Много често, когато решавате училищни задачи по физика или наука, възниква въпросът - как да намерите обиколката на кръг, знаейки диаметъра? Всъщност няма трудности при решаването на този проблем; просто трябва ясно да си представите какво формулиза това са необходими понятия и определения.

Във връзка с

Основни понятия и определения

1. Радиусът е свързващата линия центъра на окръжността и нейната произволна точка. Означава се с латинската буква r.
2. Хорда е линия, свързваща две произволни точки, лежащи върху окръжност.
3. Диаметърът е свързващата линия две точки от окръжност и минаваща през нейния център. Означава се с латинската буква d.
4. е линия, състояща се от всички точки, разположени на равно разстояниеот една избрана точка, наречена негов център. Дължината му ще обозначаваме с латинската буква l.

Площта на кръга е цялата територия затворени в кръг. Измерва се в квадратни единиции се обозначава с латинската буква s.

Използвайки нашите определения, стигаме до извода, че диаметърът на окръжност е равен на най-голямата й хорда.

внимание!От определението какво е радиусът на окръжност можете да разберете какъв е диаметърът на окръжност. Това са два радиуса, разположени в противоположни посоки!

Диаметър на кръг.

Намиране на обиколка и площ на кръг

Ако ни е даден радиус на окръжност, тогава диаметърът на окръжността се описва с формулата d = 2*r. По този начин, за да се отговори на въпроса как да се намери диаметърът на кръг, знаейки неговия радиус, последното е достатъчно умножете по две.

Формулата за обиколката на окръжност, изразена чрез нейния радиус, има формата l = 2*P*r.

внимание!Латинската буква P (Pi) обозначава съотношението на обиколката на кръг към неговия диаметър и това е непериодично десетичен знак. В училищната математика се счита за предварително известна таблична стойност, равна на 3,14!

Сега нека пренапишем предишната формула, за да намерим обиколката на окръжност през нейния диаметър, като си спомним каква е нейната разлика спрямо радиуса. Ще се окаже: l = 2*P*r = 2*r*P = P*d.

От курса по математика знаем, че формулата, описваща площта на кръг, има формата: s = П*r^2.

Сега нека пренапишем предишната формула, за да намерим площта на кръг през неговия диаметър. Получаваме,

s = П*r^2 = П*d^2/4.

Една от най-трудните задачи в тази тема е определянето на площта на окръжност през обиколката и обратно. Нека се възползваме от факта, че s = П*r^2 и l = 2*П*r. От тук получаваме r = l/(2*П). Нека заместим получения израз за радиуса във формулата за площта, получаваме: s = l^2/(4П). По напълно подобен начин обиколката се определя чрез площта на кръга.

Определяне на дължината и диаметъра на радиуса

важно!Първо, нека научим как да измерваме диаметъра. Много е просто - начертайте произволен радиус, удължете го в обратната посока, докато се пресече с дъгата. Измерваме полученото разстояние с компас и използваме произволен метричен инструмент, за да разберем какво търсим!

Нека отговорим на въпроса как да разберем диаметъра на кръг, знаейки неговата дължина. За да направите това, ние го изразяваме от формулата l = П*d. Получаваме d = l/P.

Вече знаем как да намерим диаметъра му от обиколката на окръжност и можем също да намерим радиуса му по същия начин.

l = 2*P*r, следователно r = l/2*P. Като цяло, за да разберете радиуса, той трябва да бъде изразен чрез диаметъра и обратно.

Да предположим, че сега трябва да определите диаметъра, като знаете площта на кръга. Използваме факта, че s = П*d^2/4. Нека изразим d от тук. Ще се получи d^2 = 4*s/P. За да определите самия диаметър, ще трябва да извлечете корен квадратен от дясната страна. Оказва се, че d = 2*sqrt(s/P).

