-teljega kahes punktis.
Joonistame funktsiooni
.
Selle funktsiooni graafik on parabool. See ületab abstsisstellje (telge) kahes punktis:
Ja .
Need punktid on algse võrrandi (1.1) juured.
Vastus
;
;
.
Näide 2
Leidke ruutvõrrandi juured:
(2.1)
.
Lahendus
Kirjutame ruutvõrrandi üldkujul:
.
Võrreldes algse võrrandiga (2.1), leiame koefitsientide väärtused:
.
Leiame diskrimineerija:
.
Kuna diskriminant on null, on võrrandil kaks mitmekordset (võrdset) juurt:
;
.
Siis on trinoomi faktoriseerimine järgmine:
.
Funktsiooni y = x graafik 2–4 x + 4 puudutab ühes punktis x-telge.
Joonistame funktsiooni
.
Selle funktsiooni graafik on parabool. See puudutab x-telge (telge) ühes punktis:
.
See punkt on algse võrrandi (2.1) juur. Kuna seda juurt arvestatakse kaks korda:
,
siis sellist juurt nimetatakse tavaliselt mitmekordseks. See tähendab, et nad usuvad, et on kaks võrdset juurt:
.
Vastus
;
.
Näide 3
Leidke ruutvõrrandi juured:
(3.1)
.
Lahendus
Kirjutame ruutvõrrandi üldkujul:
(1)
.
Kirjutame algse võrrandi (3.1) ümber:
.
Võrreldes punktiga (1), leiame koefitsientide väärtused:
.
Leiame diskrimineerija:
.
Diskriminant on negatiivne, .
Seetõttu pole tõelisi juuri.
;
;
.
Võite leida keerukaid juuri:
.
Siis
Joonistame funktsiooni
.
Funktsiooni graafik ei ristu x-teljega. Päris juuri pole.
Vastus
Selle funktsiooni graafik on parabool. See ei ristu x-teljega (teljega). Seetõttu pole tõelisi juuri.
;
;
.
