МБОУ СОУ No1 с. Новобелокатай

Работна тема:

"Моят най-добър урок"

Учител по математика:

Мухаметова Фаузия Караматовна

Преподаван предмет: математика

2014

Тема на урока:

„Нестандартен начин за решаване на логаритмични неравенства“

клас 11( ниво на профил)

Форма на урока комбинирани

Цели на урока:

Овладяване на нов начин за решаване на логаритмични неравенства и способност за прилагане този методпри решаване на задачи С3 (17) от Единния държавен изпит 2015 г. по математика.

Цели на урока:

- Образователни:систематизират, обобщават, разширяват уменията и знанията, свързани с използването на методи за решаване на логаритмични неравенства; Способността да се прилагат знанията при решаване на задачи от USE 2015 по математика.

Развитие : развиване на умения за самообразование, самоорганизация, способност за анализиране, сравняване, обобщаване и извличане на изводи; Развитие на логическо мислене, внимание, памет, хоризонти.

Образователни: развиват независимост, способност да изслушват другите и способност за общуване в група. Повишаване на интереса към решаване на проблеми, развитие на самоконтрол и активиране на умствената дейност в процеса на изпълнение на задачите.

Методологическа основа:

Здравословна технология по системата V.F Базарни;

Технология за многостепенно обучение;

Технология на груповото обучение;

Информационни технологии (урочен съпровод с презентация),

Форми на организация образователни дейности : фронтална, групова, индивидуална, самостоятелна.

Оборудване: учениците имат оценъчни листове, карти с самостоятелна работа, презентация на урока, компютър, мултимедиен проектор.

Стъпки на урока:

1. Организиране на времето

Учител Здравейте момчета!

Радвам се да ви видя всички в клас и се надявам на ползотворна съвместна работа.

2. Мотивационен момент: написан в презентациятаИКТ технологии

Нека епиграфът на нашия урок бъде думите:

„Единственият начин да научиш е да се забавляваш...

За да смилате знанията, трябва да ги поглъщате с апетит.Анатол Франц.

Така че нека бъдем активни и внимателни, тъй като знанията ни ще бъдат полезни при полагане на Единния държавен изпит.

3. Етап на настройка и цели на урока:

Днес в клас ще учим решаване на логаритмични неравенства нестандартен метод. Тъй като за решаване на цялата опция са предвидени 235 минути, задача C3 се нуждае от около 30 минути, така че трябва да намерите опция за решение, за да отделите по-малко време. Задачите са взети от помагалата за Единния държавен изпит по математика за 2015 г.

4. Етап на актуализиране на знанията.

Технология за оценяване на образователния успех.

На бюрата си имате листове за оценка, които учениците попълват по време на урока и ги предават на учителя в края. Учителят обяснява как се попълва листът за оценка.

Успехът на задачата се отбелязва със символа:

“!” - Говоря свободно

“+” - мога да реша, понякога греша

„-“- все още трябва да работи

4. Фронтална работа

Повтаря се дефиницията на логаритмичните неравенства. Известни методи за решаване и техния алгоритъм с помощта на конкретни примери.

Учител.

Момчета, погледнете екрана, да решим устно.

1) Решете уравнението

2) Изчислете

a B C)

Въведете съответното число в таблицата, дадена в отговора под всяка буква.

Отговор:

Етап 5 Учене на нов материал

Технология на проблемното обучение

Учител

Нека да разгледаме слайда. Това неравенство трябва да бъде разрешено. Как може да се разреши това неравенство? Теория за учителя:

Метод на разлагане

Методът на разлагане се състои в замяна на сложния израз F(x) с по-прост израз G(x), в който неравенството G(x)^0 е еквивалентно на неравенството F(x)^0 в областта на дефиниране на F (х).

Има няколко израза F и съответното разлагане G, където k, g, h, p, q са изрази с променливах (h>0; h≠1; f>0, k>0), a – фиксирано число (a>0, a≠1).

Някои следствия могат да бъдат извлечени от тези изрази (като се вземе предвид домейнът на дефиницията):

0 ⬄ 0

В посочените еквивалентни преходи символът ^ замества един от знаците за неравенство: >,

На слайда има задача, която се анализира от учителя.

Нека разгледаме пример за решаване на логаритмично неравенство с помощта на два метода

1. Интервален метод

О.Д.З.

а) б)

Отговор: (;

Учител

Това неравенство може да се реши по друг начин.

2. Метод на разлагане

Отговор

Използвайки примера за решаване на това неравенство, бяхме убедени, че е по-целесъобразно да използваме метода на разлагане.

Нека разгледаме приложението на този метод върху няколко неравенства

Упражнение 1

Отговор: (-1,5; -1) U (-1; 0) U (0;3)

Задача 2

Мишенкина Татяна Ивановна
учител по математика
I квалификационна категория
MBOU „Лицей № 9 на името на AS Пушкин
ЗМР РТ"
Урок в 10 клас на тема „Логаритмични неравенства“
Цели: а) образователни: ▪ актуализиране на основни знания при решаване на логаритмични неравенства;
▪обобщаване на знания и решения;▪контрол и самоконтрол на знанията. б) развиване на: ▪ развитие на умения за прилагане на знания в конкретна ситуация;▪ развитие на умения за прилагане на теоретични умения в практически дейности;▪ развитие на способността за сравняване, обобщаване, правилно формулиране и изразяване на мисли;▪ развитие на интерес към темата чрез съдържание учебен материал.c) образователни:▪ възпитаване на умения за самоконтрол и взаимен контрол;▪ възпитаване на култура на общуване, способност за работа в екип, взаимопомощ;▪ възпитаване на качества на характера като постоянство при постигане на цел, способност да не обърквам се в проблемни ситуации.
Технологии, използвани в урока: технология на диференцирано и многостепенно обучение; технология за съвместно обучение, индивидуално-групова технология.
Оборудване: проектор, дъска, карти със задачи, листове за оценка.
Цели: - консолидиране на умения за решаване на логаритмични неравенства
- разгледайте типичните трудности, срещани при решаването на логаритмични неравенства
- да се запознаят с метода “рационализация” при решаване на логаритмични неравенства
По време на часовете
На бюрото на всеки ученик има лист за оценяване (виж Приложение № 1).
Актуализиране на знанията (0-5б)
(самочувствие) Бизнес игра
(0-5b)
(оценява се от учителя) Работа с карти
(0-4b)
(оценява се от рамен партньор) Работа с формули
(0-3b)
(самооценка) След всеки етап се попълва лист, който ще даде възможност да се оцени работата в урока и да се определят задачи за отстраняване на пропуски в знанията. За верен отговор ученикът вписва точки в листа за оценка.
I. Какви асоциации могат да се направят с понятието логаритъм. Предлагани отговори на учениците:
(логаритмични уравнения, логаритмични неравенства, логаритмични функции и др.)
Всъщност вече знаем много за логаритмите: можем да сравняваме логаритми, да решаваме най-простите логаритмични уравнения и неравенства и да изграждаме графики на логаритмична функция.
Решаването на логаритмични неравенства има много общо с решаването на експоненциални неравенства
а) когато преминаваме от логаритми към изрази под знака на логаритъм, ние също сравняваме основата на логаритъма с единица
б) ако решим логаритмично неравенство, като използваме промяна на променливи, тогава трябва да решим промяната, докато получим най-простото неравенство
Има обаче една много важна разлика: тъй като логаритмичната функция има ограничена област на дефиниране, при преминаване от логаритми към изрази под знака на логаритмите е необходимо да се вземе предвид обхватът на допустимите стойности.
II.Актуализиране на основни знания:
1) Нека си припомним свойствата на логаритмичната функция (слайд 3)
2) Нека изпълним задачите, използвайки свойствата на логаритмичната функция
Задача 1. Намерете областта на дефиниция на функцията (слайд 4)
a) y =log191x2 b) y =log2.13-x c) y =log5I7x-1I
Задача 2. Сравнете стойностите на логаритъм с нула (слайд 5)
a) log 7 b) log0,43 c) ln0,7
Задача 3. Решете неравенство: (слайд 6)
а) log0,3 x>log0,3 5 б) log2x< log28 в)log0,5x<0
С помощта на логаритми можете да сравнявате числа (слайд 7)
3) Логаритмична комедия.
Сега ще ви докажа, че 2>3.
Да започнем с неравенството 14>18, което несъмнено е вярно. След това следва трансформацията lg122>lg123, която също е извън съмнение, което означава 2>3, т.е. . Разделяме двете страни на неравенството на, имаме 2>3.
Опитайте се да разгадаете софистиката. (Математическият софизъм е съзнателно невярно заключение, което изглежда правилно).
4) Да продължим да разнищваме софизмите. Намерете грешката при решаването на следните неравенства.
Бизнес игра: учениците действат като експерти (точки се присъждат за верни отговори)
Задача 4. Намерете грешката при решаването на неравенството: (слайд 8)
1. а)log8 (5x-10)< log8(14-х),
5x-10< 14-x,
6x< 24,
х< 4.
Отговор: (-∞; 4).
Грешка: обхватът на дефиницията на неравенството не е взет предвид.
Правилното решение:
log8 (5x-10)< log8 (14-х) (слайд 9)
5x-10>0,14-x>0,5x-10<14-x; x>2.x<14,x<4; 22.log3x+2+log3x≤1log3x+2x≤log33 (слайд 10)
xx+2>0,xx+2≤3 xx+2>0x2+ 2x-3≤0 x<-2,х>0;-3≤х≤1 -3≤x<-20Правилно решение log3x+2+log3x≤1 log3x+2x≤log33 x+2 >0,x>0,xx+2≤3 x >-2,x>0,-3≤x≤1 0<х≤1.
Отговор: (0:1.3.log0.5 (3x+1)< log0,5(2-х) (слайд11)
3x+1>0,2-x>0,3x+1<2-x; x>-13.x<2,x<14; -13На какво трябва да обърнем специално внимание при решаване на логаритмични неравенства? Как смятате?
ВНИМАНИЕ! (слайд 12)
1. ОДЗ на изходното неравенство. 2. Основата на логаритъма.
В края на работата учениците попълват лист за оценка.
III. Работа с карти (вижте Приложение 2)
Решете неравенството в тетрадката си, запишете отговора в таблицата (колона 2), запишете формулата, с която е решено неравенството (колона 3).
Решете неравенство отговор Какви формули са използвани
1.lg(x-2) + lg(27 – x)< 2
2.log3 (x+2)(x+4) + log1/3 (x+2)< 0,5 log√3 7
3.log4 x2< log2 (4 – x) + log2 (3 - x)
х+3
4.logx ------> 1
x-1 Проверете с партньор на рамото, след това напишете правилните отговори на дъската, обсъдете формулите
loga(xy) = logaIxI + logaIyIloga(x/y) = logaIxI - logaIyIlogax2 = 2logaIxI

IV. При решаване на неравенство № 4 възниква въпросът: как да се реши? Имайки предвид свойствата на логаритмичната функция, трябва да разгледаме 2 случая:
1) логаритъм с основа 0< а < 1 2) основание логарифма а> 1.
Има метод, който улеснява решаването на неравенството. Нека го наречем метод на „рационализация“.
Основава се на следния факт: знакът на разликата loga f(x) – loga g(x) съвпада със знака на произведението (a – 1)(f (x) –g(x)) на ODZ , т.е.
log f(x) > log g(x)<=>f(x) >0,g(x)>0, (a – 1)(f (x) –g(x))>0.
(това твърдение е лесно за доказване, опитайте го сами).
Решете неравенство № 5 по този метод
№5.log1/4(3x+8)
Нека сега разгледаме неравенството logh(x) f(x)> logh(x) g(x)>0, a> 0,a ≠1 и да намерим съответните условия за еквивалентност. ODZ на това неравенство: f (x) > 0, g(x)>0, имаме (h(x) – 1)(f(x) - g(x)) > 0
Следва неравенство № 4 (от картата) - учениците решават самостоятелно, ръководителите на групи оценяват.
номер 6. (log(3x2-3x+7) – log(6+x-x2))/(10x-7)(10x-3) ≥ 0
(задачата се анализира на дъската от учителя)
Така че, когато решавате логаритмични неравенства, можете да използвате еквивалентни преходи към обхвата на допустимите стойности на променливите.
V. Уъркшоп за решаване на неравенства (предлага се задача за работа в групи с дискусия, проверка на дъската)
№7.(log0.5(x+1))/(x-4)<0
№8.(log2(x-3))/(x2-25)>0
№9.log2x(x2-5x+6)<1
№10.log3x+5(9x2+8x+8)>2
№11.logx-3(2(x2-10x+24))≥logx-3(x2-9)
VI. Домашна работа: изберете и решете 5 неравенства, за да приложите новия метод
VII. Отражение.
- какво ново научихте в урока?
- къде ще го използваме?
- какви трудности изпитахте?
VIII. Обобщаване на урока. Изчислете точки, изпратете листове за оценка.

Папката съдържа помощни бележки към урока, лист за самоконтрол, технологична карта на урока, самоанализ на урока и презентация към урока. Урокът беше показан на регионален семинар за учители по математика и получи висока оценка.

„1. Основно обобщение - Видове неравенства и техните решения"

Допълнителна бележка № 1„Видове неравенства и техните решения“

Тип неравенство	Решение
Линеен
Квадратичен	Графичен метод: 1. Намерете корените на уравнението 2. Изграждаме модел на парабола на координатната линия ( a 0, разклонява се нагоре; А 3. Запишете интервалите в отговора.
Рационално f(x) 0, f(x) където f(x) е рационален израз. Специални случаи: (в знаменателя има пунктирани точки) (n – четно, знаците не се променят)	Интервален метод: 1) Настояще лява странанеравенства под формата на функция y = f(x). 2) Намерете областта на дефиниция на функцията (за която тази функция има смисъл). 3) Намерете корените на функцията (нули на функцията). 4) Определете интервалите на постоянство на знака. 5) Определете знака на функцията на всеки интервал. 6) Запишете стойностите на x, за които неравенството е вярно.
1) 2)
Ирационално с четна степен
Ирационален с нечетна степен
Показателно
Логаритмичен
Тригонометричен:	При решаване използвайте тригонометрична окръжност или графика на съответната функция
С модул: 1) |x | а 2) |x |a	1) -а 2)

Вижте съдържанието на документа
„4. Основна бележка - Логаритми »

Допълнителна бележка № 4

определение:

Логаритъм положително число bкъм основа, която е положителна и не е равна на единица Ае степента, до която трябва да се повдигне дадено число А, Придобивам b.

ОТНОСНО

Основни логаритмични идентичности:

Логаритмична функция:, Където

Вижте съдържанието на документа
"Маршрутизиране"

Маршрутизиранеурок

Дидактически цели на етапите на урока

Технологично проучване

Вижте съдържанието на документа
„2. Основно обобщение - еквивалентни трансформации"

определение:две неравенства с една променлива се наричат ​​еквивалентни, ако техните решения съвпадат.

Еквивалентни реализации:

положителенза всички X от ОДЗ на неравенството, при запазване на знака на неравенството, получаваме неравенството f (x)h (x) g (x)h (x), еквивалентно на даденото;

ако двете страни на неравенството f (x) g (x) се умножат по израза h (x), отрицателенза всички X от ОДЗ на неравенството, променяйки знака на неравенството на противоположен, получаваме неравенството f (x)h (x) g (x)h (x), еквивалентно на даденото;

ако двете страни на неравенството f (x) g (x) са повдигнати на една и съща нечетна степен

ако двете страни на неравенството f (x) g (x) неотрицателнина HSE, след това след изграждането на двете части в едно и също дори степен n, запазвайки знака за неравенство, получаваме неравенството f n (x) g n (x), еквивалентно на даденото;

експоненциалното неравенство a f (x) a g (x) е еквивалентно на неравенството:

• f (x) g (x) ако a 1;

  f(x) g(x), ако 0 a

логаритмично неравенство log a f (x) log a g (x), където f (x) 0 и g (x) 0, е еквивалентно на неравенството:

• f (x) g (x) ако a 1;

  f(x) g(x), ако 0 a

Набор от неравенства

Съвкупен разтвор: съюзрешения на всички неравенства заедно.

Система от неравенства

Системно решение: кръстовищерешения на всички неравенства в системата.

Вижте съдържанието на документа
„3. Основно резюме - Методи за решаване на неравенства"

Допълнителна бележка № 3

"Методи за решаване на неравенства"

Намаляване на неравенството до еквивалентна система или набор от системи

Неравенства, съдържащи Неравенства, съдържащи

ирационални изрази изрази с модул

Неравенства, съдържащи експоненциални изрази (потенциране)

Неравенства, включващи логаритмични изрази (логаритми)

Метод за разделяне на неравенства

Метод на замяна

Обобщен интервален метод

Ще разгледаме неравенства от вида f (x) 0, където f (x) е логаритмично, експоненциално, ирационално или тригонометрична функция.

Нашите действия ще бъдат както следва:

1) Намерете областта на дефиницията f (x)

2) Намерете нулите f(x)

3) Определяме знаците на ODZ (който е разделен на интервали от нулите на функцията), като заместваме удобни стойности, принадлежащи към всеки интервал.

4) Записваме отговора, като посочваме обединението на интервали (от ODZ), на които f (x) има съответния знак.

Вижте съдържанието на документа
"Лист за самоконтрол"

Лист за самоконтрол

F.I. _______________________________________

Самоанализ на урока

Какво е мястото на този урок в темата? Как този урок е свързан с предишния?

Подготовка за Единен държавен изпит – дистанционно обучение – тема „Неравенство“.

Кратка психолого-педагогическа характеристика на групата (брой присъстващи ученици, брой "слаби" и "силни" ученици, активност на учениците в урока, организация и подготовка за урока)

Силен – 2 (Юлия, Алена). Средно – 4 (Сергей, Сергей, Елдар, Кирил). Слаб – 2 (Андрей, Катя)

Оценете успеха в постигането на целите на урока, обосновете показателите за реалността на урока.

Повторете теорията -

Приложете теорията на практика –

Припомням си различни методирешения на неравенства –

Запознайте се с друг метод - рационализация -

Главна сцена– научете как да съставите план за решаване на неравенства, да изберете рационални методи за решение.

Беше ли рационално разпределено времето, отделено за всички етапи на урока? Логични ли са „връзките“ между етапите? Покажете как другите етапи са работили към основния етап.

6. Избор дидактически материали, ОПС, визуални средства, раздаване в съответствие с целите на урока.

7. Как се организира контролът върху усвояването на знанията, уменията и способностите на учениците?

8. Психологическа атмосфера в час

9. Как оценявате резултатите от урока? Успяхте ли да постигнете всички цели на урока? Ако не успя, тогава защо?

10. Очертайте перспективите за вашата дейност.

Вижте съдържанието на презентацията
"Презентация на урока"

Тайната на успеха е в детайлите

Успешно преминаване на GIA

• висококачествено теоретично обучение
• висококачествено практическо обучение (притежаване на методи за рационално решение)
• самоконтрол, саморегулация
• точно разпределение на времето за изпълнение на дадена задача
• правилно оформяне на изпитната работа
• емоционално настроение

Единен държавен изпит 2015 (профил)

Среден резултат в Русия – 49, 6

Среден резултат Пермска област – 47

Средна оценка за района на Перм –

Подготовка за Единния държавен изпит 2016 г

Среден резултат от учебната работа за 11 клас – 50, 52, 58

Предмет: „Решаване на логаритмични неравенства“

Цели:

• повторете теоретичния материал;
• изпълни практическа работа, припомнят си методи за решаване на логаритмични неравенства;
• научете се да намирате рационални решения;
• изграждат алгоритъм за решаване на неравенство;
• разпределете време за завършване на работата;
• правилно оформете работата;
• развийте волева саморегулация (способността да се мобилизирате за решаване на проблем).

Решаване на неравенства

Основни видове неравенства и методи за решаването им

Еквивалентни преобразувания на неравенства

Методи за решаване на неравенства

Определение и свойства на логаритъма

Логаритмична функция, нейните свойства и графика

Задачи за преговор

№ 1

Преобразувайте изрази, като използвате свойствата на логаритмите

Задачи за преговор

№ 2

Изразете числото като логаритъм с основа 2

№ 3

Изчисли:

Задачи за преговор

№ 4

Разберете на какви стойности хима логаритъм

1 функция __________, знак за неравенство _______ при 0 монотонност на логаритмичната функция нараства без промяна намалява с промяна" width="640"

Решаване на прости логаритмични неравенства

При решаване на прости логаритмични неравенства

трябва да се има предвид ___________________________

• за 1 функция __________, знак за неравенство _______
• на 0

монотонност на логаритмична функция

се увеличава

ние не се променяме

намалява

промяна

Решете неравенства

Работа в групи:направете план за решаване на неравенството

Метод на заместване

Решете сами неравенства

Свойства на логаритмичната функция

Интервален метод

Свойства на логаритъма

Преход към еквивалентна система

Преглед

Преглед

Преглед

Преглед

Преглед

0 интервален метод разделяне на неравенство друг метод интервален метод разделяне на неравенство друг метод към основата 5 в лявата страна разлика на квадратите друг метод – интервален метод разделяне на неравенство друг метод – метод на рационализация Метод на рационализация Теорема: изрази log a b и (b – 1)( a – 1) имат еднакви знаци на ODZ на логаритъма "width="640"

Майсторски клас

План за решение:

План за решение:

• към основа 5
• наляво
• разлика на квадратите
• произведение на сбора и разликата на два логаритма
• произведение на два логаритма 0 интервал метод разделяне неравенство друг начин
• интервален метод
• разделящо неравенство
• друг начин

• към основа 5
• наляво
• разлика на квадратите
• произведение на сбора и разликата на два логаритма
• произведение на два логаритма 0 интервал метод разделяне неравенство друг начин -
• интервален метод
• разделящо неравенство
• друг начин -

метод на рационализация

• метод на рационализация

Теорема : изрази дневник А b И ( b – 1)(а – 1 )

Теорема : изрази дневник А b И ( b – 1)(а – 1 ) имат еднакви знаци върху логаритъма ODZ

Доказателство

Теорема : изрази дневник А b И ( b – 1)(а – 1 ) имат еднакви знаци върху логаритъма ODZ

Заключение:при решаване на неравенството, което можем да заместим

като се вземе предвид ОДЗлогаритъм ако

• от дясната страна е нула;
• от лявата страна е логаритъм или произведение (частно) с логаритъм.

Решете неравенства по нов рационален начин :

План за решение:

• заменете логаритъма с (a -1) (b-1)
• запишете отговора, като вземете предвид ODZ.

План за решение:

• заменете логаритмите с (a -1) (b-1)
• решаване на неравенство чрез интервален метод
• запишете отговора, като вземете предвид ODZ.

Упражнение

Марк (+)

Теоретична основа

Основно резюме № 1 „Видове неравенства и техните решения“

Основна бележка № 2 „Еквивалентност на неравенства“

Допълнителна бележка № 3

"Методи за решаване на неравенства"

Допълнителна бележка № 4

„Концепцията за логаритъм. Логаритмична функция"

Повторение

• Преобразуване на изрази с помощта на свойствата на логаритмите.

• Представяне на число като логаритъм с дадена основа.

• Изчисляване на логаритми.

• Зона на допустимите логаритмични стойности (APV).

Уъркшоп за решаване на неравенства

Неравенство #1

Неравенство №2

Неравенство №3

Неравенство No4

Неравенство №5

Първична консолидация на метода на рационализация

Неравенство #1

Неравенство №2

РЕЗУЛТАТИ: (пребройте числото +)

"3" 25-49

"4" 50-75

"5" 76-90

Домашна работа

Какви цели на урока бяха постигнати? ?

В следващите уроци ще продължим да се запознаваме с рационални методи за решаване на неравенства

Упражнение	Марк (+)
Теоретична основа
Основна бележка № 2 „Еквивалентност на неравенства“
Допълнителна бележка № 3 "Методи за решаване на неравенства"
Допълнителна бележка № 4 „Концепцията за логаритъм. Логаритмична функция"
Повторение
Изчисляване на логаритми.
Неравенство #1
Неравенство №2
Неравенство №3
Неравенство No4
Неравенство №5

В този урок ще изучаваме следната тема: „Логаритмични неравенства“. За да научите как правилно да решавате най-простите логаритмични неравенства, е необходимо да прегледате основните свойства на логаритмичните функции. В този урок заедно с учителя ще разгледаме няколко примера по тази тема и ще се научим как да ги решаваме правилно, прилагайки придобитите преди това знания.

Тема: Интервален метод

Урок:Логаритмични неравенства

Ключът към решаването на логаритмични неравенства са свойствата на логаритмичната функция, тоест функции на формата ( ). Тук t е независима променлива, a е конкретно число, y е зависима променлива, функция.

Нека си припомним основните свойства на логаритмичната функция.

Ориз. 1. Графика на логаритмична функция с различни основи

1. Обхват на определение: ;

2. Диапазон от стойности: ;

3. Функцията е монотонна в цялата си област на дефиниране. Когато нараства монотонно (когато аргументът нараства от нула до плюс безкрайност, функцията нараства от минус до плюс безкрайност, ). Когато намалява монотонно (когато аргументът нараства от нула до плюс безкрайност, функцията намалява от плюс до минус безкрайност, ).

Именно монотонността на логаритмичната функция ни позволява да решаваме най-простите логаритмични неравенства.

Неравенствата трябва да се решават с помощта на еквивалентни, еквивалентни трансформации. Да погледнем диаграмата. Тъй като разглеждаме логаритмична функция с основа, по-голяма от единица, не забравяйте, че функцията е монотонно нарастваща. Оттук:

Например:

Ориз. 2. Илюстрация на примерното решение

Нека разгледаме решаването на логаритмично неравенство, когато основата на логаритъма е .

Тъй като разглеждаме логаритмична функция с основа, варираща от нула до едно, не забравяйте, че функцията е монотонно намаляваща. Оттук:

В този случай е необходимо да не забравяме за ODZ, тъй като под логаритъма могат да се появят строго положителни изрази. ODZ се представя от системата:

Решението на първоначалното неравенство е еквивалентното неравенство, така че за спазване на ODZ е достатъчно да се защити по-малкото от числата. Получаваме система от неравенства, която съответства на първоначалното неравенство:

Например:

Ориз. 3. Илюстрация на примерното решение

Отговор: няма решения

Нека обобщим. Разглеждаме най-простите логаритмични неравенства, т.е. неравенства от формата:

Всички други по-сложни логаритмични неравенства се свеждат до най-простите.

Метод на решение:

1. Изравняване на основите на логаритми;

2. Сравнете сублогаритмични изрази:

При промяна на знака за неравенство на противоположния;

3. Вземете предвид DL;

Пример 1 - решаване на неравенство:

Нека изравним основите на логаритмите. За да направите това, представете си числото от дясната страна като логаритъм с необходимата основа:

И така, имаме неравенството:

Ориз. 4. Илюстрация на решението на Пример 1

Пример 2 - решаване на неравенство:

Нека изравним основите:

Имаме неравенство:

Основата на логаритъма е по-малка от единица, имаме еквивалентна система:

Имаме система от две прости логаритмични неравенства. Нека изравним основите във всяка от тях.