Nagu praktika näitab, põhjustavad ruutfunktsiooni omaduste ja graafikute ülesanded tõsiseid raskusi. See on üsna kummaline, sest nad uurivad ruutfunktsiooni 8. klassis ja siis kogu 9. klassi esimese veerandi “piinavad” parabooli omadusi ja koostavad selle graafikuid erinevate parameetrite jaoks.

Selle põhjuseks on asjaolu, et sundides õpilasi paraboole konstrueerima, ei pühenda nad praktiliselt aega graafikute “lugemisele”, st ei harjuta pildilt saadava teabe mõistmist. Ilmselt eeldatakse, et pärast kümne-kahe graafiku koostamist avastab ja sõnastab tark õpilane ise valemis ja koefitsientide vahelise seose. välimus graafika. Praktikas see ei toimi. Selliseks üldistamiseks on vaja tõsist matemaatilise mini-uurimuse kogemust, mida enamikul üheksanda klassi õpilastel muidugi pole. Vahepeal teeb Riigiinspektsioon ettepaneku määrata koefitsientide märgid graafiku alusel.

Me ei nõua koolilastelt võimatut ja pakume lihtsalt välja ühe selliste probleemide lahendamise algoritmidest.

Niisiis, vormi funktsioon y = ax 2 + bx + c nimetatakse ruutkeskseks, selle graafik on parabool. Nagu nimigi ütleb, on peamine termin kirves 2. See on A ei tohiks olla võrdne nulliga, ülejäänud koefitsiendid ( b Ja Koos) võib olla võrdne nulliga.

Vaatame, kuidas mõjutavad selle koefitsientide märgid parabooli välimust.

Lihtsaim sõltuvus koefitsiendile A. Enamik koolilapsi vastab enesekindlalt: „kui A> 0, siis on parabooli harud suunatud ülespoole ja kui A < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой A > 0.

y = 0,5x 2 - 3x + 1

Sel juhul A = 0,5

Ja nüüd selleks A < 0:

y = - 0,5x2 - 3x + 1

Sel juhul A = - 0,5

Koefitsiendi mõju Koos Seda on ka üsna lihtne jälgida. Kujutame ette, et tahame leida funktsiooni väärtuse punktis X= 0. Asendage valemis null:

y = a 0 2 + b 0 + c = c. Selgub, et y = c. See on Koos on parabooli ja y-telje lõikepunkti ordinaat. Tavaliselt on seda punkti graafikult lihtne leida. Ja määrake, kas see on üle nulli või alla selle. See on Koos> 0 või Koos < 0.

Koos > 0:

y = x 2 + 4x + 3

Koos < 0

y = x 2 + 4x - 3

Vastavalt sellele, kui Koos= 0, siis läbib parabool tingimata lähtepunkti:

y = x 2 + 4x

Parameetriga keerulisem b. See, millal me selle leiame, ei sõltu mitte ainult sellest b aga ka alates A. See on parabooli tipp. Selle abstsiss (telje koordinaat X) leitakse valemiga x in = - b/(2a). Seega b = - 2ax tolli. See tähendab, et me toimime järgmiselt: leiame graafikult parabooli tipu, määrame selle abstsissi märgi, see tähendab, et vaatame nullist paremale ( x sisse> 0) või vasakule ( x sisse < 0) она лежит.

See pole aga veel kõik. Samuti peame tähelepanu pöörama koefitsiendi märgile A. See tähendab, et vaadake, kuhu on suunatud parabooli harud. Ja alles pärast seda valemi järgi b = - 2ax tolli määrake märk b.

Vaatame näidet:

Oksad on suunatud ülespoole, mis tähendab A> 0, parabool lõikub teljega juures alla nulli tähendab Koos < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x sisse> 0. Niisiis b = - 2ax tolli = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: A > 0, b < 0, Koos < 0.

Funktsioon vormist kus kutsutakse ruutfunktsioon.

Ruutfunktsiooni graafik – parabool.

