При изучаването на стереометрията една от основните теми е „Цилиндър“. Площта на страничната повърхност се счита, ако не за основна, то за важна формула при решаване на геометрични проблеми. Въпреки това е важно да запомните дефинициите, които ще ви помогнат да се ориентирате в примерите и при доказване на различни теореми.

Концепция на цилиндър

Първо трябва да разгледаме няколко дефиниции. Само след като ги изучим, можем да започнем да разглеждаме въпроса за формулата за площта на страничната повърхност на цилиндъра. Въз основа на този запис могат да се изчислят други изрази.

• Цилиндричната повърхност се разбира като равнина, описана от образуваща, която се движи и остава успоредна на дадена посока, плъзгайки се по съществуваща крива.
• Има и второ определение: цилиндрична повърхност се образува от набор от успоредни линии, пресичащи дадена крива.
• Генератриксът условно се нарича височина на цилиндъра. При движение около ос, минаваща през центъра на основата, се получава посоченото геометрично тяло.
• Под ос разбираме права линия, минаваща през двете основи на фигурата.
• Цилиндърът е стереометрично тяло, ограничено от пресичаща се странична повърхност и две успоредни равнини.

Има разновидности на тази обемна фигура:

1. Под кръгъл имаме предвид цилиндър, чийто водач е кръг. Основните му компоненти са радиусът на основата и образуващата. Последната е равна на височината на фигурата.
2. Има прав цилиндър. Той получи името си поради перпендикулярността на формиращата фигура към основите.
3. Третият тип е скосен цилиндър. В учебниците можете да намерите друго име за него: „кръгъл цилиндър със скосена основа“. Тази цифра се определя от радиуса на основата, минималната и максималната височина.
4. Под равностранен цилиндър се разбира тяло с еднаква височина и диаметър на кръгова равнина.

Легенда

Традиционно основните „компоненти“ на цилиндъра се наричат, както следва:

• Радиусът на основата е R (той също замества подобна стойност на стереометрична фигура).
• Генератор - Л.
• Височина - H.
• Площта на основата е S база (с други думи, необходимо е да се намери посоченият параметър на кръга).
• Височините на скосения цилиндър са h 1 , h 2 (минимум и максимум).
• Площта на страничната повърхност е S страна (ако я разгънете, ще получите нещо като правоъгълник).
• Обемът на стереометрична фигура е V.
• Обща площ - S.

„Компоненти” на стереометрична фигура

При изследване на цилиндър важна роля играе страничната повърхност. Това се дължи на факта, че тази формула е включена в няколко други, по-сложни. Следователно е необходимо да сте добре запознати с теорията.

Основните компоненти на фигурата са:

1. Странична повърхност. Както е известно, тя се получава поради движението на генератора по дадена крива.
2. Пълната повърхност включва съществуващите основи и страничната равнина.
3. Напречното сечение на цилиндъра, като правило, е правоъгълник, разположен успоредно на оста на фигурата. В противен случай се нарича самолет. Оказва се, че дължината и ширината също са компоненти на други фигури. Така че, условно, дължините на участъка са генераторите. Ширина - успоредни хорди на стереометрична фигура.
4. Под аксиално сечение разбираме разположението на равнината през центъра на тялото.
5. И накрая, окончателно определение. Допирателната е равнина, минаваща през генератора на цилиндъра и разположена под прав ъгъл спрямо аксиалното сечение. В този случай трябва да бъде изпълнено едно условие. Посочената образуваща трябва да бъде включена в равнината на аксиалното сечение.

Основни формули за работа с цилиндър

За да се отговори на въпроса как да се намери повърхността на цилиндър, е необходимо да се изучат основните „компоненти“ на стереометрична фигура и формулите за намирането им.

Тези формули се различават по това, че първите изрази са дадени за скосен цилиндър, а след това за прав.

Примери с разглобено решение

Необходимо е да се установи площта на страничната повърхност на цилиндъра. Даден е диагоналът на сечението AC = 8 cm (и той е осов). При контакт с генератора се оказва< ACD = 30°

Решение. Тъй като стойностите на диагонала и ъгъла са известни, тогава в този случай:

• CD = AC*cos 30°.

Коментар. Триъгълник ACD, в конкретен пример, правоъгълен. Това означава, че частното на CD и AC е косинус от съществуващия ъгъл. Значение тригонометрични функциимогат да бъдат намерени в специална таблица.

По същия начин можете да намерите стойността на AD:

• AD = AC*sin 30°

Сега трябва да изчислите желания резултат, като използвате следната формула: площта на страничната повърхност на цилиндъра е равна на два пъти резултата от умножаването на "pi", радиуса на фигурата и нейната височина. Трябва да се използва друга формула: площта на основата на цилиндъра. Равен е на резултата от умножаването на „pi“ по квадрата на радиуса. И накрая, последната формула: цялата зонаповърхности. Тя е равна на сумата от предишните две области.

Дават се цилиндри. Техният обем = 128*p cm³. Кой цилиндър има най-малка обща повърхност?

Решение. Първо трябва да използвате формулите за намиране на обема на фигура и нейната височина.

Тъй като общата повърхност на цилиндъра е известна от теорията, е необходимо да се приложи неговата формула.

Ако разгледаме получената формула като функция от площта на цилиндъра, тогава минималният „индикатор“ ще бъде достигнат в екстремалната точка. За да получите последната стойност, трябва да използвате диференциация.

Формулите могат да се видят в специална таблица за намиране на производни. Впоследствие намереният резултат се приравнява на нула и се намира решение на уравнението.

Отговор: S min ще бъде постигнато при h = 1/32 cm, R = 64 cm.

Дадена е стереометрична фигура - цилиндър и сечение. Последният се извършва по такъв начин, че да е разположен успоредно на оста на стереометричното тяло. Цилиндърът има следните параметри: VK = 17 см, h = 15 см, R = 5 см. Необходимо е да се намери разстоянието между секцията и оста.

Тъй като напречното сечение на цилиндъра се разбира като VSKM, т.е. правоъгълник, тогава неговата страна BM = h. VMC трябва да се има предвид. Триъгълникът е правоъгълен триъгълник. Въз основа на това твърдение можем да изведем правилното предположение, че MK = BC.

VK² = VM² + MK²

MK² = VK² - VM²

MK² = 17² - 15²

От това можем да заключим, че MK = BC = 8 cm.

Следващата стъпка е да начертаете разрез през основата на фигурата. Необходимо е да се вземе предвид получената равнина.

AD е диаметърът на стереометрична фигура. Той е успореден на участъка, споменат в описанието на проблема.

BC е права линия, разположена в равнината на съществуващия правоъгълник.

ABCD - трапец. В този конкретен случай той се счита за равнобедрен, тъй като около него е описан кръг.

Ако намерите височината на получения трапец, можете да получите отговора, даден в началото на задачата. А именно: намиране на разстоянието между оста и начертаното сечение.

За да направите това, трябва да намерите стойностите на AD и OS.

Отговор: сечението се намира на 3 см от оста.

Задачи за консолидиране на материала

Като се има предвид цилиндър. Площта на страничната повърхност се използва в последващото решение. Други параметри са известни. Основната площ е Q, площта на аксиалното сечение е M. Необходимо е да се намери S. С други думи, общата площ на цилиндъра.

Като се има предвид цилиндър. Площта на страничната повърхност трябва да бъде намерена в една от стъпките за решаване на проблема. Известно е, че височина = 4 см, радиус = 2 см. Необходимо е да се намери общата площ на стереометричната фигура.

Има голям брой проблеми, свързани с цилиндъра. В тях трябва да намерите радиуса и височината на тялото или вида на неговото сечение. Освен това понякога трябва да изчислите площта на цилиндъра и неговия обем.

Кое тяло е цилиндър?

Знам училищна програмаизследва се кръгъл цилиндър, тоест един в основата. Но елипсовидният вид на тази фигура също се отличава. От името става ясно, че основата му ще бъде елипса или овал.

Цилиндърът има две основи. Те са равни една на друга и са свързани с сегменти, които съчетават съответните точки на основите. Те се наричат ​​генератори на цилиндъра. Всички генератори са успоредни една на друга и равни. Те изграждат страничната повърхност на тялото.

IN общ случайЦилиндърът е наклонено тяло. Ако образуващите сключват прав ъгъл с основите, тогава говорим за права фигура.

Интересното е, че кръгъл цилиндър е въртеливо тяло. Получава се чрез завъртане на правоъгълник около една от страните му.

Основни елементи на цилиндъра

Основните елементи на цилиндъра изглеждат така.

1. Височина. Това е най-късото разстояние между основите на цилиндъра. Ако е права, тогава височината съвпада с образуващата.
2. Радиус. Съвпада с тази, която може да се нарисува в основата.
3. ос. Това е права линия, която съдържа центровете на двете основи. Оста винаги е успоредна на всички генератори. В прав цилиндър той е перпендикулярен на основите.
4. Аксиално сечение. Образува се, когато цилиндър пресича равнина, съдържаща ос.
5. Тангентна равнина. Тя минава през една от образуващите и е перпендикулярна на аксиалното сечение, което е начертано през тази образуваща.

Как цилиндърът е свързан с призма, вписана в него или описана около него?

Понякога има проблеми, при които трябва да изчислите площта на цилиндър, но някои елементи на свързаната призма са известни. Как са свързани тези цифри?

Ако в цилиндър е вписана призма, то нейните основи са равни многоъгълници. Освен това те са вписани в съответните основи на цилиндъра. Страничните ръбове на призмата съвпадат с образуващите.

Описаната призма има в основата си правилни многоъгълници. Те са описани около окръжностите на цилиндъра, които са неговите основи. Равнините, които съдържат лицата на призмата, докосват цилиндъра по своите образуващи.

В областта на страничната повърхност и основата за десен кръгъл цилиндър

Ако разгънете страничната повърхност, ще получите правоъгълник. Страните му ще съвпадат с генератора и обиколката на основата. Следователно страничната площ на цилиндъра ще бъде равна на произведението на тези две количества. Ако запишете формулата, ще получите следното:

S страна = l * n,

където n е генераторът, l е обиколката.

Освен това последният параметър се изчислява по формулата:

l = 2 π * r,

тук r е радиусът на окръжността, π е числото "pi", равно на 3,14.

Тъй като основата е кръг, неговата площ се изчислява с помощта на следния израз:

S main = π * r 2 .

Върху площта на цялата повърхност на десен кръгъл цилиндър

Тъй като се формира от две основи и странична повърхност, трябва да добавите тези три количества. Тоест общата площ на цилиндъра ще бъде изчислена по формулата:

S етаж = 2 π * r * n + 2 π * r 2 .

Често се пише в различна форма:

S етаж = 2 π * r (n + r).

Върху площите на наклонен кръгъл цилиндър

Що се отнася до основите, всички формули са еднакви, защото те все още са кръгове. Но страничната повърхност вече не дава правоъгълник.

За да изчислите площта на страничната повърхност на наклонен цилиндър, ще трябва да умножите стойностите на генератора и периметъра на сечението, който ще бъде перпендикулярен на избраната генератора.

Формулата изглежда така:

S страна = x * P,

където x е дължината на образуващата цилиндъра, P е периметърът на сечението.

Между другото, по-добре е да изберете такъв участък, че да образува елипса. Тогава изчисленията на неговия периметър ще бъдат опростени. Дължината на елипсата се изчислява по формула, която дава приблизителен отговор. Но често е достатъчно за задачите на училищен курс:

l = π * (a + b),

където "a" и "b" са полуосите на елипсата, т.е. разстоянието от центъра до най-близката и най-отдалечената точка.

Площта на цялата повърхност трябва да се изчисли, като се използва следният израз:

S етаж = 2 π * r 2 + x * R.

Кои са някои секции на прав кръгъл цилиндър?

Когато едно сечение минава през ос, неговата площ се определя като произведението на образуващата и диаметъра на основата. Това се обяснява с факта, че има формата на правоъгълник, чиито страни съвпадат с обозначените елементи.

За да намерите площта на напречното сечение на цилиндър, който е успореден на аксиалния, ще ви е необходима и формула за правоъгълник. В тази ситуация едната му страна все още ще съвпада с височината, а другата ще бъде равна на хордата на основата. Последната съвпада с линията на сечението по основата.

Когато сечението е перпендикулярно на оста, то изглежда като кръг. Освен това неговата площ е същата като тази на основата на фигурата.

Възможно е и пресичане под някакъв ъгъл спрямо оста. Тогава напречното сечение води до овал или част от него.

Примерни проблеми

Задача No1.Даден е прав цилиндър, чиято основна площ е 12,56 cm 2 . Необходимо е да се изчисли общата площ на цилиндъра, ако височината му е 3 см.

Решение. Необходимо е да се използва формулата за общата площ на кръгъл прав цилиндър. Но липсват данни, а именно радиуса на основата. Но площта на кръга е известна. Лесно е да се изчисли радиусът от това.

Оказва се, че е равен на корен квадратен от частното, което се получава чрез разделяне на площта на основата на pi. След разделянето на 12,56 на 3,14 резултатът е 4. Корен квадратенот 4 е 2. Следователно радиусът ще има точно тази стойност.

Отговор: S етаж = 50,24 cm 2.

Задача No2.Цилиндър с радиус 5 cm се пресича от равнина, успоредна на оста. Разстоянието от сечението до оста е 3 см. Височината на цилиндъра е 4 см. Трябва да намерите площта на напречното сечение.

Решение. Формата на напречното сечение е правоъгълна. Едната му страна съвпада с височината на цилиндъра, а другата е равна на хордата. Ако първото количество е известно, то трябва да се намери второто.

За да направите това, трябва да се направи допълнителна конструкция. В основата рисуваме два сегмента. И двамата ще започнат в центъра на кръга. Първият ще завърши в центъра на хордата и е равен на известното разстояние до оста. Секундата е в края на акорда.

Ще получите правоъгълен триъгълник. В него са известни хипотенузата и един от катетите. Хипотенузата съвпада с радиуса. Вторият крак е равен на половината хорда. Неизвестният крак, умножен по 2, ще даде желаната дължина на хордата. Нека изчислим стойността му.

За да намерите неизвестния катет, ще трябва да повдигнете на квадрат хипотенузата и известния катет, да извадите втория от първия и да извадите корен квадратен. Квадратите са 25 и 9. Разликата им е 16. След изваждане на корен квадратен остава 4. Това е търсеният крак.

Хордата ще бъде равна на 4 * 2 = 8 (cm). Сега можете да изчислите площта на напречното сечение: 8 * 4 = 32 (cm 2).

Отговор: S кръст е равен на 32 cm 2.

Задача No3.Необходимо е да се изчисли площта на аксиалното напречно сечение на цилиндъра. Известно е, че в него е вписан куб с ръб 10 см.

Решение. Аксиалното сечение на цилиндъра съвпада с правоъгълник, който минава през четирите върха на куба и съдържа диагоналите на неговите основи. Страната на куба е образуващата на цилиндъра, а диагоналът на основата съвпада с диаметъра. Произведението на тези две количества ще даде площта, която трябва да намерите в задачата.

За да намерите диаметъра, ще трябва да използвате знанието, че основата на куба е квадрат, а неговият диагонал образува равностранен правоъгълен триъгълник. Хипотенузата му е желаният диагонал на фигурата.

За да го изчислите, ще ви трябва формулата на Питагоровата теорема. Трябва да повдигнете на квадрат страната на куба, да го умножите по 2 и да извадите корен квадратен. Десет на втора степен е сто. Умножено по 2 е двеста. Корен квадратен от 200 е 10√2.

Сечението отново е правоъгълник със страни 10 и 10√2. Площта му може лесно да се изчисли чрез умножаване на тези стойности.

Отговор. S сечение = 100√2 cm 2.

Площта на страничната повърхност на цилиндър е равна на площта на правоъгълник, чиято основа е 2π r, а височината е равна на височината на цилиндъра ч, т.е. 2π rh.

Общата повърхност на цилиндъра ще бъде: 2π r 2 + 2π rh= 2π r(r+ ч).

Площта на страничната повърхност на цилиндъра се приема за зона за почистванестраничната му повърхност.

Следователно площта на страничната повърхност на десен кръгъл цилиндър е равна на площта на съответния правоъгълник (фиг.) И се изчислява по формулата

S пр.н.е. = 2πRH, (1)

Ако добавим площта на двете му основи към площта на страничната повърхност на цилиндъра, получаваме общата повърхност на цилиндъра

S пълен =2πRH + 2πR 2 = 2πR (H + R).

Обем на прав цилиндър

където Q е площта на основата, а H е височината на цилиндъра.

Тъй като площта на основата на цилиндъра е Q, тогава има последователности от описани и вписани многоъгълници с области Q ни Q' нтакова, че

\(\lim_(n \rightarrow \infty)\) В н= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q’ н= Q.

Нека построим последователност от призми, чиито основи са описаните и вписани многоъгълници, разгледани по-горе, и чиито странични ръбове са успоредни на образуващата на дадения цилиндър и имат дължина H. Тези призми са описани и вписани за дадения цилиндър. Техните обеми се намират по формулите

V н= Q н H и V' н= Q' нз.

следователно

V= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q н H = \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q’ н H = QH.

Последица.
Обемът на прав кръгов цилиндър се изчислява по формулата

V = π R 2 H

където R е радиусът на основата, а H е височината на цилиндъра.

Тъй като основата на кръгъл цилиндър е кръг с радиус R, тогава Q = π R 2 и следователно

Телата на въртене, изучавани в училище, са цилиндър, конус и топка.

Ако в задача на Единния държавен изпит по математика трябва да изчислите обема на конус или площта на сфера, считайте се за късметлия.

Приложете формули за обем и повърхност на цилиндър, конус и сфера. Всички те са в нашата маса. Научавам наизуст. Тук започват знанията за стереометрията.

Понякога е добре да нарисувате гледката отгоре. Или, както в този проблем, отдолу.

2. Колко пъти обемът на конус, описан около правилна четириъгълна пирамида, е по-голям от обема на конус, вписан в тази пирамида?

Просто е - нарисувайте изгледа отдолу. Виждаме, че радиусът по-голям кръгпъти по-голям от радиуса на по-малкия. Височините на двата конуса са еднакви. Следователно обемът на по-големия конус ще бъде два пъти по-голям.

Друг важен момент. Спомнете си, че в задачите от част Б Опции за единен държавен изпитв математиката отговорът се записва като цяло число или крайно число десетичен знак. Следователно във вашия отговор в част Б не трябва да има или. Няма нужда да замествате и приблизителната стойност на числото! Определено трябва да се свие! Именно за тази цел в някои задачи задачата се формулира, например, както следва: „Намерете площта на страничната повърхност на цилиндъра, разделена на.“

Къде другаде се използват формулите за обем и повърхност на телата на революция? Разбира се, в задача C2 (16). Ние също ще ви разкажем за това.

Цилиндърът (произлиза от гръцки език, от думите „ролка“, „валяк“) е геометрично тяло, ограничено отвън от повърхност, наречена цилиндрична и две равнини. Тези равнини пресичат повърхността на фигурата и са успоредни една на друга.

Цилиндрична повърхност е повърхност, която е образувана от права линия в пространството. Тези движения са такива, че избраната точка от тази права линия се движи по крива от равнинен тип. Такава права линия се нарича образуваща, а крива линия се нарича водач.

Цилиндърът се състои от двойка основи и страна цилиндрична повърхност. Има няколко вида цилиндри:

1. Кръгъл, прав цилиндър. Такъв цилиндър има основа и водач, перпендикулярен на генериращата линия, и има

2. Наклонен цилиндър. Неговият ъгъл между образуващата права и основата не е прав.

3. Цилиндър с различна форма. Хиперболични, елиптични, параболични и др.

Площта на цилиндъра, както и общата повърхност на всеки цилиндър, се намират чрез добавяне на площите на основите на тази фигура и площта на страничната повърхност.

Формулата за изчисляване на общата площ на цилиндъра за кръгъл, прав цилиндър:

Sp = 2p Rh + 2p R2 = 2p R (h+R).

Установено е, че площта на страничната повърхност е малко по-сложна от площта на целия цилиндър; тя се изчислява чрез умножаване на дължината на линията на генератора по периметъра на сечението, образувано от равнина, която е перпендикулярна към линията на образуващата.

Даденият цилиндър за кръгъл, прав цилиндър се разпознава от развитието на този обект.

Развитието е правоъгълник с височина h и дължина P, която е равна на периметъра на основата.

От това следва, че страничната площ на цилиндъра е равна на площта на почистване и може да се изчисли по тази формула:

Ако вземем кръгъл прав цилиндър, тогава за него:

P = 2p R и Sb = 2p Rh.

Ако цилиндърът е наклонен, тогава площта на страничната повърхност трябва да бъде равна на произведението на дължината на неговата генерираща линия и периметъра на сечението, което е перпендикулярно на тази генерираща линия.

За съжаление, няма проста формула за изразяване на страничната повърхност на наклонен цилиндър по отношение на неговата височина и параметрите на неговата основа.

За да изчислите цилиндър, трябва да знаете няколко факта. Ако едно сечение със своята равнина пресича основите, то такова сечение винаги е правоъгълник. Но тези правоъгълници ще бъдат различни в зависимост от позицията на секцията. Една от страните на аксиалното сечение на фигурата, която е перпендикулярна на основите, е равна на височината, а другата е равна на диаметъра на основата на цилиндъра. И съответно площта на такова сечение е равна на произведението на едната страна на правоъгълника от другата, перпендикулярна на първата, или произведението на височината на дадена фигура и диаметъра на нейната основа.

Ако сечението е перпендикулярно на основите на фигурата, но не минава през оста на въртене, тогава площта на това сечение ще бъде равна на произведението на височината на този цилиндър и определена хорда. За да получите акорд, трябва да построите кръг в основата на цилиндъра, да начертаете радиус и да начертаете върху него разстоянието, на което се намира секцията. И от тази точка трябва да начертаете перпендикуляри на радиуса от пресечната точка с кръга. Пресечните точки са свързани с центъра. А основата на триъгълника е желаната, която се търси със звуци по следния начин: „Сумата от квадратите на два крака е равна на хипотенузата на квадрат“:

C2 = A2 + B2.

Ако сечението не засяга основата на цилиндъра, а самият цилиндър е кръгъл и прав, тогава площта на този участък се намира като площта на кръга.

Площта на кръга е:

S env. = 2п R2.

За да намерите R, трябва да разделите неговата дължина C на 2n:

R = C\2n, където n е pi, математическа константа, изчислена за работа с кръгови данни и равна на 3,14.