Общи теореми за динамиката на система от тела. Теореми за движението на центъра на масата, за изменението на импулса, за изменението на главния ъглов момент, за изменението на кинетичната енергия. Принципи на Д'Аламбер и възможни движения. Общо уравнение на динамиката. Уравнения на Лагранж.

Общи теореми за динамиката на твърдо тяло и система от тела

Общи теореми на динамиката- това е теорема за движението на центъра на масата механична система, теоремата за промяната на импулса, теоремата за промяната на главния ъглов момент (кинетичен импулс) и теоремата за промяната на кинетичната енергия на механична система.

Теорема за движението на центъра на масата на механична система

Теорема за движението на центъра на масата.
Произведението на масата на системата и ускорението на нейния център на масата е равно на векторната сума на всички външни сили, действащи върху системата:
.

Тук M е масата на системата:
;
a C е ускорението на центъра на масата на системата:
;
v C - скорост на центъра на масата на системата:
;
r C - радиус вектор (координати) на центъра на масата на системата:
;
- координати (спрямо неподвижния център) и маси на точките, които изграждат системата.

Теорема за промяната на импулса (импулса)

Количеството движение (импулс) на систематае равно на произведението на масата на цялата система от скоростта на нейния център на масата или сумата от импулса (сумата от импулси) на отделните точки или части, които съставляват системата:
.

Теорема за промяната на импулса в диференциална форма.
Производната по време на количеството движение (импулс) на системата е равна на векторната сума на всички външни сили, действащи върху системата:
.

Теорема за промяната на импулса в интегрална форма.
Промяната в импулса (импулса) на системата за определен период от време е равна на сумата от импулсите на външните сили за същия период от време:
.

Закон за запазване на импулса (импулса).
Ако сумата от всички външни сили, действащи върху системата, е нула, тогава векторът на импулса на системата ще бъде постоянен. Тоест всички негови проекции върху координатните оси ще поддържат постоянни стойности.

Ако сумата от проекциите на външните сили върху която и да е ос е нула, тогава проекцията на количеството на движение на системата върху тази ос ще бъде постоянна.

Теорема за промяната на главния ъглов момент (теорема за моментите)

Главният ъглов импулс на система спрямо даден център O е количеството, равно на векторната сума на ъгловия момент на всички точки на системата спрямо този център:
.
Тук квадратните скоби означават кръстосаното произведение.

Прикачени системи

Следващата теорема се прилага за случая, когато една механична система има фиксирана точка или ос, която е фиксирана спрямо инерционна отправна система. Например тяло, закрепено със сферичен лагер. Или система от тела, движещи се около фиксиран център. Може да бъде и неподвижна ос, около която се върти тяло или система от тела. В този случай моментите трябва да се разбират като моменти на импулс и сили спрямо неподвижната ос.

Теорема за промяната на главния ъглов момент (теорема за моментите)
Производната по време на главния ъглов момент на системата спрямо някакъв неподвижен център O е равна на сумата от моментите на всички външни сили на системата спрямо същия център.

Закон за запазване на главния ъглов момент (ъглов момент).
Ако сумата от моментите на всички външни сили, приложени към системата спрямо даден неподвижен център O е равна на нула, тогава главният ъглов момент на системата спрямо този център ще бъде постоянен. Тоест всички негови проекции върху координатните оси ще поддържат постоянни стойности.

Ако сумата от моментите на външните сили спрямо някаква фиксирана ос е нула, тогава ъгловият момент на системата спрямо тази ос ще бъде постоянен.

Произволни системи

Следващата теорема има универсален характер. Прилага се както за неподвижни, така и за свободно движещи се системи. В случай на фиксирани системи е необходимо да се вземат предвид реакциите на връзките във фиксирани точки. Тя се различава от предишната теорема по това, че вместо фиксирана точка O трябва да се вземе центърът на масата C на системата.

Теорема за моментите около центъра на масата
Производната по време на главния ъглов момент на системата спрямо центъра на масата C е равна на сумата от моментите на всички външни сили на системата спрямо същия център.

Закон за запазване на ъгловия момент.
Ако сумата от моментите на всички външни сили, приложени към системата спрямо центъра на масата C, е равна на нула, тогава главният момент на импулса на системата спрямо този център ще бъде постоянен. Тоест всички негови проекции върху координатните оси ще поддържат постоянни стойности.

Инерционен момент на тялото

Ако тялото се върти около оста zс ъглова скорост ω z, тогава неговият ъглов момент (кинетичен момент) спрямо оста z се определя по формулата:
L z = J z ω z,
където J z е инерционният момент на тялото спрямо оста z.