Vaatleme juhtumeid:

I CASE, KLASSIKALINE PARABOOL

See tähendab, ,

Ehitamiseks täitke tabel, asendades x väärtused valemiga:

Märgi punktid (0;0); (1; 1); (-1;1) jne. sisse koordinaattasand(mida väiksema sammuga võtame x väärtused (antud juhul samm 1) ja mida rohkem x väärtusi võtame, seda sujuvam on kõver), saame parabooli:

On lihtne näha, et kui võtta juhtum , , , ehk siis saame parabooli, mis on sümmeetriline telje (oh) suhtes. Seda on lihtne kontrollida, täites sarnase tabeli:

II JUHTUM, „a” ERINEB ÜHIKUST

Mis juhtub, kui võtame , , ? Kuidas muutub parabooli käitumine? With title=" Renderdab QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

Esimesel pildil (vt ülal) on selgelt näha, et parabooli (1;1), (-1;1) punktid tabelist muudeti punktideks (1;4), (1;-4), see tähendab, et samade väärtuste korral korrutatakse iga punkti ordinaat 4-ga. See juhtub kõigi algse tabeli võtmepunktidega. Sarnaselt arutleme ka piltide 2 ja 3 puhul.

Ja kui parabool "muutub laiemaks" kui parabool:

Teeme kokkuvõtte:

1)Koefitsiendi märk määrab okste suuna. Title=" Renderdab QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Absoluutne väärtus koefitsient (moodul) vastutab parabooli "paisumise" ja "kokkusurumise" eest. Mida suurem , seda kitsam on parabool, seda väiksem |a|, seda laiem on parabool.

III JUHTUM, ILMUB “C”.

Tutvustame nüüd mängu (st kaalume juhtumit, millal), vaatleme vormi paraboole. Pole raske arvata (alati võib viidata tabelile), et parabool nihkub mööda telge olenevalt märgist üles või alla:

IV KOHTUUR, ILMUB “b”.

Millal parabool "eraldub" teljest ja lõpuks "kõnnib" mööda kogu koordinaattasandit? Millal see lakkab olemast võrdne?

Siin vajame parabooli konstrueerimiseks tipu arvutamise valem: , .

Nii et praegusel hetkel (nagu punktis (0;0) uus süsteem koordinaadid) ehitame parabooli, mida saame juba teha. Kui käsitleme juhtumit, siis tipust paneme ühe ühikulise lõigu paremale, ühe üles, - saadud punkt on meie (samamoodi samm vasakule, samm üles on meie punkt); kui tegemist on näiteks, siis tipust paneme ühe ühikulise segmendi paremale, kaks - ülespoole jne.

Näiteks parabooli tipp:

Nüüd on peamine mõista, et selles tipus ehitame parabooli parabooli mustri järgi, sest meie puhul.

Parabooli konstrueerimisel pärast tipu koordinaatide leidmist vägaMugav on arvestada järgmiste punktidega:

1) parabool läheb kindlasti punktist läbi . Tõepoolest, asendades valemis x=0, saame, et . See tähendab, et parabooli ja telje (oy) lõikepunkti ordinaat on . Meie näites (ülal) lõikub parabool ordinaat punktis , kuna .

2) sümmeetriatelg paraboolid on sirgjoon, nii et kõik parabooli punktid on selle suhtes sümmeetrilised. Meie näites võtame kohe punkti (0; -2) ja ehitame selle sümmeetriliseks parabooli sümmeetriatelje suhtes, saame punkti (4; -2), mida parabool läbib.

3) Võrdsustades , saame teada parabooli ja telje (oh) lõikepunktid. Selleks lahendame võrrandi. Olenevalt diskriminandist saame ühe (, ), kaks ( title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . Eelmises näites ei ole meie diskriminandi juur konstrueerimisel täisarv, meil pole juuri mõtet leida, kuid me näeme selgelt, et meil on teljega (oh) kaks lõikepunkti; (alates title=" Renderdab QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Nii et teeme asja selgeks

Algoritm parabooli koostamiseks, kui see on antud kujul

1) määrake okste suund (a>0 – üles, a<0 – вниз)

2) leiame valemi , abil parabooli tipu koordinaadid.

3) leiame parabooli lõikepunkti teljega (oy) kasutades vaba liiget, konstrueerime selle punkti suhtes sümmeetrilise punkti parabooli sümmeetriatelje suhtes (tuleb tähele panna, et juhtub, et selle märkimine on kahjumlik punkt, näiteks kuna väärtus on suur... jätame selle punkti vahele...)

4) Leitud punktis - parabooli tipus (nagu uue koordinaatsüsteemi punktis (0;0)) konstrueerime parabooli. If title=" Renderdab QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) Leiame parabooli lõikepunktid teljega (oy) (kui need pole veel “pinnale tulnud”) võrrandi lahendamisega

Näide 1

Näide 2

Märkus 1. Kui parabool on meile algselt antud kujul , kus on mõned arvud (näiteks ), siis on seda veelgi lihtsam konstrueerida, sest meile on juba antud tipu koordinaadid . Miks?

Võtame ruuttrinoom ja valige selles terve ruut: Vaata, saime selle , . Sina ja mina nimetasime varem parabooli tipuks, see tähendab nüüd,.

Näiteks . Märgime tasapinnale parabooli tipu, saame aru, et oksad on suunatud allapoole, parabool on laienenud (suhtes ). See tähendab, et viime läbi punktid 1; 3; 4; 5 parabooli konstrueerimise algoritmist (vt eespool).

Märkus 2. Kui parabool on antud sellele sarnasel kujul (st esitatakse kahe lineaarse teguri korrutisena), siis näeme kohe parabooli ja telje (härg) lõikepunkte. Sel juhul – (0;0) ja (4;0). Ülejäänud osas tegutseme vastavalt algoritmile, avades sulgud.

Koolis matemaatikatundides oled juba tutvunud funktsiooni lihtsamate omaduste ja graafikuga y = x 2. Laiendame oma teadmisi ruutfunktsioon.

Ülesanne 1.

Joonistage funktsiooni graafik y = x 2. Mõõtkava: 1 = 2 cm Märkige Oy teljel punkt F(0; 1/4). Mõõtke kompassi või pabeririba abil kaugus punktist F mingil hetkel M paraboolid. Seejärel kinnitage riba punktis M ja pöörake seda selle punkti ümber, kuni see on vertikaalne. Riba ots langeb veidi allapoole x-telge (Joonis 1). Märkige ribale, kui kaugele see ulatub x-teljelt. Nüüd võtke paraboolil veel üks punkt ja korrake mõõtmist uuesti. Kui kaugele on riba serv langenud allapoole x-telge?

Tulemus: olenemata sellest, millise punkti paraboolil y = x 2 te võtate, on kaugus sellest punktist punktini F(0; 1/4) suurem kui kaugus samast punktist abstsissteljeni alati sama arvu võrra - 1/4.

Võime öelda erinevalt: kaugus parabooli mis tahes punktist punktini (0; 1/4) on võrdne kaugusega parabooli samast punktist sirge y = -1/4. Seda imelist punkti F(0; 1/4) nimetatakse keskenduda paraboolid y = x 2 ja sirge y = -1/4 – koolijuhataja see parabool. Igal paraboolil on suund ja fookus.

Parabooli huvitavad omadused:

1. Parabooli mis tahes punkt on võrdsel kaugusel mõnest punktist, mida nimetatakse parabooli fookuseks, ja mõnest sirgest, mida nimetatakse selle suunaks.

2. Kui pöörate parabooli ümber sümmeetriatelje (näiteks parabool y = x 2 ümber Oy telje), saate väga huvitava pinna, mida nimetatakse pöörde parabooliks.

Pöörlevas anumas oleva vedeliku pind on pöördeparaboloidi kujuga. Seda pinda näete, kui segate lusikaga intensiivselt mittetäielikus teeklaasis ja eemaldate seejärel lusika.

3. Kui viskad kivi horisondi suhtes teatud nurga all tühjasse, lendab see paraboolina (Joonis 2).

4. Kui lõikate koonuse pinda tasandiga, mis on paralleelne selle mõne generatriksiga, siis ristlõike tulemuseks on parabool (Joonis 3).