Решаване на типови задачи

1. Нека да разберем как да намерим диаметъра, ако е дадена обиколката. Нека е равно на 778,72 километра. Изисква се да се намери d. d = 778,72/3,14 = 248 километра. Нека си спомним какво е диаметър и веднага да определим радиуса, като разделим стойността d, определена по-горе, наполовина. Ще се получи r = 248/2 = 124километър
2. Нека да разгледаме как да намерим дължината на дадена окръжност, знаейки нейния радиус. Нека r има стойност 8 dm 7 cm. Нека преобразуваме всичко това в сантиметри, тогава r ще бъде равно на 87 сантиметра. Нека използваме формулата, за да намерим неизвестната дължина на окръжност. Тогава нашата желана стойност ще бъде равна на l = 2*3,14*87 = 546,36 см. Нека преобразуваме получената ни стойност в цели числа на метрични величини l = 546,36 cm = 5 m 4 dm 6 cm 3,6 mm.
3. Нека трябва да определим площта на даден кръг, използвайки формулата чрез известния му диаметър. Нека d = 815 метра. Нека си спомним формулата за намиране на площта на кръг. Нека заместим стойностите, дадени ни тук, получаваме s = 3,14*815^2/4 = 521416,625 кв. м.
4. Сега ще научим как да намерим площта на кръг, знаейки дължината на неговия радиус. Нека радиусът е 38 см. Използваме известната ни формула. Нека заместим тук стойността, дадена ни от условието. Получавате следното: s = 3,14*38^2 = 4534,16 кв. см.
5. Последната задача е да се определи площта на кръг въз основа на известната обиколка. Нека l = 47 метра. s = 47^2/(4P) = 2209/12,56 = 175,87 кв. м.

Обиколка

Кръгът е крива линия, която обхваща кръг. В геометрията формите са плоски, така че определението се отнася до двуизмерно изображение. Приема се, че всички точки на тази крива са разположени на еднакво разстояние от центъра на окръжността.

Кръгът има няколко характеристики, въз основа на които се правят изчисления, свързани с тази геометрична фигура. Те включват: диаметър, радиус, площ и обиколка. Тези характеристики са взаимосвързани, тоест за изчисляването им е достатъчна информация за поне един от компонентите. Например, като знаете само радиуса на геометрична фигура, можете да използвате формулата, за да намерите обиколката, диаметъра и площта.

• Радиусът на кръга е сегментът вътре в кръга, свързан с неговия център.
• Диаметърът е сегмент вътре в кръг, свързващ неговите точки и минаващ през центъра. По същество диаметърът е два радиуса. Точно така изглежда формулата за изчисляването му: D=2r.
• Има още един компонент на кръг - акорд. Това е права линия, която свързва две точки на окръжност, но не винаги минава през центъра. Така че хордата, която минава през него, също се нарича диаметър.

Как да разберете обиколката? Нека разберем сега.

Обиколка: формула

За да посочим тази характеристика, избрахме латинска буквастр. Архимед също доказа, че съотношението на обиколката на кръга към неговия диаметър е едно и също число за всички кръгове: това е числото π, което е приблизително равно на 3,14159. Формулата за изчисляване на π е: π = p/d. Според тази формула стойността на p е равна на πd, тоест обиколката: p= πd. Тъй като d (диаметър) е равен на два радиуса, същата формула за обиколката може да бъде записана като p=2πr. Нека разгледаме приложението на формулата, използвайки прости задачи като пример:

Проблем 1

В основата на Цар камбаната диаметърът е 6,6 метра. Каква е обиколката на основата на камбаната?

1. И така, формулата за изчисляване на окръжността е p= πd
2. Заместете съществуващата стойност във формулата: p=3,14*6,6= 20,724

Отговор: Обиколката на основата на камбаната е 20,7 метра.

Проблем 2

Изкуственият спътник на Земята се върти на разстояние 320 км от планетата. Радиусът на Земята е 6370 км. Каква е дължината на кръговата орбита на сателита?

1. 1. Изчислете радиуса на кръговата орбита на спътника на Земята: 6370+320=6690 (km)
2. 2. Изчислете дължината на кръговата орбита на сателита по формулата: P=2πr
3. 3.P=2*3.14*6690=42013.2

Отговор: дължината на кръговата орбита на спътника на Земята е 42013,2 км.

Методи за измерване на обиколка

Изчисляването на обиколката на кръг не се използва често на практика. Причината за това е приблизителната стойност на числото π. В ежедневието, за да намерят дължината на окръжност, те използват специално устройство– кривомер. На кръга се маркира произволна начална точка и от нея уредът се води строго по линията, докато отново достигне тази точка.

Как да намерите обиколката на кръг? Просто трябва да запазите в главата си прости формули за изчисление.

Известно е, че независимо от обиколката, съотношението й към диаметъра е постоянно число. Ако диаметърът на кръга е известен, тогава трябва да умножите тази стойност по числото Pi (3.14).

Формулата изглежда така:

Ако радиусът е известен, тогава, за да намерим диаметъра, го умножаваме по две, а за да намерим обиколката, отново по числото Pi.

В геометрията окръжността е фигура в равнина; всички точки, лежащи по обиколката на окръжността, са разположени на еднакво разстояние от центъра на окръжността

В геометрията радиусът на кръга е разстоянието от центъра на кръга до която и да е точка от кръга.



Обиколката на кръг с радиус се изчислява по формулата

Обиколката L е равна на 2pi по R.

Или формулата изглежда така. За да избегнете объркване, не забравяйте, че обиколката е периметърът на кръга.



r е радиусът

D - диаметър

Приблизително 3.14

Но кръгът не е кръг

Вижте снимката, която показва разликата между кръг и кръг



Кръгът е крива, която обхваща кръг. Всичките му точки са на еднакво разстояние от центъра. Формулата за изчисляване на обиколката използва радиуса или удвоения радиус - диаметъра и число, което винаги има стойност 3,14.

Следователно формулата изглежда така: L=dили L=2R, където L е стойността на обиколката, получена чрез умножаване на числото (3.14) по радиуса на кръга или двойния диаметър.

Още от средата училищна програмаЯсно си спомням формулата за измерване на обиколката. Тази формула изглежда така - 2Pr, където r е радиусът на окръжността, който е равен на половината от диаметъра, а числото P е непроменено и равно на 3,14.

Формулата за обиколка е Pi, умножено по диаметър или Pi, умножено по радиус, умножено по 2.

Обиколката може да се намери по един от следните методи:

• ако диаметърът на кръга е известен, тогава формулата изглежда така L = PD
• ако радиусът на окръжността е известен, тогава формулата има следния вид: L = 2Pr.

• Формула за обиколка

  

  Ако използвате Yandex, можете да изчислите обиколката в самия интерфейс за търсене. Въведете в Yandex формула за обиколка, ще ви даде формула за изчисление и прозорец за въвеждане на стойността. След това ще трябва да щракнете върху бутона Изчисли.

  Един кръг е такъв геометрична фигура, което е съвкупността от всички негови точки в равнината, на еднакво разстояние от нейния център, на разстояние, наречено радиус.

  За да изчислите обиколката, обикновено означавана като L, трябва да умножите радиуса, обозначен като R, по 2 и по числото Pi. L=2PiR. Pi е постоянна стойност и е равна на 3,14.

  Или можете да вземете два пъти радиуса, тоест диаметъра (D) и тогава формулата ще изглежда така: L=PiD.

  Можете да намерите обиколката на кръг, без да знаете радиуса. За да направите това, трябва да знаете площта на кръга.

  Формула за изчисляване на обиколка на кръг известен площадкръгизглежда така:

  L=2*корен квадратен pi*S

  където S е площта на кръга.

  Обиколка

  Можете да копирате таблицата по-долу с основните формули за кръг и кръг на вашия компютър. Ще ви помогне повече от веднъж при решаване на геометрични задачи.

  

  Има и формула за обиколка на кръг. Изглежда като: L=2PR

  На уебсайта Колекция от формули можете да изчислите обиколката на кръг, като въведете данните, които имате. На същото място

  Решаване на уравнения:

  Геометрична прогресия:

  Комбинаторика:

  Решете химично уравнение

Circle calculator е услуга, специално създадена за изчисляване на геометричните размери на фигури онлайн. Благодарение на тази услуга можете лесно да определите всеки параметър на фигура въз основа на кръг. Например: Знаете обема на една топка, но трябва да получите нейната площ. Нищо не може да бъде по-лесно! Изберете подходящата опция, въведете числова стойности щракнете върху бутона за изчисляване. Услугата не само показва резултатите от изчисленията, но и предоставя формулите, по които са направени. Използвайки нашата услуга, можете лесно да изчислите радиуса, диаметъра, обиколката (периметъра на кръга), площта на кръга и топката и обема на топката.

Изчислете радиуса

Задачата за изчисляване на стойността на радиуса е една от най-често срещаните. Причината за това е доста проста, защото знаейки този параметър, можете лесно да определите стойността на всеки друг параметър на кръг или топка. Нашият сайт е изграден точно по тази схема. Независимо какъв първоначален параметър сте избрали, първо се изчислява стойността на радиуса и всички следващи изчисления се базират на нея. За по-голяма точност на изчисленията сайтът използва Pi, закръглено до 10-ия знак след десетичната запетая.

Изчислете диаметъра

Изчисляването на диаметър е най-простият тип изчисление, което нашият калкулатор може да извърши. Изобщо не е трудно да получите стойността на диаметъра ръчно, за това изобщо не е необходимо да прибягвате до интернет. Диаметърът е равен на стойността на радиуса, умножена по 2. Диаметър – най-важният параметъркръг, който изключително често се използва в Ежедневието. Абсолютно всеки трябва да може да го изчисли и използва правилно. Използвайки възможностите на нашия сайт, вие ще изчислите диаметъра с голяма точност за части от секундата.

Разберете обиколката

Дори не можете да си представите колко кръгли предмети има около нас и каква важна роля играят в живота ни. Способността за изчисляване на обиколката е необходима за всеки, от обикновен шофьор до водещ инженер по дизайн. Формулата за изчисляване на обиколката е много проста: D=2Pr. Изчислението може лесно да се направи или на лист хартия, или с помощта на този онлайн асистент. Предимството на последния е, че илюстрира всички изчисления със снимки. И на всичкото отгоре, вторият метод е много по-бърз.

Изчислете площта на кръг

Площта на кръга - както всички параметри, изброени в тази статия - е в основата на съвременната цивилизация. Възможността за изчисляване и познаване на площта на кръг е полезна за всички сегменти от населението без изключение. Трудно е да си представим област на науката и технологиите, в която не би било необходимо да се знае площта на кръг. Формулата за изчисление отново не е трудна: S=PR 2. Тази формула и нашият онлайн калкулатор ще ви помогнат без допълнителни усилияНамерете площта на всеки кръг. Нашият сайт гарантира висока точностизчисления и тяхното светкавично изпълнение.

Изчислете площта на сфера

Формулата за изчисляване на площта на топката изобщо не е такава по-сложни формулиописани в предходните параграфи. S=4Pr 2 . Този прост набор от букви и цифри дава на хората способността да изчисляват сравнително точно площта на топка в продължение на много години. Къде може да се приложи това? Да навсякъде! Например знаете, че областта глобусравно на 510 100 000 квадратни километра. Безполезно е да изброявам къде може да се приложи познаването на тази формула. Обхватът на формулата за изчисляване на площта на сфера е твърде широк.

Изчислете обема на топката

За да изчислите обема на топката, използвайте формулата V = 4/3 (Pr 3). Използван е за създаването на нашия онлайн услуга. Уебсайтът дава възможност да се изчисли обемът на топка за няколко секунди, ако знаете някой от следните параметри: радиус, диаметър, обиколка, площ на кръг или площ на топка. Можете също да го използвате за обратни изчисления, например, за да знаете обема на топка и да получите стойността на нейния радиус или диаметър. Благодарим ви, че разгледахте бързо възможностите на нашия кръгов калкулатор. Надяваме се, че сте харесали нашия сайт и вече сте го маркирали.

Първо, нека разберем разликата между кръг и кръг. За да видите тази разлика, достатъчно е да разгледате какво представляват и двете фигури. Това са безкраен брой точки на равнината, разположени на еднакво разстояние от една единствена Централна точка. Но, ако кръгът се състои от вътрешно пространство, тогава не принадлежи на кръга. Оказва се, че окръжността е както окръжност, която я ограничава (circle(r)), така и безброй точки, които са вътре в окръжността.

За всяка точка L, лежаща на окръжността, важи равенството OL=R. (Дължината на отсечката OL е равна на радиуса на окръжността).

Отсечка, която свързва две точки от окръжност, е негова акорд.

Хорда, минаваща директно през центъра на окръжност, е диаметъртози кръг (D). Диаметърът може да се изчисли по формулата: D=2R

Обиколкаизчислява се по формулата: C=2\pi R

Площ на кръг: S=\pi R^(2)

Дъга от кръгсе нарича тази част от него, която се намира между двете му точки. Тези две точки определят две дъги на окръжност. Хордата CD обхваща две дъги: CMD и CLD. Еднаквите хорди обхващат равни дъги.

Централен ъгълЪгъл, който лежи между два радиуса, се нарича.

Дължината на дъгатаможе да се намери с помощта на формулата:

1. Използвайки степенна мярка: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
2. Използване на радианова мярка: CD = \alpha R

Диаметърът, който е перпендикулярен на хордата, разделя хордата и свитите от нея дъги наполовина.

Ако хордите AB и CD на окръжност се пресичат в точка N, тогава произведенията на отсечки от хорди, разделени от точка N, са равни една на друга.

AN\cdot NB = CN\cdot ND

Допирателна към окръжност

Допирателна към окръжностОбичайно е да се нарича права линия, която има една обща точка с кръг.

Ако една права има две общи точки, тя се нарича секуща.

Ако начертаете радиуса към допирателната, той ще бъде перпендикулярен на допирателната към окръжността.

Нека начертаем две допирателни от тази точка към нашата окръжност. Оказва се, че допирателните сегменти ще бъдат равни един на друг, а центърът на окръжността ще бъде разположен върху ъглополовящата на ъгъла с върха в тази точка.

AC = CB

Сега нека начертаем допирателна и секанс към окръжността от нашата точка. Получаваме, че квадратът на дължината на допирателната отсечка ще бъде равен на произведението на цялата секуща отсечка и външната му част.

AC^(2) = CD \cdot BC

Можем да заключим: произведението на цяла отсечка от първия секанс и неговата външна част е равно на произведението от цяла отсечка от втория секанс и неговата външна част.

AC\cdot BC = EC\cdot DC

Ъгли в кръг

Градусните мерки на централния ъгъл и дъгата, върху която той лежи, са равни.

\angle COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)

Вписан ъгъле ъгъл, чийто връх е върху окръжност и чиито страни съдържат хорди.

Можете да го изчислите, като знаете размера на дъгата, тъй като той е равен на половината от тази дъга.

\ъгъл AOB = 2 \ъгъл ADB

Въз основа на диаметър, вписан ъгъл, прав ъгъл.

\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ (\circ)

Вписаните ъгли, които обхващат една и съща дъга, са еднакви.

Вписаните ъгли, лежащи върху една хорда, са еднакви или сумата им е равна на 180^ (\circ) .

\angle ADB + \angle AKB = 180^ (\circ)

\ъгъл ADB = \ъгъл AEB = \ъгъл AFB

На същата окръжност са върховете на триъгълници с еднакви ъгли и дадена основа.

Ъгъл с връх в окръжност и разположен между две хорди е идентичен на половината от сумата ъглови стойностидъги от окръжност, които се съдържат в даден вертикален ъгъл.

\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \left (\cup DmC + \cup AlB \right)

Ъгъл с връх извън окръжността и разположен между две секанти е идентичен на половината от разликата в ъгловите стойности на дъгите на окръжността, които се съдържат вътре в ъгъла.

\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac(1)(2) \left (\cup DmC - \cup AlB \right)

Вписан кръг

Вписан кръге окръжност, допирателна към страните на многоъгълник.

В точката, където се пресичат ъглополовящите на ъглите на многоъгълник, се намира неговият център.

Окръжност не може да бъде вписана във всеки многоъгълник.

Площта на многоъгълник с вписан кръг се намира по формулата:

S = pr,

p е полупериметърът на многоъгълника,

r е радиусът на вписаната окръжност.

От това следва, че радиусът на вписаната окръжност е равен на:

r = \frac(S)(p)

Сумите от дължините на противоположните страни ще бъдат еднакви, ако окръжността е вписана в изпъкнал четириъгълник. И обратното: окръжност се вписва в изпъкнал четириъгълник, ако сумите от дължините на срещуположните страни са еднакви.

AB + DC = AD + BC

Във всеки от триъгълниците е възможно да се впише кръг. Само един единствен. В точката, където се пресичат ъглополовящите вътрешни ъглифигура, центърът на този вписан кръг ще лежи.

Радиусът на вписаната окръжност се изчислява по формулата:

r = \frac(S)(p),

където p = \frac(a + b + c)(2)

Околна окръжност

Ако окръжност минава през всеки връх на многоъгълник, тогава такава окръжност обикновено се нарича описано за многоъгълник.

В точката на пресичане на перпендикулярните ъглополовящи на страните на тази фигура ще бъде центърът на описаната окръжност.

Радиусът може да се намери, като се изчисли като радиуса на окръжността, описана около триъгълника, определен от всеки 3 върха на многоъгълника.

Съществува следното условие: около четириъгълник може да се опише окръжност само ако сборът от срещуположните му ъгли е равен на 180^( \circ) .

\ъгъл A + \ъгъл C = \ъгъл B + \ъгъл D = 180^ (\circ)

Около всеки триъгълник можете да опишете окръжност и само една. Центърът на такъв кръг ще бъде разположен в точката, където се пресичат перпендикулярните ъглополовящи на страните на триъгълника.

Радиусът на описаната окръжност може да се изчисли по формулите:

R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)

R = \frac(abc)(4 S)

a, b, c са дължините на страните на триъгълника,

S е площта на триъгълника.

Теорема на Птолемей

И накрая, разгледайте теоремата на Птолемей.

Теоремата на Птолемей гласи, че произведението на диагоналите е идентично на сумата от произведенията на противоположните страни на цикличен четириъгълник.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD