Eksponentfunktsioon. Tunni eesmärgid: kaaluge kraadi irratsionaalse astendajaga; Tutvustage eksponentsiaalfunktsiooni definitsiooni. Sõnastage peamised. Arvu võimsus: definitsioonid, tähistus, näited

Saidi jaotised

Toimetaja valik:

Reklaam

Kodu - Kliima

Selles artiklis selgitame välja, mis see on kraad. Siin anname arvude astme definitsioonid, samas käsitleme üksikasjalikult kõiki võimalikke eksponente, alustades loomulikust astendajast ja lõpetades irratsionaalsega. Materjalist leiate palju näiteid kraadide kohta, mis hõlmavad kõiki esilekerkivaid peensusi.

Leheküljel navigeerimine.

Naturaalastendajaga aste, arvu ruut, arvu kuup

Alustame . Tulevikku vaadates oletame, et arvu a astme definitsioon naturaalse astendajaga n on antud a jaoks, mida me nimetame kraadi alus, ja n, mida me nimetame eksponent. Samuti märgime, et naturaalse astendajaga aste määratakse korrutise kaudu, nii et alloleva materjali mõistmiseks peate mõistma arvude korrutamist.

Definitsioon.

Arvu aste naturaalastendajaga n on avaldis kujul a n, mille väärtus on võrdne n teguri korrutisega, millest igaüks on võrdne a-ga, see tähendab .
Eelkõige on arvu a astmeks astendaja 1 arv a ise, see tähendab, et a 1 =a.

Tasub kohe mainida kraadide lugemise reegleid. Universaalne viis tähiste a n lugemiseks on: “a n astmeni”. Mõnel juhul on vastuvõetavad ka järgmised valikud: „a n-nda astmeni” ja „a n-nda astmeni”. Näiteks võtame astme 8 12, see on "kaheksa kaheteistkümne astmeni" või "kaheksa kuni kaheteistkümnendik aste" või "kaheksateistkümnes aste".

Arvu teisel astmel ja ka arvu kolmandal astmel on oma nimed. Arvu teist astet nimetatakse ruudus number, näiteks 7 2 loetakse "seitsme ruuduna" või "arvu seitsme ruuduna". Arvu kolmandat astet nimetatakse kuubikujulised numbrid, näiteks 5 3 võib lugeda kui "viie kuubikut" või öelda "numbri 5 kuup".

On aeg tuua naturaalastendajatega kraadide näited. Alustame astmest 5 7, siin on 5 astme alus ja 7 astendaja. Toome veel ühe näite: 4.32 on alus ja naturaalarv 9 on astendaja (4.32) 9 .

Pange tähele, et viimases näites on astme 4.32 alus kirjutatud sulgudesse: lahknevuste vältimiseks paneme sulgudesse kõik astme alused, mis erinevad naturaalarvudest. Näitena anname järgmised astmed naturaalastendajatega , nende alused ei ole naturaalarvud, seega kirjutatakse need sulgudesse. Noh, täieliku selguse huvides näitame siinkohal erinevust, mis sisalduvad vormide (−2) 3 ja −2 3 kirjetes. Avaldis (−2) 3 on astme −2 aste, mille naturaalastendaja on 3 ja avaldis −2 3 (selle võib kirjutada kui −(2 3) ) vastab arvule, astme väärtusele 2 3 .

Pange tähele, et on olemas arvu a astme märge, mille astendaja n on kujul a^n. Veelgi enam, kui n on mitme väärtusega naturaalarv, võetakse eksponent sulgudes. Näiteks 4^9 on teine tähis 4 9 astme kohta. Ja siin on veel mõned näited kraadide kirjutamisest sümboliga “^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) . Edaspidi kasutame eeskätt vormi a n astme tähistust.

Üks loomuliku astendajaga astmele tõstmise vastupidine probleem on astme aluse leidmine teadaoleva astme väärtuse ja teadaoleva astendaja järgi. See ülesanne viib .

On teada, et paljud ratsionaalsed arvud koosneb täis- ja murdarvudest, kumbki murdarv võib esitada positiivse või negatiivsena harilik murd. Seetõttu määratlesime astme eelmises lõigus täisarvu astendajaga, et kraadi määratlust täiendada ratsionaalne näitaja, peate andma tähenduse arvu a astmele murdosalise astendajaga m/n, kus m on täisarv ja n on naturaalarv. Teeme seda.

Vaatleme vormi murdosa eksponendiga kraadi. Et võimu-võimu omadus jääks kehtima, peab kehtima võrdsus . Kui võtta arvesse saadud võrdsust ja seda, kuidas määrasime , siis on loogiline sellega nõustuda, eeldusel, et antud m, n ja a avaldis on mõttekas.

Lihtne on kontrollida, et kõik täisarvulise astendajaga astme omadused kehtivad (seda tehti ratsionaalse astendajaga astme omaduste osas).

Ülaltoodud arutluskäik võimaldab meil teha järgmist järeldus: kui antud m, n ja a avaldis on mõttekas, siis a astmet murdeksponentiga m/n nimetatakse a astme m n-ndaks juureks.

See väide viib meid murdosalise astendajaga astme määratluse lähedale. Jääb üle vaid kirjeldada, mille m, n ja a juures on avaldisel mõtet. Olenevalt m, n ja a seatud piirangutest on kaks peamist lähenemist.

Lihtsaim viis on kehtestada a-le piirang, võttes positiivse m puhul a≥0 ja negatiivse m puhul a>0 (kuna m≤0 korral ei ole m 0-astet määratletud). Siis saame järgmise astme definitsiooni murdosaastendajaga.

Definitsioon.

Positiivse arvu a võimsus murdeksponentiga m/n, kus m on täisarv ja n on naturaalarv, nimetatakse arvu a n-ndaks juureks m astmeni, see tähendab .

Nulli murdosa määratakse ka ainsa hoiatusega, et indikaator peab olema positiivne.

Definitsioon.

Nulli võimsus murdosalise positiivse eksponendiga m/n, kus m on positiivne täisarv ja n on naturaalarv, defineeritakse kui .
Kui astet ei määrata, see tähendab, et arvu nulli aste koos murdosalise negatiivse eksponendiga ei ole mõttekas.

Tuleb märkida, et selle murdeksponentiga astme määratluse puhul on üks hoiatus: mõne negatiivse a ning mõne m ja n puhul on avaldis mõttekas ning me jätsime need juhud kõrvale, lisades tingimuse a≥0. Näiteks on sissekanded mõttekad või , ja ülaltoodud definitsioon sunnib meid ütlema, et astmed vormi murdosalise eksponendiga pole mõtet, kuna alus ei tohiks olla negatiivne.

Teine lähenemisviis astme määramiseks murdosa astendajaga m/n on juure paaris ja paaritu astendaja eraldi käsitlemine. See lähenemine nõuab lisatingimust: arvu a astmeks, mille eksponendiks on , loetakse arvu a astmeks, mille eksponendiks on vastav taandamatu murd (selle tingimuse tähtsust selgitame allpool ). See tähendab, et kui m/n on taandamatu murd, siis mis tahes naturaalarvu k korral asendatakse aste esmalt arvuga .

Paaris n ja positiivse m korral on avaldis mõttekas mis tahes mittenegatiivse a korral (negatiivse arvu paarisjuurel pole mõtet, peab arv a siiski nullist erinema (muidu toimub jagamine). nulliga). Ja paaritu n ja positiivse m korral võib arv a olla mis tahes (paaritu astme juur on defineeritud mis tahes reaalarvu jaoks) ja negatiivse m korral peab arv a olema nullist erinev (et ei oleks jagamist null).

Ülaltoodud arutluskäik juhatab meid selle murdosaastendajaga kraadi määratluse juurde.

Definitsioon.

Olgu m/n taandamatu murd, m täisarv ja n naturaalarv. Iga taandatava murru puhul asendatakse aste väärtusega . Taandamatu murdeksponentiga arvu võimsus m/n on jaoks

Selgitame, miks taandatava murdeksponendiga aste asendatakse esmalt taandamatu astendajaga astmega. Kui me lihtsalt defineeriksime astme kui , ja ei teeks reservatsiooni murru m/n taandatamatuse suhtes, siis seisaksime silmitsi järgmiste olukordadega: kuna 6/10 = 3/5, siis peab võrdus kehtima. , Aga , A.

Pärast arvu astme määramist on loogiline sellest rääkida kraadi omadused. Selles artiklis anname arvude astme põhiomadused, puudutades samal ajal kõiki võimalikke eksponente. Siin esitame kõigi kraadide omaduste tõendid ja näitame ka, kuidas neid omadusi näidete lahendamisel kasutatakse.

Leheküljel navigeerimine.

Kraadide omadused naturaalastendajatega

Naturaalse astendajaga astme definitsiooni järgi on aste a n n teguri korrutis, millest igaüks on võrdne a-ga. Sellest määratlusest lähtudes ja ka kasutades reaalarvude korrutamise omadused, saame saada ja põhjendada järgmist astme omadused naturaalse astendajaga:

astme a m ·a n =a m+n põhiomadus, selle üldistus;
identsete alustega jagatisastmete omadus a m:a n =a m−n ;
korrutise võimsuse omadus (a·b) n =a n ·b n, selle laiend;
jagatise omadus naturaalastmele (a:b) n =a n:b n ;
astme tõstmine astmeni (a m) n =a m·n, selle üldistus (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 · n 2 ·… · n k;
kraadi võrdlus nulliga:
- kui a>0, siis a n>0 mis tahes naturaalarvu n korral;
- kui a=0, siis a n=0;
- kui a<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 kui a<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
kui a ja b on positiivsed arvud ja a
kui m ja n on naturaalarvud nii, et m>n , siis 0 juures 0 võrratus a m >a n on tõene.

Märgime kohe, et kõik kirjalikud võrdsused on identsed kindlaksmääratud tingimustel saab vahetada nii nende paremat kui ka vasakut osa. Näiteks murdu a m ·a n =a m+n põhiomadus koos väljendite lihtsustamine kasutatakse sageli kujul a m+n =a m ·a n .

Nüüd vaatame igaüks neist üksikasjalikumalt.

Alustame kahe samade alustega astme korrutise omadusega, mida nimetatakse kraadi peamine omadus: iga reaalarvu a ja naturaalarvude m ja n korral on võrdus a m ·a n =a m+n tõene.

Tõestame kraadi peamist omadust. Loomuliku astendajaga astme definitsiooni järgi saab korrutiseks kirjutada vormi a m ·a n samade alustega astmete korrutise. Tänu korrutamise omadustele saab saadud avaldise kirjutada kujul , ja see korrutis on arvu a aste naturaalastendajaga m+n, st a m+n. See lõpetab tõestuse.

Toome näite, mis kinnitab kraadi põhiomadust. Võtame astmed samade alustega 2 ning naturaalastmetega 2 ja 3, kasutades kraadide põhiomadust, saame kirjutada võrrandi 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5. Kontrollime selle kehtivust, arvutades välja avaldiste 2 2 · 2 3 ja 2 5 väärtused. Astendamist teostades on meil 2 2 · 2 3 = (2 · 2) · (2 · 2 · 2) = 4 · 8 = 32 ja 2 5 =2·2·2·2·2=32, kuna saadakse võrdsed väärtused, siis on võrdus 2 2 ·2 3 =2 5 õige ja see kinnitab astme põhiomadust.

Kraadi põhiomaduse saab korrutamise omaduste põhjal üldistada kolme või enama astme korrutiseks samade aluste ja naturaalastendajatega. Nii et naturaalarvude n 1, n 2, …, n k mis tahes arvu k korral on võrdsus tõene a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

Näiteks, (2,1) 3 · (2,1) 3 · (2,1) 4 · (2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

Saame liikuda loomuliku astendajaga astmete järgmise omaduse juurde – samade alustega jagatisastmete omadus: iga nullist erineva reaalarvu a ja suvaliste naturaalarvude m ja n korral, mis vastavad tingimusele m>n, on võrdus a m:a n =a m−n tõene.

Enne selle omaduse tõestuse esitamist arutleme sõnastuses sisalduvate lisatingimuste tähenduse üle. Tingimus a≠0 on vajalik selleks, et vältida nulliga jagamist, kuna 0 n =0 ja jagamisega tutvudes leppisime kokku, et nulliga jagada ei saa. Tingimus m>n võetakse kasutusele selleks, et me ei läheks looduslikest eksponentidest kaugemale. Tõepoolest, eksponent m>n puhul on a m-n naturaalarv, vastasel juhul on see kas null (mis juhtub m-n korral) või negatiivne arv (mis juhtub m-ga
Tõestus. Murru põhiomadus võimaldab meil kirjutada võrdsuse a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m. Saadud võrrandist a m−n ·a n =a m ja järeldub, et a m−n on astmete a m ja a n jagatis. See tõestab identsete alustega jagatisastmete omadust.

Toome näite. Võtame kaks astet samade alustega π ja naturaalastendajatega 5 ja 2, astme vaadeldavale omadusele vastab võrdus π 5:π 2 =π 5−3 =π 3.

Nüüd kaalume toote võimsuse omadus: kahe reaalarvu a ja b korrutise loomulik võimsus n on võrdne astmete a n ja b n korrutisega, st (a·b) n =a n ·b n .

Tõepoolest, naturaalse astendajaga kraadi määratluse järgi on meil olemas . Korrutamise omaduste põhjal saab viimase korrutise ümber kirjutada kui , mis on võrdne a n · b n .

Siin on näide: .

See omadus laieneb kolme või enama teguri korrutisele. See tähendab, et k teguri korrutise loomuliku astme n omadus on kirjutatud kujul (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n.

Selguse huvides näitame seda omadust näitega. Kolme teguri korrutis 7 astmega on meil .

Järgmine omadus on mitterahalise jagatise omadus: reaalarvude a ja b, b≠0 jagatis loomuliku astmega n on võrdne astmete a n ja b n jagatisega, st (a:b) n =a n:b n.

Tõestust saab läbi viia eelneva atribuudi abil. Niisiis (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, ja võrratusest (a:b) n ·b n =a n järeldub, et (a:b) n on a n jagatis b n-ga.

Kirjutame selle omaduse, kasutades näitena konkreetseid numbreid: .

Nüüd ütleme selle välja omadus tõsta võimu võimuks: mis tahes reaalarvu a ja naturaalarvude m ja n korral võrdub a m astme astmega n arvu a astmega, mille aste on m·n, st (a m) n =a m·n.

Näiteks (5 2) 3 = 5 2 · 3 = 5 6.

Võimsusastmeni omaduse tõestuseks on järgmine võrdsuste ahel: .

Vaadeldavat omadust saab astme kaupa laiendada jne. Näiteks naturaalarvude p, q, r ja s korral võrdsus . Suurema selguse huvides on siin näide konkreetsete numbritega: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Jääb veel peatuda astmete ja naturaalastendajate võrdlemise omadustel.

Alustuseks tõestame nulli ja astme võrdlemise omadust naturaalastendajaga.

Esiteks tõestame, et a n > 0 iga a>0 korral.

Kahe positiivse arvu korrutis on positiivne arv, nagu tuleneb korrutamise definitsioonist. See fakt ja korrutamise omadused viitavad sellele, et mis tahes arvu positiivsete arvude korrutamise tulemus on samuti positiivne arv. Ja arvu a aste naturaalse astendajaga n on definitsiooni järgi n teguri korrutis, millest igaüks on võrdne a-ga. Need argumendid võimaldavad meil väita, et iga positiivse baasi a korral on aste a n positiivne arv. Tõestatud omaduse tõttu 3 5 >0, (0,00201) 2 >0 ja .

On üsna ilmne, et iga naturaalarvu n puhul, mille a=0, on a n aste null. Tõepoolest, 0 n =0·0·…·0=0. Näiteks 0 3 =0 ja 0 762 =0.

Liigume edasi negatiivsete kraadialuste juurde.

Alustame juhust, kui eksponendiks on paarisarv, tähistame seda 2·m, kus m on naturaalarv. Siis . Iga vormi a·a korrutis on võrdne arvude a ja a moodulite korrutisega, mis tähendab, et see on positiivne arv. Seetõttu on toode ka positiivne ja aste a 2·m. Toome näiteid: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 ja .

Lõpuks, kui alus a on negatiivne arv ja astendaja on paaritu arv 2 m−1, siis . Kõik korrutised a·a on positiivsed arvud, nende positiivsete arvude korrutis on samuti positiivne ja selle korrutis ülejäänud arvuga negatiivne arv a tulemuseks on negatiivne arv. Tänu sellele omadusele (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

Liigume edasi samade naturaalastendajatega astmete võrdlemise omadusele, millel on järgmine sõnastus: kahest samade naturaalastendajatega astmest n on väiksem kui see, mille alus on väiksem, ja suurem on see, mille alus on suurem. . Tõestame seda.

Ebavõrdsus a n ebavõrdsuse omadused tõene on ka vormi a n tõestatav ebavõrdsus .

Jääb üle tõestada viimane loetletud kraadide omadustest looduslike eksponentide abil. Sõnastame selle. Kahest astmest, mille naturaalaste ja identsed positiivsed alused on väiksemad kui üks, on suurem see, mille astendaja on väiksem; ja kahest astmest, mille naturaalaste ja identsed alused on suuremad kui üks, on suurem see, mille astendaja on suurem. Jätkame selle omaduse tõestamisega.

Tõestame, et m>n ja 0 korral 0 algtingimuse m>n tõttu, mis tähendab, et 0 juures
Tõendada jääb vara teine osa. Tõestame, et m>n ja a>1 korral on a m >a n tõene. Erinevus a m −a n pärast n väljavõtmist sulgudest saab kujul a n ·(a m−n −1) . See korrutis on positiivne, kuna a>1 korral on aste a n positiivne arv ja erinevus a m-n -1 on positiivne arv, kuna m-n>0 on tingitud algtingimusest ja a>1 korral on aste a m−n on suurem kui üks . Järelikult a m −a n >0 ja a m >a n , mida oli vaja tõestada. Seda omadust illustreerib ebavõrdsus 3 7 > 3 2.

Täisarvuliste astendajatega astmete omadused
Kuna positiivsed täisarvud on naturaalarvud, kattuvad kõik positiivsete täisarvude astendajatega astmete omadused täpselt eelmises lõigus loetletud ja tõestatud naturaalaste astmete omadustega.

Defineerisime nii täisarvulise negatiivse astendajaga astme kui ka nullastendajaga astme nii, et kõik naturaalsete astendajatega astmete omadused, väljendatuna võrdustega, jäid kehtima. Seetõttu kehtivad kõik need omadused nii nullastendajate kui ka negatiivsete eksponentide puhul, samas kui loomulikult on astmete alused nullist erinevad.

Seega kehtivad mis tahes reaal- ja nullist erineva arvu a ja b, aga ka täisarvude m ja n puhul järgmised: Täisarvuliste astendajatega astmete omadused:

a m ·a n =a m+n ;

a m:a n =a m−n ;

(a · b) n =a n · b n;

(a:b) n =a n:bn;

(a m) n = a m·n;

kui n on positiivne täisarv, on a ja b positiivsed arvud ning a b-n;

kui m ja n on täisarvud ja m>n , siis 0 juures 1 võrratus a m >a n kehtib.

Kui a=0, on astmetel a m ja a n mõtet ainult siis, kui nii m kui ka n on positiivsed täisarvud, st naturaalarvud. Seega kehtivad äsja üleskirjutatud omadused ka juhtudel, kui a=0 ning arvud m ja n on positiivsed täisarvud.

Kõigi nende omaduste tõestamine pole keeruline, piisab, kui kasutada kraadide definitsioone naturaal- ja täisarvudega, samuti tehte omadusi reaalarvudega. Näitena tõestame, et võimsuse võimsus kehtib nii positiivsete täisarvude kui ka mittepositiivsete täisarvude puhul. Selleks tuleb näidata, et kui p on null või naturaalarv ja q on null või naturaalarv, siis võrrandid (a p) q =a p·q, (a −p) q =a (−p) ·q, (a p ) −q =a p·(−q) ja (a −p) −q =a (−p)·(−q). Teeme seda.

Positiivsete p ja q korral tõestati võrdus (a p) q =a p·q eelmises lõigus. Kui p=0, siis on meil (a 0) q =1 q =1 ja a 0·q =a 0 =1, kust (a 0) q =a 0·q. Samamoodi, kui q=0, siis (a p) 0 =1 ja a p·0 =a 0 =1, kust (a p) 0 =a p·0. Kui nii p=0 kui q=0, siis (a 0) 0 =1 0 =1 ja a 0·0 =a 0 =1, kust (a 0) 0 =a 0,0.

Nüüd tõestame, et (a −p) q =a (−p)·q . Negatiivse täisarvu astendajaga astme definitsiooni järgi siis . Meil olevate astmete jagandite omaduse järgi . Kuna 1 p =1·1·…·1=1 ja , siis . Viimane avaldis on definitsiooni järgi kujul a −(p·q), mille saab korrutamisreeglite tõttu kirjutada kujul (−p)·q.

Samamoodi .

JA .

Samal põhimõttel saate tõestada kõik muud astme omadused täisarvulise astendajaga, mis on kirjutatud võrduste kujul.

Salvestatud omaduste eelviimases tasub peatuda ebavõrdsuse a −n >b −n tõestusel, mis kehtib iga negatiivse täisarvu −n ja iga positiivse a ja b korral, mille puhul tingimus a on täidetud. . Kuna tingimusel a 0 . Korrutis a n · b n on positiivne ka positiivsete arvude a n ja b n korrutis. Siis on saadud murd positiivne positiivsete arvude b n −a n ja a n ·b n jagatisena. Seega, kust a −n >b −n , mida oli vaja tõestada.

Täisarvuliste astendajatega astmete viimane omadus on tõestatud samamoodi nagu loomulike astendajatega astmete sarnane omadus.

Ratsionaalsete astendajatega astmete omadused

Defineerisime astme murdosalise astendajaga, laiendades astme omadusi sellele täisarvulise astendajaga. Teisisõnu, murdeksponentidega astmetel on samad omadused kui täisarvuliste astendajatega astmetel. Nimelt:

Astmete omaduste tõendamine murdeksponentidega põhineb astme definitsioonil murdeksponentiga ja astme omadustel täisarvulise astendajaga. Andkem tõendid.

Määratluse järgi võimsus murdosa astendaja ja , siis . Aritmeetilise juure omadused võimaldavad meil kirjutada järgmised võrdsused. Edasi, kasutades täisarvulise astendajaga astme omadust, saame , millest murdosalise astendajaga astme definitsiooni järgi saame , ja saadud kraadi indikaatorit saab teisendada järgmiselt: . See lõpetab tõestuse.

Teine murdosaastendajatega astmete omadus on tõestatud absoluutselt sarnasel viisil:

Ülejäänud võrdsused tõestatakse sarnaste põhimõtete abil:

Liigume edasi järgmise vara tõestamise juurde. Tõestame, et iga positiivse a ja b korral a b p . Kirjutame ratsionaalarvu p kujul m/n, kus m on täisarv ja n on naturaalarv. Tingimused lk<0 и p>0 antud juhul tingimused m<0 и m>0 vastavalt. m>0 ja a puhul
Samamoodi m<0 имеем a m >b m , kust, see tähendab, ja a p >b p .

Jääb tõestada viimane loetletud omadustest. Tõestame, et ratsionaalarvude p ja q korral p>q on 0 0 – ebavõrdsus a p >a q . Ratsionaalarvud p ja q saame alati taandada ühiseks nimetajaks, isegi kui saame tavalised murrud ja , kus m 1 ja m 2 on täisarvud ning n on naturaalarv. Sel juhul vastab tingimus p>q tingimusele m 1 >m 2, mis tuleneb sellest. Seejärel võrreldakse astmeid samade aluste ja naturaalastendajatega 0 juures 1 – võrratus a m 1 >a m 2 . Need ebavõrdsused juurte omadustes saab vastavalt ümber kirjutada kui Ja . Ja astme määratlus ratsionaalse astendajaga võimaldab liikuda edasi ebavõrdsuse juurde ja vastavalt. Siit teeme lõpliku järelduse: p>q ja 0 jaoks 0 – ebavõrdsus a p >a q .

Irratsionaalsete astendajatega astmete omadused

Sellest, kuidas irratsionaalse astendajaga aste on määratletud, võime järeldada, et sellel on kõik ratsionaalse astendajaga astme omadused. Seega on mis tahes a>0, b>0 ja irratsionaalarvude p ja q korral tõesed järgmised irratsionaalsete astendajatega astmete omadused:

a p ·a q =a p+q;

a p:a q =a p−q ;

(a · b) p =a p · b p ;

(a:b) p =a p:b p;

(a p) q =a p·q;

mis tahes positiivsete arvude a ja b korral a 0 ebavõrdsus a p b p ;

irratsionaalarvude p ja q puhul p>q 0 juures 0 – ebavõrdsus a p >a q .

Sellest võime järeldada, et astmetel a>0 reaalastendajatega p ja q on samad omadused.

Bibliograafia.

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matemaatika õpik 5. klassile. õppeasutused.

Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: õpik 7. klassile. õppeasutused.

Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: õpik 8. klassile. õppeasutused.

Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: õpik 9. klassile. õppeasutused.

Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. ja teised Algebra ja analüüsi algus: Õpik üldharidusasutuste 10. - 11. klassile.

Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemaatika (käsiraamat tehnikumidesse astujatele).

II OSA. PEATÜKK 6
NUMBRIJÄRJANDUSED

Irratsionaalse astendajaga kraadi mõiste

Olgu a mingi positiivne arv ja a irratsionaalne arv.
Millist tähendust tuleks anda väljendile a*?
Et esitlus oleks selgem, viime selle läbi privaatselt
näiteks. Nimelt paneme a - 2 ja a = 1, 624121121112. . . .
Siin on a lõpmatu kümnendmurd, mis koosneb järgmiselt
seadus: alustades neljandast kümnendkohast, pildi a puhul
Kasutatakse ainult numbreid 1 ja 2 ning numbrite arv on 1,
kirjutatud järjestikku enne numbrit 2, kogu aeg suurenedes
üks. Murd a on mitteperioodiline, kuna vastasel juhul on numbrite arv 1,
tema pildile järjestikku salvestatud oleks piiratud.
Seetõttu on a irratsionaalne arv.
Niisiis, millist tähendust tuleks väljendile anda
21,v2Ш1Ш1Ш11Ш11Ш. . . R
Sellele küsimusele vastamiseks loome väärtuste jada
ning puudujäägi ja ülejäägiga täpsusega (0,1)*. Saame
1,6; 1,62; 1,624; 1,6241; …, (1)
1,7; 1,63; 1,625; 1,6242; . . . (2)
Loome arvule 2 vastavad astmete jadad:
2M. 2M*; 21*624; 21’62*1; ..., (3)
21D. 21"63; 2*62Wu 21,6Sh; . (4)
Järjestus (3) suureneb järjestuse kasvades
(1) (Teoreem 2 § 6).
Järjestus (4) väheneb, kuna jada väheneb
(2).
Jada (3) iga liige on väiksem kui jada iga liige
(4) ja seega on jada (3) piiratud
ülalt ja jada (4) on allpool piiratud.
Tuginedes monotoonse piiritletud jada teoreemile
igal järjestustel (3) ja (4) on piir. Kui

384 Irratsionaalse astendajaga kraadi mõiste . .

nüüd selgub, et jadade (4) ja (3) erinevus koondub
nullini, siis järeldub, et mõlemad järjestused,
neil on ühine piir.
Jadade (3) ja (4) esimeste liikmete erinevus
21–7 – 21’* = 2|, in (20*1–1)< 4 (У 2 - 1).
Teiste terminite erinevus
21'63 - 21,62 = 21,62 (2°'01 - 1)< 4 (l0 j/2f - 1) и т. д.
N-nda termini erinevus
0,0000. ..0 1
2>.««…(2" - 1)< 4 (l0“/ 2 - 1).
3. teoreemi § 6 alusel
lim 10″ / 2 = 1.
Seega on järjestustel (3) ja (4) ühine piir. See
limiit on ainus suurem reaalarv
kõik jada liikmed (3) ja vähem kui kõik jada liikmed
(4), on soovitatav seda pidada täpseks väärtuseks 2*.
Öeldust järeldub, et üldiselt on soovitav nõustuda
järgmine määratlus:
Definitsioon. Kui a^> 1, siis a võimsus irratsionaaliga
eksponent a on reaalarv
mis on suurem kui kõik selle arvu astmed, mille eksponendid on
ratsionaalsed lähendused a, mis on ebasoodsad ja väiksemad kui kõik kraadid
see arv, mille eksponendid on ratsionaalsed lähendused ja koos
üleliigne.
Kui a<^ 1, то степенью числа а с иррациональным показателем а
on tegelik arv, mis on suurem kõigist astmetest
see arv, mille eksponendid on ratsionaalsed lähendused ja
ülejäägiga ja vähem kui selle arvu kõik astmed, mille näitajad
- ratsionaalsed lähendused a puudusega.
.Kui a- 1, siis selle aste irratsionaalse astendajaga a
on 1.
Piirmäära mõistet kasutades saab selle definitsiooni sõnastada
Niisiis:
Irratsionaalse astendajaga positiivse arvu võimsus
ja kutsutakse piiri, milleni jada kaldub
selle arvu ratsionaalsed võimsused, eeldusel, et jada
nende astmete eksponendid kalduvad a, s.o.
аа = lim аЧ
b — *
13 D, K. Fatšejev, I. S. Sominski

Selles materjalis vaatleme, mis on arvu võimsus. Lisaks põhimääratlustele sõnastame, millised on naturaal-, täisarvu-, ratsionaal- ja irratsionaalastendajatega astmed. Nagu alati, illustreeritakse kõiki mõisteid näidisülesannetega.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Esiteks sõnastame astme põhidefinitsiooni naturaalastendajaga. Selleks peame meeles pidama korrutamise põhireegleid. Teeme eelnevalt selgeks, et praegu võtame aluseks reaalarvu (tähistatakse tähega a) ja naturaalarvu indikaatoriks (tähistatakse tähega n).
Definitsioon 1
Arvu a aste naturaalse astendajaga n on n-nda tegurite arvu korrutis, millest igaüks on võrdne arvuga a. Kraad on kirjutatud järgmiselt: a n ja valemi kujul võib selle koostist esitada järgmiselt:

Näiteks kui astendaja on 1 ja alus on a, siis kirjutatakse a esimene aste kui a 1. Arvestades, et a on teguri väärtus ja 1 on tegurite arv, võime järeldada, et a 1 = a.

Üldiselt võime öelda, et kraad on mugav vorm suure hulga võrdsete tegurite kirjutamiseks. Niisiis, vormi rekord 8 8 8 8 saab lühendada kuni 8 4 . Samamoodi aitab toode meil vältida suure hulga terminite kirjutamist (8 + 8 + 8 + 8 = 8 · 4); Oleme seda juba käsitlenud artiklis, mis on pühendatud naturaalarvude korrutamisele.

Kuidas kraadikandet õigesti lugeda? Üldtunnustatud variant on "a astmeni n". Või võite öelda "a n-nda astme" või "sipelga astme". Kui näiteks näites kohtasime kirjet 8 12 , saame lugeda "8 kuni 12. astmeni", "8 astmeni 12" või "12. astmeni 8".

Arvude teisel ja kolmandal astmel on oma väljakujunenud nimed: ruut ja kuup. Kui näeme teist astet, näiteks arvu 7 (7 2), siis võime öelda “7 ruudus” või “arvu 7 ruut”. Samamoodi kõlab kolmas aste järgmiselt: 5 3 - see on "numbri 5 kuup" või "5 kuubik". Kuid võite kasutada ka standardset sõnastust "teise/kolmanda astmeni"; see ei ole viga.
Näide 1
Vaatame naturaalse astendajaga kraadi näidet: for 5 7 viis on alus ja seitse on astendaja.

Alus ei pea olema täisarv: astme jaoks (4 , 32) 9 alus on murd 4, 32 ja astendaja on üheksa. Pöörake tähelepanu sulgudele: see märge on tehtud kõigi astmete kohta, mille alused erinevad naturaalarvudest.

Näiteks: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 7 3.

Milleks on sulud? Need aitavad vältida vigu arvutustes. Oletame, et meil on kaks kirjet: (− 2) 3 Ja − 2 3 . Esimene neist tähendab negatiivset arvu miinus kaks, mis on tõstetud astmeni, mille naturaalne astendaja on kolm; teine on arv, mis vastab astme vastupidisele väärtusele 2 3 .

Mõnikord võite raamatutes leida numbri võimsuse veidi teistsuguse kirjapildi - a^n(kus a on alus ja n on astendaja). See tähendab, et 4^9 on sama, mis 4 9 . Kui n on mitmekohaline arv, pannakse see sulgudesse. Näiteks 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . Kuid me kasutame tähistust a n kui tavalisem.

Seda, kuidas arvutada naturaalse astendajaga astendaja väärtus selle määratluse põhjal, on lihtne ära arvata: peate lihtsalt n-ndat korda korrutama. Kirjutasime sellest lähemalt teises artiklis.

Kraadi mõiste on teise matemaatilise mõiste pöördväärtus – arvu juur. Kui teame astme ja astendaja väärtust, saame arvutada selle baasi. Kraadil on mõned spetsiifilised omadused, mis on kasulikud probleemide lahendamiseks, mida käsitlesime eraldi materjalis.

Eksponentid võivad hõlmata mitte ainult naturaalarve, vaid ka kõiki täisarvulisi väärtusi üldiselt, sealhulgas negatiivseid ja nulle, kuna need kuuluvad ka täisarvude hulka.
2. definitsioon
Positiivse täisarvu eksponendiga arvu astme saab esitada valemina: .

Sel juhul on n mis tahes positiivne täisarv.

Mõistame nullkraadi mõistet. Selleks kasutame lähenemist, mis võtab arvesse võrdsete alustega astmete jagatisomadust. See on sõnastatud järgmiselt:
3. määratlus
Võrdsus a m: a n = a m − n on tõene järgmistel tingimustel: m ja n on naturaalarvud, m< n , a ≠ 0 .

Viimane tingimus on oluline, kuna see väldib nulliga jagamist. Kui m ja n väärtused on võrdsed, saame järgmise tulemuse: a n: a n = a n − n = a 0

Kuid samal ajal a n: a n = 1 on võrdsete arvude jagatis a n ja a. Selgub, et mis tahes nullist erineva arvu nullvõimsus võrdub ühega.

Kuid selline tõestus ei kehti nulli nulli astme kohta. Selleks vajame veel üht võimsuste omadust – võrdsete alustega võimsuste korrutiste omadust. See näeb välja selline: a m · a n = a m + n .

Kui n on 0, siis a m · a 0 = a m(see võrdsus tõestab ka meile seda a 0 = 1). Aga kui ja on samuti võrdne nulliga, saab meie võrdsus kuju 0 m · 0 0 = 0 m, See kehtib iga n-i loomuliku väärtuse kohta ja see ei oma tähtsust, mis astme väärtus täpselt on 0 0 , see tähendab, et see võib olla võrdne mis tahes arvuga ja see ei mõjuta võrdsuse täpsust. Seetõttu vormi märge 0 0 ei oma oma erilist tähendust ja me ei omista seda sellele.

Soovi korral on seda lihtne kontrollida a 0 = 1 koondub kraadiomadusega (a m) n = a m n eeldusel, et kraadi alus ei ole null. Seega on iga nullist erineva arvu aste, mille astendaja on null, üks.
Näide 2
Vaatame näidet konkreetsete numbritega: Niisiis, 5 0 - üksus, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 ja väärtus 0 0 määratlemata.

Pärast nullkraadi peame lihtsalt välja mõtlema, mis on negatiivne kraad. Selleks vajame võrdsete alustega astmete korrutise sama omadust, mida me juba eespool kasutasime: a m · a n = a m + n.

Toome sisse tingimuse: m = − n, siis a ei tohiks olla võrdne nulliga. Sellest järeldub a − n · a n = a − n + n = a 0 = 1. Selgub, et a n ja a−n meil on vastastikku vastastikused arvud.

Selle tulemusena ei ole a negatiivse terviku võimsus midagi muud kui murd 1 a n.

See sõnastus kinnitab, et täisarvulise negatiivse eksponendiga astme puhul kehtivad kõik samad omadused, mis loomuliku astendajaga astmel (eeldusel, et alus ei võrdu nulliga).
Näide 3
Negatiivse täisarvu astendaja n võimsust a saab esitada murdena 1 a n . Seega a - n = 1 a n subjektiks a ≠ 0 ja n on mis tahes naturaalarv.

Illustreerime oma ideed konkreetsete näidetega:
Näide 4
3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

Lõigu viimases osas püüame kõike öeldut selgelt ühes valemis kujutada:
4. määratlus
Naturaalse astendajaga z arvu aste on: a z = a z, e l ja z - positiivne täisarv 1, z = 0 ja a ≠ 0, (z = 0 ja a = 0 korral on tulemus 0 0, avaldise 0 0 väärtused ei ole defineeritud) 1 a z, kui ja z on negatiivne täisarv ja a ≠ 0 (kui z on negatiivne täisarv ja a = 0 saad 0 z, egoz on väärtus määramata)

Mis on ratsionaalse astendajaga astmed?

Uurisime juhtumeid, kui astendaja sisaldab täisarvu. Siiski saate arvu tõsta astmeks isegi siis, kui selle astendaja sisaldab murdarvu. Seda nimetatakse ratsionaalse astendajaga astmeks. Selles jaotises tõestame, et sellel on samad omadused kui teistel jõududel.

Mis on ratsionaalsed arvud? Nende hulka kuuluvad nii täis- kui ka murdarvud ning murdarvud saab esitada tavaliste murdudena (nii positiivsete kui ka negatiivsete). Sõnastame arvu a astme definitsiooni murdeksponentiga m / n, kus n on naturaalarv ja m on täisarv.

Meil on mingi aste murdeksponentiga a m n . Selleks, et võimsuse võimsus kehtiks, peab võrdus a m n n = a m n · n = a m olema tõene.

Arvestades n-nda juure määratlust ja seda, et a m n n = a m, võime aktsepteerida tingimust a m n = a m n, kui a m n on m, n ja a väärtuste jaoks mõistlik.

Täisarvulise astendajaga astme ülaltoodud omadused on tõesed tingimusel a m n = a m n .

Meie arutluskäigu põhijäreldus on järgmine: teatud arvu a aste murdeksponentiga m / n on arvu a astme m n-s juur. See on tõsi, kui antud väärtuste m, n ja a puhul jääb avaldis a m n tähenduslikuks.

1. Saame piirata astme aluse väärtust: võtame a, mis m positiivsete väärtuste korral on suurem või võrdne 0-ga ja negatiivsete väärtuste korral - rangelt väiksem (kuna m ≤ 0 saame 0 m, kuid sellist kraadi pole määratletud). Sel juhul näeb murdosa eksponendiga kraadi määratlus välja järgmine:

Positiivse arvu a korral murdosalise astendajaga m/n aste on astmeni m tõstetud a n-s juur. Seda saab väljendada valemiga:

Nullbaasiga astme jaoks sobib ka see säte, kuid ainult siis, kui selle eksponent on positiivne arv.

Baasnulliga ja murdosalise positiivse eksponendiga võimsust m/n saab väljendada järgmiselt

0 m n = 0 m n = 0 eeldusel, et m on positiivne täisarv ja n on naturaalarv.

Negatiivse suhte m n korral< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Märgime ühte punkti. Kuna kehtestasime tingimuse, et a on nullist suurem või sellega võrdne, jätsime mõned juhtumid kõrvale.

Avaldis a m n on mõnikord endiselt mõttekas mõne a ja mõne m negatiivse väärtuse puhul. Seega on õiged kirjed (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4, milles alus on negatiivne.

2. Teine lähenemine on vaadelda eraldi paaris ja paaritu astendajatega juur a m n. Siis peame sisse viima veel ühe tingimuse: astet a, mille eksponendis on taandatav harilik murd, loetakse astmeks a, mille eksponendis on vastav taandamatu murd. Hiljem selgitame, miks me seda tingimust vajame ja miks see nii oluline on. Seega, kui meil on tähis a m · k n · k, siis saame selle taandada a m n-ks ja arvutusi lihtsustada.

Kui n on paaritu arv ja m väärtus on positiivne ja a on mis tahes mittenegatiivne arv, siis on a m n mõistlik. Tingimus, et a ei oleks negatiivne, on vajalik, kuna paarisastme juurt ei saa negatiivsest arvust eraldada. Kui m väärtus on positiivne, võib a olla nii negatiivne kui ka null, sest Paaritu juure võib võtta mis tahes reaalarvust.

Kombineerime kõik ülaltoodud määratlused ühte kirjesse:

Siin m/n tähendab taandamatut murdu, m on mis tahes täisarv ja n on mis tahes naturaalarv.
Definitsioon 5
Iga tavalise taandatava murru m · k n · k korral võib astme asendada a m n .

Arvu a võimsust taandamatu murdeksponentiga m / n saab väljendada kui m n järgmistel juhtudel: - mis tahes reaalse a korral on positiivne täisarv m ja paaritu naturaalväärtus n. Näide: 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.

Mis tahes nullist erineva tegeliku a korral on m negatiivsed täisarvud ja n paaritu väärtused, näiteks 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 27

Mis tahes mittenegatiivse a korral on positiivne täisarv m ja isegi n, näiteks 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18.

Mis tahes positiivse a, negatiivse täisarvu m ja isegi n korral, näiteks 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3, .

Muude väärtuste puhul murdeksponentiga kraadi ei määrata. Selliste kraadide näited: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.

Nüüd selgitame ülalkirjeldatud tingimuse tähtsust: miks asendada taandatava astendajaga murd taandamatu astendajaga murruga. Kui me poleks seda teinud, oleks meil olnud järgmised olukorrad, näiteks 6/10 = 3/5. Siis peaks see olema tõene (- 1) 6 10 = - 1 3 5, kuid - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 ja (- 1) 3 5 = (- 1 ) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

Esimesena esitatud murdeksponentiga kraadi määratlus on praktikas mugavam kasutada kui teist, seega jätkame selle kasutamist.
Definitsioon 6
Seega on positiivse arvu a astmeks murdeksponent m/n defineeritud kui 0 m n = 0 m n = 0. Negatiivse korral a kirjel a m n pole mõtet. Positiivsete murdosaastendajate nulli võimsus m/n on defineeritud kui 0 m n = 0 m n = 0, negatiivsete murdeksponentide puhul ei määratle me nulli astet.

Järeldustes märgime, et võite kirjutada mis tahes murdarvu indikaatori nii segaarvuna kui ka kümnendmurruna: 5 1, 7, 3 2 5 - 2 3 7.

Arvutamisel on parem asendada astendaja hariliku murruga ja seejärel kasutada astendaja definitsiooni murdosa astendajaga. Ülaltoodud näidete jaoks saame:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Mis on irratsionaalsete ja reaalsete eksponentide võimsused?

Mis on reaalarvud? Nende hulk sisaldab nii ratsionaalseid kui ka irratsionaalseid arve. Seetõttu, et mõista, mis on reaalse astendajaga aste, peame defineerima astmed ratsionaalse ja irratsionaalse astendajaga. Ratsionaalseid oleme juba eespool maininud. Käsitleme samm-sammult irratsionaalseid näitajaid.
Näide 5
Oletame, et meil on irratsionaalne arv a ja selle kümnendlähenduste jada a 0 , a 1 , a 2 , . . . . Näiteks võtame väärtuse a = 1,67175331. . . , Siis

a 0 = 1, 6, a 1 = 1, 67, a 2 = 1, 671, . . . , a 0 = 1,67, a 1 = 1,6717, a 2 = 1,671753, . . .

Lähenduste jada saame seostada kraadide jadaga a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . . Kui meenutada, mida me varem rääkisime arvude tõstmisest ratsionaalsete võimsusteni, siis saame nende võimsuste väärtused ise välja arvutada.

Võtame näiteks a = 3, siis a a 0 = 3 1, 67, a a 1 = 3 1, 6717, a a 2 = 3 1, 671753, . . . jne.

Astmete jada saab taandada arvuks, milleks saab astme väärtus alusega a ja irratsionaalse astendajaga a. Tulemuseks: aste, mille irratsionaalne astendaja on kujul 3 1, 67175331. . saab vähendada numbrini 6, 27.
Definitsioon 7
Positiivse arvu a võimsus irratsionaalse astendajaga a kirjutatakse a a . Selle väärtus on jada piir a a 0, a a 1, a a 2,. . . , kus a 0 , a 1 , a 2 , . . . on irratsionaalarvu a järjestikused kümnendarvud. Nullbaasiga kraadi saab määratleda ka positiivsete irratsionaalsete eksponentide jaoks, 0 a = 0 Niisiis, 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0. Kuid seda ei saa teha negatiivsete puhul, kuna näiteks väärtus 0 - 5, 0 - 2 π pole määratletud. Mis tahes irratsionaalse astmeni tõstetud ühik jääb näiteks ühikuks ja 1 2, 1 5 in 2 ja 1 - 5 võrdub 1-ga.

