Определение. Призмае многостен, всичките чиито върхове са разположени в две успоредни равнини и в същите тези две равнини лежат две лица на призмата, които са равни многоъгълници със съответно успоредни страни, и всички ръбове, които не лежат в тези равнини, са успоредни.

две равни лицаса наречени призмени основи(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Всички останали лица на призмата се наричат странични лица(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Всички странични лица се образуват странична повърхност на призмата .

Всички странични стени на призмата са успоредници .

Ръбовете, които не лежат в основите, се наричат ​​странични ръбове на призмата ( АА 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Диагонал на призмата е сегмент, чиито краища са два върха на призма, които не лежат на едно и също лице (AD 1).

Дължината на отсечката, свързваща основите на призмата и перпендикулярна едновременно на двете основи, се нарича височина на призмата .

Обозначаване:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Първо, в реда на обхождане, са посочени върховете на една основа, а след това, в същия ред, върховете на друга; краищата на всеки страничен ръб са обозначени със същите букви, само върховете, лежащи в една основа се обозначават с букви без индекс, а в другия - с индекс)

Името на призмата е свързано с броя на ъглите във фигурата, лежаща в основата й, например на фигура 1 има петоъгълник в основата, така че призмата се нарича петоъгълна призма. Но защото такава призма има 7 лица, тогава тя седмостен(2 лица - основите на призмата, 5 лица - успоредници, - нейните странични лица)

Сред правите призми се откроява личен изглед: правилни призми.

Права призма се нарича правилно,ако основите му са правилни многоъгълници.

паралелепипед

Правоъгълен паралелепипед- прав паралелепипед, чиято основа е правоъгълник.

Свойства и теореми:

,

където d е диагоналът на квадрата;
a е страната на квадрата.

Идеята за призма се дава от:

• различни архитектурни структури;
• Детски играчки;
• опаковъчни кутии;
• дизайнерски артикули и др.

Площта на общата и страничната повърхност на призмата

S пълен = S страничен + 2S основен,

Където S пълен- обща площ, S страна- странична повърхност, S база- основна площ

Площта на страничната повърхност на права призма е равна на произведението на периметъра на основата и височината на призмата.

S страна= P основен * h,

Където S страна- площ на страничната повърхност на права призма,

P main - периметър на основата на права призма,

h е височината на правата призма, равна на страничния ръб.

Обем на призмата

Обемът на призмата е равен на произведението на площта на основата и височината.

IN училищна програмаВ курса по стереометрия изучаването на триизмерни фигури обикновено започва с просто геометрично тяло - полиедър на призма. Ролята на неговите основи се изпълняват от 2 равни многоъгълника, лежащи в успоредни равнини. Специален случай е правилната четириъгълна призма. Основите му са 2 еднакви правилни четириъгълника, на които страните са перпендикулярни, имащи формата на успоредници (или правоъгълници, ако призмата не е наклонена).

Как изглежда призмата?

Правилната четириъгълна призма е шестоъгълник, чиито основи са 2 квадрата, а страничните стени са представени от правоъгълници. Друго име за това геометрична фигура- прав паралелепипед.

По-долу е показан чертеж, показващ четириъгълна призма.

Виждате и на снимката основни елементи, от които се състои геометричното тяло. Те включват:

Понякога в задачи по геометрия можете да срещнете понятието сечение. Дефиницията ще звучи така: разрезът е всички точки на обемно тяло, принадлежащи към режеща равнина. Разрезът може да бъде перпендикулярен (пресича ръбовете на фигурата под ъгъл от 90 градуса). За правоъгълна призма се разглежда и диагонално сечение (максималния брой сечения, които могат да се построят е 2), минаващо през 2 ребра и диагоналите на основата.

Ако сечението е начертано по такъв начин, че режещата равнина не е успоредна нито на основите, нито на страничните повърхности, резултатът е пресечена призма.

За намиране на дадените призматични елементи се използват различни отношения и формули. Някои от тях са известни от курса по планиметрия (например, за да намерите площта на основата на призмата, достатъчно е да запомните формулата за площта на квадрат).

Площ и обем

За да определите обема на призма с помощта на формулата, трябва да знаете площта на нейната основа и височина:

V = Sbas h

Тъй като основата на правилната тетраедрична призма е квадрат със страна а,Можете да напишете формулата в по-подробна форма:

V = a²·h

Ако говорим за куб - правилна призма с еднаква дължина, ширина и височина, обемът се изчислява, както следва:

За да разберете как да намерите страничната повърхност на призмата, трябва да си представите нейното развитие.

От чертежа става ясно, че странична повърхностсъставен от 4 равни правоъгълника. Площта му се изчислява като произведение от периметъра на основата и височината на фигурата:

Sстрана = Posn h

Като се има предвид, че периметърът на квадрата е равен на P = 4a,формулата приема формата:

Sстрана = 4a h

За куб:

Sстрана = 4a²

За да изчислите общата повърхност на призмата, трябва да добавите 2 основни площи към страничната площ:

Пълен = Sside + 2Smain

Във връзка с четириъгълна правилна призма формулата изглежда така:

Общо = 4a h + 2a²

За повърхността на куб:

Пълен = 6a²

Познавайки обема или повърхността, можете да изчислите отделните елементи на геометрично тяло.

Намиране на призмени елементи

Често има задачи, при които е даден обемът или е известна стойността на страничната повърхност, където е необходимо да се определи дължината на страната на основата или височината. В такива случаи могат да се изведат формулите:

• дължина на основната страна: a = Sside / 4h = √(V / h);
• височина или дължина на странично ребро: h = Sстрана / 4a = V / a²;
• основна площ: Sbas = V / h;
• странична лицева зона: отстрани gr = Sстрана / 4.

За да определите колко площ има диагоналното сечение, трябва да знаете дължината на диагонала и височината на фигурата. За квадрат d = a√2.Следователно:

Sdiag = ah√2

За да изчислите диагонала на призма, използвайте формулата:

dprize = √(2a² + h²)

За да разберете как да приложите дадените отношения, можете да практикувате и да решите няколко прости задачи.

Примери за задачи с решения

Ето някои задачи от държавните зрелостни изпити по математика.

Упражнение 1.

Пясъкът се изсипва в кутия с форма на правилна четириъгълна призма. Височината на нивото му е 10 см. Какво ще бъде нивото на пясъка, ако го преместите в съд със същата форма, но с два пъти по-дълга основа?

Следва да се мотивира по следния начин. Количеството пясък в първия и втория контейнер не се е променило, т.е. обемът му в тях е същият. Можете да означите дължината на основата с а. В този случай за първата кутия обемът на веществото ще бъде:

V₁ = ha² = 10a²

За втората кутия дължината на основата е 2а, но височината на нивото на пясъка е неизвестна:

V₂ = h (2a)² = 4ha²

Тъй като V₁ = V₂, можем да приравним изразите:

10a² = 4ha²

След като намалим двете страни на уравнението с a², получаваме:

Като резултат ново нивопясък ще бъде h = 10 / 4 = 2,5см.

Задача 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ е правилна призма. Известно е, че BD = AB₁ = 6√2. Намерете общата повърхност на тялото.

За да улесните разбирането кои елементи са известни, можете да нарисувате фигура.

Тъй като говорим за правилна призма, можем да заключим, че в основата има квадрат с диагонал 6√2. Диагоналът на страничната повърхност има същия размер, следователно страничната страна също има формата на квадрат, равен на основата. Оказва се, че и трите измерения - дължина, ширина и височина са равни. Можем да заключим, че ABCDA₁B₁C₁D₁ е куб.

Дължината на всеки ръб се определя чрез известен диагонал:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Общата повърхност се намира с помощта на формулата за куб:

Пълно = 6a² = 6 6² = 216

Задача 3.

Стаята е в ремонт. Известно е, че подът му има формата на квадрат с площ от 9 m². Височината на стаята е 2,5 м. Каква е най-ниската цена за тапетиране на стая, ако 1 м² струва 50 рубли?

Тъй като подът и таванът са квадрати, т.е. правилни четириъгълници, а стените му са перпендикулярни на хоризонтални повърхности, можем да заключим, че това е правилна призма. Необходимо е да се определи площта на страничната му повърхност.

Дължината на стаята е a = √9 = 3м.

Площта ще бъде покрита с тапети Sстрана = 4 3 2,5 = 30 m².

Най-ниската цена на тапетите за тази стая ще бъде 50·30 = 1500рубли

По този начин, за решаване на проблеми на правоъгълна призмаДостатъчно е да можете да изчислявате площта и периметъра на квадрат и правоъгълник, както и да знаете формулите за намиране на обем и повърхност.

Как да намерите площта на куб

Многостени

Основният обект на изследване на стереометрията са пространствените тела. Тялопредставлява част от пространството, ограничено от определена повърхност.

Многостене тяло, чиято повърхност се състои от краен брой плоски многоъгълници. Полиедърът се нарича изпъкнал, ако е разположен от едната страна на равнината на всеки плосък многоъгълник на повърхността му. Общата част на такава равнина и повърхността на полиедър се нарича ръб, край. Лицата на изпъкнал многостен са плоски изпъкнали многоъгълници. Страните на лицата се наричат ръбове на многостена, а върховете са върховете на многостена.

Например, един куб се състои от шест квадрата, които са неговите лица. Той съдържа 12 ръба (страните на квадратите) и 8 върха (върховете на квадратите).

Най-простите полиедри са призми и пирамиди, които ще изучаваме допълнително.

Призма

Определение и свойства на призмата

Призмае полиедър, състоящ се от два плоски многоъгълника, лежащи в успоредни равнини, комбинирани чрез паралелна транслация, и всички сегменти, свързващи съответните точки на тези многоъгълници. Полигоните се наричат призмени основи, а сегментите, свързващи съответните върхове на многоъгълниците, са странични ръбове на призмата.

Височина на призматасе нарича разстоянието между равнините на основите му (). Нарича се сегмент, свързващ два върха на призма, които не принадлежат на едно и също лице диагонал на призмата(). Призмата се нарича n-въглерод, ако основата му съдържа n-ъгълник.

Всяка призма има следните свойства, произтичащи от факта, че основите на призмата са комбинирани чрез паралелен превод:

1. Основите на призмата са равни.

2. Страничните ръбове на призмата са успоредни и равни.

Повърхността на призмата се състои от основи и странична повърхност. Страничната повърхност на призмата се състои от успоредници (това следва от свойствата на призмата). Площта на страничната повърхност на призмата е сумата от площите на страничните повърхности.

Права призма

Призмата се нарича прав, ако страничните му ръбове са перпендикулярни на основите. Иначе призмата се нарича наклонен.

Лицата на права призма са правоъгълници. Височината на права призма е равна на нейните странични стени.

Пълна повърхност на призматасе нарича сбор от площта на страничната повърхност и площите на основите.

С правилната призманаречена права призма с правилен многоъгълник в основата си.

Теорема 13.1. Площта на страничната повърхност на права призма е равна на произведението на периметъра и височината на призмата (или, което е същото, на страничния ръб).

Доказателство. Страничните стени на права призма са правоъгълници, чиито основи са страните на многоъгълниците в основите на призмата, а височините са страничните ръбове на призмата. Тогава по дефиниция площта на страничната повърхност е:

,

където е периметърът на основата на права призма.

паралелепипед

Ако паралелограмите лежат в основите на призмата, тогава тя се нарича паралелепипед. Всички лица на паралелепипед са успоредници. В този случай срещуположните лица на паралелепипеда са успоредни и равни.

Теорема 13.2. Диагоналите на паралелепипед се пресичат в една точка и се разделят наполовина от пресечната точка.

Доказателство. Помислете за два произволни диагонала, например, и . защото лицата на паралелепипед са паралелограми, тогава и , което означава, че според To има две прави линии, успоредни на третата. В допълнение, това означава, че правите линии и лежат в една и съща равнина (равнина). Тази равнина пресича успоредни равнини и по успоредни прави и . По този начин четириъгълникът е успоредник и по свойството на успоредника диагоналите му се пресичат и се разделят наполовина от пресечната точка, което трябваше да се докаже.

Нарича се прав паралелепипед, чиято основа е правоъгълник правоъгълен паралелепипед. Всички лица на правоъгълен паралелепипед са правоъгълници. Дължините на неуспоредни ръбове на правоъгълен паралелепипед се наричат ​​негови линейни размери(измервания). Има три такива размера (ширина, височина, дължина).

Теорема 13.3. В правоъгълен паралелепипед квадратът на всеки диагонал е равен на сумата от квадратите на неговите три измерения (доказано чрез двукратно прилагане на Питагор T).

Нарича се правоъгълен паралелепипед с равни ръбове куб.

Задачи

13.1 Колко диагонала има? н- въглеродна призма

13.2 В наклонена триъгълна призма разстоянията между страничните ръбове са 37, 13 и 40. Намерете разстоянието между по-големия страничен ръб и противоположния страничен ръб.

13.3 През страната на долната основа на правилна триъгълна призма е начертана равнина, пресичаща страничните стени по сегменти с ъгъл между тях. Намерете ъгъла на наклона на тази равнина спрямо основата на призмата.

Клон от математиката, който се занимава с изучаването на свойствата на различни фигури (точки, линии, ъгли, двуизмерни и триизмерни обекти), техните размери и относителни позиции. За улеснение на преподаването геометрията е разделена на планиметрия и стереометрия. В…… Енциклопедия на Collier

Геометрия на пространства с измерения, по-големи от три; терминът се прилага към тези пространства, чиято геометрия първоначално е разработена за случай на три измерения и едва след това обобщена за броя на измеренията n>3, предимно евклидово пространство, ... ... Математическа енциклопедия

N-мерната евклидова геометрия е обобщение на евклидовата геометрия към пространство с повече измерения. Макар че физическо пространствое триизмерен и човешките сетива са проектирани да възприемат три измерения, N-измерен... ... Wikipedia

Този термин има други значения, вижте Пирамидацу (значения). Надеждността на този раздел от статията е поставена под въпрос. Трябва да проверите точността на фактите, посочени в този раздел. Може да има обяснения на страницата за разговори... Уикипедия

- (Constructive Solid Geometry, CSG) технология, използвана при моделирането твърди вещества. Конструктивната блокова геометрия често, но не винаги, е начинът за моделиране в 3D графики и CAD. Позволява ви да създадете сложна сцена или... Wikipedia

Constructive Solid Geometry (CSG) е технология, използвана в моделирането на твърдо тяло. Конструктивната блокова геометрия често, но не винаги, е начинът за моделиране в 3D графики и CAD. Тя... ... Уикипедия

Този термин има други значения, вижте Обем (значения). Обемът е адитивна функция на набор (мярка), характеризираща капацитета на площта на пространството, която заема. Първоначално възниква и се прилага без строго... ... Wikipedia

Тип куб Правилен многостен Лице квадрат Върхове Ръбове Лица ... Wikipedia

Обемът е адитивна функция на набор (мярка), характеризираща капацитета на площта на пространството, която заема. Първоначално възниква и се прилага без строга дефиниция по отношение на триизмерните тела на триизмерното евклидово пространство.... ... Wikipedia

Част от пространството, ограничено от набор от краен брой равнинни многоъгълници (вижте ГЕОМЕТРИЯ), свързани по такъв начин, че всяка страна на който и да е многоъгълник е страна на точно един друг многоъгълник (наречен... ... Енциклопедия на Collier

Книги

• Комплект маси. Геометрия. 10 клас. 14 таблици + методика, . Таблиците са отпечатани върху дебел печатен картон с размери 680 х 980 мм. Комплектът включва брошура с методически препоръкиза учителя. Образователен албум от 14 листа.…

Определение 1. Призматична повърхност
Теорема 1. Върху успоредни сечения на призматична повърхнина
Определение 2. Перпендикулярно сечение на призматична повърхнина
Определение 3. Призма
Определение 4. Височина на призмата
Определение 5. Права призма
Теорема 2. Странична повърхност на призмата

паралелепипед:
Определение 6. Паралелепипед
Теорема 3. На пресечната точка на диагоналите на паралелепипед
Определение 7. Прав паралелепипед
Определение 8. Правоъгълен паралелепипед
Определение 9. Измервания на паралелепипед
Определение 10. Куб
Определение 11. Ромбоедър
Теорема 4. Върху диагоналите на правоъгълен паралелепипед
Теорема 5. Обем на призма
Теорема 6. Обем на права призма
Теорема 7. Обем на правоъгълен паралелепипед

Призмае многостен, чиито две лица (основи) лежат в успоредни равнини, а ръбовете, които не лежат в тези лица, са успоредни един на друг.
Лица, различни от основите, се наричат страничен.
Страните на страничните лица и основите се наричат призмени ребра, краищата на ръбовете се наричат върховете на призмата. Странични ребрасе наричат ​​ръбове, които не принадлежат на основите. Обединението на страничните лица се нарича странична повърхност на призмата, а обединението на всички лица се нарича цялата повърхност на призмата. Височина на призматанаречен перпендикуляр, спуснат от точката на горната основа към равнината на долната основа или дължината на този перпендикуляр. Директна призманаречена призма, чиито странични ръбове са перпендикулярни на равнините на основите. Правилнонаречена права призма (фиг. 3), в основата на която лежи правилен многоъгълник.

Обозначения:
l - странично ребро;
P - периметър на основата;
S o - основна площ;
H - височина;
P^ - периметър на перпендикулярно сечение;
S b - странична повърхност;
V - обем;
S p е площта на общата повърхност на призмата.

Определение 2 . Перпендикулярно сечение на призматична повърхност е сечение на тази повърхност с равнина, перпендикулярна на нейните ръбове. Въз основа на предишната теорема всички перпендикулярни сечения на една и съща призматична повърхност ще бъдат равни многоъгълници.

Определение 3 . Призмата е полиедър, ограничен от призматична повърхност и две равнини, успоредни една на друга (но не успоредни на ръбовете на призматичната повърхност)
Лицата, разположени в тези последни равнини, се наричат призмени основи; лица, принадлежащи на призматичната повърхност - странични лица; ръбове на призматичната повърхност - странични ребра на призмата. По силата на предишната теорема основата на призмата е равни многоъгълници. Всички странични лица на призмата - успоредници; всички странични ребра са равни едно на друго.
Очевидно, ако са дадени основата на призмата ABCDE и един от ръбовете AA" по размер и посока, тогава е възможно да се конструира призма чрез изчертаване на ръбове BB", CC", ... равни и успоредни на ръба AA" .

Определение 4 . Височината на призмата е разстоянието между равнините на нейните основи (HH").

Определение 5 . Призма се нарича права, ако нейните основи са перпендикулярни участъци от призматичната повърхност. В този случай височината на призмата, разбира се, е нейната странично ребро; страничните ръбове ще бъдат правоъгълници.
Призмите могат да бъдат класифицирани според броя на страничните лица, равен бройстрани на многоъгълника, който служи за негова основа. Така призмите могат да бъдат триъгълни, четириъгълни, петоъгълни и т.н.

Теорема 2 . Площта на страничната повърхност на призмата е равна на произведението на страничния ръб и периметъра на перпендикулярното сечение.
Нека ABCDEA"B"C"D"E" е дадена призма и abcde нейното перпендикулярно сечение, така че отсечките ab, bc, .. са перпендикулярни на страничните й ръбове. Лицето ABA"B" е успоредник; неговата площ е равно на произведението на основата AA " до височина, която съвпада с ab; площта на лицето ВСВ "С" е равна на произведението на основата ВВ "по височината bc и т.н. Следователно, страничната повърхност (т.е. сумата от площите на страничните лица) е равна на продукта на страничния ръб, с други думи, обща дължинасегменти AA", BB", .., за сумата ab+bc+cd+de+ea.