Tanımlar:

Ekstrem maksimum denir veya minimum değer belirli bir küme üzerinde çalışır.

Ekstrem nokta fonksiyonun maksimum veya minimum değerine ulaşıldığı noktadır.

Maksimum nokta başarıldığı noktadır maksimum değer işlevler.

Asgari puan fonksiyonun minimum değerine ulaşıldığı noktadır.

Açıklama.

Şekilde x = 3 noktası civarında fonksiyon maksimum değerine ulaşmaktadır (yani bu noktanın civarında daha yüksek bir nokta yoktur). x = 8 civarında yine bir maksimum değere sahiptir (tekrar açıklığa kavuşturalım: bu mahallede daha yüksek bir nokta yoktur). Bu noktalarda artış yerini düşüşe bırakıyor. Bunlar maksimum puanlardır:

xmaks = 3, xmaks = 8.

x = 5 noktası civarında fonksiyonun minimum değerine ulaşılır (yani x = 5 civarında altında hiçbir nokta yoktur). Bu noktada düşüş yerini artışa bırakıyor. Asgari nokta:

Maksimum ve minimum puanlar fonksiyonun ekstrem noktaları ve fonksiyonun bu noktalardaki değerleri onun aşırılıklar.

Fonksiyonun kritik ve durağan noktaları:

Bir ekstremum için gerekli koşul:

Bir ekstremum için yeterli koşul:

Bir segmentte fonksiyon sen = F(X) minimum veya maksimum değerine kritik noktalarda veya segment sonlarında ulaşabilir.

Sürekli bir fonksiyonu incelemek için algoritmasen = F(X) monotonluk ve aşırılık için:

Aşağıdaki şekli düşünün.

y = x^3 – 3*x^2 fonksiyonunun grafiğini gösterir. Örneğin -1'den 1'e kadar x = 0 noktasını içeren bir aralık düşünelim. Böyle bir aralığa x = 0 noktasının komşuluğu da denir. Grafikte görülebileceği gibi bu komşulukta y = x fonksiyonu ^3 – 3*x^2 en büyük değeri tam olarak x = 0 noktasında alır.

Maksimum ve minimum işlevler

Bu durumda x = 0 noktasına fonksiyonun maksimum noktası denir. Buna benzetilerek x = 2 noktasına y = x^3 – 3*x^2 fonksiyonunun minimum noktası denir. Çünkü bu noktanın bir mahallesi var ki, bu mahalleden gelen tüm değerler arasında bu noktadaki değer minimum olacak.

Nokta maksimum x0 noktasının bir komşuluğu olması ve bu komşuluktan x0'a eşit olmayan tüm x'ler için f(x) eşitsizliğinin sağlanması koşuluyla, f(x) fonksiyonuna x0 noktası denir.< f(x0).

Nokta minimum x0 noktasının bir komşuluğu olması ve bu komşuluktan x0'a eşit olmayan tüm x'ler için f(x) > f(x0) eşitsizliğinin sağlanması koşuluyla, f(x) fonksiyonuna x0 noktası denir.

Fonksiyonların maksimum ve minimum noktalarında fonksiyonun türevinin değeri sıfırdır. Ancak bu, bir fonksiyonun maksimum veya minimum noktada var olması için yeterli bir koşul değildir.

Örneğin, x = 0 noktasındaki y = x^3 fonksiyonunun türevi sıfıra eşittir. Ancak x = 0 noktası fonksiyonun minimum veya maksimum noktası değildir. Bildiğiniz gibi y = x^3 fonksiyonu tüm sayısal eksen boyunca artar.

Dolayısıyla minimum ve maksimum noktalar her zaman f’(x) = 0 denkleminin kökleri arasında olacaktır. Ancak bu denklemin tüm kökleri maksimum veya minimum noktalar olmayacaktır.

Sabit ve kritik noktalar

Fonksiyonun türevinin değerinin sıfır olduğu noktalara durağan noktalar denir. Fonksiyonun türevinin hiç bulunmadığı noktalarda da maksimum veya minimum noktaları olabilir. Örneğin, y = |x| x = 0 noktasında minimum vardır ancak türevi bu noktada mevcut değildir. Bu nokta fonksiyonun kritik noktası olacaktır.

Bir fonksiyonun kritik noktaları, türevinin sıfıra eşit olduğu veya bu noktada türevinin bulunmadığı, yani fonksiyonun bu noktada türevlenemediği noktalardır. Bir fonksiyonun maksimum veya minimumunu bulmak için yeterli koşulun karşılanması gerekir.

f(x), (a;b) aralığında türevlenebilir bir fonksiyon olsun. x0 noktası bu aralığa aittir ve f’(x0) = 0’dır. O halde:

1. Eğer f(x) fonksiyonu ve türevi sabit bir x0 noktasından geçerken “artı”dan “eksi”ye işaret değiştirirse, o zaman x0 noktası fonksiyonun maksimum noktasıdır.

2. Eğer f(x) fonksiyonu ve türevi sabit bir x0 noktasından geçerken “eksi”den “artı”ya işaret değiştirirse, o zaman x0 noktası fonksiyonun minimum noktasıdır.

Kritik noktalar– bunlar bir fonksiyonun türevinin sıfıra eşit olduğu veya bulunmadığı noktalardır. Türev 0'a eşitse bu noktadaki fonksiyon şunu alır: yerel minimum veya maksimum. Grafikte bu tür noktalarda fonksiyonun yatay bir asimptotu vardır, yani teğet Ox eksenine paraleldir.

Bu tür noktalara denir sabit. Sürekli bir fonksiyonun grafiğinde bir "tümsek" veya "delik" görürseniz, maksimum veya minimuma kritik bir noktada ulaşıldığını unutmayın. Örnek olarak aşağıdaki görevi ele alalım.

Örnek 1. y=2x^3-3x^2+5 fonksiyonunun kritik noktalarını bulun.
Çözüm. Kritik noktaları bulma algoritması aşağıdaki gibidir:

Yani fonksiyonun iki kritik noktası vardır.

Daha sonra, bir fonksiyonu incelemeniz gerekiyorsa, kritik noktanın solundaki ve sağındaki türevin işaretini belirleriz. Kritik noktadan geçerken türevin işareti "-"den "+"ya değişirse fonksiyon yerel minimum. Eğer “+”dan “-”ye geçmeliyse yerel maksimum.

İkinci tip kritik noktalar bunlar kesirli ve irrasyonel fonksiyonların paydasının sıfırlarıdır

Bu noktalarda tanımlı olmayan logaritmik ve trigonometrik fonksiyonlar


Üçüncü tür kritik noktalar parçalı sürekli fonksiyonlara ve modüllere sahiptir.
Örneğin herhangi bir modül fonksiyonunun kırılma noktasında bir minimumu veya maksimumu vardır.

Örneğin modül y = | x -5 |
x = 5 noktasında bir minimum (kritik nokta) vardır.

İçinde türev yok ama sağda ve solda sırasıyla 1 ve -1 değerini alıyor.

1)
2)
3)
4)
5)

Fonksiyonların kritik noktalarını belirlemeye çalışın
Cevap y ise değeri elde edersiniz
1)x=4;
2) x=-1;x=1;
3)x=9;
4) x=Pi*k;
5)x=1. o zaman zaten biliyorsun kritik noktalar nasıl bulunur

ve basit bir test veya testlerle başa çıkabilmek. Bir fonksiyonun tanım kümesi, türevini hesaplama, bir fonksiyonun türevinin tanım kümesini bulma, bulma puan

Türevi sıfıra çevirerek, bulunan noktaların orijinal fonksiyonun tanım bölgesine ait olduğunu kanıtlayın. Bir fonksiyonun tanım kümesi, türevini hesaplama, bir fonksiyonun türevinin tanım kümesini bulma, bulmaÖrnek 1 Kritik olanı tanımlayın

fonksiyonlar y = (x - 3)²·(x-2). Çözüm Fonksiyonun tanım kümesini bulun bu durumda kısıtlama yok: x ∈ (-∞; +∞); y'nin türevini hesaplayın. İkinin çarpımını ayırma kurallarına göre elimizde: y' = ((x - 3)²)'·(x - 2) + (x - 3)²·(x - 2)' = 2·( x - 3)·(x - 2) + (x - 3)²·1. Daha sonra ortaya çıkıyor ikinci dereceden denklem

Fonksiyonun türevinin tanım tanım kümesini bulun: x ∈ (-∞; +∞). Sıfır olacağı noktayı bulmak için 3 x² – 16 x + 21 = 0 denklemini çözün: 3 x² – 16 x + 21 = 0.

D = 256 – 252 = 4x1 = (16 + 2)/6 = 3; x2 = (16 - 2)/6 = 7/3 Yani x'in 3 ve 7/3 değerlerinde türevi sıfıra gider.

Bulunanların ait olup olmadığını belirleyin Bir fonksiyonun tanım kümesi, türevini hesaplama, bir fonksiyonun türevinin tanım kümesini bulma, bulma Orijinal fonksiyonun tanım alanı. x (-∞; +∞) olduğuna göre bunların her ikisi de Bir fonksiyonun tanım kümesi, türevini hesaplama, bir fonksiyonun türevinin tanım kümesini bulma, bulma kritiktir.