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Ratsionaalse astendajaga kraad, selle omadused.
Avaldis a n defineeritud kõigi a ja n jaoks, välja arvatud juhul, kui a=0 n≤0 korral. Tuletagem meelde selliste jõudude omadusi.

Mis tahes arvu a, b ja mis tahes täisarvu m ja n korral kehtivad võrdsused:
A m *a n =a m+n; a m:a n =a m-n (a≠0); (a m) n = amn; (ab) n = an*bn; (b≠0); a 1 =a; a 0 =1 (a≠0).

Pange tähele ka järgmist omadust:

Kui m>n, siis a m >a n a>1 ja a m korral<а n при 0<а<1.

Selles osas üldistame arvu astmete mõistet, andes tähenduse 2. tüüpi avaldistele 0.3 , 8 5/7 , 4 -1/2 jne. On loomulik anda definitsioon nii, et ratsionaalse astendajaga astmetel on samad omadused (või vähemalt osal neist) kui täisarvulise astendajaga astmetel. Siis eelkõige arvu n-s astepeab olema võrdne a m . Tõepoolest, kui vara
(a p) q =a pq

hukatakse siis

Viimane võrdus tähendab (n-nda juure definitsiooni järgi), et arvpeab olema a n-s juur m.

Definitsioon.

Arvu a>0 aste ratsionaalse astendajaga r=, kus m on täisarv ja n on naturaalarv (n > 1), on arv

Niisiis, definitsiooni järgi
(1)

0 aste on defineeritud ainult positiivsete eksponentide jaoks; definitsiooni järgi 0 r = 0 iga r>0 korral.
Kraad irratsionaalse astendajaga.
Irratsionaalne arvsaab esitada kujulratsionaalarvude jada piir: .
Laske . Siis on ratsionaalse astendajaga astmed. Võib tõestada, et nende võimsuste jada on koonduv. Selle jada piiriks nimetatakse aste baasi ja irratsionaalse astendajaga: .
Fikseerime positiivse arvu a ja omistame selle igale numbrile. Nii saame arvfunktsiooni f(x) = a x , mis on määratletud ratsionaalarvude hulgal Q ja millel on eelnevalt loetletud omadused. Kui a=1 funktsioon f(x) = a x on konstantne, kuna 1 x =1 mis tahes ratsionaalse x jaoks.

Joonistame funktsiooni y = 2 graafikule mitu punkti x olles eelnevalt arvutanud kalkulaatori abil väärtuse 2 x lõigul [—2; 3] sammuga 1/4 (joonis 1, a) ja seejärel sammuga 1/8 (joonis 1, b). jne, näeme, et saadud punkte saab ühendada sujuva kõveraga, mida võib loomulikult pidada mõne funktsiooni graafikuks, mis on defineeritud ja suurenev piki kogu arvjoont ning võttes väärtusiratsionaalsetes punktides(Joon. 1, c). Olles piisavalt ehitanud suur number funktsiooni graafiku punktid, saate veenduda, et sellel funktsioonil on sarnased omadused (erinevus seisneb selles, et funktsioon väheneb R).

Need tähelepanekud viitavad sellele, et numbreid 2 saab sel viisil määratledaα ja iga irratsionaalse α korral, et valemitega y=2 antud funktsioonid x ja on pidev ja funktsioon y=2 x suureneb ja funktsioonväheneb piki kogu arvjoont.

Kirjeldame üldiselt, kuidas arv a määratakse α irratsionaalse α korral a>1 korral. Tahame tagada, et funktsioon y = a x suurenes. Siis iga ratsionaalse r jaoks 1 ja r 2 nii, et r 1<αpeab rahuldama ebavõrdsust a r 1<а α <а r 1 .

R väärtuste valimine 1 ja r 2 lähenedes x-le, võib märgata, et a vastavad väärtused r 1 ja a r 2 erineb vähe. Võib tõestada, et on olemas ja ainult üks arv y, mis on suurem kui kõik a r 1 kõigi ratsionaalsete r 1 ja vähemalt a r 2 kõigi ratsionaalsete r 2 . See arv y on definitsiooni järgi a α .

Näiteks väärtuse 2 arvutamiseks kalkulaatori abil x punktides x n ja x` n, kus x n ja x` n - arvude kümnendarvudleiame, et mida lähemal on x n ja x`n k , seda vähem need 2 erinevad x n ja 2 x` n .

Sellest ajast

ning seetõttu,

Samamoodi, võttes arvesse järgmisi kümnendarvutusipuudujäägi ja ülejäägi järgi jõuame suheteni
;

;

;

;

.

Tähendus kalkulaatoris arvutatud on:
.

Arv a määratakse sarnaselt α 0 eest<α<1. Кроме того полагают 1 α =1 mis tahes α ja 0 korralα =0, kui α>0.
Eksponentfunktsioon.

Kell a > 0, a = 1, funktsioon määratletud y = a x, erineb konstantsest. Seda funktsiooni nimetatakse eksponentsiaalne funktsioon koos alusegaa.

y=a x juures a> 1:

Eksponentfunktsioonide graafikud alusega 0< a < 1 и a> 1 on näidatud joonisel.

Eksponentfunktsiooni põhiomadused y=a x kell 0< a < 1:
Funktsiooni määratluspiirkond on terve arvurida.

Funktsioonide vahemik - intervall (0; + ) .

Funktsioon suureneb rangelt monotoonselt tervel arvureal, st kui x 1 < x 2, siis a x 1 > a x 2 .

Kell x= 0 funktsiooni väärtus on 1.

Kui x> 0, siis 0< a < 1 ja kui x < 0, то a x > 1.
TO üldised omadused eksponentsiaalne funktsioon 0 juures< a < 1, так и при a > 1 sisaldab:
a x 1 a x 2 = a x 1 + x 2, kõigile x 1 Ja x 2.

a − x= ( a x) − 1 = 1 ax kellelegi x.

na x= a

Loe:

Miks unistate tormist merelainetel? Eelarvega arvelduste arvestus Kodujuustust pannil valmistatud juustukoogid - kohevate juustukookide klassikalised retseptid Juustukoogid 500 g kodujuustust Musta pärli salat ploomidega Musta pärli salat ploomidega Lecho tomatipastaga retseptid