Площта на страничната повърхност на произволна пирамида е равна на сумата от площите на нейните странични лица. Има смисъл да се даде специална формула за изразяване на тази площ в случай на правилна пирамида. И така, нека ни е дадена правилна пирамида, в основата на която лежи правилен n-ъгълник със страна, равна на a. Нека h е височината на страничната повърхност, наричана още апотемапирамиди. Площта на едната странична повърхност е 1/2ah, а цялата странична повърхностпирамидата има площ равна на n/2ha Тъй като na е периметърът на основата на пирамидата, можем да запишем намерената формула във вида:

Площ на страничната повърхностна правилна пирамида е равно на произведението на нейната апотема и половината от периметъра на основата.

Относно обща повърхност, тогава просто добавяме площта на основата към страничната.

Вписана и описана сфера и топка. Трябва да се отбележи, че центърът на сферата, вписана в пирамидата, лежи в пресечната точка на ъглополовящите равнини на вътрешните двустенни ъгли на пирамидата. Центърът на сферата, описана близо до пирамидата, лежи в пресечната точка на равнини, минаващи през средните точки на ръбовете на пирамидата и перпендикулярни на тях.

Пресечена пирамида.Ако една пирамида се разрязва от равнина, успоредна на нейната основа, тогава частта, затворена между сечащата равнина и основата, се нарича пресечена пирамида.Фигурата показва пирамида; изхвърляйки нейната част, лежаща над режещата равнина, получаваме пресечена пирамида. Ясно е, че малката изхвърлена пирамида е хомотетична на голямата пирамида с център на хомотетия на върха. Коефициентът на подобие е равен на съотношението на височините: k=h 2 /h 1, или странични ръбове, или други съответни линейни размеридвете пирамиди. Знаем, че площите на подобни фигури са свързани като квадрати с линейни размери; така че площите на основите на двете пирамиди (т.е. площта на основите на пресечената пирамида) са свързани като

Тук S 1 е площта на долната основа, а S 2 е площта на горната основа на пресечената пирамида. Страничните повърхности на пирамидите са в същото отношение. Подобно правило съществува и за обемите.

Обеми на подобни теласа свързани като кубове с техните линейни размери; например, обемите на пирамидите са свързани като произведение на техните височини и площта на основите, от което веднага се получава нашето правило. То е от напълно общ характер и пряко следва от факта, че обемът винаги има размерност на трета степен на дължината. Използвайки това правило, извличаме формула, изразяваща обема на пресечена пирамида чрез височината и площта на основите.

Нека е дадена пресечена пирамида с височина h и основни площи S 1 и S 2 . Ако си представим, че тя е разширена до пълна пирамида, тогава коефициентът на подобие между пълната пирамида и малката пирамида може лесно да се намери като корен на отношението S 2 /S 1 . Височината на пресечена пирамида се изразява като h = h 1 - h 2 = h 1 (1 - k). Сега имаме за обема на пресечена пирамида (V 1 и V 2 означават обемите на пълната и малката пирамида)

формула за обем на пресечена пирамида

Нека изведем формулата за площта S на страничната повърхност на правилна пресечена пирамида през периметъра P 1 и P 2 на основите и дължината на апотемата a. Разсъждаваме точно по същия начин, както при извеждането на формулата за обем. Допълване на пирамидата горна част, имаме P 2 = kP 1, S 2 = k 2 S 1, където k е коефициентът на подобие, P 1 и P 2 са периметрите на основите, а S 1 и S 2 са площите на страничните повърхности на цялата получена пирамида и съответно нейната горна част. За страничната повърхност намираме (a 1 и a 2 са апотеми на пирамидите, a = a 1 - a 2 = a 1 (1-k))

формула за площта на страничната повърхност на правилна пресечена пирамида

Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявка на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, адрес електронна пощаи т.н.

Как използваме вашата лична информация:

• Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас и да ви информираме за уникални предложения, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
• Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на информация на трети лица

Ние не разкриваме информацията, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

• При необходимост - по реда на закона, съдебния ред, в пробен период, и/или въз основа на публични искания или искания от държавни агенции в Руската федерация - разкрива личната ви информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Зачитане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Цилиндърът е геометрично тяло, ограничено от две успоредни равнини и цилиндрична повърхност. В статията ще говорим за това как да намерим площта на цилиндър и, използвайки формулата, ще решим няколко проблема като пример.

