По време на съществуването на Академията на науките в Русия, очевидно един от най-известните й членове е математикът Леонард Ойлер (1707-1783).

Той е първият, който в своите трудове започва да изгражда последователна сграда на анализа на безкрайно малкото. Едва след изследванията му, изложени в грандиозните томове на неговата трилогия „Въведение в анализа“, „Диференциално смятане“ и „Интегрално смятане“, анализът се превърна в напълно оформена наука - една от най-дълбоките научен напредък човечеството.

Леонард Ойлер е роден в Базел, Швейцария на 15 април 1707 г. Баща му Пол Ойлер е бил пастор в Рихен (близо до Базел) и е имал известни познания по математика. Бащата е предназначил сина си за духовна кариера, но самият той, интересувайки се от математиката, я е преподавал на сина си, надявайки се, че тя ще му бъде полезна по-късно като интересен и полезен урок. След завършване на домашното обучение, тринадесетгодишният Леонард е изпратен от баща си в Базел да учи философия.

Наред с други предмети в този факултет бяха изучавани елементарна математика и астрономия, преподавани от Йохан Бернули. Скоро Бернули забеляза таланта на младия слушател и започна да учи заедно с него.

След като получава магистърска степен през 1723 г., след като изнася реч на латински за философията на Декарт и Нютон, Леонард, по молба на баща си, започва да изучава ориенталски езици и теология. Но все повече го привличаше математиката. Ойлер започва да посещава дома на учителя си, а между него и синовете на Йохан Бернули, Николай
Даниел - възникнало приятелство, което изигра много важна роля в живота на Ойлер.

През 1725 г. братята Бернули бяха поканени да станат членове на Академията на науките в Санкт Петербург, наскоро основана от императрица Екатерина I. Напускайки, Бернули обеща Леонард да го уведоми, ако има подходяща окупация за него в Русия. На следващата година те съобщиха, че има място за Ойлер, но обаче като физиолог в медицинския отдел на академията. Научавайки за това, Леонард веднага се записва като студент по медицина в университета в Базел. Учете усърдно и успешно
Медицинският факултет на Ойлер също намери време за математически изследвания. През това време той написва дисертация за разпространението на звука и изследване за поставянето на мачти на кораб, публикувано по-късно, през 1727 г., в Базел.

Петербург имаше най-много благоприятни условия за процъфтяването на гения на Ойлер: материална сигурност, способността да правиш това, което обичаш, наличието на годишно списание за публикуване на произведения. Най-голямата в света група специалисти в областта на математическите науки, която включваше Даниел Бернули (брат му Николай почина през 1726 г.), универсалният Х. Голдбах, с когото Ойлер беше свързан с общи интереси в теорията на числата и други въпроси, авторът на произведения от тригонометрия F.Kh. Майер, астроном и географ Дж. Деслил, математик и физик Г. В. Крафт и други. Оттогава Санкт Петербургската академия се превърна в един от основните центрове по математика в света.

Откритията на Ойлер, които благодарение на оживената му кореспонденция често стават известни много преди публикуването, правят името му все по-широко известно. Положението му в Академията на науките се подобрява: през 1727 г. той започва работа като адюнкт, тоест младши академик, а през 1731 г. става професор по физика, тоест пълноправен член на Академията. През 1733 г. той получава катедрата по висша математика, която е заета от Д. Бернули, който се завръща в Базел същата година. Разрастването на авторитета на Ойлер намира своеобразно отражение в писмата на неговия учител Йохан Бернули към него. През 1728 г. Бернули се обръща към „най-учения и надарен млад съпруг Леонард Ойлер“, през 1737 г. - към „най-известния и най-остроумният математик“, а през 1745 г. - към „несравнимия Леонард Ойлер - главата на математиците“.

През 1735 г. академията трябваше да изпълни много тежка работа чрез изчисляване на траекторията на кометата. Според академиците това изисквало няколко месеца труд. Ойлер се задължава да направи това за три дни и завършва работата, но в резултат на това се разболява от нервна треска с възпаление на дясното око, което губи. Малко след това, през 1736 г., се появяват два тома от неговата аналитична механика. Търсенето на тази книга беше голямо; бяха написани доста статии по различни въпроси на механиката, но нямаше добър трактат по механика.

През 1738 г. се появяват две части на въведение в аритметиката немски, през 1739 г. - нова теория за музиката. След това, през 1840 г., Ойлер пише есе за приливите и отливите на моретата, увенчано с една трета от наградата на Френската академия; останалите две трети бяха присъдени на Даниел Бернули и Макларин за композиции на същата тема.

В края на 1740 г. властта в Русия попада в ръцете на регентката Анна Леополдовна и нейното обкръжение. В столицата се разви тревожна ситуация. По това време пруският крал Фридрих II планира да възроди Обществото на науките в Берлин, основано от Лайбниц, което е било неактивно в продължение на много години. Чрез своя посланик в Санкт Петербург кралят покани Ойлер в Берлин. Ойлер, вярвайки, че „ситуацията започна да изглежда по-скоро
несигурен ”, прие поканата.

В Берлин Ойлер първо събра около себе си малко научно общество, а след това беше поканен в нововъзстановената Кралска академия на науките и беше назначен за декан на математическия отдел. През 1743 г. той публикува пет от своите мемоари, четири от които по математика. Едно от тези произведения е забележително в две отношения. Посочва начин за интегриране на рационални дроби чрез разширяването им в
частични фракции и в допълнение е представен сега обичайният начин за интегриране на линейни обикновени уравнения от по-висок ред с постоянни коефициенти.

Като цяло повечето трудове на Ойлер са посветени на анализ. Ойлер толкова опрости и допълни цели големи раздели на анализа на безкрайно малкото, интегрирането на функции, теорията на редовете и диференциалните уравнения, които вече бяха започнали преди него, че те придобиха приблизително формата, която той заемаше до голяма степен и е запазени и до днес. Ойлер също започна изцяло нова глава в анализа - вариационното смятане. Скоро това начинание е взето от Лагранж и така се формира нова наука.

През 1744 г. Ойлер публикува в Берлин три произведения за движението на светилата: първо, теорията за движението на планетите и кометите, която съдържа описание на метод за определяне на орбити от няколко наблюдения; втората и третата са за движението на комети.

Ойлер посвещава седемдесет и пет произведения на геометрията. Някои от тях, макар и любопитни, не са особено важни. Някои просто измислиха ера. Първо, Ойлер трябва да се счита за един от пионерите в изследванията на геометрията в космоса като цяло. Той беше първият, който представи последователно представяне на аналитичната геометрия в пространството (във „Въведение в анализа“) и по-специално въведе така наречените ъглови ъгли, които дават възможност за изучаване на въртенията
тела около точка.

В своя доклад от 1752 г. „Доказателство за някои забележителни свойства на тела, ограничени от плоски лица“, Ойлер открива връзката между броя на върховете, ръбовете и лицата на многоъгълник: сумата от броя на върховете и лицата е равна на брой ръбове плюс два. Подобна връзка беше приета от Декарт, но Ойлер го доказа в своите мемоари.Това в известен смисъл е първата голяма теорема на топологията в историята на математиката - най-дълбоката част от геометрията.

Занимавайки се с проблемите на пречупването на светлинните лъчи и написвайки много спомени по този въпрос, Ойлер публикува есе през 1762 г., в което предлага изграждането на сложни лещи с цел намаляване на хроматичната аберация. Английският художник Долдонд, който открива две различни пречупващи качества на стъклото, следвайки инструкциите на Ойлер, изгражда първите ахроматични лещи.

През 1765 г. Ойлер пише есе, където решава диференциалните уравнения на въртенето твърдо, които се наричат \u200b\u200bуравнения на Ойлер на въртене на твърдо тяло.

Ученият пише много за огъването и вибрациите на еластичните пръти. Тези въпроси са интересни не само математически, но и практически.

Фридрих Велики дава на учения инструкции от чисто инженерен характер. И така, през 1749 г. той му инструктира да инспектира канала Фуно между Хавел и Одер и да даде препоръки за коригиране на недостатъците на този воден път. Освен това, той е инструктиран да оправи водоснабдяването в Сансуси.

Това доведе до повече от двадесет спомена за хидравликата, написани от Ойлер през различно време... Хидродинамичните уравнения от първи ред с частични производни на проекциите на скорост, плътност към налягане се наричат \u200b\u200bхидродинамични уравнения на Ойлер.

След като напуска Санкт Петербург, Ойлер запазва най-тесните връзки с Руската академия на науките, включително официалната: той е назначен за почетен член и му е назначена голяма годишна пенсия и той от своя страна поема задължения за по-нататъшни сътрудничество. Той купува книги, физически и астрономически инструменти за нашата Академия, подбира служители в други страни, докладва подробни характеристики на възможните кандидати, редактира математическия отдел на академичните бележки, действа като арбитър в научните изследвания
спорове между учени от Санкт Петербург, изпратени теми за научни състезания, както и информация за нови научни открития и т.н. Студенти от Русия живееха в къщата на Ойлер в Берлин: М. Софронов, С. Котелников, С. Румовски, последният стана академик.

От Берлин, по-специално, Ойлер води кореспонденция с Ломоносов, в чиято работа той високо оценява щастливата комбинация от теория и експеримент. През 1747 г. той направи брилянтен преглед на пратките на Ломоносов по физика и химия, изпратени му за заключение, което силно разочарова влиятелния академичен чиновник Шумахер, който беше изключително враждебен към Ломоносов.

В кореспонденцията на Ойлер с неговия приятел, академик от Академията на науките в Санкт Петербург Голдбах, откриваме два известни "проблема на Голдбах": да докажем, че всяко нечетно естествено число е сумата от три прости числа, и всеки четен - два. Първото от тези твърдения е доказано в наше време (1937 г.) от академик И. М. Виноградов с много забележителен метод, а второто все още не е доказано.

Ойлер е привлечен обратно в Русия. През 1766 г. чрез посланика в Берлин княз Долгоруков той получава покана от императрица Екатерина II да се върне в Академията на науките при всякакви условия. Въпреки убеждението да остане, той прие поканата и пристигна в Санкт Петербург през юни.

Императрицата осигурила средства за Ойлер да купи къща. Най-големият от синовете му, Йохан Албрехт, става академик в областта на физиката, Карл заема висока длъжност в медицинския отдел, Кристофър, който е роден в Берлин, Фридрих II не го пуска дълго време. военна служба, и беше необходима намесата на Катрин II, за да може той да дойде при баща й. Кристофър е назначен за директор на оръжейната армия в Сестрорецк
фабрика.

Още през 1738 г. Ойлер ослепява с едното око, а през 1771 г. след операцията почти напълно губи зрението си и може да пише само с тебешир на черна дъска, но благодарение на своите ученици и асистенти. I. A. Euler, A. I. Loksel, V. L. Крафт, С.К. Котелников, М.Е. Головин и най-важното Н. И. Фус, който пристигна от Базел, продължи да работи не по-малко интензивно от преди.

Ойлер със своите гениални способности и забележителна памет продължава да работи, диктувайки новите си мемоари. Само от 1769 до 1783 г. Ойлер диктува около 380 статии и есета, а в живота си пише около 900 научни трудове.

Работата на Ойлер „За ортогоналните траектории“ от 1769 г. съдържа брилянтни идеи за получаване, използвайки функция на сложна променлива, от уравнения две взаимно ортогонални семейства криви на повърхността (тоест линии като меридиани и паралели на сфера) безкрайно число на други взаимно ортогонални семейства. Тази работа в историята на математиката се оказа много важна.

В следващата работа от 1771 г. „За тела, чиято повърхност може да се превърне в равнина“, Ойлер доказва известната теорема, че всяка повърхност, която може да бъде получена само чрез огъване на равнина, но не и разтягане или компресиране, ако тя не е конична и цилиндрична, е набор от допирателни към някаква пространствена крива.

Също толкова забележителна е работата на Ойлер по картографиране.

Човек може да си представи какво откровение за математиците от онази епоха е била дори работата на Ойлер върху кривината на повърхностите и върху развиващите се повърхности. Документите, в които Ойлер изследва повърхностни картографирания, които запазват сходство в малките (конформни картографирания), базирани на теорията за функциите на сложна променлива,
трябваше да изглежда направо трансцендентално. И работата по многогранниците започна изцяло нова част от геометрията и по отношение на нейните принципи и дълбочина стоеше редом с откритията на Евклид.

Неуморимостта и упоритостта на Ойлер в научните изследвания бяха такива, че през 1773 г., когато къщата му изгоря и почти цялото имущество на семейството му загина, той продължи да диктува своите изследвания дори след това нещастие. Малко след пожара, опитен окулист, барон Венцел, направи операция на катаракта, но Ойлер не издържа на подходящото време, без да прочете и ослепя напълно.

През същата 1773 г. умира съпругата на Ойлер, с която той живее четиридесет години. Три години по-късно той се оженил за сестра й Саломе Гзел. Завидното му здраве и щастлив характер помогнали на Ойлер „да устои на ударите на съдбата, попаднали на неговата участ. Винаги равномерно настроение, мека и естествена жизнерадост, някаква добродушна подигравка, способността да разказва наивно и забавно направи разговора с него така
колкото приятно, толкова и желано ... "Понякога можеше да пламне, но" не беше
в състояние да таи злоба срещу някого за дълго време .. "- припомни Н. И. Фъс.

Ойлер е бил постоянно заобиколен от многобройни внуци, често дете е седяло в ръцете му, а котка лежи на врата му. Самият той е учил математика с деца. И всичко това не му попречи да работи.

На 18 септември 1783 г. Ойлер умира от апоплектичен инсулт в присъствието на своите асистенти професори Крафт и Лексел. Погребан е в смоленското лутеранско гробище.Академията възлага на известния скулптор Дж. Рачет, която познаваше добре Ойлер, получи мраморен бюст на починалия, а принцеса Дашкова представи мраморен пиедестал.

До края на 18 век И.А. Ойлер, който е заменен от Н.И. Фъс, който се оженил за дъщерята на последния, а през 1826 г. - за сина на Фус, Павел Николаевич, така че организационната страна на живота на Академията отговаряла за потомците на Леонард Ойлер за около сто години. Традициите на Ойлер оказаха силно влияние и върху учениците
Чебишев: А.М. Ляпунов, А.Н. Коркина, Е.И. Золотарева, А.А. Марков и други, определящи основните характеристики на Петербургската математическа школа.

Няма учен, чието име да се споменава в учебната математическа литература толкова често, колкото името на Ойлер. Дори в гимназията логаритмите и тригонометрията все още се изучават до голяма степен „според Ойлер“.

Ойлер намери доказателства за всички теореми на Ферма, показа, че една от тях е неправилна, и доказа известната последна теорема на Ферма за „три“ и „четири“. Той също така доказа, че всяко просто число от формата 4n + 1 винаги се разлага в сумата на квадратите на другите две числа.

Ойлер започва последователно да изгражда елементарна теория на числата. Започвайки с теорията за мощните остатъци, той след това се насочва към квадратни остатъци. Това е така нареченият квадратичен закон за реципрочност. Ойлер също прекарва много години в решаване на неопределени уравнения от втора степен в две неизвестни.

Във всички тези три основни въпроса, които повече от два века след Ойлер и съставляват по-голямата част от елементарната теория на числата, ученият стигна много далеч, но и при трите не успя. Гаус и Лагранж получиха пълно доказателство.

Ойлер инициира създаването на втората част от теорията на числата - аналитична теория на числата, в която най-дълбоките тайни на цели числа, например разпределението на прости числа в редицата от всички естествени числа, се получават от разглеждането на свойствата на определени аналитични функции.

Аналитичната теория на числата на Ойлер продължава да се развива и днес.

Велика съветска енциклопедия: Ойлер Леонард, математик, механик и физик. Род. в семейството на беден пастор Пол Ойлер. Образование първо от баща си (който в младостта си учи математика под наблюдението на J. Bernoulli), а през 1720-24 г. в университета в Базел, където посещава лекции по математика от I. Bernoulli.
В края. 1726 г. Е. е поканен в Академията на науките в Санкт Петербург и през май 1727 г. пристига в Санкт Петербург. В новоорганизираната академия Е. намира благоприятни условия за научна дейност, което му позволява незабавно да започне да учи математика и механика. През 14-те години от първия петербургски период от живота си Е. подготвя за публикация около 80 творби и публикува над 50. В Петербург учи руски език.
Д. участва в много области на Академията на науките в Санкт Петербург. Той изнася лекции пред студенти от академичния университет, участва в различни технически изпити, работи по съставянето на карти на Русия, пише публично достъпното „Ръководство за аритметика“ (немско издание 1738-40, руски превод на части 1-2, 1740) . По специални указания от академията Е. подготвя за публикация „Морска наука“ (части 1-2, 1749), фундаментална работа по теория на корабостроенето и корабоплаването.
През 1741 г. Е. приема предложението на пруския крал Фридрих II да се премести в Берлин, където Академията на науките трябва да бъде реорганизирана. В Берлинската академия на науките Е. зае поста директор на класа по математика и член на борда, а след смъртта на първия й президент П.Л. Мопертуи в продължение на няколко години (от 1759 г.) всъщност оглавява академията. За 25 години от живота си в Берлин той подготвя около 300 творби, сред които редица големи монографии.
Живеейки в Берлин, Е. не спира да работи усилено за Петербургската академия на науките, запазвайки титлата на своя почетен член. Води обширна научна и научно-организационна кореспонденция, по-специално кореспондира с М.В. Ломоносов, когото той високо оцени. Е. редактира математическия отдел на руския академичен научен орган, където през това време публикува почти толкова статии, колкото в „Спомените“ на Берлинската академия на науките. Участва активно в обучението на руски математици; бъдещите академици С. К. са изпратени в Берлин да учат под негово ръководство. Котелников, С. Я. Румовски и М. Софронов. Д. оказва голямо съдействие на Академията на науките в Санкт Петербург, придобивайки за нея научна литература и оборудване, договаряне с кандидати за позиции в академията и др.
На 17 (28) юли 1766 г. Е. се завръща със семейството си в Петербург. Въпреки напредналата си възраст и почти пълна слепота, той работеше продуктивно до края на живота си. По време на 17 години от втория си престой в Санкт Петербург, той подготвя около 400 творби, включително няколко големи книги. Д. продължи да участва в организационната работа на академията. През 1776 г. той е един от експертите по проекта на едноарочен мост през Нева, предложен от И.П. Кулибин и един от цялата комисия предостави широка подкрепа на проекта.
Заслуги на Е. като изтъкнат учен и организатор научно изследване бяха високо оценени приживе. В допълнение към академиите в Санкт Петербург и Берлин, той е бил член на най-големите научни институции: Парижката академия на науките, Лондонското кралско общество и други.
Един от отличителните аспекти на творчеството на Е. е изключителната му производителност. Само приживе Е. публикува около 550 от книгите и статиите си (списъкът с произведенията на Е. съдържа около 850 заглавия). През 1909 г. Швейцарското природонаучно дружество започва да публикува пълните събрани съчинения на Е., което е завършено през 1975 г .; тя се състои от 72 тома. Голям интерес представлява колосалната научна кореспонденция на Е. (около 3000 писма), която до момента е публикувана само частично.
Обхватът на изследванията на Е. е необичайно широк, обхващащ всички отдели на съвременната математика и механика, теорията на еластичността, математическата физика, оптиката, теорията на музиката, теорията на машините, балистиката, морската наука, застраховката и т.н. Около три пети от произведенията на Е. са свързани с математиката, останалите две пети основно с нейните приложения. Неговите резултати и резултатите, получени от други, Е. систематизирани в редица класически монографии, написани с невероятна яснота и предоставени с ценни примери. Това са например „Механика или науката за движението, изложена аналитично“ (т. 1-2, 1736), „Въведение в анализа“ (т. 1-2, 1748), „Диференциално изчисление“ (1755) , "Теория на движението на твърдо тяло" (1765), "Универсална аритметика" (т. 1-2, 1768-69), издържа около 30 издания на 6 езика, "Интегрално смятане" (т. 1-3, 1768- 70, v.4, 1794) и др. През 18 век и отчасти през 19 век. огромна популярност придобиха публично достъпните „Писма за различни физически и философски въпроси, написани на определена немска принцеса ...“ (части 1-3, 1768-74), които са публикувани в над 40 издания на 10 езика. Повечето от съдържанието на монографиите на Е. по-късно влизат в учебниците за висши и отчасти средни училища. Невъзможно е да се изброят всички използвани досега теореми, методи и формули, от които само няколко се появяват в литературата под негово име [виж например метода на Ойлер за прекъснати линии, заместването на Ойлер, константата на Ойлер, уравнението на Ойлер, уравнения (в механиката на флуидите), формули на Ойлер, функция на Ойлер, число на Ойлер в математиката, число на Ойлер, формула на Ойлер-Маклаурин, формула на Ойлер-Фурие, характеристика на Ойлер, интеграли на Ойлер, ъгли на Ойлер].
В „Механика” Е. за първи път очерта динамиката на дадена точка с помощта на математически анализ. Първият том на тази работа разглежда свободното движение на точка под въздействието на различни сили както в празнота, така и в среда със съпротива; във 2-ро - движението на точка по дадена линия или по дадена повърхност; голямо значение за развитието на небесната механика имаше глава за движението на една точка под действието на центъра. сили. През 1744 г. той за първи път правилно формулира механичен принцип най-малкото действие и показа първите си приложения. В „Теория на движението на твърдо тяло” Е. развива кинематиката и динамиката на твърдо тяло и дава уравненията на въртенето му около неподвижна точка, полагайки основите на теорията на жироскопите. В своята теория за кораба Е. има ценен принос в теорията за стабилността. Значителни открития на Е. в небесната механика (например в теорията за движението на Луната), в механиката на непрекъсната среда (основните уравнения на движение на идеална течност под формата на Е. и в т.н. наречени променливи на Лагранж, газови трептения в тръбите и др.). В оптиката Е. дава (1747) формулата за двойноизпъкнала леща и предлага метод за изчисляване на показателя на пречупване на среда. Д. се придържал към вълновата теория на светлината. Той вярваше в това различни цветове съответстват на различни дължини на вълната на светлината. Д. предложи начини за премахване на хроматичната аберация на лещите и в третата част на "Диоптрика" даде методи за изчисляване на оптичните единици на микроскопа. Д. посвещава обширен цикъл от работа, започнат през 1748 г., на математическата физика: проблеми с вибрациите на струна, плоча, мембрана и др. Всички тези изследвания стимулират развитието на теорията на диференциалните уравнения, приблизителни методи за анализ, специални. функции, диференциална геометрия и др. Много от математическите открития на Е. се съдържат в тези произведения.
Основната грижа на E. като математика е развитието на математическия анализ. Той постави основите на няколко математически дисциплини, които бяха само в елементарна форма или напълно липсваха в смятането на безкрайно малък И. Нютон, Г.В. Лайбниц, Й. и И. Бернули. По този начин Е. е първият, който въвежда функции на сложен аргумент („Въведение в анализа“, том 1) и изследва свойствата на основните елементарни функции на сложна променлива (експоненциални, логаритмични и тригонометрични функции); по-специално той извежда формули, свързващи тригонометрични функции с експоненциални. Работата на Е. в тази посока поставя основите на теорията за функциите на сложна променлива.
Д. е създател на вариационното смятане, описано в работата "Методът за намиране на криви линии със свойства на максимум или минимум ..." (1744). След работата на J. Lagrange, Е. доразвива вариационното смятане в "Интегрално смятане" и редица статии. Методът, по който Е. през 1744 г. довежда необходимо условие екстремумът на функционала - уравнението на Ойлер, е прототипът на директните методи на вариационното смятане през 20 век. Е. създава теорията на обикновените диференциални уравнения като независима дисциплина и поставя основите на теорията на уравненията на частните диференциали. Тук той направи огромен брой открития: класическият начин за решаване линейни уравнения с постоянни коефициенти, метод на вариация на произволни константи, изясняване на основните свойства на уравнението на Рикати, интегриране на линейни уравнения с променливи коефициенти с използване на безкрайни редове, критерии за единични решения, теория на интегриращия фактор, различни приблизителни методи и брой техники за решаване на уравнения с частични разлики. Означава. Д. събра някои от тези резултати в своя „Интегрално смятане“.
Д. също обогатява диференциалното и интегрално смятане в тесния смисъл на думата (например доктрината за промяната на променливите, теоремата за еднородните функции, концепцията за двоен интеграл и изчисляването на много специални интеграли). В "Диференциално смятане" Е. изрази и подкрепи с примери вярата в целесъобразността от използване на дивергентни редици и предложени методи за обобщено сумиране на редове, предвиждащи идеите на съвременната строга теория на дивергентните редици, създадена в началото на 19 и 20 век. В допълнение Е. е получил много конкретни резултати в теорията на сериите. Той откри т.нар. формулата за сумиране на Ойлер - Маклаурин, предлага трансформация на редици, които носят неговото име, определя сумите на огромен брой редици и въвежда нови важни типове редици (например тригонометрични редове) в математиката. Това включва и изследвания на Е. в теорията на непрекъснатите фракции и други безкрайни процеси.
Д. е основател на теорията за специалните функции. Той е първият, който разглежда синуса и косинуса като функции, а не като сегменти в кръг. Той получи почти всички класически разширения на елементарни функции в безкрайни редици и произведения. В неговите трудове е създадена теорията за гама функцията. Той изследва свойствата на елиптични интеграли, хиперболични и цилиндрични функции, зета функция, някои тета функции, интегрален логаритъм и важни класове специални полиноми.
Според П.Л. Чебишев, Е. инициира всички разследвания, които съставляват общата част от теорията на числата, към която принадлежат повече от 100 мемоари на Е. Така че Е. доказа редица изявления, направени от П. Ферма (виж, например, малкия Ферма теорема), разработи основите на теорията на степенно-законовите остатъци и теорията на квадратните форми, откри (но не доказа) квадратичния закон на реципрочността (вж. Квадратичен остатък) и разследва редица проблеми в диофантовия анализ. В трудове за разделяне на числата на термини и по теория на прости числа, Е. първо използва методите за анализ, като по този начин става създател на аналитична теория на числата. По-специално, той въведе функцията зета и доказа т.нар. Идентичността на Е., която свързва прости числа с всички естествени числа.
Енгелс също оказа страхотни услуги в други области на математиката. В алгебрата той публикува статии за решението в радикали на уравненията по-високи градуси и за уравнения с две неизвестни, както и за т.нар. Самоличността на Е. около четири квадрата. Д. значително напреднала аналитична геометрия, особено теорията на повърхностите от втори ред. В диференциалната геометрия той изучава подробно свойствата на геодезичните линии, първо прилага естествените уравнения на кривите и най-важното, поставя основите на теорията на повърхностите. Той въведе концепцията за основните посоки в точка на повърхността, доказа тяхната ортогоналност, изведе формула за кривината на всеки нормален участък, започна да изучава развиваеми повърхности и т.н .; в един посмъртно публикуван труд (1862), той частично е предвидил изследванията на К.Ф. Гаус във вътрешната геометрия на повърхностите. Д. е бил ангажиран в отдела. въпроси на топологията и доказа, например, важна теорема за изпъкналите многоъгълници. Д. математиците често се характеризират като гениален „калкулатор“. Всъщност той беше ненадминат майстор на формалните изчисления и трансформации; в своите трудове получи много математически формули и символи модерен външен вид (например той притежава обозначението за e и p). Е. обаче бил не само изключителен „калкулатор“. Той въведе редица дълбоки идеи в науката, които сега са строго обосновани и служат като модел за дълбочината на проникване в предмета на изследване.
Според П.С. Лаплас, Е. е учител по математици през втората половина на 18 век. От неговите произведения са директно изпратени в различните изследвания на P.S. Лаплас, J.L. Лагранж, Г. Мондж, А. M. Legendre, K.F. Гаус, по-късно О. Коши, М.В. Остроградски, П. Л. Чебишев и др. Руските математици високо оцениха работата на Е., а ръководителите на чебишевската школа видяха в Е. своя идеологически предшественик в постоянното му чувство за конкретност, в интереса му към конкретни трудни проблеми, изискващи разработването на нови методи , в желанието да се получат решения на проблеми под формата на цялостни алгоритми, които ви позволяват да намерите отговора с необходимата степен на точност.

Ойлер Леонард (1707-1783), математик, физик, механик, астроном.

Роден на 15 април 1707 г. в Базел (Швейцария). Завършва местната гимназия, посещава лекции в университета в Базел I. Бернули. През 1723 г. получава магистърска степен. През 1726 г., по покана на Санкт Петербургската академия на науките, той идва в Русия и е назначен за помощник по математика.

През 1730 г. заема катедрата по физика, а през 1733 г. става академик. По време на своите 15 години в Русия, Ойлер успява да напише първия в света учебник по теоретична механика, както и курс по математическа навигация и много други трудове.

През 1741 г. той приема предложението на пруския крал Фридрих II и се премества в Берлин. Но дори по това време ученият не прекъсва връзките си с Санкт Петербург. През 1746 г. са публикувани три тома статии на Ойлер за балистиката.

През 1749 г. той публикува за първи път двутомна работа, в която се задават проблемите на навигацията в математическа форма. Многобройните открития на Ойлер в областта на математическия анализ са комбинирани по-късно в книгата „Въведение в анализа на безкрайно малки величини“ (1748).

След "Въведение" беше публикуван трактат в четири тома. Първият том, посветен на диференциалното смятане, е публикуван в Берлин (1755), а останалите, посветени на интегралното смятане, са публикувани в Петербург (1768-1770).

В последния, 4-ти том, се разглежда вариационното смятане, създадено от Ойлер и Дж. Лагранж. Едновременно с това Ойлер изследва проблема с предаването на светлина през различни среди и свързания с тях ефект на хроматизма.

През 1747 г. той предложи сложна леща.

През 1766 г. Ойлер се завръща в Русия. Работата "Елементи на алгебрата", публикувана през 1768 г., ученият е бил принуден да диктува, тъй като по това време е ослепял. В същото време три тома интегрално смятане, два тома елементи на алгебра, мемоари ("Изчисляване на кометата 1769", "Изчисляване на затъмнението на Слънцето", "Нова теория на Луната", "Навигация", и др.) бяха публикувани.

През 1775 г. Парижката академия на науките, заобикаляйки устава и със съгласието на френското правителство, определя Ойлер за деветия си (трябва да има само осем) „асоцииран член“.

Ойлер притежава повече от 865 проучвания по най-разнообразните и трудни въпроси. Той оказа голямо и ползотворно влияние върху развитието на математическото образование в Русия през 18 век. Петербургската математическа школа, включваща академици С. К. Котелников, С. Я. Румовски, Н. И. Фус, М. Е. Головин и други учени, под ръководството на Ойлер извърши огромна образователна работа, създаде обширна и забележителна за времето си образователна литература, извърши редица интересни проучвания.

Именно Ойлер директно доказа експоненциалната и арктангенсната серия (индиректно доказателство чрез обратни степенни редове беше дадено от Нютон и Лайбниц между 1670 и 1680 г.). Използването на силови серии му позволява да реши известния проблем от Базел през 1735 г. (по-строго доказателство е направено от него през 1741 г.):

Геометричното значение на формулата на Ойлер Ойлер започва да използва експоненциални показатели и логаритми в аналитични доказателства. Той успя да разшири логаритмичната функция в степенна степен и чрез този график да определи логаритмите за отрицателни и комплексни числа. Той също така разшири много от дефинициите на експоненциалната функция до комплексни числа и откри връзката между експонентата и тригонометричните функции. Формулата на Ойлер гласи, че за всяко реално число х важи равенството:

Частен случай на формулата на Ойлер за х \u003d? е идентичността на Ойлер, свързваща пет основни математически константи:

д i ? + 1 = 0,

Наричан от Ричард Файнман „най-прекрасната математическа формула.“ През 1988 г. читатели на списанието Математически разузнавач вотът го нарече „красивата математическа формула на всички времена“.
Следствие от формулата на Ойлер е формулата на Moivre.
В допълнение, Ойлер разработи теорията за специалните трансцендентални функции чрез въвеждане на гама функция и представи нови методи за решаване на уравнения от четвърта степен. Той също така намери начин да изчисли интеграли със сложни граници, изпревари развитието на съвременния комплексен анализ и започна вариационното смятане, включително известния му резултат, уравненията на Ойлер-Лагранж.
Ойлер също е пионер в използването на аналитични методи за решаване на проблеми в теорията на числата. По този начин той комбинира две различни области на математиката и въвежда нова област на изследване, аналитична теория на числата. Началото беше създаването от Ойлер на теорията за хипергеометричните редове, Q-серията, хиперболичните тригонометрични функции и аналитичната теория на обобщените дроби. Например, той доказа безкрайността на прости числа, използвайки хармонично несъгласие в редиците, и използва аналитични техники, за да научи за разпределението на прости числа. Работата на Ойлер в тази област доведе до теорема за разпределението на прости числа.
Теория на числата
Интересът на Ойлер към теорията на числата може да се отдаде на влиянието на Кристиан Голдбах, вторият от Академията в Санкт Петербург. Много ранни творби Теорията за числата на Ойлер се основава на работата на Пиер Ферма. Ойлер развива някои идеи на Ферма и опровергава някои от неговите предположения.
Ойлер свързва естеството на разпределението на прости числа с идеи за анализ. Той доказа, че сумата на обратните на прости числа се различава. По този начин той открива връзка между функцията на Риман и делничните числа, резултат, известен като „идентичността на Ойлер в теорията на числата“.
Ойлер доказа идентичностите на Нютон, малката теорема на Ферма, теоремата на Ферма за сумите от два квадрата, допринесе значително за теоремата на Лагранж за четири квадрата. Измислил ли е и функцията на Ойлер? (Н), равен на броя положителни числа, ненадвишаващи естествените н и които са съвместни с Н. Използвайки свойствата на тази функция, той обобщава малката теорема на Ферма към това, което сега се нарича теорема на Ойлер. Той направи значителен принос в теорията на перфектните числа, която очарова математиците още от Евклид. Ойлер също напредва към теорема за разпределението на прости числа и излага хипотезата за квадратичната реципрочност. Тези две концепции се разглеждат като основни теореми в теорията на числата и неговите идеи проправят пътя за работата на Гаус.
До 1772 г. Ойлер доказва, че 2 31 - 1 \u003d 2147483647 е числото на Мерсен. Вероятно този брой е най-големият известен премиер до 1867 г.
Теория на графиките
През 1736 г. Ойлер решава проблема, известен като Седемте моста на Кьонигсберг. Град Кьонигсберг (днес Калининград) в Прусия е разположен на река Преголя и включва два големи острова, които са били свързани помежду си и с континента чрез седем моста. Проблемът е, че можете да намерите път, който всеки мост преминава точно веднъж и се връща към началната точка. Отговорът е не: няма цикъл на Ойлер. Това твърдение се счита за първата теорема на теорията на графовете, по-специално в теорията на планарните графове.
Ойлер също доказа формулата V – Е + F \u003d 2, който свързва броя на върховете, ръбовете и лицата на изпъкнал многоъгълник, а оттам и на равнинни графики (за равнинни графики V – Е + F \u003d 1). Лявата страна на формулата, сега известна като характеристика на Ойлер на графика (или друг математически обект), свързана с концепцията за вида на повърхността.
Изучаването и обобщаването на тази формула, по-специално Коши и L "Huillier, са началото на топологията.
Приложна математика
Сред най-големите успехи на Ойлер са аналитичните решения на практически проблеми, описващи многобройни приложения на числата на Бернули, редове на Фурие, диаграми на Вен (известни също като кръгове на Ойлер), Числа на Ойлер, константи e и?, Непрекъснати дроби и интеграли.
Той комбинира смятането на Лайбниц с нютоновата флуксия и създава инструменти, които улесняват прилагането на анализа при физически проблеми. Той направи големи крачки в усъвършенстването на численото сближаване на интегралите, изобрети това, което сега е известно като метод на Ойлер и формулата на Ойлер-Маклаурин. Той също така насърчава използването на диференциални уравнения, по-специално чрез въвеждане на константата на Ойлер-Машерони:

Един от най-необичайните интереси на Ойлер е прилагането на математически идеи към музиката. През 1739 г. той пише Tentamen novae theoriae musicae, с надеждата най-накрая да включи теорията на музиката в математиката. Тази част от работата му обаче получи малко внимание и някога беше наречена „твърде математическа за музиканти и много музикална за математици“.
Физика
Леонард Ойлер е допринесъл значително за развитието на механиката, по-специално за решаването на проблема с въртенето на твърдо тяло. Подходът на Ойлер е свързан с концепциите за ъгловите ъгли и кинематичните уравнения на Ойлер. През 1757 г. Ойлер публикува своите мемоари Principes generaux du mouvement des fluides ( Основни принципи движение на флуиди), в който той записва уравненията за движение на несвиваема идеална течност, наречена уравнения на Ойлер. Резултатът от работата по проблема за деформацията на пръта по време на натоварването са уравненията на Ойлер-Бернули, които по-късно намират приложение в инженерството, по-специално при проектирането на мостове.
Ойлер работи по общи проблеми на механиката, развивайки принципа на Мопертуис. Уравненията на лагранжевата механика често се наричат \u200b\u200bуравнения на Ойлер-Лагранж.
Ойлер прилага разработени математически методи за решаване на проблеми от небесната механика. Работата му в тази област е получила няколко награди от Парижката академия на науките. Сред неговите постижения са определянето с голяма точност на орбитите на комети и други небесни тела, обяснение на същността на кометите, изчисляване на паралакса на Слънцето. Изчисленията на Ойлер бяха значителен принос за разработването на точни таблици с географска ширина.
Приносът на Ойлер към оптиката е важен за времето му. Той отрича доминиращата тогава корпускуларна теория за светлината на Нютон. Съчиненията на Ойлер през 40-те години на 20-ти век помагат за установяването на вълновата теория за светлината на Кристиан Хюйгенс.
Астрономия
Повечето астрономически трудове на Ойлер са посветени на актуалните проблеми на небесната механика по това време, както и на сферичната, практическата и морската астрономия, теорията на приливите и отливите, теорията на астрономическия климат, пречупването на светлината в земната атмосфера, паралакса и аберацията, и въртенето на Земята. В областта на небесната механика, Ойлер има значителен принос в теорията на смутеното движение. Още през 1746 г. той изчислява възбужданията на Луната и публикува лунни таблици. Едновременно с A.C. Clairaut и J.L.D. "Alambert и независимо от тях, Euler разработва общи теории за движението на Луната, в които е изследван с много висока прецизност... Първата теория, при която е приложен методът за разширяване на търсените координати в серии по степен на малки параметри и е дадено частично развитие на аналитичен метод за промяна на орбиталните елементи, е публикувана през 1753. Тази теория е използвана от Т. И. Майер при съставянето на високоточни таблици за движението на Луната. Перфектна аналитична теория, в която се дава числено развитие на метода и се изчисляват таблици, е изложена в труд, публикуван в Санкт Петербург през 1772 г. на латински. Неговият съкратен превод на руски, озаглавен "Новата теория за движението на Луната", е направен от А.Н. Крилов и публикуван през 1934 г. Изчислителните методи, предложени от Ойлер за получаване на точните ефемериди на Луната и планетите, по-специално правоъгълната координата брадви, които той въведе равномерно въртящи се, бяха широко използвани впоследствие от Дж. У. Гил. Според М. Ф. Субботин те са се превърнали в един от най-важните източници на по-нататъшен напредък във цялата небесна механика. Широките възможности за прилагане на тези методи се появиха с появата на компютрите. Съвременни точни и пълна теория Лунното движение е създадено през 1895-1908 г. от Е. У. Браун. Работата на Ойлер и Гил поражда общата теория за нелинейните трептения, която играе важна роля в съвременната наука и техника.
Трудът на Ойлер "За усъвършенстването на обективното стъкло на телескопите" (1747) е от голямо значение за астрономията, в който той показва, че чрез комбиниране на две стъклени лещи с различна пречупваща сила може да се създаде ахроматична цел. Повлиян от работата на Ойлер, първата леща от този вид е направена от английския оптик Дж. Долон през 1758 г.

Леонард Ойлер е един от най-големите математици на всички времена - отличаваше се с неудържима жажда за знание и неудържима енергия. На негово име са наречени много класически теореми във всички области на математиката.

Леонард Ойлер е роден в швейцарския град Базел на 15 април 1707 година. Пол Ойлер, бащата на момчето, беше пастор и мечтаеше синът му да тръгне по стъпките му. Още от първите години от живота си той преподава на Леонард всякакви науки, като иска да му внуши жажда за нови знания. Ойлер показа специален талант за точни предмети и баща му веднага започна да развива способностите си. Самият Павел посвещава почти цялото си свободно време на математика, а в младостта си дори посещава уроците на известния Джейкъб Бернули.

Домашното обучение се превърна в солидна основа за по-нататъшното образование на момчето. Когато влезе в гимназията в Базел, всички предмети му се даваха с изключителна лекота. Въпреки това нивото на преподаване в средното училище остави много да се желае и Ойлер започна да търси нови възможности за придобиване на знания. На 13-годишна възраст Леонард постъпва в Базелския университет във Факултета по свободни изкуства. Така той стига до лекции по математика от по-малкия брат на Джейкъб Бернули, Йохан.

Професорът забелязва талантлив ученик и възлага на Ойлер индивидуални уроци. Под внимателното ръководство на Бернули момчето се запознава с най-сложните произведения на великите математици, учи се да ги разбира и анализира. Този подход на преподаване позволи на Леонард да получи първата си степен на 16-годишна възраст, когато успя да проведе сравнителен анализ на произведенията на Декарт и Нютон на латински. Така Ойлер става майстор на изкуствата.

След дипломирането си Пол отново се намесва в образованието на сина си. Уверен, че Леонард ще стане свещеник, баща му го принуждава да учи езици: иврит и гръцки. Ойлер не постигна особен успех, така че баща му трябваше да се примири със страстта си към математиката. Въпреки това 17-годишното момче не може да си намери работа по специалността - всички места в университета са заети. Продължава да посещава дома на професор Бернули и развива близко приятелство със синовете си: Даниел и Николай.

През 1727 г., следвайки братята Бернули, ученият заминава за Санкт Петербург. Тук Ойлер се превръща в допълнение към висшата математика. През 1730 г. на Леонард Ойлер е предложено да оглави Катедрата по физика, а през януари 1731 г. той става професор. От 1733 г., под негово ръководство, Катедрата по висша математика. За 14 години, прекарани в Санкт Петербург, той публикува трудове по хидравлика, навигация, механика, картография и, разбира се, математика. Общо той има над 70 научни статии. На запад Ойлер е признат точно като руски учен. Швейцарските корени на Леонард напомнят за себе си само в личния си живот - той се жени за швейцарката Катрин Гсел.

Петербургската академия на науките по това време може да се похвали с уникален преподавателски състав. Известни учени като J. Hermann, D. Bernoulli, H. Goldbach и много други преподават и провеждат научна дейност тук. Такава компания позволява на Ойлер да се задълбочи максимално в своите изследвания, а ученият публикува все повече и повече нови трудове в публикациите на Академията. Най-значимият от тях е двутомната Механика.

Фридрих II, бидейки крал на Прусия, решава да открие Берлинската академия въз основа на Обществото на науките. Той кани Ойлер да работи в Берлин за много благоприятни условия... През 1841 г. ученият решава да се премести, въпреки това той е в активна кореспонденция с руски учени, по-специално с Ломоносов. В Берлин Леонард Ойлер се среща с президента на Академията на науките Моро де Мопертуис и всъщност става негов заместник - Моро често е болен и Ойлер изпълнява задълженията си.

В Германия ученият продължава да работи в областта на теорията на числата, математическия анализ и вариационното смятане, прилага нов подход към изучаването на геометрията. Резултатът от изследванията на Ойлер е нова наука - топология. В същото време корабостроенето и небесната механика попадат в полето на интересите на Леонард. В последния той постига безпрецедентен успех - създава теория за движението на Луната, като взема предвид привличането на слънцето.

Ойлер така и не получи дългоочаквания пост на президент на Академията, което беше една от основните причини за завръщането му в Санкт Петербург. Тук той е горещо приет от самата покровителка на науките - Екатерина II. Ученият с ентусиазъм започва да работи за благото на Русия.

Възрастта се усеща и на 60-годишна възраст Ойлер почти напълно губи зрението си, въпреки това не спира научната дейност. След завръщането си той успява да публикува 200 творби в различни области на науката.

Първата съпруга на Леонард умира малко след преместването и няколко години по-късно ученият се жени за нея на сестра ми Саломе-Абигейл Гсел. Децата му приемат руско гражданство.

Правителството високо оценява постиженията на учения и приноса му за развитието на науката. Дори да спрат своята научна дейност, Ойлер и семейството му бяха напълно снабдени с всичко необходимо за сметка на държавата. Леонард Ойлер умира през 1783 г. в Санкт Петербург на 75-годишна възраст. По това време той има 5 деца и 26 внуци. След себе си той остави 800 научни статии и 72 тома в различни области на науката.

По време на научната си кариера Леонард Ойлер основава теорията на функциите със сложни променливи, обикновени диференциални уравнения и частични диференциални уравнения. Той става пионер в вариационното смятане и топологията, прилага нови методи за интеграция. На негово име са наречени много теореми на алгебрата и теорията на числата, които по-късно стават класически.

Използвайки резултатите от Стърлинг и Нютон, Ойлер открива общия закон за сумиране през 1732 г. (едновременно с Макларън). С други думи, той е изразил частичната сума, интеграл и производна на безкраен ред sn \u003d ∑ u (k) чрез редица с общи термини u (n). Анализирайки получените данни, както и съотношението на числата на Бернули B2n + 2: B2n, Ойлер определя, че даден ред - дивергентът обаче успя да изчисли приблизителната му стойност. За това ученият използва сумата от всички членове на поредицата, които намаляват. Това откритие доведе до концепцията за асимптотична поредица, на която много известни математици по-късно посветиха своите произведения. Сред тях са Лаплас, Лежандр, Лагранж, Поасон и Коши. Формулата на Ойлер-Макларън стана основата на теорията за крайните разлики.

Увлечен от работата на д’Аламбер, Ойлер започва да изучава теория на струните. В статията си "За вибрацията на струна" ученият намира общо решение на уравнението на вибрациите, приемайки началната скорост за нула. Той имаше формата y \u003d φ (x + at) + ψ (x - at), където a е константа и малко се различаваше от решението на d'Alembert. Въпреки това, през 1766 г. Ойлер намира свой собствен метод, който по-късно ще бъде включен в неговото „Интегрално смятане" (1770). За това той въвежда нови координати, които водят уравнението до по-проста форма за интегриране: u \u003d x + при , v \u003d x - при. В съвременните учебници по диференциални уравнения такива координати се наричат \u200b\u200bхарактеристични и се използват широко за различни видове изчисления.

Едно от основните открития на Ойлер е формулата, кръстена на него. Той казва, че за всеки реален x, равенството eix \u003d cosx + isinx е вярно (i е въображаемата единица, e е основата на естествения логаритъм). По този начин ученият свързва тригонометричната функция и комплексния показател. Формулата е публикувана в книгата „Въведение в анализа на безкрайно малко“ (1748). Продължавайки изследванията си в тази област, Ойлер получава експоненциална форма на комплексно число от формата z \u003d reiφ.

Освен това той значително опрости и намали математическата нотация - той въведе обозначението за тригонометрични функции: tg x, ctg x, sec x, cosec x и беше първият, който ги разглежда като функции на числов аргумент, който стана основата на съвременния тригонометрия.

Както Лаплас твърди по-късно, всички математици от 18-ти век се учат от Ойлер. Въпреки това, дори няколко века по-късно, неговите математически методи се използват в морското дело, балистиката, оптиката, теорията на музиката и застраховането.