Инерционният момент на тялото спрямо оста zопределя се по формулата:
,
където h k е разстоянието от точка с маса m k до оста z.
За тънък пръстен с маса M и радиус R или цилиндър, чиято маса е разпределена по ръба му,
J z = M R 2 .
За плътен хомогенен пръстен или цилиндър,
.

Теорема на Щайнер-Хюйгенс.
Нека Cz е оста, минаваща през центъра на масата на тялото, Oz е оста, успоредна на нея. Тогава инерционните моменти на тялото спрямо тези оси са свързани по отношение:
J Oz = J Cz + M a 2 ,
където М е телесно тегло; a е разстоянието между осите.

В повече общ случай :
,
където е тензорът на инерцията на тялото.
Ето вектор, начертан от центъра на масата на тялото до точка с маса m k.

Теорема за промяната на кинетичната енергия

Нека тяло с маса M извършва постъпателно и въртеливо движение с ъглова скорост ω около някаква ос z.
,
Тогава кинетичната енергия на тялото се определя по формулата:
където v C е скоростта на движение на центъра на масата на тялото;

J Cz е инерционният момент на тялото спрямо оста, минаваща през центъра на масата на тялото, успоредна на оста на въртене. Посоката на оста на въртене може да се промени с времето. Тази формула дава моментната стойност на кинетичната енергия.
Теорема за изменението на кинетичната енергия на система в диференциална форма.
.

Теорема за изменението на кинетичната енергия на система в интегрална форма.
Промяната в кинетичната енергия на системата по време на някакво движение е равна на сумата от работата върху това движение на всички външни и вътрешни сили, приложени към системата:
.

Работата, извършена от силата, е равно на скаларното произведение на векторите на силата и безкрайно малкото преместване на точката на нейното приложение:
,
т.е. произведението на абсолютните стойности на векторите F и ds по косинуса на ъгъла между тях.

Работата, извършена от момента на силата, е равно на скаларното произведение на векторите на въртящия момент и безкрайно малкия ъгъл на въртене:
.

принцип на д'Аламбер

Същността на принципа на д'Аламбер е да сведе проблемите на динамиката до проблеми на статиката. За целта се приема (или е известно предварително), че телата на системата имат определени (ъглови) ускорения. След това се въвеждат инерционни сили и (или) моменти на инерционни сили, които са равни по големина и противоположни по посока на силите и моментите на силите, които според законите на механиката биха създали дадени ускорения или ъглови ускорения

Нека разгледаме един пример. Тялото претърпява постъпателно движение и върху него действат външни сили. Освен това приемаме, че тези сили създават ускорение на центъра на масата на системата. Според теоремата за движението на центъра на масата центърът на масата на тялото би имал същото ускорение, ако върху тялото действа сила. След това въвеждаме силата на инерцията:
.
След това проблемът с динамиката:
.
;
.

За въртеливото движение продължете по същия начин. Нека тялото се върти около оста z и върху него действат външни моменти на сила M e zk .
.
Приемаме, че тези моменти създават ъглово ускорение ε z.
;
.

След това въвеждаме момента на инерционните сили M И = - J z ε z.

След това проблемът с динамиката:

Превръща се в статичен проблем:.
Принципът на възможните движения

Принципът на възможните премествания се използва за решаване на проблеми със статиката. В някои задачи дава по-кратко решение от съставянето на равновесни уравнения. Това важи особено за системи с връзки (например системи от тела, свързани с нишки и блокове), състоящи се от много телаПринципът на възможните движения

За равновесието на механична система с идеални връзки е необходимо и достатъчно сумата от елементарните работи на всички действащи върху нея активни сили за всяко възможно движение на системата да е равна на нула.Възможно преместване на системата

Общо уравнение на динамиката (принцип на Д'Аламбер - Лагранж)

Принципът на Д'Аламберт-Лагранж е комбинация от принципа на Д'Аламберт с принципа на възможните движения. Тоест, когато решаваме динамичен проблем, ние въвеждаме инерционни сили и свеждаме проблема до статичен проблем, който решаваме, използвайки принципа на възможните премествания.

Принцип на Д'Аламбер-Лагранж.
Когато механична система с идеални връзки се движи, във всеки момент сумата от елементарните работи на всички приложени активни сили и всички инерционни сили върху всяко възможно движение на системата е нула:
.
Това уравнение се нарича общо уравнениевисокоговорители.

Уравнения на Лагранж

Обобщени q координати 1 , q 2 , ..., q n е набор от n величини, които еднозначно определят позицията на системата.

Броят на обобщените координати n съвпада с броя на степените на свобода на системата.

Обобщени скоростиса производни на обобщени координати по време t.

Обобщени сили Q 1 , Q 2 , ..., Q n .
Нека разгледаме възможно движение на системата, при което координатата q k ще получи движение δq k.
Останалите координати остават непроменени. Нека δA k е работата, извършена от външни сили по време на такова движение. Тогава
.

δA k = Q k δq k , или
Ако при възможно движение на системата всички координати се променят, тогава работата, извършена от външни сили по време на такова движение, има формата: δA = Q.
1 δq 1 + Q 2 δq 2 + ... + Q n δq n
.

Тогава обобщените сили са частични производни на работата върху преместванията: За потенциални сили
.

с потенциал Π,Уравнения на Лагранж

са уравненията на движение на механична система в обобщени координати:
.

Тук Т е кинетична енергия. Това е функция на обобщени координати, скорости и, вероятно, време. Следователно неговата частна производна също е функция на обобщени координати, скорости и време. След това трябва да вземете предвид, че координатите и скоростите са функции на времето. Следователно, за да намерите общата производна по отношение на времето, трябва да приложите правилото за диференциране на сложна функция:
Използвана литература: С. М. Тарг,Кратък курс

теоретична механика, "Висше училище", 2010г. Общи теореми на динамиката

Лекция 3.Динамика на система от материални точки е важен раздел на теоретичната механика. Тук основно разглеждаме проблеми за движението на механични системи (системи от материални точки) с краен брой степени на свобода - максималният брой независими параметри, които определят положението на системата. Основната задача на системната динамика е изучаването на законите на движениетотвърдо

Най-простият подход за изследване на движението на система, състоящ се от Нматериални точки, се свежда до разглеждане на движенията на всяка отделна точка от системата. В този случай трябва да се определят всички сили, действащи върху всяка точка на системата, включително силите на взаимодействие между точките.

Определяйки ускорението на всяка точка в съответствие с втория закон на Нютон (1.2), получаваме за всяка точка три скаларни диференциални закона на движение от втори ред, т.е. 3 Н диференциални закони на движение за цялата система.

За да се намерят уравненията на движение на механична система въз основа на дадени сили и начални условия за всяка точка на системата, получените диференциални закони трябва да бъдат интегрирани. Тази задача е трудна дори в случай на две материални точки, които се движат само под въздействието на сили на взаимодействие съгласно закона за всемирното привличане (проблем на две тела), и изключително трудна в случай на три взаимодействащи точки (проблем на три тела ).

Следователно е необходимо да се намерят методи за решаване на проблеми, които да доведат до разрешими уравнения и да дадат представа за движението на механична система. Общите теореми на динамиката, които са следствие от диференциалните закони на движение, ни позволяват да избегнем сложността, която възниква по време на интегрирането, и да получим необходимите резултати.

3. 1. Общи бележки

Ще номерираме точките на механичната система с индекси i, й, ки т.н., които преминават през всички стойности 1, 2, 3… Н, Къде Н – брой точки на системата. Физични величинисвързани с ктата точка са обозначени със същия индекс като точката. Например изразете радиус вектора и съответно скоростта кта точка.

Върху всяка точка от системата действат сили с два произхода: първо, сили, чиито източници са извън системата, т.нар. външенсили и определени ; второ, сили от други точки на дадена система, т.нар вътрешнисили и определени . Вътрешните сили отговарят на третия закон на Нютон. Нека разгледаме най-простите свойства на вътрешните сили, действащи върху цялата механична система във всяко състояние.

Първи имот. Геометричната сума на всички вътрешни сили на системата (основният вектор на вътрешните сили) е равна на нула.

Наистина, ако разгледаме произволни две точки от системата, например и (фиг. 3.1), тогава за тях , защото силите на действие и реакция винаги са равни по големина, действащи по една линия на действие в противоположна посока, която свързва взаимодействащите точки. Следователно основният вектор на вътрешните сили се състои от двойки сили на взаимодействащи точки

(3.1)

Втори имот. Геометричната сума на моментите на всички вътрешни сили спрямо произволна точка в пространството е равна на нула.

Нека разгледаме система от моменти на сили и спрямо точката ЗА(фиг. 3.1). от (фиг. 3.1). това е ясно

,

защото и двете сили имат еднакви рамена и противоположни посоки на векторни моменти. Основна точкавътрешни сили спрямо точка ЗАсе състои от векторната сума на такива изрази и е равна на нула. следователно

Нека външни и вътрешни сили, действащи върху механична система, състояща се от Нточки (фиг. 3.2). Ако резултантната на външните сили и резултантната на всички вътрешни сили се приложат към всяка точка на системата, тогава за всяка кточка на системата могат да се съставят диференциални уравнения на движение. Ще има общо такива уравнения Н:

и в проекции върху фиксирани координатни оси 3 Н:

(3.4)

Векторни уравнения (3.3) или еквивалентни скаларни уравнения (3.4) представляват диференциалните закони на движение на материалните точки на цялата система. Ако всички точки се движат успоредно на една равнина или една права линия, тогава броят на уравненията (3.4) в първия случай ще бъде 2 Н, във втория Н.

Пример 1.Две маси са свързани една с друга чрез неразтеглив кабел, хвърлен върху блок (фиг. 3.3). Пренебрегвайки силите на триене, както и масата на блока и кабела, определят закона за движение на товарите и напрежението на кабела.

Решение. Системата се състои от две материални тела (свързани с неразтеглив кабел), движещи се успоредно на една и съща ос X.Нека запишем диференциалните закони на движение в проекции върху оста Xза всяко тяло.

Оставете дясната тежест да пада с ускорение, тогава лявата тежест ще се издигне с ускорение. Мислено се освобождаваме от връзката (кабела) и я заместваме с реакции и (фиг. 3.3). Считайки телата за свободни, нека начертаем диференциалните закони на движение в проекция върху оста X(което означава, че напреженията на нишката са вътрешни сили, а теглото на товарите са външни):

Тъй като и (телата са свързани с неразтеглив кабел), получаваме

Решаване на тези уравнения за ускорение и напрежение на кабела Т, получаваме

.

Имайте предвид, че напрежението в кабела не е равно на силата на гравитацията на съответния товар.

3. 2. Теорема за движението на центъра на масата

Известно е, че твърдо тяло и механична система в равнина могат да се движат доста сложно. До първата теорема за движението на тяло и механична система може да се стигне по следния начин: хвърлете к.-л. обект, състоящ се от много твърди тела, закрепени заедно. Ясно е, че ще лети по парабола. Това се разкри при изучаване на движението на точката. Сега обаче обектът не е точка. Той се върти и люлее по време на полета си около някакъв ефективен център, който се движи по парабола. Първата теорема за движението на сложни обекти казва, че определен ефективен център е центърът на масата на движещ се обект. Центърът на масата не е задължително да се намира в самото тяло; той може да се намира някъде извън него.

Теорема. Центърът на масата на механичната система се движи като материална точка с маса, равна на масата на цялата система, към която се прилагат всички външни сили, действащи върху системата.

За да докажем теоремата, пренаписваме диференциалните закони на движение (3.3) в следната форма:

(3.5)

Къде Н – брой точки на системата.

Нека добавим уравненията заедно член по член:

(А)

Положението на центъра на масата на механичната система спрямо избраната координатна система се определя по формула (2.1): Къде М– маса на системата. Тогава лявата странаще бъде написано равенство (а).

Първата сума от дясната страна на равенството (а) е равна на главния вектор на външните сили, а последната, по свойството на вътрешните сили, е равна на нула. Тогава равенството (a), като се вземе предвид (b), ще бъде пренаписано

, (3.6)

тези. произведението на масата на системата и ускорението на центъра на нейната маса е равно на геометричната сума от всички външни сили, действащи върху системата.

От уравнение (3.6) следва, че вътрешните сили не влияят пряко на движението на центъра на масата. Въпреки това, в някои случаи те са причина за появата на външни сили, приложени към системата. По този начин вътрешните сили, които карат задвижващите колела на автомобила да се въртят, предизвикват външна сила на сцепление, приложена към джантата, за да действа върху нея.

Пример 2.Механизмът, разположен във вертикална равнина, е монтиран върху хоризонтална гладка равнина и е прикрепен към нея с пръти, здраво закрепени към повърхността ДОИ Л (фиг. 3.4).

Диск 1 радиус Рнеподвижен. Диск 2 маса ми радиус r прикрепен към манивела, дълж Р+ rв точката C 2. Манивела се върти постоянно

ъглова скорост. В началния момент манивелата зае дясното хоризонтално положение. Пренебрегвайки масата на манивелата, определете максималните хоризонтални и вертикални сили, действащи върху прътите, ако общата маса на рамката и колелото 1 е равна на М.Също така вземете предвид поведението на механизма при липса на решетки.

Решение. Системата се състои от две маси ( Н=2 ): неподвижен диск 1 с рамка и подвижен диск 2. Насочване на оста припрез центъра на тежестта на неподвижния диск вертикално нагоре, ос X– по хоризонталната равнина.

Нека запишем теоремата за движението на центъра на масата (3.6) в координатна форма

Външните сили на тази система са: теглото на рамката и неподвижния диск - Mg, тегло на подвижния диск – мг, - общата хоризонтална реакция на болтовете, - нормалната обща реакция на самолета. следователно

Тогава законите на движение (b) ще бъдат пренаписани

Нека изчислим координатите на центъра на масата на механичната система:

; (G)

както се вижда от (фиг. 3.4), , , (ъгъл на коляно), . Заместване на тези изрази в (d) и изчисляване на вторите производни по отношение на времето tот , , получаваме това

д)

Замествайки (c) и (e) в (b), намираме

Хоризонталното налягане, действащо върху прътите, е най-голямо и най-малко, когато cos = 1 съответно, т.е.

Натиск върху механизма хоризонтална равнинаима най-големи и най-малки стойности, когато грях съответно, т.е.

Всъщност първият проблем на динамиката е решен: съгласно известните уравнения на движение на центъра на масата на системата (d), силите, участващи в движението, се възстановяват.

При липса на решетки КИ Л (фиг. 3.4), механизмът може да започне да подскача над хоризонталната равнина. Това ще стане, когато, т.е. когато , следва, че ъгловата скорост на въртене на манивелата, при която механизмът отскача, трябва да удовлетворява равенството

.

3. 3. Закон за запазване на движението на центъра на масата

Ако главният вектор на външните сили, действащи върху системата, е равен на нула, т.е. , след това от(3.6)следва, че ускорението на центъра на масата е нула, следователно скоростта на центъра на масата е постоянна по големина и посока. Ако, по-специално, в началния момент центърът на масата е в покой, то той е в покой през цялото време, докато главният вектор на външните сили е равен на нула.

От тази теорема следват няколко следствия.

· Вътрешните сили сами по себе си не могат да променят характера на движението на центъра на масата на системата.

· Ако основният вектор на външните сили, действащи върху системата, е нула, тогава центърът на масата е в покой или се движи равномерно и праволинейно.

· Ако проекцията на главния вектор на външните сили на системата върху някаква фиксирана ос е равна на нула, тогава проекцията на скоростта на центъра на масата на системата върху тази ос не се променя.

· Двойка сили, приложени към твърдо тяло, не може да промени движението на неговия център на масата (тя може само да накара тялото да се върти около центъра на масата).

Нека разгледаме пример, илюстриращ закона за запазване на движението на центъра на масата.

Пример 3.Две маси са свързани с неразтеглива нишка, хвърлена през блок (фиг. 3.5), фиксирани на клин с маса М.Клинът лежи върху гладка хоризонтална равнина. В началния момент системата беше в покой. Намерете изместването на клина по равнината, когато първият товар се спусне на височина Н.Пренебрегнете масата на блока и резбата.

Решение.Външните сили, действащи върху клина заедно с товарите, са гравитацията и Mg, както и нормалната реакция на гладка хоризонтална повърхност N. Следователно,

Тъй като в началния момент системата е била в покой, имаме .

Нека изчислим координатите на центъра на масата на системата в и в момента t 1 когато товарът тежи жще слезе на височина з.

За момента:

,

Къде , , X– съответно координатите на центъра на масата на товари с тегло g, g и тегло на клин Мж.

Да приемем, че клинът в момента се движи в положителната посока на оста волпо количеството Л, ако теглото на товара падне на височина Н.Тогава, за момента

защото товарите заедно с клина ще се преместят към Лнадясно и товарът ще се движи нагоре по клина. Тъй като , тогава след изчисления получаваме

.

3.4. Количество движение на системата

3.4.1. Изчисляване на импулса на системата

Импулсът на материална точка е векторна величина, равна на произведението на масата на точката и нейния вектор на скоростта

Мерна единица за импулс -

Импулсът на механичната система е векторната сума на импулса на отделните точки на системата, т.е.

Къде Н – брой точки на системата.

Импулсът на механична система може да бъде изразен чрез масата на системата Ми скоростта на центъра на масата. наистина

тези. Импулсът на системата е равен на произведението от масата на цялата система и скоростта на нейния център на масата.Посоката е същата като посоката (фиг. 3.6)

В проекции върху правоъгълни оси имаме

където , , са проекции на скоростта на центъра на масата на системата.

тук М– маса на механичната система; не се променя, когато системата се движи.

Тези резултати са особено удобни за използване при изчисляване на количествата движение на твърди тела.

От формула (3.7) става ясно, че ако една механична система се движи по такъв начин, че нейният център на масата остава неподвижен, тогава импулсът на системата остава равен на нула.

3.4.2. Елементарен и пълен импулс

Действието на сила върху материална точка във времето дтможе да се характеризира с елементарен импулс. Общ импулс на сила във времето t, или импулс на сила, определен по формулата

или в проекции върху координати на оста

(3.8a)

Единицата импулс на сила е.

3.4.3. Теорема за промяната на импулса на системата

Нека към точките на системата са приложени външни и вътрешни сили. Тогава за всяка точка от системата можем да приложим диференциалните закони на движение (3.3), като имаме предвид, че :

.

Сумирайки всички точки на системата, получаваме

По свойството на вътрешните сили и по определение имаме

(3.9)

Умножавайки двете страни на това уравнение по дт, получаваме теорема за промяната на импулса в диференциална форма:

, (3.10)

тези. диференциалният импулс на механичната система е равен на векторната сума на елементарните импулси на всички външни сили, действащи върху точки на механичната система.

Изчисляване на интеграла на двете страни (3.10) във времето от 0 до t, получаваме теоремата в крайна или интегрална форма

(3.11)

В проекции върху координатните оси, които ще имаме

Промяна в импулса на механична система във времетоt, е равна на векторната сума на всички импулси на външни сили, действащи върху точки от механичната система за същото време.

Пример 4.Тегло на товара м се спуска надолу по наклонена равнина от покой под въздействието на сила Е, пропорционално на времето: , където (фиг. 3.7). Каква скорост ще придобие тялото след t секунди след началото на движението, ако коефициентът на триене при плъзгане на товара върху наклонената равнина е равен на f.

Решение.Нека изобразим силите, приложени към товара: мг – сила на тежестта на натоварването, Не нормалната реакция на равнината, е силата на триене при плъзгане на товара върху равнината и . Посоката на всички сили е показана в (фиг. 3.7).

Нека насочим оста Xпо наклонената равнина надолу. Нека напишем теоремата за промяната на импулса (3.11) в проекцията върху оста X:

(А)

Според условието, т.к в началния момент товарът е бил в покой. Сумата от проекциите на импулсите на всички сили върху оста x е равна на

следователно

,

.

3.4.4. Закони за запазване на импулса

Законите за запазване се получават като частни случаи на теоремата за промяната на импулса. Възможни са два специални случая.

· Ако векторната сума на всички външни сили, приложени към системата, е равна на нула, т.е. , тогава от теоремата следва (3.9) , Какво ,

тези. ако главният вектор на външните сили на системата е нула, тогава количеството на движение на системата е постоянно по големина и посока.

· Ако проекцията на главния вектор на външните сили върху който и да е координатна осравно на нула, например О, т.е. , тогава проекцията на импулса върху тази ос е постоянна стойност.

Нека разгледаме пример за прилагане на закона за запазване на импулса.

Пример 5.Балистично махало е тяло с маса, окачена на дълга нишка (фиг. 3.8).

Куршум с маса, движещ се със скорост Vи удряйки се в неподвижно тяло, се забива в него и тялото се отклонява. Каква беше скоростта на куршума, ако тялото се издигна на височина ч ?

Решение.Оставете тялото със заседналия куршум да придобие скорост. След това, използвайки закона за запазване на импулса по време на взаимодействието на две тела, можем да напишем .

Скоростта може да се изчисли с помощта на закона за запазване на механичната енергия . Тогава. В резултат откриваме

.

Пример 6. Водата влиза в стационарен канал (фиг. 3.9)променливо сечение със скорост под ъгъл спрямо хоризонталата; квадрат напречно сечениеканал на входа; скоростта на водата на изхода от канала сключва ъгъл с хоризонта.

Определете хоризонталния компонент на реакцията, която водата има върху стените на канала. Плътност на водата .

Решение.Ще определим хоризонталния компонент на реакцията, упражнявана от стените на канала върху водата. Тази сила е равна по големина и противоположен по знак на желаната сила. Имаме, съгласно (3.11a),

. (А)

Изчисляваме масата на обема на течността, влизаща в канала за време t:

Величината rAV 0 се нарича втора маса - масата на течността, протичаща през който и да е участък на тръбата за единица време.

Същото количество вода напуска канала за същото време. В условието са дадени началната и крайната скорост.

Нека изчислим дясната страна на равенството (a), което определя сумата от проекциите върху хоризонталната ос на външни сили, приложени към системата (вода). Единствената хоризонтална сила е хоризонталният компонент на резултантната реакция на стената Rx. Тази сила е постоянна по време на равномерно движение на водата. Ето защо

. (V)

Замествайки (b) и (c) в (a), получаваме

3.5. Кинетичен момент на системата

3.5.1. Основен момент на импулса на системата

Нека е радиус вектор на точка с масата на системата спрямо някаква точка A, наречена център (фиг. 3.10).

Импулс на импулса (кинетичен момент) на точка спрямо център Анаречен вектор , определена по формулата

. (3.12)

В този случай векторът насочена перпендикулярно на равнината, минаваща през центъра Аи вектор .

Импулс на импулса (кинетичен момент) на точка спрямо остасе нарича проекция върху тази ос на момента на импулса на точка спрямо който и да е център, избран на тази ос.

Основният момент на импулса (кинетичен момент) на системата спрямо център Асе нарича количеството

(3.13)

Основният момент на импулса (кинетичен момент) на системата спрямо остасе нарича проекция върху тази ос на главния момент на импулса на системата спрямо който и да е избран върху това централна ос.

3.5.2. Кинетичен момент на въртящо се твърдо тяло около оста на въртене

Нека подравним фиксираната точка ЗАтяло, лежащо върху оста на въртене ЗАz, с началото на координатната система охооz, чиито оси ще се въртят с тялото (фиг. 3.11). Нека е радиус-вектор на точка от тялото спрямо началото на координатите; нейната проекция върху оста ще бъде означена с , , . Векторни проекции ъглова скоросттела на една и съща ос означаваме 0, 0, ().

Министерство на образованието и науката руска федерация

Федерална държавна бюджетна образователна институция за висше професионално образование

"Кубански държавен технологичен университет"

Теоретична механика

Част 2 динамика

Одобрено от Редакционно-издателската комисия

университетски съвет като

учебно помагало

Краснодар

UDC 531.1/3 (075)

Теоретична механика. Част 2. Динамика: Учебник / L.I. Кубан. състояние техн.ун-т. Краснодар, 2011. 123 с.

ISBN 5-230-06865-5

Теоретичният материал е представен в кратка форма, дадени са примери за решаване на проблеми, повечето от които отразяват реални технически проблеми и е обърнато внимание на избора на рационален метод за решаване.

Предназначен за бакалаври задочно и дистанционно обучение по строителство, транспорт и машиностроене.

Таблица 1 Ил. 68 Библиография 20 заглавия

Научен редактор Кандидат на техническите науки, доцент. В.Ф.Мелников

Рецензенти: Ръководител на катедрата по теоретична механика и теория на механизмите и машините, Кубански аграрен университет проф. Ф.М. Канарев; Доцент, катедра по теоретична механика, Кубански държавен технологичен университет M.E. Мултих

Публикува се с решение на Редакционно-издателския съвет на Кубанския държавен технологичен университет.

Преиздаване

ISBN 5-230-06865-5 КубСТУ 1998 г

Предговор

Този учебник е предназначен за задочни студенти по строителни, транспортни и машиностроителни специалности, но може да се използва при изучаване на раздел „Динамика“ от курса по теоретична механика от задочни студенти от други специалности, както и редовни студенти работещи самостоятелно.

Ръководството е съставено в съответствие с действащата програма на курса по теоретична механика и обхваща всички въпроси от основната част на курса. Всеки раздел съдържа кратък теоретичен материал, придружен с илюстрации и методически препоръки за използването му при решаване на задачи. Ръководството съдържа решения на 30 задачи, които отразяват реални технически проблеми и съответстват на тестови задачи за независимо решение. За всяка задача е представена изчислителна диаграма, която ясно илюстрира решението. Оформянето на решението отговаря на изискванията за оформяне на контролни работи за задочни студенти.

Авторът изразява дълбока благодарност на преподавателите от катедрата по теоретична механика и теория на механизмите и машините на Кубанския аграрен университет за тяхната голяма работа при рецензирането на учебника, както и на преподавателите от катедрата по теоретична механика на Кубанския държавен технологичен Университет за ценните коментари и съвети при подготовката на учебника за печат.

Всички критични коментари и предложения ще бъдат приемани с благодарност от автора в бъдеще.

Въведение

Динамиката е най-важният раздел на теоретичната механика. Повечето от специфичните проблеми, срещани в инженерната практика, са свързани с динамиката. Използвайки заключенията на статиката и кинематиката, динамиката установява общите закони на движение на материалните тела под действието на приложени сили.

Най-простият материален обект е материална точка. За материална точка може да се приеме материално тяло с произволна форма, чиито размери могат да бъдат пренебрегнати в разглежданата задача. Тяло с крайни размери може да се приеме за материална точка, ако разликата в движението на точките му не е значима за дадена задача. Това се случва, когато размерите на тялото са малки в сравнение с разстоянията, покрити от точките на тялото. Всяка частица от твърдо тяло може да се счита за материална точка.

Силите, приложени към точка или материално тяло, се оценяват динамично по тяхното динамично въздействие, т.е. по това как променят характеристиките на движението на материалните обекти.

Движението на материалните обекти във времето се извършва в пространството спрямо определена референтна система. В класическата механика, базирана на аксиомите на Нютон, пространството се счита за триизмерно, неговите свойства не зависят от движещите се в него материални обекти. Позицията на точка в такова пространство се определя от три координати. Времето не е свързано с пространството и движението на материалните обекти. Счита се за еднакъв за всички референтни системи.

Законите на динамиката описват движението на материални обекти по отношение на абсолютни координатни оси, условно приети за неподвижни. Началото на абсолютната координатна система се приема в центъра на Слънцето, а осите са насочени към далечни, условно неподвижни звезди. При решаването на много технически проблеми координатните оси, свързани със Земята, могат да се считат за условно неподвижни.

Параметрите на механичното движение на материалните обекти в динамиката се установяват чрез математически изводи от основните закони на класическата механика.

Първи закон (закон за инерцията):

Материалната точка поддържа състояние на покой или равномерно и линейно движение, докато действието на някакви сили не я изведе от това състояние.

Равномерното и праволинейно движение на точка се нарича движение по инерция. Почивката е частен случай на движение по инерция, когато скоростта на дадена точка е нула.

Всяка материална точка има инерция, тоест тя се стреми да поддържа състояние на покой или равномерно линейно движение. Отправната система, по отношение на която се прилага законът за инерцията, се нарича инерционна, а движението, наблюдавано по отношение на тази система, се нарича абсолютно. Всяка отправна система, която извършва постъпателно праволинейно и равномерно движение спрямо инерциална система, също ще бъде инерциална система.

Втори закон (основен закон на динамиката):

Ускорението на материална точка спрямо инерционната отправна система е пропорционално на силата, приложена към точката, и съвпада със силата в посока:
.

От основния закон на динамиката следва, че със сила
ускорение
. Масата на една точка характеризира степента на съпротивление на дадена точка към промените в нейната скорост, т.е. тя е мярка за инерцията на материална точка.

Трети закон (Закон за действие и реакция):

Силите, с които две тела действат едно върху друго, са равни по големина и са насочени по една права линия в противоположни посоки.

Прилагат се сили, наречени действие и реакция различни телаи следователно не образуват балансирана система.

Четвърти закон (закон за независимостта на силите):

При едновременното действие на няколко сили ускорението на материална точка е равно на геометричната сума от ускоренията, които точката би имала при действието на всяка сила поотделно:

, Къде
,
,…,
.

(МЕХАНИЧНИ СИСТЕМИ) – IV вариант

1. Основното уравнение на динамиката на материална точка, както е известно, се изразява с уравнението. Диференциални уравнениядвиженията на произволни точки на несвободна механична система според два метода за разделяне на силите могат да бъдат записани в две форми:

(1) , където k=1, 2, 3, … , n – брой точки от материалната система.

(2)

където е масата на k-тата точка; - радиус-вектор на k-та точка, - дадена (активна) сила, действаща върху k-та точка, или резултат от всички активни сили, действащи върху k-та точка. - резултатна от силите на реакция на връзката, действащи върху k-тата точка; - равностойна на вътрешните сили, действащи върху k-тата точка; - равностойна на външните сили, действащи върху k-тата точка.

Използвайки уравнения (1) и (2), човек може да се стреми да реши както първия, така и втория проблем на динамиката. Решаването на втория проблем за динамиката на система обаче става много сложно не само от математическа гледна точка, но и защото сме изправени пред фундаментални трудности. Те се състоят в това, че както за система (1), така и за система (2) броят на уравненията е значителен по-малко числонеизвестен.

Така че, ако използваме (1), тогава известната динамика за втората (обратна) задача ще бъде и , а неизвестните ще бъдат и . Векторните уравнения ще бъдат " п”, и неизвестни - „2n”.

Ако изхождаме от системата от уравнения (2), тогава някои от външните сили са известни. Защо да се разделим? Факт е, че броят на външните сили включва и външни реакции на връзки, които са неизвестни. Освен това, .

Така и системата (1), и системата (2) са НЕЗАТВОРЕНИ. Необходимо е да се добавят уравнения, като се вземат предвид уравненията на връзките и може би е необходимо да се наложат някои ограничения върху самите връзки. какво да правя

Ако започнем от (1), тогава можем да следваме пътя на съставяне на уравнения на Лагранж от първи род. Но този път не е рационален, защото по-лесна задача(по-малко степени на свобода), толкова по-трудно е да се реши от математическа гледна точка.

Тогава нека насочим вниманието си към система (2), където - винаги са неизвестни. Първата стъпка в решаването на една система е да се премахнат тези неизвестни. Трябва да се има предвид, че по правило не се интересуваме от вътрешни сили, когато системата се движи, тоест, когато системата се движи, не е необходимо да знаем как се движи всяка точка от системата, но е достатъчно да знаете как се движи системата като цяло.

По този начин, ако по различни начиниизключваме неизвестни сили от системата (2), тогава получаваме някои отношения, т.е. появяват се някои общи характеристикиза система, познаването на която ни позволява да преценим как се движи системата като цяло. Тези характеристики се въвеждат с помощта на т.нар общи теоремивисокоговорители. Има четири такива теореми:

1. Теорема за движение на центъра на масата на механична система;

2. Теорема за промяна в импулса на механична система;

3. Теорема за промяна на кинетичния момент на механичната система;

4. Теорема за промяна в кинетичната енергия на механична система.