Örnek 2: Kritik olanı tanımlayın Bir fonksiyonun tanım kümesi, türevini hesaplama, bir fonksiyonun türevinin tanım kümesini bulma, bulma fonksiyonlar y = x² – 2/x.

ÇözümFonksiyonun etki alanı: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞), x paydada olduğundan y' = 2 x + 2/x² türevini hesaplayın.

Fonksiyonun türevinin tanım bölgesi orijinalininkiyle aynıdır: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞) 2 x + 2/x² = 0: 2 x = denklemini çözün. -2/x² → x = -1.

Yani türev x = -1 noktasında sıfıra gider. Kritiklik için gerekli ancak yeterli olmayan koşul karşılanmıştır. x=-1 (-∞; 0) ∪ (0; +∞) aralığına düştüğü için bu nokta kritiktir.

Kaynaklar:

• Kritik satış hacmi, adetEşik

Pek çok kadın, yalnızca acı verici hislerle değil aynı zamanda iştah artışıyla da kendini gösteren adet öncesi sendromundan muzdariptir. Sonuç olarak kritik günler kilo verme sürecini önemli ölçüde yavaşlatabilir.

Adet dönemlerinde iştah artışının nedenleri

Adet dönemlerinde iştahın artmasının nedeni kadın vücudundaki genel hormonal düzeylerdeki değişikliktir. Adetin başlangıcından birkaç gün önce, progesteron hormonu seviyesi yükselir, vücut olasılığa uyum sağlar ve kadın oturuyor olsa bile yağ birikintileri şeklinde ek enerji rezervleri yapmaya çalışır. Bu nedenle kritik günlerde kilo değişiklikleri normaldir.

Regl döneminde nasıl beslenmelisiniz?

Bu günlerde tatlı, şekerleme ve “hızlı” yiyecekler içeren diğer yüksek kalorili yiyecekleri yememeye çalışın. Fazlalıkları hemen yağda biriktirilecektir. Bu dönemde pek çok kadın gerçekten çikolata yemek ister; bu durumda bitter çikolata alıp kendinize birkaç dilim ısmarlayabilirsiniz ama daha fazlasını değil. Adet döneminiz boyunca alkollü içecekler, turşular, turşular, füme yiyecekler, tohumlar ve kuruyemişler tüketmemelisiniz. Genel olarak adet başlangıcından 6-8 gün önce turşu ve tütsülenmiş yiyeceklerin diyette sınırlandırılması gerekir çünkü bu tür ürünler vücuttaki su rezervlerini arttırır ve bu dönem sıvı birikiminin artmasıyla karakterize edilir. Diyetinizdeki tuz miktarını azaltmak için, hazır gıdalara minimum miktarda tuz ekleyin.

Az yağlı süt ürünleri, bitkisel gıdalar ve tahılların tüketilmesi tavsiye edilir. Fasulye, haşlanmış patates, pirinç - "yavaş" karbonhidrat içeren ürünler faydalı olacaktır. Deniz ürünleri, karaciğer, balık, sığır eti, kümes hayvanları, yumurta, baklagiller ve kuru meyveler demir kayıplarını telafi etmeye yardımcı olacaktır. Buğday kepeği faydalı olacaktır. Adet sırasında doğal bir reaksiyon şişliktir. Hafif idrar söktürücü otlar durumu düzeltmeye yardımcı olacaktır: fesleğen, dereotu, maydanoz, kereviz. Baharat olarak kullanılabilirler. Döngünün ikinci yarısında proteinli yiyeceklerin (yağsız et ve balık, süt ürünleri) tüketilmesi önerilir ve diyetteki karbonhidrat miktarının mümkün olduğunca azaltılması gerekir.

Kritik hacmin ekonomik kavramı satış işletmenin mal satışından elde edilen gelirin minimum olduğu pazardaki konumuna karşılık gelir. Ürünlere olan talebin düştüğü ve karların maliyetleri ancak karşılayabildiği bu duruma başabaş noktası adı verilir. Kritik hacmi belirlemek için satış, birkaç yöntem kullanın.

Talimatlar

İş döngüsü faaliyetleriyle (üretim veya hizmetlerle) sınırlı değildir. Bu, kilit personelin, yönetim personelinin, yönetim personelinin vb. yanı sıra görevi olan ekonomistlerin çalışmalarını da içeren belirli bir yapının karmaşık bir çalışmasıdır. finansal analiz işletmeler.

Bu analizin amacı, nihai kârın boyutunu bir dereceye kadar etkileyen belirli miktarları hesaplamaktır. Bu çeşitli türlerüretim ve satış hacimleri, tam ve ortalama, talep göstergeleri vb. Ana görev, maliyetler ve karlar arasında istikrarlı bir ilişkinin kurulduğu üretim hacmini belirlemektir.

Minimum hacim satış Gelirin maliyetleri tamamen karşıladığı ancak artmadığı özsermayeşirkete kritik hacim denir satış. Bu göstergenin yöntemini hesaplamak için üç yöntem vardır: denklem yöntemi, marjinal gelir ve grafik yöntemi.

Kritik hacmi belirlemek için satış ilk yönteme göre, şu şekilde bir denklem oluşturun: Вп – Zper – Зpos = Пп = 0, burada: Вп – gelir satış ve ;Zper ve Zpos – değişken ve sabit maliyetler Pp – kar; satış Ve.

Diğer bir yönteme göre ise birinci dönemde elde edilen gelir satış, birim mal ve hacim başına marjinal gelirin ürünü olarak sunun satış Aynı durum değişken maliyetler için de geçerlidir. Sabit maliyetler tüm mal partisine uygulanır, dolayısıyla bu bileşeni ortak bırakın: MD N – Zper1 N – Zpos = 0.

Bu denklemden N'nin değerini ifade edin ve kritik hacmi elde edin satış:N = Zpos/(MD – Zper1), burada Zper1 mal birimi başına değişken maliyetlerdir.

Grafiksel yöntem oluşturmayı içerir. Uygula koordinat düzlemi iki satır: gelir fonksiyonu satış eksi hem maliyet hem de kar fonksiyonu. Apsis ekseninde, üretim hacmini çizin ve ordinat ekseninde, para birimi cinsinden ifade edilen, karşılık gelen mal miktarından elde edilen geliri çizin. Bu çizgilerin kesişme noktası kritik hacme karşılık gelir. satış, başa baş pozisyonu.

Kaynaklar:

• kritik iş nasıl tanımlanır

Eleştirel düşünme, belirli sonuçların oluşturulduğu ve eleştiri nesnelerinin değerlendirilmesinin yapıldığı bir dizi yargıdır. Özellikle tüm bilim dallarındaki araştırmacıların ve bilim adamlarının karakteristik özelliğidir. Eleştirel düşünme, sıradan düşünmeye göre daha yüksek bir seviyeye sahiptir.

Eleştirel düşünceyi geliştirmede deneyimin değeri

İyi anlamadığınız bir şeyi analiz etmek ve sonuç çıkarmak zordur. Bu nedenle eleştirel düşünmeyi öğrenmek için nesneleri diğer olgularla her türlü bağlantı ve ilişki içinde incelemek gerekir. Ve ayrıca büyük değer bu durumda, bu tür nesneler hakkında bilgi bilgisine, mantıksal yargı zincirleri oluşturma ve makul sonuçlar çıkarma becerisine sahiptir.

Örneğin değer yargısı sanat eseri ancak edebi faaliyetin diğer pek çok meyvesini bilmekle mümkündür. Aynı zamanda insanlığın gelişimi tarihi, edebiyatın oluşumu ve edebiyat eleştirisi konularında da uzman olmak güzel bir şey. Tarihsel bağlamdan izole edilen bir eser, amaçlanan anlamını kaybedebilir. Bir sanat eserinin değerlendirilmesinin yeterince eksiksiz ve gerekçeli olabilmesi için, aynı zamanda yapım kurallarını da içeren edebi bilginizi de kullanmanız gerekir. edebi metin bireysel türler içinde, çeşitli edebi tekniklerden oluşan bir sistem, edebiyattaki mevcut tarz ve eğilimlerin sınıflandırılması ve analizi vb. Aynı zamanda bir sanat eserinde olay örgüsünün iç mantığını, eylem sırasını, karakterlerin düzenini ve etkileşimini incelemek de önemlidir.

Eleştirel düşünmenin özellikleri

Eleştirel düşünmenin diğer özellikleri şunlardır:
- incelenen nesne hakkındaki bilgi, mantıksal zincirlerin inşasıyla ilişkili daha ileri beyin aktivitesi için yalnızca bir başlangıç ​​​​noktasıdır;
- tutarlı bir şekilde inşa edilmiş ve sağduyulu akıl yürütme, incelenen nesneyle ilgili doğru ve hatalı bilgilerin belirlenmesine yol açar;
- eleştirel düşünme her zaman mevcut bilgilerin değerlendirilmesiyle ilişkilidir. bu nesne ve ilgili sonuçlara göre değerlendirme de mevcut becerilerle ilgilidir.

Sıradan düşünmenin aksine, eleştirel düşünme kör inanca tabi değildir. Eleştirel düşünme, eleştirinin nesnesine ilişkin bütün bir yargı sisteminin yardımıyla onun özünü kavramaya, onun hakkındaki gerçek bilgiyi tanımlamaya ve yanlış olanları çürütmeye olanak tanır. Mantığa, çalışmanın derinliğine ve bütünlüğüne, yargıların doğruluğuna, yeterliliğine ve tutarlılığına dayanır. Bu durumda, açık ve uzun süredir kanıtlanmış ifadeler varsayım olarak kabul edilir ve tekrarlanan kanıt ve değerlendirmeyi gerektirmez.

Önceki tartışmalarda diferansiyel hesabın teknik yöntemlerini hiç kullanmadık.

Temel yöntemlerimizin analiz yöntemlerinden daha basit ve daha doğrudan olduğunu kabul etmemek zordur. Genel olarak, belirli bir bilimsel problemle uğraşırken, onun probleminden hareket etmek daha iyidir. bireysel özellikler yalnızca güvenmek yerine genel yöntemler, diğer yandan, genel prensip Uygulanan özel prosedürlerin anlamını açıklayan tabi ki her zaman öncü rol oynamalıdır. Ekstrem problemler göz önüne alındığında diferansiyel hesap yöntemlerinin önemi tam olarak budur. Gözlemlendi modern bilim Genellik arzusu konunun yalnızca bir yönünü temsil eder, çünkü matematikte gerçekten hayati olan şey, hiç şüphesiz, ele alınan problemlerin bireysel özellikleri ve kullanılan yöntemler tarafından belirlenir.

Onun tarihsel gelişim Diferansiyel hesap, niceliklerin en büyük ve en küçük değerlerini bulmayla ilgili bireysel problemlerden büyük ölçüde etkilenmiştir. Ekstrem problemler ile diferansiyel hesap arasındaki bağlantı şu şekilde anlaşılabilir. Bölüm VIII'de f(x) fonksiyonunun f"(x) türevi ve onun geometrik anlamı hakkında ayrıntılı bir çalışma yapacağız. Burada kısaca f"(x) türevinin, f"(x)'in eğimi olduğunu göreceğiz. eğriye teğet y = f(x)(x, y) noktasında. Düzgün bir eğrinin maksimum veya minimum noktalarında geometrik olarak açıktır. y = f(x) Eğrinin teğeti mutlaka yatay olmalı, yani eğim sıfır olmalıdır. Böylece ekstremum noktalarının koşulunu elde ederiz. f"(x) = 0.

f"(x) türevinin sıfır olmasının ne anlama geldiğini açıkça anlamak için Şekil 191'de gösterilen eğriyi düşünün. Burada eğriye teğetinin yatay olduğu beş A, B, C, D, ? noktasını görüyoruz. f(x)'in bu noktalardaki karşılık gelen değerlerini şu şekilde gösterelim; a, b, c, d, e. En yüksek değer f(x) (çizimde gösterilen alan dahilinde) D noktasında elde edilir, en küçüğü A noktasındadır. B noktasında bir maksimum vardır; yani tüm noktalarda bazı mahalleler B noktalarında f(x)'in değeri b'den küçüktür, ancak D'ye yakın noktalarda f(x)'in değeri hâlâ b'den büyüktür. Bu nedenle, B noktasında olduğunu söylemek gelenekseldir. göreceli maksimum fonksiyon f(x), oysa D noktasında - mutlak maksimum. Aynı şekilde C noktasında göreceli minimum, ve A noktasında - mutlak minimum. Son olarak, E noktasına gelince, eşitlik hala burada gerçekleşmesine rağmen, burada ne bir maksimum ne de bir minimum vardır. f"(x) = Q, Buradan f"(x) türevinin sıfırının şu olduğu sonucu çıkar: gerekli, ama hiç de değil yeterli f(x) düzgün fonksiyonunun bir ekstremumunun ortaya çıkma koşulu; başka bir deyişle, bir ekstremumun (mutlak veya göreceli) olduğu herhangi bir noktada eşitlik kesinlikle geçerlidir f"(x) = 0 ama her noktada değil f"(x) = 0, bir ekstremum olmalıdır. Bir ekstremum olup olmadığına bakılmaksızın f"(x) türevinin sıfır olduğu noktalara denir. sabit. Daha ileri analizler, f(x) fonksiyonunun daha yüksek türevleriyle ilgili ve maksimum, minimum ve diğer durağan noktaları tamamen karakterize eden az çok karmaşık koşullara yol açar.