5. Lõbustusparkides korraldatakse vahel lõbusõite nimega Paraboloid of Wonders. Kõigile pöörleva paraboloidi sees seisjatele tundub, et ta seisab põrandal, samal ajal kui ülejäänud inimesed hoiavad kuidagi imekombel seintest kinni.

6. Peegeldavates teleskoopides kasutatakse ka paraboolpeegleid: teleskoobi peeglile langev kauge tähe valgus, mis tuleb paralleelkiirega, kogutakse fookusesse.

7. Kohtvalgustitel on tavaliselt paraboloidi kujuline peegel. Kui asetate valgusallika paraboloidi fookusesse, moodustavad paraboolpeeglist peegelduvad kiired paralleelse kiire.

Ruutfunktsiooni graafik

Matemaatikatundides õppisite, kuidas saada funktsiooni y = x 2 graafikust kujuga funktsioonide graafikud:

1) y = ax 2– graafiku y = x 2 venitamine piki Oy telge punktis |a| korda (koos |a|< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, riis. 4).

2) y = x 2 + n– graafiku nihe n ühiku võrra mööda Oy telge ja kui n > 0, siis on nihe ülespoole ja kui n< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).

3) y = (x + m) 2– graafiku nihe m ühiku võrra piki Ox-telge: kui m< 0, то вправо, а если m >0, siis vasakule, (Joonis 5).

4) y = -x 2– sümmeetriline kuva graafiku Ox-telje suhtes y = x 2 .

Vaatame funktsiooni joonistamist lähemalt y = a(x – m) 2 + n.

Ruutfunktsiooni kujul y = ax 2 + bx + c saab alati taandada kujule

y = a(x – m) 2 + n, kus m = -b/(2a), n = -(b 2 – 4ac)/(4a).

Tõestame seda.

Tõesti,

y = ax 2 + bx + c = a(x 2 + (b/a) x + c/a) =

A(x 2 + 2x · (b/a) + b 2 /(4a 2) – b 2 /(4a 2) + c/a) =

A((x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a 2)) = a(x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a).

Tutvustame uusi tähistusi.

Lase m = -b/(2a), A n = -(b 2 – 4ac)/(4a),

siis saame y = a(x – m) 2 + n või y – n = a(x – m) 2.

Teeme veel mõned asendused: olgu y – n = Y, x – m = X (*).

Siis saame funktsiooni Y = aX 2, mille graafik on parabool.

Parabooli tipp asub algpunktis. X = 0; Y = 0.

Asendades tipu koordinaadid arvuga (*), saame graafiku tipu koordinaadid y = a(x – m) 2 + n: x = m, y = n.

Seega selleks, et joonistada ruutfunktsioon, mis on esitatud kujul

y = a(x – m) 2 + n

teisenduste kaudu saate toimida järgmiselt:

a) joonistage funktsioon y = x 2 ;

b) paralleeltranslatsiooni teel piki Ox-telge m ühiku võrra ja piki Oy telge n ühiku võrra - viige parabooli tipp lähtepunktist koordinaatidega punkti (m; n) (Joonis 6).

Teisenduste salvestamine:

y = x 2 → y = (x – m) 2 → y = a(x – m) 2 → y = a(x – m) 2 + n.

Näide.

Koostage teisenduste abil funktsiooni y = 2(x – 3) 2 graafik Descartes'i koordinaatsüsteemis – 2.

Lahendus.

Teisenduste ahel:

y = x 2 (1) → y = (x – 3) 2 (2) → y = 2(x – 3) 2 (3) → y = 2 (x – 3) 2 – 2 (4) .

Joonistus on näidatud riis. 7.

Ruutfunktsioonide graafikuid saate ise harjutada. Näiteks koostage teisenduste abil funktsiooni y = 2(x + 3) 2 + 2 graafik ühes koordinaatsüsteemis Kui teil on küsimusi või soovite saada nõu õpetajalt, siis on teil võimalus läbi viia tasuta 25-minutiline õppetund online juhendajaga peale registreerimist. Sest edasine töö Koos õpetajaga saate valida endale sobiva tariifiplaani.

Kas teil on endiselt küsimusi? Kas te ei tea, kuidas ruutfunktsiooni joonistada?
Juhendajalt abi saamiseks registreeruge.
Esimene tund on tasuta!

veebisaidil, kui kopeerite materjali täielikult või osaliselt, on vaja linki algallikale.

15. õppetund.
Koefitsientide mõjua, b JaKoos asukohta
ruutfunktsiooni graafik

Eesmärgid: arendada edasi ruutfunktsiooni graafiku koostamise ja selle omaduste loetlemise oskust; tuvastada koefitsientide mõju A, b Ja Koos ruutfunktsiooni graafiku asukoha kohta.

Tunni edenemine

I. Organisatsioonimoment.

II. Suuline töö.

Määrake, milline funktsiooni graafik on näidatud joonisel:

juures = X 2 – 2X – 1;

juures = –2X 2 – 8X;

juures = X 2 – 4X – 1;

juures = 2X 2 + 8X + 7;

juures = 2X 2 – 1.

b)

juures = X 2 – 2X;

juures = –X 2 + 4X + 1;

juures = –X 2 – 4X + 1;

juures = –X 2 + 4X – 1;

juures = –X 2 + 2X – 1.

III. Oskuste ja vilumuste kujunemine.

Harjutused:

1. nr 127 (a).

Lahendus

Otse juures = 6X + b puudutab parabooli juures = X 2 + 8, see tähendab, et võrrandi 6 korral on sellel ainult üks ühine punkt X + b = X 2 + 8 saab ainus lahendus.

See võrrand on ruutkeskne, leiame selle diskrimineerija:

X 2 – 6X + 8 + b = 0;

D 1 = 9 – (8 – b) = 1 + b;

D 1 = 0, kui 1 + b= 0, see tähendab b= –1.

Vastus: b= –1.

3. Tehke kindlaks koefitsientide mõju A, b Ja Koos funktsioonigraafiku asukoha kohta juures = Oh 2 + bx + Koos.

Õpilastel on piisavalt teadmisi selle ülesande iseseisvaks täitmiseks. Neid tuleks kutsuda kõik oma leiud märkmikusse üles kirjutama, tuues esile iga koefitsiendi "peamise" rolli.

1) Koefitsient A mõjutab parabooli harude suunda: millal A> 0 – oksad on suunatud ülespoole, koos A < 0 – вниз.

2) Koefitsient b mõjutab parabooli tipu asukohta. Kell b= 0 tipp asub teljel oh.

3) Koefitsient Koos näitab parabooli ja telje lõikepunkti Op-amp.

Pärast seda saab tuua näite, mis näitab, mida saab koefitsientide kohta öelda A, b Ja Koos funktsiooni graafiku järgi.

Tähendus Koos saab nimetada täpselt: kuna graafik lõikub teljega Op-amp punktis (0; 1), siis Koos = 1.

Koefitsient A saab võrrelda nulliga: kuna parabooli oksad on suunatud allapoole, siis A < 0.

Koefitsiendi märk b saab teada valemist, mis määrab parabooli tipu abstsissi: T= , alates A < 0 и T= 1, siis b> 0.

4. Määra koefitsientide väärtuse põhjal, milline funktsioonigraafik on joonisel kujutatud A, b Ja Koos.

juures = –X 2 + 2X;

juures = X 2 + 2X + 2;

juures = 2X 2 – 3X – 2;

juures = X 2 – 2.

Lahendus

A, b Ja Koos:

A> 0, kuna parabooli harud on suunatud ülespoole;

b Op-amp;

Koos= –2, kuna parabool lõikub ordinaatiga punktis (0; –2).

juures = 2X 2 – 3X – 2.

juures = X 2 – 2X;

juures = –2X 2 + X + 3;

juures = –3X 2 – X – 1;

juures = –2,7X 2 – 2X.

Lahendus

Teeme näidatud ajakava järgi järgmised järeldused koefitsientide kohta A, b Ja Koos:

A < 0, так как ветви параболы направлены вниз;

b≠ 0, kuna parabooli tipp ei asu teljel Op-amp;

Koos= 0, kuna parabool lõikub teljega Op-amp punktis (0; 0).

Kõik need tingimused on täidetud ainult funktsiooniga juures = –2,7X 2 – 2X.

5. Funktsiooni graafiku järgi juures = Oh 2 + bx + Koos A, b Ja Koos:

A) b)

Lahendus

a) Parabooli oksad on suunatud ülespoole, seega A > 0.

Parabool lõikub alumisel pooltasandil ordinaatteljega, seega Koos < 0. Чтобы узнать знак коэффициента b Kasutame parabooli tipu abstsissi leidmiseks valemit: T= . Graafikult on näha, et T < 0, и мы определим, что A> 0. Seetõttu b> 0.

b) Samamoodi määrame koefitsientide märgid A, b Ja Koos:

A < 0, Koos > 0, b< 0.

Akadeemiliselt tugevatele üliõpilastele saab anda lisavõimaluse täita nr 247.

Lahendus

juures = X 2 + px + q.

a) Vieta teoreemi järgi on teada, et kui X 1 ja X 2 – võrrandi juured X 2 +
+ px + q= 0 (st selle funktsiooni nullid), siis X 1 · X 2 = q Ja X 1 + X 2 = –r. Me saame sellest aru q= 3 4 = 12 ja r = –(3 + 4) = –7.

b) Parabooli ja telje lõikepunkt Op-amp annab parameetri väärtuse q, see tähendab q= 6. Kui funktsiooni graafik lõikub teljega Oh punktis (2; 0), siis on arv 2 võrrandi juur X 2 + px + q= 0. Väärtuse asendamine X= 2 sellesse võrrandisse, saame selle r = –5.

c) See ruutfunktsioon saavutab oma minimaalse väärtuse parabooli tipus, seega, kust r= –12. Tingimuse järgi funktsiooni väärtus juures = X 2 – 12X + q punktis x= 6 võrdub 24. Asendamine x= 6 ja juures= 24 V seda funktsiooni, leiame selle q= 60.

IV. Proovitöö.

1. võimalus

1. Joonistage funktsiooni graafik juures = 2X 2 + 4X– 6 ja leidke graafiku abil:

a) funktsiooni nullid;

b) intervallid, milles juures> 0 ja y < 0;

d) funktsiooni väikseim väärtus;

e) funktsiooni ulatus.

2. Ilma funktsiooni graafikuta juures = –X 2 + 4X, leia:

a) funktsiooni nullid;

c) funktsiooni ulatus.

3. Funktsiooni graafiku järgi juures = Oh 2 + bx + Koos määrata koefitsientide märgid A, b Ja Koos:

2. võimalus

1. Joonistage funktsiooni graafik juures = –X 2 + 2X+ 3 ja leidke graafiku abil:

a) funktsiooni nullid;

b) intervallid, milles juures> 0 ja y < 0;

c) funktsioonide suurenemise ja kahanemise intervallid;

G) kõrgeim väärtus funktsioonid;

e) funktsiooni ulatus.

2. Ilma funktsiooni graafikuta juures = 2X 2 + 8X, leia:

a) funktsiooni nullid;

b) funktsioonide suurenemise ja kahanemise intervallid;

c) funktsiooni ulatus.

3. Funktsiooni graafiku järgi juures = Oh 2 + bx + Koos määrata koefitsientide märgid A, b Ja Koos:

V. Tunni kokkuvõte.

Korduma kippuvad küsimused:

– Kirjeldage ruutfunktsiooni konstrueerimise algoritmi.

– Loetlege funktsiooni omadused juures = Oh 2 + bx + Koos juures A> 0 ja kell A < 0.

– Kuidas koefitsiendid mõjutavad A, b Ja Koos ruutfunktsiooni graafiku asukoha kohta?

Kodutöö: nr 127 (b), nr 128, nr 248.

LISAKS: nr 130.