Infobuum bioloogias – mikroobide kolooniad Petri tassis Küülikud Austraalias Ahelreaktsioonid – keemias Füüsikas – radioaktiivne lagunemine, muutus atmosfääri rõhk kõrguse muutusega, keha jahtumine Füüsikas - radioaktiivne lagunemine, atmosfäärirõhu muutus kõrguse muutumisega, keha jahtumine. Adrenaliini vabanemine verre ja selle hävitamine Nad väidavad ka, et teabe hulk kahekordistub iga 10 aasta järel.

(3/5) -1 a 1 3 1/2 (4/9) 0 a *81 (1/2) -3 a -n 36 1/2* 8 1/ /3 2 -3,5

Avaldis 2 x 2 2 = 4 2 5 = = = 1/2 4 = 1/16 2 4/3 = 32 4 = ,5 = 1/2 3,5 = 1/2 7 = 1/(8 2) = 2/ 16 2)=

3 = 1, … 1; 1,7 1,73; 1,732; 1,73205; 1, ;… järjestus suureneb 2 1 ; 2 1,7; 2 1,73 ;2 1,732 ; 2 1,73205 ; 2 1, ;… jada suureneb Piiratud, mis tähendab, et see läheneb ühele piirile - väärtusele 2 3

Võib defineerida π 0

10 10 18 Funktsiooni omadused y = a x n \ n a >10 10 10 10 10 title="Funktsiooni y = a x n \ n a >10 21 omadused

Teabe hulk kahekordistub iga 10 aasta järel Mööda härja telge – aritmeetilise progressiooni seaduse järgi: 1,2,3,4…. Mööda Oy telge - vastavalt seadusele geomeetriline progressioon: 2 1,2 2,2 3,2 4 ... Eksponentfunktsiooni graafik, seda nimetatakse eksponendiks (ladina keelest exponere - eputada)

Selles artiklis selgitame välja, mis see on kraad. Siin anname arvude astme definitsioonid, samas käsitleme üksikasjalikult kõiki võimalikke eksponente, alustades loomulikust astendajast ja lõpetades irratsionaalsega. Materjalist leiate palju näiteid kraadide kohta, mis hõlmavad kõiki esilekerkivaid peensusi.

Leheküljel navigeerimine.

Naturaalastendajaga aste, arvu ruut, arvu kuup

Alustame . Vaadates tulevikku, oletame, et arvu a astme definitsioon naturaalse astendajaga n on antud a jaoks, mida me nimetame kraadi alus, ja n, mida me nimetame eksponent. Samuti märgime, et naturaalse astendajaga aste määratakse korrutise kaudu, nii et alloleva materjali mõistmiseks peab teil olema arusaam arvude korrutamisest.

Definitsioon.

Arvu aste naturaalastendajaga n on avaldis kujul a n, mille väärtus on võrdne n teguri korrutisega, millest igaüks on võrdne a-ga, see tähendab .
Eelkõige on arvu a astmeks astendaja 1 arv a ise, see tähendab, et a 1 =a.

Tasub kohe mainida kraadide lugemise reegleid. Universaalne viis tähiste a n lugemiseks on: “a n astmeni”. Mõnel juhul on vastuvõetavad ka järgmised valikud: „a n-nda astmeni” ja „a n-nda astmeni”. Näiteks võtame astme 8 12, see on "kaheksa kaheteistkümne astmeni" või "kaheksa kuni kaheteistkümnendik aste" või "kaheksateistkümnes aste".

Arvu teisel astmel ja ka arvu kolmandal astmel on oma nimed. Arvu teist astet nimetatakse ruudus number Näiteks 7 2 loetakse "seitsme ruuduna" või "arvu seitsme ruuduna". Arvu kolmandat astet nimetatakse kuubikujulised numbrid, näiteks 5 3 võib lugeda kui "viie kuubikut" või öelda "numbri 5 kuup".

On aeg tuua naturaalastendajatega kraadide näited. Alustame astmest 5 7, siin on 5 astme alus ja 7 astendaja. Toome veel ühe näite: 4.32 on alus ja naturaalarv 9 on astendaja (4.32) 9 .

Pange tähele, et viimases näites on astme 4.32 alus kirjutatud sulgudesse: lahknevuste vältimiseks paneme sulgudesse kõik astme alused, mis erinevad naturaalarvudest. Näitena anname naturaalastendajatega järgmised kraadid , nende alused ei ole naturaalarvud, seega kirjutatakse need sulgudesse. Noh, täieliku selguse huvides näitame siinkohal erinevust, mis sisalduvad vormide (−2) 3 ja −2 3 kirjetes. Avaldis (−2) 3 on astme −2 aste, mille naturaalne astendaja on 3 ja avaldis −2 3 (selle võib kirjutada kui −(2 3) ) vastab arvule, astme väärtusele 2 3 .

Pange tähele, et on olemas arvu a astme märge, mille astendaja n on kujul a^n. Veelgi enam, kui n on mitme väärtusega naturaalarv, võetakse eksponent sulgudes. Näiteks 4^9 on teine ​​tähis 4 9 astme kohta. Ja siin on veel mõned näited kraadide kirjutamisest sümboliga “^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) . Edaspidi kasutame eeskätt vormi a n kraaditähistust.

Üks loomuliku astendajaga astmele tõstmise vastupidine probleem on astme aluse leidmine teadaoleva astme väärtuse ja teadaoleva astendaja järgi. See ülesanne viib .

On teada, et paljud ratsionaalsed arvud koosneb täis- ja murdarvudest, kumbki murdarv võib esitada positiivse või negatiivsena harilik murd. Seetõttu määratlesime astme eelmises lõigus täisarvu astendajaga, et lõpetada kraadi määratlus ratsionaalne näitaja, peate andma tähenduse arvu a astmele murdosalise astendajaga m/n, kus m on täisarv ja n on naturaalarv. Teeme seda.

Vaatleme vormi murdosa astendajaga kraadi. Et võimu-võimu omadus jääks kehtima, peab kehtima võrdsus . Kui võtta arvesse saadud võrdsust ja seda, kuidas määrasime , siis on loogiline sellega nõustuda, eeldusel, et antud m, n ja a avaldis on mõttekas.

Lihtne on kontrollida, et kõik täisarvulise astendajaga astme omadused kehtivad (seda tehti ratsionaalse astendajaga astme omaduste osas).

Ülaltoodud arutluskäik võimaldab meil teha järgmist järeldus: kui antud m, n ja a avaldis on mõttekas, siis a astmet murdeksponentiga m/n nimetatakse a astme m n-ndaks juureks.

See väide viib meid murdosalise astendajaga kraadi määratluse lähedale. Jääb üle vaid kirjeldada, mille m, n ja a juures on avaldisel mõtet. Olenevalt m, n ja a seatud piirangutest on kaks peamist lähenemist.

Lihtsaim viis on kehtestada a-le piirang, võttes positiivse m puhul a≥0 ja negatiivse m puhul a>0 (kuna m≤0 korral ei ole m 0-astet määratletud). Siis saame järgmise astme definitsiooni murdosaastendajaga.

Definitsioon.

Positiivse arvu a võimsus murdeksponentiga m/n, kus m on täisarv ja n on naturaalarv, nimetatakse arvu a n-ndaks juureks m astmeni, see tähendab .

Nulli murdosa määratakse ka ainsa hoiatusega, et indikaator peab olema positiivne.

Definitsioon.

Nulli võimsus murdosalise positiivse eksponendiga m/n, kus m on positiivne täisarv ja n on naturaalarv, on defineeritud kui .
Kui astet ei määrata, see tähendab, et arvu nulli aste koos murdosalise negatiivse eksponendiga ei ole mõttekas.

Tuleb märkida, et selle murdeksponentiga astme määratluse puhul on üks hoiatus: mõne negatiivse a ning mõne m ja n puhul on avaldis mõttekas ning me jätsime need juhud kõrvale, lisades tingimuse a≥0. Näiteks on sissekanded mõttekad või , ja ülaltoodud definitsioon sunnib meid ütlema, et astmed vormi murdosalise eksponendiga pole mõtet, kuna alus ei tohiks olla negatiivne.

Teine lähenemine astme määramiseks murdosa astendajaga m/n on juure paaris ja paaritu astendaja eraldi käsitlemine. See lähenemine nõuab lisatingimust: arvu a astmeks, mille eksponendiks on , loetakse arvu a astmeks, mille eksponendiks on vastav taandamatu murd (selle tingimuse tähtsust selgitame allpool ). See tähendab, et kui m/n on taandamatu murd, siis mis tahes naturaalarvu k korral asendatakse aste esmalt arvuga .

Paaris n ja positiivse m korral on avaldis mõttekas mis tahes mittenegatiivse a korral (negatiivse arvu paarisjuurel pole mõtet, peab arv a siiski nullist erinema (muidu toimub jagamine). nulliga). Ja paaritu n ja positiivse m korral võib arv a olla mis tahes (paaritu astme juur on defineeritud mis tahes reaalarvu jaoks) ja negatiivse m korral peab arv a olema nullist erinev (et ei oleks jagamist null).

Ülaltoodud arutluskäik juhatab meid selle murdosaastendajaga kraadi määratluse juurde.

Definitsioon.

Olgu m/n taandamatu murd, m täisarv ja n naturaalarv. Iga taandatava murru puhul asendatakse aste väärtusega . Taanematu murdeksponentiga arvu võimsus m/n on jaoks



Selgitame, miks taandatava murdeksponendiga aste asendatakse esmalt taandamatu astendajaga astmega. Kui me lihtsalt defineeriksime astme kui , ja ei teeks reservatsiooni murru m/n taandatamatuse suhtes, siis seisaksime silmitsi järgmiste olukordadega: kuna 6/10 = 3/5, siis peab võrdus kehtima. , Aga , A.

Pärast arvu astme määramist on loogiline sellest rääkida kraadi omadused. Selles artiklis anname arvude astme põhiomadused, puudutades samal ajal kõiki võimalikke eksponente. Siin esitame kõigi kraadide omaduste tõendid ja näitame ka, kuidas neid omadusi näidete lahendamisel kasutatakse.

Leheküljel navigeerimine.

Kraadide omadused naturaalastendajatega

Naturaalse astendajaga astme definitsiooni järgi on aste a n n teguri korrutis, millest igaüks on võrdne a-ga. Sellest määratlusest lähtudes ja ka kasutades reaalarvude korrutamise omadused, saame saada ja põhjendada järgmist astme omadused naturaalse astendajaga:

1. astme a m ·a n =a m+n põhiomadus, selle üldistus;
2. identsete alustega jagatisastmete omadus a m:a n =a m−n ;
3. korrutisastme omadus (a·b) n =a n ·b n , selle laiend;
4. jagatise omadus in loomulik kraad(a:b) n =a n:bn;
5. astme tõstmine astmeni (a m) n =a m·n, selle üldistus (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 · n 2 ·… · n k;
6. kraadi võrdlus nulliga:
   • kui a>0, siis a n>0 mis tahes naturaalarvu n korral;
   • kui a=0, siis a n=0;
   • kui a<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 kui a<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
7. kui a ja b on positiivsed arvud ja a
8. kui m ja n on naturaalarvud nii, et m>n , siis 0 juures 0 võrratus a m >a n on tõene.

Märgime kohe, et kõik kirjalikud võrdsused on identsed kindlaksmääratud tingimustel saab vahetada nii nende paremat kui ka vasakut osa. Näiteks murdu a m ·a n =a m+n põhiomadus koos väljendite lihtsustamine kasutatakse sageli kujul a m+n =a m ·a n .

Nüüd vaatame igaüks neist üksikasjalikumalt.

Alustame kahe samade alustega astme korrutise omadusega, mida nimetatakse kraadi peamine omadus: iga reaalarvu a ja naturaalarvude m ja n korral on võrdus a m ·a n =a m+n tõene.

Tõestame kraadi peamist omadust. Loomuliku astendajaga astme definitsiooni järgi saab korrutiseks kirjutada vormi a m ·a n samade alustega astmete korrutise. Tänu korrutamise omadustele saab saadud avaldise kirjutada kujul , ja see korrutis on arvu a aste naturaalastendajaga m+n, st a m+n. See lõpetab tõestuse.

Toome näite, mis kinnitab kraadi põhiomadust. Võtame astmed samade alustega 2 ning naturaalastmetega 2 ja 3, kasutades kraadide põhiomadust, saame kirjutada võrrandi 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5. Kontrollime selle kehtivust, arvutades välja avaldiste 2 2 · 2 3 ja 2 5 väärtused. Astendamine on meil tehtud 2 2 · 2 3 = (2 · 2) · (2 ​​· 2 · 2) = 4 · 8 = 32 ja 2 5 =2·2·2·2·2=32, kuna saadakse võrdsed väärtused, siis on võrdus 2 2 ·2 3 =2 5 õige ja see kinnitab astme põhiomadust.

Kraadi põhiomaduse saab korrutamise omaduste põhjal üldistada kolme või enama astme korrutiseks samade aluste ja naturaalastendajatega. Nii et naturaalarvude n 1, n 2, …, n k mis tahes arvu k korral on võrdsus tõene a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

Näiteks, (2,1) 3 · (2,1) 3 · (2,1) 4 · (2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

Saame liikuda loomuliku astendajaga astmete järgmise omaduse juurde – samade alustega jagatisastmete omadus: iga nullist erineva reaalarvu a ja suvaliste naturaalarvude m ja n korral, mis vastavad tingimusele m>n, on võrdus a m:a n =a m−n tõene.

Enne selle omaduse tõestuse esitamist arutleme sõnastuses sisalduvate lisatingimuste tähenduse üle. Tingimus a≠0 on vajalik selleks, et vältida nulliga jagamist, kuna 0 n =0 ja jagamisega tutvudes leppisime kokku, et nulliga jagada ei saa. Tingimus m>n võetakse kasutusele selleks, et me ei läheks looduslikest eksponentidest kaugemale. Tõepoolest, eksponent m>n puhul on a m-n naturaalarv, vastasel juhul on see kas null (mis juhtub m-n korral) või negatiivne arv (mis juhtub m-ga

Tõestus. Murru põhiomadus võimaldab meil kirjutada võrdsuse a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m. Saadud võrrandist a m−n ·a n =a m ja järeldub, et a m−n on astmete a m ja a n jagatis. See tõestab identsete alustega jagatisastmete omadust.

Toome näite. Võtame kaks astet samade alustega π ja naturaalastendajatega 5 ja 2, astme vaadeldavale omadusele vastab võrdus π 5:π 2 =π 5−3 =π 3.

Nüüd kaalume toote võimsuse omadus: kahe reaalarvu a ja b korrutise loomulik võimsus n on võrdne astmete a n ja b n korrutisega, st (a·b) n =a n ·b n .

Tõepoolest, naturaalse astendajaga kraadi määratluse järgi on meil olemas . Korrutamise omaduste põhjal saab viimase korrutise ümber kirjutada kui , mis on võrdne a n · b n .

Siin on näide: .

See omadus laieneb kolme või enama teguri korrutisele. See tähendab, et k teguri korrutise loomuliku astme n omadus on kirjutatud kujul (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n.

Selguse huvides näitame seda omadust näitega. Kolme teguri korrutis 7 astmega on meil .

Järgmine omadus on mitterahalise jagatise omadus: reaalarvude a ja b, b≠0 jagatis loomuliku astmega n on võrdne astmete a n ja b n jagatisega, st (a:b) n =a n:b n.

Tõestust saab läbi viia eelneva atribuudi abil. Niisiis (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, ja võrratusest (a:b) n ·b n =a n järeldub, et (a:b) n on a n jagatis b n-ga.

Kirjutame selle omaduse, kasutades näitena konkreetseid numbreid: .

Nüüd ütleme selle välja omadus tõsta võimu võimuks: mis tahes reaalarvu a ja naturaalarvude m ja n korral võrdub a m astme astmega n arvu a astmega, mille aste on m·n, st (a m) n =a m·n.

Näiteks (5 2) 3 = 5 2 · 3 = 5 6.

Võimsusastmeni omaduse tõestuseks on järgmine võrdsuste ahel: .

Vaadeldavat omadust saab astme kaupa laiendada jne. Näiteks naturaalarvude p, q, r ja s korral võrdsus . Suurema selguse huvides on siin näide konkreetsete numbritega: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Jääb veel peatuda astmete ja naturaalastendajate võrdlemise omadustel.

Alustuseks tõestame nulli ja astme võrdlemise omadust naturaalastendajaga.

Esiteks tõestame, et a n > 0 iga a>0 korral.

Kahe positiivse arvu korrutis on positiivne arv, nagu tuleneb korrutamise definitsioonist. See fakt ja korrutamise omadused viitavad sellele, et mis tahes arvu positiivsete arvude korrutamise tulemus on samuti positiivne arv. Ja arvu a aste naturaalse astendajaga n on definitsiooni järgi n teguri korrutis, millest igaüks on võrdne a-ga. Need argumendid võimaldavad meil väita, et iga positiivse baasi a korral on aste a n positiivne arv. Tõestatud omaduse tõttu 3 5 >0, (0,00201) 2 >0 ja .

On üsna ilmne, et iga naturaalarvu n puhul, mille a=0, on a n aste null. Tõepoolest, 0 n =0·0·…·0=0. Näiteks 0 3 =0 ja 0 762 =0.

Liigume edasi negatiivsete kraadialuste juurde.

Alustame juhust, kui eksponendiks on paarisarv, tähistame seda 2·m, kus m on naturaalarv. Siis . Iga vormi a·a korrutis on võrdne arvude a ja a moodulite korrutisega, mis tähendab, et see on positiivne arv. Seetõttu on toode ka positiivne ja aste a 2·m. Toome näiteid: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 ja .

Lõpuks, kui alus a on negatiivne arv ja astendaja on paaritu arv 2 m−1, siis . Kõik korrutised a·a on positiivsed arvud, nende positiivsete arvude korrutis on samuti positiivne ja selle korrutamine ülejäänud negatiivse arvuga a annab tulemuseks negatiivse arvu. Tänu sellele omadusele (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

Liigume edasi samade naturaalastendajatega astmete võrdlemise omadusele, millel on järgmine sõnastus: kahest samade naturaalastendajatega astmest n on väiksem kui see, mille alus on väiksem, ja suurem on see, mille alus on suurem. . Tõestame seda.

Ebavõrdsus a n ebavõrdsuse omadused tõene on ka vormi a n tõestatav ebavõrdsus .

Jääb üle tõestada viimane loetletud võimsuste omadustest looduslike astendajatega. Sõnastame selle. Kahest astmest, mille naturaalaste ja identsed positiivsed alused on väiksemad kui üks, on suurem see, mille astendaja on väiksem; ja kahest astmest, mille naturaalaste ja identsed alused on suuremad kui üks, on suurem see, mille astendaja on suurem. Jätkame selle omaduse tõestamisega.

Tõestame, et m>n ja 0 korral 0 algtingimuse m>n tõttu, mis tähendab, et 0 juures

Tõendada jääb vara teine ​​osa. Tõestame, et m>n ja a>1 korral on a m >a n tõene. Erinevus a m −a n pärast n väljavõtmist sulgudest saab kujul a n ·(a m−n −1) . See korrutis on positiivne, kuna a>1 korral on aste a n positiivne arv ja erinevus a m-n -1 on positiivne arv, kuna m-n>0 on tingitud algtingimusest ja a>1 korral on aste a m−n on suurem kui üks . Järelikult a m −a n >0 ja a m >a n , mida oli vaja tõestada. Seda omadust illustreerib ebavõrdsus 3 7 > 3 2.

Täisarvuliste astendajatega astmete omadused

Kuna positiivsed täisarvud on naturaalarvud, kattuvad kõik positiivsete täisarvude astendajatega astmete omadused täpselt eelmises lõigus loetletud ja tõestatud naturaalaste astmete omadustega.

Defineerisime nii täisarvulise negatiivse astendajaga astme kui ka nullastendajaga astme nii, et kõik naturaalsete astendajatega astmete omadused, väljendatuna võrdustega, jäid kehtima. Seetõttu kehtivad kõik need omadused nii nullastendajate kui ka negatiivsete eksponentide puhul, samas kui loomulikult on astmete alused nullist erinevad.

Seega kehtivad mis tahes reaal- ja nullist erineva arvu a ja b, aga ka täisarvude m ja n puhul järgmised: Täisarvuliste astendajatega astmete omadused:

1. a m ·a n =a m+n ;
2. a m:a n =a m−n ;
3. (a · b) n =a n · b n;
4. (a:b) n =a n:bn;
5. (a m) n = a m·n;
6. kui n on positiivne täisarv, on a ja b positiivsed arvud ning a b-n;
7. kui m ja n on täisarvud ja m>n , siis 0 juures 1 võrratus a m >a n kehtib.

Kui a=0, on astmetel a m ja a n mõtet ainult siis, kui nii m kui ka n on positiivsed täisarvud, st naturaalarvud. Seega kehtivad äsja üles kirjutatud omadused ka juhtudel, kui a=0 ning arvud m ja n on positiivsed täisarvud.

Kõigi nende omaduste tõestamine pole keeruline, piisab, kui kasutada kraadide definitsioone naturaal- ja täisarvudega, samuti tehte omadusi reaalarvudega. Näitena tõestame, et võimsuse omadus kehtib nii positiivsete täisarvude kui ka mittepositiivsete täisarvude puhul. Selleks tuleb näidata, et kui p on null või naturaalarv ja q on null või naturaalarv, siis võrrandid (a p) q =a p·q, (a −p) q =a (−p) ·q, (a p ) −q =a p·(−q) ja (a −p) −q =a (−p)·(−q). Teeme seda.

Positiivsete p ja q korral tõestati võrdus (a p) q =a p·q eelmises lõigus. Kui p=0, siis on meil (a 0) q =1 q =1 ja a 0·q =a 0 =1, kust (a 0) q =a 0·q. Samamoodi, kui q=0, siis (a p) 0 =1 ja a p·0 =a 0 =1, kust (a p) 0 =a p·0. Kui nii p=0 kui q=0, siis (a 0) 0 =1 0 =1 ja a 0·0 =a 0 =1, kust (a 0) 0 =a 0,0.

Nüüd tõestame, et (a −p) q =a (−p)·q . Negatiivse täisarvu astendajaga astme definitsiooni järgi siis . Meil olevate astmete jagandite omaduse järgi . Kuna 1 p =1·1·…·1=1 ja , siis . Viimane avaldis on definitsiooni järgi kujul a −(p·q), mille saab korrutamisreeglite tõttu kirjutada kujul (−p)·q.

Samamoodi .

JA .

Samal põhimõttel saate tõestada kõik muud astme omadused täisarvulise astendajaga, mis on kirjutatud võrduste kujul.

Salvestatud omaduste eelviimases tasub peatuda ebavõrdsuse a −n >b −n tõestusel, mis kehtib iga negatiivse täisarvu −n ja iga positiivse a ja b korral, mille puhul tingimus a on täidetud. . Kuna tingimusel a 0 . Korrutis a n · b n on positiivne ka positiivsete arvude a n ja b n korrutis. Siis on saadud murru positiivne positiivsete arvude b n −a n ja a n ·b n jagatis. Seega, kust a −n >b −n , mida oli vaja tõestada.

Täisarvuliste astendajatega astmete viimane omadus on tõestatud samamoodi nagu loomulike astendajatega astmete sarnane omadus.

Ratsionaalsete astendajatega astmete omadused

Defineerisime astme murdosalise astendajaga, laiendades astme omadusi sellele täisarvulise astendajaga. Teisisõnu, murdeksponentidega astmetel on samad omadused kui täisarvuliste astendajatega astmetel. Nimelt:

Astmete omaduste tõendamine murdeksponentidega põhineb astme definitsioonil murdeksponentiga ja astme omadustel täisarvulise astendajaga. Andkem tõendid.

Määratluse järgi võimsus murdosa astendaja ja , siis . Aritmeetilise juure omadused võimaldavad meil kirjutada järgmised võrdsused. Edasi, kasutades täisarvulise astendajaga astme omadust, saame , millest murdosalise astendajaga astme definitsiooni järgi saame , ja saadud kraadi indikaatorit saab teisendada järgmiselt: . See lõpetab tõestuse.

Teine murdosaastendajatega astmete omadus on tõestatud absoluutselt sarnasel viisil:

Ülejäänud võrdsused tõestatakse sarnaste põhimõtete abil:

Liigume edasi järgmise vara tõestamise juurde. Tõestame, et iga positiivse a ja b korral a b p . Kirjutame ratsionaalarvu p kujul m/n, kus m on täisarv ja n on naturaalarv. Tingimused lk<0 и p>0 antud juhul tingimused m<0 и m>0 vastavalt. m>0 ja a puhul

Samamoodi m<0 имеем a m >b m , kust, see tähendab, ja a p >b p .

Jääb tõestada viimane loetletud omadustest. Tõestame, et ratsionaalarvude p ja q korral p>q on 0 0 – ebavõrdsus a p >a q . Ratsionaalarvud p ja q saame alati taandada ühiseks nimetajaks, isegi kui saame tavalised murrud ja , kus m 1 ja m 2 on täisarvud ning n on naturaalarv. Sel juhul vastab tingimus p>q tingimusele m 1 >m 2, mis tuleneb sellest. Seejärel võrreldakse astmeid samade aluste ja naturaalastendajatega 0 juures 1 – võrratus a m 1 >a m 2 . Need ebavõrdsused juurte omadustes saab vastavalt ümber kirjutada kui Ja . Ja astme määratlus ratsionaalse astendajaga võimaldab liikuda edasi ebavõrdsuse juurde ja vastavalt. Siit teeme lõpliku järelduse: p>q ja 0 jaoks 0 – ebavõrdsus a p >a q .

Irratsionaalsete astendajatega astmete omadused

Sellest, kuidas irratsionaalse astendajaga aste on määratletud, võime järeldada, et sellel on kõik ratsionaalse astendajaga astme omadused. Seega on mis tahes a>0, b>0 ja irratsionaalarvude p ja q korral tõesed järgmised irratsionaalsete astendajatega astmete omadused:

1. a p ·a q =a p+q;
2. a p:a q =a p−q ;
3. (a · b) p =a p · b p ;
4. (a:b) p =a p:b p;
5. (a p) q =a p·q;
6. mis tahes positiivsete arvude a ja b korral a 0 ebavõrdsus a p b p ;
7. irratsionaalarvude p ja q puhul p>q 0 juures 0 – ebavõrdsus a p >a q .

Sellest võime järeldada, et astmetel, mille reaalastendajad p ja q a>0 korral on samad, on samad omadused.

Bibliograafia.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matemaatika õpik 5. klassile. õppeasutused.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: õpik 7. klassile. õppeasutused.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: õpik 8. klassile. õppeasutused.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: õpik 9. klassile. õppeasutused.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. ja teised Algebra ja analüüsi alged: Õpik üldharidusasutuste 10. - 11. klassile.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemaatika (käsiraamat tehnikumidesse astujatele).

Ratsionaalse astendajaga kraad, selle omadused.

Avaldis a n defineeritud kõigi a ja n jaoks, välja arvatud juhul, kui a=0, kui n≤0. Tuletagem meelde selliste jõudude omadusi.

Mis tahes arvu a, b ja mis tahes täisarvu m ja n korral kehtivad võrdsused:

A m *a n =a m+n; a m:a n =a m-n (a≠0); (a m) n = amn; (ab) n = an*bn; (b≠0); a 1 =a; a 0 =1 (a≠0).

Pange tähele ka järgmist omadust:

Kui m>n, siis a m >a n a>1 ja a m korral<а n при 0<а<1.

Selles osas üldistame arvu astmete mõistet, andes tähenduse 2. tüüpi avaldistele 0.3 , 8 5/7 , 4 -1/2 jne. On loomulik anda definitsioon nii, et ratsionaalse astendajaga astmetel on samad omadused (või vähemalt osal neist) kui täisarvulise astendajaga astmetel. Siis eelkõige arvu n-s astepeab olema võrdne a m . Tõepoolest, kui vara

(a p) q =a pq

hukatakse siis

Viimane võrdus tähendab (n-nda juure definitsiooni järgi), et arvpeab olema a n-s juur m.

Definitsioon.

Arvu a>0 aste ratsionaalse astendajaga r=, kus m on täisarv ja n on naturaalarv (n > 1), on arv

Niisiis, definitsiooni järgi

(1)

0 aste on defineeritud ainult positiivsete eksponentide jaoks; definitsiooni järgi 0 r = 0 iga r>0 korral.

Kraad c irratsionaalne näitaja.

Irratsionaalne arvsaab esitada kujulratsionaalarvude jada piir: .

Laske . Siis on ratsionaalse astendajaga astmed. Võib tõestada, et nende võimsuste jada on koonduv. Selle jada piiriks nimetatakse aste baasi ja irratsionaalse astendajaga: .

Fikseerime positiivse arvu a ja omistame selle igale numbrile. Nii saame arvfunktsiooni f(x) = a x , mis on määratletud ratsionaalarvude hulgal Q ja millel on eelnevalt loetletud omadused. Kui a=1 funktsioon f(x) = a x on konstantne, kuna 1 x =1 mis tahes ratsionaalse x jaoks.

Joonistame funktsiooni y = 2 graafikule mitu punkti x olles eelnevalt arvutanud kalkulaatori abil väärtuse 2 x lõigul [—2; 3] sammuga 1/4 (joonis 1, a) ja seejärel sammuga 1/8 (joonis 1, b). jne näeme, et saadud punkte saab ühendada sujuva kõveraga, mida võib loomulikult pidada mõne funktsiooni graafikuks, mis on defineeritud ja kasvab piki kogu arvjoont ning võtab väärtusiratsionaalsetes punktides(Joon. 1, c). Olles piisavalt ehitanud suur number funktsiooni graafiku punktid, saate veenduda, et sellel funktsioonil on sarnased omadused (erinevus seisneb selles, et funktsioon väheneb R).

Need tähelepanekud viitavad sellele, et numbreid 2 saab sel viisil määratledaα ja iga irratsionaalse α korral, et valemitega y=2 antud funktsioonid x ja on pidev ja funktsioon y=2 x suureneb ja funktsioonväheneb piki kogu arvjoont.

Kirjeldame üldiselt, kuidas arv a määratakse α irratsionaalse α korral a>1 korral. Tahame tagada, et funktsioon y = a x suurenes. Siis iga ratsionaalse r jaoks 1 ja r 2 nii, et r 1<αpeab rahuldama ebavõrdsust a r 1<а α <а r 1 .

R väärtuste valimine 1 ja r 2 lähenedes x-le, võib märgata, et a vastavad väärtused r 1 ja a r 2 erineb vähe. Võib tõestada, et on olemas ja ainult üks arv y, mis on suurem kui kõik a r 1 kõigi ratsionaalsete r 1 ja vähemalt a r 2 kõigi ratsionaalsete r 2 . See arv y on definitsiooni järgi a α .

Näiteks väärtuse 2 arvutamiseks kalkulaatori abil x punktides x n ja x` n, kus x n ja x` n - arvude kümnendarvudleiame, et mida lähemal on x n ja x`n k , seda vähem need 2 erinevad x n ja 2 x` n .

Sellest ajast

ning seetõttu,

Samamoodi, võttes arvesse järgmisi kümnendarvutusipuudujäägi ja ülejäägi järgi jõuame suheteni

;

;

;

;

.

Tähendus kalkulaatoris arvutatud on:

.

Arv a määratakse sarnaselt α 0 eest<α<1. Кроме того полагают 1 α =1 mis tahes α ja 0 korralα =0, kui α>0.

Eksponentfunktsioon.

Kell a > 0, a = 1, funktsioon määratletud y = a x, erineb konstantsest. Seda funktsiooni nimetatakse eksponentsiaalne funktsioon alusegaa.

y= a x juures a> 1:

Eksponentfunktsioonide graafikud alusega 0< a < 1 и a> 1 on näidatud joonisel.

Eksponentfunktsiooni põhiomadused y= a x kell 0< a < 1:

• Funktsiooni määratluspiirkond on terve arvurida.
• Funktsioonide vahemik - intervall (0; + ) .
• Funktsioon suureneb rangelt monotoonselt tervel arvureal, st kui x 1 < x 2, siis a x 1 > a x 2 .
• Kell x= 0 funktsiooni väärtus on 1.
• Kui x> 0, siis 0< a < 1 ja kui x < 0, то a x > 1.
TO üldised omadused eksponentsiaalne funktsioon 0 juures< a < 1, так и при a > 1 sisaldab:
• a x 1 a x 2 = a x 1 + x 2, kõigile x 1 Ja x 2.
• a − x= ( a x) − 1 = 1 ax kellelegi x.
• na x= a