Цилиндърът има три повърхности: горна, основа и странична повърхност.

Горната част и основата на цилиндъра са кръгове и лесно се разпознават.

Известно е, че площта на кръга е равна на πr 2. Следователно формулата за площта на два кръга (горната и основата на цилиндъра) ще бъде πr 2 + πr 2 = 2πr 2.

Третата, странична повърхност на цилиндъра, е извитата стена на цилиндъра. За да си представим по-добре тази повърхност, нека се опитаме да я трансформираме, за да получим разпознаваема форма. Представете си, че цилиндърът е обикновен калай, който няма горен капак или дъно. Нека направим вертикален разрез на страничната стена от върха до основата на кутията (стъпка 1 на фигурата) и се опитайте да отворите (изправите) получената фигура колкото е възможно повече (стъпка 2).

След като полученият буркан е напълно отворен, ще видим позната фигура (Стъпка 3), това е правоъгълник. Площта на правоъгълник е лесна за изчисляване. Но преди това нека се върнем за момент към оригиналния цилиндър. Върхът на оригиналния цилиндър е кръг и знаем, че обиколката се изчислява по формулата: L = 2πr. На фигурата е отбелязано в червено.

Когато страничната стена на цилиндъра е напълно отворена, виждаме, че обиколката става дължината на получения правоъгълник. Страните на този правоъгълник ще бъдат обиколката (L = 2πr) и височината на цилиндъра (h). Площта на правоъгълник е равна на произведението на неговите страни - S = дължина x ширина = L x h = 2πr x h = 2πrh. В резултат на това получихме формула за изчисляване на площта на страничната повърхност на цилиндъра.

Формула за площта на страничната повърхност на цилиндър
S страна = 2πrh

Обща повърхност на цилиндър

И накрая, ако добавим площта на трите повърхности, получаваме формулата за общата повърхност на цилиндър. Повърхностната площ на цилиндъра е равна на площта на горната част на цилиндъра + площта на основата на цилиндъра + площта на страничната повърхност на цилиндъра или S = ​​πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Понякога този израз се записва идентичен с формулата 2πr (r + h).

Формула за общата повърхност на цилиндър
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r – радиус на цилиндъра, h – височина на цилиндъра

Примери за изчисляване на повърхността на цилиндър

За да разберем горните формули, нека се опитаме да изчислим повърхността на цилиндър, като използваме примери.

1. Радиусът на основата на цилиндъра е 2, височината е 3. Определете площта на страничната повърхност на цилиндъра.

Общата повърхност се изчислява по формулата: S страна. = 2πrh

S страна = 2 * 3,14 * 2 * 3

S страна = 6,28 * 6

S страна = 37,68

Страничната повърхност на цилиндъра е 37,68.

2. Как да намерим повърхността на цилиндър, ако височината е 4 и радиусът е 6?

Общата площ на повърхността се изчислява по формулата: S = 2πr 2 + 2πrh

S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4

S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24

• Задача 1. Намерете общата повърхност на пирамидата
• Задача 2. Намерете страничната повърхност на правилна триъгълна пирамида

Проблем 1. Намерете общата повърхност на правилна пирамида

Решение.

В основата на правилна триъгълна пирамида лежи равностранен триъгълник.
Следователно, за да решим проблема, ще използваме свойствата на правилния триъгълник:

Знаем височината на триъгълника, откъдето можем да намерим неговата площ.
h = √3/2 a
a = h / (√3/2)
a = 3 / (√3/2)
a = 6 / √3

Откъдето площта на основата ще бъде равна на:
S = √3/4 a 2
S = √3/4 (6 / √3) 2
S = 3√3

За да намерим площта на страничната повърхност, изчисляваме височината KM. Според задачата ъгълът OKM е 45 градуса.
По този начин:
OK / MK = cos 45
Нека използваме таблицата със стойности на тригонометрични функции и заместваме известните стойности.

OK / MK = √2/2

Нека вземем предвид, че OK е равно на радиуса на вписаната окръжност. Тогава
OK = √3/6a
OK = √3/6 * 6/√3 = 1

Тогава
OK / MK = √2/2
1/MK = √2/2
MK = 2/√2

Тогава площта на страничната повърхност е равна на половината от произведението на височината и основата на триъгълника.
Sстрана = 1/2 (6 / √3) (2/√2) = 6/√6

Така общата повърхност на пирамидата ще бъде равна на
S = 3√3 + 3 * 6/√6
S = 3√3 + 18/√6

Отговор: 3√3 + 18/√6

Проблем 2. Намерете страничната повърхност на правилна пирамида

Решение.

Тъй като основата на правилната триъгълна пирамида е равностранен триъгълник, AO е радиусът на окръжността, описана около основата.
(Това следва от)

Радиусът на окръжност, описана около равностранен триъгълник, може да се намери от неговите свойства

Откъдето дължината на ръбовете на правилна триъгълна пирамида ще бъде равна на:
AM 2 = MO 2 + AO 2
височината на пирамидата е известна по условие (10 cm), AO = 16√3/3
AM 2 = 100 + 256/3
AM = √(556/3)

Всяка страна на пирамидата е равнобедрен триъгълник. Квадрат равнобедрен триъгълникнамираме от първата формула, представена по-долу

S = 1/2 * 16 sqrt((√(556/3) + 8) (√(556/3) - 8))
S = 8 sqrt ((556/3) - 64)
S = 8 sqrt (364/3)
S = 16 sqrt (91/3)

Тъй като и трите лица на правилната пирамида са равни, площта на страничната повърхност ще бъде равна на
3S = 48 √(91/3)

Отговор: 48 √(91/3)

Задача 3. Намерете общата повърхност на правилна пирамида

Страната на правилна триъгълна пирамида е 3 см, а ъгълът между страничната страна и основата на пирамидата е 45 градуса. Намерете общата повърхност на пирамидата.

Решение.
Тъй като пирамидата е правилна, в основата й има равностранен триъгълник. Следователно площта на основата е


И така = 9 * √3/4

За да намерим площта на страничната повърхност, изчисляваме височината KM. Според задачата ъгълът OKM е 45 градуса.
По този начин:
OK / MK = cos 45
Да се ​​възползваме

е многостранна фигура, чиято основа е многоъгълник, а останалите лица са представени от триъгълници с общ връх.

Ако основата е квадрат, тогава се нарича пирамида четириъгълна, ако е триъгълник – тогава триъгълна. Височината на пирамидата се изчертава от върха й перпендикулярно на основата. Използва се и за изчисляване на площ апотема– височината на страничното лице, спусната от върха му.
Формулата за площта на страничната повърхност на пирамидата е сумата от площите на нейните странични лица, които са равни една на друга. Този метод на изчисление обаче се използва много рядко. По принцип площта на пирамидата се изчислява чрез периметъра на основата и апотемата:

Нека разгледаме пример за изчисляване на площта на страничната повърхност на пирамида.

Нека ни е дадена пирамида с основа ABCDE и връх F. AB =CD =DE =EA =3 см. Намерете площта на страничната повърхност на пирамидата.
Нека намерим периметъра. Тъй като всички ръбове на основата са равни, периметърът на петоъгълника ще бъде равен на:
Сега можете да намерите страничната област на пирамидата:

Площ на правилна триъгълна пирамида

Правилната триъгълна пирамида се състои от основа, в която лежи правилен триъгълник и три странични стени, които са еднакви по площ.
Може да се изчисли формулата за площта на страничната повърхност на правилна триъгълна пирамида различни начини. Можете да приложите обичайната формула за изчисление, като използвате периметъра и апотемата, или можете да намерите площта на едно лице и да я умножите по три. Тъй като лицето на пирамидата е триъгълник, прилагаме формулата за площта на триъгълника. Това ще изисква апотема и дължината на основата. Нека разгледаме пример за изчисляване на страничната повърхност на правилна триъгълна пирамида.

Дадена е пирамида с апотема a = 4 cm и основа b = 2 cm. Намерете лицето на страничната повърхност на пирамидата.
Първо намерете областта на една от страничните повърхности. IN в такъв случайТя ще бъде:
Заместете стойностите във формулата:
Тъй като в правилната пирамида всички страни са еднакви, площта на страничната повърхност на пирамидата ще бъде равна на сумата от площите на трите лица. Съответно:

Площ на пресечена пирамида

СъкратенПирамидата е многостен, който се състои от пирамида и нейното напречно сечение, успоредно на основата.
Формулата за площта на страничната повърхност на пресечена пирамида е много проста. Площта е равна на произведението на половината от сумата на периметрите на основите и апотемата: