Kui asetate ühikunumbri ringi koordinaattasand, siis saab selle punktide koordinaadid leida. Arvring on paigutatud nii, et selle keskpunkt langeb kokku tasandi alguspunktiga, st punktiga O (0; 0).

Tavaliselt on ühikuarvu ringil märgitud ringi alguspunktile vastavad punktid

• veerandid – 0 või 2π, π/2, π, (2π)/3,
• keskmised veerandid – π/4, (3π)/4, (5π)/4, (7π)/4,
• kolmandikud veeranditest - π/6, π/3, (2π)/3, (5π)/6, (7π)/6, (4π)/3, (5π)/3, (11π)/6.

Koordinaatide tasapinnal, millel on ülaltoodud ühikuringi asukoht, leiate nendele ringi punktidele vastavad koordinaadid.

Kvartalite otste koordinaate on väga lihtne leida. Ringjoone punktis 0 on x-koordinaat 1 ja y-koordinaat 0. Võime seda tähistada kui A (0) = A (1; 0).

Esimese kvartali lõpp paikneb positiivsel y-teljel. Seetõttu B (π/2) = B (0; 1).

Teise veerandi lõpp on negatiivsel poolteljel: C (π) = C (-1; 0).

Kolmanda veerandi lõpp: D ((2π)/3) = D (0; -1).

Kuidas aga leida veerandite keskpunktide koordinaate? Selleks nad ehitavad täisnurkne kolmnurk. Selle hüpotenuus on lõik ringi keskpunktist (või lähtepunktist) veerandringi keskpunktini. See on ringi raadius. Kuna ringjoon on ühik, on hüpotenuus võrdne 1-ga. Järgmiseks tõmmake ringi punktist suvalise teljega risti. Olgu see x-telje suunas. Tulemuseks on täisnurkne kolmnurk, mille jalgade pikkused on ringil oleva punkti x ja y koordinaadid.

Veerandring on 90º. Ja pool neljandikku on 45º. Kuna hüpotenuus on tõmmatud kvadrandi keskpunkti, on hüpotenuusi ja alguspunktist välja ulatuva jala vaheline nurk 45º. Kuid iga kolmnurga nurkade summa on 180º. Järelikult jääb hüpotenuusi ja teise jala vaheline nurk samuti 45º. Selle tulemuseks on võrdhaarne täisnurkne kolmnurk.

Pythagorase teoreemist saame võrrandi x 2 + y 2 = 1 2. Kuna x = y ja 1 2 = 1, siis võrrand lihtsustub väärtuseks x 2 + x 2 = 1. Selle lahendamisel saame x = √½ = 1/√2 = √2/2.

Seega punkti koordinaadid M 1 (π/4) = M 1 (√2/2; √2/2).

Teiste neljandike keskpunktide punktide koordinaatides muutuvad ainult märgid ja väärtuste moodulid jäävad samaks, kuna täisnurkne kolmnurk pööratakse ainult ümber. Saame:
M 2 ((3π)/4) = M 2 (-√2/2; √2/2)
M 3 ((5π)/4) = M 3 (-√2/2; -√2/2)
M 4 ((7π)/4) = M 4 (√2/2; -√2/2)

Ringjoone neljandike kolmandate osade koordinaatide määramisel konstrueeritakse ka täisnurkne kolmnurk. Kui võtta punkt π/6 ja tõmmata x-teljega risti, siis on hüpotenuusi ja x-teljel paikneva jala vaheline nurk 30º. On teada, et 30º nurga vastas asuv jalg võrdub poolega hüpotenuusist. See tähendab, et oleme leidnud y-koordinaadi, see on võrdne ½-ga.

Teades hüpotenuusi ja ühe jala pikkusi, leiame Pythagorase teoreemi abil teise jala:
x 2 + (½) 2 = 1 2
x 2 = 1 - ¼ = ¾
x = √3/2

Seega T 1 (π/6) = T 1 (√3/2; ½).

Esimese veerandi teise kolmandiku punkti (π/3) jaoks on parem joonistada teljega risti y-teljega. Siis on ka nurk alguspunktis 30º. Siin on x-koordinaat võrdne ½ ja y-ga vastavalt √3/2: T 2 (π/3) = T 2 (½; √3/2).

Teistes kolmanda kvartali punktides muutuvad koordinaatide väärtuste märgid ja järjekord. Kõigi x-teljele lähemal olevate punktide mooduli x koordinaadi väärtus on võrdne √3/2-ga. Nendel punktidel, mis on y-teljele lähemal, on mooduli y väärtus √3/2.
T 3 ((2π)/3) = T 3 (-½; √3/2)
T 4 ((5π)/6) = T 4 (-√3/2; ½)
T 5 ((7π)/6) = T 5 (-√3/2; -½)
T 6 ((4π)/3) = T 6 (-½; -√3/2)
T 7 ((5π)/3) = T 7 (½; -√3/2)
T 8 ((11π)/6) = T 8 (√3/2; -½)

Matemaatika on üsna keeruline teadus. Seda õppides tuleb lisaks näidete ja ülesannete lahendamisele ka töötada erinevate kujundite ja isegi tasapindadega. Üks matemaatikas enim kasutatavaid on koordinaatide süsteem tasapinnal. Korralik töö Lapsi on temaga koos õpetatud rohkem kui aasta. Seetõttu on oluline teada, mis see on ja kuidas sellega õigesti töötada.

Mõtleme välja, mis see on see süsteem, milliseid toiminguid saab selle abiga teha, samuti saate teada selle peamised omadused ja omadused.

Mõiste definitsioon

Koordinaattasand on tasapind, millel on määratud konkreetne koordinaatsüsteem. Selline tasapind on määratletud kahe sirgjoonega, mis ristuvad täisnurga all. Nende sirgete lõikepunktis on koordinaatide alguspunkt. Iga punkt koordinaattasandil on määratud arvupaariga, mida nimetatakse koordinaatideks.

IN koolikursus Matemaatikas peavad koolilapsed tegema koordinaatide süsteemiga üsna tihedat koostööd - ehitama sellele kujundeid ja punkte, määrama, millisele tasapinnale see või teine ​​koordinaat kuulub, samuti määrama punkti koordinaadid ja need kirjutama või nimetama. Seetõttu räägime üksikasjalikumalt kõigist koordinaatide omadustest. Kuid kõigepealt puudutame loomise ajalugu ja seejärel räägime sellest, kuidas töötada koordinaattasandil.

Ajalooline taust

Ideed koordinaatsüsteemi loomise kohta eksisteerisid juba Ptolemaiose ajal. Juba siis mõtlesid astronoomid ja matemaatikud, kuidas õppida tasapinnal punkti asukohta määrama. Kahjuks polnud tol ajal meile teadaolevat koordinaatsüsteemi ja teadlased pidid kasutama muid süsteeme.

Algselt määrasid nad punktid laius- ja pikkuskraadide abil. Pikaks ajaks see oli üks enim kasutatud meetodeid selle või teise teabe kaardile kandmiseks. Kuid 1637. aastal lõi Rene Descartes oma koordinaatide süsteemi, mis sai hiljem nime "Cartesiuse" järgi.

Juba sees XVII lõpp V. Mõistet “koordinaattasand” on matemaatika maailmas laialdaselt kasutatud. Hoolimata asjaolust, et selle süsteemi loomisest on möödunud mitu sajandit, kasutatakse seda endiselt laialdaselt matemaatikas ja isegi elus.

Näited koordinaattasandist

Enne teooriast rääkimist toome mõned visuaalsed näited koordinaattasandist, et saaksite seda ette kujutada. Koordinaatsüsteemi kasutatakse peamiselt males. Tahvlil on igal ruudul oma koordinaadid – üks koordinaat on tähestikuline, teine ​​digitaalne. Selle abil saate määrata konkreetse nupu asukoha laual.

Teine kõige silmatorkavam näide on armastatud mäng “Battleship”. Pidage meeles, kuidas mängides nimetate koordinaadi, näiteks B3, näidates nii täpselt, kuhu sihite. Samal ajal määrate laevade paigutamisel punktid koordinaattasandil.

Seda koordinaatide süsteemi kasutatakse laialdaselt mitte ainult matemaatikas ja loogikamängudes, vaid ka sõjanduses, astronoomias, füüsikas ja paljudes teistes teadustes.

Koordinaatide teljed

Nagu juba mainitud, on koordinaatsüsteemis kaks telge. Räägime neist veidi, kuna neil on märkimisväärne tähtsus.

Esimene telg on abstsiss – horisontaalne. Seda tähistatakse kui ( Ox). Teine telg on ordinaat, mis kulgeb vertikaalselt läbi võrdluspunkti ja on tähistatud kui ( Oy). Just need kaks telge moodustavad koordinaatsüsteemi, jagades tasapinna neljaks veerandiks. Algpunkt asub nende kahe telje ristumispunktis ja võtab väärtuse 0 . Ainult siis, kui tasapinna moodustavad kaks risti lõikuvat telge, millel on võrdluspunkt, on see koordinaattasapind.

Pange tähele ka seda, et igal teljel on oma suund. Tavaliselt on koordinaatsüsteemi koostamisel tavaks näidata telje suunda noole kujul. Lisaks märgitakse koordinaattasandi konstrueerimisel iga telg.

Kvartalid

Nüüd ütleme paar sõna sellise kontseptsiooni kohta nagu koordinaattasandi veerandid. Lennuk on kahe teljega jagatud neljaks veerandiks. Igal neist on oma number ja lennukid on nummerdatud vastupäeva.

Igal kvartalil on oma eripärad. Niisiis, esimesel veerandil on abstsiss ja ordinaat positiivne, teisel veerandil on abstsiss negatiivne, ordinaat on positiivne, kolmandas on nii abstsiss kui ka ordinaat negatiivsed, neljandas on abstsiss positiivne ja ordinaat negatiivne .

Neid funktsioone meeles pidades saate hõlpsasti kindlaks teha, millisesse kvartalisse konkreetne punkt kuulub. Lisaks võib see teave olla teile kasulik, kui peate tegema arvutusi Descartes'i süsteemi abil.

Töö koordinaattasandiga

Kui oleme mõistnud tasapinna mõistet ja rääkinud selle veeranditest, saame liikuda edasi sellise probleemi juurde nagu selle süsteemiga töötamine ning rääkida ka sellest, kuidas sellele panna punkte ja kujundite koordinaate. Koordinaatide tasapinnal pole seda nii raske teha, kui esmapilgul võib tunduda.

Esiteks on süsteem ise üles ehitatud, sellele kantakse kõik olulised tähised. Seejärel töötame otse punktide või kujunditega. Veelgi enam, isegi kujundite konstrueerimisel joonistatakse kõigepealt tasapinnale punktid ja seejärel joonistatakse joonised.

Reeglid lennuki ehitamiseks

Kui otsustate hakata paberile kujundeid ja punkte märkima, on teil vaja koordinaattasandit. Sellele kantakse punktide koordinaadid. Koordinaattasandi konstrueerimiseks on vaja ainult joonlauda ja pliiatsit või pliiatsit. Kõigepealt joonistatakse horisontaalne x-telg, seejärel vertikaaltelg. Oluline on meeles pidada, et teljed ristuvad täisnurga all.

Edasi kohustuslik ese on märgistamine. Igal teljel mõlemas suunas on üksuse segmendid tähistatud ja märgistatud. Seda tehakse selleks, et saaksite seejärel lennukiga maksimaalselt mugavalt töötada.

Märkige punkt

Nüüd räägime sellest, kuidas joonistada punktide koordinaate koordinaattasandil. Need on põhitõed, mida peate teadma erinevate kujundite edukaks paigutamiseks tasapinnale ja isegi võrrandite märgistamiseks.

Punktide koostamisel peaksite meeles pidama, kuidas nende koordinaadid on õigesti kirjutatud. Nii et tavaliselt kirjutatakse punkti määramisel sulgudesse kaks numbrit. Esimene number tähistab punkti koordinaati piki abstsisstellge, teine ​​- piki ordinaattelge.

Punkt tuleks üles ehitada nii. Esimene märk teljel Ox määratud punkt, seejärel märkige punkt teljel Oy. Järgmiseks tõmmake nendest tähistest kujuteldavad jooned ja leidke koht, kus need ristuvad – see on antud punkt.

Kõik, mida pead tegema, on see ära märkida ja allkirjastada. Nagu näete, on kõik üsna lihtne ega vaja erilisi oskusi.

Asetage kujund

Liigume nüüd edasi koordinaattasandil kujundite konstrueerimise küsimuse juurde. Koordinaattasandil mistahes kujundi konstrueerimiseks peaksite teadma, kuidas sellele punkte paigutada. Kui teate, kuidas seda teha, pole figuuri lennukile asetamine nii keeruline.

Kõigepealt vajate joonise punktide koordinaate. Nende järgi rakendame teie poolt valitud koordinaatide süsteemi. Vaatleme ristküliku, kolmnurga ja ringi rakendamist.

Alustame ristkülikuga. Seda on üsna lihtne rakendada. Esiteks märgitakse tasapinnale neli punkti, mis tähistavad ristküliku nurki. Seejärel ühendatakse kõik punktid üksteisega järjestikku.

Kolmnurga joonistamine ei erine. Ainus asi on see, et sellel on kolm nurka, mis tähendab, et tasapinnale on märgitud kolm punkti, mis näitavad selle tippe.

Ringi puhul peaksite teadma kahe punkti koordinaate. Esimene punkt on ringi keskpunkt, teine ​​punkt, mis näitab selle raadiust. Need kaks punkti on joonistatud tasapinnale. Seejärel võtke kompass ja mõõtke kahe punkti vaheline kaugus. Kompassi punkt asetatakse keskpunkti tähistavasse punkti ja kirjeldatakse ringi.

Nagu näha, pole siin ka midagi keerulist, peaasi, et joonlaud ja sirkel on alati käepärast.

Nüüd teate, kuidas joonistada kujundite koordinaate. Selle tegemine koordinaattasandil pole nii keeruline, kui esmapilgul võib tunduda.

Järeldused

Niisiis, oleme vaatlenud üht kõige huvitavamat ja põhilisemat matemaatika mõistet, millega iga koolilaps peab tegelema.

Oleme välja selgitanud, et koordinaattasand on kahe telje lõikepunktist moodustunud tasapind. Selle abil saate määrata punktide koordinaate ja joonistada sellele kujundeid. Lennuk on jagatud neljandikku, millest igaühel on oma omadused.

Peamine oskus, mida koordinaattasandiga töötades arendada, on oskus sellele antud punkte õigesti joonistada. Selleks peate teadma õige asukoht teljed, veerandite tunnused, samuti punktide koordinaatide täpsustamise reeglid.

Loodame, et meie esitatud teave oli kättesaadav ja arusaadav ning ka teile kasulik ning aitas teil seda teemat paremini mõista.

Tasapinna ristkülikukujuline koordinaatsüsteem on määratletud kahe vastastikku risti asetseva sirgega. Sirgeid jooni nimetatakse koordinaattelgedeks (või koordinaatteljed). Nende joonte lõikepunkti nimetatakse alguspunktiks ja seda tähistatakse tähega O.

Tavaliselt on üks joontest horisontaalne, teine ​​vertikaalne. Horisontaalne joon on tähistatud kui x-telg (või Ox) ja seda nimetatakse abstsissteljeks, vertikaaljoon on y-telg (Oy), mida nimetatakse ordinaatteljeks. Kogu koordinaatsüsteem on tähistatud xOy.

Punkt O jagab iga telje kaheks poolteljeks, millest ühte peetakse positiivseks (tähistatud noolega), teist negatiivseks.

Tasapinna igale punktile F on määratud arvupaar (x;y) – selle koordinaadid.

X-koordinaati nimetatakse abstsissiks. See on võrdne Härgiga, võetud vastava märgiga.

Y-koordinaati nimetatakse ordinaadiks ja see on võrdne kaugusega punktist F Oy teljeni (sobiva märgiga).

Telgede kaugusi mõõdetakse tavaliselt (kuid mitte alati) samas pikkusühikus.

Y-teljest paremal asuvatel punktidel on positiivsed abstsissid. Punktidel, mis asuvad ordinaatteljest vasakul, on negatiivsed abstsissid. Iga Oy teljel asuva punkti x koordinaat on null.

Positiivse ordinaadiga punktid asuvad x-telje kohal ja negatiivse ordinaadiga punktid allpool. Kui punkt asub Ox-teljel, on selle y-koordinaat null.

Koordinaatide teljed jagavad tasapinna neljaks osaks, mida nimetatakse koordinaatveeranditeks (või koordinaatnurkadeks või kvadrantideks).

1 koordinaatveerand asub xOy koordinaattasandi paremas ülanurgas. Mõlemad esimeses kvartalis paiknevate punktide koordinaadid on positiivsed.

Üleminek ühest veerandist teise toimub vastupäeva.

2 koordinaatveerand asub vasakus ülanurgas. Teisel veerandil paiknevatel punktidel on negatiivne abstsiss ja positiivne ordinaat.

3 koordinaatveerand asub xOy tasandi vasakpoolses alumises kvadrandis. III koordinaatnurga alla kuuluvate punktide mõlemad koordinaadid on negatiivsed.

4 koordinaatveerand on koordinaattasandi alumine parem nurk. Igal punktil IV kvartalist on positiivne esimene koordinaat ja negatiivne teine.

Näide punktide asukohast ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis: